EJERCICIOS-RESUELTOS-1

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IES SIERRA DE GRAZALEMA MATEMÁTICAS 1º ESO
http://iesgrazalema.blogspot.com http://www.slideshare.net/DGS998
LENGUAJE ALGEBRAICO. ECUACIONES
EJERCICIOS RESUELTOS
 
Lenguaje numérico y lenguaje algebraico
 1.- Completa la tabla utilizando las columnas lenguaje numérico o lenguaje algebraico, según
 corresponda:
LENGUAJE USUAL
LENGUAJE
NUMÉRICO
LENGUAJE
ALGEBRAICO
 1.- El doble de 7. 2 ·7
 2.- El doble de un número. 2 x
 3.- El triple de 6. 3 ·6
 4.- El triple de un número. 3 x
 5.- La mitad de 8.
8
2
 6.- La mitad de un número.
x
2
 7.- La tercera parte de un número.
x
3
 8.- El cuádruple de 5. 4 · 5
 9.- El cuádruple de un número. 4 x
10.- El quíntuple de un número. 5 x
11.- 8 disminuye en 3 unidades. 8−3
12.- Un número disminuye en 2 unidades. x−2
13.- 11 aumenta en 4 unidades. 114
14.- Un número aumenta en 3 unidades. x3
15.- El doble de 4 aumenta en 2 unidades. 2 ·42
16.- El doble de un número aumenta en 7 unidades. 2 x7
17.- El cuadrado de 3. 32
1
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18.- El cuadrado de un número. x2
19.- El cubo de 7. 73
20.- El cubo de un número. x3
21.- Un número elevado a la cuarta potencia. x4
22.- 3 al cuadrado más su doble. 322 ·3
23.- El cuadrado de un número más su doble. x22 x
24.- 8 al cubo menos su triple. 83−3 ·8
25.- El cubo de un número menos su triple. x3−3 x
26.- La mitad de 12 menos su tercera parte.
12
2
−12
3
27.- La mitad de un número menos su tercera parte.
x
2
− x
3
28.- La quinta parte de un número menos su sexta parte.
x
5
− x
6
29.- El cuadrado de 5 más el cuadrado de 3. 5232
30.- La suma de los cuadrados de dos números. x2 y2
31.- El cuadrado de la suma de 3 y 8. 382
32.- El cuadrado de la suma de dos números. x y 2
33.- El cubo de 2 más el cubo de 7. 2373
34.- La suma de los cubos de dos números. x3 y3
35.- El cubo de la suma de 2 y 3. 233
36.- El cubo de la suma de dos números. x y 3
37.- El cuadrado de la diferencia de 7 y 4. 7−42
38.- El cuadrado de la diferencia de dos números. x− y 2
39.- La diferencia de los cuadrados de 5 y 2. 5
2−22
2
40.- La diferencia de los cuadrados de dos números. x2− y2
41.- El cubo de la diferencia de dos números. x− y 3
42.- La diferencia de los cubos de dos números. x3− y3
43.- El número natural siguiente a n. n1
44.- El número natural anterior a n. n−1
45.- Tres números naturales consecutivos. n ,n1, n2
46.- Un número múltiplo de 3. 3n
47.- Un número múltiplo de 5. 5n
48.- Un número par. 2 n
49.- Tres números pares consecutivos. 2 n ,2 n2, 2n4
50.- Un número impar. 2 n1
51.- Tres números impares consecutivos. 2 n1, 2n3, 2n5
 2.- Escribe en lenguaje algebraico:
 a) El triple de un número más tres es igual a veintiuno.
 3 x3=21
 b) La mitad de un número es igual a ocho.
 
x
2
=8
 c) El cubo de un número es igual a veintisiete.
 x3=27
 d) Dos números pares consecutivos.
 2 x ,2 x2
 e) La edad de una persona dentro de diez años.
 x10
3
 f) La edad de una persona hace cinco años.
 x−5
 g) El triple de la edad que tenía una persona hace cuatro años.
 3(x−4)
 h) Dos números impares consecutivos.
 2 x1, 2 x3
 i) La diferencia de los cubos de dos números.
 x3− y3
 j) El cubo de la suma de dos números.
 x y 3
 k) Dos decenas más que un número.
 x+20
 3.- Escribe en lenguaje usual:
 a) y−5
 Un número menos cinco.
 b) x12
 Un número más doce.
 c) 15−m
 Quince menos un número.
 d) 2 x−2
 El doble de un número menos dos.
 e) 19−n
 Diecinueve menos un número.
 f) t 2−2t
 El cuadrado de un número menos su doble.
4
 g) x1
 El número siguiente a x.
 h) x−1
 El número anterior a x.
 i) ab2
 El cuadrado de la suma de dos números.
 j) a2−b2
 La diferencia de los cuadrados de dos números.
 k) 2 x 2−3 x
 El doble del cuadrado de un número menos su triple.
 l) 3 x x3
 El triple de un número más su cubo.
 4.- Pedro tiene x €, Berta tiene 3 € más, Manuel tiene un tercio del dinero de Pedro, Jorge tiene el
 triple que Berta y Fernando tiene 3 € menos que Manuel. Expresa, en lenguaje algebraico, el
 dinero que tiene cada uno. 
 Pedro→ x €
 Berta→(x+3)€
 Manuel →
x
3
€
 Jorge→3(x+3) €=(3 x+9)€
 Fernando→( x3−3)€
 5.- Utiliza el lenguaje algebraico para expresar el área y el perímetro de las figuras:
 a)
 A=( x+1) x=x2+x
 x
 P=2( x+1)+2 x=2 x+2+2 x=4 x+2
 x + 1
5
 b)
 
 a c
 b
 
 A=
b· a
2
 P=a+b+c
 6.- Rogelio ha plantado un huerto con lechugas, tomateras y pimientos. Si el número de lechugas 
 es x, expresa en lenguaje algebraico el número de tomateras y pimientos sabiendo que:
 · Las tomateras son una más que el doble de lechugas.
 · Hay tantos pimientos como lechugas y tomateras juntas.
 Lechugas → x
 Tomateras→2 x+1
 Pimientos → x+2 x+1=3 x+1
 7.- En un cuadrado de 40 cm de perímetro la base mide 4 cm más que la altura. Traduce estas
 informaciones al lenguaje algebraico.
 
 x cm
 
 (x + 4) cm
 Altura=x cm Base=(x+4)cm 
 
Perímetro :
2( x+4)+2 x=40
2 x+8+2 x=40
4 x+8=40
Expresiones algebraicas
 8.- Escribe las expresiones algebraicas: 
 a) x más y más z.
 x yz La suma de tres números.
 b) La diferencia entre el doble de a y el doble de b. 
 2a−2b Dos a menos dos b.
 
6
 c) El doble de la suma de r y s.
 2 rs Dos, r más s.
 d) Dos r menos s.
 2 r−s La diferencia entre el doble de r y s.
 
 e) Tres m más n.
 3mn La suma entre el triple de m y n.
 f) El doble de x más cinco es igual a diecisiete.
 2 x5=17 Dos x más cinco igual a diecisiete.
 g) El triple de y sumado a dieciocho es igual a veinticuatro.
 183 y=24 Dieciocho más tres y igual a veinticuatro.
 h) x más dos x es igual a nueve.
 x2 x=9 Un número más su doble es igual a nueve.
 9.- Lee las expresiones algebraicas:
 a)
x
7
 La séptima parte de número.
 x entre siete.
 b) x
y
3
 Un número más un tercio de otro.
 x más y entre tres.
 c) b22
 El cuadrado de la suma de b y dos.
 b más dos, al cuadrado.
 d) 2a−3b
 La diferencia entre el doble de a y el triple de b.
 Dos a menos tres b.
 e) xz
 El producto de x y z.
 xz.
7
 f) x2 y2 z2
 El producto de los cuadrados de tres números.
 x al cuadrado, y al cuadrado, z al cuadrado.
 g) abc 3
 El cubo de la suma de tres números.
 a más b más c, al cubo.
 h)
m
2
− n
3
 La diferencia entre la mitad de un número y la tercera parte de otro.
 m entre dos menos n entre tres.
Valor numérico de una expresión algebraica
10.- Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas para los valores de la letras que se
 indicanen cada caso:
 a) {5a²b²=5 ·2232=5 ·49=209=29a=2, b=3 }
 b) {6 x−2=6 ·−2−2=−12−2=−14x=−2 }
 c) {3x−1=3 1−1=3·0=0x=1 }
 d) {4 1−x² =41−−32=41−9=4 ·−9=−36x=−3 }
 e) {x2 3 x−1= 12 3· 1−1= 12 3−1= 12 2=52x=1 }
 f) {x2 3x−1=−22 3 ·−2−1=−1−6−1=−8x=−2 }
 g) {x2−3 x5=−12−3 ·−15=135=9x=−1 }
 h) {5 x−6=5 · 10−6=50−6=44x=10 }
 i) {x25 x3=225· 23=45 ·8=440=44x=2 }
8
 j) {ab2=−5122=72=49a=−5, b=12 }
 k) {ab2=−8−32=−8−32=−112=121a=−8, b=−3 }
 l) {y−x=7−−5=75=12x=−5, y=7 }
 m) {2 x y =2 ·−57=2·2=4x=−5, y=7 }
 n) {2 x− y=2 ·−5−7=−10−7=−17x=−5, y=7 }
 ñ) {2 xy=2 ·−5· 7=−70x=−5, y=7 }
 o) {3n4=3· −24=−64=−2n=−2 }
 p) {n n5=−8 ·−85=−8 ·−3=24n=−8 }
 q) {n2n1=22 ·21=4 ·3=12n=2 }
 r) {n2n1=−52 ·−51=25 ·−4=−100n=−5 }
 s) {x4−1=−34−1=81−1=80x=−3 } 
 t) {x2− y 2=−12−22=1−4=−3x=−1, y=2 }
 u) {x3−2 x3=−23−2 ·−23=−843=−87=−1x=−2 }
 v) {x4−5 x5=−34−5 ·−35=81155=101x=−3 }
 w) {2 x−57 x1 x−4=2 ·4−57 ·41·4−4=2 ·−17 ·5 ·0=−20=−2x=4 }
9
 x) { x33x−1 = 433 ·4−1 = 73 · 3 = 79x=4 }
 y)
{2 x−24 x
23
x4
= 2 ·4−24 ·4
23
44
= 2 ·24 ·163
8
= 44·19
8
= 476
8
= 80
8
=10
x=4 }
 z) {2 t−6 t2 =2 ·−20−6 −202 =−40−6−10=−56t=−20 }
Monomios
11.- Selecciona las expresiones algebraicas que sean monomios:
 a) −7 x3 → Monomio
 b) −7 x−3 → No es monomio
 c)
3
4
x y2 z3 → Monomio
 d)
x y2
z3
→ No es monomio
 e) −xy5 → Monomio
 f) xy−5 → No es monomio
 g)
3
x
→ No es monomio
 h)
x
3
→ Monomio 
12.- Determina los componentes de los siguientes monomios:
 a) 5 x2 → Coeficiente: 5 → Parte literal: x2 → Grado: 2
 b) x → Coeficiente: 1 → Parte literal: x → Grado: 1
 c) xyz → Coeficiente: 1 → Parte literal: xyz → Grado: 111=3
 d) 3 → Coeficiente: 3 → Parte literal: x0 → Grado: 0
 e) 7 xy → Coeficiente: 7 → Parte literal: xy → Grado: 11=2 
10
 f) 9 x2 y → Coeficiente: 9 → Parte literal: x2 y → Grado: 21=3
 g) 12 → Coeficiente: 12 → Parte literal: x0 → Grado: 0
 h) x2 y2 z3 → Coeficiente: 1 → Parte literal: x2 y2 z3 → Grado: 223=7 
Monomios semejantes. Suma y resta de monomios semejantes
13.- Agrupa las expresiones algebraicas que sean monomios semejantes:
a) −8 x3 y2 z4 b) −8 x7
c) x2 y3 z 4 d) 8 x7
e) −8 x6 f) −8 x2 y3 z4
g) −5 x6 h) 8 x3 y2 z 4
 −8 x7≈8 x7
 −8 x6≈−5 x6
 x2 y3 z 4≈−8 x2 y3 z 4
 −8 x3 y2 z4≈8 x3 y2 z4
14.- Calcula:
 a) 4 x35 x3=9 x3
 b) 2 y2 y Distinto grado⇒ Monomios no semejantes
 c) −7 x53 x5=−4 x5
 d) ab Distinta parte literal ⇒ Monomios no semejantes
 e) 3 x2−5 x2=3 x2−5 x2=−2 x2
 f) 5 p35q3  Distinta parte literal⇒ Monomios no semejantes
 g) 3 x2−2 x2= x2
 h) 10 x3−−4 x3=10 x34 x3=14 x3
 i) 15 x5−7 x5=8 x5
 j) −2 x43 x 4=x4
 k) −14 x4−−10 x 4=−14 x410 x4=−4 x4
 l) −7 x5−10 x5=−7 x5−10 x5=−17 x5
11
 m) −6 x3 y4 x3 y=−2 x3 y
 n) 5a2 b−−6 a2 b=5 a2 b6 a2 b=11a2 b
 ñ) 4 a5a3 a27a2=10a29a
 o) 3 x27 x2−x2−2 x2=10 x2−3 x2=7 x2
 p) −5 x27 x2−3 x 2−x2=7 x2−9 x 2=−2 x2
 q) 2 x3−11 x3−6 x3=2 x3−17 x3=−15 x3
 r) 3ab25ab2−7ab2=8ab2−7ab2=ab2
 s) 3 x2 x−8 x=5 x−8 x=−3 x
 t) 3 xy−11 xy4 xy−6 xy7 xy=14 xy−17 xy=−3 xy
 u) 2 x 23 x23 x3− x2 x1=3 x35 x2−x2 x1=3 x34 x2x1
 v) 3 x2−9 x28 x2−5 x2=11x 2−14 x2=−3 x2
 w) −7 x5−3 x29 x255 x5−8=−2 x56 x2−3
 x) 2 ( x 2−2 x )+3 x−4 x 2=2 x2−4 x+3 x−4 x2=−2 x2−x
 y) x2−(2 x2+x )=x 2−2 x2−x=−x2−x
Igualdades
15.- Comprueba si las siguientes expresiones numéricas son igualdades o desigualdades:
 a)
 
16=8 Desigualdad
7≠8
 b)
 
2 ·3−1=32 Igualdad
6−1=32
5=5
 c)
 
6 ·36=3· 8 Igualdad
186=24
24=24
 d)
 
7−10
2
=26
13
 Igualdad
7−5=2
2=2
12
 e)
 
21−4 ·2=42 Desigualdad
21−8=16
13≠16
 f)
 
15· 3=52−7 Igualdad
6 · 3=25−7
18=18
 g)
 
25−2=211 Desigualdad
23≠22
 h)
 
86=18−51 Igualdad
14=19−5
14=14
16.- Comprueba si las siguientes igualdades algebraicas son verdaderas o falsas para los valores
 dados:
 a) 24−4 x=4 ; para x=5
 
24−4 x=4Verdadera
24−4 · 5=4
24−20=4
4=4
 b) 20=2 x ; para x=11
 
20=2 x  Falsa
20=2 ·11
20≠22
 c) x−4=20 ; para x=24
 
x−4=20Verdadera
24−4=20
20=20
 d) 125 x− x=x ; para x=1
 
125 x−x= x Falsa
125 · 1−1=1
125−1=1
17−1=1
16≠1
13
 e) 5 x−2=4 ; para x=1
 
5 x−2=4 Falsa
5· 1−2=4
5−2=4
3≠4
 f) 4 x−x=5 x10 ; para x=−2
 
4 x−x=5 x10 Falsa
4 · −2−−2=5 ·−210
−82=−1010
−6≠0
 
17.- Clasifica las siguientes igualdades algebraicas según sean identidades o ecuaciones:
 a)
 
12 x−3 x=9 x Identidad
9 x=9 x
 b)
 
4 x5−3 x2= x7 Identidad
x7=x7
 c)
 
3 x−615=2 x25 Ecuación
3 x9=2 x25
 d)
 
2 x2 y2 z=2 x y z  Identidad
2 x2 y2 z=2 x2 y2 z
 e)
 
3 x−6=3x−2 Identidad
3 x−6=3 x−6
 f)
 
2 x4=3 x−x−8 Identidad
2 x8=3 x− x8
2 x8=2 x8
 g)
 
x−1−3 x−1=2 x4 Ecuación
x−1−3 x3=2 x4
−2 x2=2 x4
 h)
 
3x1=3 x3 Identidad
3 x3=3 x3
14
 i)
 
3 x−2 x5 x=2 x−7 Ecuación
4 x−2 x5=2 x−7
2 x5=2 x−7
 j)
 
5 x8−2 x=−4 x−127 x20 Identidad
3 x8=3 x8
 k)
 
−4 x5=−3x−107 x−8 x−122 Identidad
−4 x−20=7 x−11 x2−22
−4 x−20=−4 x−20
 l)
 
3 x−85x12=24 x3 Ecuación
8 x5=8 x6
 m)
 5 n−7=3n−1→ Ecuación
 n)
 
5(n−1)=5n−5→ Identidad
5 n−5=5n−5
 ñ)
 
7 x−3 x+3=4+4 x−1→ Identidad
4 x+3=4 x+3
 o)
 
7 x−3 x=6−2 x → Ecuación
4 x=6−2 x
 p)
 2 x2=18→ Ecuación
 q)
 x2−4 x+3=0→ Ecuación
 r)
 
x ( x−1)=x2−x → Identidad
x2− x=x2−x
 s)
 
3 x+2− x=2( x+1)→ Identidad
2 x+2=2 x+2
15
18.- Encuentra la fórmula general para el valor de n en las siguientes secuencias:
 a)
1 2 3 4 10 n
1 3 5 7 19 2 n−1
 b)
1 2 3 4 10 n
2 5 10 17 101 n2+1
Ecuación: incógnita, grado, miembros, términos y soluciones
19.- Describe las siguientes ecuaciones:
 a) x23 x=0
 {Incógnia : xGrado: 2}⇒Ecuación de segundo grado conuna incógnita
 1
er miembro: x23 x{Término : x2Término :3 x}
 2º miembro :0Término : 0 Soluciones : x1=0 x 2=−3
 b) 3 x−6=2 x8
 {Incógnita : xGrado :1}⇒ Ecuaciónde primer grado conuna incógnita
 1
er miembro:3 x−6{Término :3xTérmino :−6}
 2º miembro :2 x8{Término : 2 xTérmino :8 }
 Solución: x=14
 c) x2 y2=10
 {Incógnitas : x , yGrado :2}⇒Ecuación de segundo gradocon dos incógnitas
 1
er miembro: x2 y2 {Término : x2Término : y2} 
 2º miembro :10Término :10
 Solución: x=¿? y=¿?
16
20.- Comprueba si x=7 es solución de estas ecuaciones:
 a) x−7=1
 
4−7=1
−3≠1⇒ x≠7
 b) 2 x−x=21
 
2 x−x=21
x=21⇒ x≠7
 c) x+10−2 x=2 x−10
 
x+10−2 x=2 x−10
− x+10=2 x−10
−7+10=2 · 7−10
−7+10=14−10
3≠4⇒ x≠7
 d) 3(x+3)=5 x−5
 
3(x+3)=5 x−5
3 x+9=5 x−5
3 · 7+9=5 · 7−5
21+9=35−5
30=30⇒ x=7
Ecuaciones equivalentes
21.- ¿Cuáles de las siguientes ecuacionesson equivalentes?
 a) x5=10⇒ x=5 b) x5=8⇒ x=3
 c) x78=155⇒ x15=20⇒ x=5 d) x−8=−3⇒ x=5
 Ecuaciones equivalentes :a , c , d
22.- Construye ecuaciones equivalentes a la ecuación 10 x5=25 :
 a) Sumando a los dos miembros el número 3.
 10 x5=25⇔10 x53=253⇔10 x8=28
 
 b) Restando a los dos miembros el número 4.
 10 x5=25⇔10 x5−4=25−4⇔10 x1=21
 c) Sumando a los dos miembros la expresión algebraica 5x.
 10 x5=25⇔10 x5 x5=255 x ⇔15 x5=255 x
17
 d) Restando a los dos miembros la expresión algebraica 8x.
 10 x5=25⇔10 x−8 x5=25−8 x⇔2 x5=25−8 x
 e) Multiplicando los dos miembros por el número 6.
 10 x5=25⇔610 x5=6 ·25⇔60 x30=150
 f) Dividiendo los dos miembros por el número 5.
 10 x5=25⇔
10 x5
5
=25
5
⇔2 x1=5
23.- Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando ecuaciones equivalentes: 
 a) x2=8
Con ecuaciones equivalentes En la práctica
x2=8
x2−2=8−2
x=6
x2=8
x=8−2
x=6
 b) a−2=6
Con ecuaciones equivalentes En la práctica
a−2=6
a−22=62
a=8
a−2=6
a=62
a=8
 c) 4x=10−2
Con ecuaciones equivalentes En la práctica
4x=10−2
4x=8
4−4x=8−4
x=4
4x=10−2
4x=8
x=8−4
x=4
 d) 4 r=20
Con ecuaciones equivalentes En la práctica
4 r=20
4 r
4
=20
4
r=5
4 r=20
r=20
4
r=5
18
 e) c−6=−1
Con ecuaciones equivalentes En la práctica
c−6=−1
c−66=−16
c=5
c−6=−1
c=−16
c=5
 f) −t2=3
Con ecuaciones equivalentes En la práctica
−t2=3
−t2−2=3−2
−t=1
−t
−1
= 1
−1
t=−1
−t2=3
−t=3−2
−t=1
t= 1
−1
t=−1
 g) −y7=3
Con ecuaciones equivalentes En la práctica
− y7=3
−y7−7=3−7
− y=−4
− y
−1
=−4
−1
y=4
− y7=3
− y=3−7
− y=−4
y=−4
−1
y=4
 h) 15−d=12
Con ecuaciones equivalentes En la práctica
15−d=12
15−15−d=12−15
−d=−3
−d
−1
=−3
−1
d=3
15−d=12
−d=12−15
−d=−3
d=−3
−1
d=3
 i) 16=4 y
Con ecuaciones equivalentes En la práctica
16=4 y
4 y=16
4 y
4
=16
4
y=4
16=4 y
4 y=16
y=16
4
y=4
19
 j) 75=25 x
Con ecuaciones equivalentes En la práctica
75=25 x
25 x=75
25 x
25
=75
25
x=3
75=25 x
25 x=75
x=75
25
x=3
 k) 4 x=−20
Con ecuaciones equivalentes En la práctica
4 x=−20
4 x
4
=−20
4
x=−5
4 x=−20
x=−20
4
x=−5
 l) 2 x10=16
Con ecuaciones equivalentes En la práctica
2 x10=16
2 x10−10=16−10
2 x=6
2 x
2
=6
2
x=3
2 x10=16
2 x=16−10
2 x=6
x=6
2
x=3
 m) 5 x10=7 x2
Con ecuaciones equivalentes En la práctica
5 x10=7 x2
5 x−7 x10=7 x−7 x2
−2 x10=2
−2 x10−10=2−10
−2 x=−8
−2 x
−2
=−8
−2
x=4
5 x10=7 x2
5 x−7 x=2−10
−2 x=−8
x=−8
−2
x=4
20
 n) 10 x−2=1
Con ecuaciones equivalentes En la práctica
10 x−2=1
10 x−20=1
10 x−2020=120
10 x=21
10 x
10
=21
10
⇒ x=21
10
10 x−2=1
10 x−20=1
10 x=120
10 x=21
x= 21
10
 ñ) 6 x−2=31−5 x
Con ecuaciones equivalentes En la práctica
6 x−2=31−5 x
6 x5 x−2=31−5 x5 x
11 x−2=31
11 x−22=312
11 x=33
x=33
11
x=3
6 x−2=31−5 x
6 x5 x=312
11 x=33
x=33
11
x=3
 o)
9 x
3
6=6 x
3
−3
Con ecuaciones equivalentes En la práctica
9 x
3
6=6 x
3
−3
3 x6=2 x−3
3 x−2 x6=2 x−2 x−3
x6=−3
x6−6=−3−6
x=−9
9 x
3
6=6 x
3
−3
3 x6=2 x−3
3 x−2 x=−3−6
x=−9
 p) 24x−6=506
Con ecuaciones equivalentes En la práctica
24 x−6=506
x18=56
x18−18=56−18
x=38
24 x−6=506
x18=56
x=56−18
x=38
21
 q) 7 x−6=x85 x
Con ecuaciones equivalentes En la práctica
7 x−6=x85 x
7 x−6=6 x8
7 x−6 x−6=6 x−6 x8
x−6=8
x−66=86
x=14
7 x−6= x85 x
7 x−6=6 x8
7 x−6 x=86
x=14
 r) −3x=14 
Con ecuaciones equivalentes En la práctica
−3 x=14
−33 x=143
x=17
−3 x=14
x=143
x=17
 s) 34 x=−75 x−1
Con ecuaciones equivalentes En la práctica
34 x=−75 x−1
4 x3=5 x−8
4 x−5 x3=5 x−5 x−8
−x3=−8
−x3−3=−8−3
−x=−11
−x
−1
=−11
−1
x=11
34 x=−75 x−1
4 x3=5 x−8
4 x−5 x=−8−3
−x=−11
x=−11
−1
x=11
 t)
x
7
=3
Con ecuaciones equivalentes En la práctica
x
7
=3
7 x
7
=7 · 3
x=21
x
7
=3
x=3 · 7
x=21
22
 u)
4
3
x=2
5
Con ecuaciones equivalentes En la práctica
4
3
x=2
5
3·
4
3
x=3 · 2
5
4 x=
6
5
5· 4 x=5 · 6
5
20 x=6
20 x
20
= 6
20
x=
6
20
x= 3
10
4
3
x=2
5
15 ·4
3
x=15·2
5
20 x=6
x= 6
20
x=
3
10
Método general para la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
24.- Resuelve: 
 a) 3 x−5=4
 
 
3 x−5=4
3 x=45
3 x=9
x=9
3
x=3
 b) 6−7 x=20
 
6−7 x=20
−7 x=20−6
−7 x=14
x= 14
−7
x=−2
 c) 5 x−30=0
 
5 x−30=0
5 x=030
5 x=30
x=30
5
x=6
23
 d) −7 x3=3
 
−7 x3=3
−7 x=3−3
−7 x=0
x= 0
−7
x=0
 e) 19−2 x=3
 
19−2 x=3
−2 x=3−19
−2 x=−16
x=−16
−2
x=8
 f) 7 x−6=5 x
 7 x−6=5 x⇒7 x−5 x=6⇒2 x=6⇒ x=
6
2
⇒ x=3
 g) 30−2 x=4 x
 
30−2 x=4 x
−2 x−4 x=−30
−6 x=−30
x=−30
−6
x=5
 h) 3 x−4=24− x
 
3 x−4=24− x
3 x x=244
4 x=28
x=28
4
x=7
 i) 2 x3=5−3 x
 
2 x3=5−3 x
2 x3 x=5−3
5 x=2
x= 2
5
24
 j) x5=−x13
 
x5=−x13
xx=13−5
2 x=8
x=8
2
x=4
 k) 2 x5=74 x
 
2 x5=74 x
2 x−4 x=7−5
−2 x=2
x= 2
−2
x=−1
 l) 9 x810 x=7 x155 x
 
9 x810 x=7 x155 x
19 x8=12 x15
19 x−12 x=15−8
7 x=7
x=7
7
⇒ x=1
 m) 2 x−57 x=−3 x198 x
 
2 x−57 x=−3 x198 x
9 x−5=5 x19
9 x−5 x=195
4 x=24
x=24
4
x=6
 n) −3x5=2 x−1x−9 x
 
−3 x5=2 x−1x−9 x
−3 x5=3 x−9 x−1
− 3 x5=−6 x−1
−3 x6 x=−1−5
3 x=−6
x=−6
3
x=−2
25
 ñ) −x53 x−1=−2 x22 x
 
−x53 x−1=−2 x22 x
2 x4=−x22
2 xx=22−4
3 x=18
x=18
3
x=6
 o) −5 x−110 x−23 x=0
 
−5 x−110 x−23 x=0
13 x−5 x−3=0
8 x−3=0
8 x=03
8 x=3
x=3
8
25.- Resuelve:
 a) 33 x1−x−1=6 x10
 
9 x3−x1=6 x60
8 x4=6 x60
8 x−6 x=60−4
2 x=56
x=56
2
x=28
 b) 53− x−4 x1=−4 x1
 
53− x−4 x1=−4 x1
15−5 x−4 x−4=−4 x1
−9 x11=−4 x1
−9 x4 x=1−11
−5 x=−10
x=−10
−5
x=2
 c) 2 x3−6 5x =3 x4
 
2(x+3)−6(5+x )=3 x+4⇒2 x+6−30−6 x=3 x+4⇒−4 x−24=3 x+4⇒
⇒−4 x−3 x=4+24⇒−7 x=28⇒ x= 28
−7
⇒ x=−4 
26
 d) 52−x 3 x6=10−4 62 x
 
52−x 3 x6=10−4 62 x
10−5 x3 x18=10−24−8 x
−2 x28=−8 x−14
−2 x8 x=−14−28
6 x=−42
x=
−42
6
x=−7
 e) 3 x8−5x−5=2 x6−7 x
 
3 x8−5 x−5=2x6−7 x
−2 x3=2 x12−7 x
−2 x3=−5 x12
−2 x5 x=12−3
3 x=9
x=9
3
x=3
 f) 4 x−21=5 x1−3 x
 
4(x−2)+1=5(x+1)−3 x
4 x−8+1=5 x+5−3 x
4 x−7=2 x+5
4 x−2 x=5+7
2 x=12
x= 12
2
x=6
 
 g) 3x−1−2 x=52− x−12
 
3x−1−2 x=52− x−12
3 x−3−2 x=10−5 x−12
x−3=−5 x−2
x5 x=−23
6 x=1
x=
1
6
 h) 3x−3=5x−1−6 x
 
3( x−3)=5( x−1)−6 x⇒3 x−9=5 x−5−6 x⇒3 x−9=−x−5⇒3 x+ x=−5+9⇒
⇒ 4 x=4⇒ x= 4
4
⇒ x=1
27
 i) 35 x9−3x−7=11 x−27
 
35 x9−3x−7=11 x−27
15 x27−3 x21=11x−227
12 x48=11 x−15
12 x−11 x=−15−48
x=−15−48
x=−63
 
 j) 4 x−23x−1=38
 
4 x−23 x−1=38
4 x−83 x−3=38
7 x−11=38
7 x=3811
7 x=49
x=
49
7
x=7
 k) 7−x10−2 x−5=−1
 
7−x10−2 x−5=−1
−7 x70−2 x10=−1
−9 x80=−1
−9 x=−1−80
−9 x=−81
x=−81
−9
x=9
 l) −2x31=4 x−2
 
−2x31=4 x−2
−2 x−61=4 x−8
−2 x−5=4 x−8
−2 x−4 x=−85
−6 x=−3
x=−3
−6
x=1
2
 m) 5x−3− x=2 x−3x13
 
5(x−3)−x=2 x−3( x+1)+3⇒5 x−15− x=2 x−3 x−3+3⇒4 x−15=−x⇒
⇒ 4 x+x=15⇒5 x=15⇒ x= 15
5
⇒ x=3
28
 n) 5[ x−46 ]=4 x6
 
5[ x−46]=4 x6
5 x−430=4x6
5 x−2030=4 x24
5 x10=4 x24
5 x−4 x=24−10
x=14
 ñ) 2 [ x5x−2]=32 x−17
 
2[ x5x−2]=32 x−17
2 x10x−2=32 x−17
2 x10 x−20=6 x−37
12 x−20=6 x4
12x−6 x=420
6 x=24
x=24
6
x=4
 o) 5[9−2x−7]=3x−5
 
45−10( x−7)=3(x−5)
45−10x+70=3 x−15
−10 x+115=3 x−15
−10 x−3 x=−15−115
−13 x=−130
x=−130
−13
x=10
 p) 3x−4−2=2[ x−3 2 x−15]
 
3 x−4−2=2[ x−32 x−15]
3x−4−2=2 x−62 x−15
3 x−12−2=2 x−12 x90
3 x−14=−10 x90
3 x10 x=9014
13 x=104
x=104
13
x=8
 q) 2 [3 2 x1−5 x ]=3 [ x−2 x−6] x−2
 
2 [3(2 x+1)−5 x ]=3[ x−2(x−6)]+x−2⇒6(2 x+1)−10 x=3 x−6( x−6)+x−2⇒
⇒12 x+6−10 x=3 x−6 x+36+ x−2⇒2 x+6=4 x−6 x+34⇒2 x+6=−2 x+34⇒
⇒2 x+2 x=34−6⇒4 x=28⇒ x=28
4
⇒ x=7
29
26.- Resuelve:
 a)
x
3
 x
6
=6
 
x
3
 x
6
=6
6 x
3
6 x
6
=6 ·6
2 x x=36
3 x=36
x=36
3
x=12
 b)
x
8
 x
12
=5
 
x
8
 x
12
=5
24 x
8
24 x
12
=24 ·5
3 x2 x=120
5 x=120
x=120
5
x=24
 c)
x
6
− x
9
=1
 
x
6
− x
9
=1⇒ 18 x
6
−18 x
9
=18 · 1⇒3 x−2 x=18⇒ x=18
 d)
x
2
3=x
 
x
2
3=x
2 x
2
2 ·3=2 x
x6=2 x
x−2 x=−6
−x=−6
x=−6
−1
x=6
30
 e) x2=
2 x
3
1
 
x2=2 x
3
1
3 x3 ·2=3 ·2 x
3
3·1
3 x6=2 x3
3 x−2 x=3−6
x=−3
 f)
5 x
2
2=202
 
5 x
2
2=202
5 x
2
2=22
2·5 x
2
2 ·2=2 ·22
5 x4=44
5 x=44−4
5 x=40
x=
40
5
x=8
 g)
x3
3
=x5
 
x3
3
= x5
3x3
3
=3 x3 ·5
x3=3 x15
x3=3 x15
x−3 x=15−3
−2 x=12
x= 12
−2
x=−6
31
 h)
x−1
2
= x−2
3
 x−3
4
 
x−1
2
= x−2
3
 x−3
4
12 x−1
2
=
12 x−2
3

12x−3
4
6x−1=4 x−23x−3
6 x−6=4 x−83 x−9
6 x−6=7 x−17
6 x−7 x=−176
−x=−11
x=−11
−1
x=11
 i)
2 x−3
3
= x5
2
 
2 x3
3
= x5
2
⇒
62 x−3
3
=
6 x5
2
⇒2 2 x−3=3x5⇒4 x−6=3 x15⇒
⇒4 x−3 x=156⇒ x=21
 j)
x2
4
− x1
6
=2
 
x2
4
− x1
6
=2
12 x2
4
−
12x1
6
=12 ·2
3 x2−2x1=24
3 x6−2 x−2=24
x4=24
x=24−4
x=20
 k)
3 x−7
12
=2 x−3
6
− x−1
8
 
3 x−7
12
=2 x−3
6
− x−1
8
24 3 x−7
12
=
242 x−3
6
−
24 x−1
8
2 3 x−7=4 2 x−3−3x−1
6 x−14=8 x−12−3 x3
6 x−14=5 x−9
6 x−5 x=−914
x=5
32
 l) 7−
x−2
4
= x−3
3
5
 
7− x−2
4
= x−3
3
5
12 ·7−
12 x−2
4
=
12x−3
3
12 ·5
84−3x−2=4 x−360
84−3 x6=4 x−1260
−3 x90=4 x48
−3 x−4 x=48−90
−7 x=−42
x=−42
−7
x=6
 m)
x10
4
=2 x−8
 
x10
4
=2 x−8⇒
4 x10
4
=4 ·2 x−4 ·8⇒x10 =8x−32⇒ x10=8 x−32⇒
⇒ x−8 x=−32−10⇒−7 x=−42⇒ x=−42
−7
⇒ x=6
 n)
x3
8
− x−3
10
= x−5
4
−1
 
x3
8
− x−3
10
= x−5
4
−1
40 x3
8
−
40x−3
10
=
40 x−5
4
−40 ·1
5 x3−4x−3=10 x−5−40
5 x15−4 x12=10 x−50−40
x27=10 x−90
x−10 x=−90−27
−9 x=−117
x=−117
−9
⇒ x=13
 ñ)
x4
3
− x−4
5
=23x−1
15
 
x+4
3
− x−4
5
=2+3 x−1
15
⇒
15(x+4)
3
−
15( x−4)
5
=15 · 2+
15(3 x−1)
15
⇒
⇒5( x+4)−3( x−4)=30+(3 x−1)⇒5 x+20−3 x+12=30+3 x−1⇒
⇒2 x+32=3 x+29⇒⇒2 x−3 x=29−32⇒−x=−3⇒ x=−3
−1
⇒ x=3
33
 o)
x1
2
 x4
5
− x3
4
=1
 
x1
2
 x4
5
− x3
4
=1
20 x1
2

20x4
5
−
20 x3
4
=20 ·1
10 x14 x4−5 x3=20
10 x104 x16−5 x−15=20
14 x−5 x26−15=20
9 x11=20
9 x=20−11
9 x=9
x=9
9
x=1
 p)
2 x−6
9
 x5
27
= x17
18
 
2 x−6
9
 x5
27
= x17
18
542 x−6
9

54 x5
27
=
54 x17
18
6 2 x−62 x5=3x17
12 x−362 x10=3 x51
14 x−26=3 x51
14 x−3 x=5126
11 x=77
x=77
11
x=7
 q)
2 x−3
18
 x−2
9
=3 x−4
12
−2 x−7
36
 
2 x−3
18
 x−2
9
=3 x−4
12
−2 x−7
36
36 2 x−3
18

36x−2
9
=
36 3 x−4 
12
−
362 x−7
36
22 x−34 x−2=33 x−4−2 x−7
4 x−64 x−8=9 x−12−2 x7
8 x−14=7 x−5
8 x−7 x=−514
x=9
34
 r)
x1
6
− x4
3
=21
4
 
x1
6
− x4
3
=21
4
12 x1
6
−
12 x4
3
=12 ·212 ·1
4
2 x1−4 x4=243
2 x2−4 x−16=27
−2 x−14=27
−2 x=2714
−2 x=41
x= 41
−2
x=− 41
2
 s)
2 x−2
4
− x−4
2
= x
8
 
2x−2
4
− x−4
2
= x
8
8 ·2 x−2
4
−8x−4
2
=8x
8
4 x−2−4x−4= x
4 x−8−4 x16=x
8=x
x=8
 t)
3x1
4

7 x−1
12
=2 x1
6
 
3x1
4

7x−1
12
=2 x1
6
⇒
12 ·3x1
4

12·7 x−1
12
=
122 x1
6
⇒
⇒9 x17 x−1=2 2 x1⇒9 x97 x−7=4 x2⇒16 x2=4 x2⇒
⇒16 x−4 x=2−2⇒12 x=0⇒ x= 0
12
⇒ x=0
 u)
7x−6
12
−
52 x−13
8
=− 1
24
 
7(x−6)
12
−
5(2 x−13)
8
=− 1
24
⇒
24 ·7( x−6)
12
−
24 ·5(2 x−13)
8
=− 24 ·1
24
⇒
⇒14(x−6)−15(2 x−13)=−1⇒14 x−84−30 x+195=−1⇒
⇒−16 x+111=−1⇒−16 x=−1−111⇒−16 x=−112⇒ x=−112
−16
⇒ x=7
35
 v)
11 x−1
12
 7
36
=
2 x3
9
 
11x−1
12
 7
36
=
2 x3
9
36· 11x−1
12
36 ·7
36
=36 · 2 x3
9
33 x−17=8 x3
33 x−337=8 x24
33 x−26=8 x24
33 x−8 x=2426
25 x=50
x=50
25
x=2
 w)
7
5
−
42 x−9
15
=
3 3 x−16
10
 
7
5
−
4 2 x−9
15
=
33 x−16
10
30·7
5
−30 ·4 2 x−9
15
=30 ·3 3x−16
10
42−82 x−9=93 x−16
42−16 x72=27 x−144
−16 x114=27 x−144
−16 x−27 x=−144−114
−43 x=−258
x=−258
−43
x=6
 x) 2( x2−3)=4 x3
 
2( x2 −3)=4 x3
2 x
2
−6=4 x
3
x−6= 4 x
3
3 x−3 · 6=3 · 4 x
3
3 x−18=4 x
3 x−4 x=18
−x=18⇒ x=18
−1
⇒ x=−18
36
 y)
3 x−7
12
=1
6
(2 x−3)− x−1
8
 
3 x−7
12
=1
6
(2 x−3)− x−1
8
3 x−7
12
= 2 x
6
−3
6
− x−1
8
24(3 x−7)
12
=24 · 2 x
6
−24 · 3
6
−
24(x−1)
8
2(3 x−7)=8 x−12−3( x−1)
6 x−14=8 x−12−3 x+3
6 x−14=5 x−9
6 x−5 x=−9+14
x=5
 z)
x
3
−2 ·( x+3)=3−x
2
−1
2
 
x
3
−2 ·( x+3)=3−x
2
−1
2
x
3
−2 x−6=3−x
2
−1
2
6 x
3
−6 · 2 x−6 · 6=
6(3−x )
2
−6 · 1
2
2 x−12 x−36=3(3− x)−3
2 x−12 x−36=9−3 x−3
−10 x−36=−3 x+6
−10 x+3 x=6+36
−7 x=42
x= 42
−7
x=−6
Resolución de problemas utilizando ecuaciones
Números
27.- La suma de tres números enteros consecutivos es igual a 66. Calcula esos números.
 
1er número→ x
2º número→ x+1
3er número → x+2
 x+ x+1+x+2=66⇒3 x+3=66⇒3 x=66−3⇒3 x=63⇒ x=
63
3
⇒ x=21
 
1er número→ x=21
2º número→ x+1=21+1=22
3er número → x+2=21+2=23
Comprobación : 21+22+23=66
37
28.- Calcula tres números pares consecutivos y tales que su suma sea 24. 
 
1er número par 2 x
2º número par 2 x2
3er número par 2 x4
 
 2 x2 x22 x4=24⇒6 x6=24⇒6 x=24−6⇒6 x=18⇒ x=
18
3
⇒ x=3
 
1er número par 2 x=2 ·3=6
2º número par  2 x2=2 ·32=62=8
3er número par 2 x4=2 ·34=64=10
Comprobación:6810=24
29.- Calcula tres números impares consecutivos y tales que su suma sea 51. 
 
1er númeroimpar  2 x1
2º número impar 2 x3
3er número impar 2 x5
 
2 x12 x32 x5=51
6 x9=51
6 x=51−9
6 x=42
x=42
6
x=7
 
1er número impar 2 x1=2 ·71=141=15
2º número impar 2 x3=2·73=143=17
3er número impar 2 x5=2 ·75=145=19
 Comprobación :151719=51
 
30.- La suma de tres números consecutivos es igual al doble del mayor más 1. Calcula los números.
 
1er número x
2º número x1
3er número x2
 
x x1 x2=2 x21
x x1 x2=2 x41
3 x3=2 x5
3 x−2 x=5−3
x=2
 
1er número x=2
2º número x1=21=3
3er número x2=22=4
 Comprobación: 234=2 ·41⇒9=9
38
31.- Encuentra dos números consecutivos y tales que la suma del primero más el doble del segundo 
 sea 26. 
 1
er número x
2º número x1
 x2 x1=26⇒ x2 x2=26⇒3 x2=26⇒3 x=26−2⇒3 x=24⇒ x=
24
3
⇒ x=8
 1
er número x=8
2º número x1=81=9
Comprobación :82 ·9=818=26
32.- Calcula tres números consecutivos y tales que su suma sea 48.
 
1er número x
2º número x1
3er número x2
 
xx1 x2=48
3 x3=48
3 x=48−3
3 x=45
x=45
3
x=15
 
1er número x=15
2º número x1=151=16
3er número x2=152=17
Comprobación :151617=48
33.- La suma de dos números es 23 y la diferencia es 7. ¿Cuáles son esos números? 
1er número x
2º número23−x
x−23− x=7
x−23x=7
2 x−23=7
2 x=723
2 x=30
x=30
2
x=15
1er número x=15
2º número23−x=23−15=8
Comprobación:15−8=7
1er número x
2º número x7
x x7=23
2 x7=23
2 x=23−7
2 x=16
x=162
x=8
1er número x=8
2º número x7=87=15
Comprobación :158=23
39
34.- Calcula dos números desconocidos sabiendo que su diferencia es 10 y que el menor es igual a 
 la sexta parte del mayor.
Nº menor x Nº mayor x10
x= x10
6
6 x=
6x10
6
6 x=x10
6 x−x=10
5 x=10
x=10
5
⇒ x=2
Nº menor x=2
Nº mayor x10=210=12
Comprobación : 2= 12
6
Nº mayor  x Nº menor  x
6
x− x
6
=10
6 x−6 x
6
=6 · 10
6 x− x=60
5 x=60
x=60
5
⇒ x=12
Nº mayor x=12 Nº menor x
6
= 12
6
=2
Comprobación:12−2=10
35.- Un número decimal aumenta en 31,5 si desplazamos la coma de su posición inicial un lugar 
 hacia la derecha. ¿De qué número se trata?
 
Número decimal → x
Coma desplazada un lugar a la derecha⇒Número multiplicado por 10 →10 x
 10 x=x+31,5⇒10 x− x=31,5⇒9 x=31,5⇒ x=
31,5
9
⇒ x=3,5
 
Número decimal → x=3,5
Coma desplazada un lugar a la derecha⇒ Número multiplicado por 10 →10 x=35
 Comprobación :35−3,5=31,5
Figuras geométricas
36.- La base de un rectángulo es cuatro veces mayor que su altura y su perímetro es de 40 cm. Halla
 las dimensiones del rectángulo. 
 x cm
 4x cm
 
Altura xcm
Base 4 x cm
4 xx4 x x=40⇒10 x=40⇒ x=40
10
⇒ x=4
 Altura xcm=4 cm Base4 x cm=4 ·4cm=16 cm
 Comprobación:16 cm4cm16 cm4 cm=40 cm
40
37.- Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que la base es 4 m mayor que la altura y que
 su perímetro es de 40 m. 
 
 x m 
Ancho x m
Largox4 m
 (x + 4) m
 
x4x x4x=40
4 x8=40
4 x=40−8
4 x=32
x=32
4
x=8
 
Ancho x m=8m
Largox4 m=84 m=12 m
 Comprobación:12 m8m12 m8m=40 m
38.- Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que la base es el doble del ancho más 5 cm
 y que su perímetro es de 34 cm.
 x cm 
Ancho x cm
Largo2 x5cm
 (2 x + 5) cm
 
2 x5x2 x5 x=34
6 x10=34
6 x=34−10
6 x=24
x=24
6
x=4
 
Ancho x cm=4 cm
Largo2 x5cm=2 ·45cm=85cm=13 cm
Comprobación :
13 cm+4 cm+13cm+4 cm=34 cm
39.- Una barra mide 80 cm y está pintada de azul y blanco. La longitud pintada de azul es 14 veces
 mayor que la mitad de la longitud pintada de blanco. Halla la longitud pintada de cada color.
 80 cm
 x cm (80 – x) cm
 x=14 ·
80−x 
2
⇒ x=7 ·80−x ⇒ x=560−7 x⇒ x7 x=560⇒8 x=560⇒ x=560
8
⇒ x=70
 
Azul  x=70 cm
Blanco80−x=80 cm−70 cm=10 cm
 Comprobación :14 ·
10
2
=14· 5=70
41
40.- En un triángulo isósceles cada uno de los lados iguales mide 5 cm más que el tercer lado. Si
 tiene 70 cm de perímetro, ¿cuánto mide cada lado?
 B
 
AC=x cm
AB=(x+5)cm
BC=( x+5)cm
 A C
 
x+ x+5+x+5=70
3 x+10=70
3 x=70−10
3 x=60
x=60
3
x=20
 
AC=x cm=20cm
AB=(x+5)cm=(20+5)cm=25cm
BC=( x+5)cm=(20+5)cm=25cm
 Comprobación :8cm8cm4cm=20 cm
41.- El perímetro de un triángulo isósceles mide 20 cm. El lado desigual mide la mitad de uno de 
 sus lados iguales. ¿Cuánto mide cada lado?
 B
 
AB=x cm
BC=x cm
AC= x
2
cm
 A C
 
x x x
2
=20
2 x2 x 2 x
2
=2 ·20
2 x2 x x=40
5 x=40
x=40
5
x=8
 
AB=x cm=8cm
BC= xcm=8cm
AC= x
2
cm=8
2
cm=4cm
 Comprobación :8cm8cm4cm=20 cm
42
42.- Un segmento que mide 22 cm se parte en dos, de modo que una de las partes mide 6 cm más 
 que la otra. ¿Cuánto mide cada trozo?
 
 22 cm
 x cm (22 – x) cm
 
 
x=22− x6
x=22−x6
x=−x28
x x=28
2 x=28
x=28
2
x=14
 1
er trozo→ x cm=14 cm
2º trozo →(22−x)cm=(22−14)cm=8cm
 
 
Comprobación :
14=8+6
 
43.- El modelo representa una pieza de madera que tiene un perímetro de 38 cm. Calcula el valor de
 los lados desconocidos; el inferior y el superior.
 2 x + 4
 5
 9 4 
 9 – 5 = 4 
 2 x
 
2 x92 x4544=38
4 x26=38
4 x=38−26
4 x=12
x=12
4
x=3
 
Lado inferior →2 x=2 · 3=6 cm
Lado superior →2 x+4=2 · 3+4=6+4=10 cm
 
Comprobación :
6 cm+9 cm+10cm+5 cm+4 cm+4 cm=38 cm
43
44.- Los lados de un rectángulo miden 25 y 18 cm respectivamente. Quitamos a cada lado el mismo
 número de centímetros y obtenemos otro rectángulo de 66 cm de perímetro. ¿Cuántos 
 centímetros hemos quitado a cada lado? 
 Quitamos x cm
 
25−x 18−x 25− x18−x =66
25− x18− x25−x18−x=66
−4 x86=66
−4 x=66−86
−4 x=−20
x=−20
−4
x=5
 Quitamos x cm=5cm 
 
 25−5cm18−5cm25−5cm18−5cm=20cm13 cm20 cm13 cm=66 cm
Edades 
45.- La edad del padre es cuatro veces mayor que la de Javier y el padre tiene 30 años más que 
 Javier. ¿Cuáles son sus edades? 
 
Edad de Javier x años
Edad del padre 4 x años
 
 4 x=x30⇒4 x−x=30⇒3 x=30⇒ x=
30
3
⇒ x=10 
 
Edad de Javier  x años=10 años
Edad del padre 4 x años=4 · 10años=40 años
 Comprobación: 40=1030
 
46.- La suma de las edades de Luis y de Pedro es 18 años. Si Luis tiene el doble de años que Pedro.
 ¿Cuáles son sus edades? 
 
Edad de Luis xaños
Edad de Pedro18− xaños
 x=218− x⇒ x=36−2 x⇒ x2 x=36⇒3 x=36⇒ x=
36
3
⇒ x=12 
 
Edad de Luis x años=12 años
Edad de Pedro18−x años=18−12años=6 años
 Comprobación :12 años=2 ·6años
44
47.- Mi padre tiene el triple de mi edad y entre los dos sumamos 60 años. ¿Cuáles son nuestras
 edades? 
 
Mi edad  x años
Edad de mi padre3 x años
 x3 x=60⇒4 x=60⇒ x=
60
4
⇒ x=15 
 
Mi edad  x años=15 años
Edad de mi padre 3 x años=3 ·15años=45 años
 Comprobación :15 años45 años=60 años
48.- Jaime tiene un año más que Beatriz, que tiene el doble de edad que su hermano pequeño. Entre 
 los tres tienen 26 años. Calcula la edad de cada uno.
 
 
Jaime→(2 x+1)años
Beatriz →2 x años
Pequeño→ x años
 
2 x+1+2 x+ x=26
5 x+1=26
5 x=26−1
5 x=25
x= 25
5
x=5
 
Jaime →(2 x+1)años=(2 · 5+1)años=(10+1)años=11 años
Beatriz →2 x años=2 · 5años=10años
Pequeño→ x años=5 años
 Comprobación :11 años+10 años+5años=26 años
49.- Si mi hermano mayor tiene el triple de edad que mi hermano menor y a su vez; mi hermano
 mayor tiene 22 años más que mi hermano menor. ¿Cuáles son sus edades? 
 Edad de mi hermano menor  x años Edad de mi hermano mayor 3 x años 
 3 x=x22⇒3 x− x=22⇒2 x=22⇒ x=
22
2
⇒ x=11
 
Edad de mi hermano menor  x años=11 años
Edad de mi hermano mayor 3 x años=3 ·11años=33 años
 
Comprobación
33 años=11 años22
 
45
50.- La hermana mayor de Patricia tiene 6 años más que ella. Y su hermana menor tiene 8 años
 menos que ella. Si entre las tres suman 37 años. ¿Cuántos años tiene Patricia? 
 
Patricia x años
Hermana mayorx6años
Hermana menorx−8años
 
x x6 x−8=37
3 x−2=37
3 x=372
3 x=39
x=39
3
x=13
 
Patricia x años=13 años
Hermana mayorx6años=136años=19 años
Hermana menorx−8años=13−8años=5 años
 Comprobación:13195=37
51.- El padre de David tiene el triple de la edad de su hijo, y este, tiene 24 años menos que su padre.
 ¿Cuántos años tiene cada uno? 
 
David  x años
Padre3 x años
 
x=3 x−24
x−3 x=−24
−2 x=−24
x=−24
−2
x=12
 
David  x años=12 años
Padre3 x años=3 ·12 años=36 años
 Comprobación:12 años=36años−24 años
Edades en distintas épocas y otros supuestos 
52.- Su padre tiene 25 años más que Juan. Dentro de 15 años la edad del padre será el doble de la de
 Juan. ¿Qué edades tienen? 
Hoy Dentro de 15 años
 · 2 → Comprobación
Juan
x
10 años
x15
1015=25 años
Padre
x25
1025=35 años
x2515= x40
1040=50 años
 x40=2 x15⇒ x40=2 x30⇒ x−2 x=30−40⇒− x=−10⇒ x=
−10
−1
⇒ x=10
46
53.- Daniel tiene ahora 8 años más que su hermana Cristina, pero dentro de 4 años la edad de Daniel
 será el doble de la de Cristina. ¿Cuántos años tiene cada uno?
Ahora Dentro de 4 años
 ·2 → Comprobación
Cristina
x
4 años
x4
44=8 años
Daniel
x8
48=12 años
x84=x12
412=16 años
 
x12=2 x4
x12=2 x8
x−2 x=8−12
− x=−4
x=−4
−1
x=4
 
54.- La edad de mi abuelo es siete veces la mía. Dentro de 16 años la edad de mi abuelo será triple 
 de la mía. Calcula nuestras edades.
Hoy Dentro de 16 años
 · 3 → Comprobación
Nieto
x
8 años
x16
816=24 años
Abuelo
7 x
7 ·8=56 años
7 x16
5616=72 años
 7 x+16=3(x+16)⇒7 x+16=3 x+48⇒7 x−3 x=48−16 ⇒4 x=32⇒ x=
32
4
⇒ x=8
55.- La madre tiene 40 años y su hijo 10 años. ¿Dentro de cuántos años la edad de la madre será
 triple de la del hijo? 
Hoy Dentro de x años 
x=5 años
 · 3 → Comprobación
Hijo
10 años 10 x
105=15 años
Madre
40 años 40x
405=45 años
 40x=310 x⇒40 x=303 x⇒ x−3 x=30−40⇒−2 x=−10⇒ x=
−10
−2
⇒ x=5
47
56.- Hoy el padre tiene 80 años y su hijo 40 años. ¿Cuántos años hace que la edad del padre fue 
 triple que la del hijo? 
Hoy Hace x años
x=20 años
 ·3 → Comprobación
Hijo
40 años 40−x
40−20=20 años
Padre
80 años 80− x
80−20=60 años
 80− x=340− x⇒80− x=120−3 x⇒− x3 x=120−80⇒2 x=40⇒ x=
40
2
⇒ x=20
57.- Andrea tiene 16 años, su hermano Paco 14 años y su padre 40 años. ¿Dentro de cuántos años
 la edad del padre será igual a la suma de las edades de su dos hijos? 
Hoy Dentro de x años
x=10 años
  → Comprobación
Andrea
16 años 16 x
1610=26 años
Paco
14 años 14 x
1410=24 años
Padre
40 años 40x
4010=50 años
 40x=16 x14 x⇒40x=2 x30⇒ x−2 x=30−40⇒−x=−10⇒ x=
−10
−1
⇒ x=10 
58.- La suma de las edades de padre e hijo es 31 años. Dentro de 22 años el padre doblará la edad de
 su hijo. ¿Cuáles son sus edades en la actualidad? 
Hoy Dentro de 22 años
 ·2 → Comprobación
Padre
x
28 años
x22
2822=50 años
Hijo
31− x
31−28=3 años
31− x22=53− x
53−28=25 años
 x22=253− x⇒ x22=106−2 x⇒ x2 x=106−22⇒3 x=84⇒ x=
84
3
⇒ x=28 
48
59.- Hace 12 años, la edad de una madre era el cuádruplo de la de su hijo. Sabiendo que la madre
 tenía 27 años cuando nació su hijo. ¿Cuáles son las edades actuales de ambos?
Hoy Hace 12 años
 · 4 → Comprobación
Hijo
x
21 años
x−12
21−12=9 años
Madre
x27
2127=48 años
x27−12=x15
2115=36 años
 x15=4 x−12⇒ x15=4 x−48⇒ x−4 x=−48−15⇒−3 x=−63⇒ x=
−63
−3
⇒ x=21
60.- Un padre dice a su hija: Hace dos años mi edad era cuatro veces la tuya y dentro de ocho años
 la suma de nuestras edades será 70 años. ¿Qué edad tiene cada uno?
Hace 2 años Hoy Dentro de 8 años
+
Hija
x
10 años
x+2
10+2=12 años
x+2+8=x+10
10+10=20 años
Padre
4 x
4 · 10=40 años
4 x+2
40+2=42años
4 x+2+8=4 x+10
40+10=50 años
70
 
x+10+4 x+10=70
5 x+20=70
5 x=70−20
5 x=50
x=50
5
x=10
61.- Dentro de 8 años, Manuela tendrá el triple de años que su hija y la suma de sus edades en ese
 momento será 48 años. Calcula la edad actual de cada una.
Dentro de 8 años Hoy
 
Manuela
3 x
3· 12=36 años
3 x−8
36−8=28 años
Hija
x
12 años
x−8
12−8=4 años
 3 x+ x=48⇒4 x=48⇒ x=
48
4
⇒ x=12
49
62.- La edad de Elisa es la tercera parte de la su madre. Si dentro de 15 años su madre tendrá el
 doble de edad que ella, ¿cuántos años tiene ahora cada una?
Hoy Dentro de 15 años
 · 2 → Comprobación
Elisa
x
3
45
3
=15 años
x
3
+15
15+15=30 años
Madre
x
45 años
x+15
45+15=60 años
 
x+15=2( x3 +15)⇒ x+15=2 x3 +30⇒3 x+3 · 15=3 · 2 x3 +3 · 30⇒3 x+45=2 x+90⇒
⇒3 x−2 x=90−45⇒ x=45
Conejos, gallinas y otros supuestos
63.- En una granja hay conejos y gallinas, siendo 40 las cabezas y 136 las patas. ¿Cuántos conejos y
 gallinas hay? 
Cabezas Patas
  → Comprobación
Conejos
x
28
4 x
4 ·28=112
Gallinas
40−x
40−28=12
2 40−x =80−2 x
80−2 ·28=80−56=24
40 136
 
 4 x80−2 x=136⇒2 x80=136⇒2 x=136−80⇒2 x=56⇒ x=
56
2
⇒ x=28 
64.- En una casa de campo hay vacas y avestruces. Se han contado 61 cabezas y 196 patas.
 ¿Cuántas vacas y avestruces hay? 
Cabezas Patas
  → Comprobación
Vacas
x
37
4 x
4 · 37=148
Avestruces
61− x
61−37=24
2 61−x =122−2 x
122−2 ·37=122−74=48
61 196
 
 4 x122−2 x=196⇒2 x122=196⇒2 x=196−122⇒2 x=74⇒ x=
74
2
⇒ x=37 
50
65.- Un hotel tiene habitaciones sencillas y dobles. El total de habitaciones es 55 y el número de 
 camas es 85. ¿Cuántas habitaciones de cada clase hay? 
Habitaciones Camas
  → Comprobación
Sencillas
x
25
x
25
Dobles
55− x
55−25=30
2 55−x =110−2 x
110−2 ·25=110−50=60
55 85
 
 x110−2 x=85⇒− x110=85⇒− x=85−110⇒−x=−25⇒ x=
−25
−1
⇒ x=25 
66.- Tengo 11 monedas; unas de 1 € y otras de 0,50 €. En total tengo 9 €. ¿Cuántas monedas tengo 
 de cada tipo? 
Monedas Euros
 
1 €
x
7
x
7
0,50 €
11− x
11−7=4
0,50 11−x =5,5−0,50 x
5,5−0,50 ·7=5,5−3,5=2
11 9
 x5,5−0,50 x=9⇒0,50 x5,5=9⇒0,50 x=9−5,5⇒0,50 x=3,5⇒ x=
3,5
0,50
⇒ x=7
67.- Miguel mete en su hucha todas las monedas de 2 € y de 0,50 € que tiene. Si ya tiene 
 32 monedas que hacen 32,50 €, ¿cuántas monedas tiene de cada tipo?
Monedas Euros
 
2 €
x
11
2 x
22
0,50 €
32− x
32−11=21
0,50(32−x)=16−0,50 x
16−0,50 ·11=16−5,5=10,50
32 32,50
 
2 x+16−0,50 x=32,50⇒1,50 x+16=32,50⇒1,50 x=32,50−16⇒1,50 x=16,50
⇒ x= 16,50
1,50
⇒ x=11
51
Euros
68.- Max ha comprado 1 kg de mangos, 1 kg de manzanas y 1 kg de peras y ha pagado 12 €. El kg 
 de mangos cuesta el doble que el de manzanas y éste último vale el triple que el de peras.
 Calcula el precio de 1 kg de cada fruta.
 
1 kg de peras→ x €
1 kg de manzanas→3 x €
1 kg de mangos→2 · 3 x €=6 x €
 x+3 x+6 x=12⇒10 x=12⇒ x=
12
10
⇒ x=1,20
 
1 kg de peras→ x € =1,20 €
1 kg de manzanas→3 x € =3 ·1,20 € =3,60 €
1 kg de mangos→ 2 · 3 x € =6 x € =6 · 1,20 €=7,20 €
 Comprobación :1,20 €+3,60 €+7,20 €=12 €
69.- Dos kg de naranjas cuestan lo mismo que un kg de plátanos. Juan ha pagado 15 € por 3 kg de
 plátanos y 4 kg de naranjas. ¿Cuánto cuesta cada fruta?
 
1 kg de naranjas → x €
1 kg de platanos →2 x €
 3· 2 x+4 x=15⇒6 x+4 x=15⇒10 x=15⇒ x=
15
10
⇒ x=1,5
 
1 kg de naranjas → x € =1,50 €
1 kg de platanos →2 x €=2 · 1,50€ =3€
 Comprobación :3 kg ·3 € /kg+4 kg · 1,5 € /kg=9 € +6 € =15 €
70.- El patrocinador de un equipo deportivo juvenil se ha gastado 735 € en la compra del equipo de 
 los 15 jugadores. Si una camiseta cuesta 3 € más que un pantalón, ¿cuánto cuesta cada prenda?
 
 
1 camiseta →( x+3)€
1 pantalón→ x €
 
15 ·(x+3)+15 x=735⇒15 x+45+15 x=735⇒30 x+45=735⇒30 x=735−45⇒
⇒30 x=690⇒ x= 690
30
⇒ x=23
 
 
1 camiseta →( x+3)€=(23+3)€=26 €
1 pantalón→ x €=23 €
 
Comprobación :15 camisetas ·26 € /camiseta+15 pantalones· 23€ /camiseta =
= 390 € +345 €=635 €
52
71.- Marcos ha gastado 205 € en comprar 20 paquetes de de folios y 15 carpetas para su oficina. Si
 una carpeta cuesta 2 € más que un paquete de folios. ¿Cuánto cuesta una carpeta? ¿Y un 
 paquete de folios?
 
1 paquete de folios → x €
1 carpeta →(x+2)€
 
20 x+15(x+2)=205
20 x+15x+30=205
35 x+30=205
35 x=205−30
35 x=175
x=175
35
x=5
 
1 paquete de folios → x €=5 €
1 carpeta →(x+2) € =(5+2)€=7 €
 
Comprobación : 20 paquetes · 5 € / paquete+15 carpetas ·7 € /carpeta =
= 100 € +105 € =205 €
72.- Tres amigos van a una librería a hacer compras. Juan gasta el doble que Alicia y Ana gasta el
 triple que Alicia. Si entre los tres gastan 72 €. ¿Cuánto ha gastado cada uno?
 
Alicia x €
Juan2 x €
Ana3 x €
 x2 x3 x=72⇒6 x=72⇒ x=
72
6
⇒ x=12 Comprobación :12 €24 €36 € =72 €
73.- La entrada del cine costaba 2 € menos que la entrada del circo. Luis pagó 16 € por dos entradas
 del cine y dos del circo. ¿Cuál es el precio de las entradas? 
 
Entrada del circo x €
Entrada del cinex−2€
 2 x2 x−2=16⇒2 x2 x−4=16⇒4 x−4=16⇒4 x=164⇒4 x=20⇒ x=
20
4
⇒ x=5
 
Entrada del circo x €=5 €
Entrada del cinex−2€=5−2€ =3 € 
Comprobación :
2 · 5 € +2 · 3 € =10 € +6 € =16 €
 
 
74.- La tercera parte de los euros que tenía menos 1 euro es igual a la sexta parte de los euros que 
 tenía. ¿Cuántos euros tenía?
 Tenía x € 
 
x
3
−1= x
6
⇒ 6 x
3
−6 ·1=6 x
6
⇒2 x−6= x⇒2 x− x=6⇒ x=6 Tenía x €=6 €
 Comprobación :
6
3
−1=6
6
⇒2−1=1⇒1=1
53
75.- Un grupo de 5 amigos hace una competición con juegos de estrategia. Acuerdan repartir 210 €
 en premios, de modo que a cada uno le correspondan 10 € más que al que se quede en posición
 inmediatamente inferior. ¿Cuántos euros recibe cada uno?
 
5º clasificado x €
4º clasificado x10€
3er clasificadox1010=x20€
2º clasificadox2010= x30€
1er clasificadox3010=x40€
 
x x10x20 x30 x40=210
5 x100=210
5 x=210−100
5 x=110
x=110
5
x=22
5º clasificado x € =22 €
4º clasificado2210=32 €
3er clasificado3210=42 €
2º clasificado4210=52 €
1er clasificado5210=62 €
 Comprobación : 22 € 32 €42 € 52 €62 €=210 €
76.- Tres personas se reparten 3.000 €. Una recibe 65 € más que otra, y esta 200 € más que una
 tercera. ¿Qué dinero recibe cada una?
 
3ª persona x €
2ª personax200€
1ª personax20065=x265€
 
xx200 x265=3.000
3 x465=3.000
3 x=3.000−465
3 x=2.535
x=2.535
3
x=845
3ª persona  x € =845 €
2ª persona845200=1.045 €
1ª persona 1.04565=1.110 €
 Comprobación:845 €1.045 €1.110 €=3.000 €
77.- Si tenemos 2.800 € en billetes de 500 € y de 100 €, de manera que el número de estos es el
 doble que el de los primeros. ¿Cuántos billetes se tienen de cada clase?
 
Billetes de 500 €  x ⇒500 x €
Billetes de 100 € 2 x⇒200 x €
 500 x200 x=2.800⇒700 x=2.800⇒ x=
2.800
700
⇒ x=4 Billetes de500 €  x=4
Billetes de100 €  2 x=2 ·4=8
 Comprobación: 4 ·500 € 8·100 € =2.000 € 800 € =2.800 €
54
Otros
78.- En el curso 2016/2017 se han matriculado en el Instituto 77 alumnos. Hay 1 chica más que 
 chicos. ¿Cuántos chicas y cuántas chicos hay?
 
Chicos → x
Chicas → x+1
 x+ x+1=77⇒2 x+1=77⇒2 x=77−1⇒2 x=76⇒ x=
76
2
⇒ x=38
 
Chicos → x=38
Chicos → x+1=38+1=39
 Comprobación :38 chicos+39chicas=77 alumnos 
79.- José y sus amigos fueron de excursión. El primer día anduvieron 5 km más que el segundo, y el
 tercero, el doble que el primer día. En total han recorrido 59 km. Calcula qué distancia han
 recorrido cada día.
 
Segundo día→ x km
Primer día→ x+5 km
Tercer dia→2(x+5)km
 
x+x+5+2( x+5)=59
x+x+ 5+2 x+10=59
4 x+15=59
4 x=59−15
4 x=44
x= 44
4
x=11
Segundo día → x km=11 km
Primer día→ x+5 km=11+5 km=16 km
Tercer dia→ 2( x+5)km=2 ·16 km=32 km
 Comprobación :16 km+11 km+32 km=59 km
80.- Arantxa tiene el doble de lápices de colores que Julio. Este tiene 10 lápices menos que Cristina.
 Pedro tiene 13 lápices más que Julio. Entre todos tienen 88 lápices. ¿Cuántos tiene cada uno?
 
 
Arantxa →2( x−10)
Julio→ x−10
Cristina → x
Pedro→ x−10+13=x+3
 
2(x−10 )+x−10+ x+ x+3=88⇒2 x−20+ x−10+x+x+3=88⇒5 x+3−30=88⇒
⇒5 x−27=88⇒5 x=88+27⇒5 x=115⇒ x= 115
5
⇒ x=23
 
Arantxa →2( x−10)=2(23−10)=2 ·13=26
Julio→ x−10=23−10=13
Cristina → x=23
Pedro→ x−10+13=x+3=23+3=26
 
Comprobación :
26+13+23+26=88
55
81.- A una fiesta acudieron el doble de mujeres que de hombres y el triple de niños que de hombres
 y mujeres juntos. Si en total había 156 personas. ¿Cuántas eran hombres, mujeres y niños?
 
Hombres x
Mujeres 2 x
Niños3 x2 x=3 · 3 x=9 x
 x2 x9 x=156⇒12 x=156⇒ x=
156
12
⇒ x=13
 
 
Hombres  x=13
Mujeres 2 ·13=26
Niños 31326=3· 39=117
 Comprobación:1326117=156
82.- A la celebración de mi cumpleaños acudieron 49 personas. El número de niños fue el doble que
 el número de mujeres y el número de éstas el doble que el número de hombres. ¿Cuántos niños,
 mujeres y hombres asistieron? 
 
Hombres x
Mujeres 2 x
Niños 2· 2 x=4 x
 
 x2 x4 x=49⇒7 x=49⇒ x=
49
7
⇒ x=7
 
Hombres  x=7
Mujeres 2 x=2 ·7=14
Niños 2 ·2 x=4 x=4 ·7=28
 Comprobación : 71428=49
83.- Una empresa ha vendido cinco veces más lavadoras que microondas y el doble de microondas
 que de televisores. Si en total se han vendido 169 aparatos. ¿Cuántos televisores, microondas y
 lavadoras han vendido? 
 
Televisores x
Microondas 2 x
Lavadoras5 · 2 x=10 x
 x2 x10 x=169⇒13 x=169⇒ x=
169
13
⇒ x=13
 
Televisores x=13
Microondas 2 x=2·13=26
Lavadoras 5·2 x=10 x=10 ·13=130
 Comprobación :1326130=169
56
84.- Esther y Ramón han recorrido, en total, 275 km del Camino de Santiago. El primer día
 recorrieron 25 km más que el segundo, y el tercero, el doble de km que el primero. Calcula la
 distancia recorrida cada día.
 
1er día→(x+25)km
20 día→ x km
3er día→2(x+25)km
 
( x+25)+x+2(x+25)=275⇒ x+25+x+2 x+50=275⇒4 x+75=275⇒
⇒4 x=275−75⇒ 4 x=200⇒ x= 200
4
⇒ x=50
 
 
1er día→(x+25)km=(50+25)km=75 km
20 día→ x km=50 km
3er día→2(x+25)km=2 ·75 km=150 km
 
Comprobación :
75km+50 km+150 km=275 km
85.- El doble de horas del día que han transcurrido es igual al cuádruplo de las horas que quedan por
 transcurrir. ¿Qué hora es?
 
Horas transcurridas x
Horas que quedan por transcurrir 24−x
 
2 x=4 24−x 
2 x=96−4 x
2 x4 x=96
6 x=96
x=96
6
x=16
 Horas trascurridas x=16⇒Son las 16: 00 Comprobación : 2 ·16=4 ·8⇒32=32
86- De una pieza de tela después de haber vendido la mitad, la quinta parte y la décima parte
 quedan 20 m. Halla la longitud de la pieza de tela.
 Longitud de la pieza de tela x m
 
x− x
2
− x
5
− x
10
=20
10 x−10 x
2
−10 x
5
−10 x
10
=10 · 20
10 x−5 x−2 x−x=200
2 x=200
x=200
2
x=100
 Longitud de la pieza de tela→ x m=100 m
 Comprobación:100−
100
2
−100
5
−100
10
=100−50−20−10=100−80=20
57
87.- En un gran almacén hay 5 dependientes por cada jefe de sección. Si en total trabajan 
 72 personas, ¿cuántos dependientes y cuántos jefes de sección hay?
 
 
Dependientes→5 x
Jefes de sección → x 
 5 x+x=72⇒6 x=72⇒ x=
72
6
⇒ x=12
 
Dependientes→5 x=5 ·12=60
Jefes de sección → x=12
 Comprobación :60+12=72
88.- En una bolsa hay bolas azules, blancas y rojas. El número de bolas rojas es igual al de bolas
 blancas más 14, y hay 6 bolas azules menos que blancas. Si en total hay 98 bolas, halla cuántas
 bolas hay de cada color.
 
Bolas blancas x
Bolas rojas x14
Bolas azules x−6
 x x14x−6=98⇒3 x8=98⇒3 x=98−8⇒3 x=90⇒ x=
90
3
⇒ x=30
 
Bolas blancas x=30
Bolas rojas x14=3014=44
Bolas azules x−6=30−6=24
Comprobación:304424=98
89.- Dos hermanos, Irene y Alejandro, tienen 73 discos. Irene tiene el doble de discos que
 Alejandro más 1. ¿Cuántos discos tiene cada uno?
 
Alejandro x discos
Irene73−x discos
 73− x=2 x1⇒− x−2 x=1−73⇒−3 x=−72⇒ x=
−72
−3
⇒ x=24
 
Alejandro xdiscos=24discos
Irene73−x discos=73−24discos=49 Comprobación : 49=2 · 241⇒49=49
90.- La edad de Pablo es el doble que la de su hermana Fátima. En total suman 15 años. ¿Qué edad
 tiene cada uno?
 
Fátima x años
Pablo2 x años
 x2 x=15⇒3 x=15⇒ x=
15
3
⇒ x=5
 
Fátima xaños=5años
Pablo2 xaños=2 ·5años=10 años Comprobación :5años10 años=15 años
58
91.- Luis ha regalado la mitad de los DVD que tenía a Juan. Después, le ha dado la tercera parte de
 los que le quedaban a su hermana. Al final se ha quedado con 6 DVD. ¿Cuántos DVD tenía al
 al principio?
 
DVD→ x
Juan→ x
2
Hermana→
x− x
2
3
=
2 x− x
2
3
=
x
2
3
= x
6
 
x− x
2
− x
6
=6
6 x−6 x
2
−6 x
6
=6 · 6
6 x−3 x−x=36
6 x−4 x=36
2 x=36
x=36
2
x=18
 
DVD→ x=18
Juan→ x
2
= 18
2
=9
Hermana →
x− x
2
3
=
2 x− x
2
3
=
x
2
3
= x
6
=18
6
=3
 Comprobación :18−9−3=18−12=6 DVD
92.- Cervantes nació en el siglo XVI. La suma de las cifras del año de su nacimiento es 17 y la cifra
 de las unidades es 7. ¿En qué año nació el autor de El Quijote?
 {Siglo XVI ⇒1500−1599Cifre de las unidades=7}⇒Nació15 x 7
 
1+5+x+7=17
x+13=17
x=17−13
x=4
 Nació15 x7=1547
 Comprobación :1547=17
59
93.- En un control de 20 preguntas se dan 10 puntos por cada pregunta acertada y se quitan 5 puntos
 por cada pregunta no contestada o mal contestada. Si un alumno saca 80 puntos. ¿Cuántas 
 preguntas ha acertado? 
 
Total de preguntas20
{Preguntas acertadas xPuntos por pregunta acertada10}
{Preguntas no contestadas omal contestadas 20−xPuntos por pregunta no contestadao mal contestada−5}
Total de puntos80
 
 
10 x−520−x =80
10 x−1005 x=80
15 x−100=80
15 x=80100
15 x=180
x=
180
15
x=12
 
Preguntas acertadas x=12
Preguntas no contestadas omal contestadas 20−x=20−12=8
 Comprobación :12 ·108 ·−5=120−40=80
94.- Un examen de matemáticas consta de diez cuestiones. Por cada una bien resuelta te dan 
 10 puntos y por cada una mal te quitan 3 puntos. Si Ana contestó a todas las preguntas y obtuvo
 61 puntos, ¿qué cantidad de respuestas correctas obtuvo?
 
Total de cuestiones →10
{Respuestas correctas → xPuntos por cuestión bien resuelta→10}
{Respuestas incorrectas→10−xPuntos por cuestión mal resuelta →−3}
Total de puntos →61
 
10 x+(−3)(10− x)=61
10 x−30+3 x=61
13 x−30=61
13 x=61+30
13 x=91
x=91
13
x=7
 
Respuestas correctas → x=7
Respuestas incorrectas→10−x=10−7=3
 Comprobación :7 ·10+3 ·(−3)=70−9=61 
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95.- Al iniciar el día la nariz de Pinocho medía 2 cm. Cada vez que dice una mentira la nariz le 
 crece 3 cm y cada vez que dice una verdad le disminuye 2 cm. Cuando termina el día, Pinocho
 ha dicho 7 mentiras y su nariz mide 17 cm. ¿Cuántas veces ha dicho la verdad a lo largo del 
 día?
 
Por mentira →3cm
Nº de mentiras →11
Por verdad →−2 cm
Nº de verdades → x
 
2+3 · 7−2 x=17
2+21−2 x=17
−2 x+23=17
−2 x=17−23
−2 x=−6
x=−6
−2
x=3
 
 
Mentiras →7
Verdades → x=3
 
Comprobación :2 cm+7 mentiras · 3cm /mentira+3verdades ·(−2 cm /verdad )=
= 2 cm+21 cm−6cm=21 cm−6 cm=17 cm
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