Respuestas T P N 1 2021

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UNJu – Facultad de Ingeniería ________ ANÁLISIS MATEMÁTICO I – 2021 
 
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Respuestas TP Nº 1 – Análisis Matemático I – 2021 
 
1.-) a) 
a) ES PROPOSICIÓN. Falsa 
b) NO ES PROPOSICIÓN. 
c) NO ES PROPOSICIÓN. 
d) ES PROPOSICIÓN Compuesta: Implicación. Verdadera 
e) ES PROPOSICIÓN Simple. Verdadera 
f) ES PROPOSICIÓN Compuesta: Conjunción. Verdadera 
 
 b) 
 Lenguaje coloquial Proposiciones simples Conectores Lenguaje 
simbólico 
a) Los números 4 y 2,77 
son números reales 
𝐩: 𝟒 𝐞𝐬 𝐮𝐧 𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐫𝐞𝐚𝐥 
𝐪: 𝟐, 𝟕𝟕 𝐞𝐬 𝐮𝐧 𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐫𝐞𝐚𝐥 
𝐂𝐨𝐧𝐣𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 
(∧) 
𝐩 ∧ 𝐪 
b) Si el cuadrado y el 
rectángulo tienen 
lados paralelos 
entonces son 
paralelogramos 
𝐩: 𝐄𝐥 𝐜𝐮𝐚𝐝𝐫𝐚𝐝𝐨 𝐭𝐢𝐞𝐧𝐞 𝐥𝐚𝐝𝐨𝐬 𝐩𝐚𝐫𝐚𝐥𝐞𝐥𝐨𝐬 
𝐪: 𝐄𝐥 𝐫𝐞𝐜𝐭á𝐧𝐠𝐮𝐥𝐨 𝐭𝐢𝐞𝐧𝐞 𝐥𝐚𝐝𝐨𝐬 𝐩𝐚𝐫𝐚𝐥𝐞𝐥𝐨𝐬 
𝐫: 𝐄𝐥 𝐜𝐮𝐚𝐝𝐫𝐚𝐝𝐨 𝐞𝐬 𝐩𝐚𝐫𝐚𝐥𝐞𝐥𝐨𝐠𝐫𝐚𝐦𝐨 
𝐬: 𝐄𝐥 𝐫𝐞𝐜𝐭á𝐧𝐠𝐮𝐥𝐨 𝐞𝐬 𝐩𝐚𝐫𝐚𝐥𝐞𝐥𝐨𝐠𝐫𝐚𝐦𝐨 
𝐂𝐨𝐧𝐣𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 
(∧) 
𝐈𝐦𝐩𝐥𝐢𝐜𝐚𝐜𝐢ó𝐧 
(⇒) 
 
(𝐩 ∧ 𝐪) ⇒ (𝐫 ∧ 𝐬) 
c) El color blanco o el 
gris es el color más 
usados en estas casas 
𝐩: El blanco es el color más usado en 
estas casas 
𝐪: El gris es el color más usado en estas 
casas 
 
𝐃𝐢𝐬𝐲𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 
(∨) 
𝐩 ∨ 𝐪 
 
2.-) a) Son equivalentes los pares de proposiciones que tienen los mismos valores de 
verdad en la última columna de su respectiva tabla de verdad. 
Es decir: ∼ (𝐩 ⇒ 𝐪) ⇔ 𝐩 ∧∼ 𝐪 
 ∼ (𝐩 ∧ 𝐪) ⇔∼ 𝐩 ∨∼ 𝐪 
 ∼ (𝐩 ∨ 𝐪) ⇔∼ 𝐩 ∧∼ 𝐪 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Negaciones: i) El oeste de Argentina es zona sísmica y Jujuy no lo es. 
 ii) Pablo o su mujer no viajan. 
 iii) El semáforo no está en rojo ni en verde. 
 
c) Opción correcta: i) C 
 ii) D 
 
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3.-) 
 Enunciados 
a) p ⇒ q 
p (Antecedente) // q (Consecuente) 
b) Valor de verdad 
(1) 
Basta que Sebastián sea jujeño para 
que sea argentino. 
𝐩: 𝐒𝐞𝐛𝐚𝐬𝐭𝐢á𝐧 𝐞𝐬 𝐣𝐮𝐣𝐞ñ𝐨 
𝐪: 𝐒𝐞𝐛𝐚𝐬𝐭𝐢á𝐧 𝐞𝐬 𝐚𝐫𝐠𝐞𝐧𝐭𝐢𝐧𝐨 Verdadero 
(2) 
Un número es par si es múltiplo de 
4. 
𝐩: 𝐔𝐧 𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐞𝐬 𝐦ú𝐥𝐭𝐢𝐩𝐥𝐨 𝐝𝐞 𝟒 
𝐪: 𝐔𝐧 𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐞𝐬 𝐩𝐚𝐫 
Verdadero 
(3) 
Sólo si tengo un boleto de la Lotería, 
puedo ganar ese fantástico premio. 
𝐩: Puedo ganar ese fantástico premio 
𝐪: Tengo un boleto de la Lotería 
Verdadero 
(4) 
María rindió el final de Análisis 
Matemático I, entonces regularizó la 
materia. 
𝐩: 𝐌𝐚𝐫í𝐚 𝐫𝐢𝐧𝐝𝐢ó 𝐞𝐥 𝐟𝐢𝐧𝐚𝐥 𝐝𝐞 
 𝐀𝐧á𝐥𝐢𝐬𝐢𝐬 𝐌𝐚𝐭𝐞𝐦á𝐭𝐢𝐜𝐨 𝐈 
𝐪: 𝐌𝐚𝐫í𝐚 𝐫𝐞𝐠𝐮𝐥𝐚𝐫𝐢𝐳ó 𝐥𝐚 𝐦𝐚𝐭𝐞𝐫𝐢𝐚 
Falso (pudo haber rendido 
en condición de Libre) 
(5) 
Es suficiente pero no necesario, 
tener dos monedas de 50 centavos 
para tener 1 peso. 
𝐩: 𝐓𝐞𝐧𝐠𝐨 𝐝𝐨𝐬 𝐦𝐨𝐧𝐞𝐝𝐚𝐬 𝐝𝐞 𝟓𝟎 𝐜𝐞𝐧𝐭𝐚𝐯𝐨𝐬 
𝐪: 𝐓𝐞𝐧𝐠𝐨 𝟏 𝐩𝐞𝐬𝐨 
 𝐩 ⇒ 𝐪 ∧ 𝐪 ⇏ 𝐩 
Verdadero (No es 
necesario porque puede 
tener 10 monedas de 1 c) 
(6) Me asusto mucho si veo una araña. 
𝐩: 𝐕𝐞𝐨 𝐮𝐧𝐚 𝐚𝐫𝐚ñ𝐚 
𝐪: 𝐌𝐞 𝐚𝐬𝐮𝐬𝐭𝐨 
Falso 
 
4.-) 
 a) Directa: “Si termino mi trabajo, entonces tomaré un descanso” VERDADERO 
 Recíproca: “Si tomo un descanso, entonces terminaré mi trabajo” FALSO 
 Contraria: “Si no termino mi trabajo, entonces no tomaré un descanso” FALSO 
 Contrarrecíproca:“Si no tomo un descanso, entonces no terminaré mi trabajo” VERDADERO 
 
 b) Aclaración: Se trabaja en el conjunto de los números reales 
 Directa: “Todo número natural es racional. 
  x : x x     ” VERDADERO 
 Recíproca: “Todo número racional es natural. 
  x : x x     ” FALSO (Por ejemplo 2/3) 
 Contraria: “Todo número que no es natural, es irracional. 
  x : x x     ” FALSO (Por ejemplo, ¾) 
 Contrarrecíproca: “Todo número irracional, no es natural. 
 También: Ningún número irracional es natural. 
  x : x x     ” VERDADERO 
5.-) 
 Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico Aunque no se 
pide: Valor de 
verdad 
a) Todo número entero es par o impar a : a es par a es impar   Verdadero 
b) 
Existe al menos un número racional 
cuyo cuadrado no es positivo 
Una forma:
2x / x 0   
Otra forma:
2x / x   0 
Verdadero, el 
cero 
c) Una forma: 
La suma de todo par de números irracionales 
es irracional 
Otra forma: 
Dados dos números irracionales cualesquiera, 
siempre la suma es un número irracional 
x, y : x I y I x y I       
Falso, por 
ejemplo 
 
d) 
Es necesario que un triángulo sea 
equilátero para que cada ángulo mida 
60° 
Una forma: 
p :"Un triángulo tiene cada ángulo de 60 "
q :"Un triángulo es equilátero"
p q


 
Otra forma: 
 x Triángulos :
x tiene cada ángulo de 60 x es equilátero
 

 
 
Verdadero 
(además es 
necesario y 
suficiente) 
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e) Una forma: Hay ternas de números 
naturales tales que la suma de los 
cuadrados de dos ellos es igual al 
cuadrado del tercer número. 
Otra forma: Al menos existen tres 
números naturales de modo que el 
cuadrado de uno de ellos es igual a la 
suma de los cuadrados de los otros 
dos. 
2 2 2a,b,c / a b c    
Verdadero, 
por ejemplo 
2 2 23 4 5  
f) Es suficiente que un número sea mayor 
que cinco para que sea mayor que tres. 
x : x 5 x 3     Verdadero 
 
 
6.-) 
 Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico Negación 
a) 
Todas las pelotas son 
redondas 
 x Pelotas : x es redonda 
 
Lenguaje coloquial: 
Hay pelotas que no son redondas 
Lenguaje simbólico: 
 x Pelotas : x no es redonda  
b) 
Algunos números son 
primos. 
x / x esprimo  
Lenguaje coloquial: 
Ningún número entero es primo 
Lenguaje simbólico: 
x / x no es primo  
c) 
Ningún entero es 
divisible por 23 
x : x no es divisible por 23 
 
Lenguaje coloquial: 
Hay números enteros divisibles por 23 
Lenguaje simbólico: 
x : x es divisible por 23  
d) 
Una forma: 
Para cualquier número real, 
existe algún número entero 
que multiplicado por él, dá 
como resultado un número 
positivo o cero. 
Otra forma: 
Para cualquier número real, 
existe un entero tal que el 
producto de ambos no es 
negativo 
 
x : y / x.y 0     
 
Lenguaje coloquial: 
Existe un número real que 
multiplicado con cualquier número 
entero dá como resultado un número 
negativo. 
Lenguaje simbólico: 
x : y / x.y 0     
e) 
El cuadrado de todo 
número (real) siempre es 
mayor o igual que dicho 
número 
2x : x x   
Lenguaje coloquial: 
El cuadrado de algún número real es 
menor que el mismo. 
Lenguaje simbólico: 
2x / x x   
 
 
7.-) Para ver si una proposición se puede demostrar con un ejemplo, se analiza el valor 
de verdad de cada proposición y se clasifican (según el cuantificador) en Universales o 
Existenciales 
 
 
 Lenguaje coloquial Valor de verdad 
Universal o 
Existencial 
Se demuestra con ejemplo o en forma 
general 
a) 
Todas las pelotas son 
redondas 
Falso Universal Ejemplo: La pelota de rugby. 
b) 
Algunos números son 
primos. 
Verdadero Existencial Ejemplo: 7 
c) Ningún entero es Falso Universal Ejemplo: 46 
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divisible por 23 
d) 
 
x : y
/x.y 0
   

 Verdadero Universal 
Hay que hacer una demostración 
formal o general. 
e) 
El cuadrado de todo 
número (real) siempre es 
mayor o igual que dicho 
número 
Falso Universal 
Ejemplo: ½, o cualquier 
número positivo menor que 1. 
 
 
 
8.-) a)  A 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4   
 
 
 
 
 
 
 
 Conjunto de cotas superiores: [𝟒, ∞) Conjunto de cotas inferiores: (−∞, −𝟐] 
 Supremo: 4 Ínfimo:  2 
 Máximo: 4 Mínimo:  2 
 
 
 b)    B , 6 1,     
 
 
 
 
 
 Conjunto de cotas superiores: ∅ Conjunto de cotas inferiores: ∅ 
 Supremo: ∄ Ínfimo: ∄ 
 Máximo: ∄ Mínimo: ∄ 
 
 c)    C 3,1 5  
 
 
 
 
 
 Conjunto de cotas superiores: [𝟓, ∞) Conjunto de cotas inferiores: (−∞, −𝟑] 
 Supremo: 5 Ínfimo:  3 
 Máximo: 5 Mínimo:  3 
 
 
 d)  D 8,9, 10, 11, 12, 13,... 
 
 
 
 
 
 
 
 Conjunto de cotas superiores: ∅ Conjunto de cotas inferiores: (−∞, 𝟖] 
 Supremo: ∄ Ínfimo: 8 
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 Máximo: ∄ Mínimo: 8 
 
9.-) 
a) 
2x x 2x x 2 1 43
8x 25 8x 25 8 x 25 x 25
3 6 3 6 3 6 6
 
              
 
 
 
43 150 150
x 25 / x
6 43 43
 
     
 
 S = (− ∞,
150
43
 ] 
b) 
y 7 2y 1 3y 9 y 7 2y 1 2y 1 3y 9             
y 2y 7 1 2y 3y 9 1        
y 8 y 8      
y 8 y 8 y 8         
 S = (−8, ∞) 
 
c) 
 z 2 7 z 2z 2 z 2 z 2 7z 14 6z 16
7 7 0 0 0 0
z 2 z 2 z 2 z 2 z 2
        
         
    
 
Un cociente es negativo o cero: cuando numerador y denominador tienen signos distintos, además el 
numerador puede ser cero y el denominador, no. 
   6z 16 0 z 2 0 6z 16 0 z 2 0              
   6z 16 z 2 6z 16 z 2            Despejando “z”, -6 pasa dividiendo con su 
signo y cambia el sentido de la desigualdad. 
8 8
z z 2 z z 2
3 3
   
          
   
 Como 
8 8
2,6 2
3 3
   
 
 
 
  1S ,2  2
8
S ,
3
 
 
 
 
 1 2
8
S S S S ,2 ,
3
 
    
 
 
 
d) x 5 3  (Por propiedad de valor absoluto:  x a x a x a a 0, x        ) 
 x 5 3 x 5 3      
(Despejando “x”) x 2 x 8        S , 8 2,     
 
 
e) 
2x 6x 7  
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Para completar cuadrados se suma 9 miembro a miembro. 
De esta forma, el 1° miembro el escuadrado de “x-3” 
  
22x 6x 9 7 9 x 3 16       
Se extrae raíz cuadrada miembro a miembro, sabiendo que queda valor absoluto  2a a
 
2
x 3 16 x 3 4 x 3 4 x 3 4            
x 4 3 x 4 3 x 7 x 1           
   S , 1 7,    
 
f)    3 x x 5 0   
Un producto es positivo cuando los dos factores tienen el mismo signo: S1(ambos positivos) , S2(ambos 
negativos). La Solución total es la unión de las soluciones parciales 
   
1 2S S
3 x 0 x 5 0 3 x 0 x 5 0           
    3 x x 5 3 x x 5         
 
 
  1S 5,3  2S  
  1 2S S S 5,3    5,3  
  S 5,3  
10.-) Si 
c 50
1,645
5

 entonces la moneda es probablemente falsa. 
i) Para c=58: 
58 50
1,6
5

 1,645 entonces la moneda es probablemente legítima. 
ii) La moneda es probablemente falsa si
c 50
1,645
5

 
 
c 50 c 50
1,645 1,645
5 5
 
    
 c 50 8,225 c 50 8,225      
 c 58,225 c 41,775   
11.-) i) A es caballero y B es pícaro. 
 ii) Los dos son pícaros. 
 iii) p:”B es caballero” q:”B se come el sombrero”(Verdadera) 
 
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p q p⇒q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V