secme-30549_1

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Universidad Autónoma del Estado de México 
Centro Universitario Nezahualcóyotl 
Lic. en Ingeniería en Sistemas Inteligentes 
 
PROBLEMARIO DE EJERCICIOS 
RESUELTOS 
 
	
 Unidad de aprendizaje: Ecuaciones Diferenciales 
ACTIVIDAD: Solución a Ejercicios 
 
 
AUTOR: M. EN C. JOSÉ ANTONIO CASTILLO JIMÉNEZ 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD AUTONÓMA DEL ESTADO DE MÉXICO 
UNIDAD ACADÉMICA PROFESIONAL NEZAHUALCÓYOTL 
COORDINACIÓN DE INGENIERÍA EN SISTEMAS 
INTELIGENTES 
 
 
I. ESTRUCTURA DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE 
 
 
1.- Introducción a las Ecuaciones Diferenciales. 
 
2.- Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. 
 
3.- Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior. 
 
4.- Transformada de Laplace. 
 
5.- Funciones Ortogonales y Series de Fourier. 
 
 
 
II. SECUENCIA DIDÁCTICA 
 
 
 
 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES EDO´S DE PRIMER ORDEN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EDO´S DE ORDEN SUPERIOR TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 
 
 
 
 
SERIES DE FOURIER 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   3
 
CONTENIDO 
 
1. INTRODUCCIÓN 
2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN. MÉTODO DE 
COEFICIENTES CONSTANTES 
3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN. MÉTODO DE 
COEFICIENTES INDETERMINADOS 
4. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN. MÉTODO DE 
VARIACIÓN DE PÁRAMETROS 
5. CONCLUSIÓN 
6. BIBLIOGRAFIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   4
PRESENTACIÓN 
El presente material didáctico tiene como objetivo reforzar el 
aprendizaje obtenido en las aulas así como proporcionar los 
elementos tanto matemáticos como conceptuales para la 
realización de la solución de las Ecuaciones Diferenciales de 
primer orden. Los ejercicios han sido seleccionados con la 
finalidad de dar una mayor comprensión a los conceptos teóricos 
ya que se espera que, el estudiante aborde los problemas 
propuestos reflexionando y madurando la teoría y haga uso de 
sus conocimientos previos de aritmética, algebra, trigonometría, 
calculo diferencial e integral. Cada una de las secciones contiene 
una breve explicación y ejercicios resueltos con los cuales se 
busca que el estudiante refuerce el aprendizaje significativo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   5
Introducción. 
En la unidad de aprendizaje Ecuaciones Diferenciales, se divide en dos tipos de 
soluciones: 
1) Las Ecuaciones Diferenciales de primer orden 
2) Las Ecuaciones Diferenciales de segundo orden 
En este problemario revisaremos particularmente las soluciones a las ecuaciones 
diferenciales ordinarias de orden superior, considerando los métodos: coeficientes 
constantes, coeficientes indeterminados, variación de parámetros y la técnica de 
Laplace, estos aplicados a un grupo de problemas propuestos que permitan al 
estudiante de la unidad de aprendizaje “Ecuaciones Diferenciales”, verificar las técnicas 
propuestas y analizadas en el salón de clase, de acuerdo programa de estudios por 
competencias de la unidad de aprendizaje: Ecuaciones Diferenciales. 
 
Una ecuación diferencial de segundo orden, se dice que es lineal o mediante algebra 
puede llevarse a la forma siguiente: 
Una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden de la forma 
 
1
1 1 01
(x) (x) ..... (x) (x) y (x)
n n
n nn n
d y d y dy
a a a a g
dx dx dx

      
con g(x) no igual a cero, se dice que es no homogénea 
 
1
1 1 01
(x) (x) ..... (x) (x) y 0
n n
n nn n
d y d y dy
a a a a
dx dx dx

      
 
se dice que es homogénea. 
 
 
La palabra homogénea en este contexto no se refiere a los coeficientes que son 
funciones homogéneas, Después veremos que para resolver una ecuación lineal no 
homogénea, primero se debe poder resolver la ecuación homogénea asociada. 
 
 
 
 
   6
2. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR 
 
2.1 Respuesta a la Ecuación Diferencial de Segundo Orden 
Sea la ecuación diferencial de orden superior de la forma: 
1
1 1 0 01
(x) (x) ..... (x) (x) y 0
n n
n n in n
d y d y dy
a a a a donde a
dx dx dx

      
 
La cual es una ecuación diferencial de orden superior homogénea. 
 
Si ahora se define que una ecuación diferencial de segundo orden, es también de orden 
superior y de la forma: 
2
2 1 0 02
(x) (x) (x) y 0 i
d y dy
a a a con a
dx dx 
   
 
La cual tiene solución, utilizando la transformación: 
dy
s
dx
 
Entonces la ecuación diferencial de segundo puede ser escrita como una ecuación 
auxiliar, considerando la transformación anterior, y toma la forma de ecuación 
cuadrática de segundo orden. 
2 0 , , tanas bs c donde a b c son cons tes   
Si consideramos la solución con la formula general, 
2
1 2
4
,
2
b b ac
s s
a
  
 
Esta ecuación es llamada solución a la ecuación auxiliar de la ecuación diferencial. La 
cual considera las dos raíces de la solución de la formula general y los casos del 
discriminante: 
1) 2 4 0b ac  caso Raíces reales y diferentes 
Bajo la suposición de que la ecuación auxiliar tiene dos raíces reales desiguales s1 y 
s2, encontramos dos soluciones, y1 y y2. Vemos que estas funciones son linealmente 
   7
independientes en (-∞, ∞) y, por tanto, forman un conjunto fundamental. Se deduce que 
la solución general de en este intervalo es 
 
1 2
1 2 1 2(x) C C C C tan
s x s xy e e donde y son cons tes  
 
2) 2 4 0b ac  caso Raíces reales e iguales 
Cuando s1 = s2, necesariamente se obtiene sólo una solución exponencial, y1. La cual 
es derivada para determinar una segunda solución de la forma: 
 
 
 
La solución propuesta a este tipo de raíces es: 
 
1 2 1 2(x) C C C C tan
sx sxy e xe donde y son cons tes  
 
 
3) 2 4 0b ac  caso Raíces complejas y conjugadas 
Si s1 y s2 son complejas, entonces se puede escribir s1= a + b*i y s2 = a- b*i, donde a 
y b>0 y son reales. De manera formal, no hay diferencia entre este caso y el caso I y, 
por tanto, 
 
( d i) ( d i)
1 2 1 2
( di)
1 2
(x) C C C C tan
cos ( d) ( d) i
Despues de sustituir y reducir
(x) e ( cos( d) ( d))
x x
x
y e e donde y son cons tes
Usando la formula de Euler
e sen
y C C sen
   


 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
1
2
1(x) C
2(x) C
sx
sx
y e
y xe


   8
Solución a problemas propuestos 
1 	4 0										 
	4 0																		 1, 2	 √ 										
1
1 1 4 4 0
	2 4
1 √1
	8
1 1
	8
0
	8
0											
2
1 √1
	8
1 1
	8
2
	8
	
1
	4
									
Raíces:	Reales	y	Diferentes	
1 2 	
1 2 . 	
 
2 	 36 0 
36 0																		 
1
0 0 4 1 36
	2 1
√144
	2
12
	2
6											
2
√144
	2
12
	2
6									
Raíces:	Reales	y	Diferentes	
1 2 	
1 2 	
 
3 	 6 0 
6 0			 
1
1 1 4 1 6
	2
1 √1 24
	2
1√25
	2
1 5
	2
3											
2
1 √25
	2
1 5
	2
4
	2
	 2									
Raíces:	Reales	y	Diferentes	
1 2 	
1 2 	
   9
4 	 3 2 0 
3 2 0			 
1
3 3 4 1 2
	2
3 √9 8
	2
3 1
	2
4
	2
2											
2
3 √1
	2
3 1
	2
2
	2
	1								
Raíces:	Reales	y	Diferentes	
1 2 	
1 2 	
	
5 	 8 16 0 
8 16 0			 
1
8 8 4 1 2
	2
8 √64 64
	2
8√0
	2
8
	2
4											
1 2 4						
Raíces:	Iguales	y	Reales	
1 2 	
1 2 	
	
6 	 10 25 0 
10 25 0			 
1
10 10 4 1 25
	2 1
10 √100 100
	2
10
	2
5								
1 2 5					
Raíces:	Iguales	y	Reales	
1 2 	
1 2 	
	
	
   10
7 	12 5 2 0 
12 5 2 0			 
1
5 5 4 12 2
	2 12
5 √25 96
	24
5 √121
	24
5 11
	24
16
	24
2
	3
											
2
5 √121
	24
5 11
	24
6
	24
	
1
	4
			
Raíces:	Reales	y	Diferentes	
1 2 	
1 . 2 . 	
 
8 	 4 0 
4 1 0			 
1
4 4 4 1 1
	2 1
4 √16 4
	2
4 √20
	2
2
√20
	2
2 	√5									
2
4 √20
	2
2
√20
	2
2 	√5							
Raíces:	Reales	y	Diferentes	
1 2 	
1 2 	√5	 2 2 √5	 	
 
9 	 9 0 
9 0			 
1
0 0 4 1 9
	2 1
√ 36
	2
36 1
	2
√36
	2
6
	2
3 								
2
√36
	2
6
	2
3 					
Raíces:	Imaginarias	y	Conjugadas	
			 
1 2 	
1 3 2 3 	
   11
10 	3 0 
3 1 0			 
1
0 0 4 3 1
	2 1
√ 12
	2
12 1
	2
√12
	2
√3 								
2
√12
	2
√3 					
Raíces:	Imaginarias	y	Conjugadas	
			 
1 2 	
1 √3 2 √3 	
 
11 	 4 5 0 
4 5 0			 
1
4 4 4 1 5
	2 1
4 √16 20
	2
4 4 1
	2
4 √4
	2
4 2
	2
2 								
2
4 √42
4 2
	2
4
	2
2
	2
2 				
Raíces:	Imaginarias	y	Conjugadas	
			 
1 2 	
1 2 	
 
12 	2 2 0 
2 2 1 0			 
1
2 2 4 2 1
	2 2
2 √4 8
	4
2 √ 4
	4
2 4 1
	4
1
2
1
2
								
2
2 √4
	4
2
4
2
	4
1
	2
1
2
				
Raíces:	Imaginarias	y	Conjugadas	
			 
   12
1 2 	
. 1 0.5 2 0.5 	
13 	3 2 0 
3 2 1 0			 
1
2 2 4 3 1
	2 3
2 √4 12
6
2 √ 8
6
2 8 1
6
1
3
√2
3
								
2
2 √8
	6
2
6
√8
	6
1
	3
√2
3
				
Raíces:	Imaginarias	y	Conjugadas	
			 
1 2 	
. 1 0.47 2 0.47 	
 
14 	2 3 4 0 
2 3 4 0			 
1
3 3 4 2 4
	2 2
3 √9 32
4
3 √ 23
4
3 23 1
4
3
4
√23
4
								
2
3 √23
	4
3
4
√23
	4
				
Raíces:	Imaginarias	y	Conjugadas	
			 
1 2 	
. 1 1.2 2 1.2 	
 
15 	 4 5 ′ 0 
4 5 0                                                   
1 1                         5 0                          
2
5 5 4 1 0
	2 1
5 √25
2
5 5
2
10
2
5								
1 ‐4 ‐5 0	 ‐1	
‐1 5 0	 	
1 ‐5 0 0	 	
   13
3
5 √25
	2
5 5
2
0
	2
0				
1 2 3 	
1 2 3 	
 
16 	 0                      
1 0                                                   
1 1                         ∓ 1 0                          
2
1 1 4 1 1
	2 1
1 √1 4
2
1 √4 1
2
1
2
	
3
4
	 					
3
1 √4 1
	2
	
1
2
3
4
	 	
1 2 3 	
1 2
3
4
3
3
4
	
 
17 	 5 3 9 0   
5 3 9 0                                                   
1 1                         6 9                         
2
6 6 4 1 9
	2 1
6 √36 36
2
6 0
2
6
2
3					
2 3 3	
1 2 3 	
1 2 3 	
 
 
 
 
1 0 0 ‐1	 1	
1 1 1	 	
1 1 1 0	 	
1 ‐5 3	 9	 ‐1	
‐1 6	 ‐9	 	
1 ‐6 9	 0	 	
   14
18 	 3 4 12 0      
3 4 12 0                                                   
1 2                         5 6 0                         
2
5 5 4 1 6
	2 1
5 √25 24
2
5 √1
2
4
2
2					
3
5 √1
	2
5 1
2
3	
1 2 3 	
1 2 3 	
 
19 	 2 0    
2 0                                                   
1 1                         2 2 0                         
2
2 2 4 1 2
	2 1
2 √4 8
2
2 √4
2
2
2
2
2
1 					
3
2 √4
	2
2
2
2
2
1 	
1 2 3 	
1 2 3 	
 
20 	 2 0   
4 0                                                   
1 2                        2 0                         
2
1 1 4 1 2
	2 1
1 √1 8
2
1 √7
2
1
2
√7
2
1
2
7
4
				
3
1 √7
	2
1
2
√7
2
1
2
7
4
	
1 2 3 	
1 3 ‐4	 ‐12	 2
2 10	 12	
1 5 6	 0	
1 1 0 ‐2	 1	
1 2 2	 	
1 2 2 0	 	
1 ‐1 0 ‐4	 2	
2 2 4	 	
1 1 2 0	 	
   15
1 2
7
4
3
7
4
	
	
21 	 3 ′′ 3 0       
3 3 1 0                                                   
1 1                         2 1 =0                     
2
2 2 4 1 1
	2 1
2 √4 4
2
2 0
2
2
2
1					
2 3 1	
1 2 3 	
1 2 3 	
 
22 	 6 12 8 0       
6 12 8 0                                                   
1 2                        42 4 =0                     
2
4 4 4 1 4
	2 1
4 √16 16
2
4 0
2
4
2
2					
2 3 2	
1 2 3 	
1 2 3 	
 
23 	 3 0              
0                                        3                                        
1                                                    
1 s2=0                                                      4  
3
1 1 4 1 1
	2 1
1 √1 4
2
1 √3
2
 
1 3 3 1	 ‐1	
‐1 ‐2 ‐1	 	
1 2 1 0	 	
1 ‐6 12	 ‐8	 2	
2 ‐8	 8	 	
1 ‐4 4	 0	 	
   16
1 2 3 4  
1 2 3
3
4
4
3
4
	
 
24 	 3 0        
2 1 0                                                   
1 2                        1       
     	
2 1 0	
                       	
3
4 4 4 1 4
	2 1
4 √16 16
2
4 0
2
4
2
2					
3 4 1	
1 2 3 4 		
1 2 3 4  
 
25 	16 24 9 0      
16 24 9 0	 → 		
3
2
9
16
0 
1 2 3 4
3
4
	
3
4
3
4
	
1 2 3 4 		
1 2 3 4  
	
 
26 	16 24 9 0         
7 18 0 
1	 1	 ‐1 ‐1 1
	 1	 2 1
	1	 2	 1 0
1 0 ‐2 0 1 2
1 1 ‐1 ‐1
1 1 ‐1 ‐1 0
1 0 ‐7 0 ‐18 3
3 9 6 18
1 3 2 6 0
1	 3	 2 6 ‐3
	 ‐3	 0 ‐6
	1	 0	 2 0
   17
1 3                      	
3 2 6 0															 2 0 
2 3 
3
5 5 4 1 6
	2 1
5 √25 24
2
5 √1
2
4
2
2					
4
√8
	2
√2	
1 2 3 4 		
1 2 3 √ 4 √  
 
27 	 5 2 10 5 0      
5 2 10 5 0 
1 1																																																						 6 4 6 5 0											 2 1                                                                      
  
 
7 11 5 0										 3 1														 6 5 0 
4
6 6 4 1 5
	2 1
6 √36 20
2
6 √16
2
2
2
1					
5
6 √16
	2
6 4
2
5	
1 2 3 4 5 	
1 2 3 4 5  
 
28 2 7 12 8      
2 7 12 8 0		 → 	 2 7 12 8 0 → 6 4 0	    
2 7 12 8	 0																																																							
7
2
6 4 0														 
 
1 5 ‐2	 ‐10	 1	 5 1
1 6	 4	 ‐6 ‐5
1 6 4	 ‐6	 ‐5 0
1	 6	 4	 ‐6	 ‐5	 1	
	 1	 7	 11	 5	 	
	1	 7	 11	 5	 0	 	
1 7 11 5 ‐1
‐1 ‐6 ‐5
1 6 5 0
   18
         	
												 4
4 4 4 1 8
	2 1
4 √16 32
2
4 √ 16 32
2
	
 	
												 4
4 √16
	2
4
2
4
2
2 2 													 5 2 2 	
1 2 3 4 5  
1 2 3 . 4 2 5 2 	
 
2.2 Respuesta a la Ecuación Diferencial de Segundo Orden. Método Coeficientes 
Constante 
Este método permite determinar el valor de las constantes Ci de la respuesta a la 
ecuación diferencial de segundo orden, considerando la respuesta homogénea descrita 
en la sección anterior. 
Sea la ecuación diferencial de según do orden de la forma: 
2
'
2 1 02
(x) (x) (x) y 0 (0) cte(1) (0) cte(2)
d y dy
a a a y y
dx dx
     
Con respuesta generalizada 
22
1 2y(x)
s xs xC e C e  
Donde 
C1 y C2 son las constantes que dependen de las condiciones iniciales o de frontera de 
la ecuación diferencial. 
 
Tomando la primer condición inicial o de frontera y evaluando en x=0 e igualando a la 
ecuación diferencial con el resultado de condición inicial, se puede obtener la ecuación 
resultante de la forma 
2 (0)2(0)
1 2
1 2
y(0) (1)
(1)
ssC e C e cte
C C cte
  
 
 
1	
7
2
	 6	 4	 ‐0.5	
		 ‐ 	 2	 ‐4	 	
	1	 4	 8	 0	 	
   19
La condición inicial en cero es evaluada en la derivada de la respuesta para tener la 
segunda ecuación 
2
2
( )2( )
1 2
(0)2(0)
1 2
1 2
y'( ) ( ) ( )
y'(0) ( ) ( ) (2)
(2)
s xs x
ss
d d
x C e C e
dx dx
d d
C e C e cte
dx dx
C C cte
 
  
 
 
Entonces la respuesta general a la ecuación diferencial 
22y(x) (1) (2) s xs xcte e cte e  
Ejemplos Resueltos 
29 	 16 0,										  0)=2,    y’ (0)=‐2     
16 0		 
1
4 1 16
	2 1
√ 64
2
√64
2
8
2
4 		
1
8
2
4 															 ∝ 					
1 4 2 4 	→ 	 0 1 4 0 2 4 0 2					 1 2			
1 4 2 4 0 4 1 4 4 2 4 	
0 1	 4 0 2	 4 0 0 4 1 4 0 4 2 4 0 2	
4 2 2																																	 2 4
1
2
4 	
		 2
2
4
	
	 2 	
	
30 	16 0,								 3⁄ 0,			 ′ 3⁄ 2      
1 0		 
1
4 1 1
	2 1
√ 4
2
√4
2
2
2
		
1 1  0 
   20
2
√4
2
2
2
 
∝ 1 2 → 	 1 2 	 
 
	
3
	 1 	
3
	 2 	
3
	 0					 1 0.99 2 0.01 0 
0.99 1 0.01 2 0 
1 2 0 1 2  
 
	
3
	 1 	
3
	 2 	
3
	 0 	 	 	 	 1 	
3
	 2 	
3
	
2																	 0.01 1 0.99 2 2 
0.99 1 0.01 2 0 99																					 1 0.02                
0.01 1 0.99 2 2																																 2 2.02            
0.02 2.02  
 
31 	 4	 5 0,								 1 0,			 ′ 1 2      
4 3		 
1
4 4 4 1 3
	2 1
4 √16 12
2
4 √28
2
2 √7		
2
4 √16 12
2
4 √28
2
2 √7 
1 √ 2 √  
0 104.14 1 0.52 2 0 
′ 2 √7 1 √ 2 √7 2 √  
1 483.80 1 0.33 2 2 
2 0.721 
0.0036 √ 0 721 √  
32 4	 4 3 0,										  0)=1,    y’ (0)=5     
1  
1 00
   21
4 4 3 0	 
1
4 4 4 4 3
	2 4
4 √16 48
8
4 √64
8
3
2
	
2
4 8
8
3
2
	
1 . 2 .  
0 1 . 2 . 1 
1.5 1 . 0.5 .  
0 1.5 1 . 0.5 . =5 
1 3.9166																				 1.75 
0 3.9166 . 1.75 .  
 
2.3 Coeficientes indeterminados 
 
Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea 
2
'
2 1 02
(x) (x) (x) y (x) (0) cte(1) (0) cte(2)
d y dy
a a a g y y
dx dx
     
Se debe hacer dos cosas: 
1. encontrar la función complementaria Yh 
 
2. encontrar alguna solución particular Yp de la ecuación no homogénea. 
 
Entonces, la solución general de es 
 
Y(x)=Yh(x)+Yp(x) 
 
La función complementaria Yh es la solución general de la ED homogénea asociada 
de, es decir, 
1
1 1 0....... y' y (x)
n n
n na y a y a a g

     
   22
En la sección anterior se propuso cómo resolver esta clase de ecuaciones cuando los 
coeficientes eran constantes.Así, el objetivo en esta sección es desarrollar un método para obtener soluciones 
particulares. 
La primera de las dos formas que se consideran para obtener una solución particular 
Yp de una ED lineal no homogénea se llama método de coeficientes indeterminados. 
La idea fundamental detrás de este método es una conjetura acerca de la forma de Yp, 
en realidad una intuición educada, motivada por las clases de funciones que forman la 
función de entrada g(x). El método general se limita a ED lineales donde 
1) Los coeficientes ai, i =0, 1….. , n son constantes y 
2) g(x) es una constante k, una función polinomial, una función exponencial eax, una 
función seno o coseno o sumas finitas y productos de estas funciones. 
Es decir, g(x) es una combinación lineal de funciones de la clase. Y Debido a que la 
combinación lineal de derivadas: 
 
1
1 1 0....... y ' y (x)
n n
n P n P P Pa y a y a a g

     
 
Debe ser idéntica a g(x), parece razonable suponer que yp tiene la misma forma que 
g(x). 
 
1. ´´ 3 2 6 
Homogénea: 
3s 2 0 
3 3 4 1 1
2 1
3 √9 4
2
 
3 √5
2
0.38																											
3 √5
2
2.61 
  . 	 		 .  
No homogénea: 
   23
6 
 
′ 0 
′′ 0 
  Sustituyendo 
′′ 3 ′ 2 6 
0 3 0 2 A 6 
0 0 2A 6 
2A 6 
A 3 
. 	 		 . 3 
2. 4 ´´ 9 15 
Homogénea: 
4 9 0 
9
16
												 ∴ 																
3
4
																															
3
4
		 
	 	
3
4
3
4
sin  
	 	
3
4
3
4
sin  
No homogénea: 
15 
 
′ 0 
′′ 0 
  Sustituyendo 
4 ′′ 9 15 
4 0 9 A 15 
9A 15 
   24
A
5
3
 
	 	
3
4
3
4
sin
5
3
 
3. ´´ 10 25 30x	 3 
Homogénea: 
10s 25 0 
10 10 4 1 25
2 1
10 √0
2
 
5																											 5	 
	 		  
No homogénea: 
30 3 
x +B  
′  
′′ 0 
Sustituyendo 
′′ 10 ′ 25 30X 3 
x	 B 10 25 0 30X 3 
Para  “x”  
											25 30		 
											
6
3
	 
Para  “termino independiente”  
											10 3		 
											10
6
3
3		 
											12	 3		 
											 3 12		 
											 9		 
	 		
6
3
9		
   25
3. ´´ 6 2x 
Homogénea: 
s 6 0 
1 1 4 1 6
2 1
1 √25
2
 
1 5
2
2																											
1 5
2
3	 
	 		  
No homogénea: 
2  
x +B  
′  
′′ 0 
  Sustituyendo 
′′ ′ 6 2x 
0 A 6 x	 B	 2x 
A 6 x 6B 2x 
Para  “x”  
										 6 2																	 
											
1
3
	 
Para  “termino independiente”  
											 6 0		 
											
1
3
0		 
											
1
3
									 
5. 	
1
4
´´ 2x 
Homogénea: 
	
1
4
s 1 0 
   26
1 1 4
1
4 1
2
1
4
1 √0
1
2
 
2																											 2	 
	 		  
No homogénea: 
2x 
	 +B  
′ 2  
′′ 2  
  Sustituyendo 
1
4
′′ ′ 2x 
1
4
2 2 		 B 2x 
1
2
A 2 		 B 2xA 6 x 6B 2x 
A x 2A B
1
2
A B C 2x 
Para  “ ”  
										 1																	 
Para  “x”  
										2A B 2																	 
										2 1 B 2																	 
										2 B 2																	 
										B 2 2																 
										B 4																	 
Para  “termino independiente”  
											
1
2
A B C 0		 
											
1
2
1 4 C 0		 
   27
											
7
2
									 
	 		 4
7
2
		 
6. ´´ 8 20 100 26x  
Homogénea: 
	
8s 20 0 
8 8 4 1 20
2 1
1 √64
2
 
8 8
2
			 4 4 																							
8 8
2
		 4 4 		 
	 	4 4sin  
No homogénea: 
100 26x  
  
′ 2  
′′ 2 2  
Sustituyendo 
′′ 8 ′ 20 100 26x  
2 2 8 2 20 100 26x  
2 2 16 8 8 8 20 20 20
100 26x  
2A x 16A 20B x D 8D 20D 2D 8D 2A 8B 20C
100 26x  
Para  “ ”  
         20A 100																	 
										A 50																 
Para  “x”  
										16A 20B 0																	 
											16 50 20B 0																 
										800 20B 0																	 
   28
										B
800
20
															 
										B 40																	 
Para  “ ”  
          11D 26																	 
										D
26
11
																 
Para  “termino independiente”  
											2A 8B 20C 0		 
												2 50 8 40 20C 0		 
												100 320 20C 0		 
											
420
20
									 
										C 21		 
	 	4 4sin 50 40
26
11
21 
2.4 Variación de Parámetros  
El procedimiento que se utiliza para encontrar una solución particular Yp de una 
ecuación diferencial lineal de primer orden en un intervalo es también aplicable a una ED 
de orden superior. Para adaptar el método de variación de parámetros a una ecuación 
diferencial de segundo orden. 
2 1 0(x) y'' (x) y' (x) y (x)a a a g   
 
Comenzamos por escribir la ecuación en su forma estándar: 
 
y'' (x) y' Q(x) y (x)P g   
 
Dividiendo entre el coeficiente principal a2(x). La ecuación es la análoga de segundo 
orden de la forma estándar de una ecuación lineal de primer orden: y’+ P(x)y = f(x). Se 
supone que P(x), Q(x) y g(x) son continuas en algún intervalo común I. Como ya hemos 
visto, no hay dificultad para obtener la función complementaria Yh, la solución general 
de la ecuación homogénea, cuando los coeficientes son constantes. 
 
   29
Correspondiendo con la suposición Yp=u1(x) y1(x) que se usó anteriormente para 
encontrar una solución particular Yp de y’+P(x)y=f(x), para la ecuación lineal de segundo 
orden se busca una solución de la forma 
1 1 2 2Yp(x) (x) y (x) (x) y (x)u u  
Donde y1, y2 forman un conjunto fundamental de soluciones en I de la forma homogénea 
asociada. Usando la regla del producto para derivar dos veces a Yp, se obtiene 
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2
Y'p(x) (x) y' (x) ' (x) y (x) (x) y' (x) ' (x) y (x)
Y''p(x) (x) y'' (x) ' (x) y' (x) '' (x) y (x) ' (x) y' (x) (x) y'' (x)......
' (x) y' (x) '' (x) y (x) ' (x) y' (x)
u u u u
u u u u u
u u u
   
    
  
 
Sustiyendo en la ecuación: 
y'' (x) y' Q(x) y (x)P g   
 
Reduciendo, Agrupando y Resolviendo utilizando el método de Cramer, se obtienen el 
sistema de ecuaciones: 
1 1 2 2
1 1 2 2
' ' 0
' ' ' ' (x)
y u y u
y u y u g
 
 
 
El cual puede expresarse como una serie de determinantes y resolver para u1 y u2 
1 2 2 1
1 2 2 1
0 0
(y1, y 2) 1 2
' ' (x) ' ' (x)
y y y y
W W W
y y g y y g
     
       
     
 
Donde se conoce a los determinantes W como el wronskiano de las soluciones de la 
ecuación diferencia. Considerando el wronskiano y resolviendo para u’ 
1 2 2 1
1 2
(x) (x)
' '
W y g W y g
u u
W W W W

    
Entonces u es: 1 1 2 2' 'u u du y u u du   
   30
Ejemplos Resueltos 
1. ´´ sec  
Para la homogénea  
1 0 
0 0 4 1 1
2 1
 
Raíces imaginarias  y conjugadas 
	 	 sin  
	 	 sin  
	 	 sin  
Para la no homogénea  
 
cos sin  
, ´ ´
cos sin
sin cos
	 	 1 
,
0
´ sin
1
sec  
,
cos
1
sec 1 
sin sec 	 log | cos | 
 
	 log|cos | cos sin  
	 	 sin log|cos | cos sin  
	
2. ´´ tan  
Para la homogénea  
1 0 
0 0 4 1 1
2 1
 
Raíces imaginarias y conjugadas 
   31
	 	 sin  
	 	 sin  
	 	 sin  
Para la no homogénea  
 
cos sin  
, ´ ´
cos sin
sin cos
	 	 1 
,
0
´ sin
1
tan  
,
cos
1
tan sin  
sin tan 	 sin log |
2
sin
2
| log |
2 2
| 
sin cos  
sin log |
2
sin
2
| log |
2 2
| cos cos sin  
	 	 sin sin log |
2
sin
2
| log |
2 2
| cos cos sin  
 
3. ´´ sin  
Para la homogénea  
1 0 
0 0 4 1 1
2 1
 
Raíces imaginarias y conjugadas 
	 	 sin  
	 	 sin  
	 	 sin  
Para la no homogénea  
 
cos sin  
   32
, ´ ´
cos sin
sin cos
	 	 1 
,
0
´ sin
1
sin 	  
,
cos
1
sin  
	
1
4
sin 2 2  
cos sin
1
2
 
1
4
sin 2 2 cos
1
2
sin  
	 	 sin
1
4
sin 2 2 cos
1
2
sin  
	
4. ´´ sec tan  
Para la homogénea  
1 0 
0 0 4 1 1
2 1
 
Raíces imaginarias y conjugadas 
	 	 sin  
	 	 sin  
	 	 sin  
Para la no homogénea  
 
cos sin  
, ´ ´
cos sin
sin cos
	 	 1 
,
0
´ sin
1
sec tan  
,
1
sec tan  
   33
sin sec tan 	 tan  
cos sec tan 	 log  
tan cos log sin  
	 	 sin tan cos log sin  
	
5. ´´  
Para la homogénea  
1 0 
0 0 4 1 1
2 1
 
Raíces imaginarias y conjugadas 
	 	 sin  
	 	 sin  
	 	 sin  
Para la no homogénea  
 
cos sin  
, ´ ´
cos sin
sin cos
	 	 1 
,
0
´ sin
1
 
,
cos
1
 
sin
3
 
	
1
2
9 sin sin 3  
3
cos
1
2
9 sin sin 3 sinsin
3
cos
1
2
9 sin sin 3 sin  
   34
6. ´´  
Para la homogénea  
1 0 
0 0 4 1 1
2 1
 
Raíces imaginarias y conjugadas 
	 	 sin  
	 	 sin  
	 	 sin  
Para la no homogénea  
 
cos sin  
, ´ ´
cos sin
sin cos
	 	 1 
,
0
´ sin
1
sec  
,
cos
1
sec  
sin sec 	 sec  
cos 	 log sin
2 2
log
2 2
 
sec cos log sin
2 2
log
2 2
sin  
	 	 sin sec cos log sin
2 2
log
2 2
sin  
 
7. ´´ cosh  
Para la homogénea  
1 0 
0 0 4 1 1
2 1
1 
Raíces reales y diferentes 
   35
 
 
Para la no homogénea  
 
 
, ´ ´ 2  
,
0
´
2
cosh  
,
2
cosh  
2
cosh 	
4 8
 
2
cosh
1
8
2  
4 8
1
8
2  
4 8
1
8
2  
8. ´´ sinh 2  
Para la homogénea  
1 0 
0 0 4 1 1
2 1
1 
Raíces reales y diferentes 
 
 
Para la no homogénea  
 
 
, ´ ´ 2  
   36
,
0
´
2
sinh 2  
,
2
sinh 2  
2
sinh 2 	
12 4
 
2
sinh 2
1
12
3  
12 4
1
12
3  
12 4
1
12
3  
 
9. ´´ 4  
Para la homogénea  
4 0 
0 0 4 1 4
2 1
2 
Raíces reales y diferentes 
 
 
Para la no homogénea  
 
 
, ´ ´ 2 2
4  
,
0
´
4
 
,
4
 
4
log
4
 
   37
4
 
log
4
…  
log
4
…  
	
10. ´´ 9 	
Para la homogénea  
9 0 
0 0 4 1 9
2 1
3 
Raíces reales y diferentes 
 
 
Para la no homogénea  
 
 
, ´ ´ 3 3
6  
,
0
´
6
9
 
,
6
9
 
6
9
	
1
24
6 1  
6
9 3
4
 
	
1
24
6 1
3
4
 
	
1
24
6 1 	
3
4
 
 
   38
11.		 ´´ 3 ´ 2
1
1
 
Para la homogénea  
3s 2 0 
3 3 4 1 2
2 1
3 1
2
 
3 1
2
1 
3 1
2
2 
Raíces reales y diferentes 
 
 
Para la no homogénea  
 
 
, ´ ´ 2
 
,
0
´ 1
1
 
,
1
1
 
1
1
log 1 
1
1
log 1  
log 1 log 1  
log 1 log 1  
 
12.		 2
1
 
Para la homogénea 
2 1 0 
   39
√
=1                  s1=1                     s2= ‐1 
1 2  
Para la no homogénea 
yp=u1(cosx)+u2(senx) 
w(y1,y2)= =   =1 
 
w1=
0 2
′2
= y2/w f(x)=      
w1=
1 0
′1
= y1/w f(x)=      
 
u1=           u1=  
 
yp(x)=	            ‐            
 
 
13.  3 2 	  
Para la homogénea 
2 1 0 
√
=1                  s1=1                     s2= ‐1 
1 2  
Para la no homogénea 
yp=u1(cosx)+u2(senx) 
w(y1,y2) =   =1 
 
   40
w1=
0 2
′2
= y2/w f(x)=     =	  
w1=
1 0
′1
= y1/w f(x)=      
 
u1=           u1=  
 
yp(x)=c1cosx+c2senx+	    cosx+     senx 
 
14. 
  2 arctan  
Para la homogénea 
2 1 0 
√
=1                  s1=1                     s2= ‐1 
1 2  
Para la no homogénea 
yp=u1(cosx)+u2(senx) 
w(y1,y2) =   =1 
 
w1=
0 2
′2
= y2/w f(x)=     	 arctan  
w1=
1 0
′1
= y1/w f(x)=     arctan  
 
u1= arctan           u1= arctan  
 
   41
yp(x)=	 arctan            ‐  arctan           
 
15.  2 ln  
Para la homogénea 
2 1 0 
√
=1                  s1=1                     s2= ‐1 
1 2  
Para la no homogénea 
yp=u1(cosx)+u2(senx) 
w(y1,y2) =   =1 
 
w1=
0 2
′2
= y2/w f(x)=     ln = 
w1=
1 0
′1
= y1/w f(x)=     ln  
 
u1= ln           u1= ln  
 
yp(x)=	 ln      +  ln    
 
16. 2 2 4√  
Para la homogénea 
2 2 1 0 
√
=1                  s1=‐0                  s2= 2 
1 2  
Para la no homogénea 
   42
yp=u1(cosx)+u2(senx) 
w(y1,y2) =   =1 
 
w1=
0 2
′2
= y2/w f(x)=     4√  
w1=
1 0
′1
= y1/w f(x)=     4√  
 
u1= 4√           u1= 4√  
 
yp(x)=	 4√     +  4√       
 
17. 3 6 6  
Para la homogénea 
3 6 6 0 
√
=1                  s1=2                     s2= 0 
1 2  
Para la no homogénea 
yp=u1(cosx)+u2(senx) 
w(y1,y2) =   =1 
 
w1=
0 2
′2
= y2/w f(x)=      
w1=
1 0
′1
= y1/w f(x)=      
   43
u1=           u1=  
 
yp(x)=	            ‐            
 
18. 4 4 / √1  
Para la homogénea 
4 4 1 0 
√
=1                  s1=2                  s2= ‐2 
1 2  
Para la no homogénea 
yp=u1(cosx)+u2(senx) 
w(y1,y2)= =   =1 
 
w1=
0 2
′2
= y2/w f(x)=     / √1  
w1=
1 0
′1
= y1/w f(x)=     / √1  
 
u1= / √1           u1= / √1  
 
yp(x)=	 / √1 	    1‐  / √1      1 
 
 
 
 
 
   44
                                           CONCLUSIONES 
El curso de ecuaciones diferenciales para el área de ingeniería permite el estudio de la 
dinámica de sistemas de áreas como física, química, economía, evolución, estadística 
de población, computación, etc. La computación es una excelente herramienta que 
permite ver el comportamiento de la solución de ecuaciones diferenciales por lo que en 
este curso, los estudiantes de ingeniería en sistemas encuentran una aplicación directa 
a la programación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   45
 
BIBLIOGRAFÍA 
1. ZILL, D.G., CULLEN, M. R. ECUACIONES DIFERENCIALES CON PROBLEMAS DE VALORES 
A LA FRONTERA. ED. THOMSON. MÉXICO 
2. BOYCE y DIPRIMA. ECUACIONES DIFERENCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR DE 
FRONTERA. ED. WILEY- LIMUSA. MÉXICO 
3. SIMMONS, G.F. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES Y NOTAS 
HISTORICAS. ED. THOMSON. MÉXICO 
4. HSU, H.P. ANALISIS DE FOURIER. ADDISON-WESLEY, MÉXICO.