Respuestas TP N 6 2021

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UNJu – Facultad de Ingeniería ________ ANÁLISIS MATEMÁTICO I – 2021 
 
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Respuestas TP Nº 6 – Análisis Matemático I – 2021 
 
 
 
1.-) a)
 2 
9
 b) 7 c) 2 d) −
1
2
 e)
1
3
 f) −
1
2
 
 
 
2.-) B 
 
3.-) a) Demostración de: f es discontinua evitable en x=0 
 f(x) = 
x3−9x
x
 
Para que f sea discontinua evitable en x=0, se debe cumplir: {
∃ f(0) ∨ ∄f(0) 
∃ lim
x⟶0
f(x) = L (finito) 
L ≠ f(0), si ∃ f(0) 
 
El dominio de la función es ℝ− {0} ⟹ ∄f(0) 
Cálculo del límite de la función con x tendiendo a cero: 
 lim
x⟶0
f(x) = lim
x⟶0
x3−9x
x
 (Límite indeterminado de la forma 0/0) 
 
 lim
x⟶0
f(x) = lim
x⟶0
x(x2−9)
x
 
 
 lim
x⟶0
f(x) = lim
x⟶0
(x2 − 9) 
 
 lim
x⟶0
f(x) = −9 
 
 Es un límite finito y no existe f(0). Entonces la función es discontinua evitable en x=0. 
 
 
 b) Demostración de: g es discontinua no evitable en x=4 
 g(x) = 
x+4
x2−14
 
Para que g sea discontinua no evitable en x=4, se debe cumplir: {
∄ lim
x⟶4
g(x) 
∨
lim
x⟶4
g(x) = ±∞
 
Cálculo del límite de la función con x tendiendo a cuatro: 
 
Límite por izquierda 
 lim
x⟶4−
g(x) = lim
x⟶4−
x+4
x2−14
 
 x < 4 ⟹ x2 − 16 < 0 ⟹ x2 − 4 ⟶ 0− 
 lim
x⟶4−
g(x) =
8
0−
= − ∞ 
 
Límite por derecha 
 lim
x⟶4+
g(x) = lim
x⟶4+
x+4
x2−14
 
 x > 4 ⟹ x2 − 16 > 0 ⟹ x2 − 4 ⟶ 0+ 
 lim
x⟶4−
g(x) =
8
0+
= +∞ 
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Como los límites laterales son distintos entonces no existe el límite cuando x tiende a 4. 
Queda demostrado 
 
 c) Demostración de: h es continua en R 
 h(x) = {
1 − x si x < 5
− 4 x = 5
x2 − 5x − 4 si x > 5
 
 
Si x < 5, la fórmula de h es lineal, por lo tanto es continua 
Si x > 5, la fórmula de h es cuadrática, por lo tanto es continua 
Se estudia la continuidad en x = 5 
Para que h sea continua en x=5, se debe cumplir: {
∃ lim
x⟶5
h(x) = L (finito)
∃ h(5) 
L = h(5) 
 
 
∃ h(5) =− 4 
Cálculo del límite de la función con x tendiendo a 5: 
 
Límite por izquierda 
 lim
x⟶5−
h(x) = lim
x⟶5−
(1 − x) = −4 
 
Límite por derecha 
 lim
x⟶5+
h(x) = lim
x⟶5+
(x2 − 5x − 4) = − 4 
 
Por lo tanto, ∃ lim
x⟶5
h(x) = −4 = h(5) 
 
Luego, la función es continua en x=5. 
 
4.-) 
a) Dom(f) = ℝ − {− 4 } 
b) La función no es continua en su dominio. 
c) Presenta discontinuidades porque su gráfico no puede obtenerse de un solo trazo. 
d) Clasificación de los Puntos de discontinuidad de f 
En x=− 4 f tiene discontinuidad evitable 
En x = − 1 f es discontinua no evitable, tipo salto 
En x=1 f tiene discontinuidad no evitable, tipo infinito 
En x=4 f tiene discontinuidad no evitable, tipo infinito 
 
 
5.-) a) 
 
 
 
 
 
 
 
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b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.-) a) f es continua en ℝ− {−5} 
 En x = − 5 la función tiene discontinuidad no evitable, tipo infinito 
 b) f presenta discontinuidad evitable en x=−2, y discontinuidad no evitable en x = 3, tipo 
 salto. 
 c) f tiene discontinuidad evitable en x=2 y en x = 4. 
 Y discontinuidad no evitable, tipo salto, en x=3. 
 
 
7.-) a) a=
−8
5
 ∧ b =
−112
5
 
 b) b ≠ 14a 
 
 
8.-) a) f(t) =
{
 
 
 
 
6 𝑠𝑖 0 < 𝑡 ≤ 1
10 𝑠𝑖 1 < 𝑡 ≤ 2
14 𝑠𝑖 2 < 𝑡 ≤ 3
18 𝑠𝑖 3 < 𝑡 ≤ 4
20 𝑠𝑖 4 < 𝑡 ≤ 24
 
 
 
 b) Gráfico 
 c) f tiene discontinuidades no evitables (tipo 
salto en 1,2,3 y 4 
Significado: Indica el precio del estacionamiento pasa de un valor a otro sin tomar los valores 
intermedios. La tarifa toma valores discretos. 
 
 
9.-) 
 a) c ∈ (1,088; 1,089)⟹ c ≅ 1,088 
 
 b) c ∈ (0,140; 0,141)⟹ c ≅ 0,140