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Integración numérica
Regla del punto Medio
Consiste en dividir el intervalo [a,b] en "n" trozos y 
aproximar la funci ón en cada trozo por el valor en el 
punto medio del mismo
2 3 4 5
1
2
3
4
M
�
n_, f_ , a_, b_ � : � � b � a � � i � 1n f � a 	 
 b � a � 
 2 i � 1 �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �2 n �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
n
Intnumer.nb 1
Regla del trapecio
Consiste en dividir el intervalo [a,b] en "n" trozos y 
aproximar el área bajo la gráfica en cada trozo por el 
área del trapecio que tiene por base el subintervalo y por 
alturas los valores de la función en cada uno de los 
t r ozos:
2 3 4 5
1
2
3
4
T � n_, f_ , a_, b_ � : ��
b � a � �
i � 1n � f � a � � b � a � i ! 1 �" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "n # $ f % a & ' b ( a ) i* * * * * * * * * * * * * *n + ,- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2 n
Intnumer.nb 2
Estimación del error cuando 
 |f''(x)|< K2 para x en (a,b) 
Para la regla del punto medio el error EM que 
mide la diferencia entre el valor real de la 
integral I[f,{a,b}] y el aproximado M[n,f,a,b] 
está acotado por la expresión:
EM=| I nt egr al [ f , { a, b} ] - M[ n, f , a, b] |
< ( K2/ 24) ( b- a) ^3/ ( n^2)
Para la regla del trápecio el error ET que mide 
la diferencia entre el valor real de la integral 
I[f,{a,b}] y el aproximado T[n,f,a,b] está 
acotado por la expresión:
ET=| I nt egr al [ f , { a, b} ] - T[ n, f , a, b] |
< ( K2/ 12) ( b- a) ^3/ ( n^2)
OBSERVACION: LOS ERRORES DE LA REGLA DEL PUNTO 
MEDIO Y DE LA 
REGLA DEL TRAPECIO SON DEL MISMO ORDEN. En un 
principio con la regla del punto medio tenemos 
una acotación menor del error que con la regla 
del trapecio, en la práctica depende de cada 
caso el que un método pueda ser mejor que otro. 
Más adelante vamos a comparar estos dos métodos 
en dos ejemplos concretos, justo después de la 
regla de Simpson que sigue a continuación.
Intnumer.nb 3
Regla de Simpson
La REGLA DE SIMPSON se basa en la observación de 
que la integral de un polinomio de segundo o 
tercer grado en un intervalo se puede expresar en 
terminos de los valores del polinomio en los 
extremos y el punto medio del intervalo. 
Concretamente, .
r
s
p3 / x 0 1 x 23
1 4 6 5 6 s 7 r 8 9 f 9 r 8 : 4 f ; r < s= = = = = = = =2 > ? f @ s A A
La regla de Simpson consiste en dividir el 
intervalo [a,b] en "k" trozos y aproximar el 
área bajo la gráfica en cada trozo [ x2 B k C 1 D , x2 k] 
por el área bajo el polinomio interpolador de 
tercer grado que pasa por los puntos 
{ x2 E k F 1 D , f G x2 H k I 1 J K } , { x2 k L 1, f M x2 k N 1 O }, y 
{ x2 k, f M x2 k O } que tiene por base el subintervalo, 
Expresando esta área por la regla de Simpon: 
( 1/ 6) ( x2 k P x2 Q k R 1 S ) ( f T x2 U k V 1 W X +4f Y x2 k Z 1 [ +f \ x2 k [ )
2 3 4 5
1
2
3
4
Intnumer.nb 4
S ] k_, f_ , a_, b_ ^ : _
1` ` ` ` ` ` ` ` `
6 k
abcccc d
b e a f g
i h 1k i f j a k l b m a n o i p 1 nq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qk r s
4 f t a u v b w a x v 2 i w 1 xy y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y
2 k z u f t a u v b w a x iy y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y yk z { |} ~~~~
Estimación del error cuando 
 |f''''(x)|< K4 para x en (a,b) 
La acotación del error para la regla de Simpson 
se puede 
hacer en terminos del tamaño de la derivada 
cuar t a.
ES=| I nt egr al [ f , { a, b} ] - S[ k, f , a, b] |
< (K4/180)(b-a)^5/(2k)^4
Ejemplo: aproximar numéricamente el valor de la integral
 Int[ e^(-x^2) , {x,0,1}]
utilizando las reglas del punto medio, de los trapecios y de 
Simpson. 
f � x_ � : � E� x2
Intnumer.nb 5
Table � N � � " k" , k, M� 2 k, f , 0, 1 � ,
T � 2 k, f , 0, 1 � , S � k, f , 0, 1 � � , 10 � ,�
k, 1, 10 � �� �
k � 1, 0.754597943772` , 0.731370251828` , 0.747180428909` � ,�
k � 2, 0.748747131891` , 0.742984097800` , 0.746855379790` � ,�
k � 3, 0.747677083350` , 0.745119412436` , 0.746830391489` � ,�
k � 4, 0.747303578730` , 0.745865614845` , 0.746826120527` � ,�
k � 5, 0.747130877747` , 0.746210796131` , 0.746824948254` � ,�
k � 6, 0.747037112217` , 0.746398247893` , 0.746824526379` � ,�
k � 7, 0.746980590677` , 0.746511256970` , 0.746824345350` � ,�
k � 8, 0.746943912516` , 0.746584596788` , 0.746824257435` � ,�
k � 9, 0.746918769042` , 0.746634874950` , 0.746824210629` � ,�
k � 10, 0.746900785538` , 0.746670836939` , 0.746824183875` � �
N � �
0
1
f � x � � x, 12 �
0.7468241328124271
Ejemplo: aproximar numéricamente el valor de la integral
 Log[2]= Int[ 1/(1+x) , {x,0,1}]
utilizando las reglas del punto medio, de los trapecios y de 
Simpson. 
g � x_ � : � 1� � � � � � � � � � � � �
1 � x
Intnumer.nb 6
Table � N � � " k" , k, M  2 k, g, 0, 1 ¡ ,
T ¢ 2 k, g, 0, 1 ¡ , S ¢ k, g, 0, 1 ¡ £ , 10 ¤ ,¥
k, 1, 10 £ ¤¦ ¦
" k" , 1.` , 0.685714285714285765` ,
0.708333333333333392` , 0.694444444444444464` § ,¨
" k" , 2.` , 0.691219891219891202` ,
0.697023809523809489` , 0.693253968253968189` § ,¨
" k" , 3.` , 0.692284320874979108` ,
0.694877344877344871` , 0.693169793169793191` § ,¨
" k" , 4.` , 0.692660554043203369` ,
0.694121850371850346` , 0.69315453065453072` § ,¨
" k" , 5.` , 0.692835360409960188` ,
0.69377140317542798` , 0.693150230688930335` § ,¨
" k" , 6.` , 0.69293049507839548` ,
0.693580832876162034` , 0.69314866220910094` § ,¨
" k" , 7.` , 0.692987919229683591` ,
0.693465855261184316` , 0.693147983875089401` § ,¨
" k" , 8.` , 0.69302521433097084` ,
0.693391202207526902` , 0.693147652819419057` § ,¨
" k" , 9.` , 0.693050794950824577` ,
0.693340007487214471` , 0.693147475981006877` § ,¨
" k" , 10.` , 0.693069098225587065` ,
0.69330338179269404` , 0.693147374665116089` § §
N © Log © 2 ª , 10 ª
0.6931471805599453
Intnumer.nb 7