Matemática_1er _curso_Plan_Común_Ejercitario

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¡SIGO APRENDIENDO! 
DISCIPLINA: Matemática 
CURSO: 1° año 
TEMA: Inclinación y Pendiente de una recta. 
EJERCICIOS RESUELTOS 
Nivel I 
1.1. Halla la pendiente a partir del ángulo de inclinación: 
𝜶 = 𝟓𝟎° 
Aplicamos la relación: 𝒎 = 𝒕𝒈 𝜶, y reemplazamos: 
𝑚 = 𝑡𝑔 𝛼 
𝑚 = 𝑡𝑔 50° 
𝒎 = 𝟏, 𝟏𝟗 
El ángulo es agudo, entonces, la pendiente es positiva. 
1.2. Halla el ángulo de inclinación, conociendo la pendiente: 
𝒎 = −𝟎, 𝟑𝟐 
Si observamos la pendiente, la misma es negativa; por lo tanto, el ángulo 
de inclinación será un ángulo obtuso. 
Aplicamos la ecuación: 𝒎 = 𝒕𝒈 𝜶 
−0.32 = 𝑡𝑔 𝛼 
𝑡𝑔 𝛼 = −0,32 
Para obtener el resultado esperado, hacemos lo 
siguiente en la calculadora: 
Shift tan - 0,32 = ° ´ ” 
𝛼 = −17° 44 ´ 41" 
Este material tiene el objetivo de ayudarte a profundizar los conocimientos 
adquiridos mediante la resolución de ejercicios y problemas desafiantes. 
Puedes resolverlos con ayuda de tu profe de matemáticas. ¡Éxitos! 
En el caso que el resultado nos salga negativo, le sumamos 180°: 
𝛼 = −17° 44 ´ 41" + 180° 
𝜶 = 𝟏𝟔𝟐° 𝟏𝟓´ 𝟏𝟗" 
1.3. Determina el ángulo de inclinación de una recta, sabiendo 
que su pendiente es ¾ . 
𝒎 = 
𝟑
𝟒
 
Si observamos la pendiente, la misma es positiva; por lo tanto, el ángulo 
de inclinación será un ángulo agudo. 
Aplicamos la ecuación: 𝑚 = 𝑡𝑔 𝛼 
 
3
4
= 𝑡𝑔 𝛼 
𝑡𝑔 𝛼 = 
3
4
 
Para obtener el resultado esperado, hacemos lo siguiente en la 
calculadora: 
Shift tan 3 a b/c 4 = ° ´ ” 
𝜶 = 𝟑𝟔° 𝟓𝟐´ 𝟏𝟐" 
 
Nivel II: 
2.1. Determina el ángulo de inclinación de la recta que pasa por 
los puntos A(2,1) y B(5,4). Graficar. 
Identificamos los componentes de las coordenadas de A y B: 
Para A, tenemos que: x1= 2 e y1= 1. 
Para B, tenemos que: x2= 5 e y2= 4. 
Aplicamos la fórmula de pendiente: 
𝑚 = 
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
𝑚 = 
4 − 1
5 − 2
= 
3
3
= 1 
Si observamos la pendiente, la misma es positiva; por lo tanto, el ángulo 
de inclinación será un ángulo agudo. 
Para hallar el ángulo de inclinación, 
aplicamos: 𝑚 = 𝑡𝑔 𝛼 
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑚 
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 1 
𝛼 = 45° 
Graficamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2. Determina la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta 
que pasa por los puntos P(1,3) y Q(-3,4). Graficar. 
Identificamos los componentes de las coordenadas de P y Q: 
Para P, tenemos que: x1= 1 e y1= 3. 
Para Q, tenemos que: x2= -3 e y2= 4. 
Aplicamos la fórmula de pendiente: 
𝑚 = 
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
𝑚 = 
4 − 3
(−3) − 1
= − 
1
4
 
Si observamos la pendiente, la misma es negativa; por lo tanto, el ángulo 
de inclinación será un ángulo obtuso. 
Para hallar el ángulo de inclinación, aplicamos: 
𝑚 = 𝑡𝑔 𝛼 
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑚 
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (−
1
4
) 
𝛼 = −14° 2′10,48′′ + 180° 
𝜶 = 𝟏𝟔𝟓° 𝟓𝟕´ 𝟒𝟗" 
Graficamos: 
 
 
 
Nivel III: 
3.1. Determinar si las rectas formadas por los siguientes puntos 
son paralelas, perpendiculares u oblicuas. 
L1: A ( 1, 5) B (-2, 1) 
L2: C( 10,7) D (7,3) 
Hallamos la pendiente de la recta L1: 
Para A, tenemos que: x1= 1 e y1= 5. 
Para B, tenemos que: x2= -2 e y2=1. 
𝑚𝐴𝐵 = 
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
𝑚𝐴𝐵 = 
1 − 5
(−2) − 1
= 
−4
−3
=
4
3
 
 
Hallamos la pendiente de la recta L2: 
Para C, tenemos que: x1= 10 e y1= 7. 
Para D, tenemos que: x2= 7 e y2= 3. 
𝑚𝐶𝐷 = 
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
𝑚𝐶𝐷 = 
3 − 7
7 − 10
= 
−4
−3
=
4
3
 
 
Como 𝑚𝐴𝐵 = 𝑚𝐶𝐷, las rectas son paralelas. 
 
 
 
 
3.2. Determinar si las rectas formadas por los siguientes puntos 
son paralelas, perpendiculares u oblicuas. 
L1: A ( -2, 3) B (3,5) 
L2: C(2,-1) D (-4,14) 
Hallamos la pendiente de la recta L1: 
Para A, tenemos que: x1= -2 e y1= 3. 
Para B, tenemos que: x2= 3 e y2=5. 
𝑚𝐴𝐵 = 
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
𝑚𝐴𝐵 = 
5 − 3
3 − (−2)
= 
2
5
 
Hallamos la pendiente de la recta L2: 
Para C, tenemos que: x1= 2 e y1= -1. 
Para D, tenemos que: x2= -4 e y2= 14. 
𝑚𝐶𝐷 = 
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
𝑚𝐶𝐷 = 
14 − (−1)
(−4) − 2
= 
15
−6
= −
5
2
 
Comprobamos que: 
𝑚𝐴𝐵 . 𝑚𝐶𝐷 = −1 
(
2
5
) . (− 
5
2
) = −1 𝐿𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠. 
Graficamos: 
 
 
 
EJERCICIOS DESAFIANTES 
1. Dado el punto A (-2,3), determina el punto B( 3k, k+1) de modo que la 
pendiente de la recta AB sea igual a ½. 
2. El siguiente gráfico corresponde a un tramo de una carretera en un 
terreno montañoso. Observa con atención y responde a las preguntas 
planteadas. 
 
a. ¿Cuál es el valor de la pendiente y el ángulo de inclinación 
correspondiente al segmento BC? 
b. ¿La pendiente del segmento CD es positiva o negativa? Justifica. 
c. ¿Qué segmento de recta tiene pendiente negativa? 
d. ¿Qué segmento de recta tienen pendiente nula? Justifica. 
 
 
BIBLIOGRAFÍA: 
Centurión Acha, N.; et. al (2015). Matemática 2. Segundo Curso - 
Educación Media. Asunción, Paraguay: Editorial en Alianza. 
Martínez de Kennedy, M. (2019). Matemática 2do Curso. Bachillerato 
Científico y Técnico Educación Media. Editora – Litocolor. 
Lehmann, Ch. (2006). Geometría Analítica. Editorial Limusa. México D.F. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coordinador Prof. Mtr. César José Ocampos Acuña. 
Responsable del contenido Prof. Gustavo Raimundo Reyes Benítez. 
Prof. Lic. Simón Francisco Ruiz Diaz Vicézar 
Responsable de la revisión Prof. Lic. Gisselle Garay Cabrera 
Responsable de la corrección Lic. Juan de Dios Cañete Fernández.