48 examenes corregidos de mates

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Acierto +1; Error -0,25; Sin Contestar 0.
1. Calcule el coeficiente que acompaña a x al de-
sarrollar (3x+ 2)3.
A) 36.
B) 12.
C) 24.
2. En un triángulo rectángulo un cateto mide 6
y el ángulo opuesto mide π/6, ¿Cuánto vale la
hipotenusa?
A) 10
√
6.
B) 12.
C) 4
√
3.
3. Calcular el rango de
1 2 3 41 1 1 1
4 3 2 1
.
A) 1.
B) 2.
C) 3.
4. ¿Tiene alguna solución el siguiente sistema?
2x+ y = 0
x− y = −4
−x+ 2y = 9
A) No tiene ninguna solución.
B) Tiene una única solución.
C) Tiene infinitas soluciones.
5. Hallar la ecuación impĺıcita de la recta que pasa
por el punto A = (1, 1) y es
perpendicular a
{
x = −1 + t
y = 1− t
.
A) x− y = 0.
B) x+ y = 2.
C) 2x+ y = 3.
6. La función f(x) =
{
x2 + 1 si x ≤ 1
2x+ 3 si x > 1
verifica que:
A) Es discontinua en x = 1.
B) No está definida en x = 0.
C) Es continua en x = 1.
7. La función f(x) = x3 − 9x2 + 24x − 1 tiene en
el punto (2, 19):
A) Un máximo relativo.
B) Un máximo absoluto.
C) Un mı́nimo.
8. El dominio de la función
f (x) =
√
x+6
x2
es:
A) R− {−6, 0}.
B) [−6, 0) ∪ (0,+∞).
C) (−∞,−6] ∪ (0,+∞).
9. El valor de ĺım
x→∞
3x2 + 4x− 1
3
√
2x4 − x + 5
es:
A) 3/2.
B) 3/ 3
√
2.
C) ∞.
10. El valor de
∫ 3
2
x
x2−1dx es:
A)
1
2
ln
8
3
.
B) ln
9
4
.
C) arc tg
8
3
.
1
Acierto +1; Error -0,25; Sin Contestar 0.
1. Calcule el coeficiente que acompaña a x al desa-
rrollar (3x+ 2)3.
A) 36. (CORRECTA)
B) 12.
C) 24.
2. En un triángulo rectángulo un cateto mide 6
y el ángulo opuesto mide π/6, ¿Cuánto vale la
hipotenusa?
A) 10
√
6.
B) 12. (CORRECTA)
C) 4
√
3.
3. Calcular el rango de
1 2 3 41 1 1 1
4 3 2 1
.
A) 1.
B) 2. (CORRECTA)
C) 3.
4. ¿Tiene alguna solución el siguiente sistema?
2x+ y = 0
x− y = −4
−x+ 2y = 9
A) No tiene ninguna solución. (CORRECTA)
B) Tiene una única solución.
C) Tiene infinitas soluciones.
5. Hallar la ecuación impĺıcita de la recta que pasa
por el punto A = (1, 1) y es
perpendicular a
{
x = −1 + t
y = 1− t
.
A) x− y = 0. (CORRECTA)
B) x+ y = 2.
C) 2x+ y = 3.
6. La función f(x) =
{
x2 + 1 si x ≤ 1
2x+ 3 si x > 1
verifica que:
A) Es discontinua en x = 1. (CORRECTA)
B) No está definida en x = 0.
C) Es continua en x = 1.
7. La función f(x) = x3 − 9x2 + 24x − 1 tiene en
el punto (2, 19):
A) Un máximo relativo. (CORRECTA)
B) Un máximo absoluto.
C) Un mı́nimo.
8. El dominio de la función
f (x) =
√
x+6
x2
es:
A) R− {−6, 0}.
B) [−6, 0) ∪ (0,+∞). (CORRECTA)
C) (−∞,−6] ∪ (0,+∞).
9. El valor de ĺım
x→∞
3x2 + 4x− 1
3
√
2x4 − x + 5
es:
A) 3/2.
B) 3/ 3
√
2.
C) ∞. (CORRECTA)
10. El valor de
∫ 3
2
x
x2−1dx es:
A)
1
2
ln
8
3
. (CORRECTA)
B) ln
9
4
.
C) arc tg
8
3
.
1
Acierto +1; Error -0,25; Sin Contestar 0.
1. Descomponga en fracciones simples
(3x− 1)/(x2 − 1).
A)
1
x−1 −
1
x+1.
B)
1
x−2 −
1
x+1.
C)
1
x−1 +
2
x+1.
2. ¿Cuánto es 2π/3 + π/2 radianes en grados?
A) 120 grados.
B) 210 grados.
C) 150 grados.
3. Calcular
1 21 0
1 −1
 · [0 1
1 1
]
.
A)
 2 30 1
−1 0
.
B)
2 −11 1
0 −3
.
C) No se pueden multiplicar ambas matrices.
4. ¿Para qué valor de α el sistema
x+ 2y + 3z = 4
x+ y + z = α
4x+ 3y + 2z = α
es compatible indeterminado?
A) α = 1.
B) α = 2/3.
C) α = 0.
5. ¿Cuál es la distancia del punto A = (1, 1) a la
recta 4x− 3y + 1 = 0?
A) 1.
B) 2/5.
C)
√
5/2.
6. La función
f(x) =
2
(x− 1)2
es creciente en:
A) (−∞, 1).
B) (−∞, 2).
C) (1, 2).
7. El valor de ∫ 4
2
x
x2 + 1
dx
es:
A)
1
2
ln
17
5
.
B) ln
17
5
.
C) 2 ln
17
5
.
8. La función f(x) =
{
2x+ 3 si x ≤ 2
x2 − 1 si x > 2
verifica que:
A) Es continua en x = 2.
B) Es discontinua en x = 2.
C) No está definida en x = 2.
9. El valor de ĺım
x→0+
ln(cosx)
sinx
es:
A) ∞.
B) 1.
C) 0.
10. El dominio de la función
f(x) =
1√
x2 − 5x+ 6
es:
A) (−∞, 2) ∪ (3,+∞).
B) R− {2, 3}.
C) (2, 3).
1
Acierto +1; Error -0,25; Sin Contestar 0.
1. Descomponga en fracciones simples
(3x− 1)/(x2 − 1).
A)
1
x−1 −
1
x+1.
B)
1
x−2 −
1
x+1.
C)
1
x−1 +
2
x+1. (CORRECTA)
2. ¿Cuánto es 2π/3 + π/2 radianes en grados?
A) 120 grados.
B) 210 grados. (CORRECTA)
C) 150 grados.
3. Calcular
1 21 0
1 −1
 · [0 1
1 1
]
.
A)
 2 30 1
−1 0
. (CORRECTA)
B)
2 −11 1
0 −3
.
C) No se pueden multiplicar ambas matrices.
4. ¿Para qué valor de α el sistema
x+ 2y + 3z = 4
x+ y + z = α
4x+ 3y + 2z = α
es compatible indeterminado?
A) α = 1. (CORRECTA)
B) α = 2/3.
C) α = 0.
5. ¿Cuál es la distancia del punto A = (1, 1) a la
recta 4x− 3y + 1 = 0?
A) 1.
B) 2/5. (CORRECTA)
C)
√
5/2.
6. La función
f(x) =
2
(x− 1)2
es creciente en:
A) (−∞, 1). (CORRECTA)
B) (−∞, 2).
C) (1, 2).
7. El valor de ∫ 4
2
x
x2 + 1
dx
es:
A)
1
2
ln
17
5
. (CORRECTA)
B) ln
17
5
.
C) 2 ln
17
5
.
8. La función f(x) =
{
2x+ 3 si x ≤ 2
x2 − 1 si x > 2
verifica que:
A) Es continua en x = 2.
B) Es discontinua en x = 2. (CORRECTA)
C) No está definida en x = 2.
9. El valor de ĺım
x→0+
ln(cosx)
sinx
es:
A) ∞.
B) 1.
C) 0. (CORRECTA)
10. El dominio de la función
f(x) =
1√
x2 − 5x+ 6
es:
A) (−∞, 2) ∪ (3,+∞). (CORRECTA)
B) R− {2, 3}.
C) (2, 3).
1
Acierto +1; Error -0,25; Sin Contestar 0.
1. ¿Cuál es el resto de dividir
P (x) = x4 − x2 − x− 1 entre Q(x) = x+ 1?
A) 2.
B) −2.
C) 0.
2. Sea x un valor real positivo ¿Existe un triángulo
rectángulo cuyos catetos midan 2x y 3x, y la
hipotenusa mida 4x?
A) Śı, para cualquier x positivo.
B) Para un único x.
C) No, para ningún x.
3. Supongamos que α es un número real tal que∣∣∣∣∣∣
1 0 α
α 1 α
0 1 1 + α
∣∣∣∣∣∣ = 0, entonces se verifica que:
A) α debe ser un valor menor que 0.
B) α debe ser un valor mayor que 0.
C) No existe tal α.
4. La solución del sistema
x+ y − z = 1
2x+ y = 1
−2x− 3y + z = 0
verifica:
A) x < −1.
B) y < 1.
C) z > 1.
5. ¿Cuál es el producto vectorial de
u =
(
1, 2,−4
)
y v =
(
3, 0,−1
)
?
A)
(
2, 1, 1
)
.
B)
(
− 2,−11,−6
)
.
C)
(
1, 0, 3
)
.
6. El valor de ∫ 1
0
x · exdx
es:
A) 0.
B) 1.
C) e.
7. El valor de ĺım
x→0+
ln(cosx)
sinx
es
A) ∞.
B) 1.
C) 0.
8. La función f(x) =

x2
x+ 1
si x ≤ −2
x+ 1
x2
si x > −2
verifica que:
A) Para el valor x = −2 es discontinua.
B) En x = −2 no está definida.
C) Es continua en x = −2.
9. La función
f(x) =
x
x2 + 1
tiene en el punto (0, 0):
A) Un máximo.
B) Un mı́nimo.
C) Un punto de inflexión.
10. La gráfica de la función f(x) =
4x− 1
x+ 3
, tiene la
aśıntota vertical:
A) y = 4.
B) y = 3.
C) x = −3.
1
Acierto +1; Error -0,25; Sin Contestar 0.
1. ¿Cuál es el resto de dividir
P (x) = x4 − x2 − x− 1 entre Q(x) = x+ 1?
A) 2.
B) −2.
C) 0. (CORRECTA)
2. Sea x un valor real positivo ¿Existe un triángulo
rectángulo cuyos catetos midan 2x y 3x, y la
hipotenusa mida 4x?
A) Śı, para cualquier x positivo.
B) Para un único x.
C) No, para ningún x. (CORRECTA)
3. Supongamos que α es un número real tal que∣∣∣∣∣∣
1 0 α
α 1 α
0 1 1 + α
∣∣∣∣∣∣ = 0, entonces se verifica que:
A) α debe ser un valor menor que 0.
B) α debe ser un valor mayor que 0.
C) No existe tal α. (CORRECTA)
4. La solución del sistema
x+ y − z = 1
2x+ y = 1
−2x− 3y + z = 0
verifica:
A) x < −1.
B) y < 1. (CORRECTA)
C) z > 1.
5. ¿Cuál es el producto vectorial de
u =
(
1, 2,−4
)
y v =
(
3, 0,−1
)
?
A)
(
2, 1, 1
)
.
B)
(
− 2,−11,−6
)
. (CORRECTA)
C)
(
1, 0, 3
)
.
6. El valor de ∫ 1
0
x · exdx
es:
A) 0.
B) 1. (CORRECTA)
C) e.
7. El valor de ĺım
x→0+
ln(cosx)
sinx
es
A) ∞.
B) 1.
C) 0. (CORRECTA)
8. La función f(x) =

x2
x+ 1
si x ≤ −2
x+ 1
x2
si x > −2
verifica que:
A) Para el valor x = −2 es discontinua. (CO-
RRECTA)
B) En x = −2 no está definida.
C) Es continua en x = −2.
9. La función
f(x) =
x
x2 + 1
tiene en el punto (0, 0):
A) Un máximo.
B) Un mı́nimo.
C) Un punto de inflexión. (CORRECTA)
10. La gráfica de la función f(x) =
4x− 1
x+ 3
, tiene la
aśıntota vertical:
A) y = 4.
B) y = 3.
C) x = −3. (CORRECTA)
1
MATEMÁTICAS
Acierto +1; Error -0,25; SinContestar 0.
1. Para qué valores de a y b es cierta la igualdad
3x
x2 + x− 2
=
a
x− 1
+
b
x+ 2
A) a = 1 y b = 1.
B) a = 2 y b = 1.
C) a = 1 y b = 2.
2. Si α es un ángulo para el que sen α =
√
2
2 y
cos α =
√
2
2 . Entonces:
A) tg(π + α) = 1.
B) tg(π + α) = −1.
C) tg(π + α) =
√
2
2
.
3. Si α es un número real para el que se cumple
que el determinante
∣∣∣∣∣∣
1 α 1
1 1 0
0 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 0. Entonces:
A) α = 0.
B) α = 2.
C) No existe tal α.
4. ¿Cuándo el sistema
βx + y + z = 1
βy + z = 1
βz = 1
es compatible determinado?
A) Si β = 0.
B) Si β 6= 0.
C) Para ningún valor de β lo es.
5. Sean el plano π : x + y + z = 0 y los puntos
A = (1, 1, 1), B = (2, 1, 0) y C = (3, 0, 0).
A) A, B y C están los tres a la misma
distancia de π.
B) A, B y C están a diferentes distancias
de π.
C) A, B y C son tres puntos de π.
6. La función
f(x) =
3
(x− 2)2
es creciente en:
A) (−∞, 3).
B) (−∞, 2).
C) (2,∞).
7. Calcular el valor de la integral∫ 5
2
x
x2 − 1
dx
A) 2
ln 2
3
.
B) 3
ln 2
2
.
C)
ln 2
2
.
8. La función
f(x) =
{
2x+ 1, si x ≤ 2
2x2 − 1, si x > 2
A) Es continua en x = 2.
B) Es discontinua en x = 2.
C) No está definida en x = 2.
9. Calcular el valor del ĺımite
ĺım
x→0+
sen x
ln(cosx)
A) −∞.
B) 1.
C) 0.
10. Cuál es el dominio de la función
f(x) =
1√
x2 − 7x+ 12
A) (−∞, 3) ∪ (4,+∞).
B) R− {3, 4}.
C) (3, 4).
MATEMÁTICAS
Acierto +1; Error -0,25; Sin Contestar 0.
1. Para qué valores de a y b es cierta la igualdad
3x
x2 + x− 2
=
a
x− 1
+
b
x+ 2
A) a = 1 y b = 1.
B) a = 2 y b = 1.
C) a = 1 y b = 2. (CORRECTA)
2. Si α es un ángulo para el que sen α =
√
2
2 y
cos α =
√
2
2 . Entonces:
A) tg(π + α) = 1. (CORRECTA)
B) tg(π + α) = −1.
C) tg(π + α) =
√
2
2
.
3. Si α es un número real para el que se cumple
que el determinante
∣∣∣∣∣∣
1 α 1
1 1 0
0 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 0. Entonces:
A) α = 0.
B) α = 2. (CORRECTA)
C) No existe tal α.
4. ¿Cuándo el sistema
βx + y + z = 1
βy + z = 1
βz = 1
es compatible determinado?
A) Si β = 0.
B) Si β 6= 0. (CORRECTA)
C) Para ningún valor de β lo es.
5. Sean el plano π : x + y + z = 0 y los puntos
A = (1, 1, 1), B = (2, 1, 0) y C = (3, 0, 0).
A) A, B y C están los tres a la misma
distancia de π. (CORRECTA)
B) A, B y C están a diferentes distancias
de π.
C) A, B y C son tres puntos de π.
6. La función
f(x) =
3
(x− 2)2
es creciente en:
A) (−∞, 3).
B) (−∞, 2). (CORRECTA)
C) (2,∞).
7. Calcular el valor de la integral∫ 5
2
x
x2 − 1
dx
A) 2
ln 2
3
.
B) 3
ln 2
2
. (CORRECTA)
C)
ln 2
2
.
8. La función
f(x) =
{
2x+ 1, si x ≤ 2
2x2 − 1, si x > 2
A) Es continua en x = 2.
B) Es discontinua en x = 2. (CORRECTA)
C) No está definida en x = 2.
9. Calcular el valor del ĺımite
ĺım
x→0+
sen x
ln(cosx)
A) −∞. (CORRECTA)
B) 1.
C) 0.
10. Cuál es el dominio de la función
f(x) =
1√
x2 − 7x+ 12
A) (−∞, 3) ∪ (4,+∞). (CORRECTA)
B) R− {3, 4}.
C) (3, 4).
MATEMÁTICAS Junion 2105 Parcial (Modelo A.)
Puntos: Acierto +1.67; Error -0,4; Sin Contestar 0.
1. ¿Decir cuál de los siguientes valores es periodo de la función f(x) = sen(5x) ?
A) 2π/5.
B) 5π.
C) 5π/2.
2. ¿Cuál es el dominio de la función f(x) = ln
(
−
1
x
)
?
A) (0,+∞)
B) (−∞, 0)
C) todo R
3. ¿Cuánto vale ĺım
x→0+
x · ln(x) ?
A) 0
B) 1
C) +∞
4. Calcular la ecuación de la recta tangente a f(x) =
√
x+ 1 en x = 0
A) no tiene recta tangente.
B) y = 2x+ 1
C) y = x/2 + 1
5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta para la función f(x) = 2x+sen(x)?
A) Tiene algún máximo relativo.
B) Está acotada superiormente.
C) Es creciente en todo R.
6. ¿Cuál es el valor de la integral
∫ 1
0
1
x2 + 3x+ 2
dx?
A) ln(3/2)
B) 2 ln(2)− ln(3)
C) tg(1/2)
MATEMÁTICAS Junion 2105 Parcial (Modelo A.)
Puntos: Acierto +1.67; Error -0,4; Sin Contestar 0.
1. ¿Decir cuál de los siguientes valores es periodo de la función f(x) = sen(5x) ?
A) 2π/5. (CORRECTA)
B) 5π.
C) 5π/2.
2. ¿Cuál es el dominio de la función f(x) = ln
(
−
1
x
)
?
A) (0,+∞)
B) (−∞, 0) (CORRECTA)
C) todo R
3. ¿Cuánto vale ĺım
x→0+
x · ln(x) ?
A) 0 (CORRECTA)
B) 1
C) +∞
4. Calcular la ecuación de la recta tangente a f(x) =
√
x+ 1 en x = 0
A) no tiene recta tangente.
B) y = 2x+ 1
C) y = x/2 + 1 (CORRECTA)
5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta para la función f(x) = 2x+sen(x)?
A) Tiene algún máximo relativo.
B) Está acotada superiormente.
C) Es creciente en todo R. (CORRECTA)
6. ¿Cuál es el valor de la integral
∫ 1
0
1
x2 + 3x+ 2
dx?
A) ln(3/2)
B) 2 ln(2)− ln(3) (CORRECTA)
C) tg(1/2)
MATEMÁTICAS Junio 2015 Parcial (Modelo C.)
Códigos: 0012851;
Puntos: Acierto +1.67; Error -0,4; Sin Contestar 0.
1. ¿Cuál es el resultado de la composición de f(x) = 2x+ 1 con g(x) =
√
x2 − 1?
A) g(f(x)) =
√
2x3 − 3 + 1
B) g(f(x)) = 2x
C) g(f(x)) = 2
√
x2 + x
2. ¿Cuál de los siguiente valores es periodo de la función f(x) = sen(x2)?
A) π
B) 2π
C) La función no es periódica y por tanto no tiene periodo.
3. Calcular ĺım
x→2−
√
x2 − 4
x− 4
A) 1
B) 0
C) No existe.
4. ¿Qué se puede decir en x = 0 de la función f(x) =
{
x2 si x ≤ 0
sen(x) si x > 0
?
A) es continua y derivable.
B) es continua y no es derivable.
C) no es continua ni derivable.
5. En x = 0 la función f(x) =
2
5
x2 + cos(x) tiene un:
A) mı́nimo relativo.
B) máximo absoluto.
C) máximo relativo.
6. ¿Cuál es el valor de la integral
∫ 1
1
1
x
dx?
A) 0
B) ln 2
C) ln(1/2)
MATEMÁTICAS Junio 2015 Parcial (Modelo C.)
Códigos: 0012851;
Puntos: Acierto +1.67; Error -0,4; Sin Contestar 0.
1. ¿Cuál es el resultado de la composición de f(x) = 2x+ 1 con g(x) =
√
x2 − 1?
A) g(f(x)) =
√
2x3 − 3 + 1
B) g(f(x)) = 2x
C) g(f(x)) = 2
√
x2 + x (CORRECTA)
2. ¿Cuál de los siguiente valores es periodo de la función f(x) = sen(x2)?
A) π
B) 2π
C) La función no es periódica y por tanto no tiene periodo. (CORRECTA)
3. Calcular ĺım
x→2−
√
x2 − 4
x− 4
A) 1
B) 0 (CORRECTA)
C) No existe.
4. ¿Qué se puede decir en x = 0 de la función f(x) =
{
x2 si x ≤ 0
sen(x) si x > 0
?
A) es continua y derivable.
B) es continua y no es derivable. (CORRECTA)
C) no es continua ni derivable.
5. En x = 0 la función f(x) =
2
5
x2 + cos(x) tiene un:
A) mı́nimo relativo.
B) máximo absoluto.
C) máximo relativo. (CORRECTA)
6. ¿Cuál es el valor de la integral
∫ 1
1
1
x
dx?
A) 0 (CORRECTA)
B) ln 2
C) ln(1/2)
MATEMÁTICAS; Sept 2015 (Modelo A.)
Acierto +1; Error -0,25; Sin Contestar 0.
1. ¿Cuál es el resto de dividir
P (x) = x3+x2+2 entre Q = x+2?
A) −2
B) −3
C) x2 − x+ 1
2. Un triángulo rectángulo tiene catetos de
longitud 3 y 6, ¿cuánto vale la tangente
del ángulo opuesto al lado que mide 3?
A) 1/2
B)
√
3
C)
√
3/2
3. Calcular
[
1 1 2
1 0 0
]
·
[
1 0 1
0 1 0
]
.
A) No se pueden multiplicar.
B)
[
1 0 2
0 0 0
]
.
C)
[
3 1
1 0
]
.
4. El sistema

2x+ y − z = 1
x− y + z = 4
−x− 2y + 2z = 3
es:
A) compatible determinado;
B) compatible indeterminado;
C) incompatible.
5. ¿Para qué valor de α las rectas
2x+ y = 1 y αx+ 3y = 0
son perpendiculares?
A) α = 6.
B) α = −3/2.
C) α = 4.
6. ¿Qué opción es cierta para
f(x) =
{
sen(x) si x > 0
cos(x) si x ≤ 0
?
A) Es continua y periódica.
B) No es continua, ni tampoco periódi-
ca
C) Es continua y no es periódica.
7. ¿Está acotada la función f(x) = x3 ?
A) Está acotada inferiormente, pero no
superiormente;
B) Está acotada superiormente e infe-
riormente.
C) No está acotada ni superiormente,
ni inferiormente.
8. Calcular ĺım
x→+∞
−x2 + 3x+ 1
x− 3
A) 0;
B) +∞;
C) −∞.
9. Calcular la derivada de f(x) =
x
x2 + 1
A)
1− x2
(1 + x2)2
;
B)
1
2x
;
C)
1− x2
1 + x2
10. ¿Cuánto vale
∫ π
0
(
sen(x) + x
)
dx ?
A) 4π2;
B) π2/2 + 2;
C) 2
MATEMÁTICAS; Sept 2015 (Modelo A.)
Acierto +1; Error -0,25; Sin Contestar 0.
1. ¿Cuál es el resto de dividir
P (x) = x3+x2+2 entre Q = x+2?
A) −2 (CORRECTA)
B) −3
C) x2 − x+ 1
2. Un triángulo rectángulo tiene catetos de
longitud 3 y 6, ¿cuánto vale la tangente
del ánguloopuesto al lado que mide 3?
A) 1/2 (CORRECTA)
B)
√
3
C)
√
3/2
3. Calcular
[
1 1 2
1 0 0
]
·
[
1 0 1
0 1 0
]
.
A) No se pueden multiplicar. (CO-
RRECTA)
B)
[
1 0 2
0 0 0
]
.
C)
[
3 1
1 0
]
.
4. El sistema

2x+ y − z = 1
x− y + z = 4
−x− 2y + 2z = 3
es:
A) compatible determinado;
B) compatible indeterminado; (CO-
RRECTA)
C) incompatible.
5. ¿Para qué valor de α las rectas
2x+ y = 1 y αx+ 3y = 0
son perpendiculares?
A) α = 6.
B) α = −3/2. (CORRECTA)
C) α = 4.
6. ¿Qué opción es cierta para
f(x) =
{
sen(x) si x > 0
cos(x) si x ≤ 0
?
A) Es continua y periódica.
B) No es continua, ni tampoco periódi-
ca (CORRECTA)
C) Es continua y no es periódica.
7. ¿Está acotada la función f(x) = x3 ?
A) Está acotada inferiormente, pero no
superiormente;
B) Está acotada superiormente e infe-
riormente.
C) No está acotada ni superiormente,
ni inferiormente. (CORRECTA)
8. Calcular ĺım
x→+∞
−x2 + 3x+ 1
x− 3
A) 0;
B) +∞;
C) −∞. (CORRECTA)
9. Calcular la derivada de f(x) =
x
x2 + 1
A)
1− x2
(1 + x2)2
; (CORRECTA)
B)
1
2x
;
C)
1− x2
1 + x2
10. ¿Cuánto vale
∫ π
0
(
sen(x) + x
)
dx ?
A) 4π2;
B) π2/2 + 2; (CORRECTA)
C) 2
MATEMÁTICAS; Sept 2015 (Modelo C.)
Acierto +1; Error -0,25; Sin Contestar 0.
1. Calcule el coeficiente que acompaña a
x2 al desarrollar (x+ 2)5
A) 30.
B) 32.
C) 80.
2. Un triángulo rectángulo un cateto mide
5 y el ángulo opuesto vale π/6 radianes,
¿Cuánto mide la hipotenusa?
A) 5
√
3/2.
B) 3
√
2.
C) 10.
3. Calcular el determinante de
0 1 21 1 0
1 1 1

A) 0.
B) −1.
C) 1.
4. ¿Para qué valor de α el sistema
3x− y + αz = α
5x+ y + 2z = 2
3y + z = 1
es compatible indeterminado?
A) α = 1.
B) α = 2/3.
C) α = 2.
5. ¿Cuál es el producto vectorial de
u =
(
1,−1, 0
)
y v =
(
1, 0, 1
)
?
A)
(
2, 1,−1
)
.
B)
(
− 1,−1, 1
)
.
C)
(
0, 1,−1
)
.
6. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene
una aśıntota horizontal?
A) f(x) =
x2 + 1
x
;
B) f(x) =
x+ 1
x2
;
C) f(x) = x sen(x).
7. Derivar la función f(x) = cos3(x)
A) f ′(x) = 3 sen2(x)
B) f ′(x) = 3 sen2(x) cos(x)
C) f ′(x) = −3 sen(x) cos2(x)
8. Calcular el dominio de la función
f(x) =
1
x+ 1
:
A) Dom(f) = R−{+1}
B) Dom(f) = R−{−1}
C) Dom(f) = R
9. Calcular ĺım
x→0
1
x2
A) 0.
B) +∞;
C) No existe.
10. Calcular el valor de
∫ 1
0
−6x
4− 3x2
dx
A) 6/5;
B) −6 arc tg(4);
C) − ln(4).
MATEMÁTICAS; Sept 2015 (Modelo C.)
Acierto +1; Error -0,25; Sin Contestar 0.
1. Calcule el coeficiente que acompaña a
x2 al desarrollar (x+ 2)5
A) 30.
B) 32.
C) 80. (CORRECTA)
2. Un triángulo rectángulo un cateto mide
5 y el ángulo opuesto vale π/6 radianes,
¿Cuánto mide la hipotenusa?
A) 5
√
3/2.
B) 3
√
2.
C) 10. (CORRECTA)
3. Calcular el determinante de
0 1 21 1 0
1 1 1

A) 0.
B) −1. (CORRECTA)
C) 1.
4. ¿Para qué valor de α el sistema
3x− y + αz = α
5x+ y + 2z = 2
3y + z = 1
es compatible indeterminado?
A) α = 1.
B) α = 2/3. (CORRECTA)
C) α = 2.
5. ¿Cuál es el producto vectorial de
u =
(
1,−1, 0
)
y v =
(
1, 0, 1
)
?
A)
(
2, 1,−1
)
.
B)
(
− 1,−1, 1
)
. (CORRECTA)
C)
(
0, 1,−1
)
.
6. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene
una aśıntota horizontal?
A) f(x) =
x2 + 1
x
;
B) f(x) =
x+ 1
x2
; (CORRECTA)
C) f(x) = x sen(x).
7. Derivar la función f(x) = cos3(x)
A) f ′(x) = 3 sen2(x)
B) f ′(x) = 3 sen2(x) cos(x)
C) f ′(x) = −3 sen(x) cos2(x) (CO-
RRECTA)
8. Calcular el dominio de la función
f(x) =
1
x+ 1
:
A) Dom(f) = R−{+1}
B) Dom(f) = R−{−1} (CORREC-
TA)
C) Dom(f) = R
9. Calcular ĺım
x→0
1
x2
A) 0.
B) +∞; (CORRECTA)
C) No existe.
10. Calcular el valor de
∫ 1
0
−6x
4− 3x2
dx
A) 6/5;
B) −6 arc tg(4);
C) − ln(4). (CORRECTA)
MATEMÁTICAS (código: 00001258) Modelo A
Puntos: Acierto +2.00; Error -0,66; Sin Contestar 0.
1. Dadas las funciones reales de variable real
f(x) = 2x− 1, g(x) = x2 y h(x) = x2 + 1
¿Cuál de las siguientes igualdades es correcta?
A) h ◦ f(x) = x4 + 2x2 + 1.
B) g ◦ h(x) = x4 + 2x2 + 1. (CORR)
C) h ◦ g(x) = x4 + 2x2 + 1.
2. El ĺımite de la función f(x) =
x2 + x + 1
x3 − 1
cuando x tiende a 1 es
A) No existe. (CORR)
B) −∞.
C) +∞.
3. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = x2 + x + 1 en x = 1 es
A) y = x + 2.
B) y = 2x + 1.
C) y = 3x. (CORR)
4. Sea la función f(x) =
{
x2 + ax + b si x ≤ 0
x3 si x > 0
Para que f sea derivable en R se debe cumplir que
A) a = 1 y b = 1.
B) a = 0 y b = 0. (CORR)
C) Da igual el valor que tomen a y b, ya que f nunca será derivable.
5. Calcule el valor de
∫ e
1
x2 − 2
x3
dx
A) 3.
B) e− 1.
C) 1/e2. (CORR)
MATEM
´
ATICAS (c
´
odigo: 00001258) Modelo B
Puntos: Acierto +2.00; Error -0,66; Sin Contestar 0.
1. Dada la función
f(x) =
(
cos(x) + sen(x) si x  ⇡
x � ⇡ � 1 si x > ⇡
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) Es continua en todo R. (CORR)
B) Es continua en R � {⇡}.
C) No es continua en x, cuando x es un múltiplo entero de ⇡.
2. La función f(x) = x3 � 4x2 + 3x en el intervalo [�2, 2]:
A) Tiene una ráız.
B) Tiene dos ráıces. (CORR)
C) Tiene tres ráıces.
3. Dada la función f(x) =
x
2 + 1
x
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
A) Es creciente en el intervalo (�1, 0) y decreciente en el intervalo (0, 1).
B) Es decreciente en el intervalo (�1, 0) y creciente en el intervalo (0, 1).
C) Es decreciente tanto en el intervalo (�1, 0) como en el intervalo (0, 1). (CORR)
4. El área del conjunto limitado por la gráfica de la función f(x) = x, el eje OX y
las rectas x = �1 y x = 1, es
A) 0.
B) 1. (CORR)
C) 2.
5. El dominio de la función f(x) =
r
1 � x
x
es
A) (1, 0) [ [1,+1).
B) R � {0}.
C) (0, 1]. (CORR)
MATEMÁTICAS (código: 00001258) Modelo B
Puntos: Acierto +2.00; Error -0,66; Sin Contestar 0.
1. Dada la función
f(x) =
{
cos(x) + sen(x) si x ≤ π
x− π − 1 si x > π
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) Es continua en todo R. (CORR)
B) Es continua en R− {π}.
C) No es continua en x, cuando x es un múltiplo entero de π.
2. La función f(x) = x3 − 4x2 + 3x en el intervalo [−2, 2]:
A) Tiene una ráız.
B) Tiene dos ráıces. (CORR)
C) Tiene tres ráıces.
3. Dada la función f(x) =
x2 + 1
x
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
A) Es creciente en el intervalo (−1, 0) y decreciente en el intervalo (0, 1).
B) Es decreciente en el intervalo (−1, 0) y creciente en el intervalo (0, 1).
C) Es decreciente tanto en el intervalo (−1, 0) como en el intervalo (0, 1). (CORR)
4. El área del conjunto limitado por la gráfica de la función f(x) = x, el eje OX y
las rectas x = −1 y x = 1, es
A) 0.
B) 1. (CORR)
C) 2.
5. El dominio de la función f(x) =
√
1− x
x
es
A) (∞, 0) ∪ [1,+∞).
B) R− {0}.
C) (0, 1]. (CORR)
MATEMÁTICAS
Modelo A
Acierto +1; Error -0,33; Sin Contestar 0.
1. ¿Cuál es el resto de dividir
P(x) = x4 + x3 + x2 + x+ 1
entre Q(x) = x3?
A) x2 + x+ 1. (CORR)
B) x+ 1.
C) 1.
2. Consideramos las siguiente igualdades:
(i) cos(π − α) = − cos(α)
(ii) cos(π + α) = − cos(α)
(iii) cos(2π − α) = cos(α)
A) Las tres igualdades son falsas.
B) Las tres igualdades son ciertas. (CORR)
C) Hay una única igualdad falsa.
3. El rango de la matriz
1 1 01 2 1
1 0 −1
 es
A) 1.
B) 2. (CORR)
C) 3.
4. ¿Cuándo es incompatible el sistema
x + y + αz = 1
y + αz = 1
αz = 1
?
A) Si α = 0. (CORR)
B) Si α 6= 0.
C) Para ningún valor de α es incompatible.
5. ¿Qué recta pasa por el punto (2, 1) y es
paralela a la recta
{
x = t
y = t
?
A) x+ y = 3.
B) x− y = 1. (CORR)
C) 7x− 3y = 11.
6. La función
f(x) =
{
3x2 − 5x si x ≤ 2
2 si x > 2
verifica que:
A) Es discontinua en x = 2.
B) No está definida en x = 0.
C) Es continua en x = 2. (CORR)
7. La función
f(x) = x3 + x2 + x+ 1
en el punto x = 0:
A) Tiene un máximo.
B) Tiene un mı́nimo.
C) No tiene ni máximo ni mı́nimo. (CORR)
8. Cuál es el dominio de la función
f(x) =
√
x+ 1
x− 1
A) [−1, 1].
B) R− {1}.
C) (−∞,−1] ∪ (1,+∞). (CORR)
9. Calcule el valor del ĺımite
ĺım
x→∞
3x2 − 1
√
9x4 − 1
A) 1/3.
B) 0.
C) 1.(CORR)
10. Calcule el valor de∫ 1
−1
x
x2 − 1
dx
A) 0.
B) 2.
C) 1/2.
Ninguna respuesta es correcta. La función
no está definida en el intervalo [-1,1]!!!!!!
MATEMÁTICAS
Modelo C
Acierto +1; Error -0,33; Sin Contestar 0.
1. Para qué valores de a y b es cierta la igualdad
3x+ 3
x2 + x− 2
=
a
x− 1
+
b
x+ 2
A) a = 1 y b = 1.
B) a = 2 y b = 1. (CORR)
C) a = 1 y b = 2.
2. Si α es un ángulo para el que
senα =
√
2
2
y cosα =
√
2
2
¿Cuál de las siguientes igualdades es cierta?
A) tg(π + α) = 1. (CORR)
B) tg(π + α) = −1.
C) tg(π + α) = 0.
3. Sea α un número real para el que se cumple∣∣∣∣∣∣
2 α 1
1 1 0
0 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 0
A) α = 0.
B) α = 3. (CORR)
C) No existe tal α.
4. Sea (x0, y0) la solución del sistema compatible
determinado{
x + y = β
y = α
A) Si α > β entonces x0 > 0.
B) Si α > β entonces x0 = 0.
C) Si α > β entonces x0 < 0. (CORR)
5. Sean el plano π : x + y − z = 0 y los puntos
P = (3, 5, 1) y Q = (2, 2,−3).
A) d(P, π) = d(Q, π), esto es, P y Q están
a la misma distancia de π. (CORR)
B) d(P, π) < d(Q, π).
C) d(P, π) > d(Q, π).
6. La función
f(x) =
1
x2 + 1
A) Es creciente en (−∞,+∞).
B) Es creciente en (−∞, 0). (CORR)
C) Es creciente en (0,+∞).
7. Calcule el valor de la integral∫ 5
2
2x
x2 − 1
dx
A) ln 2.
B) 2 ln 2.
C) 3 ln 2. (CORR)
8. La función
f(x) =

2x+ 1 si x < 2
0 si x = 2
2x2 − 3 si x > 2
A) Es continua en x = 2.
B) Es discontinua en x = 2. (CORR)
C) No está definida en x = 2.
9. Calcule el valor del ĺımite
ĺım
x→0+
ln(cosx)
senx
A) −∞.
B) 1.
C) 0. (CORR)
10. Consideramos la función real
f(x) =
1
√
x2 − 7x+ 12
¿Cuál es el dominio de f?
A) (−∞, 3) ∪ (4,+∞). (CORR)
B) R− {3, 4}.
C) (3, 4).
MATEMÁTICAS Modelo A
Acierto +2; Error −0, 5; Sin Contestar 0.
1. Consideramos la composición de funciones g ◦ f donde
f(x) = x2 + 1 y g(x) = 2x + 1
¿Cuál de las siguientes igualdades es correcta?
A) g ◦ f(x) = 2x2 + 3.
B) g ◦ f(x) = x2 + 2x + 2.
C) g ◦ f(x) = 2x3 + 2x2 + 2x + 1.
2. El ĺımite de la función f(x) =
1
x− 2
cuando x tiende a 2 es
A) +∞.
B) −∞.
C) No existe.
3. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x2 + 5 en el
punto (0, 5) es
A) y = 2x.
B) y = 5.
C) y = 2x + 5.
4. Sea la función
f(x) =
{
x + a si x ≤ 1
x2 si x > 1
Para que f sea continua en x = 1 se debe cumplir que
A) a = 1.
B) a = 0.
C) a = −1.
5. Una primitiva de la función f(x) =
−1
x2 − 3x + 2
es
A)
−2x + 3
x2 − 3x + 2
.
B) ln
|x2 − 1|
|x− 2|
.
C) ln
|x− 1|
|x− 2|
.
MATEMÁTICAS Modelo A
Acierto +2; Error −0, 5; Sin Contestar 0.
1. Consideramos la composición de funciones g ◦ f donde
f(x) = x2 + 1 y g(x) = 2x + 1
¿Cuál de las siguientes igualdades es correcta?
A) g ◦ f(x) = 2x2 + 3. (CORR)
B) g ◦ f(x) = x2 + 2x + 2.
C) g ◦ f(x) = 2x3 + 2x2 + 2x + 1.
Solución: Realizando los cálculos tenemos
g ◦ f(x) = g(f(x)) = g(x2 + 1) = 2(x2 + 1) + 1 = 2x2 + 3.
2. El ĺımite de la función f(x) =
1
x− 2
cuando x tiende a 2 es
A) +∞.
B) −∞.
C) No existe. (CORR)
Solución: Calculamos el ĺımite por la derecha y el ĺımite por la izquierda:
Por la derecha
ĺım
x→2+
1
x− 2
=
1
0+
= +∞
Por la izquierda
ĺım
x→2−
1
x− 2
=
1
0−
= −∞
Dado que no coinciden, el ĺımite no existe.
3. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x2 + 5 en el
punto (0, 5) es
A) y = 2x.
B) y = 5. (CORR)
C) y = 2x + 5.
Solución: La tangente a la gráfica de f en el punto (0, f(0)) viene dada por
y − f(0) = f ′(0) · (x− 0).
Dado que f ′(x) = 2x entonces f ′(0) = 0. Por otro lado f(0) = 5. Luego la recta
tangente que nos piden la calculamos sustituyendo estos valores:
y − f(0) = f ′(0) · (x− 0) ⇒ y − 5 = 0 ⇒ y = 5.
4. Sea la función
f(x) =
{
x + a si x ≤ 1
x2 si x > 1
Para que f sea continua en x = 1 se debe cumplir que
A) a = 1.
B) a = 0. (CORR)
C) a = −1.
Solución: La función f es continua en x = 1 cuando
ĺım
x→1
f(x) = f(1).
La función f está definida a trozos, y los dos trozos se pegan en x = 1. Tenemos
esto en cuenta para calcular el ĺımite de f(x) cuando x tiende a 1:
Por la derecha
ĺım
x→1+
f(x) = ĺım
x→1+
x2 = 1
Por la izquierda
ĺım
x→1−
f(x) = ĺım
x→1+
x + a = 1 + a
El ĺımite existe cuando ambos ĺımites coinciden, y esto sucede si y sólo si a = 0.
Además, para a = 0 se tiene que
ĺım
x→1
f(x) = f(1) = 1.
Luego f es continua en x = 1 si y sólo si a = 0.
5. Una primitiva de la función f(x) =
−1
x2 − 3x + 2
es
A)
−2x + 3
x2 − 3x + 2
.
B) ln
|x2 − 1|
|x− 2|
.
C) ln
|x− 1|
|x− 2|
. (CORR)
Solución: En primer lugar descomponemos f en fracciones simples. Teniendo en
cuenta que
x2 − 3x + 2 = (x− 1)(x− 2
entonces
−1
x2 − 3x + 2
=
A
x− 1
+
B
x− 2
=
A(x− 2) + B(x− 1)
(x− 1)(x− 2)
=
x(A + B) + (−2A−B)
(x− 1)(x− 2)
y resolviendo el sistema
0 = A + B
−1 = −2A−B
obtenemos A = 1 y B = −1. Calculamos ahora la integral∫ −1
x2 − 3x + 2
dx =
∫
1
x− 1
+
−1
x− 2
dx = ln |x− 1| − ln |x− 2|+ k = ln
|x− 1|
|x− 2|
+ k.
MATEMÁTICAS Modelo B
Acierto +2; Error −0, 5; Sin Contestar 0.
1. Dadas las funciones reales de variable real
f(x) = 2x− 1, g(x) = x2 y h(x) = x2 + 1
¿Cuál de las siguientes igualdades es correcta?
A) f ◦ g(x) = x4 + 2x2 + 1.
B) g ◦ h(x) = x4 + 2x2 + 1.
C) h ◦ f(x) = x4 + 2x2 + 1.
2. El ĺımite de la función f(x) =
x2 + x + 1
x3 − 1
cuando x tiende a 1 es
A) No existe.
B) −∞.
C) +∞.
3. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x2 + x + 1 en
el punto (1, 3) es
A) y = x + 2.
B) y = 2x + 1.
C) y = 3x.
4. Sea la función f(x) =
{
x2 + ax + b si x ≤ 0
x3 si x > 0
Para que f sea derivable en R se debe cumplir que
A) a = 1 y b = 1.
B) a = 0 y b = 0.
C) Da igual el valor que tomen a y b, ya que f nunca será derivable.
5. Calcule el valor de
∫ e
1
x− 1
x2
dx
A) e− 1.
B) e.
C)
1
e
.
MATEMÁTICAS Modelo B
Acierto +2; Error −0, 5; Sin Contestar 0.
1. Dadas las funciones reales de variable real
f(x) = 2x− 1, g(x) = x2 y h(x) = x2 + 1
¿Cuál de las siguientes igualdades es correcta?
A) f ◦ g(x) = x4 + 2x2 + 1.
B) g ◦ h(x) = x4 + 2x2 + 1. (CORR)
C) h ◦ f(x) = x4 + 2x2 + 1.
2. El ĺımite de la función f(x) =
x2 + x + 1
x3 − 1
cuando x tiende a 1 es
A) No existe. (CORR)
B) −∞.
C) +∞.
3. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x2 + x + 1 en
el punto (1, 3) es
A) y = x + 2.
B) y = 2x + 1.
C) y = 3x. (CORR)
4. Sea la función f(x) =
{
x2 + ax + b si x ≤ 0
x3 si x > 0
Para que f sea derivable en R se debe cumplir que
A) a = 1 y b = 1.
B) a = 0 y b = 0. (CORR)
C) Da igual el valor que tomen a y b, ya que f nunca será derivable.
5. Calcule el valor de
∫ e
1
x− 1
x2
dx
A) e− 1.
B) e.
C)
1
e
. (CORR)
MATEMÁTICAS Modelo C
Acierto +2; Error −0, 5; Sin Contestar 0.
1. Dada la función
f(x) =
{
cos(x) + sen(x) si x ≤ π
x− π − 1 si x > π
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) Es continua en todo R.
B) Es continua en R− {π}.
C) No es continua en x, cuando x es un múltiplo entero de π.
2. El ĺımite de la función f(x) =
1
x2 − 1
cuando x tiende a 1 es
A) +∞.
B) −∞.
C) No existe.
3. Dada la función f(x) =
x
x2 + 1
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
A) Es creciente en todo R.
B) Es creciente en el intervalo (−1, 1).
C) Es decreciente intervalo (−1, 1).
4. El área del conjunto limitado por la gráfica de la función f(x) = x, el eje OX y
las rectas x = 3 y x = 5, es
A) 2.
B) 4.
C) 8.
5. El dominio de la función f(x) =
√
1 + x
x
es
A) (∞,−1
]
∪ (0,+∞).
B) R− {0}.
C) (−1, 0
]
.
MATEMÁTICAS Modelo C
Acierto +2; Error −0, 5; Sin Contestar 0.
1. Dada la función
f(x) =
{
cos(x) + sen(x) si x ≤ π
x− π − 1 si x > π
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) Es continua en todo R. (CORR)
B) Es continua en R− {π}.
C) No es continua en x, cuando x es un múltiplo entero de π.
2. El ĺımite de la función f(x) =
1
x2 − 1
cuando x tiende a 1 es
A) +∞.
B) −∞.
C) No existe. (CORR)
3. Dada la función f(x) =
x
x2 + 1
¿Cuál de las siguientes afirmacioneses correcta?
A) Es creciente en todo R.
B) Es creciente en el intervalo (−1, 1). (CORR)
C) Es decreciente intervalo (−1, 1).
4. El área del conjunto limitado por la gráfica de la función f(x) = x, el eje OX y
las rectas x = 3 y x = 5, es
A) 2.
B) 4.
C) 8. (CORR)
5. El dominio de la función f(x) =
√
1 + x
x
es
A) (∞,−1
]
∪ (0,+∞). (CORR)
B) R− {0}.
C) (−1, 0
]
.
MATEMÁTICAS
Modelo A
Acierto +1; Error -0,25; Sin Contestar 0.
1. Sabiendo que tgα = 2 y que
π < α < 3π/2 calcular el senα.
A) senα = −2
√
5/5.
B) senα = −2
√
3/3.
C) senα =
√
2/2.
2. Calcularm para que los siguientes puntos estén
alineados:
A = ( 3,−2, 0),
B = (−1, m, 1),
C = ( 7, 2,−1).
A) m = 2.
B) m = −6.
C) Para ningún valor de m están alineados.
3. ¿Cuál es el grado del polinomio (2x+ 1)5 ?
A) 2.
B) 5.
C) 32.
4. ¿Para qué valor de α es compatible
indeterminado el sistema
x + y + αz = 1
x + y + z = 1
x − y + z = 1
?
A) Solamente para α = 1.
B) Solamente para α = 0.
C) Para ningún α es compatible indetermi-
nado.
5. ¿Cuál es el rango de la matriz
0 1 −11 0 1
1 1 0
?
A) 1.
B) 2.
C) 3.
6. Calcular el dominio de la función
f(x) =
1
√
x− 3
A) Dom(f) = [−3,+∞).
B) Dom(f) = (−∞,−3).
C) Dom(f) = (3,+∞).
7. ¿Tiene f(x) = ex una aśıntota horizontal?
A) Śı, en y = 0.
B) Śı, en y = 1.
C) No, no la tiene.
8. ¿Cuál de las siguientes funciones es una
primitiva de f(x) = ln(x)?
A) F (x) = x
(
ln(x)− 1
)
.
B) F (x) = eln(x)+x+1.
C) F (x) = x/(lnx).
9. Calcule el valor del ĺımite
ĺım
x→+∞
(
x2
x+ 1
−
x2
x− 1
)
.
A) +∞.
B) 0.
C) −2.
10. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la
gráfica de la función f(x) = ln(x) en el
punto de abscisa x = 1?
A) y = x− 1.
B) y = 1− x.
C) y = x.
MATEMÁTICAS
Modelo A
Acierto +1; Error -0,25; Sin Contestar 0.
1. Sabiendo que tgα = 2 y que
π < α < 3π/2 calcular el senα.
A) senα = −2
√
5/5. (CORR)
B) senα = −2
√
3/3.
C) senα =
√
2/2.
Solución: Recordemos que para α (o cualquier otro ángulo)
2 = tgα =
senα
cosα
Por tanto, cosα = senα
2
. Por otro lado sabemos que para α (o cualquier otro ángulo)
1 = sen2 α+ cos2 α.
En esta última ecuación podemos sustituir cosα por el valor obtenido antes y después desarrollar:
1 = sen2 α+
(
senα
2
)2
= sen2 α+
sen2 α
4
=1 · sen2 α+
1
4
· sen2 α = (1 +
1
4
) sen2 α =
5
4
sen2 α.
Mirando el principio y final de este desarrollo obtenemos:
5
4
sen2 α = 1 =⇒ sen2 α =
4
5
=⇒ senα = ±
√
4
5
Los senos de ángulos π < α < 3π/2 son negativos, por tanto tomamos el valor negativo (y
descartamos el positivo):
senα = −
√
4
5
= −
√
4
√
5
= −
2
√
5
= −
2 ·
√
5
√
5 ·
√
5
= −
2 ·
√
5
5
= −2
√
5/5.
2. Calcular m para que los siguientes puntos estén alineados:
A = ( 3,−2, 0),
B = (−1, m, 1),
C = ( 7, 2,−1).
A) m = 2.
B) m = −6. (CORR)
C) Para ningún valor de m están alineados.
Solución: El ejemplo 18 del Tema 7 del libro de texto es un buen modelo para hacer este ejercicio.
Para que A, B y C estén alineados, los vectores AB y AC tienen que tener la misma dirección, o
lo que es lo mismo los vectores libres vAB y vAC deben ser proporcionales:
vAB =(−1− 3, m− (−2), 1− 0) = (−1− 3, m+ 2, 1) = (−4, m+ 2, 1);
vAC =(7− 3, 2− (−2), −1− 0) = (4, 4, −1).
El único λ que puede hacer que λ · vAB = vAC es λ = −1. Es decir
λ · vAB = −1 · (−4,m+ 2, 1) = (−1 · (−4), −1 · (m+ 2), −1 · 1) =(4, −m− 2, −1)
vAC = (4, 4, −1).
Es decir,m debe tomar un valor tal que−m−2 = 4. Y claro está, la solución esm = −4−2 = −6.
3. ¿Cuál es el grado del polinomio (2x+ 1)5 ?
A) 2.
B) 5. (CORR)
C) 32.
Solución: aplicamos el Teorema del Binomio o Binomio de Newton. Se puede mirar el ejemplo 5
del Tema 2 para comprobar los 6 monomios que salen al elevar un binomio a la quinta potencia. El
grado del polinomio total será el grado del monomio con mayor grado. No es dif́ıcil convencerse que
tal monomio será: (2x)5 = 25 · x5. El grado de ese monomio es 5.
4. ¿Para qué valor de α es compatible
indeterminado el sistema 
x + y + αz = 1
x + y + z = 1
x − y + z = 1
?
A) Solamente para α = 1. (CORR)
B) Solamente para α = 0.
C) Para ningún α es compatible indeterminado.
Solución: La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son:
A =
1 1 α1 1 1
1 −1 1
 B =
1 1 α 11 1 1 1
1 −1 1 1
 .
Ahora aplicamos el Teorema de Rouché-Fröbenius (pag 219, Tema 5). Primero obsérvese que el
rango de A y B es igual para cualquier valor de α pues la columna adicional que tiene B es igual
a la primera columna. Esto quiere decir que el sistema es compatible. Finalmente será un sistema
compatible indeterminado si rango(A) < 3. Y esto es equivalente a que detA = 0.
0 =
∣∣∣∣∣∣
1 1 α
1 1 1
1 −1 1
∣∣∣∣∣∣ = 1 + 1− α− (α− 1 + 1) = 2− 2α =⇒ α = 1.
2
5. ¿Cuál es el rango de la matriz
0 1 −11 0 1
1 1 0
?
A) 1.
B) 2. (CORR)
C) 3.
Solución: Vamos a ver que el determinante de la matriz es cero:∣∣∣∣∣∣
0 1 −1
1 0 1
1 1 0
∣∣∣∣∣∣ = 0 + 1− 1− (0 + 0 + 0) = 0
Esto quiere decir que su rango es menor que tres. Por otro lado, la matriz tiene rango como mı́nimo
dos pues la submatriz
[
0 1
1 0
]
tiene determinante distinto de cero. En conclusión, la matriz original
tiene rango dos.
3
6. Calcular el dominio de la función
f(x) =
1
√
x− 3
A) Dom(f) = [−3,+∞).
B) Dom(f) = (−∞,−3).
C) Dom(f) = (3,+∞). (CORR)
Solución: Hay dos situaciones que debemos evitar para que el valor de la función esté definida:
A) El denominador sea distinto de cero:
√
x− 3 6= 0 =⇒ x− 3 6= 0 =⇒ x 6= 3.
B) El interior de la ráız sea mayor o igual a cero:
x− 3 ≥ 0 =⇒ x ≥ 3.
Las dos condiciones se cumplen si x > 3. Por tanto el dominio es igual al intervalo de números entre
3 e infinito (sin incluirlos): (3,+∞).
7. ¿Tiene f(x) = ex una aśıntota horizontal?
A) Śı, en y = 0. (CORR)
B) Śı, en y = 1.
C) No, no la tiene.
Solución: Recordemos que la recta y = b es una aśıntota horizontal de f(x) si
ĺım
x→−∞
f(x) = b o ĺım
x→+∞
f(x) = b.
Es sencillo ver que:
ĺım
x→−∞
ex = ĺım
x→+∞
e−x = ĺım
x→+∞
1
ex
= 0.
Por tanto y = 0 es una aśıntota horizontal. Por otro lado, ĺımx→+∞ e
x = +∞ por tanto no hay
más aśıntotas.
8. ¿Cuál de las siguientes funciones es una
primitiva de f(x) = ln(x)?
A) F (x) = x
(
ln(x)− 1
)
. (CORR)
B) F (x) = eln(x)+x+1.
C) F (x) = x/(lnx).
4
Solución: La manera más rápida de resolver este problema es ver para qué caso F ′(x) = f(x).
Vamos a comprobar que el resultado correcto es la opción A). Para ir paso por paso vamos a definir
G(x) = x y H(x) = ln(x) − 1. Entonces F (x) = G(x) · H(x). Y aplicamos la regla de la
derivada de un producto:
F ′(x) =G′(x) ·H(x) +G(x) ·H ′(x)
=1 · (ln(x)− 1) + x · (1/x) = ln(x)− 1 + 1 = ln(x).
Es fácil ver que las otras dos opciones dan derivadas distintas.
9. Calcule el valor del ĺımite
ĺım
x→+∞
(
x2
x+ 1
−
x2
x− 1
)
.
A) +∞.
B) 0.
C) −2. (CORR)
Solución: Sustituyendo obtenemos la indeterminación∞−∞, por tanto tendremos que operar:
ĺım
x→+∞
(
x2
x+ 1
−
x2
x− 1
)
= ĺım
x→+∞
(
x2(x− 1)− x2(x+ 1)
(x+ 1)(x− 1)
)
= ĺım
x→+∞
(
x3 − x2 − x3 − x2
(x+ 1)(x− 1)
)
= ĺım
x→+∞
( −2x2
x2 − 1
)
= ĺım
x→+∞
−2
(
x2
x2 − 1
)
= ĺım
x→+∞
−2
(
x2 − 1 + 1
x2 − 1
)
= ĺım
x→+∞
−2
(
x2 − 1
x2 − 1
+
1
x2 − 1
)
=− 2
(
1 + ĺım
x→+∞
1
x2 − 1
)
= −2(1 + 0) = −2.
10. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = ln(x) en el punto de
abscisa x = 1?
A) y = x− 1. (CORR)
B) y = 1− x.
C) y = x.
Solución: La recta tangente a la gráfica de la función f(x) = ln(x) en el punto de abcisa x = 1
tiene que pasar por el punto (1, f(1)) = (1, ln(1)) = (1, 0) y tener pendiente f ′(1) = 1/1 = 1.
Por tanto, la opción A) es la única correcta.
5
MATEMÁTICAS
Modelo B
Acierto +1; Error -0,25; Sin Contestar 0.
1. Sea T1 un triángulo rectángulo que tiene un
ángulo de π/12 radianes, y sea T2 un triángulo
rectángulo que tiene un ángulo de 5π/12 rad.
A) Los triángulos T1 y T2 son semejantes,
pero no tienen porqué ser iguales.
B) Los triángulosT1 y T2 NO son semejantes.
C) Los triángulos T1 y T2 son iguales.
2. En el plano consideramos la recta r : x = 3 y
la recta s que pasa por los puntos A = (1, 2)
y B = (5, 0). ¿Cuáles son las coordenadas del
punto C que está en la intersección de r y s?
A) C = (3, 1).
B) C = (3, 0).
C) C = (3, 3).
3. ¿Cuál es el resto de dividir
3x3 entre x2 + x+ 1?
A) 3.
B) 3x.
C) x+ 1.
4. Sea (x0, y0, z0) una de las muchas soluciones
del sistema compatible indeterminado{
x − y − z = 1
x + y + z = 1
.
¿Qué igualdad se verifica siempre?
A) x0 = 0.
B) x0 + y0 = 1.
C) y0 + z0 = 0.
5. ¿Cuál es la inversa de A =
1 0 01 1 0
1 1 1
?
A) A−1 =
−1 0 0−1 −1 0
−1 −1 −1
.
B) A−1 =
 1 0 0−1 1 0
0 −1 1
.
C) A−1 =
 1 0 0−1 1 0
−1 −1 1
.
6. Si f(x) = x3 + 1, ¿Cuál es la imagen por
f del intervalo A = (−2, 1)?
A) f(A) = [0, 8).
B) f(A) = (−8, 1).
C) f(A) = (−7, 2).
7. ¿En cuál de los siguiente intervalos la función
f(x) = cos2(x) es creciente?
A) (0, π/2).
B) (π, 2π).
C) (π/2, π).
8. Calcular el valor de∫ 1
−1
|2x+ 1| dx .
A) 5/2.
B) 2.
C) 14/3.
9. Calcule el valor del ĺımite
ĺım
x→∞
(
1 +
2
x
)3x
.
A) e6.
B) 3e/2.
C) e/6.
10. Calcular la primera derivada de
f(x) =
√
x+ 1
x− 1
en x = 0.
A) −3/2.
B) 4.
C) 1/2.
MATEMÁTICAS
Modelo B
Acierto +1; Error -0,25; Sin Contestar 0.
1. Sea T1 un triángulo rectángulo que tiene un
ángulo de π/12 radianes, y sea T2 un triángulo
rectángulo que tiene un ángulo de 5π/12 rad.
A) Los triángulos T1 y T2 son semejantes,
pero no tienen porqué ser iguales. (CORR)
B) Los triángulos T1 y T2 NO son semejantes.
C) Los triángulos T1 y T2 son iguales.
2. En el plano consideramos la recta r : x = 3 y
la recta s que pasa por los puntos A = (1, 2)
y B = (5, 0). ¿Cuáles son las coordenadas del
punto C que está en la intersección de r y s?
A) C = (3, 1). (CORR)
B) C = (3, 0).
C) C = (3, 3).
3. ¿Cuál es el resto de dividir
3x3 entre x2 + x+ 1?
A) 3. (CORR)
B) 3x.
C) x+ 1.
4. Sea (x0, y0, z0) una de las muchas soluciones
del sistema compatible indeterminado{
x − y − z = 1
x + y + z = 1
.
¿Qué igualdad se verifica siempre?
A) x0 = 0.
B) x0 + y0 = 1.
C) y0 + z0 = 0. (CORR)
5. ¿Cuál es la inversa de A =
1 0 01 1 0
1 1 1
?
A) A−1 =
−1 0 0−1 −1 0
−1 −1 −1
.
B) A−1 =
 1 0 0−1 1 0
0 −1 1
. (CORR)
C) A−1 =
 1 0 0−1 1 0
−1 −1 1
.
6. Si f(x) = x3 + 1, ¿Cuál es la imagen por
f del intervalo A = (−2, 1)?
A) f(A) = [0, 8).
B) f(A) = (−8, 1).
C) f(A) = (−7, 2). (CORR)
7. ¿En cuál de los siguiente intervalos la función
f(x) = cos2(x) es creciente?
A) (0, π/2).
B) (π, 2π).
C) (π/2, π). (CORR)
8. Calcular el valor de∫ 1
−1
|2x+ 1| dx .
A) 5/2. (CORR)
B) 2.
C) 14/3.
9. Calcule el valor del ĺımite
ĺım
x→∞
(
1 +
2
x
)3x
.
A) e6. (CORR)
B) 3e/2.
C) e/6.
10. Calcular la primera derivada de
f(x) =
√
x+ 1
x− 1
en x = 0.
A) −3/2. (CORR)
B) 4.
C) 1/2.
MATEMÁTICAS
Modelo C
Acierto +1; Error -0,25; Sin Contestar 0.
1. Calcular X en el triángulo de la figura,
sabiendo que
tg(30o) =
√
3/3;
tg(60o) =
√
3
A) 200
B) 200
√
3/3
C) 100
√
3
2. En el espacio consideramos el plano r : x = 3 y
la recta s que pasa por los puntosA = (1, 2, 1)
y B = (0, 5, 0). ¿Cuáles son las coordenadas
de la intersección de r y s?
A) (3,−4, 3).
B) (3, 5, 3).
C) (3,−3, 3).
3. Dado el polinomio
P (x) = (x+ 3)(x+ 2)(x+ 1)
¿Cuál de las siguientes opciones es correcta?
A) 3, 2 y 1 son ráıces del polinomio P (x).
B) 0 es ráız del polinomio P (x).
C) −2 es ráız del polinomio P (x).
4. Sea (x0, y0, z0) la solución del sistema compa-
tible determinado que depende de α y β:
x + y = α
y + z = β
x + z = 0
.
A) Si α > β entonces x0 > 0.
B) Si α > β entonces z0 > 0.
C) Si α+ β > 0 entonces y0 < 0.
5. ¿Para qué valor de α se verifica que∣∣∣∣α −11 α
∣∣∣∣ = 2α?
A) α = 0.
B) α = 1.
C) α = −1.
6. Sea f(x) = x3 − x,
¿qué tipo de función es f(x)?
A) Es una función positiva.
B) Es una función negativa.
C) Es una función impar.
7. ¿Tiene la función
f(x) = |x|
un mı́nimo absoluto?
A) Śı, en x = 0.
B) No, no tiene mı́nimo absoluto, y tampoco
mı́nimo relativo.
C) En x = 0 tiene un mı́nimo relativo pero
no es un mı́nimo absoluto.
8. Calcular el valor de∫ 1
0
eex dx .
A) e(ee + 1).
B) (ee − 1)/e.
C) e(ee − 1).
9. Calcule el valor del ĺımite
ĺım
x→∞
√
x2 + 1−
√
x2 − 1 .
A) ∞.
B) 1.
C) 0.
10. En x = 0, la función
f(x) = e(x
2)
tiene un:
A) Un mı́nimo relativo.
B) Un máximo relativo.
C) Punto de inflexión.
MATEMÁTICAS
Modelo C
Acierto +1; Error -0,25; Sin Contestar 0.
1. Calcular X en el triángulo de la figura,
sabiendo que
tg(30o) =
√
3/3;
tg(60o) =
√
3
A) 200
B) 200
√
3/3 (CORR)
C) 100
√
3
2. En el espacio consideramos el plano r : x = 3 y
la recta s que pasa por los puntosA = (1, 2, 1)
y B = (0, 5, 0). ¿Cuáles son las coordenadas
de la intersección de r y s?
A) (3,−4, 3). (CORR)
B) (3, 5, 3).
C) (3,−3, 3).
3. Dado el polinomio
P (x) = (x+ 3)(x+ 2)(x+ 1)
¿Cuál de las siguientes opciones es correcta?
A) 3, 2 y 1 son ráıces del polinomio P (x).
B) 0 es ráız del polinomio P (x).
C) −2 es ráız del polinomio P (x). (CORR)
4. Sea (x0, y0, z0) la solución del sistema compa-
tible determinado que depende de α y β:
x + y = α
y + z = β
x + z = 0
.
A) Si α > β entonces x0 > 0. (CORR)
B) Si α > β entonces z0 > 0.
C) Si α+ β > 0 entonces y0 < 0.
5. ¿Para qué valor de α se verifica que∣∣∣∣α −11 α
∣∣∣∣ = 2α?
A) α = 0.
B) α = 1. (CORR)
C) α = −1.
6. Sea f(x) = x3 − x,
¿qué tipo de función es f(x)?
A) Es una función positiva.
B) Es una función negativa.
C) Es una función impar. (CORR)
7. ¿Tiene la función
f(x) = |x|
un mı́nimo absoluto?
A) Śı, en x = 0. (CORR)
B) No, no tiene mı́nimo absoluto, y tampoco
mı́nimo relativo.
C) En x = 0 tiene un mı́nimo relativo pero
no es un mı́nimo absoluto.
8. Calcular el valor de∫ 1
0
eex dx .
A) e(ee + 1).
B) (ee − 1)/e. (CORR)
C) e(ee − 1).
9. Calcule el valor del ĺımite
ĺım
x→∞
√
x2 + 1−
√
x2 − 1 .
A) ∞.
B) 1.
C) 0. (CORR)
10. En x = 0, la función
f(x) = e(x
2)
tiene un:
A) Un mı́nimo relativo. (CORR)
B) Un máximo relativo.
C) Punto de inflexión.
MATEMÁTICAS (código: 00001258) Modelo A
Acierto +2; Error −0, 5; Sin Contestar 0.
1. La función inversa de f(x) = 2x − 1 es
A) f−1(x) = 1/(2x − 1).
B) f−1(x) = 1 − 2x.
C) f−1(x) = (x + 1)/2. 
2. La función f(x) =
{
x2 + 1 si x ≤ 1
2x + 3 si x > 1
A) Es discontinua en x = 1.
B) No está definida en x = 0.
C) Es continua en x = 1.
3. Calcule el valor de ĺım
x→+∞
√
x + 1−
√
x
A) 0. 
B) e.
C) +∞.
4. Para la función f(x) =
4x− 1
x + 3
A) La recta x = 1/4 es una aśıntota vertical.
B) La recta y = 4 es una aśıntota horizontal.
C) La recta x = 4 es una aśıntota vertical.
5. Calcule el valor de
∫ 1
0
x · e−x dx
A) e.
B) 1.
C) 1−
2
e
. 
MATEMÁTICAS (código: 00001258) Modelo A
Acierto +2; Error −0, 5; Sin Contestar 0.
1. La función inversa de f(x) = 2x− 1 es
A) f−1(x) = 1/(2x− 1).
B) f−1(x) = 1− 2x.
C) f−1(x) = (x + 1)/2. (CORRECTA)
2. La función f(x) =
{
x2 + 1 si x ≤ 1
2x + 3 si x > 1
A) Es discontinua en x = 1. (CORRECTA)
B) No está definida en x = 0.
C) Es continua en x = 1.
3. Calcule el valor de ĺım
x→+∞
√
x + 1−
√
x
A) 0. (CORRECTA)
B) e.
C) +∞.
4. Para la función f(x) =
4x− 1
x + 3
A) La recta x = 1/4 es una aśıntota vertical.
B) La recta y = 4 es una aśıntota horizontal. (CORRECTA)
C) La recta x = 4 es una aśıntota vertical.
5. Calcule el valor de
∫ 1
0
x · e−x dx
A) e.
B) 1.
C) 1−
2
e
. (CORRECTA)
MATEMÁTICAS (código: 00001258) Modelo B
Acierto +2; Error −0, 5; Sin Contestar 0.
1. La función f(x) =
1
(x2 − 1)
A) Está acotada superiormente.
B) Está acotada inferiormente.
C) No está acotada ni superior ni inferiormente.
2. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = 2x2 +3 en el punto (1, 5) es
A) y = 4x + 1. 
B) y = 4x + 3.
C) y − 1 = 4(x − 5).
3. Calcule el valor de ĺım
x→+∞
(
x + 3
x
)2x
A) 1.
B) e6.
C) +∞.4. Cuando x = 0 la función f(x) =
2
5
x2 + cos(x)
A) Tiene un mı́nimo relativo.
B) Tiene un máximo absoluto.
C) Tiene un máximo relativo.
5. El área del conjunto limitado por la gráfica de la función f(x) = sen (x), el eje
OX y las rectas x = a y x = b, es
A)
∫ b
a
sen (x) dx.
B)
∫ b
a
| sen2 (x)| dx.
C)
∫ b
a
| sen (x)| dx.
MATEMÁTICAS (código: 00001258) Modelo B
Acierto +2; Error −0, 5; Sin Contestar 0.
1. La función f(x) =
1
(x2 − 1)
A) Está acotada superiormente.
B) Está acotada inferiormente.
C) No está acotada ni superior ni inferiormente. (CORRECTA)
2. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = 2x2 +3 en el punto (1, 5)
es
A) y = 4x + 1. (CORRECTA)
B) y = 4x + 3.
C) y − 1 = 4(x− 5).
3. Calcule el valor de ĺım
x→+∞
(
x + 3
x
)2x
A) 1.
B) e6. (CORRECTA)
C) +∞.
4. Cuando x = 0 la función f(x) =
2
5
x2 + cos(x)
A) Tiene un mı́nimo relativo.
B) Tiene un máximo absoluto.
C) Tiene un máximo relativo. (CORRECTA)
5. El área del conjunto limitado por la gráfica de la función f(x) = sen (x), el eje
OX y las rectas x = a y x = b, es
A)
∫ b
a
sen (x) dx.
B)
∫ b
a
| sen2 (x)| dx.
C)
∫ b
a
| sen (x)| dx. (CORRECTA)
MATEMÁTICAS (código: 00001258) Modelo C
Acierto +2; Error −0, 5; Sin Contestar 0.
1. El polinomio p(x) = x3 − 4x2 + 3x
A) Tiene una ráız en el intervalo [−2, 2].
B) Tiene dos ráıces en el intervalo [−2, 2].
C) Tiene tres ráıces en el intervalo [−2, 2].
√
x + 1 en el punto (0, 1)2. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = es
A) no tiene recta tangente.
B) y = 2x + 1.
C) y = x/2 + 1.
3. Calcule el valor de ĺım
x→0+
x2 + 1
2x
A) −∞.
B) No existe.
C) +∞. 
4. La función f(x) =
x2 − 1
x2
A) Tiene alguna aśıntota.
B) Tiene un máximo relativo.
C) Tiene un máximo absoluto.
5. Calcule el valor de
∫ 1
0
1
x2 + 3x + 2
dx
A) ln(3/2).
B) 2 ln(2) − ln(3).
C) tg(1/2).
MATEMÁTICAS (código: 00001258) Modelo C
Acierto +2; Error −0, 5; Sin Contestar 0.
1. El polinomio p(x) = x3 − 4x2 + 3x
A) Tiene una ráız en el intervalo [−2, 2].
B) Tiene dos ráıces en el intervalo [−2, 2]. (CORRECTA)
C) Tiene tres ráıces en el intervalo [−2, 2].
2. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) =
√
x + 1 en el punto (0, 1)
es
A) no tiene recta tangente.
B) y = 2x + 1.
C) y = x/2 + 1. (CORRECTA)
3. Calcule el valor de ĺım
x→0+
x2 + 1
2x
A) −∞.
B) No existe.
C) +∞. (CORRECTA)
4. La función f(x) =
x2 − 1
x2
A) Tiene alguna aśıntota. (CORREC)
B) Tiene un máximo relativo.
C) Tiene un máximo absoluto.
5. Calcule el valor de
∫ 1
0
1
x2 + 3x + 2
dx
A) ln(3/2).
B) 2 ln(2)− ln(3). (CORRECTA)
C) tg(1/2).
MATEMÁTICAS Modelo A
Acierto +1; Error -0,25; Sin Contestar 0.
1. Calcule el coeficiente que acompaña a
x2 al desarrollar (3x+ 4)3.
A) 36.
B) 108.
C) 144.
2. Si todos los lados de un triángulo equiláte-
ro miden 2, ¿cuál es su área?
A) 1.
B)
√
3/4.
C)
√
3.
3. Si A =
[
2 0
5 −1
]
¿Cuál el determinante de la inversa de A?
A)
∣∣A−1∣∣ = 1.
B)
∣∣A−1∣∣ = −1/2.
C)
∣∣A−1∣∣ = 1/5.
4. ¿Qué tipo de sistema es
2x− 3y = 1
x+ y = −1
x+ 6y = −4
?
A) Compatible determinado.
B) Compatible indeterminado.
C) Incompatible.
5. ¿Para qué valor de α son linealmente
independientes los vectores u = (α, 1, 1),
v = (3, 1, 2) y w = (1, 1, 2)?
A) Para α 6= 3.
B) Para todo α.
C) Para α 6= 1.
6. Dadas las funciones
f(x) = 3x/5− 3
g(x) = −x+ 5
h(x) = 5x/3 + 5
decir qué opción es correcta:
A) f es la función inversa de g.
B) f es la función inversa de h.
C) g es la función inversa de h.
7. Sea f(x) = |x3|.
¿Qué afirmación es correcta?
A) Es derivable en todo R.
B) No es derivable en x = 0.
C) No es derivable en x = 1.
8. Calcule el valor de
ĺım
x→2
5x− 1
x2 − 4
A) +∞.
B) −∞.
C) No existe.
9. Las aśıntotas de la función f(x) = tg(x)
A) Son todas horizontales.
B) Son todas verticales.
C) Tiene horizontales y verticales.
10. Calcular el valor de∫ 1
−1
2x+ 1 dx.
A) 5/2.
B) 2.
C) 14/3.
MATEMÁTICAS Modelo A
Acierto +1; Error -0,25; Sin Contestar 0.
1. Calcule el coeficiente que acompaña a
x2 al desarrollar (3x+ 4)3.
A) 36.
B) 108. (CORRECTA)
C) 144.
Solución: Teniendo en cuenta que
(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3
si lo aplicamos a nuestro caso nos da
(3x+ 4)3 = (3x)3 + 3(3x)2(4) + 3(3x)(4)2 + (4)3
El único coeficiente que acompaña a x2 aparece en el término
3(3x)2(4) = 3 · 9x2 · 4 = 108x2.
2. Si todos los lados de un triángulo equilátero miden 2, ¿cuál es su área?
A) 1.
B)
√
3/4.
C)
√
3. (CORR)
Solución: El área de un triángulo es la base del triángulo por la altura dividido
entre dos: área = b·h
2
. La base es dos: b = 2. Si el triángulo equilátero lo dividimos
en dos trazando una recta vertical, nos quedan dos triángulos rectángulos iguales.
Nos fijamos en uno de los triángulos rectángulos y observamos que su hipotenusa
es 2 y que un cateto en 1, y el otro cateto es la altura del triángulo equilátero. Del
Teorema de Pitágoras deducimos que
h2 + 12 = 22 ⇒ h2 = 4− 1 ⇒ h =
√
3.
Finalmente,
área =
b · h
2
=
2 ·
√
3
2
=
√
3.
3. Si A =
[
2 0
5 −1
]
¿Cuál el determinante de la inversa de A?
A)
∣∣A−1∣∣ = 1.
B)
∣∣A−1∣∣ = −1/2. (CORR)
C)
∣∣A−1∣∣ = 1/5.
Solución: Podemos hacer lo que nos piden, es decir, calcular la inversa de la matriz
A y después calcular su determinante.
∣∣A−1∣∣ = ∣∣∣∣∣
1
2
0
5
2
−1
∣∣∣∣∣ = −1 · 12 + 0 · 52 = −12
Pero hay una propiedad de los determinantes que nos puede ayudar a hacer menos
cálculos: el determinante de una matriz invertible es el inverso del determinante
de su matriz inversa
∣∣A−1∣∣ = 1|A| (sección 4-8 del libro de texto, página 175).
∣∣A−1∣∣ = 1
|A|
=
1∣∣∣∣ 2 05 −1
∣∣∣∣ =
1
2(−1)− 0
= −
1
2
4. ¿Qué tipo de sistema es
2x− 3y = 1
x+ y = −1
x+ 6y = −4
?
A) Compatible determinado. (CORRECTA)
B) Compatible indeterminado.
C) Incompatible.
Solución: Aplicamos el Teorema de Rouché-Fröbenius (página 219). Para ver si
el sistema tiene soluciones, tenemos que ver si el rango de la matriz de coeficientes
A =
(
2 −3
1 1
1 6
)
es igual al de la matriz ampliada B =
(
2 −3 1
1 1 −1
1 6 −4
)
.
Calculemos primero el rango de la matriz ampliada B. Como su determinante es
0,
|B| =
∣∣∣ 2 −3 11 1 −1
1 6 −4
∣∣∣ = 0,
entonces el rango de B es menor o igual que 2. Por otro lado, el rango de A es
menor o igual que 2 pues tiene 2 columnas. Como la submatriz
(
2 −3
1 1
)
de A y de
B, tiene determinante distinto de 0, entonces A y B tienen rango mayor o igual
que 2. Con lo visto anteriormente, el rango de A y B es 2.
El teorema de Rouché-Fröbenius no dice que el sistema tiene soluciones (compa-
tible). Además como el rango de A y B es igual al número de variables, entonces
el sistema es compatible determinado.
5. ¿Para qué valor de α son linealmente
independientes los vectores u = (α, 1, 1),
v = (3, 1, 2) y w = (1, 1, 2)?
A) Para α 6= 3.
B) Para todo α. (CORRECTA)
C) Para α 6= 1.
Solución: Los tres vectores son linealmente independientes si y solo si el determi-
nante de la matriz formada por las columnas de esos tres vectores es distinto de
cero (página 276):
0 6=
∣∣∣∣∣∣
α 3 1
1 1 1
1 2 2
∣∣∣∣∣∣ = 2α+ 3 + 2− (1 + 2α+ 6) = −2
Como, 0 es siempre distinto a −2 obtenemos que la respuesta correcta en la B).
6. Dadas las funciones
f(x) = 3x/5− 3
g(x) = −x+ 5
h(x) = 5x/3 + 5
decir qué opción es correcta:
A) f es la función inversa de g.
B) f es la función inversa de h. (CORRECTA)
C) g es la función inversa de h.
Solución: Realizando los cálculos tenemos
f ◦ h(x) = f(h(x)) = f(5x/3 + 5) = 3(5x/3 + 5)/5− 3
= (5x+ 15)/5− 3 = x+ 3− 3 = x.
7. Sea f(x) = |x3|.
¿Qué afirmación es correcta?
A) Es derivable en todo R. (CORRECTA)
B) No es derivable en x = 0.
C) No es derivable en x = 1.
Solución: La función se puede escribir como:
f(x) =
{
x3 si x ≥ 0
−x3 si x < 0
.
Procedemos de forma muy parecida a como está resuelto el Ejemplo 2 del Tema 4,
Volumen 2 (página 179), pero la conclusión es la contraria.El único punto donde
la función quizá no es derivable es x = 0.
f(h)− f(0)
h
=

h3−0
h
= h2 si h > 0
−h3−0
h
= −h2 si h < 0
y por tanto
ĺım
h→0+
f(h)− f(0)
h
= ĺım
h→0+
h2 = 0, y ĺım
h→0−
f(h)− f(0)
h
= ĺım
h→0−
−h2 = 0.
Como el ĺımite por ambos lados existe y es igual, entonces el ĺımite exite
ĺım
h→0
f(h)− f(0)
h
= 0.
Por tanto, la función también es derivable en x = 0 y en consecuencia la función
es derivable en todo R.
8. Calcule el valor de
ĺım
x→2
5x− 1
x2 − 4
A) +∞.
B) −∞.
C) No existe. (CORRECTA)
Solución: La solución es muy muy similar a la del Ejercicio 14 del Tema 3, del
Volumen 2 (página 143). Calculamos los ĺımites laterales para ver que no coinciden
ĺım
x→2+
5x− 1
x2 − 4
= +∞ y ĺım
x→2−
5x− 1
x2 − 4
= −∞.
La expresión anterior se deduce de que cuando x → 2+ entonces x2 − 4 > 0
y cuando x → 2− entonces x2 − 4 < 0. Finalmente, el ĺımite por el que nos
preguntan no existe pues los ĺımites laterales no coinciden.
9. Las aśıntotas de la función f(x) = tg(x)
A) Son todas horizontales.
B) Son todas verticales. (CORRECTA)
C) Tiene horizontales y verticales.
Solución: La función es periódica y tiene aśıntotas verticales en
x =
π
2
,
3π
2
,
5π
2
, etc y x = −
π
2
, −
3π
2
, −
5π
2
.
Se puede ver más claramente las aśıntotas verticales en su representación gráfica:
Figura 2.23 del Volumen 2 (página 110).
10. Calcular el valor de ∫ 1
−1
2x+ 1 dx.
A) 5/2.
B) 2. (CORR)
C) 14/3.
Solución:∫ 1
−1
2x+ 1 dx. =
[
x2 + x
]1
−1 = (1
2 + 1)− ((−1)2 − 1) = 2− 0 = 2
MATEMÁTICAS Modelo B
Acierto +1; Error -0,25; Sin Contestar 0.
1. ¿Cuál es el grado del polinomio P1 · P2
que se obtiene al multiplicar dos polino-
mios P1 y P2?
A) La suma de los grados de P1 y P2.
B) El producto de los grados de P1 y P2.
C) El mayor de los grados de P1 y P2.
2. Si α un ángulo con 0 < α <
π
2
y tal
que sen α =
1
2
, entonces:
A) tg(α) = 1.
B) tg(α) =
√
3.
C) tg(α) = 1/
√
3.
3. ¿Cuál es el rango de la matriz obtenida al
hacer el producto de matrices siguiente?1 10 2
1 3
 · [ 1 1 −3−1 0 1
]
A) 1.
B) 2.
C) 3.
4. Si (x0, y0, z0) es la solución del sistema
x+ y = 3
y + z = 5
x+ z = 4
, se verifica que:
A) x0 · y0 = 3.
B) y0 · z0 = 3.
C) x0 · z0 = 3.
5. ¿Para qué valores de α, β y γ son
linealmente dependientes los vectores
(1, 1, α), (2, 2, β) y (3, 3, γ)?
A) Para cualquier valor de α, β y γ.
B) Para ningún valor de α, β y γ.
C) Sólo cuando α · β · γ = 0.
6. La función f(x) =
1
x2
A) Está acotada superiormente.
B) Está acotada inferiormente.
C) No está acotada ni superior ni infe-
riormente.
7. La función f(x) =
{
2x+ 3 si x ≤ 2
x2 − 1 si x > 2
A) Es continua en x = 2.
B) Es discontinua en x = 2.
C) No está definida en x = 2.
8. Calcule el valor de
ĺım
x→1
x2 − 2x+ 1
x2 − 1
A) +∞.
B) 0.
C) No existe ĺımite.
9. La función
f(x) =
x3
x2 + 1
A) Tiene una aśıntota horizontal.
B) Tiene una aśıntota vertical.
C) Tiene una aśıntota oblicua.
10. ¿En cuál de los siguientes intervalos es
creciente la función f(x) = sen2(x) ?
A) (0, π/2).
B) (π/2, π).
C) (0, π).
MATEMÁTICAS Modelo B
Acierto +1; Error -0,25; Sin Contestar 0.
1. ¿Cuál es el grado del polinomio P1 ·P2 que se obtiene al multiplicar dos polinomios P1
y P2?
A) La suma de los grados de P1 y P2. (CORRECTA)
B) El producto de los grados de P1 y P2.
C) El mayor de los grados de P1 y P2.
2. Si α un ángulo con 0 < α <
π
2
y tal que sen α =
1
2
, entonces:
A) tg(α) = 1.
B) tg(α) =
√
3.
C) tg(α) = 1/
√
3. (CORRECTA)
3. ¿Cuál es el rango de la matriz obtenida al hacer el producto de matrices siguiente?1 10 2
1 3
 · [ 1 1 −3−1 0 1
]
A) 1.
B) 2. (CORRECTA)
C) 3.
4. Si (x0, y0, z0) es la solución del sistema

x+ y = 3
y + z = 5
x+ z = 4
, se verifica que:
A) x0 · y0 = 3.
B) y0 · z0 = 3.
C) x0 · z0 = 3. (CORRECTA)
5. ¿Para qué valores de α, β y γ son
linealmente dependientes los vectores
(1, 1, α), (2, 2, β) y (3, 3, γ)?
A) Para cualquier valor de α, β y γ. (CORRECTA)
B) Para ningún valor de α, β y γ.
C) Sólo cuando α · β · γ = 0.
6. La función f(x) =
1
x2
A) Está acotada superiormente.
B) Está acotada inferiormente. (CORRECTA)
C) No está acotada ni superior ni inferiormente.
7. La función f(x) =
{
2x+ 3 si x ≤ 2
x2 − 1 si x > 2
A) Es continua en x = 2.
B) Es discontinua en x = 2. (CORRECTA)
C) No está definida en x = 2.
8. Calcule el valor de
ĺım
x→1
x2 − 2x+ 1
x2 − 1
A) +∞.
B) 0. (CORRECTA)
C) No existe ĺımite.
9. La función
f(x) =
x3
x2 + 1
A) Tiene una aśıntota horizontal.
B) Tiene una aśıntota vertical.
C) Tiene una aśıntota oblicua. (CORRECTA)
10. ¿En cuál de los siguientes intervalos es creciente la función f(x) = sen2(x) ?
A) (0, π/2). (CORRECTA)
B) (π/2, π).
C) (0, π).
MATEMÁTICAS Modelo C
Acierto +1; Error -0,25; Sin Contestar 0.
1. ¿Cuál es el valor de m para que el resto
de la división de
x3 − x2 + x+m entre x+ 1 sea 1?
A) 1.
B) 2.
C) 4.
2. Sea x un valor real positivo ¿Existe un
triángulo rectángulo cuyos catetos mi-
dan 3 y 4, y cuya hipotenusa mida 5x?
A) Śı, para cualquier valor de x.
B) Únicamente cuando x = 1.
C) No, para ningún x.
3. Si A =
[
1 2
0 1
]
entonces
A) La inversa de A2 es
[
1 −4
0 1
]
.
B) La inversa de A2 es
[
−1 −4
0 −1
]
.
C) A2 no tiene inversa.
4. ¿Cuándo es incompatible el sistema
x+ y + αz = 0
y + αz = 0
αy + z = 0
?
A) Para ningún α.
B) Para α 6= 0.
C) Para α = 0.
5. ¿Para qué valores de α, β y γ son lineal-
mente dependientes los vectores (1, 0, α),
(0, 1, β) y (1, 1, γ)?.
A) Para cualquier valor de α, β y γ.
B) Para ningún valor de α, β y γ.
C) Sólo cuando α+ β = γ.
6. ¿Está acotada la función f(x) = x3 ?
A) Está acotada inferiormente, pero no
superiormente;
B) Está acotada superiormente e infe-
riormente.
C) No está acotada ni superiormente, ni
inferiormente.
7. La función f(x) =
{
x− 5 si x ≤ 2
x2 − 1 si x > 2
A) Es continua en x = 2.
B) Es discontinua en x = 2.
C) No está definida en x = 2.
8. Calcule el valor del ĺımite
ĺım
x→+∞
(
1 +
2
x
)3x
.
A) e6.
B) 3e/2.
C) e/6.
9. La función f(x) = 2x+
1
x
A) No tiene máximos relativos.
B) No tiene mı́nimos relativos.
C) Tiene un máximo relativo y un mı́ni-
mo relativo.
10. Calcule el valor de∫ π/2
0
sen2(x) cos(x) dx
A) 1/2.
B) 1/3.
C) 0.
MATEMÁTICAS Modelo C
Acierto +1; Error -0,25; Sin Contestar 0.
1. ¿Cuál es el valor de m para que el resto de la división de
x3 − x2 + x+m entre x+ 1 sea 1?
A) 1.
B) 2.
C) 4. (CORRECTA)
2. Sea x un valor real positivo ¿Existe un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 y
4, y cuya hipotenusa mida 5x?
A) Śı, para cualquier valor de x.
B) Únicamente cuando x = 1. (CORRECTA)
C) No, para ningún x.
3. Si A =
[
1 2
0 1
]
entonces
A) La inversa de A2 es
[
1 −4
0 1
]
. (CORRECTA)
B) La inversa de A2 es
[
−1 −4
0 −1
]
.
C) A2 no tiene inversa.
4. ¿Cuándo es incompatible el sistema
x+ y + αz = 0
y + αz = 0
αy + z = 0
?
A) Para ningún α. (CORRECTA)
B) Para α 6= 0.
C) Para α = 0.
Solución: Un sistema es incompatible si no existe una solución para x, y, z que
cumpla las tres ecuaciones. Pero x = 0, y = 0, z = 0 siempre va a verificar las
tres ecuaciones sea cual sea el valor de α.
Otra forma de resolverlo es mediante el teorema de Rouché-Frobenius (página 219)
que dice, entre otras cosas, que un sistema en el que el rango de la matriz de los
coeficientes y el rango de la ampliada NO coinciden es un sistema incompatible.
En este caso las dos matrices son:1 1 α0 1 α
0 α 1
 1 1 α 00 1 α 0
0 α 1 0

La una diferencia es una columna de ceros y esa columna de ceros no puede
incrementar el rango de la ampliada con respecto a la de los coeficientes.
5. ¿Para qué valores de α, β y γ son linealmente dependientes los vectores (1, 0, α),
(0, 1, β) y (1, 1, γ)?.
A) Para cualquier valor de α, β y γ.
B) Para ningún valor de α, β y γ.
C) Sólo cuando α+ β = γ. (CORRECTA)
6. ¿Está acotadala función f(x) = x3 ?
A) Está acotada inferiormente, pero no superiormente;
B) Está acotada superiormente e inferiormente.
C) No está acotada ni superiormente, ni inferiormente. (CORRECTA)
7. La función f(x) =
{
x− 5 si x ≤ 2
x2 − 1 si x > 2
A) Es continua en x = 2.
B) Es discontinua en x = 2. (CORRECTA)
C) No está definida en x = 2.
8. Calcule el valor del ĺımite
ĺım
x→+∞
(
1 +
2
x
)3x
.
A) e6. (CORR)
B) 3e/2.
C) e/6.
9. La función f(x) = 2x+
1
x
A) No tiene máximos relativos.
B) No tiene mı́nimos relativos.
C) Tiene un máximo relativo y un mı́nimo relativo. (CORRECTA)
10. Calcule el valor de ∫ π/2
0
sen2(x) cos(x) dx
A) 1/2.
B) 1/3. (CORRECTA)
C) 0.