Lectura 1 - Herram Matem IV _ Investigac Operativa (1)

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Materia: Investigación Operativa 
Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
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Lectura 1: INVESTIGACIÓN OPERATIVA 
Introducción - Programación Lineal 
 
 
1.1. INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA 
 
1.1.1. Reseña Histórica 
 
 La Investigación Operativa (IO) nace como disciplina orgánica, es decir, conjunto de 
conocimientos que tratan de resolver problemas de ciertas características, durante la 
Segunda Guerra Mundial. 
 
En 1937, en Gran Bretaña se reunió a un equipo de investigadores y científicos de 
diversas áreas del conocimiento para estudiar problemas estratégicos y tácticos relacionados 
con la defensa del país para poder determinar la forma más efectiva de utilizar recursos 
militares limitados. 
 
Debido al éxito alcanzado, EE.UU. inicia actividades similares aplicándolo a problemas 
logísticos complejos, patrones de vuelos de aviones, maniobras navales, etc. 
 
Al finalizar la guerra, personas relacionadas con IO se dieron cuenta que muchas de 
las técnicas y métodos utilizados para resolver problemas de índole militar, se podía aplicar a 
problemas industriales, como por ejemplo el control de inventarios y sistema de transporte. 
 
Si bien Inglaterra fue el iniciador de la IO como disciplina, fueron muy importantes las 
contribuciones hechas por investigadores norteamericanos, como por ejemplo el método de 
simplex de la programación lineal, desarrollado en 1947. 
 
En 1960 se establecieron programas académicos que ponían énfasis en esta área y 
los primeros asesores formales de IO comenzaron a aparecer en las organizaciones 
industriales a finales de esta década. 
 
Aunque al comienzo existieron inconvenientes para implantar estas técnicas, con el 
desarrollo tecnológico de las computadoras se ha ampliado el alcance y la magnitud de los 
problemas que resulta posible analizar. 
 
 
CONCEPTO DE Investigación Operativa 
 
Los problemas que resuelve la IO son problemas de decisión, que consisten en elegir 
un curso de acción entre varios según los objetivos pautados y/o maximizar o minimizar 
alguna variable del mismo. La IO es una forma de enfrentar la resolución de situaciones 
vinculadas al proceso de toma de decisiones y no simplemente un conjunto de técnicas, 
métodos y modelos particulares para resolver ciertos problemas. 
 
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 Materia: Investigación Operativa 
Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
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Es una disciplina (metodología) científica que a través de la aplicación de procesos y 
procedimientos ayuda a resolver problemas de índole cuantitativos que se presentan en las 
organizaciones. 
 
En un sentido más amplio, la IO es la aplicación de procedimientos, técnicas y 
herramientas científicas con el objeto de determinar y ayudar a evaluar soluciones. 
 
a la aplicación del método científico en el manejo se sistemas organizados, también se la 
conoce como “Investigación de Operaciones”. 
 
 Su objetivo, como hemos planteado, es determinar por métodos científicos el mejor 
curso de acción de un problema de decisión, sometido a restricciones. 
 
La Investigación Operativa trata de proveer a quienes manejan sistemas organizados, 
de objetivos y bases cuantitativas para las decisiones. No es una ciencia en sí misma, sino la 
aplicación de la ciencia y la técnica en la solución de los problemas directivos y 
administrativos. 
 
 Una característica destacada es la actuación de equipos interdisciplinarios, así como 
en una empresa la intervención de los distintos niveles de la misma en todas las etapas. 
 
 Como metodología, se utilizan modelos para representar y estudiar el problema de la 
realidad. 
 
 Se puede considerar la Investigación Operativa desde dos puntos de vista: como 
ciencia y como arte. 
 
 Como ciencia: se utilizan técnicas y algoritmos matemáticos, así como programas de 
computación. 
 Como arte: depende de la habilidad y creatividad de los analistas para la construcción 
del modelo, su validación e implementación. 
 
 
Vinculación con otras ciencias: 
 
 Matemáticas 
 Estadística 
 Lógica 
 Economía 
 Informática 
 
 
Cuando se habla de Investigación Operativa se está aludiendo a una disciplina que 
aporta para la resolución de problemas donde interviene un complejo conjunto de elementos 
materiales y humanos. A estos problemas se los suele denominar: fenómenos de 
organización. 
 
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Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
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Los fenómenos de organización, se caracterizan porque contienen elementos 
materiales y humanos que, entre sí, mantienen relaciones y donde es preciso adoptar una 
decisión que producirá ciertos resultados. 
Por ejemplo, una empresa fabrica un conjunto de productos (o servicios) determinados 
mediante la utilización de máquinas y obreros. En este sistema queremos adoptar una 
decisión, como ser: incrementar la producción de un artículo o incorporar uno nuevo. Esto 
provocará una serie de ajustes y por otro lado producirá un resultado que podrá estar medido 
por un costo o por un beneficio. La Investigación Operativa aporta elementos que permiten 
efectuar un estudios analítico de este tipo de problemas para evaluar las consecuencias de 
las decisiones y posibilitar que se adopte ella que mejor resultado produzca. 
 
Esto no significa que todo problema pueda ser abordado y resuelto por la Investigación 
Operativa, sino que, mediante esta disciplina, se han ido sistematizando los problemas que 
presentan características similares y se han desarrollado técnicas conducentes a su 
resolución. Por ejemplo, problemas de administración de inventarios, de asignación de 
recursos, de reemplazo de equipos, de elección de alternativas de inversión, etc. Casos para 
los que nuestra materia provee elementos útiles para su resolución y la adopción de la 
decisión más conveniente. 
 
 En todos estos problemas está siempre presente un elemento que es el conjunto de 
las restricciones, el que configura las limitaciones a las cuales debe ajustarse cualquier 
decisión que se adopte. Este aspecto es consecuencia del factor económico subyacente en 
la toma de decisiones y que obliga a operar con recursos escasos. Así es como advertimos 
que el estudio de los procesos de decisión, constituye un tópico central dentro del análisis de 
los temas que comprende la Investigación Operativa, ya que la necesidad de adoptar una o 
más decisiones es tarea habitual en tales problemas. 
 
 La característica de estas decisiones es que deben seleccionarse entre un conjunto 
de múltiples posibilidades que pueden incluso ser infinitas y, entre ellas deben escogerse, la 
(o las) que es (son) más apropiada (s). Se trata del aspecto que también se denomina 
combinatorio de los problemas de decisión. 
 
 
EL CONCEPTO DE SISTEMA – La empresa como un SISTEMA – 
MODELOS DE SISTEMAS 
 
 En Investigación Operativa los términos “MODELOS” y “SISTEMAS” están muy 
relacionados. 
 
Un sistema es un conjunto de elementos con ciertas cualidadese interrelacionados, lo 
que implica influencias mutuas entre los mismos. 
 
Los problemas que resuelve la IO están inmersos en un sistema y dada la complejidad 
de estos sistemas reales, lo que se pretende es crear un sistema abstracto que sea una 
versión simplificada y por lo tanto incompleta del real, sobre el que se pueda trabajar 
obteniendo conclusiones que sean válidas también para el sistema real. Este sistema 
abstracto es lo que se denomina modelo, pero al crear este modelo se debe evitar eliminar 
elementos o relaciones que sean fundamentales. 
 
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1.1.2. Modelos Matemáticos ó formales 
Problemas determinísticos y estocásticos 
 
 
MODELOS - Generalidades 
 
 
Un modelo es una representación simplificada e idealizada de la realidad. 
 
Un modelo es una abstracción selectiva de la realidad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como ejemplo, un modelo que representa la distancia recorrida por un cuerpo en 
caída libre (d) está dado por la siguiente fórmula matemática: 
 
 d = ½ g t2 
 
Siendo g la aceleración de la gravedad y t el tiempo trascurrido. Es una representación 
selectiva de la realidad, ya que características como la masa, el peso, la forma, la textura, 
etc., no son tomadas en cuenta y se enfoca únicamente en la relación entre el tiempo y la 
distancia. A pesar de su simplicidad, es un modelo sumamente útil y práctico que no perdió 
vigencia a pesar de la evolución de la ciencia y de las nuevas tecnologías. 
 
Modelos de decisión: “Resume” un problema de decisión, para que permita identificar y 
evaluar en forma sistemática todas las opciones de decisión del problema. 
 
Componentes básicas: 
 Variables de decisión: controladas por el decisor. Representan magnitudes o 
cantidades como pesos, horas, personal, unidades de producción, etc. 
 Objetivo: cantidad usada para medir la efectividad de un apolítica determinada y se 
expresa como una función de las variables de decisión. 
 Restricciones del problema: condiciones que deben cumplir las variables de decisión 
para obtener una solución aplicable. 
 
 
 
 
Sistema real 
supuesto 
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La selección de una decisión equivale a determinar valores numéricos de las variables de 
decisión. Las decisiones están basadas en una evaluación de datos numéricos. 
 
Los modelos evalúan datos numéricos y proporcionan 
 datos numéricos adicionales. 
 
 
TIPOS DE MODELOS 
 
 Según la disponibilidad de datos: 
 
 Modelos determinísticos: cuando todos los datos relevantes se conocen con certeza 
 Modelos probabilísticos o estocásticos: Cuando algunos (o todos los) datos se 
consideren inciertos, aunque debe especificarse la probabilidad asociada a tales 
datos. 
Según el tipo de cálculo: 
 
 Modelos matemáticos: en los que tanto el objetivo como las restricciones del sistema 
se pueden expresar en forma cuantitativa o matemática como funciones de las 
variables de decisión. En general, cálculos de tipo iterativo. 
 Simulación: más complejo, en donde se divide el sistema en módulos básicos o 
elementales que se enlazan con relaciones lógicas. 
 Modelos heurísticos: basados en reglas o métodos prácticos que llevan a una “buena” 
(no necesariamente óptima) solución. 
 
 
Sabemos que en las ciencias naturales desempeñan un papel importante los 
modelos, constituidos por experimentos realizados en condiciones tales que permiten deducir 
las relaciones básicas de casualidad que determinan el comportamiento de los diferentes 
fenómenos de esas disciplinas. En este sentido tenemos que el químico, por ejemplo, puede 
efectuar su labor a través de la elaboración de experimentos consistentes en desarrollar su 
investigación en condiciones reducidas pero exactamente equivalentes en todos sus aspectos 
a lo que es realidad. De esta forma, si el investigador desea conocer cuál es la resultante de 
la combinación de dos elementos cualesquiera, puede averiguarla mediante la realización de 
un experimento donde combine dichos elementos y obtenga el resultado que luego podrá 
analizar directamente. Este es un modelo para las ciencias naturales. Lo mismo sucede en la 
Física, donde la resultante de un cierto fenómeno, puede ser estudiada mediante la 
reproducción de aquél, en condiciones muy cercanas a lo que es la realidad. 
 
 Este método de investigación, tan vastamente aplicado en las ciencias naturales, ha 
permitido enormes progresos, facilitado siempre por las ventajas que otorga poder estudiar, a 
través de las reproducciones empíricas, el comportamiento de los procesos naturales y, a 
partir de los mismos, deducir las relaciones básicas que los gobiernan y las relaciones de 
causalidad existentes entre sus diferentes partes. 
 
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 Así es como el estudio empírico de los fenómenos ha permitido desarrollar el análisis 
experimental y, al mismo tiempo, esas elaboraciones has servido para nuevos desarrollos 
teóricos que posibilitaron las construcciones lógicas y formales que hoy constituyen el asiento 
de estas ciencias. 
 
 En general, entonces, vamos a considerar como ejemplos de modelos de las ciencias 
naturales a cualesquiera de los múltiples experimentos que conocemos en estas disciplinas. 
Así, para citar los modelos más destacados que se han elaborado en este siglo, señalamos 
que uno es el del átomo, el cual ha constituido la base de las investigaciones y 
descubrimientos posteriores que llevaron a la bomba atómica, por ejemplo, y a todos los 
desarrollos ulteriores.Un modelo clásico de la época antigua, es el Sistema Solar, elaborado por Copérnico 
que sucedió al anterior modelo tolemaico de explicación del funcionamiento del sistema de 
planetas. 
 
 También en las ciencias sociales ha sido motivo siempre de preocupación de parte de 
los investigadores, lograr la reproducción de fenómenos en condiciones de experimentación 
que permitan su estudio, análisis y deducción de las leyes principales que los gobiernan, para 
que, partiendo de esas investigaciones, se puedan efectuar todos los desarrollos y 
elaboraciones teóricas posibles. Esto significa que en el campo de estas ciencias, la 
preocupación por la construcción de modelos ha sido un motivo latente, o una inquietud 
permanente en el ánimo de los investigadores. 
 
El problema radica en que las ciencias sociales, la experimentación no siempre es 
posible llevarla a cabo. Esto es por la misma naturaleza de los fenómenos que acontecen en 
este campo, a tal punto que resultaría prácticamente imposible construir mediante un 
experimento, por ejemplo, un sistema económico donde podamos analizar y ver cuál es el 
comportamiento o reacción de los diferentes sectores de la economía, ante determinados 
incentivos o medidas. Tampoco sería posible, aún en el plano de la microeconomía, llegar a 
desarrollar un modelo que nos reproduzca acabadamente la reacción que tendría la 
competencia, o los competidores de una empresa, frente a ciertas o determinadas políticas 
que se adopten. 
 
No obstante estas limitaciones en el campo económico-social, los ensayos, trabajos e 
investigaciones realizados, han permitido establecer que existe para muchos aspectos de las 
ciencias sociales, la posibilidad de llevar a cabo este tipo de construcciones teórico-empíricas 
que denominamos modelos. Claro que la validez que pueden tener, está siempre sujeta a un 
carácter mucho más relativo del que poseen para el campo de las ciencias naturales. En este 
aspecto, digamos que esta imposibilidad de llegar a producir un fenómeno social en 
condiciones exactamente iguales a la realidad, ha hecho que la elaboración de estos 
modelos, deba apoyarse en un aspecto que cobra gran importancia dentro de la formulación 
de los modelos y es el de las hipótesis o supuestos de trabajo. 
 
El investigador se ve así precisado a plantear o establecer ciertos supuestos en torno 
a algunos aspectos de la realidad que está estudiando, de lo contrario, la propia naturaleza 
sumamente compleja y dinámica de estos fenómenos impediría cualquier construcción 
teórica-empírica que pueda explicarla. Los supuestos que cobran una importancia relevante 
dentro del modelo, permiten realizar todos los desarrollos y obtener conclusiones sobre la 
realidad estudiada, pero deberá tenerse en cuenta que estas últimas están siempre referida 
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a las hipótesis de trabajo adoptadas y tienen validez en tanto y en cuanto dichas 
hipótesis se verifiquen. 
 
En torno a los modelos, digamos también que es importante considerar algo ya 
mencionado, y es que se trata de construcciones teórica-empíricas. 
 
Esto significa que en su formulación se tienen en cuenta las relaciones que la teoría 
indica y que, por el carácter empírico, sus principales aspectos son extraídos de la realidad 
bajo estudio. 
 
Digamos además que en todo el proceso de construcción de los modelos hay un 
elemento muy importante que desempeña un papel fundamental, como herramienta de 
apoyo. Se trata de las matemáticas, que proveen el instrumental necesario para plantear, con 
todo el rigor propio de estas disciplinas, las relaciones que se necesitan para representar una 
determinada realidad. De esta forma, los modelos pueden ser representados utilizando el 
poderoso herramental de la lógica simbólica, que facilita enormemente la búsqueda de 
soluciones y la interpretación de resultados. 
Así es como podemos decir entonces que los modelos son construcciones 
teórico-empíricas resultantes de la aplicación de cierta teoría y la observación de una 
determinada realidad, sobre la base de la adopción de supuestos de trabajo o hipótesis 
con lo que se trata de representar un determinado fenómeno. 
 
En otra etapa habrá que verificar si el modelo refleja adecuadamente o no la realidad 
que se intenta representar. Es el momento de la contrastación de las hipótesis y las 
relaciones empíricas. Se trata de un paso fundamental destinado a establecer si, en definitiva, 
el modelo es útil o no para el objetivo al que está destinado. 
 
 
OTRA CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS 
 
 Un modelo puede ser: 
 
 MENTAL O IMPLÍCITO 
 EXPLÍCITO 
o VERBALES 
o FÍSICOS 
o FORMALES O MATEMÁTICOS 
 
Modelo Mental o Implícito: es el que crea el ser humano en su mente para poder resolver 
un problema planteado, utilizando normalmente la intuición. 
 
Modelo Explícito: es la representación del modelo mental, logrando una mejor definición y 
que se los pueda comunicar y criticar. 
 
Modelo Verbal: describe el sistema a través del lenguaje corriente, ya sea escrito u oral. 
El inconveniente de este tipo de modelos es que es poco preciso y no adecuado cuando se 
tiene que explicar la interacción de muchos factores. 
 
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Modelo Físico: representa el sistema a estudiar por medio de objetos naturales o 
artificiales, como sería un modelo a escala hecho por un diseñador. Son pocos utilizables. 
 
Modelos Matemáticos o formales: se elaboran usando símbolos matemáticos para 
representar los distintos componentes del problema y son los más utilizados en relación a la 
toma de decisión. 
 
Las letras o símbolos representan variables (cantidades que no tienen un valor 
constante), parámetros (cantidades constantes que se presentan dentro del modelo) 
operaciones y relaciones que vinculan entre sí a dichos elementos. 
 Las variables nodeben ser necesariamente numéricas y las relaciones pueden ser de 
cualquier naturaleza. 
 
 
Relaciones en los Modelos Formales o Matemáticos 
 
 
1) Relaciones de comportamiento: ponen de manifiesto la manera de actuar, por lo 
general, de los seres humanos dentro del sistema que se pretende imitar, como por 
ejemplo la función oferta y demanda. 
2) Relaciones institucionales y/o legales: son los que se establecen entre las 
variables por leyes, decretos o reglamentos establecidos por las organizaciones que 
pertenecen al sistema, por ejemplo el porcentaje que se debe mantener disponible de 
los depósitos de terceros dentro del mercado financiero, relacionando de esta forma 
los depósitos de terceros dentro del mercado financiero, relacionando de esta forma la 
disponibilidad promedio de la entidad financiera durante un período, el volumen 
promedio de depósitos de terceros en dicho período y el coeficiente fijado por el BCRA 
(efectivo mínimo) 
3) Relaciones tecnológicas: surgen cuando se aplica una determinada tecnología 
dentro de una estructura productiva. Por ejemplo el activo total es igual al pasivo total 
más el patrimonio neto. 
4) Relaciones de definición e identidades: se platean cuando se define un concepto a 
través de vinculaciones con otros, por ejemplo el activo total es igual al pasivo total 
más el patrimonio neto. 
5) Relaciones de equilibrio: son aquellas que se imponen dentro del sistema para 
analizar qué ocurre cuando se logra esta situación de equilibrio dentro del mismo o 
qué se debe llevar a cabo para que el sistema tienda a esta situación. Por ejemplo 
decimos que el mercado está en equilibrio cuando la oferta es igual a la demanda. 
6) Relaciones de objetivo: representan la finalidad a la que se debe o se desea llegar, 
por ejemplo el nivel máximo de producción fijado por la empresa. 
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CLASIFICACIÓN DE LAS VARIABLES 
 
 
 
 Objetivo 
 Endógenas 
 
 No objetivo 
Variables 
 
 Controlables 
 
 Exógenas 
 
 
 No controlables 
 
 
 
 Variables endógenas: son aquellas que forman parte del sistema y por lo tanto sus 
valores se determinan en función de la relación que existe con las restantes 
variables y con las variables exógenas. 
 Variables exógenas: sus valores se determinan fuera del sistema. 
 Variables endógenas objetivo: son aquellas a las cuales se les fija una condición 
que debe cumplir el sujeto que toma la decisión, por ejemplo que sean mayor o 
menor a un valor previamente fijado, que sea máximo o mínimo. 
 Variables endógenas no objetivo: no se les impone ninguna condición. 
 Variables exógenas controlables: su valor puede ser determinado por el sujeto que 
toma la decisión, por ejemplo en una explotación agrícola, la superficie destinada a 
cada cultivo, la cantidad de semillas a sembrar. 
 Variables exógenas no controlables: no interviene el sujeto decisor, por ejemplo la 
inflación, la sequía. 
 
 
METODOLOGÍA CIENTÍFICA EN EL ANÁLISIS DE LOS PROBLEMAS 
DE DECISIÓN 
 
La metodología de estudio para el análisis de los problemas de decisión, como ya hemos 
señalado, es el aspecto en torno al cual gira toda la Investigación Operativa. Comprende las 
siguientes etapas: 
 Planteamiento del problema: consiste en enunciar correctamente cuál es el 
problema que queremos explicar, es decir, señalar con toda precisión cuál es la 
pregunta a la que debemos dar respuesta con el estudio de la realidad, que 
llevaremos a cabo. 
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 Materia: Investigación Operativa 
Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
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 Análisis de los hechos: significa realizar un estudio de la realidad para extraer de la 
misma todos los elementos que puedan servirnos para formular nuestras hipótesis de 
trabajo y plantear las relaciones básicas con las cuales luego trabajaremos. 
 
 Construcción propiamente dicha del modelo y su análisis: se trata de establecer 
de forma matemática todas las relaciones que nos interesan y que serán planteadas 
teniendo en cuenta las hipótesis adoptadas en base al análisis de los hechos y las 
preguntas a las que debemos responder, según el planteamiento del problema. Aquí la 
teoría cumple un papel fundamental en tanto que nos permitirá respaldar aquellas 
elaboraciones que realicemos. 
 
 
 Control de las hipótesis: significa extraer a examinar si las hipótesis adoptadas 
verdaderamente responden a la realidad en estudio, pues de lo contrario, el modelo no 
va a explicar de ninguna manera esa realidad y mientras esas hipótesis se encuentren 
alejadas de aquellas, menos útil será el modelo para explicar dicha realidad. Es 
importante destacar que éste es un aspecto fundamental, porque puede llegar a ser un 
modelo muy interesante, realizado con elaboraciones de muy avanzada matemática, 
pero si sus supuesto previos se alejan demasiado de lo que la observación empírica 
de la realidad revela, nos encontramos con que ese modelo pasa a ser una simple 
elaboración o construcción teórica sin ninguna aplicación práctica. 
 
 Crítica y presentación de las conclusiones: una vez elaborado el modelo y 
resueltos todos los aspectos que nos interesan deducir del mismo, corresponde entrar 
a la crítica, consistente en analizar detenidamente las conclusiones obtenidas y ver si 
se corresponden de alguna manera con la realidad en estudio, a la luz de las hipótesis 
adoptadas. Las conclusiones del modelo serán las que, teniendo en cuenta los 
objetivos que se persiguen, han de permitir después escoger las decisiones que nos 
interesan. Entonces, las conclusiones del modelo unidas a los objetivos, determinan 
las decisiones o políticas a seguir. 
Digamos por otra parte, que con ello no acaba el estudio, porque además debe darse 
un seguimiento permanente del modelo para tratar de averiguar constantementesi las 
políticas adoptadas, teniendo en cuenta las conclusiones del modelo, conducen a los 
resultados esperado o bien se manifiestan desviaciones respecto a la realidad. 
 
En ese sentido, se presenta la necesidad de llevar a cabo lo que se denomina el 
control administrativo del modelo, que permitirá introducir los correctivos del caso 
cuando se observe que el modelo no está respondiendo correctamente, según lo que 
se esperaba del mismo. Ello será un indicio de que en el modelo deben introducirse 
correctivos para que éste refleje la realidad que se pretende representar muestre 
fehacientemente las reacciones probables ante determinadas decisiones. 
 
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 Materia: Investigación Operativa 
Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
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1.1.3. Alcance de la INVESTIGACIÓN OPERATIVA 
 
USO E IMPLEMENTACIÓN DE MODELOS EN LA EMPRESA 
 
En el diagrama siguiente se detallan las fases de un estudio de IO, así como la 
interacción entre el modelo y el administrados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Importante: 
 
 La solución óptima del modelo puede ser o no una buena respuesta en el contexto 
real. 
 El modelo no sustituye la experiencia, el criterio o la intuición del administrador. 
 Un aspecto de su rol consiste en evaluar el modelo mismo. 
Definición del problema 
(identificación de variables, 
objetivo y restricciones) 
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Construcción del modelo 
 
 
Solución del modelo 
(análisis de sensibilidad) 
 
 
Validación del modelo 
(criterio del administrador) 
 Revisión 
del modelo 
Implementación 
 del modelo 
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 Materia: Investigación Operativa 
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Jerarquía de modelos en la empresa: 
 
 Mayores niveles: proporcionan datos e información, no decisiones. Se utilizan como 
herramientas de planeación estratégica. 
 Menores niveles: generalmente producen decisiones. Los elementos que conforman el 
modelo (variable, objetivo y restricciones) son más claros y fácilmente cuantificables. 
 
En la empresa, se utilizan para definir políticas de tipo: 
 
 Financieras 
 Organizativas 
 Comerciales 
 Producción 
Siendo los objetivos buscados: 
 
 Beneficios 
 Manejo de costos y tiempos 
 Expansión volumen de venta 
 Mercado 
Funciones del Departamento de Investigación Operativa: 
 
 Planificar 
 Proponer mejoras 
 Informar para proyección futura 
Ejemplo de aplicaciones (largo plazo): 
 
 Elaboración de presupuestos 
 Ubicación de plantas 
 Estrategia de mercado 
 Estrategia de inversiones 
 
 
Ejemplo de aplicaciones (corto plazo): 
 
 Programación de la producción y de la fuerza de trabajo 
 Administración de inventarios 
 Programación de máquinas 
 Control de vuelos 
 Diseño de productos 
 Selección de medios 
 Estimación estadística 
 Mezcla de productos 
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 Materia: Investigación Operativa 
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 Distribución de gastos 
 Programación de proyectos de construcción 
 
El campo para los analistas de investigación de operaciones fue de 57,000 empleos en 
1990 solamente en Estados Unidos. Los servicios de un “Analista de Operaciones” se 
requieren en la mayoría de las industrias. Las empresas que más necesitan los servicios de 
un analista de investigación de operaciones son las manufactureras de químicos, maquinaria 
y equipo de transporte; empresas que proveen servicios de transporte y telecomunicaciones; 
bancos; agencias de seguros; empresas de servicios públicos; y agencias gubernamentales 
de todos los niveles. Algunos analistas trabajan en agencias de consultoría administrativa que 
desarrollan aplicaciones de investigación de operaciones para empresas que no tienen 
personal de este tipo. 
Se estima que la demanda y las oportunidades de trabajo para los analistas de 
investigación de operaciones ha crecido mucho más rápido que el promedio de las 
ocupaciones desde el año 2000 debido a la importancia que está cobrando el análisis 
cuantitativo en la toma de decisiones y la cada vez mayor disponibilidad de recursos 
computacionales. 
 
Cada vez más organizaciones están usando técnicas de investigación de operaciones 
para mejorar la productividad y reducir los costos. Además, hoy en día se pueden encontrar 
computadoras con las capacidades requeridas para correr aplicaciones de investigación de 
operaciones a muy bajos costos. Esto permite que hasta las empresas pequeñas se interesen 
por la investigación de operaciones. Esta tendencia estimulará en gran medida la demanda de 
analistas de investigación de operaciones en los próximos años. 
 
El mayor crecimiento de las actividades de Investigación de Operaciones está 
ocurriendo en los sectores de transporte, manufactura, finanzas y servicios. Las empresas en 
estos sectores reconocen que el análisis cuantitativo puede ocasionar mejoras sustanciales 
en la eficiencia operativa y las utilidades. Cada vez más aerolíneas, por ejemplo, están 
usando investigación de operaciones para determinar la calendarización óptima de vuelos y 
mantenimiento, seleccionar las mejores rutas de servicio, analizar las características de los 
clientes, y controlar el consumo de combustible, entre otras cosas. Las cadenas de moteles 
están comenzando a utilizar la investigación de operaciones para mejorar su eficiencia. Por 
ejemplo, analizan los patrones de tráfico de automóviles y las actitudes de los clientes para 
determinar la localización, tamaño y estilo de los nuevos moteles. 
 
 
¿Cuáles son las ideas que pueden ayudarme en la Investigación de 
Operaciones? 
 
 
Enmarcar el problema 
 
Para resolver un problema, primero se lo debe “enmarcar”; es decir, se necesita tener 
una manera organizada de abordarlo. Por ejemplo si consideramos la forma en que un 
mecánico bien entrenadotrata el caso de un automóvil que no arranca sabe que si éste no 
arranca es porque le falta nafta o chispa de encendido. Un buen mecánico es aquel que 
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puede determinar la acción apropiada con rapidez y eficacia (quizá reemplazar un fusible) 
para obtener el resultado deseado. 
 
Como futuros gerentes, administradores, ingenieros, etc.… ustedes mismos tendrán muchas 
oportunidades de tomar decisiones para obtener los resultados deseados. En esos casos 
necesitarán enmarcar su problema. 
 
La optimización restringida y la toma de decisiones bajo riesgo son dos marcos 
importantes y útiles para una amplia variedad de problemas. En los libros de texto se 
presentan como modelos matemáticos, junto con los procedimientos (algoritmos) para 
solucionarlos. En estos caso, más que en las propias matemáticas, necesitará la habilidad 
para enmarcar. Sin embargo, no es posible simplemente describir los marcos y suponer que 
la gente los usará de forma correcta. Se debe comprender muy bien cómo se crean los 
modelos y las relaciones entre las decisiones y los resultados, antes de que logren utilizar los 
marcos intuitivamente. Tiene que aprender sobre los modelos y las formas de usarlos en 
diversas situaciones ante de aplicarlos por sí mismos. Se necesita práctica. 
 
Escepticismo saludable 
 
Es importante ser escéptico. Hay que aprender a cuidarse de los expertos, de las soluciones 
proporcionadas por los modelos y, desde luego, de las propias intuiciones. Nuestro socios 
más valiosos son aquellos que dicen “¡No pueden estar en lo cierto! Si fuera así entonces 
sabríamos que la condición siguiente tendría que ser cierta y obviamente no lo es, por lo tanto 
están equivocados”. El trabajo con modelos de optimización ensancha su habilidad parea 
analizar y estudiar a fondo la ruta, desde las superposiciones hasta las conclusiones. Las 
Tareas para Diagnóstico serán diseñadas especialmente para demostrar este concepto. Si se 
desea encontrar una buena solución, es primer paso es hacer la pregunta correcta. Se tendrá 
entonces la oportunidad de trabajar en el desarrollo de esta habilidad. 
 
Concepto de costo 
 
Fijo, marginal, de oportunidad. Sí, todos hemos estudiado estos conceptos de costo en 
contabilidad y economía. Sin embargo, responder correctamente las preguntas sobre costos 
que vienen en los exámenes de estos cursos y utilizar los mismos conceptos en la práctica 
con eficacia son dos cosas distintas. En este texto, los enfoques se basan, primero en la 
asignación de costos e ingresos a situaciones individuales y, después, en el uso de la 
matemáticas para encontrar buenas estrategias. En este caso resulta crucial determinar las 
relaciones de costos apropiadas. Es una habilidad que ayudará en cualquier carrera. 
 
Optimalidad y sensibilidad 
 
¿qué significa la optimalidad en un modelo? ¿Qué significa en el problema real? ¿Qué 
relación hay entre ambos? ¿Tiene importancia? ¿Qué tan sensible es el resultado de un 
modelo a las suposiciones que se hicieron y a los estimados de costo? Se enfrentarán a estos 
problemas cada vez que haga un cálculo, observe los resultados y tome una decisión. Estos 
temas se tratan de manera organizada y consistente en todo el desarrollo de la materia. 
 
Se podría seguir hablando de este tema, pero nuestro modelo de atención indica que 
estamos cayendo en rendimientos decrecientes. Termino con un breve comentario sobre el 
aprendizaje y la educación. Nos esforzamos para que el material sea correcto, accesible e 
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Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
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interesante. Contiene problemas con soluciones, exámenes de conceptos importantes, etc. 
Sin embargo a quién estuviese destinado es el ingrediente clave. Es posible que haga el 
trabajo en la clase que utiliza este material, que obtenga una buena calificación y que, a pesar 
de ello, el material no tenga ningún impacto en usted o en su carrera. Para evitarlo haga 
suyas estas ideas, lo que significa que debe integrarlas a su intuición. Para conseguirlo 
necesita pensar de qué manera sí se adaptan y de qué manera no a los problemas que 
enfrenta fuera de la clase. El texto puede ayudar, el profesor también, pero al final de cuentas 
usted tiene que hacerlo con base en su propia participación. Después de todo, aprender es 
una experiencia personal y sólo se lo logra con el propio esfuerzo. 
 
 
1.2. Programación LINEAL 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
A pesar de los grandes adelantos en la optimización computacional ocurridos durante 
los últimos 20 años (por ejemplo, los avances en los métodos de punto interior), el método 
Simplex inventado por George B. Dantzig en 1947 es aún la herramienta principal en casi 
todas las aplicaciones de la programación lineal. 
 
Dantzig es considerado como uno de los tres fundadores de la programación lineal, 
compartiendo dicho honor con Von Neumann y Kantorovich. A través de su investigación en 
teoría matemática, computación, análisis económico y aplicaciones de problemas industriales 
ha logrado contribuir más que cualquier otro investigador al desarrollo de la programación 
lineal. 
 
El trabajo de Dantzig ha sido reconocido con numerosos honores, de entre los cuales 
sobresalen: La Medalla Nacional de la Ciencia (1975), el Premio John Von Neumann de la 
Sociedad Americana de Investigación de Operaciones y el Instituto de Ciencias 
Administrativas (1974), la membrecía en la Academia Nacional de Ciencias, la Academia 
Nacional de Ingeniería y la Academia Americana de Ciencia y Arte. 
 
La programación lineal y sus derivados (tales como la optimización no lineal con 
restricciones y la programación entera) han sido capaces de pasar la prueba del tiempo sin 
debilitarse, y en nuestros días afectan las prácticas económicas de las organizaciones y sus 
administraciones. 
 
El científico computacional Laszlo Lovasz dijo en 1980, "Si se tomaran estadísticas 
acerca de cuál problema matemático usa la mayoría del tiempo computacional en el mundo 
(sin incluir problemas de manejo de bases de datos, como la búsqueda y ordenamiento), 
seguramente la respuesta sería la programación lineal." En ese mismo año Eugene Lawler de 
Berkeley dijo lo siguiente: "La programación lineal se usa para asignar recursos, planear la 
producción, planear el horario de trabajadores, planear la cartera de inversión y formular 
estrategias de mercado (y militares). La versatilidad e impacto económico de la programación 
lineal en el mundo industrial actual es realmente impresionantes." 
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1.2.1. Un problema de Programación Lineal 
Estructurageneral 
 
 
MODELOS de Optimización Restringida 
 
Formulación general: 
 
 Optimizar (maximizar o minimizar) una función que depende de varias variables, 
llamada 
 
Función Objetivo: f(x1,...,xn) 
 
Sujeta a las restricciones /s.a): 
 
 g1 (x1,…xn) <= b1 
 g2 (x1,…xn) <= b2 
 
 gm (x1,…xn) <= bm 
 
 
Siendo: 
 
 f: función objetivo de utilidad 
 x1,…xn: variables de decisión (n) 
 g1…,gm: funciones de restricción (m) 
 b1,…bm: vector de recursos o lado derecho (m). 
 
 
¿Por qué existen restricciones? 
 
La razón de ser de las restricciones se remiten a varios motivos, por ejemplo: 
 
 Tecnología inmutable a corto plazo: las restricciones tecnológicas a corto plazo son 
inevitables. Por ejemplo, en la elaboración de un determinado bien, la maquinaria 
utilizada tiene una determinada capacidad de producción, así como limitaciones en 
cuanto a costos de tiempos. 
 
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 Leyes de la naturaleza: evidente al tratarse de producción agrícola y/o ganadera. Si 
bien se puede acelerar el desarrollo de una especie y mejorar el rendimiento gracias a 
la tecnología, siempre hay un límite dado por la naturaleza. 
 
 Cuellos de botella: situaciones inesperadas o fuera de control que restringen nuestro 
abanico de alternativas. Ejemplos: huelgas, demoras en una importación, catástrofes 
naturales. 
 
 Costos de la investigación: para conoces ciertas respuestas (demanda futura, 
situación económica general, evolución de los mercados, etc.), los costos de la 
investigación pueden ser desproporcionados, por lo que una política muy empleada es 
imponer restricciones para reducir dichos costos. Como ejemplo, una empresa puede 
estar evaluando cómo publicar sus productos, siendo las alternativas muy numerosas. 
Imponiendo restricciones, limita la cantidad de estrategias posibles y concentra su 
atención en pocas opciones. 
 
 Incertidumbre y análisis paramétrico: el valor futuro de la tasa de interés es 
fundamental para decidir la conveniencia de una inversión, pero suele ser un 
parámetro difícil de pronosticar. Por ello, se imponen límites (superior e inferior) a 
dichas tasa y se hace un análisis paramétrico (o de sensibilidad) para tratar con la 
incertidumbre. 
 
 Objetivos sustitutos: esta situación ocurre cuando no es posible cuantificar un objetivo 
deseado y se recurre a otro sustituto. Si, por ejemplo, el Ministerio de Defensa quiere 
maximizar la disuasión en las zonas limítrofes, para expresar dicho objetivo en un 
modelo puede sustituirlo por otro, como puede ser maximizar la presencia militar 
(personal y armamento) en los pasos fronterizos. 
 
 Intereses particulares por sobre los de la empresa: esta cuestión puede derivar en 
situaciones ilegales o, por lo menos, que rozan el límite de lo ético. Un funcionario 
(que puede ser de cualquier rango) puede imponer restricciones a, por ejemplo, una 
licitación pública o una selección de personal que favorecen “casualmente” a 
determinadas empresas o individuos, con quienes tiene una relación “especial”. 
 Estructura jerárquica y delegación de la autoridad: un caso típico se da en las 
compañías que tienen sucursales en varias localidades. La casa central suele imponer 
restricciones a los responsables de cada una de las filiales, ya sea en la contratación 
de servicios o las compras a proveedores. 
 
 Ecuaciones de definición o de balance: son sumamente restrictivas. Como ejemplo, un 
modelo logístico puede tener una restricción de balance de material como: 
 
 
 Cantidad que entra al depósito = Cantidad que sale del mismo 
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1.2.2. Identificación de Variables de decisión 
Función Objetivo - Restricciones 
 
La programación Lineal (PL) es un modelo de optimización restringida, o de toma de 
decisiones restringidas, en la cual tanto la función objetivo como las funciones de restricción 
son funciones lineales (o de 1º grado) de las variables de decisión. 
 
Otra definición: El problema de asignar recursos limitados para optimizar un objetivo 
de interés, utilizando únicamente funciones lineales en su formulación matemática. 
 
Es un modelo de tipo determinístico. Recordemos que en Estadística, un fenómeno 
determinístico es aquel que obtiene siempre el mismo resultado bajo las mismas 
condiciones iniciales. La relación causa - efecto se conoce en su totalidad, y es siempre la 
misma. Ejemplo: todos los fenómenos que siguen las leyes de la física clásica, como puede 
ser la caída de un cuerpo. Lo contrario de un fenómeno determinístico es un fenómeno 
aleatorio. 
 
 
Elementos de un problema de PL 
 
 
 Beneficios 
 
 Maximizar Rendimiento 
 
 Función objetivo Eficiencia 
 
 Costo 
 
 Minimizar 
 
 Tiempo 
 
 
 
 Limitaciones (menor o igual → ≤ ) 
 Restricciones 
 Requerimientos (mayor o igual → ≥) 
 
 De definición o de balance (igual → =) 
 
 Variables de decisión (x1,x2,…,xn) 
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Pasos para la construcción del modelo 
 
 Identificar las variables de decisión (incógnitas): ¿Qué hay que determinar? 
 Definir el objetivo en palabras y después en lenguaje matemático, en términos de 
las variables de decisión: ¿Cuál es la meta u objetivo que se quiere alcanzar? Expresar las restricciones del problema, primero verbalmente y luego en 
símbolos matemáticos, en función de las variables de decisión: ¿Cuáles son las 
limitaciones y/o requerimientos del problema? 
 Verificar la existencia de las unidades y del modelo elaborado. 
 
1.2.3. Restricciones: Holguras y Excesos 
 
Las restricciones pueden ser: activas o inactivas 
 
 Activas: 
 Las restricciones de igualdad (=) son siempre activas. 
 
 Las de desigualdad (≥ ó ≤) lo son cuando el primer miembro es igual al lado derecho. 
 
Geométricamente, las restricciones activas son aquellas que pasan por la solución óptima. 
En el ejemplo anterior, son activas la primera ( xe + 2 xI ≤ 6) y la segunda ( 2 xE + xI ≤ 8), 
que determinan el punto C. 
 
 Inactivas: 
 En las restricciones inactivas de tipo menor o igual ≤ (son limitaciones al problema), se 
llama holgura a la diferencia entre el lado derecho y el primer miembro de la desigualdad. 
 
En las restricciones inactivas de tipo mayor o igual ≥ (son requerimientos del 
problema), se llama exceso o excedente a la diferencia entre el lado derecho y el primer 
miembro de la desigualdad. 
 
Las restricciones redundantes son aquellas que, si se suprimen, el conjunto factible no 
se modifica. 
 
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1.3. Interpretación del Principio de PROGRAMACIÓN LINEAL 
 
 
Ejemplo PL: Fábrica de Maquinaria pesada 
 
 Se producen dos tipos de maquinarias pesadas (equipos E y F), utilizando los mismos 
recursos (departamentos, personal y equipamiento). Se considera que, para el próximo mes, 
será posible vender todos los equipos E y F que se puedan producir. Se deben considerar los 
siguientes aspectos. 
 
 La utilidad por cada E que se venda es de $5.000 y por cada F, de $4.000. 
 Ambos equipos pasan por operaciones mecánicas en los departamentos A y B. 
 Departamento A: 150 horas disponibles. Cada E consume 10 horas y cada F, 15 
horas. 
 Departamento de verificación: Por un compromiso laboral, no se pueden emplear 
menos del 10% de la meta establecida de 150 horas en el control y verificación de los 
productos terminados (=135 horas). Cada E requiere de 30 horas y cada F, de 10. 
 Debido a la política comercial de la empresa, se debe construir por lo menos un F por 
cada 3 E. 
 Existe un pedido en firme por 5 equipos (en cualquier combinación de E y F). 
Consigna: ¿Cuántos E y cuántos F se deben producir? En términos técnicos, ¿cuál es la 
mezcla óptima de productos, o el plan óptimo de producción? 
 
Variables de decisión: 
 
 XE: números de equipos E producidos 
 XF: números de equipos F producidos. 
Restricciones: 
 
 Departamento A: 
10 (horas por cada E) x (número de E producidos) + 15 (horas por cada F) x (número de F 
producidos) = total de horas usadas en A, que no podrán superar las 150 horas disponibles. 
 
 10xE + 15xF ≤ 150 
 
 
 
 
 
 Departamento B: 20xE + 10xF ≤ 160 
 
Función de 
restricción 
 Lado derecho o 
vector de recursos 
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Note
Falta el Dpto. B con 20XE + 10XF menor o igual a 160
 
 
 Materia: Investigación Operativa 
Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
- 21 - 
 
 Departamento de verificación: 30xE + 10xF ≥ 135 
 
 Mezcla de producción: 
 Construir por lo menos un F cada tres E se expresa matemáticamente: 
 
 xE/ 3 ≤ xF xE/ 3 ≤ xF xE - 3xF ≤ 0 
 
 Total de unidades: xE + xF ≥ 5 
 No negatividad: xE ≥ 0, xF ≥ 0 
Normalmente se aplica una condición de “No Negatividad”, ya que no tiene sentido 
físico la producción de un número negativo de equipos. 
 
 Los valores de las variables de decisión que satisfagan todas las restricciones del 
modelo constituyen una solución factible (o decisión factible). 
 
Función objetivo: 
 
 z = 5.000 xE + 4.000 xF (utilidad total) 
 
 Solución óptima: La solución factible que optimice la función objetivo. en este caso, 
que maximice la utilidad total. Esto es. 
 Max. z = 5.000 xE + 4.000 xF 
 
Problema resuelto: Fábrica de Maquinaria pesada 
 
 En el ejemplo anterior, el modelo PL formal es: 
 
 Max. Z = 5.000 xE + 4.000 xF (Función objetivo) 
 
Sujeto a (s.a): 
 
Las siguientes restricciones 
 
 
 10xE + 15xF ≤ 150 
 20xE + 10xF ≤ 160 
 30xE + 10xF ≥ 135 (Restricciones) 
 xE - 3 xF ≤ 0 
 xE + xF ≥ 5 
 xE 0, xF ≥ 0 
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 Materia: Investigación Operativa 
Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
- 22 - 
 
 
 
1.3.1. El Método GRÁFICO 
 
(SOLUCIÓN GRÁFICA al problema planteado) 
 
Se resolverá en forma gráfica el ejemplo planteado en el ejemplo Fábrica de 
maquinaria pesada . Esto es posible debido a que tiene dos variables de decisión. Para 
modelos que no sean bidimensionales, este método es impráctico o imposible. Sin embargo, 
las conclusiones que extraerán serán extrapolares o problemas de dimensiones y servirán de 
base para el método de solución general. 
 
En primer lugar, se graficará el espacio de soluciones (factible), que satisfaga todas las 
restricciones en forma simultánea. También se lo llama conjunto factible, región factible o 
conjunto restringido. Esto será el espacio delimitado por la totalidad de las restricciones. Para 
dibujarlo, se seguirán los siguientes pasos con cada restricción: 
 
 Cambiar la desigualdad por igualdad y graficar la recta que representa dicha ecuación. 
 Tomar un punto de ensayo y verificar si cumple o no la desigualdad. Si la recta no 
pasapor el origen (0,0), éste será el punto de más fácil comprobación. 
 Indicar con una flecha el semiplano correcto. 
 A continuación, se desarrollará el citado ejemplo paso a paso, a partir del modelo PL 
formal ya obtenido: 
 
 Max. Z = 5.000 xE + 4.000 xF 
Sujeto a (s.a): 
 
1) 10 xE + 15 xF ≤ 150 
2) 20 xE + 10 xF ≤ 160 
3) 30 xE + 10 xF ≥ 135 
4) xE - 3 xF ≤ 0 
5) xE + xF ≥ 5 
6) xE ≥ 0 
7) xF ≥ 0 
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 Materia: Investigación Operativa 
Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
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1.3.2 . Interpretación Gráfica de restricciones 
 Espacio de soluciones factibles 
 
A la primera restricción (10 xE + 15 xF ≤ 150) se la transforma en igualdad (10 xE + 15 xF = 
150) y se grafica la recta determinando los puntos en donde ella corta a cada eje. Para 
averiguar los puntos de intersección con cada eje, se anula (se hace cero) la otra variable: 
 
 En xE: 150/10 = 15 
 En xF: 150/15 = 10 
 
 
 
 Como en realidad se trata de una desigualdad, para determinar cuál es el semiplano 
correcto, se toma (por comodidad) el origen de coordenadas (0,0) ya que la recta no pasa por 
él. 
 
 
 
 Para verificar si cumple con la desigualdad, se reemplazan las variables por las 
coordenadas del origen (xE = 0; xF = 0): 
 
 10 xE + 15 xF ≤ 150 
 10 x 0 + 15 x 0 = 0 < 150 → ¡VERIFICA la desigualdad! 
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 Materia: Investigación Operativa 
Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
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 Por lo tanto, el punto analizado se encuentra en el lado factible, lo cual se indica con 
una flecha direccional asociada con la primera restricción que apunta hacia el origen de 
coordenadas. Asimismo, se indica en el gráfico con un rayado los puntos que verifican la 
desigualdad (el semiplano que cumple con la primera restricción). 
 
 
 
 
 De la misma manera, se dibujan superpuestas todas las restricciones del problema. 
La segunda restricción (20 xE + 10 xF ≤ 160) es muy similar a la primera en su 
tratamiento, obteniéndose entonces el siguiente gráfico: 
 
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 Materia: Investigación Operativa 
Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
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 Al rayar en sentido opuesto el semiplano que verifica la segunda desigualdad, se 
observa que los puntos que cumplen simultáneamente con ambas restricciones son aquellos 
que se encuentran en el área donde se superponen los rayados (rayado doble), por lo que 
se reduce la cantidad de soluciones factibles. 
 
 Al dibujar la tercera restricción (30 xE + 10 xF ≥ 135), se notará que al utilizar el origen 
de coordenadas (0,0) para determinar el semiplano correcto, no verifica la desigualdad: 
 
 30 xE + 10 xF ≥ 135 
 30 x 0 + 10 x 0 = 0 < 135 (no es ≥) → NO VERIFICA 
 Por lo tanto, la flecha direccional apunta en sentido contrario al origen de 
coordenadas (arriba y a la derecha), y los puntos que verifican la tercera restricción se 
muestran con un rayado vertical. 
 
 De esta manera, a medida que se agregan restricciones, la región factible (o sea, los 
puntos que cumplen con las restricciones) se va acotando, siendo ahora el área donde se 
superponen los tres rayados. A fin de aclarar el dibujo, se quitará el rayado de los gráficos 
que se hagan a continuación. 
 
Para graficar la cuarta restricción (xE – 3 xF ≤ 0), se procede de la misma manera que 
con las anteriores, pero en este caso, al querer determinar el semiplano correcto, no se puede 
utilizar el origen de coordenadas, porque la recta pasa por ese punto. Se toma otro punto 
cualquiera, pero para simplificar, es preferible verificar con alguno que tenga una coordenada 
nula (xE = 0 ó xF = 0). En este ejemplo se adopta el punto (10,0) sobre el eje xE. entonces: 
 
 xE – 3 xF ≤ 0 
 10 – 3 x 0 = 10 > 0 (no es ≤) → NO VERIFICA 
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 Materia: Investigación Operativa 
Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
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 De acuerdo a esto, la flecha direccional apunta “hacia arriba”, en sentido opuesto al 
punto considerado. 
 
Luego, el trazado de la quinta restricción ( xE + xF ≥ 5) no presenta mayores 
inconvenientes. 
 
 Las dos últimas restricciones (de no negatividad) indican los semiplanos positivos de cada 
una de las variables, o sea: 
 
 xE será positivo desde el eje xF hacia la derecha (6). 
 xE será positivo desde el eje xE hacia arriba (7). 
Así, quedan graficadas todas las restricciones. 
 
 
La región factible será el área delimitada por la totalidad de 
las restricciones (rayado doble). Cualquier punto que se encuentre 
dentro de esa zona será una solución factible al problema planteado. 
Esto significa que existen infinitas soluciones al problema, siempre y 
cuando se encuentren dentro de la región factible. 
 
 
 
El gráfico de la siguiente página muestra la región factible correspondiente al 
problema planteado. 
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 Materia: Investigación Operativa 
Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
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1.3.4. Interpretación Gráfica de la Función Objetivo 
 Solución Óptima 
 
Pero lo que realmente se pretende averiguar es cuál es la solución óptima, esto es, 
cuál es el punto que maximiza los beneficios para la empresa, se pasa entonces a la segunda 
parte de la solución gráfica, en donde se considera la función objetico z, que representa una 
familia de rectas paralelas, cada una de ellas con distinto valor objetivo. se determinará cuál 
es el sentido creciente de dicho valor (en el caso de maximización) o el decreciente 
(minimización), hasta el punto en que cualquier incremento (máx.) o decremento (min.) 
produciría una solución infactible (fuera del espacio de soluciones). 
 
 Se procede a graficar dicha función (z = 5.000 xE + 4.000 xF , para lo cual es 
necesario valorizarla. En esta caso, se hace: 
 
z = 20.000 → 5.000 xE + 4.000 xF = 20.000 
 
 Por lo tanto, los puntos donde dicha recta cortará a los ejes serán: 
 
 en xE: 20.000/5.000 = 4 
 en xF: 20.000/4.000 = 5 
(se puede apreciar esto en el gráfico de la siguiente página) 
 
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Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
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 El sentido creciente para esta función es “hacia arriba y hacia la derecha”, lo cual se puede 
comprobar valorizando, como se muestra en la figura siguiente ( z = 40.000 ). Nótese que 
esta última es paralela a la anterior. 
 
 Se busca entonces el punto límite para el cual cualquier incremento adicional se 
encontrará fuera del conjunto restringido. Esto se da en el punto donde se intersecan las 
rectas que definen la primera y la 
segunda restricción (solución óptima). 
 
 
 
 Para resolver cuáles son las 
coordenadas de dicho punto, hay que 
resolver el sistema de dos ecuaciones 
con dos incógnitas, correspondientes a 
las dos primeras restricciones. 
 
 
 
 10 xE + 15 xF ≤ 150 
 20 xE + 10 xF ≤ 160 
 
 
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 Materia: Investigación Operativa 
Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
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Resolviendo por cualquier método conocido el sistema de dos ecuaciones con dos 
incógnitas nos queda: 
 
 xE = 4,5 y xF = 7 (solución óptima) 
 
 La utilidad asociada se obtiene reemplazando en la función objetivo z los 
valores de xE y de xF por los calculados. 
 
 
 Z = 5.000 xE + 4.000 xF 
 
Z = 5.000 x 4,5 + 4.000 x 7 = $50.500 (valor óptimo) 
 
 
 
Ejemplo de PL: Fábrica de pinturas 
 
 Se producen pinturas para exteriores y para interiores utilizando dos materiales 
básicos, a y b, cuya disponibilidad máxima es de 6 y 8 toneladas diarias, respectivamente. 
Para obtener 1 Tn de pintura para exteriores se necesitan 1 Tn de A y 2 Tn de B; para 1 Tn de 
pintura para interiores, 2 Tn de A y 1 Tn de B. 
 
 De un estudio de mercado se determinó que: 
 
 La demanda diaria de pintura para interiores no pude ser mayor que la de pintura para 
exteriores en más de 1 Tn. 
 La demanda máxima de pintura para interiores es de 2 Tn por día. 
 El precio por tonelada es de $3.000 para la pintura de exteriores y de $2.000 para la 
de interiores. 
 
¿Cuánta pintura de cada tipo se debe producir para maximizar el ingreso bruto? 
 
Modelo PL formal: 
 
xE: producción diaria (en Tn) de pintura para exteriores 
xF: producción diaria (en Tn) de pintura para interiores 
 
 MÁXIMO. Z = 3 xE + 2 xI (Función objetivo, expresada en miles de $) 
 
s.a. (restricciones): 
 
 xE + 2 xI ≤ 6 (Disponibilidad de materia prima A) 
 2 xE + xI ≤ 8 (Disponibilidad de materia prima B) 
 - xE + xI ≤ 1 (Exceso de pintura para interiores sobre exteriores) 
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 Materia: Investigación Operativa 
Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
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 xI ≤ 2 (Demanda máxima de pintura para interiores) 
 xE 0, xI ≥ 0 (No negatividad) 
 
 
Problema resuelto: Fábrica de pinturas 
 
 A continuación, se resolverá el ejemplo planteado anteriormente. Los pasos a seguir 
son los mismos que para el problema anterior. 
 
 Para comenzar a graficar el conjunto factible, a la primera restricción (xE + 2 xI ≤ 6) 
se la transforma en igualdad (xE + 2 xI = 6) y se grafica la recta determinando los puntos en 
donde ella corta cada eje: 
 
 en xE: 6/1 = 6 
 en xI: 6/2 = 3 
 Para determinar cuál es el semiplano correcto, se toma el origen de coordenadas (0,0) 
ya que la recta no pasa por él. Para verificar si cumple con la desigualdad, se reemplazan las 
variables por las coordenadas del origen (xE = 0; xI = 0): 
 
 xE + 2 xI ≤ 6 
 0 + 2 x 0 = 0 < → VERIFICA 
 Por lo tanto, el punto analizado se encuentra en el lado factible, lo cual se indica con 
una flecha direccional asociada con la primera restricción. 
 
 De la misma manera, se dibujan las demás restricciones, superpuestas en el gráfico 
de la página siguiente. 
 
Se recomienda realizar el ejercicio completo a manera de práctica, ya que la 
resolución de un ejemplo es la base de este módulo. 
 
Todas las rectas establecidas como restricciones delimitan el conjunto factible, que es 
el área sombreada en color sepia. 
 
 En el ejemplo, está dibujada la función objetivo valorizada en: 
 
Z = 6 (3 xE + 2 xI = 6). 
 
La función objetivo está graficada como una línea levemente más gruesa que las 
demás líneas rectas que representan restricciones. 
 
El sentido creciente para esta función es “hacia arriba y hacia la derecha”, lo cual se 
puede comprobar valorizando la función objetivo “z” en otros valores (mayores que 6). Se 
busca entonces el punto límite para el cual cualquier incremento adicional se encontrará fuera 
del conjunto restringido. 
 
 
 
 Materia: Investigación Operativa 
Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
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 En el gráfico anterior se muestra la solución del problema. Se observa que la solución 
óptima ocurre en el punto C, intersección de las rectas 1 y 2, por lo que los valores de xE y de 
xI surgen de resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. 
 
 xE + 2 xI = 6 
 
 2 xE + xI = 8 
 
 
Resolviendo: xE = 3,333 Tn y xI = 1,333 Tn (solución óptima) 
 
 El ingreso asociado se obtiene reemplazando en la función objetivo z los valores de xE y de 
xI por los calculados: 
 
 z = 3 xE + 2 xI 
 
 z = 3 x 3,333 + 2 x 1,333 = 12,666 miles de $ (valor óptimo) 
 
 Resumiendo, el modelo de PL determina que la producción óptima es fabricar 3,333 
Tn de pintura para exteriores y 1,333 Tn de pintura para interiores, lográndose de esta 
manera el máximo ingreso bruto posible de $ 12.666 por día, sujeto a las restricciones 
analizadas. 
 
 
 
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 Materia: Investigación Operativa 
Profesor: Ing. Pablo E. Godino 
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 Importante: 
 
 La solución del problema se da en un vértice de la región factible, también llamado 
punto extremo. La determinación del vértice depende de la pendiente (relación entre 
los coeficientes) de la función objetivo. 
 Se puede demostrar que en un problema de PL, si existe una solución óptima, hay por 
lo menos un vértice óptimo. 
 
Ejercicios propuestos para resolver 
 
Resuelva por el método gráfico los ejemplos planteados en Fábrica de televisores y 
Mezcla de Alimentos. Tome en cuenta que este último problema es un caso de 
minimización, por lo que se determinará el sentido decreciente de la función objetivo. 
asimismo, dos de las restricciones pasan por el origen y para determinar el semiplano que 
verifica la desigualdad, será necesario tomar otro punto de ensayo (cualquiera, 
preferentemente con una de las coordenadas nulas para simplificar el cálculo). 
 
 Las respuestas a estos problemas se encuentran en forma de tabla al final del planteo . 
 
 
Ejemplo de PL: Fábrica de televisores 
 Una compañía produce dos tipos de televisores, el modelo P y el modelo R. Hay dos 
líneas de producción, una por cada tipo, con una capacidad limitada a 70 unidades P y a 50 
unidades R por día. Ambos modelos pasan por dos departamentos, A y B, los cuales 
disponen de un máximo de 120 y 90 horas de trabajo diarias, respectivamente. En el A, cada 
P requiere 1 hora de trabajo, y cada R, de 2 horas. En el B, ambos modelos demandan 1 hora 
de trabajo cada uno. La utilidad por cada P es de $20 y de $10 por cada R. considerando que 
la compañía puede vender toda la producción,