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Centro Asociado Palma de Mallorca Tutor: Antonio Rivero Cuesta MMaatteemmááttiiccaass CCiieenncciiaass SSoocciiaalleess Centro Asociado Palma de Mallorca Tutor: Antonio Rivero Cuesta TTeemmaa 11 FFuunnddaammeennttooss LLóóggiiccaa ddee PPrrooppoossiicciioonneess Proposiciones Proposición, oración que siempre podemos afirmar que es verdadera o falsa. Proposición simple, se limita a enunciar una cualidad de un ser o cosa. Proposición compuesta, se obtiene combinando una o más proposiciones simples. Valor de verdad, es la verdad o falsedad de una proposición. No Son Proposiciones Los Ruegos. Los Deseos. ¡Ojalá mañana brille el sol! Las Órdenes. ¡Dame mi raqueta de la suerte! Las Preguntas. ¿Por qué no te quedas a comer? Conectores Lógicos Se utilizan para combinar proposiciones simples. Es una partícula que se utiliza para formar las proposiciones compuestas. Conectores Lógicos Están ordenadas por orden de preferencia Negación p Conjunción (p q) Disyunción (p q) Condicional → (p → q) ≡ (p q) Tabla de Verdad Representa todas las posibilidades lógicas que pueden tomar las proposiciones. Son 2n. Variables proposicionales: p, q, r,… Constantes proposicionales: V, F. Tabla de Verdad Para una variable: 21 = 2 p V F Tabla de Verdad Para dos variables : 22 = 4 p q V V F F V F V F Tabla de Verdad Para tres variables: 23 = 8 p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Negación p p V F F V Conjunción p q p q V V F F V F V F V F F F Disyunción p q p q V V F F V F V F V V V F Condicional p q p q V V F F V F V F V F V V Cálculo de Valores de Verdad p q p p q p q p q V V F V V V V F F F V F F V V F V V F F V F F V Cálculo de Valores de Verdad p q p p q p q p q V V F V V F F F V F F V F Semisumador Binario Razonamientos Es la deducción que obtenemos de una proposición, que llamamos conclusión, a partir de un conjunto de proposiciones que llamamos premisas. Razonamientos Un razonamiento es lógicamente válido en los casos en que las premisas sean verdaderas y necesariamente la conclusión también lo es. Un razonamiento que no es lógicamente válido se llama falacia. Razonamientos Para probar la validez de un razonamiento se forma la tabla de verdad de las premisas y la conclusión. Se comprueba que siempre que las premisas toman el valor de verdad, también la conclusión toma el valor de verdad. p q p q Razonamientos Válidos Premisas Conclusión p q p q p q V V V V V V F F V F F V V F V F F V F F Razonamientos Para mostrar que un razonamiento no es lógicamente válido basta encontrar un caso en el que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Falacia Premisas Conclusión p q p q p q V V V F F V F F F V F V V V F F F V V V p q p q Razonamientos Válidos Premisas Conclusión p q p p q V V V F V V F V F F F V F V V F F F V F p p q Reglas de Inferencia Lo que afirma cada Regla de Inferencia es que una estructura lógica produce siempre razonamientos válidos. Cualesquiera que sean las proposiciones particulares que se sustituyan. Modus Ponendo Ponens “el modo que, al afirmar, afirma” p q p q Modus Ponendo Ponens “el modo que, al afirmar, afirma” Si está lloviendo, encendemos la chimenea. Está lloviendo. Por lo tanto, encendemos la chimenea. Modus Ponendo Ponens Premisas Conclusión p q p q p q V V V V V V F F V F F V V F V F F V F F Modus Tollendo Tollens “el modo que, al negar, niega” p q q p Modus Tollendo Tollens “el modo que, al negar, niega” Si está lloviendo, te espero dentro del teatro. No te espero dentro del teatro. Por lo tanto, no está lloviendo. Modus Tollendo Tollens Premisas Conclusión p q p q q p V V V F F V F F V F F V V F V F F V V V Modus Tollendo Ponens “el modo que, al negar, afirma” p q p q p q q p Modus Tollendo Ponens “el modo que, al negar, afirma” Comeré sopa o comeré paella. No comeré sopa. Por lo tanto, comeré paella. Modus Tollendo Ponens Premisas Conclusión p q p q p q V V V F V V F V F F F V V V V F F F V F Modus Tollendo Ponens Premisas Conclusión p q p q q p V V V F V V F V V V F V V F F F F F V F Silogismo Hipotético “Regla de la Cadena o Principio de Transitividad” p q q r p r Silogismo Hipotético “Regla de la Cadena o Principio de Transitividad” Si hace sol, entonces voy a la playa. Si voy a la playa, me baño. Por lo tanto, si hace sol, entonces me baño. Silogismo Hipotético Premisas Conclusión p q r p → q q → r p → r V V V V V V V V F V F F V F V F V V V F F F V F F V V V V V F V F V F V F F V V V V F F F V V V Deducción Una deducción o demostración es el proceso que partiendo de las premisas nos lleva a la conclusión. A través de una serie de proposiciones intermedias obtenidas a partir de las reglas de inferencia. CCoonnjjuunnttooss Conceptos Básicos Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A, B, C,… Los elementos se representan con minúsculas: a, b, c, x, y, z Relación de Pertenencia El elemento a pertenece al conjunto X, a X El elemento a no pertenece al conjunto Z, a Z Formas de Definir un Conjunto Enumeración. Descripción. Enumeración Enumeramos todos y cada uno de los elementos. S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} V = {a, e, i, o, u} Descripción Definimos alguna característica común a todos los elementos. S = {días de la semana} V = {vocales del español} Descripción Por descripción podemos definir de la siguiente manera los conjuntos: | V x A x es vocal V es el conjunto de los elementos x que pertenecen al conjunto de las letras del alfabeto español A, tales que x es una vocal. Relación de Inclusión Dados dos conjuntos A y B, se dice que A está incluido en B cuando todos los elementos de A pertenecen a B y se escribe: A B Relación de Inclusión Si A y B son dos conjuntos tales que: A B y B A Entonces A = B Propiedades de la Inclusión Reflexiva: A A Transitiva: Si A B y B C Entonces A C Conjunto Universal Es el conjunto que contiene a todos los conjuntos que se analizan en un determinado contexto y se representa por U Conjunto Vacío Es un conjunto que no tiene elementos, se representa por ∅ Cualquiera que sea el conjunto A se cumple ∅ A El Conjunto de las Partes El conjunto de las partes de un conjunto A es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Se representa por P(A). Si el conjunto A tiene n elementos, el conjunto de las partes de A tiene 2n elementos. El Conjunto de las Partes A = {1,2,3} P(A) = 2n = 23 = 8 P(A) = {∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} El Conjunto de las Partes P(A) = {∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} ∅ P(A) ∅ P(A) {1,2} P(A) {{1,2},{1,3}} P(A) {{1,2},{1,3}} P(A) {1,2} P(A) Diagramas de Venn Los conjuntos suelen representarse por medio de unos dibujos denominados diagramas de Venn. El conjunto universal lo representamos por un rectángulo y los conjuntos por círculos dentro del conjunto universal. Diagramas de Venn U A B Operaciones con Conjuntos Intersección. Conjuntos disjuntos. Unión. Conjunto complementario. Diferencia. Intersección La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto que tiene como elementos los comunes a ambos conjuntos.Se representa por: A ∩ B Intersección A ∩ B U A B Conjuntos Disjuntos Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos comunes: A ∩ B = ∅ Conjuntos Disjuntos A ∩ B = ∅ U A B Unión La unión de los conjuntos A y B es el conjunto que tiene como elementos los que pertenecen a alguno de los conjuntos. Se representa por: A ⋃ B Unión A ⋃ B U A B Conjunto Complementario El conjunto complementario de A está formado por los elementos del conjunto universal que no pertenecen a A. Se representa por: AC Conjunto Complementario AC U A Diferencia La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B. Se representa por: A – B Diferencia A – B U A B Diferencia A – B = A ∩ BC U A B Diferencia B – A U A B Diferencia B – A = B ∩ AC U A B Propiedades de las Operaciones con Conjuntos Intersección. Unión. Diferencia. Leyes de Morgan. Intersección A⋂B A A⋂B B U A B Intersección Si B ⊂ A entonces A⋂B = B U B A Unión A ⊂ A⋃B B ⊂ A⋃B U A B Unión Si B A entonces A⋃B = A U B A Diferencia A – B ≡ A⋂BC B – A ≡ B⋂AC U A B Conjuntos Disjuntos A – B = A y B – A = B A⋂B = ∅ U A B Primera Ley de Morgan (A ⋃ B)C = AC ⋂ BC U A B Segunda Ley de Morgan (A ⋂ B)C = AC ⋃ BC U A B Propiedades de la Complementación ∅C = U UC = ∅ (AC)C = A Resumen AApplliiccaacciioonneess Concepto de Aplicación Una aplicación entre dos conjuntos A y B es una transformación que convierte cada elemento del conjunto A en un único elemento del conjunto B. El conjunto A se llama conjunto inicial o dominio de la aplicación. Concepto de Aplicación El conjunto B se llama conjunto final o rango de la aplicación. Las aplicaciones suelen designarse por las letras f, g, h y se representan por f: A → B o fA B Concepto de Aplicación Imagen de un Subconjunto Sea f:A→B una aplicación y C A. Se denomina imagen del subconjunto C al conjunto de las imágenes de los elementos de C. La imagen de C se representa por f(C). En esta aplicación la imagen del subconjunto C = {1,2,3} A es igual a f (C) = {a,b} B Inversa de un Subconjunto Sea f:A→B una aplicación y D B. Se denomina imagen inversa del subconjunto D al subconjunto formado por las preimagenes de los elementos de D. Se representa por f −1(D). En esta aplicación la imagen inversa del subconjunto D = {1,3} B es igual a f −1(D) = {b,c,d} A Tipos de Aplicación Inyectiva. Sobreyectiva. Biyectiva. Inyectiva Una aplicación f:A→B es inyectiva si a cada valor del conjunto A le corresponde un valor distinto en el conjunto B. En el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen. Inyectiva Sobreyectiva Una aplicación f:A→B es, sobreyectiva cuando cada elemento de “B” es la imagen de al menos un elemento de “A”. Sobreyectiva Biyectiva Una aplicación f:A→B es, biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es una relación uno a uno. Biyectiva Composición de Aplicaciones Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x). De modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª. Se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]. Composición de Aplicaciones Composición de Aplicaciones CCaarrddiinnaalleess Cálculo de Cardinales El cardinal de un conjunto A: Es su número de elementos. Se representa por: #(A) Si A⋂B = ∅ entonces #(A⋃B) = #(A) + #(B) U 3 4 A 1 2 B #(A⋃B) = #(A) + #(B) − #(A⋂B) U A B #(A B) = #(A − B) + #(B − A) + #(A⋂B) U A B A − B B A− A⋂B #(A) = #(A − B) + #(A⋂B) U A B A − B A⋂B #(B) = #(B − A) + #(A⋂B) U A B B − A A⋂B Centro Asociado Palma de Mallorca Tutor: Antonio Rivero Cuesta TTeemmaa 22 AArriittmmééttiiccaa yy ÁÁllggeebbrraa Naturales Enteros Cero Negativos Racionales Decimales exactos Reales Complejos Fraccionarios Decimales periódicos puros Decimales periódicos mixtos Algebraicos irracion Irracionales ales Trascendentes Imaginarios NNúúmmeerrooss NNaattuurraalleess Concepto de Número Natural = {1, 2, 3, 4,…} Operaciones Suma. Resta. Multiplicación. División. Reglas Orden de Operaciones 1. Resolver paréntesis, u otros símbolos. () [ ] { } 2. Resolver exponentes o raíces. 3. Multiplicación, división de izquierda a derecha. 4. Suma y resta de izquierda a derecha. Potencia En la potencia 103. El 10 es la base y el 3 es el exponente. Es igual a 10·10·10 = 1000. Sistemas de Numeración En los sistemas posicionales el valor de un símbolo depende de su posición respecto de los demás. Cualquier número natural b puede ser base de un sistema de numeración. Sistemas de Numeración Un sistema de numeración de base b necesita de b símbolos que hagan el papel de cifras del sistema. Cambio de Base Calcular la expresión de un número en un sistema de numeración a partir de su expresión en otro sistema. A Base Decimal Posición 3 2 1 0 (1 0 0 1)2 1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20 = 9 A Base Decimal 1 0 0 1 2 2 4 8 1 2 4 9 De Base Decimal a Otra Divisibilidad Un número natural c es divisible por otro a cuando la división es exacta. El cociente es otro número natural y el resto de la división es cero. 4 2 0 2 Divisibilidad a divide a c a es un divisor de c c es múltiplo a 4 2 0 2 Factorización Sean a, b, c números naturales. Si c = a b. Se denomina factorización en factores de c. Número Primo Es un número natural mayor que 1. Tiene únicamente dos divisores distintos: o Él mismo. o El 1. Número Compuesto Es divisible por otros números que no sean 1 o el mismo. Tiene más factores que 1 y sí mismo. Criterios de Divisibilidad Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par. Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 3. Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco. Descomposición Factores Primos Los números compuestos, se pueden expresar como productos de potencias de números primos. A dicha expresión se le llama descomposición de un número en factores primos. Descomposición Factores Primos La descomposición de un número es muy útil. Ayuda a calcular el: o Máximo común divisor. o Mínimo comúnmúltiplo. De varios números. Máximo Común Divisor El máximo común divisor (mcd) de dos o más números es el mayor número que los divide sin dejar resto. Seleccionamos los factores comunes al menor exponente. Máximo Común Divisor mcd (20,10) = 10 20 = 2 2 5 10 = 2 5 Máximo Común Divisor Sean a y b dos números naturales tales que a < b. Sean c y r el cociente y el resto de la división de a entre b. Se cumple: m.c.d. (a,b) = m.c.d. (b,r) Primos Entre Sí Dos números naturales a y b se dicen primos entre sí, si se verifica: m.c.d. (a,b) = 1 Mínimo Común Múltiplo El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Seleccionamos los factores comunes y no comunes al mayor exponente. Mínimo Común Múltiplo mcm (72,50) = 1800 72 = 2 3 3 2 50 = 2 5 2 Fórmulas , ,a b mcm a b mcd a b , , a bmcm a b mcd a b NNúúmmeerrooss EEnntteerrooss Concepto de Número Entero = {−∞,…−2, −1, 0, 1, 2, 3,…+ ∞} Opuesto El opuesto de un número entero es el número que hay que añadir para que la suma sea 0. Valor Absoluto El valor absoluto o módulo de un número entero es su valor numérico sin tener en cuenta su signo. Sea este positivo (+) o negativo (−). Operaciones con Números Enteros Los Signos Iguales + Desiguales – Propiedad Distributiva del Producto Respecto de la Suma a · (b + c) = (a · b) + (a · c) Expresiones 2 2 2 2a b a b ab 2 2 2 2a b a b ab NNúúmmeerrooss RRaacciioonnaalleess Concepto de Número Racional 1 1 1, , ,... 2 3 4 Fracción a b numerador denominador Fracciones Equivalentes a cy b d a d b c Operaciones Fracciones Igual Denominador Suma Resta a c a c b b b a c a c b b b Operaciones Fracciones Distinto Denominador Suma Resta a c a d b c b d b d a c a d b c b d b d Operaciones Fracciones Producto División a c a c b d b d a c a d b d b c Fracción Inversa 1a b b a Expresión Decimal de Números Racionales 68 60 8 100 100 100 6 8 10 100 0,6 0,08 0,68 Expresión Fracción a Decimal Utilizamos el algoritmo de la división. Fracción Periódica Fracción con parte decimal que se repite indefinidamente. Periodo: parte decimal que se repite. Pura: Mixta: 9,5 9,435 Paso de Decimal a Fracción 569756,97 100 Expresión Decimal Periódica Convertir a fracción: 2,051 2051 2 2049 683 999 999 333 Expresión Decimal Periódica Convertir a fracción: 3,5233 35233 35 35198 17599 9990 9990 4995 Porcentajes El porcentaje c % equivale a la fracción: % 100 cc Porcentajes Para expresar la fracción a / b como porcentaje. Se halla la expresión decimal de la fracción y se multiplica por cien. Porcentaje de Variación El signo de la diferencia: medida actual – medida anterior da el sentido de la variación. Si la diferencia es positiva el porcentaje será de aumento. Si la diferencia es negativa el porcentaje será de disminución. % 100 medida actual medida anteriorvariación medida anterior Porcentaje de Variación 100 medida actualPorcetaje Pagamos medida anterior Números Fraccionarios Definidos por Expresiones Literales Por cada b individuos u objetos de cierto colectivo, hay a que tienen una cualidad: b a b Números Fraccionarios Definidos por Expresiones Literales Por cada a individuos u objetos de cierto colectivo, hay b que no la tienen: La fracción del total que cumple la propiedad es: La fracción del total que no la cumple es: a a b b a b Ordenación Números Racionales es mayor que a b c d 0a c b d 0a d b c NNúúmmeerrooss RReeaalleess Concepto de Número Reales 13, , 4, 8, 2.71, 2... Número Irracional Es un número decimal infinito no periódico. π, 2 , etc… Recta Real En una recta se señala: Un origen O. Y una unidad de medida. A cada punto P le corresponde un número: Real. Racional. Irracional. Que mide la longitud del segmento OP con la unidad de medida prefijada. Recta Real Operaciones Números Reales Suma. Resta. Multiplicación. División. Ordenación Números Reales Potencias Si a es un número real y n es un número natural no nulo el producto Se representa por an y se denomina potencia de base a y exponente n, o a elevado a n. Si n = 0 entonces a0 = 1. .... n veces a a a a Operaciones con Potencias am an = am+n an bn = (a b)n (a m)n = am n Operaciones con Potencias 1 1nn na a a m m n n a a a nn n a a b b Raíces Dado un número natural n no nulo y un número real positivo a, siempre que existe un número real positivo b tal que bn = a Se dice que b es la raíz n-esima de a y se escribe: nb a 1 nb a Raíces Potencia con exponente fraccionado. 1 1mm mn n na a a EEccuuaacciioonneess La Idea de Ecuación Es toda igualdad que relaciona números con letras. Las letras se denominan incógnitas y son las que debemos hallar. 3x + 5y = 25 La Idea de Ecuación Plantear, traducir las condiciones literales a símbolos matemáticos. Resolver, hallar el valor de las incógnitas. Clasificación Número de incógnitas. Una, dos, etc… Mayor exponente, es el que determina el grado. Número de ecuaciones. Soluciones de una Ecuación Ecuaciones de una Incógnita Tenemos que hallar números tales que al reemplazar las incógnitas se cumple la igualdad de los dos miembros. 3x = 24 Soluciones de una Ecuación Ecuaciones con más de una Incógnita La solución son tantos números como incógnitas. 3x + 5y = 25 Sistemas de Ecuaciones La solución del sistema son números que son solución de todas las ecuaciones. 4 2 1 2 3 x y x y Reglas Generales Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Si sumamos o restamos a ambos miembros de una ecuación un mismo número se obtiene una equivalente. Reglas Generales Si multiplicamos o dividimos a ambos miembros de una ecuación un mismo número distinto de cero se obtiene una equivalente. Podemos pasar cualquier término de una ecuación de un miembro a otro sin más que cambiarle el signo. Ecuaciones Lineales con una Incógnita Si a y b son dos números reales, una ecuación lineal con una incógnita x de la forma ax + b está en forma normal. El número a es el coeficiente de la incógnita. El número b se denomina término independiente. Ecuaciones Lineales con una Incógnita Dada la ecuación ax + b. a y b son números reales. x es la incógnita se cumple: Si a ≠ 0 la ecuación tiene una única solución: bx a Ecuaciones Lineales con una Incógnita Si a = 0 hay dos casos: Si b = 0 la ecuación tiene infinitas soluciones ya que 0 · x = 0. Si b ≠ 0 no hay solución ya que no se puede cumplir 0 · x = b. Sistemas de Ecuaciones Lineales Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Método de sustitución. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Método de eliminación. TTeemmaa 33 GGeeoommeettrrííaa GGeeoommeettrrííaa AAnnaallííttiiccaa Teorema de Pitágoras h2 = b2 + c2 2 2 2h b c Sistemas de CoordenadasUn sistema de referencia cartesiano tiene los siguientes elementos: Origen. Ejes de coordenadas. o Eje de abscisas, x. o Eje de ordenadas, y. Puntos: (x,y) Eje y - Ordenadas Eje x - Abscisas Primer CuadranteSegundo Cuadrante Cuarto CuadranteTercer Cuadrante + − − + Distancia entre dos Puntos (x,y) y (x´,y´) 2 2h x x y y 2 2h x x y y RReeccttaass eenn eell PPllaannoo Ecuación General de la Recta Ax+By+C = 0 A, B y C son números Reales Recta Paralela Eje de Ordenadas Ax+By+C = 0 Si B = 0 tenemos que: Cx A 3x Recta Paralela Eje de Abscisas Ax+By+C = 0 Si A = 0 tenemos que: Cy B 2y Ecuación Explicita de la Recta y = ax + b Pendiente: a, indica la inclinación. Ordenada en el origen: b, nivel de la recta donde corta al eje de ordenadas. 2 1y x Ecuación Recta Pasa dos Puntos Si dos puntos tienen abscisas distintas: x1 … x2 La ecuación de la recta que pasa por dos puntos (x1,y1) y (x2,y2) es : 2 1 1 1 2 1 y yy x x y x x Ecuación Recta Pasa dos Puntos Si dos puntos tienen abscisas iguales x1 = x2 La ecuación es x = x1 Condición Alineación Tres Puntos Tres puntos (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3), están alineados si: o bien x1 = x2 = x3. 3 1 2 1 3 1 2 1 y y y y x x x x Posición Relativa de dos Rectas El punto de intersección de dos rectas es la solución del sistema de ecuaciones. Posición Relativa de dos Rectas Se Cortan. Paralelas. Coincidentes. Se Cortan 2 1y x 3 4y x Paralelas 2 1y x 2 2y x Coincidentes 2 1y x 2 4 2y x Rectas Paralelas Las rectas de ecuaciones: y = ax + b y = a´x + b´ Son paralelas si a = a´ Posición Relativa de dos Rectas La ecuación de la recta paralela a la recta y = ax + b por el punto (x0, y0) es 0 0y a x x y Recta Paralela por un Punto 2 1y x 2 2y x (1,1) Posición Relativa de dos Rectas En el caso de una recta vertical x = k. La paralela por (x0, y0) es la vertical x = x0. 3x La paralela por (‒1, 2) Rectas Perpendiculares La ecuación de la perpendicular a la recta y = ax + b por el punto (x0, y0), es 0 0 1y x y a x Recta Perpendicular Punto 1 1 2 2 y x 2 2y x (1, 1) Posición Relativa de dos Rectas Si a = 0, La recta es paralela al eje de abscisas. Su perpendicular por el punto (x0, y0) es la paralela al eje de ordenadas x = x0. 2y (3, 2)Punto 3x Posición Relativa de dos Rectas Simétricamente la perpendicular a la recta vertical x = k por (x0, y0), Es la paralela al eje de abscisas y = y0. Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es −1 Posición Relativa de dos Rectas r y s Ecuación explícita r y ax b s y a x b Ecuación general 0 0 r Ax By C s A x B y C Se cortan a a A BA B Paralelas a a y b b A B CA B C Coincidentes a a y b b A B CA B C FFiigguurraass GGeeoommééttrriiccaass PPllaannaass Polígonos Perímetro, es la longitud total de su contorno. Área de un rectángulo. Es el producto de sus lados. Área de un paralelogramo. Es el producto de su base por su altura. Área de un triángulo. Mitad del producto de su base por su altura. Área de un Rectángulo A = a · b a b Área de un Paralelogramo A = b · h h b Área de un Triángulo h 2 b hA b La Circunferencia Una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. 2 2 20 0x x y y r La Circunferencia radio diámetro La Circunferencia La ecuación de la forma: 2 2 0x y ax by c Centro de la Circunferencia Punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia. : , 2 2 a bc Radio de una Circunferencia Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. 2 21 4 2 r a b c Círculo Es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia. Dada la circunferencia de centro (x0,y0) Su círculo es: 2 2 20 0x x y y r Círculo radio diámetro Círculo Longitud de la Circunferencia: L = 2πr Área del Círculo: A = πr2 Circunferencia y Círculo La circunferencia es el borde. El círculo es el interior. TTeemmaa 44 AAnnáálliissiiss FFuunncciioonneess Concepto de Función Una función f es una relación entre un conjunto inicial dado X y otro conjunto final de elementos Y. A cada elemento x del conjunto inicial le corresponde un único elemento f (x) del conjunto final. Una función es una aplicación → . Rango de Variación a ≤ x ≤ b a ≤ x < b a < x ≤ b a < x < b [a,b] [a,b) (a,b] (a,b) a b a b a b a b Función Es una aplicación de un cierto Intervalo I de números reales en el conjunto de los números reales. Utilizamos la notación: f : I → Dominio de Definición Son los valores para los cuales una función está definida. Es decir, lo que podemos dibujar de una función. Representación Gráfica El método habitual para especificar una función consta siempre: De un intervalo de definición I. El conjunto de puntos del plano cuya abscisa es un valor x I y ordenada f(x). I = (−2, 1) f(x) = x 3 − 3x + 6 Tipos de Función Polinómica. Raíces. Racionales. Función Polinómica Una función polinómica está definida en todo . I = (−2, 2) f (x) = x3 −3x + 2 I = (−2, 2) f(x) = x 3 − 3x + 2 Función de una Raíz Su dominio son todos los números que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. I = [−1/2, ∞) 2 1f x x 2 1f x x I = [−1/2, ∞) Funciones Racionales Pueden tener asíntotas verticales. Su dominio es todo excepto los números que anulan el denominador. Expresión del denominador igual a 0. 1 1 f x x I = (− ∞, 1) (1, ∞) Características de las Funciones Función creciente, cuando x aumenta dentro de un intervalo, f(x) aumenta. Función decreciente, cuando x aumenta dentro de un intervalo, f(x) disminuye. f(x) = x 3 − 3x + 6 Características de las Funciones Máximo relativo. Mínimo relativo. La derivada de una función en un máximo o mínimo local o relativo vale 0. Asíntotas Verticales Se presentan en aquellos puntos que anulan el denominador. 1 1 f x x I = (− ∞, 1) (1, ∞) Asíntotas Horizontales Se presentan en las funciones cuando el numerador tiene grado menor o igual al denominador. lim x f x 2 3 4 xf x x Asíntotas Oblicuas Se presentan cuando el grado del numerador excede en una unidad del grado del denominador. Son incompatibles con las asíntotas horizontales. Son rectas del tipo y = ax+ b. Asíntotas Oblicuas y = ax + b ( )lim lim( ( ) ) x x f xa x b f x ax 2y x 2x 2 1 2 xf x x LLíímmiitteess yy CCoonnttiinnuuiiddaadd Límite de una Función en un Punto El límite describe cómo se comporta una función cuando se aproxima a un determinado valor. Un límite existe si el valor de los límites laterales en un punto es el mismo. El límite de una función en un punto si existe,es único. 2 1 1 x lim f x x x Límite de una Función 2 1 1 x lim f x x x 22 2 2x lim f x x Límite de una Función 22 2 2x lim f x x 2 1 4 2x lim f x x Límite de una Función 2 1 4 2x lim f x x Límites Elementales Estas reglas son válidas siempre que el resultado esté bien determinado, existen unos casos donde la función resulta indeterminada: ∞ ‒ ∞. 0 · ∞. 0/0. ∞ / ∞. La Regla de L'Hôpital Se aplica para eliminar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico del límite en la función dada. La Regla de L'Hôpital Se deriva el numerador y el denominador por separado. Sean las funciones originales Se obtendrá: f x g x f x g x 21 1 xf x x Funciones Continuas La función f (x) tiene que estar definida. El valor de los límites laterales tiene que ser el mismo. Se tiene que verificar 0 0limx x f x f x 2 1 1 f x x 1 1 f x x 1 1 f x x 2 1 1 f x x 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x 0 0( ) lim ( )x xf x f x Discontinuidad Evitable Una discontinuidad evitable en un punto x0 es aquella en que los límites laterales coinciden, pero el valor de la función en el punto no, es decir: Discontinuidad Evitable La imagen de x0 no existe o no coincide con su límite. Cuando una función presenta una discontinuidad evitable en un punto, se puede redefinir en dicho punto para convertirla en una función continua. 3 2 1 1 xf x x Discontinuidad Evitable La función presenta una discontinuidad evitable en x = 1. No tiene imagen. Los límites laterales coinciden No tiene Límite en x = − 1 21 1 xf x x 21 1 1 2 1 x si xf x x si x Función Redefinida Tiene una discontinuidad Evitable CCáállccuulloo DDiiffeerreenncciiaall 0 0 0 0 lim x x f x f x f x x x Concepto de Derivada Si f es una función definida en un intervalo I y x0 I, la derivada de f en x0 es: suponiendo que el límite exista. Concepto de Derivada Una función f se denomina derivable en el punto x0 si la derivada f´(x0) existe y es finita. Toda función derivable en un punto x0 es continua en x0. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Tangente a una Curva La derivada f´(x0) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto (x0, ( f (x0))). Ecuación de la Tangente y = f´(x0)·(x − x0) + f (x0) y además pasa por el punto: (x0, ( f (x0))) 2 1y x 2f x x Cálculo de Derivadas Suma ( f + g)´ = f´+g´ Producto ( f · g )´ = f´g + g´f Cociente 2 f f g fg g g Cálculo de Derivadas Función Constante Si f (x) = c, entonces f´(x) = 0 Función Identidad Si f (x) = x, entonces f´(x) = 1 1c cf c f f f g x f g x g x Cálculo de Derivadas Potencia de f Función Compuesta Aplicaciones de las Derivadas Si f es una función definida y derivable en un intervalo I: Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f´ ≥ 0. Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f´ ≤ 0. 2f x x Extremos Relativos Si f es una función derivable en x0. Y tiene en x0 un máximo o mínimo relativo. Entonces f´(x0 ) = 0. Extremos Relativos Para una función f derivable en todos los puntos de un intervalo (a,b). • La resolución de f´(x0) = 0 con x (a,b). • Proporciona todas las abscisas candidatas a ser máximos o mínimos relativos de f en (a,b). Derivada Segunda Sea f derivable en todos los puntos de un intervalo alrededor de x0. f´ la función derivada de f. La derivada de f´ en x0, si existe, se denomina derivada segunda de f. Se representa por f´´ Derivada Segunda Si f tiene derivada que es derivable en x0, se cumple f´(x0) = 0 y: f´´ > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en x0. f´´ < 0, entonces f tiene un máximo relativo en x0. 3 3 6f x x x Curvatura de una Función Convexa. Cóncava. Puntos de Inflexión. Función Convexa En aquellos intervalos en que la pendiente de la tangente, f´(x) crece. Si la f´´ (x0) > 0, f es convexa en el punto x0. Función Cóncava Cuando la pendiente de la tangente f´(x) decrece. Si la f´´ (x0) < 0, f es cóncava en el punto x0. Puntos de Inflexión Son los puntos en los que una función pasa de ser cóncava a ser convexa o viceversa. Si la f´´(x0) = 0, f es un posible punto de inflexión. 3f x x x 3 3f x x x TTeemmaa 55 PPrroobbaabbiilliiddaadd yy EEssttaaddííssttiiccaa AAzzaarr yy PPrroobbaabbiilliiddaadd Azar y Necesidad Un fenómeno aleatorio es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir el resultado exacto de cada experiencia particular. Certeza y Probabilidad La probabilidad de un acontecimiento posible es un número entre 0 y 1. MMooddeelloo MMaatteemmááttiiccoo ddee llooss FFeennóómmeennooss AAlleeaattoorriiooss Modelo Matemático de los Sucesos Un suceso es un fenómeno aleatorio que podemos decir si ha ocurrido o no. Un espacio de posibilidades es el conjunto de los resultados posibles de un experimento aleatorio y se designa por . Los sucesos relativos a un fenómeno aleatorio se identifican con los subconjuntos de su espacio de posibilidades. Modelo Matemático de los Sucesos Los subconjuntos con un único elemento se denominan sucesos simples. Los subconjuntos que tienen varios elementos se denominan sucesos compuestos y son agregados de sucesos simples. Modelo Matemático de los Sucesos El espacio de posibilidades es un suceso compuesto que contiene como elementos a todos los resultados posibles del experimento y recibe el nombre de suceso seguro. El subconjunto vacío ∅ representa el suceso imposible. No es simple ni compuesto. Ejemplos de Sucesos Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = Sale par = {2, 4, 6} B = Sale múltiplo de 3 = {3, 6} C = A y B ocurren = {6} D = A o B ocurren = {2, 3, 4, 6} E = A no ocurre = {1, 3, 5} Ejemplos de Sucesos Ω = {☺☺,☺✚,✚☺,✚✚} A = “obtener más caras que cruces” {☺☺} B = “sale al menos una cara” {☺✚,✚☺,☺☺} Operaciones con Sucesos Inclusión A B Siempre que ocurre A ocurre B. Intersección A B Ocurre siempre que el resultado pertenezca a A y B. Operaciones con Sucesos Unión A B Ocurre siempre que el resultado pertenezca a A o B o los dos. Complementación AC Sucede siempre cuando el resultado no pertenece a A. Modelo Matemático de la Probabilidad La probabilidad P(A) es un número que asociamos a cada suceso del espacio de posibilidades . Cumple lo siguiente: 0 P(A) 1 P() = 1 Si A ∩ B = , entonces P(A B)=P(A) + P(B). Si A es un suceso, P(AC)=1 − P(A). Asignación de Probabilidades en un Espacio Finito Para definir una probabilidad en un espacio que tenga un número finito de resultados posibles: Asignamos una probabilidad a cada suceso simple. Deben ser entre 0 y 1. La suma tiene que ser 1. La probabilidad de los restantes sucesos se calculan sumando las probabilidades de los sucesos simples que los componen. número de casos favorables a AP A número de casosposibles Regla de Laplace PPrroobbaabbiilliiddaaddeess CCoonnddiicciioonnaaddaass P A B P B A P A Probabilidad Condicionada • La probabilidad de que ocurra el suceso B cuando sabemos que A ha ocurrido se denomina probabilidad de B condicionada por A y se designa por el símbolo P(B|A) P A B P A P B A Cálculo con Probabilidades Condicionadas Si A y B son dos sucesos, la probabilidad de que ocurran ambos sucesos es igual a la probabilidad de que ocurra primero A, por la probabilidad de que ocurra B si ya ha ocurrido A. 1 1 2 2 ... n nP A P B P A B P B P A B P B P A B Fórmula de la Probabilidad Total Regla de Bayes Si A y B son dos sucesos, la probabilidad de que A haya ocurrido, suponiendo que B ha ocurrido, se puede calcular mediante la regla de Bayes. P B A P A B P A P B Independencia de Sucesos En un fenómeno aleatorio determinado diremos que el suceso B es independiente del suceso A si se cumple P(B|A) = P(B) Independencia de Sucesos Dos sucesos A y B son independientes si se cumple P(A⋂B) = P(A) · P(B) 1 2 1 2... ...n nP A A A P A P A P A Series Independientes de Fenómenos Aleatorios La probabilidad de que ocurran simultáneamente todos estos sucesos es igual al producto de sus probabilidades. VVaarriiaabblleess ddee llaa EEssttaaddííssttiiccaa DDeessccrriippttiivvaa Conceptos Básicos en Estadística Población, conjunto de seres u objetos acerca de los que se desea obtener información. Individuo, cada uno de los elementos de los miembros de la población. Conceptos Básicos en Estadística La estadística es la ciencia que estudia mediante métodos cuantitativos, características de las poblaciones obtenidas como síntesis de la observación de unidades estadísticas. Censo, consiste en anotar determinadas características de todos los individuos de una población. Conceptos Básicos en Estadística La estadística descriptiva es la parte de la estadística que estudia las ideas, métodos y técnicas para la descripción gráfica y numérica de los conjuntos numerosos. Muestra, subconjunto de individuos que son observados para obtener información sobre el total de la población a que pertenecen. Conceptos Básicos en Estadística Inferencia estadística, parte de la estadística que estudia los métodos para establecer conclusiones sobre una población a partir de una muestra de la misma. Variables y Observaciones Los atributos o magnitudes que se observan en los individuos de la población se denominan variables estadísticas. De los atributos presentan modalidades. De las magnitudes toman valores. El conjunto de modalidades o valores de cada variable medidos en un individuo constituye una observación. Clasificación de las Variables Variable Cualitativa mide atributos y sus modalidades no son numéricas sino simples etiquetas. Variable Cuantitativa cuando los valores que toma son numéricos. Discretas, si toman valores discretos como 0, 1, 2,… Clasificación de las Variables Continuas, si es razonable suponer que puede tomar cualquier valor intermedio. Variables nominales son las que representan atributos cuyas modalidades no pueden ser ordenadas ni operadas conforme a las reglas aritméticas. Clasificación de las Variables Variables ordinales son las que tienen modalidades que pueden ser ordenadas de mayor a menor. Variables medidas en escala de intervalos son las que valoran alguna cualidad cuantificable de los individuos en la que el 0 de la escala de medida tiene un carácter relativo. Clasificación de las Variables Variables medidas en escala de razón son las que valoran una cualidad de modo que el 0 tiene un sentido absoluto. Tomar el valor 0 significa ausencia absoluta de la cualidad. Frecuencia Absoluta La frecuencia absoluta de una modalidad o valor de la variable es el número de observaciones que presentan esa modalidad o valor. La suma de frecuencias absolutas: F1+F2+…+Fk = N i i Ff N Frecuencia Relativa La frecuencia relativa de la modalidad o valor xi es la proporción de observaciones que presentan el valor xi . Se representa por: Frecuencia Relativa La suma de las frecuencias relativas de todas las modalidades o valores es igual a 1. El porcentaje de una modalidad o valor xi es igual a multiplicar por 100 su frecuencia relativa. Se representa por. pi=100·fi. Frecuencia Absoluta Acumulada Es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores menores o igual que xj. Se representa por: Nj = F1 + F2 + … + Fj Frecuencia Relativa Acumulada Es la suma de las frecuencias relativas de todos los valores menores o igual que xj. Se representa por: nj = f1 + f2 + … + fj DDeessccrriippcciióónn GGrrááffiiccaa ddee uunnaa DDiissttrriibbuucciióónn ddee FFrreeccuueenncciiaass Variables Cualitativas • Diagramas de Sectores. • Diagramas de Barras. • Pictogramas. Variables Cuantitativas La representación de las distribuciones de frecuencias de variables cuantitativas puede hacerse, de forma similar a las variables cualitativas. Mediante diagramas de barras, que en este caso se suelen llamar histogramas. Histogramas Es similar al diagrama de barras empleado para variables cualitativas. Se construye de forma análoga atendiendo al principio de proporcionalidad entre áreas y frecuencias. Variables Discretas Los valores son números enteros. Se emplean líneas rectas levantadas sobre el lugar del eje en que se ubican los diferentes valores de la variable. Histogramas Variables Continuas Para lograr una representación más significativa se recurre al histograma con valores agrupados. Construcción Histograma Se determina el rango de posibles valores de la variable, a partir de los valores mínimo y máximo que se observan en los datos. Construcción Histograma Se divide el rango en k intervalos de clase: [ei-1, ei) i = 1,…,k Formados por los valores x tales que ei-1 < x < ei , i = 1,…,k La amplitud de la clase es el número ai = ei - ei-1 1 2 i i i e ex Construcción Histograma Se calcula la marca de clase xi, que es el punto medio de cada intervalo de clase Construcción Histograma Se calcula la frecuencia absoluta de cada intervalo de clase contando el número de observaciones que caen dentro del mismo. Se dibujan las barras del diagrama en forma de rectángulos, cuya base es igual a la longitud del intervalo de clase y su área es proporcional a la frecuencia del intervalo. DDeessccrriippcciióónn NNuumméérriiccaa DDiissttrriibbuucciióónn FFrreeccuueenncciiaass 1 2 1 ...1 n n i i x x xx x n n Medidas de Centralización La media aritmética es igual a la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. 1 1 2 2 1 1 2 ... ... n i i n n i n x F x F x F x Fx F F F N Medidas de Centralización La media aritmética de una distribución de frecuencias absolutas. 1 1 2 2 1 ... n n n i i i x x f x f x f x f Medidas de Centralización La media aritmética de una distribución de frecuencias relativas. max minR x x Medidas de Dispersión El rango o recorrido de una variable es la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la variable. Se representa por: 2 2 2 21 22 1 ... 1 nn i i x x x x x x s x x n n Varianza Es la media aritmética de los cuadrados de sus desviaciones respecto de la media, se representa por: 2 2 2 1 2 2 1 ... 1 n n i i x x x x x x s n s x x n Desviación TípicaEs la raíz cuadrada de la varianza. Se reprenda por: 2 2 2 1 1 2 22 1 2 2 1 ... ... 1 n n n n i i i x x F x x F x x F s F F F x x F N Varianza de una Distribución de Frecuencias Absolutas 2 2 22 1 1 2 2 2 1 ... n n n i i i s x x f x x f x x f x x f Varianza de una Distribución de Frecuencias Relativas 2 2 2 2 2 2 21 2 1 ... 1 nn i i x x xs x x x n n Varianza La varianza es igual a la media de los cuadrados de los datos menos el cuadrado de la media. Se representa por: CV x Coeficiente de Variación Coeficiente de variación al cociente entre la desviación típica y la media, suele expresarse en forma de porcentaje. TEMA 1 FUNDAMENTOS 1.1 LÓGICA DE PROPOSICIONES 1.2 CONJUNTOS 1.3 APLICACIONES 1.4 CARDINAL DE UN CONJUNTO TEMA 2 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA 2.1 NÚMEROS NATURALES 2.2 NÚMEROS ENTEROS 2.3 NÚMEROS RACIONALES 2.4 NÚMEROS REALES 2.5 ECUACIONES TEMA 3 GEOMETRÍA 3.1 GEOMETRÍA ANALÍTICA 3.2 RECTAS EN EL PLANO 3.3 FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS TEMA 4 ANÁLISIS 4.1 FUNCIONES 4.2 LÍMITES Y CONTINUIDAD 4.3 CÁLCULO DIFERENCIAL TEMA 5 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 5.1 AZAR Y PROBABILIDAD 5.2 MODELO MATEMÁTICODE LOS FENOMENOS ALEATORIOS 5.3 PROBABILIDADES CONDICIONADAS 5.4 VARIABLES DE LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 5.5 DESCRIPCIÓN GRÁFICADE UNA DISTRIBUCIÓN DEFRECUENCIAS 5.6 DESCRIPCIÓN NUMÉRICA DE UNA DISTRIBUCIÓN DEFRECUENCIAS
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