Lectura 4 - Teoría de Redes (1)

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Materia: Investigación Operativa 
Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
- 1 - 
Lectura 4: Teoría de REDES 
REDES P.E.R.T. y C.P.M. 
 
Introducción 
 
La tarea de administrar grandes proyectos es un antiguo honorable arte. 
Aproximadamente en el año 2600 a.C. los egipcios construyeron la gran pirámide para el rey 
Keops. El historiador griego Herodoto decía que 400.000 hombres trabajaron durante 20 años 
para construir esta estructura. Aunque actualmente se cuestionan esas cifras, no hay duda de 
la enormidad del proyecto. 
 
Los proyectos modernos, en rangos que van desde construir un centro comercial 
suburbano hasta poner un hombre en la luna, son extremadamente grandes, complejos y 
costosos. No es una tarea fácil terminar dichos proyectos a tiempo y dentro del presupuesto. 
En particular, veremos que los complicados problemas para programar dichos proyectos 
quedan a menudo estructurados debido a la interdependencia de actividades. Generalmente, 
no es posible iniciar ciertas actividades antes de que otras hayan sido terminadas. Al tratar 
con proyectos que, con toda seguridad involucran miles de dichas relaciones de dependencia, 
no es sorprendente que los administradores e ingenieros busquen métodos de análisis 
efectivos. Algunas de las preguntas clave que este módulo responderá son: 
 
1. ¿Cuál es la fecha esperada de terminación del proyecto? 
2. ¿Cuál es la “variabilidad” potencial de esa fecha? 
3. ¿Cuáles son las fechas de inicio y terminación programadas para cada actividad 
específica? 
4. ¿Qué actividades son críticas, en el sentido en que deben ser terminadas 
exactamente como fueron programadas, a fin de cumplir el objetivo general del 
proyecto? 
5. ¿Cuánto tiempo pueden retrasarse las actividades no críticas, antes de que se 
incurra en un retraso en la fecha de terminación general? 
6. ¿Cómo pueden concentrarse los recursos más eficientemente en actividades, a fin de 
acelerar la terminación del proyecto? 
7. ¿Qué control debe ejercerse en el flujo de gasto para las diversas actividades a lo 
largo del proyecto? 
 
PERT y CPM , que significan (como veremos) Program Evaluation Review Technique 
(Técnica de Evaluación y Revisión de Programas) y Critical Path Method (Método de la 
Ruta Crítica) respectivamente, darán las respuestas a esas preguntas de manera simple y 
organizada. 
 
Además, se ha agregado al final de este módulo una lista de conceptos clave y una 
Tabla de Distribución Normal que estimamos puede ser de gran ayuda a la hora de las 
lecturas. ¡Éxito! 
 
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4.1. Planeamiento – Programación - Control 
 
A partir de la metodología elegida para todos los módulos como la más eficaz a la hora 
de incorporar los nuevos conceptos de cada etapa, desarrollaremos un ejercicio completo de 
aplicación del tema en cuestión, deteniéndonos a cada paso en la explicación de los tópicos y 
conceptos teórico-prácticos necesarios para el aprendizaje. 
 
El proyecto Marianne 
Extracto del texto “Investigación Operativa” situación profesional nº 10, escrita 
por el profesor Gonzalo Murillo 
 
“La planta automotriz IR Argentina debe producir un nuevo modelo de auto rural 
familiar, llamado Marianne. Este modelo ya existe en Europa, pero nunca se ha 
fabricado en el país, de modo que Usted, jefe del Proyecto Marianne Argentina, debe 
organizar y poner en marcha todo lo necesario para que el nuevo automóvil se 
encuentre en las concesionarias antes del fin del año que viene. Una vez que llegue la 
documentación de Europa, se deberán coordinar los departamentos de anteproyecto, 
producción de prototipos, montajes, control de calidad, producción en serie, marketing 
y servicios de postventa. Cada uno de estos departamentos debe realizar una serie de 
tareas coordinadas, unas a continuación de otras, en forma simultánea con otras 
distintas. Su trabajo en esta primera etapa consiste en organizar las tareas de este 
proyecto.” 
 
Gestión de Proyectos: Diagramas de Gantt y CPM 
 
Antes de conocer cuáles son las herramientas que permiten gestionar un proyecto y 
cómo trabajan, todos creemos que aquellas personas a las que se les da el título de JEFE DE 
PROYECTO eran unas especies de semidioses, expertos en áreas que iban desde cómo 
barrer bien con una escoba hasta la física cuántica, y que tenían una memoria capaz de 
registrar hasta el teléfono del proveedor de lamparitas de la empresa. Bastante difícil, ¿no 
crees?. El estudio y nuestra experiencia nos mostraron que un buen jefe de proyecto acaba 
teniendo conocimiento general de muchas cosas y entrena su memoria para poder mantener 
un panorama general de su proyecto. Pero lo más importante que posee este buen señor es 
una exquisita organización. Para adquirir este nivel de orden y conocimiento de lo que hay 
que hacer, cuándo hay que hacerlo y en qué momento en el tiempo, todos absolutamente 
recurren a personas y herramientas que colaboran para que el proyecto funcione como un 
reloj suizo. No significa que todos los proyectos siempre marchen así (de hecho, casi 
ninguno); pero la idea que posibilita el éxito es que se trabaje buscando esa perfección. 
 
Para que nosotros podamos organizamos en nuestro proyecto, primero deberemos 
entender qué es un proyecto y cuáles son sus etapas. Un proyecto es un conjunto de tareas 
específicas que deben realizarse para lograr un objetivo determinado. En un proyecto, 
normalmente podemos distinguir las siguientes tres etapas: 
 
 
 
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PLANIFICACIÓN 
 
En esta etapa es donde debemos definir qué tareas deben realizarse, plantear los 
tiempos que cada una requiere y cuál es su orden de ejecución. Este último punto implica el 
reconocimiento de qué tareas deben desarrollarse a continuación de otras y cuáles pueden 
realizarse en forma paralela. Como para aclararle esto, imagine que su proyecto es hacer un 
asado. Usted sabe que es imposible poner la carne sobre las brasas si antes no hizo el fuego. 
Estas dos tareas, hacer el fuego y poner la carne, son secuenciales. Mientras tanto, otra 
persona puede estar haciendo las ensaladas. Esta otra tarea es paralela a las anteriores. 
Fuese que paralelismo no implica simultaneidad, pues quien hace las ensaladas puede haber 
empezado antes de que Usted encienda el fuego o puede hacerla mientras se cocina la 
carne. 
 
PROGRAMACIÓN 
 
Conociendo ahora cuáles son las tareas por realizar, sus tiempos y su orden, laprogramación implica poner todo esto sobre un calendario real. Volviendo al ejemplo anterior, 
implica que Usted invitó a sus amigos a comer el asado en un determinado día y sabe que en 
ese día, si no empieza a hacer el fuego a determinada hora, no podrá comer el asado cuando 
sus amigos lleguen. 
 
CONTROL 
 
Ahora es el momento de trabajar. Las tareas se están desarrollando. Será 
imprescindible controlar que todo se realice de acuerdo con lo planeado y programado. Caso 
contrario, tanto esfuerzo previo será inútil. En el caso de que una eventualidad altere el 
desarrollo normal de las tareas, habrá que replanear y reprogramar las cosas, ajustándose a 
la nueva realidad. 
 
 
4.2. Planteo de una Red 
 
Ahora que ya estamos en tema, veamos las herramientas que nos ayudarán a 
manejar un proyecto. Volvamos a la situación profesional. Usted se vincula con todos y cada 
uno de los departamentos de la empresa que estarán asociados al proyecto. Así obtiene la 
información de qué tareas deberán realizarse, en qué orden y qué tiempos requerirán. A un 
nivel gerencial, el resultado de este análisis se resume en la siguiente tabla: 
 
 
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Designación Tarea a realizar Tiempos 
requeridos 
Predecesoras 
A Análisis de los planos 2 meses 
B Armado de montajes y herramientas 3 meses A 
C Contactar proveedores 2 meses A 
D Establecer pautas de calidad 2 meses A 
E Nuevos sondeos de mercado 3 meses A 
F Armado de prototipos 4 meses B, C, D 
G Evaluación de prototipos 1 mes F, E 
H Correcciones en la planta 1 mes G 
I Correcciones en los proveedores 1 mes G 
J Establecer pautas de 
comercialización 
2 meses G 
K Comenzar la producción en serie 1 mes H, I 
L Presentación del nuevo producto 1 mes K, J 
M Definición de la logística de 
distribución 
1 mes L 
 
 
Para que se entienda cómo se conformó la tabla, analicemos el proceso que se está 
siguiendo. 
 
 
4.2.1. Concepto de Actividades 
 
Una lista de actividades es una de las tareas clave que debemos realizar ante todo 
proyecto de envergadura. Es la relación de actividades físicas o mentales que forman 
procesos interrelacionados en un proyecto total. 
 
 
Se considera Actividad a la serie de operaciones realizadas por una persona o 
grupo de personas en forma continua, sin interrupciones, con tiempos de inicio 
y de término. Estas actividades sirven de base a las personas responsables de 
cada proceso para que elaboren sus presupuestos de ejecución. 
 
 
Primero, el departamento de ingeniería deberá analizar los planos para entender qué 
es lo que debe fabricarse, qué innovaciones se incorporarán, qué partes se comprarán a 
proveedores externos, etc. Una vez hecho esto se deberán construir los montajes para poder 
fabricar el nuevo auto; se debe negociar la compra de las partes a los proveedores, se deben 
establecer las pautas de calidad para evaluar la fabricación y se realizarán nuevos sondeos 
para evaluar las ventajas y desventajas del nuevo auto frente a la competencia. Se 
comenzará a construir los primeros autos, que servirán para evaluaciones. A éstos se los 
denomina prototipos. Una vez construidos, deberán ser evaluados en su calidad de 
producción así como también comparativamente con sus potenciales competidores. El 
resultado de estas evaluaciones (así como todas las que se hayan hecho durante la 
fabricación), nos permitirá ajustar detalles en nuestra planta y en los productos comprados a 
los proveedores. También nos permitirá tener una idea de lo que será nuestro producto 
terminado, sus costos y su situación frente a la competencia. Podremos, entonces, 
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establecer políticas de precios y comercialización para el nuevo producto. Ya estamos en 
condiciones de comenzar con la producción masiva. En cuanto tengamos el primer lote de 
autos, presentar al producto en sociedad y ver la reacción del público, las concesionarias, 
etc. En función de esto comenzarán los pedidos concretos y deberemos concretar una forma 
de distribución de los mismos. 
 
La tabla mostrada es muy importante para entender el proceso, pero no nos brinda 
una información clara del desarrollo en el tiempo de un proyecto. Vamos a ayudamos con un 
diagrama de fácil construcción, que nos permita ver el desarrollo de las tareas en el tiempo. 
Este diagrama, conocido como Diagrama de Gantt, se construye representando las tareas 
como líneas, cuya longitud es proporcional a su tiempo de duración. Estas líneas se dibujan 
en un esquema de líneas verticales que representan el tiempo. A continuación, se presenta el 
comienzo del Diagrama de Gantt de la situación profesional, donde se ven las primeras siete 
tareas del proyecto: 
 
 
Diagrama de Gantt 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
A 
 B 
 C 
 D 
 E 
 F 
 G 
 
 
 Los números encima de las líneas verticales implican los meses de trabajo. Así, al 
llegar a la línea que tiene el número 1, debe entenderse que se realizará un mes de trabajo. 
Las líneas que representan a las tareas B,C, D y E comienzan una vez finalizada la línea que 
representa a la tarea A, debido a que las tareas B, C, D y E están precedidas por A (ver 
tabla). Usted puede observar que la construcción de este diagrama y su interpretación son 
cosas sumamente fáciles. Al ver el diagrama se puede analizar, por ejemplo, que ocurriría si 
se produjera una demora en la tarea C. Al ser las tareas B y E de mayor duración, un mes de 
demora no debe afectar la duración del proyecto. Para completar este diagrama, se pueden 
reemplazar los números encima de las líneas verticales, por fechas concretas. Podremos de 
este modo, una vez que comience el desarrollo de las tareas, posicionamos en un día de-
terminado y ver si la programación teórica se está cumpliendo. Este diagrama presenta 
entonces las siguientes ventajas: 
   
1. Es conocido y de fácil interpretación, aun por aquellas personas sin preparación previa. 
2. Tiene una amplísima gama de aplicaciones. 
3. Se adapta muy bien a la gestión de proyectos. 
 
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- 6 -Diagrama de Gantt - Generalidades 
 
El diagrama de GANTT es una herramienta que le permite al usuario modelar la 
planificación de las tareas necesarias para la realización de un proyecto. Esta herramienta fue 
inventada por Henry L. Gantt en 1917. 
 
Debido a la relativa facilidad de lectura de los diagramas de GANTT, esta herramienta 
es utilizada por casi todos los directores de proyecto en todos los sectores. El diagrama de 
GANTT es una herramienta para el director del proyecto que le permite realizar una 
representación gráfica del progreso del proyecto, pero también es un buen medio de 
comunicación entre las diversas personas involucradas en el proyecto. 
 
Este tipo de modelo es particularmente fácil de implementar con una simple hoja de 
cálculo como el Microsoft Excel®, pero también existen herramientas especializadas, la 
más conocida es Microsoft Project®. También existen equivalentes de este tipo de software 
que son gratis. 
 
Cómo hacer un Diagrama de GANTT 
 
En un diagrama de GANTT, cada tarea es representada por una línea o franja 
horizontal, mientras que las columnas verticales representan los días, semanas, o meses 
del programa, dependiendo de la duración del proyecto. El tiempo estimado para cada tarea 
se muestra a través de una barra horizontal cuyo extremo izquierdo determina la fecha de 
inicio prevista y el extremo derecho determina la fecha de finalización estimada. Las tareas se 
pueden colocar en cadenas secuenciales o se pueden realizar simultáneamente. 
 
Si las tareas son secuenciales, las prioridades se pueden confeccionar utilizando una 
flecha qué desciende de las tareas más importantes hacia las tareas menos importantes. La 
tarea menos importante no puede llevarse a cabo hasta que no se haya completado la más 
importante. 
A medida que progresa una tarea, se completa proporcionalmente la barra que la 
representa hasta llegar al grado de finalización. Así, es posible obtener una visión general del 
progreso del proyecto rastreando una línea vertical a través de las tareas en el nivel de la 
fecha actual. Las tareas ya finalizadas se colocan a la izquierda de esta línea; las tareas que 
aún no se han iniciado se colocan a la derecha, mientras que las tareas que se están llevando 
a cabo atraviesan la línea. Si la línea está cubierta en la parte izquierda, ¡la tarea está 
demorada respecto de la planificación del proyecto! 
 
Idealmente, un diagrama como este no debe incluir más de 15 ó 20 tareas para que pueda 
caber en una sola hoja con formato A4. Si el número de tareas es mayor, es posible crear 
diagramas adicionales en los que se detallan las planificaciones de las tareas principales. 
 
 
 
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Como toda moneda tiene dos caras, veamos ahora qué inconvenientes presenta. Si 
observa detenidamente el diagrama sin ver la tabla, podría pensar que la tarea F está 
precedida, entre otras, por la tarea E, cosa que no es cierto. El no poder apreciar la 
precedencia de las tareas es una gran desventaja, que deberemos solucionar de alguna 
forma más elegante que comparando la tabla con el diagrama, cosa terriblemente 
complicada en proyectos con una gran cantidad de tareas. 
 
Para poder plantear las precedencias en forma acabada en un diagrama, se implementó 
una nueva técnica: el CPM, siglas que significan Critical Path Method (en castellano, Método 
del Camino Crítico), En esta nueva técnica, las tareas se representan como flechas cuya 
longitud es independiente de su duración y que vinculan nodos que representan estados del 
proyecto. La regla básica que tiene que tener en cuenta es que las flechas no pueden salir 
del mismo nodo y llegar las dos juntas a otro nodo. Así enunciado, puede no resultar claro 
para el lector que desconoce estas herramientas. En la siguiente figura, veremos el diagrama 
de las mismas siete tareas, en esta nueva técnica. Este diagrama se denomina Diagrama 
Sagital. 
 
 
4.2.2. Diagrama Sagital 
 
 
 
 
Como usted podrá apreciar, las flechas que representan las tareas tienen su sentido 
siguiendo el desarrollo de las mismas. El número que observa encima de cada flecha no es 
otra cosa que el tiempo de esa tarea. ¿Qué son esas extrañas flechas de puntos? Muy 
simple. Hemos dicho que sólo una flecha puede unir dos puntos. Dado que las flechas 
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indican las precedencias de las tareas ¿cómo indicaremos que la tarea F está precedida por 
las tareas B, C y D que terminan en los nados 2, 3 Y 4 respectivamente? Utilizando dos 
tareas ficticias. Una tarea ficticia es simplemente una flecha que indica precedencia. Debido 
a que es ficticia no tiene duración. Al representarla como una línea de puntos no es 
necesario colocar su duración encima, ya que sabemos que es cero. Es importante recordar 
que hechas estas consideraciones acerca de las tareas ficticias y a los fines de los cálculos 
posteriores, deberán ser tenidas en cuenta como cualquier otra tarea. 
 
El Diagrama Sagital como esqueleto central de la técnica del CPM, 
debe cumplir con algunas condiciones: 
 
 Debe iniciarse en un único nodo. 
 Debe terminar en un único nodo. 
 Debemos procurar que todas las flechas tengan un sentido de izquierda a derecha. 
 Si bien las tareas ficticias son imprescindibles en muchos casos, debemos poner la menor 
cantidad posible, suprimiendo aquéllas que no sean estrictamente necesarias. 
 
Con respecto al último punto tratado, observe que la tarea ficticia que une los nados 5 
y 6 puede eliminarse, extendiendo la tarea E desde el nodo 1 al nodo 6 como se muestra a 
continuación. 
 
 
 
   
 
Este paso nos ha permitido eliminar la tarea ficticia e inclusive el nodo 5, dejándonos 
un Diagrama Sagital con una flecha y un nodo menos. Usted se dará cuenta de que mientras 
menos flechas y nados, más fácil es de entender el diagrama. 
 
Ya tenemos una herramienta que nos permite conocer las secuencias y tiempos. 
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Cada flecha es una tarea y cada nodo un estado del proyecto. Así como la tarea A es el 
"estudio de los planos", diremos que el nodo 1 nos coloca en la situación de "planos ya 
estudiados". lo correcto es pensar en el nodo como algo estático (por ejemplo, una fo-
tografía]; mientras que la tarea deberá pensarse como algo dinámico (una película]. De aquí 
en más, y sabiendo que tan sólo una tarea puede unir dos nodos, designaremos a las tareas 
utilizando los dos nados que une. De este modo, la tarea A pasará a llamarse tarea 0-1, 
donde O es el nodo origen de la tarea y 1, el nodo destino. Cualquier secuencia de tareas 
encadenadas mediante precedencias, podrá ser definida como un camino. De este modo, 
para llegar del nodo O hasta el nodo 3 podremos hacerla utilizando el camino 0-1-2-3, el 
camino 0-1-3 o el camino 0-1-4-3. 
 
 
4.3. Método del Camino Crítico 
 
 
Pero si cree que el CPM es tan sólo esto, está Usted muy equivocado. Sobre la base 
del diagrama sagital, podremos ahora hacer un análisis acerca de los tiempos de las tareas. 
Para esto vamos a tener que introducir dos nuevos conceptos que nos permitan manejar con 
mayor comodidad las situaciones temporales de cada tarea. Estos dos conceptos son los 
siguientes a detallar. 
 
 
4.3.1. Fechas Tempranas y Tardías 
 
 
Fecha Temprana: 
 
Es el primer momento en que puede comenzar a realizarse una tarea. Esto implica 
que la fecha temprana deberá tener en cuenta que todas las tareas predecesoras hayan 
concluido. Teniendo esto claro, podremos decir que la fecha temprana de una tarea se 
encuentra sumando el tiempo del camino "más largo" a la· izquierda del nodo origen de la 
tarea en estudio. 
 
Cuando hablamos del camino más largo, nos referimos a aquél que más tiempo 
involucra. Practiquemos ahora, buscando las fechas tempranas del diagrama del ejemplo. 
Vamos a encuadrar las fechas tempranas dentro de cada nodo, en el cuarto inferior izquierdo. 
 
 
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Si observa con atención, verá que para que la tarea 3-6 pueda comenzar es necesario 
haber terminado con las tareas 1 - 2, 1-3 Y 1-4. Como el camino más largo para llegar hasta 
el nodo 3, el 0-1-2-3 que requiere cinco meses, en comparación con los caminos 0-1-3 Y 0-1-
43 que tan sólo requieren cuatro meses. Es por esto que la fecha más temprana para iniciar 
la tarea 3-6 es habiendo finalizado el quinto mes, lo cual implicará la finalización de todas las 
tareas que la preceden. Hay que destacar dos fechas tempranas muy importantes: la de los 
nados primero y último del proyecto. La primera siempre deberá ser el instante de tiempo 
cero, que implica el comienzo del proyecto. La segunda será la duración total del proyecto, en 
tanto no se produzcan demoras en su finalización, que será siempre el principal motivo de 
nuestra preocupación. 
 
Fecha Tardía: 
 
Es el último momento que puede comenzar una tarea, sin postergar la finalización del 
proyecto. Esto implica que el comienzo de cada tarea deberá permitir que las tareas 
subsiguientes no sufran demoras con respecto al tiempo de finalización de proyecto 
encontrado en el punto anterior. Para esto, empezaremos nuestro cálculo desde el último 
nodo y restaremos el tiempo del camino más largo hasta el comienzo de la tarea en estudio. 
 
 Practiquémoslo con el mismo ejemplo, poniendo estas fechas en el cuarto inferior 
derecho de cada nodo. 
 
 
 
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Podemos ahora observar varias cosas. Si nos detenemos en el nodo 1, veremos que 
su fecha tardía es 2, que es el menor de los valores de restar de los nodos 2, 3 ó 4, las 
duraciones de las tareas que los vinculan con el nodo 1. También se ve que las fechas 
tempranas y tardías siempre deben coincidir en el primer y el último nodo. Esto se debe a que 
lo único que hemos hecho, en realidad, no es otra cosa que sumar el camino más largo 
desde el primer nodo hasta el último, y luego restarlo del último nodo hasta el primero. 
 
Si analizamos toda la información que tenemos hasta ahora, veremos que conocemos 
cuáles son las tareas, cuáles son sus secuencias, cuáles son sus tiempos y cuándo es lo 
más temprano y más tarde que pueden comenzarse sin alterar la finalización del proyecto. 
¿Está usted satisfecho con el CPM? Tal vez, pero podemos sacarle más provecho aún. 
Todavía pretendemos que nos dé más información; entre otras cosas, el por qué de su 
nombre: “Método del Camino Crítico”¿Qué es el “Camino Crítico”? 
 
 
 4.3.2. Tareas Críticas – Determinación del Camino Crítico 
 
Es el camino de mayor duración en el tiempo. Es decir, es aquel camino o secuencia 
de tareas donde cualquier demora implicará postergar la finalización del proyecto. 
 
Esto nos confronta directamente con la siguiente pregunta: ¿hay tareas que pueden 
demorarse sin afectar la duración final total del proyecto? La respuesta es, que en la mayoría 
de los casos sí. Observe la tarea 1-6, por ejemplo. Su duración es de tres meses, pero desde 
en qué momento puede comenzar (que es finalizado el mes 2) y hasta en qué momento está 
obligada a terminar (que es finalizando el mes 9), tiene siete meses para ser realizada. Si tan 
sólo dura tres meses su ejecución, esto implica que le quedan cuatro meses de margen para 
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 Materia: Investigación Operativa 
Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
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demorarse en su comienzo sin retrasar para nada el proyecto total. Acabamos de 
introducir una nueva palabra a nuestro estudio: el margen. 
 
 
4.3.3. Márgenes 
 
Refiriéndonos a este tema en particular, deberemos entender distintos aspectos para analizar 
el margen de una tarea. 
 
Intervalo de Flotamiento 
 
Es el tiempo en que la situación planteada en el nodo puede mantenerse sin 
variaciones. Volviendo al ejemplo que pusimos en su momento, el tiempo en que la fotografía 
que vemos en el nodo no esté obligada a transformarse en una película. Se calcula restando 
las fechas tardías y tempranas en un nodo. Si analizamos elnodo 4, veremos que su intervalo 
de flotamiento es igual a 1. Esto implica que el statu quo planteado en el nodo, podrá 
mantenerse por un mes antes de comenzar las tareas subsiguientes. 
 
Margen Libre 
 
Es el tiempo que puede demorarse una tarea sin que las subsiguientes se enteren de 
ello. Se calcula restando las fechas tempranas de los nados origen y destino de una tarea, y a 
este valor se le resta, a su vez, la duración de la tarea. Por ejemplo, la tarea 1-3 tiene un 
margen libre igual a 1, que surge de restar las fechas tempranas de la tarea, es decir 5-2=3; 
ahora, a este valor se le resta la duración de la tarea, o sea 3-2= 1. Esto se interpreta de 
modo tal que si la tarea 1-3 se demora un mes, ninguna tarea se ve afectada. 
 
Margen Total 
 
Es el tiempo que puede demorarse una tarea sin afectar la duración total del proyecto. 
Se calcula haciendo la diferencia entre la fecha tardía del nodo destino y la fecha temprana 
del nodo origen de una tarea, y a este valor restándole la duración de la tarea. Observemos el 
margen total de la tarea 1-6. Restemos la fecha tardía del nodo 6 y la fecha temprana del 
nodo 1: 9-2=7. Ahora restémosle la duración. 7-3=4. Esto se interpreta como que la tarea 1-6 
puede demorarse cuatro meses sin afectar la duración total del proyecto. En muchos casos, el 
uso de este margen puede consumir el margen libre de otras tareas. En otras palabras, el uso 
del margen libre no afecta a otras tareas, mientras que el uso del margen total puede 
condicionar al resto. 
 
Aparece ahora un nuevo concepto, el de la tarea crítica, que es aquélla cuyo margen 
total es igual a cero. Es decir, una tarea crítica es aquella demora, hará retrasar la finalización 
del proyecto. Una tarea no crítica es aquélla que puede demorarse sin retrasar la finalización 
del proyecto, ya que tiene un margen total distinto de cero. La secuencia de tareas críticas no 
es otra cosa que el camino crítico, el cual, indefectiblemente, comenzará en el primer nodo 
del proyecto y terminará en el último. 
 
En base al ejemplo previamente analizado, busquemos el camino crítico. Para esto 
haremos una tabla donde presentaremos los márgenes libres y totales de las tareas. 
 
 
 
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 Tarea Margen Libre Margen Total 
0 - 1 0 0 
1 - 2 0 0 
1 - 3 1 1 
1 - 4 0 1 
1 - 6 4 4 
2 - 3 0 0 
4 - 3 1 1 
3 - 6 0 0 
6 - 7 0 0 
 
 
 
Vemos que las tareas, cuyo margen total es nulo y, por lo tanto conforman el camino 
crítico son las siguientes: 
 
 
0 - 1 ; 1 - 2 ; 2 - 3; 3 - 6; 6 - 7. 
 
 
 
Si resaltamos en el diagrama a estas tareas, podremos de un solo vistazo, 
saber qué tareas son prioritarias, pues cualquier demora en ellas implicará un retraso 
en el proyecto. 
 
 
En este caso, el camino crítico se ha remarcado con un color rojizo para que se 
destaque de los otros posibles caminos no críticos. Es, en definitiva el camino crítico uno de 
los aspectos centrales que tiene este método de diseño de procesos. 
 
 Todo el método completo, y de hecho como su nombre o indica, apunta a encontrar el 
camino crítico, es decir, el camino cuyo tiempo total debe sí o sí transcurrir como mínimo 
para que el proyecto completo quede terminado. 
 
Para mejor comprensión del diagrama, se ha colocado en la próxima página: 
 
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- 14 - 
 
 
 
 
Ahora el CPM, sí nos ha brindado un panorama de tareas, secuencias y tiempos, que 
nos permiten analizar cuáles son las tareas más comprometidas que deberán requerir una 
especial atención de nuestra parte. Sabemos también cuál es el margen de las tareas para el 
caso que sea necesario administrar algún tipo de demoras, como por ejemplo aquellas que se 
producen por escasez de recursos; en donde debemos decidir a quién le asignamos los 
recursos y qué tareas deberán esperar. 
 
Ya estamos en condiciones de plantear, bajo el enfoque de estas herramientas, la 
situación profesional en forma completa. Vamos a realizar todos los pasos completando las 
tareas que faltan en el ejercicio para que quede planteado de manera completa y concluyente. 
 
 
Ejercicio resuelto (completo) 
 
 
En la situación profesional, se le encomendó a usted organizar las tareas 
concernientes al “Proyecto Marianne”, de modo tal que se realizaran en forma adecuada 
(eficaz). Una vez que ya hemos detallado todos los conceptos necesarios para enmarcar el 
proyecto en la técnica CPM, vamos a ver cada paso de manera completa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Vamos ahora a completar el Diagrama de Gantt: 
 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
A 
 B 
 C 
 D 
 E 
 F 
 G 
 H 
 I 
 J 
 K 
 L 
 M 
 
 
Con este diagrama ya podemos apreciar que la duración total mínima del proyecto, en 
caso de no sufrir demoras, es de 14 meses. 
 
 Completemos ahora el diagrama sagital para ver el proyecto completo. En la próxima 
página, teniendo en cuenta el tamaño del diagrama correspondiente, hemos “apaisado” la 
hoja del texto para mayor claridad del esquema. 
 
 Nuestra recomendación es que se tome el tiempo necesario para verificar, calcular y 
desarrollar el diagrama en forma paralela al desarrollado y se pueda verificar que los valores 
calculados coinciden. 
 
En la página subsiguiente está desarrollada la tabla de tareas a realizar con los 
márgenes libres y totales, para que pueda comparar con el diagrama CPM visto. 
 
 
 
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Diagrama CPM completo con 
todas las actividades a planificar 
Proyecto Marianne 
 
 
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 Si observamos la tabla correspondiente a los márgenes de las tareas, presentada 
debajo de este párrafo, veremos que a partir de la tarea 6 - 7 todas las tareas son críticas. 
¿Sorprendido? No debe estarlo. En muchos casos los proyectos pueden tomar varios 
caminos críticos y, llegado el caso, ser todo el proyecto crítico. 
 
 
 Tarea Margen Libre Margen Total 
0 - 1 0 0 
1 - 2 0 0 
1 - 3 1 1 
1 - 4 0 1 
1 - 6 4 4 
2 - 3 0 0 
4 - 3 1 1 
3 - 6 0 0 
6 - 7 0 0 
7 - 8 0 0 
7 - 9 0 0 
7 - 10 0 0 
8 - 9 0 0 
9 - 11 0 0 
10 - 11 0 0 
11 - 12 0 0 
12 - 13 0 0 
 
 
 
Planteadas así las cosas,usted sabe que las únicas tareas en las que cuenta con 
margen son: “Contactar a los proveedores externos”, “Establecer las pautas de calidad” y 
“Realizar los nuevos sondeos de mercado”. El resto de sus tareas son críticas, y ahora sabe 
que las demoras en ellas implicarán la no finalización del proyecto en término. 
 
Cerrando el círculo que nos trajo hasta aquí, usted está en condiciones de conocer y 
administrar los tiempos desde un punto de vista de una eficaz gerencia y así concluir con 
éxito el proyecto. Por supuesto, la informática y los programas desarrollados para este fin son 
indispensables en la gestión eficiente de proyectos. También debe pensar que lo que para 
Usted es una tarea desde el punto de vista de la gerencia, es un proyecto para el 
departamento encargado de realizar dicha tarea. Desde esta óptica y con los programas 
adecuados, usted podrá gestionar sus proyectos con la colaboración de los departamentos, 
pudiendo tener desde una visión general hasta el máximo grado de detalle en el desarrollo de 
las tareas. 
 
 
 
 
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4.4. P.E.R.T. 
 
Introducción 
Los modelos más extendidos en cuanto a su aplicación en nuestro medio son PERT y CPM, 
y sus principales diferencias son: 
 
PERT CPM 
 
 
1. Es Probabilístico. 
2. Se basa en eventos. 
3. Orientado a quien controla. 
4. Se puede utilizar en proyectos de 
investigación. 
1. Es Determinístico. 
2. Se basa en actividades 
3. Orientado a quien ejecuta. 
4. Se puede utilizar para todo tipo de proyecto. 
 
En este momento es importante advertir las ventajas de los sistemas de trayectoria crítica 
(PERT / CPM ) sobre el sistema tradicional de barras (Gráfica de Gantt): 
 
VENTAJAS DE PERT Y CPM con respecto a DIAGRAMA GANTT 
1.Se puede conocer exactamente la secuencia de las actividades. 
 
2. Podemos analizar el efecto de cualquier atraso o adelanto de una actividad en 
relación al proyecto. 
 
3. Se pueden estudiar rápidamente diferentes alternativas. 
 
4. Podemos analizar todas las variables (tiempo, costos, recursos). 
 
5. Se pueden conocer cuáles son las actividades que sufriendo retrasos no 
modifican el proyecto. 
 
6. La efectividad del sistema es directamente proporcional al número de 
actividades; cuantas más actividades existan más detalles y más conocimientos del 
proyecto tenemos. 
 
7. Podemos visualizar todos los problemas y situaciones en el papel, antes que 
ellos ocurran en la realidad. 
 
 
 
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- 19 - 
Dos son los orígenes del método del camino crítico: el método PERT (Program 
Evaluation and Review Technique) desarrollo por la Armada de los Estados Unidos de 
América, en 1957, para controlar los tiempos de ejecución de las diversas actividades 
integrantes de los proyectos espaciales, por la necesidad de terminar cada una de ellas 
dentro de los intervalos de tiempo disponibles. Fue utilizado originalmente por el control de 
tiempos del proyecto Polaris y actualmente se utiliza en todo el programa espacial. 
 
El método CPM (Crítical Path Method), el segundo origen del método actual, fue 
desarrollado también en 1957 en los Estados Unidos de América, por un centro de 
investigación de operaciones para la firma Dupont y Remington Rand, buscando el control y la 
optimización de los costos de operación mediante la planeación adecuada de las actividades 
componentes del proyecto. 
 
Ambos métodos aportaron los elementos administrativos necesarios para formar el 
método del camino crítico actual, utilizando el control de los tiempos de ejecución y los costos 
de operación, para buscar que el proyecto total sea ejecutado en el menor tiempo y al menor 
costo posible. 
 
Con PERT la planificación es dinámica, completa y lógica las comunicaciones son más 
fáciles y las responsabilidades, más claras en todos los niveles de dirección. Gracias a PERT, 
los dirigentes de proyectos pueden evaluar los efectos de reajustes y cambios de planes que 
casi siempre surgen en el proceso de ejecución y también pueden tomar las decisiones 
adecuadas con la debida antelación. En consecuencia, PERT ayuda a definir las medidas a 
tomar para cumplir los objetivos del programa en los plazos designados. 
 
El desarrollo de PERT ha producido múltiples técnicas similares de programación por 
camino crítico (CPM), que han sido adoptadas para la planificación y el control de sistemas 
informáticos, costos económicos, recursos y mano de obra y casi cualquier variable en 
proyectos simples y múltiples, de acuerdo con las necesidades específicas de las empresas. 
 
PERT es la abreviatura de “Program Evaluation and Rewiew Technique ” o sea 
“Técnica de elaboración y control de programas”, técnica que fue creada en 1958 por la 
oficina de proyectos especiales de la marina estadounidense en colaboración con las 
empresas Lacead (de proyectiles balísticos) y Voz, Allen & Hamilton International, Inc. 
(ingenieros consejeros)para planear y controlar el complejo proyecto de concepción y 
construcción de los submarinos atómicos armados con los proyectiles balísticos “Polaris”. Se 
trataba de cumplir con este proyecto de gran envergadura en un determinado plazo 
controlando y coordinando con máxima eficiencia los esfuerzos de 250 empresarios, 9000 
subcontratistas y de numerosas agencias gubernamentales dispersas en todo el territorio de 
los EE UU. Aplicando el método PERT estos esfuerzos fueron bien integrados y los 
problemas potenciales descubiertos, previniendo las demoras posibles. En consecuencia, el 
proyecto fue cumplido y terminado dos años antes del plazo previsto. Este rotundo éxito ha 
suscitado una rápida propagación de aplicación del método PERT en proyectos de fuerzas 
armadas, instituciones gubernamentales y también industrias privadas. Sobre todo en este 
sector se ha comprobado que PERT incrementa considerablemente la eficacia de la 
planificación y el control de proyectos de toda clase, reduciendo la duración y el costo de 
estos últimos en un 20 % como término medio. 
 
 
 
 
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CPM, por su parte, fue desarrollado en 1957 por J. E. Kelly de Remington Rand y 
M.R. Walker de Dupont. Difiere de PERT principalmente en cómo se tratan detalle de tiempo 
y costo.de hecho, en la aplicación actual, las distinciones entre uno y otro modelo de red se 
han difuminado conforme las empresas han integrado las mejores características de cada 
uno, en sus propios esfuerzos por administrar eficientemente los proyectos. La aplicación de 
PERT y CPM tuvo un efecto positivo inmediato en la programación de proyectos, porque 
permitía la práctica de “administración por excepción”. Aunque en un proyecto pudiera haber 
involucradas 10.000 actividades, tal vez solamente 150 de ellas sería “críticas” y 
merecedoras de una vigilancia cercana. 
 
Para enviar un estadounidense a la Luna durante la era del proyecto Apolo, la aviación 
de Estados Unidos utilizó es método PERT para aportar su parte del proyecto con seis 
semanas de anticipación. Incluía más de 32.000 eventos y cientos de miles de actividades, 
pero sólo unos cuantos centenares necesitaron una vigilancia constante. 
 
El campo de acción de este método es muy amplio, dada su gran flexibilidad y 
adaptabilidad a cualquier proyecto grande o pequeño. Para obtener los mejores resultados 
debe aplicarse a los proyectos que posean las siguientes características: 
 
 Que el proyecto sea único, no repetitivo, en algunas partes o en su totalidad. 
 Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de él, en un tiempomínimo, sin 
variaciones, es decir, en tiempo crítico. 
 Que se desee el costo de operación más bajo posible dentro de un tiempo disponible. 
 Dentro del ámbito aplicación, el método se ha estado usando para la planeación y 
control de diversas actividades, tales como construcción de presas, apertura de 
caminos, pavimentación, construcción de casas y edificios, reparación de barcos, 
investigación de mercados, movimientos de colonización, estudios económicos 
regionales, auditorías, planeación de carreras universitarias, distribución de tiempos de 
salas de operaciones, ampliaciones de fábrica, planeación de itinerarios para 
cobranzas, planes de venta, censos de población, etc. 
 
Como en los módulos anteriores, iremos desarrollando ejemplos completos de forma 
tal que la teoría de los modelos gráficos y matemáticos vistos se vea reflejada 
inmediatamente en la aplicación práctica de los mismos. 
 
4.4.1. Concepto de tiempos aleatorios 
 
Como se indicó antes, la principal diferencia entre PERT y CPM es la manera en que 
se realizan los estimados de tiempo. El método PERT supone que el tiempo para realizar 
cada una de las actividades es una variable aleatoria descrita por una distribución de 
probabilidad. El método CPM por otra parte, infiere que los tiempos de las actividades se 
conocen en forma determinística y se pueden variar cambiando el nivel de recursos utilizados. 
 
La distribución de tiempo que supone el PERT para una actividad es una distribución 
beta de probabilidad ( nos interesa solamente desde el punto de vista gráfico que se ve en la 
próxima página). La distribución para cualquier actividad se define por tres estimados: 
 
 el estimado de tiempo más probable, m; 
 el estimado de tiempo más optimista, a; 
 
 
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 el estimado de tiempo más pesimista, b. 
La forma de la distribución se muestra en la siguiente Figura: 
 
 
 
 
 
 
 
El tiempo más probable es el requerido para completar la actividad bajo condiciones 
normales. Los tiempos optimistas y pesimistas dan la incertidumbre en la actividad, 
incluyendo desperfectos en el equipo, disponibilidad de mano de obra, retardo en los 
materiales y otros factores. 
 
 
4.4.2. Tiempos esperados 
 
Con la distribución definida, la media (esperada) y la desviación estándar, 
respectivamente, del tiempo de la actividad para la actividad Z puede calcularse por medio de 
las fórmulas de aproximación, la primera de ellas es: 
 
Tiempo esperado: te= (
 
 
 
 
 
El tiempo esperado de finalización de un proyecto es la suma de todos los 
tiempos esperados de las actividades sobre la ruta crítica. De modo similar, suponiendo 
que las distribuciones de los tiempos de las actividades son independientes (realísticamente, 
una suposición fuertemente cuestionable), la varianza del proyecto es la suma de las 
varianzas de las actividades en la ruta crítica. Estas propiedades se demostrarán 
posteriormente. 
 
En CPM solamente se requiere un estimado de tiempo. Todos los cálculos se hacen 
con la suposición de que los tiempos de actividad se conocen. A medida que el proyecto 
avanza, estos estimados se utilizan para controlar y monitorear el progreso. Si ocurre algún 
 
a = tiempo estimado optimista 
b = tiempo estimado pesimista 
m = tiempo estimado más probable 
 (tiempo medio) 
te = tiempo esperado de actividad 
 
 
 
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retardo en el proyecto, se hacen esfuerzos por lograr que el proyecto quede de nuevo en 
programa cambiando la asignación de recursos. 
 
METODOLOGÍA 
 
El Método PERT consta de los siguientes pasos: 
 
(son los conceptos de Planeación, Programación y Control, un poco más detallados ) 
 
1.- Definición del proyecto 
2.- Lista de Actividades 
3.- Matriz de Secuencias 
4.- Matriz de Tiempos 
5.- Red de Actividades 
6.- Costos y pendientes 
7.- Compresión de la red 
8.- Limitaciones de tiempo, de recursos y económicos 
9.- Ejecución y Control. 
 
DEFINICIÓN DEL PROYECTO 
 
En toda actividad a realizar se requieren conocimientos precisos y claros de lo que se 
va a ejecutar, es una etapa previa que se debe desarrollar separadamente y para la cual 
también puede utilizarse el Método del Camino Critico. 
 
LISTA DE ACTIVIDADES 
 
Es la relación de actividades físicas o mentales que forman procesos interrelacionados 
en un proyecto total. Se considera Actividad a la serie de operaciones realizadas por una 
persona o grupo de personas en forma continua, sin interrupciones, con tiempos de inicio y 
termino. Estas actividades sirven de base a las personas responsables de cada proceso para 
que elaboren sus presupuestos de ejecución. 
 
MATRIZ DE SECUENCIAS 
 
Existen dos procedimientos para conocer la secuencia de las actividades: 
a.- Por antecedentes 
b.- Por secuencias. 
 
MATRIZ DE TIEMPOS 
 
Se requieren tres cantidades estimadas por los responsables de los 
procesos: El tiempo medio o más probable(m), el tiempo óptimo u 
optimista(a) y el tiempo pésimo o pesimista(b). 
 
El tiempo medio (m) es el tiempo normal que se necesita para la ejecución de las 
actividades, basado en la experiencia personal del informador. 
El tiempo óptimo u optimista(a) es el tiempo mínimo posible sin importar el costo o 
cuantía de elementos materiales y humanos que se requieran; la posibilidad física de realizar 
la actividad en el menor tiempo. 
 
 
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- 23 - 
 
El tiempo pésimo o pesimista(b) es un tiempo mayor que puede presentarse 
ocasionalmente como consecuencia de accidentes, falta de suministros, retardos 
involuntarios, causas no previstas, etc. Debe contarse sólo el tiempo en que se ponga 
remedio al problema presentado y no debe contar el tiempo ocioso. 
 
Tiempo esperado: te= (
 
 
 
 
Desviación estándar : 
 
 
 
 
Se puede medir el tiempo en minutos, horas, días, semanas, meses y años, con la 
condición de que se tenga la misma medida para todo el proyecto. Los tiempos anteriores 
servirán para promediarlos mediante la fórmula PERT obteniendo un tiempo resultante 
llamado estándar (t) que recibe la influencia del optimo y del pésimo a la vez. 
 
Esto es, tiempo estándar igual al tiempo optimo, más cuatro veces el tiempo medio, 
más el tiempo pésimo, y esta suma dividida entre seis(6). Esta fórmula está calculada para 
darle al tiempo medio una proporción mayor que los tiempos optimo y pésimo que influyen. 
Esta proporción es de cuatro(4) a seis(6). Tanto la matriz de secuencias como la matriz de 
tiempos se reúnen en una sola llamada matriz de información, que sirve para construir la red 
medida. 
 
RED DE ACTIVIDADES 
 
Es la representación gráfica de las actividades que muestran sus eventos, secuencias, 
interrelaciones y el camino critico. No solamente se llama camino critico al método sino 
también a la serie de actividades contadas desde la iniciación del proyecto hasta su 
terminación, que no tienen flexibilidad en su tiempo de ejecución, por lo que cualquier retraso 
que sufriera alguna de las actividades de la serie provocaría un retraso en todo el proyecto. 
 
Se llama evento al momento de iniciación o terminación de una actividad. Se 
determina en un tiempo variable entre el más temprano y el más tardío posible, de iniciación o 
de terminación. 
 
A los eventos se les conoce también con los nombres de nodos. 
*Evento I-j: El evento inicial se llama i y el evento final se denomina j. El evento final de una 
actividadserá el evento inicial de la actividad siguiente. 
 
Al construir la red, debe evitarse lo siguiente: 
 
Dos actividades que parten de un mismo evento y llegan a un mismo evento. Esto 
produce confusión de tiempo y de continuidad. Debe abrirse el evento inicial o el evento final 
en dos eventos y unirlos con una liga. 
 
 
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- 24 - 
 
Partir una actividad de una parte intermedia de otra actividad. Toda actividad debe 
empezar invariablemente en un evento y terminar en otro. 
 (a) Incorrecto; (b) Correcto. 
 
 
 
No se pueden dejar eventos sueltos al terminar la red. Todos ellos deben relacionarse 
con el evento inicial o con el evento final. 
 
COSTOS Y PENDIENTES 
 
En este paso se solicitaran los costos de cada actividad realizada en tiempo estándar 
y en tiempo optimo. Ambos costos deben ser proporcionados por las personas responsables 
de la ejecución, en concordancia con los presupuestos ya suministrados por ellos. Dichos 
costos se deben anotar en la matriz de información. 
 
COMPRESIÓN DE LA RED 
 
El comprimir una red nos ayudará a determinar qué actividades serán las que se 
optimizarán en tiempo. 
 
LIMITACIONES DE TIEMPO 
 
Se debe determinar el tiempo normal de ejecución de la red y si no puede realizarse 
en el intervalo disponible, se deberá comprimir la red al tiempo necesario, calculando el costo 
incrementado. 
El tiempo óptimo de ejecución indicará si puede hacerse o no el proyecto dentro del 
plazo señalado. 
 
 
 
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- 25 - 
LIMITACIONES DE RECURSOS 
 
Es posible en cualquier proyecto se suscite el caso de tener recursos humanos o 
materiales limitados, por lo que dos actividades deben realizarse durante el mismo lapso con 
personal diferente o maquinaria diferente, no se pueda ejecutar y de esta manera no habría 
más que esperar que se termine una actividad para empezar la siguiente. 
 
LIMITACIONES ECONÓMICAS 
 
Se determinará el costo óptimo para conocer si se puede hacer el proyecto con los 
recursos económicos disponibles. Si hay la posibilidad de realizarlo, se buscará el tiempo total 
más favorable para las necesidades y objetivos del proyecto; en caso contrario pues 
simplemente el proyecto deberá esperar hasta tener los recursos económicos mínimos para 
poder realizarlo. 
 
EJECUCIÓN Y CONTROL DEL PROYECTO 
 
APROBACIÓN DEL PROYECTO: 
 
Cuando las personas que intervienen en la ejecución del proyecto están plenamente 
satisfechas con los tiempos, secuencias, costos y distribución de los recursos humanos y 
materiales, debe aprobarse el mismo. En este momento debe quedar terminado el programa 
de trabajo con lo siguiente: 
 
 La lista de actividades. 
 El presupuesto general. 
 Las especificaciones de actividad. 
 El señalamiento de puestos y responsabilidades y organización de mando. 
 La red de actividades. 
 Las condiciones limitantes de trabajo. 
 Los procedimientos de trabajo. 
 El equipo necesario. 
 Los planos y esquema de itinerario y de horario. 
 Las matrices de información. 
 
ÓRDENES DE TRABAJO: 
 
Luego, las órdenes de trabajo se elaboran con base a las especificaciones de 
actividad, condiciones limitantes, procedimientos de trabajo, equipo necesario y esquemas de 
proceso, itinerario y horario, así como ayuda de las matrices de información. En ellas deben 
darse las indicaciones precisas para que la actividad se realice por la persona o grupo de 
personas responsables, de acuerdo con los planos generales, en el tiempo, en la cantidad y 
de la calidad deseada. 
 
EJECUCIÓN Y CONTROL DE LOS PROCESOS 
 
En virtud de que cada uno de los procesos componentes del proyecto es conducido 
por distintas personas que tienen la responsabilidad de iniciar y terminar sus actividades a 
tiempo, es necesario que tengan su gráfica de control en donde puedan observar tanto el 
 
 
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- 26 - 
avance de su proceso como su rendimiento. En la parte superior de un esquema, se anotan 
las secuencias de las actividades muestran en dónde se encuentran las holguras totales, para 
que el responsable del proceso tenga una idea precisa de sus disponibilidades de tiempo. 
Necesitamos también un cuadro de avance del proceso con los siguientes datos sobre: la 
información original, Nº actividades informadas expresadas en tanto por uno; con la 
información anterior, considerar porcentajes, conversión y cálculos previos y total acumulado; 
continuando con las operaciones correspondientes. 
 
 
PROCEDIMIENTO DE EVALUACIÓN 
 
Cuando las actividades se adelantan en su ejecución a las fechas programadas, 
generalmente no modifican sus costos directos y en cambio sí disminuyen los costos 
indirectos. En términos generales podemos decir que benefician los resultados de los 
presupuestos al terminar las actividades antes de la fecha programada. También es sencilla la 
decisión para adelantar la actividad siguiente a aquella terminada con anticipación y sólo debe 
investigarse la posibilidad de hacerlo en cuanto a tener en ese momento los recursos 
humanos y materiales que se requieren. 
 
Tratándose de retardos, la evaluación y la decisión no son tan sencillas porque, por 
regla general, se modifican los costos, se trastornan las secuencias y se pierde la 
disponibilidad del tiempo, por lo que hay necesidad de tener un procedimiento de evaluación 
que permita determinar todas las consecuencias de un retraso en una actividad del proyecto. 
Los retrasos deben ser absorbidos por las holguras y en el caso de que no existan éstas, 
aquellos deben neutralizarse por medio de compresiones en las actividades. 
 
 
 
 
 Materia: Investigación Operativa 
Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
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4.4.3. Cálculo de Probabilidades 
 
 
Método P.E.R.T. - Problema resuelto 1 (completo) 
 
1. Dibujar el grafo o diagrama correspondiente, a partir de los datos que figuran 
en la tabla siguiente, referida a un proyecto de estudio en particular. 
2. Determinar el camino crítico. Calcular todos los tiempos esperados. 
3. Utilizando la Tabla de Distribución Normal (ver anexo 2), calcular la probabilidad 
de que el proyecto se termine en 35 días. 
4. Utilizando la Tabla de Distribución Normal (ver anexo 2), calcular el número de 
días necesarios para tener una certeza o probabilidad del 99% de cumplir lo 
estipulado en el proyecto. 
 
 
 
 
Actividad Predecesora Tiempo 
Optimista (a) 
Tiempo más 
probable (m) 
Tiempo 
pesimista(b) 
A - 6 8 10 
B A 3 7 15 
C - 20 25 38 
D A 5 10 11 
E B,C 4 6 10 
 
 
 
 
2. Calculamos todos los tiempos esperados y las varianzas para 
cada actividad: (se redondean los resultados) 
 
 
Actividad “A” 
 
te= (
 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
Actividad “B” 
 
te= (
 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 Materia: Investigación Operativa 
Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
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Actividad “C” 
 
te= (
 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
Actividad “D” 
 
te= (
 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
Actividad “E” 
 
te= (
 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Materia: Investigación Operativa 
Profesor: Ing. Pablo E. Godino- 29 - 
De acuerdo con el diagrama PERT/CPM se observan las actividades críticas en la 
siguiente tabla: 
 
Actividades críticas Duración (días) Varianza 
C 26 9 
E 6 1 
Ruta crítica 32 10 
 
La Desviación Estándar será: 
 
 = √ días 
 
4. Probabilidad de que el proyecto finalice en 35 días: 
 
El valor de “z” necesario para consultar la Tabla de Distribución Normal será: 
 
Z= 
 
 
 
 
 = +0,95 
 
Utilizando este valor, por tabla se obtiene una probabilidad del 83%. 
 
 
4. Cuántos días necesito para tener una certeza del 99% de que el 
proyecto estará terminado: 
 
Ingresamos al cuerpo de la Tabla de Distribución Normal (ver anexo 2) con el 
valor de probabilidad 0,99. 
Determinamos un valor de “z”=+2,35. 
 
Ahora, despejando el valor de “x” de la fórmula 
 
Z = (x-te) / σT se obtiene: 
 
X = Z. σT + te = (2,35 x 3,16) + 32 = 39 días 
 
Se puede extraer de esto la siguiente conclusión: se puede afirmar con un 99% de 
certeza que el proyecto estará listo en 39 días. O bien, si en plazo fuera de 39 días, 
habría un 99% de probabilidad de terminarlo a tiempo. 
 
 
 
 
 Materia: Investigación Operativa 
Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
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Método P.E.R.T. - Problema resuelto 2 (completo) 
 
 
1. Dibujar el grafo o diagrama correspondiente, a partir de los datos que figuran 
en la tabla siguiente, referida a un proyecto de estudio en particular. 
2. Determinar el camino crítico, calculando además las holguras o tiempos 
excedentes de cada actividad. 
3. Utilizando la Tabla de Distribución Normal (ver anexo 2), calcular la probabilidad 
de que el proyecto concluya en 150 días. 
4. Utilizando la Tabla de Distribución Normal (ver anexo 2), calcular el número de 
días necesarios para tener una certeza del 97% de cumplir lo estipulado en el 
proyecto. 
 
 
Tabla de Referencia para el proyecto (problema) en cuestión: 
 
 
Actividad Predecesora Tiempo 
Optimista (a) 
Tiempo más 
probable (m) 
Tiempo 
pesimista(b) 
A - 10 20 30 
B A 20 25 30 
C B 20 40 60 
D B 5 15 25 
E C 10 20 90 
F E 20 30 100 
G - 40 70 100 
 
 
A partir de las fórmulas siguientes hacemos los cálculos: 
 
Tiempo esperado: te= (
 
 
 
 
Desviación estándar : 
 
 
 
 
 
 
 
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Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
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Varianza: (
 
 
)
 
 
 
 
2. Tabla de Referencia para el proyecto con los cálculos: 
 
 
Actividad Predecesora 
Tiempo 
Optimista 
(a) 
Tiempo 
probable 
(m) 
Tiempo 
pesimista(b) 
Tiempo 
estimado 
Varianza 
A - 10 20 30 20 11,11 
B A 20 25 30 25 2,78 
C B 20 40 60 40 44,44 
D B 5 15 25 15 No crít. 
E C 10 20 90 30 177,78 
F E 20 30 100 40 177,78 
G - 40 70 100 70 No crít. 
 
 
 
2. Diagrama PERT – CPM 
 
 
 
 
 
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σT
2 = 11,11 + 2,78 + 44,44 + 177,78 + 177,78 = 413,89 
 
Varianza Total = se calcula como la sumatoria (Σ) de las varianzas de todas las 
actividades de la ruta crítica. 
 
σT = √ días (Desviación estándar total) 
 
 
3. Probabilidad de que el proyecto concluya en 150 días 
 
Calculamos el valor de “z” para introducir en la Tabla de Distribución Normal… 
 
Z = (x-te) / σT = 
 
 
 
 
Desde la tabla, el valor z = -0,25 corresponde a una probabilidad del 40%. 
 
 
4. Cantidad de días necesarios para tener certeza estadística de 
culminar el proyecto con un 97% de certeza o probabilidad 
 
 
Desde la Tabla de Distribución Normal (ver anexo 2), entrando con un valor de 
probabilidad del 97%, es decir buscando el valor más parecido a 0.97 (o a 0,47 según 
la tabla) para valores de “z” se obtiene un valor de Z = +1,9. 
 
Calculando “x” ahora despejándolo de la fórmula Z = (x-te) / σT se obtiene 
 
X = Z. σT + te = (1,9 x 20,34) + 155 = 194 días 
 
Se puede extraer de esto la siguiente conclusión: se puede afirmar con un 97% de 
certeza que el proyecto estará listo en 194 días. O bien, si en plazo fuera de 194 días, 
habría un 97% de probabilidad de terminarlo a tiempo.(¡no lo puede creer!) 
 
 
 
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CONCLUSIONES 
 
 Podemos concluir que tanto el método CPM como el método PERT son esencialmente 
lo mismo, sus matices hacen cada uno aplicable más que el otro en situaciones diferentes. En 
ambos métodos la información esencial deseada es la ruta crítica y las holguras. Estas, le 
permiten al director del proyecto hacer decisiones con base a información, basado en el 
principio de administración por excepción, sobre los planes y proyectos del trabajo actual y 
monitorear el progreso del proyecto. 
 
El PERT/CPM fue diseñado para proporcionar diversos elementos útiles de 
información para los administradores del proyecto. Primero, el PERT/CPM expone la "ruta 
crítica" de un proyecto. Estas son las actividades que limitan la duración del proyecto. En 
otras palabras, para lograr que el proyecto se realice pronto, las actividades de la ruta crítica 
deben realizarse pronto. Por otra parte, si una actividad de la ruta crítica se retarda, el 
proyecto como un todo se retarda en la misma cantidad. Las actividades que no están en la 
ruta crítica tienen una cierta cantidad de holgura; esto es, pueden empezarse más tarde, y 
permitir que el proyecto como un todo se mantenga en programa. El PERT/CPM identifica 
estas actividades y la cantidad de tiempo disponible para retardos. 
 
El PERT/CPM también considera los recursos necesarios para completar las 
actividades. En muchos proyectos, las limitaciones en mano de obra y equipos hacen que la 
programación sea difícil. El PERT/CPM identifica los instantes del proyecto en que estas 
restricciones causarán problemas y de acuerdo a la flexibilidad permitida por los tiempos de 
holgura de las actividades no críticas, permite que el gerente manipule ciertas actividades 
para aliviar estos problemas. 
 
Finalmente, el PERT/CPM proporciona la herramienta ideal para controlar y 
monitorear el progreso del proyecto. Tanto de empresas públicas, como privadas. lo que 
partió como un proyecto experimental hoy en día es de gran utilidad para miles de 
personas a nivel mundial. 
 
Hemos llegado al final de este módulo. Esperando que haya disfrutado del aprendizaje 
de estos temas, me despido cordialmente y le recuerdo que no está solo en esta tarea. 
Estamos para ayudarlo en lo que sea necesario. 
 
Un gran saludo.¡Éxito y adelante! 
 
Tu profesor. 
 
 
 
 
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Anexo 1: 
Términos Claves para PERT y CPM 
 
 PERT. Las traducción de las siglas en inglés significan: técnica de revisión y evaluación de 
programas, es una técnica de redes desarrollado en la década de los 50, utilizada para 
programar y controlar programas a realizar. Cuando hay un grado extremo de incertidumbre y 
cuando el control sobre el tiempo es más importante sobre el control del costo, PERT es 
mejor opción que CPM. 
CPM. La traducción de las siglas en inglés significan: método del camino crítico, es uno de 
los sistemas que siguen los principios de redes, que fue desarrollado en 1957 y es utilizado 
para planear y controlar proyectos, añadiendo el concepto de costo al formato PERT. Cuando 
los tiempos y costos se pueden estimar relativamente bien, el CPM puede ser superior a 
PERT. 
Actividad. Es un trabajo que se debe llevara cabo como parte de un proyecto, es simbolizado 
mediante una rama de la red de PERT. 
Lista de actividades. Es una lista cuidadosa y ordenada donde se recopilan todas las 
diferentes actividades que intervienen en la realización de un proyecto. 
Evento. Se dice que se realiza un evento, cuando todas las actividades que llegan a un 
mismo nodo han sido terminadas. 
Nodo. Son los círculos numerados que forman parte del diagrama de red y representan el 
principio y el fin de las actividades que intervienen en el proyecto. 
Rama. Son las flechas que forman parte del diagrama de red y significan las actividades en el 
proyecto. 
Ruta crítica o camino crítico. Camino es una secuencia de actividades conectadas, que 
conduce del principio del proyecto al final del mismo, por lo que aquel camino que requiera el 
mayor trabajo, es decir, el camino más largo dentro de la red, viene siendo la ruta crítica o el 
camino crítico de la red del proyecto. 
Predecesor inmediato. Es una actividad que debe preceder (estar antes) inmediatamente a 
una actividad dada en un proyecto, también nombradas prioridades inmediatas. 
Diagrama de red. Es una red de círculos numerados y conectados con flechas, donde se 
muestran todas las actividades que intervienen en un determinado proyecto y la relación de 
prioridad entre las actividades en la red. 
Actividad ficticia. Actividades imaginarias que existen dentro del diagrama de red, sólo con el 
propósito de establecer las relaciones de precedencia y no se les asigna tiempo alguno, es 
decir, que la actividad ficticia permite dibujar redes con las relaciones de precedencia 
apropiadas, se representa por medio de una línea punteada. 
 
 
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Holgura. Es el tiempo libre en la red, es decir, la cantidad de tiempo que puede demorar una 
actividad sin afectar la fecha de terminación del proyecto total. 
Distribución beta. Distribución utilizada para la estimación del tiempo de actividad esperado 
en el PERT, esta estimación se basa en el supuesto de que el tiempo de la actividad es una 
variable aleatoria cuya probabilidad tiene una distribución beta unimodal. 
Tiempo optimista. Es el tiempo mínimo o más corto posible en el cual es probable que sea 
terminada una actividad si todo marcha a la perfección, utilizado en el PERT y simbolizado 
con a. 
Tiempo más probable. Es el tiempo que esta actividad sea más probable que tome si se 
repitiera una y otra vez, en otras palabras, es el tiempo normal que se necesita en 
circunstancias ordinarias, utilizado en el PERT y simbolizado con m. 
Tiempo pesimista. Es el tiempo máximo o más largo posible en el cual es probable sea 
terminada una actividad bajo las condiciones más desfavorables, utilizado en el PERT y 
simbolizado con b. 
Tiempo esperado para una actividad. Es el tiempo calculado en el PERT usando el promedio 
ponderado (a+4m+b)/6. 
Tiempo normal. Es el tiempo en el CPM requerido para terminar una actividad si esta se 
realiza en forma normal. Es el tiempo máximo para terminar una actividad con el uso mínimo 
de recursos., el tiempo normal se aproxima al tiempo estimado probable en PERT. 
Tiempo acelerado. Tiempo en el CPM que sería requerido si no se evita costo alguno con tal 
de reducir el tiempo del proyecto. Tiempo mínimo posible para terminar una actividad con la 
concentración máxima de recursos. 
Costos directos. Son los costos de mano de obra, materiales y similares, asociados con el 
proyecto que varían directamente con el tiempo requerido para terminar el trabajo. 
Costos indirectos. Son los costos de administración en que se incurren durante la realización 
del proyecto. 
Costos contingentes. Se llaman costos contingentes a los costos en que se incurre por ser 
merecedor de las penalizaciones por terminar tarde o los bonos ganados por terminar antes 
de tiempo. 
PERT / Costo. Técnica de contabilidad de costo de proyectos, que permite la comparación de 
costos reales contra presupuestados, además, también permite comparar trabajo programado 
con trabajo terminado. PERT / Costo se puede definir como un sistema de administración de 
proyectos que mide y controla los costos mediante el uso de paquetes de trabajo. 
 
 
 
 
 
 
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Anexo 2: 
Tabla de Distribución Normal Estándar N (0, 1) 
Los valores de la tabla representan el área 
bajo la curva normal para un valor positivo de “z”. 
 
 
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7703 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7652 
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8930 
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 
 
 
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Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
- 37 - 
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 
1,7 0,9554 0,9561 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9934 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9901 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 
2,6 0,9953 0,9954 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 
3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 
3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 
3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 
3,4 0,9997 0.9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 
3,5 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999