Apendice Matemáticas

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Fórmula cuadrática
Si ax2 � bx � c � 0, entonces
Circunferencia, área, volumen
Siendo � � 3,14159...
Circunferencia del círculo 2�r
Área del círculo �r2
Superficie de la esfera 4�r2
Volumen de la esfera 4/3�r3
Área del triángulo 1/2bh
Volumen del cilindro �r2l
Trigonometría
Definición de ángulo (en radianes): 
Hay 2� radianes en un círculo completo.
1 radián ≈ 57,3�
Funciones trigonométricas 
Valores en algunos ángulos seleccionados
� � � �
�
�
�
6 4 3 2
1
2
2
2
3
2
0 30 45 60 90
0 1
→ ( ) ( ) ( ) ( )
sen
cos
� � � �
11 0
0 1 3
3
2
2
2
1
2
3
3tan� ∞
θ
y
yr s
x
sen
cos
tan
sen
cos
�
�
�
�
�
=
=
= =
y
r
x
r
y
x
� =
s
r
x
b b ac
a
=
− ± −2 4
2
A-1
APÉNDICE A Matemáticas
r
l
h
b
Gráficas de funciones trigonométricas
Identidades trigonométricas 
Leyes de los cosenos y de los senos 
A, B, C son los lados de un triángulo arbitrario y �, � y � son
los ángulos opuestos a dichos lados: 
Ley de los cosenos 
Ley de los senos 
A
B
C
α
ß
γ
sen sen sen
= =
� � �
A B C
cos= + − �C A B AB2 2 2 2
sen( ) sen
cos( ) cos
sen cos
cos
− = −
− =
±
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ±
� �
� �
�
�
�
2
��
�
�
� �
� � �
±
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ±
+ =
=
2
1
2 2
2 2
sen
sen cos
sen sen cos
1
0
co
s 
θ
-1
θ
� 2��
 2
3�
2
1
0
se
n 
θ
-1
θ
� 2��
 2
3�
2
Z01_APEND.QXD 6/4/11 20:05 Página A-1
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A-2 Apéndice A Matemáticas
Exponenciales y logaritmos 
Aproximaciones
Para |x| << 1, las siguientes expresiones proporcionan buenas
aproximaciones a funciones comunes: 
e ≈ 1 � x
sen x ≈ x
cos x ≈ 1 	 Qx2
ln (1 � x) ≈ x
(1 � x)p ≈ 1 � px (aproximación binomial)
e x e x e
a e xy x y
a
x x
x x a
ln
ln
ln , ...
ln( ) ln ln
= = =
= = +
2 71828
xx y x y
x y xy
a a
x
y
x y
a a
x
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
+ ln ln ln
( ) ln
1
−−
=
ln
log
x
xx10
Las expresiones que no están en la forma apropiada, a menudo
pueden escribirse en dicha forma. Por ejemplo,
para y2 / a2 << 1, o y2 << a2.
Notación con vectores unitarios
Un vector arbitrario A
→
puede escribirse en función de sus com-
ponentes Ax, Ay y Az, y de los vectores unitarios i, j y k, que
tienen una longitud igual a 1 y la dirección de los ejes x, y y z.
Ay
Ax
A � Axi� Ay j
^→ ^
j i
x y
z
k
^
^
^
1 1
1
1
1
1
1
22 2 2
2
2
2
1 2 2
a y
a
y
a
a
y
a a
y
a+
=
+
= +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ≈ −
⎛
⎝
⎜
⎞− /
⎠⎠
⎟
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