dibujo tecnico editecnicas

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SEDITÉCNIC 1
DIBUJO TÉCNICO
SEDITÉCNIC2   
DIBUJO TÉCNICO
1º y 2º de Bachillerato
1º de Ingeniería Técnica Industrial
Material curricular homologado por la Consejería de Educación y Ciencia
de la Junta de Andalucía (resolución Junio de 2000).
1ª edición: Julio de 2000 
2ª edición: Septiembre de 2005
3ª edición: Septiembre de 2007
4ª edición: Enero de 2009 (colabora en los dibujos del tema 1 Carmen Cano)
5ª edición: Octubre de 2011
AUTOR:
Cristóbal Rubio Martín
Profesor de Dibujo
No está permitida la reproducción parcial
o total por cualquier medio de este libro.
Editado por: EDITÉCNICAS ( www.editecnicas.net )
Impreso en: Escobar-Impresores (El Ejido-Almería)
ISBN: 978-84-607-0836-0
Depósito Legal: AL -193-2000
SEDITÉCNIC 3
 INTRODUCCIÓN
A partir de la experiencia acumulada como profesor de Dibujo y de la amplia do-
cumentación que existe al respecto, he redactado este libro desarrollando los 
contenidos de forma que puedan ser fácilmente comprendidos por los alumnos 
de los niveles: 4º de ESO, 1º de Bachillerato, 2º de Bachillerato y 1º de Ingeniería 
Industrial.
El libro abarca 55 temas y un anexo con 100 ejercicios resueltos de selectividad.
Ahora bien, los conocimientos teóricos no bastan para comprender el dibujo téc-
nico, se hace necesario por tanto, completar la formación mediante la realización 
de ejercicios prácticos. Para ello he complementado la teoría con la edición de 
tres libros con diversas propuestas de ejercicios que se adaptan a los niveles de 
4º de ESO, 1º de Bachillerato y 2º de Bachillerato. 
Los libros citados son:
 • 100 Láminas de Iniciación al Dibujo Técnico (nivel 4º de ESO/ Módulos).
 • 125 Láminas de Dibujo Técnico (nivel 1º de Bachillerato).
 • 150 Láminas de Dibujo Técnico (nivel 2º de Bachillerato).
Además, como complemento a estos libros, en la página web del autor los alumnos 
pueden encontrar recursos didácticos relacionados con los temas aquí expuestos, 
así como información actualizada de los libros que están editados.
En la 4ª edición se incluyeron 4 temas nuevos, arte y dibujo técnico, 
perpendicularidad y paralelismo, rectificación de curvas e intersección de superfi-
cies en el sistema diédrico.
Esta 5ª edición es una reedición de la anterior, en la que únicamente se han co-
rregido algunas erratas de pequeña importancia.
Agradezco el interés mostrado por los profesores y profesoras de dibujo que han 
apostado por estos libros.
 
 EL AUTOR: 
 Cristóbal Rubio Martín
 www.editecnicas.net
SEDITÉCNIC4   
1 ARTE Y DIBUJO TÉCNICO 6
2 PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO 26
3 ÁNGULOS 30
4 PROPORCIONALIDAD 40
5 ESCALAS 54
6 EQUIVALENCIAS 60
7 LUGARES GEOMÉTRICOS 68
8 TRIÁNGULOS 74
9 CUADRILÁTEROS 82
10 POLÍGONOS 92
11 TANGENCIAS.CONSTRUCCIONES BÁSICAS 102
12 RECTIFICACIÓN DE CURVAS 114
13 POTENCIA 118
14 INVERSIÓN 132
15 CURVAS TÉCNICAS Y ALABEADAS 142
16 CURVAS CÓNICAS 156
17 HOMOLOGÍA EN EL PLANO 172
18 AFINIDAD EN EL PLANO 194
19 HOMOTECIA 202
20 MOVIMIENTOS EN EL PLANO: Giro, simetría, traslación 208
21 SEMEJANZA 216
22 SISTEMA DIÉDRICO: El punto 224
23 SISTEMA DIÉDRICO: La recta 236
24 SISTEMA DIÉDRICO: El plano 244
25 SISTEMA DIÉDRICO: Pertenencias 250
26 SISTEMA DIÉDRICO: Intersección de planos 258
27 SISTEMA DIÉDRICO: Intersección de recta con plano 266
28 SISTEMA DIÉDRICO: Paralelismo 274
ÍNDICE
SEDITÉCNIC 5
 
 
29 SISTEMA DIÉDRICO: Perpendicularidad 282
30 SISTEMA DIÉDRICO: Abatimientos 294
31 SISTEMA DIÉDRICO: Giros 304
32 SISTEMA DIÉDRICO: Cambios de plano 314
33 SISTEMA DIÉDRICO: Distancias 322
34 SISTEMA DIÉDRICO: Ángulos 332
35 SISTEMA DIÉDRICO: Poliedros 350
36 SISTEMA DIÉDRICO: Superficies radiadas. Pirámide, prisma, cono y cilindro362
37 SISTEMA DIÉDRICO: Superficies curvas. La esfera y el toro 376
38 SISTEMA DIÉDRICO: Secciones en cuerpos geométricos 384
39 SISTEMA DIÉDRICO: Intersección de recta con cuerpo geométrico 396
40 SISTEMA DIÉDRICO: Desarrollo de cuerpos geométricos 402
41 SISTEMA DIÉDRICO: Intersección de superficies 418
42 SISTEMA DIÉDRICO: Sombras 424
43 SISTEMA AXONOMÉTRICO: Fundamentos 432
44 SISTEMA AXONOMÉTRICO: Punto, recta, plano y cuerpos 442
45 SISTEMA AXONOMÉTRICO: Perspectiva caballera y aérea 458
46 SISTEMA CÓNICO: Fundamentos 470
47 SISTEMA CÓNICO: La recta y el plano 484
48 SISTEMA CÓNICO: Superficies planas y cuerpos geométricos 496 
49 SISTEMA ACOTADO: Punto, recta, plano y abatimientos 510
50 SISTEMA ACOTADO: Sólidos y cubiertas 522
51 NORMALIZACIÓN: Vistas 530
52 NORMALIZACIÓN: Acotación 538
53 NORMALIZACIÓN: Cortes y convencionalismos 554
54 NORMALIZACIÓN: Signos de mecanizado e indicaciones escritas 570
55 NORMALIZACIÓN: Tolerancias 578
ANEXO: 100 EJERCICIOS RESUELTOS DE SELECTIVIDAD 590
ÍNDICE
SEDITÉCNIC6   
EL DIBUJO TÉCNICO
TIPOS DE DIBUJO TÉCNICO
DEFINICIONES GEOMÉTRICAS
TIPOS Y LÍNEAS UTILIZADAS EN LOS TRAZADOS GEOMÉTRICOS
INSTRUMENTOS DE DIBUJO TÉCNICO
 Juego de plantillas
 Regla graduada
 Escalímetro
 Compás
 Lápiz
 Goma de borrar
 Transportador de ángulos
FORMATOS NORMALIZADOS
ROTULACIÓN NORMALIZADA
 Tipos de rotulación
 Proporción de las letras
NOMENCLATURA Y SIGNOS EMPLEADOS
REFERENCIAS HISTÓRICAS DEL DIBUJO TÉCNICO
 Sus orígenes
 Era moderna (1500-1789)
 Era contemporánea
RAÍCES GEOMÉTRICAS DEL ARTE ARÁBICO-ANDALUZ
LAS FORMAS GEOMÉTRICAS EN LA PINTURA CONTEMPORÁNEA
DISEÑO INDUSTRIAL
 Proceso en el diseño de un producto
 El diseñador industrial
1 ARTE Y DIBUJO TÉCNICO
1
 7SEDITÉCNIC
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
• Comprender la importancia que el dibujo técnico tiene como medio para mejorar nuestra 
capacidad de abstracción. 
• Valorar la importancia del dibujo técnico como lenguaje para la transmisión de ideas.
• Conocer las definiciones de los elementos geométricos fundamentales.
• Conocer los tipos de líneas que se utilizan en los trazados geométricos.
• Reconocer los distintos tipos de dibujos técnicos.
• Conocer los principales útiles de dibujo que se emplean para el trazado de dibujos técnicos.
• Conocer los tipos de formatos de la seria A que existen, así como su obtención.
• Valorar el uso de la rotulación normalizada como parte integrante de un plano.
• Conocer la nomenclatura y signos especiales que se usan con más frecuencia en los trazados 
geométricos.
• Conocer las referencias históricas del dibujo técnico, desde sus orígenes (egipcios, El ar-
quitecto del plano, papiro Ahmes, Pitágoras, Thales, Platón, Euclides, Arquímedes, Apolonio, 
Vitrubio, Fibonacci), era moderna (Brunelleschi, Pacioli, Da Vinci, Durero, Descartes, Euler, 
Monge) y era contemporánea (Poncelet, Gaudí, Le Corbusier, Santiago Calatrava).
• Conocer los frisos y mosaicos del arte islámico.
• Conocer pintores contemporáneos que usan las formas geométricas en la composición de 
sus obras como: Picasso, Kandinsky, Paul Klee, Mondrián y Vasarely.
• Saber qué es el diseño industrial: sus inicios en la escuela la Bauhaus, el proceso en el diseño 
de un producto y las características de un buen diseñador.
METODOLOGÍA Y TEMPORIZACIÓN:
1ª SESIÓN
• El/la profesor/a comenzará la clase con una breve introducción sobre la importancia que el 
dibujo técnico tiene para la fabricación de objetos y como medio para aumentar la capacidad 
de abstracción.
• Se expondrá un esquema de la clasificación en bloques de los distintos contenidos en los que 
queda dividida la asignatura.
• Se explicarán las definiciones geométricas básicas: punto, recta y plano, haciendo ver a los 
alumnos que se trata de elementos abstractos, que no son reales, así como los distintos tipos 
de líneas que se usan en los trazados geométricos.
• Se nombrarán y describirán los distintos útiles que son necesarios para el trazado de los 
dibujos técnicos a nivel escolar y profesional, así como la correcta disposición de las escuadras 
para el trazado de paralelas y perpendiculares.
•Se definirá qué es un formato, así como el tamaño de partida que servirá de base para la 
obtención de los distintos formatos de la serie A.
• Se explicará qué se entiende por rotulación normalizada.
• Se indicará la nomenclatura y signos especiales más importantes que se usan en los trazados 
geométricos.
2ª SESIÓN
• Se expondrá mediante imágenes el recorrido histórico que ha seguido el dibujo técnico des-
de sus orígenes hasta nuestros días.
• Se explicarán las raíces geométricas del arte arábico-andaluz mostrando en imágenes ejem-
plos de frisos y composiciones modulares.
• A través de la visualización de las obras de artistas como Picasso, Kandinsky, Mondrián y 
Vasarely se estudiará la utilización de las formas geométricas en la pintura.
• Se explicarán qué se entiende por diseño industrial, así como la influencia de La Bauhaus en 
el diseño actual.
8    SEDITÉCNIC
EL DIBUJO TÉCNICO
El dibujo técnico es un lenguaje gráfico cuyo último fin es la creación de objetos que pue-
dan tener un valor utilitario o artístico. Para que el objeto pueda fabricarse es necesario la 
realización de un proyecto cuya función principal consiste en ayudar a visualizar lo que se 
está creando. Los planos del proyecto han de realizarse atendiendo a un amplio conjunto de 
convencionalismos y normas, de manera que el objeto quede perfectamente definido en cuanto 
a formas y dimensiones. 
El dibujo técnico favorece la capacidad de abstracción y desarrolla habilidades gráficas, 
convirtíendose así en una valiosa ayuda formativa de carácter general. La aplicación del dibujo 
técnico es eminentemente práctica, sin olvidar el componente teórico imprescindible para la 
comprensión de los numerosos trazados y convencionalismos.
En el dibujo técnico se distinguen tres bloques.
BLOQUE I. Trazados geométricos. Comprende el estudio de la geometría plana, como son las 
construcciones geométricas, las transformaciones geométricas, etc.
BLOQUE II. La geometría descriptiva. Abarca el estudio de los sistema de representación: dié-
drico, axonométrico, cónico y acotado.
BLOQUE III. La normalización. Aquí se estudian los convencionalismos empleados en la repre-
sentación de piezas y conjuntos mecánicos.
10A
II
B
.T
u
b
o
Ø
1
3
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I.C.P.
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desmonte
terraplén
desmonte
19
t
Agua
Dibujo geológicoDibujo topográfico
Dibujo industrial Dibujo arquitectónico Dibujo eléctrico
TIPOS DE DIBUJO TÉCNICO
Dibujo industrial o mecánico. 
Se utiliza en la representación 
de piezas o conjuntos mecáni-
cos.
Dibujo arquitectónico. Se em-
plea en la representación grá-
fica de viviendas, así como en 
la distribución urbanística de 
ciudades, parques, carrete-
ras, etc.
Dibujo eléctrico y electrónico. 
Se emplea en la representa-
ción gráfica de instalaciones 
eléctricas en general (vivien-
das, maquinaria, etc), así 
como para la representación 
de circuitos electrónicos (or-
denadores, tv, etc).
Dibujo topográfico. Se utiliza 
para la representación gráfica 
del terreno mediante las cur-
vas de nivel y signos conven-
cionales.
Dibujo geológico. Se emplea 
en geografía y geología. En él 
se representan las diversas 
capas de la tierra mostrándo-
se los diferentes minerales.
1
 9SEDITÉCNIC
DEFINICIONES GEOMÉTRICAS
En el dibujo técnico se distinguen tres elementos fundamentales: el punto, la recta y el plano. 
Todos ellos son considerados geométricamente como entes abstractos. 
Punto. Es el elemento geométrico más pequeño que no tiene dimensión. Gráficamente puede 
ser representado mediante un cruce de líneas o por un pequeño círculo.
Recta. Geométricamente se define como la sucesión de infinitos puntos alineados en una mis-
ma dirección. Tiene únicamente la dimensión longitud. Gráficamente se representa por la hue-
lla que deja el lápiz o cualquier otro útil punzante cuando se desplaza por una superficie plana. 
Cuando en la recta marcamos dos puntos se denomina segmento a la distancia comprendida 
entre esos dos puntos y, cuando marcamos un punto llamamos semirrecta a la porción de 
recta comprendida entre ese punto y el resto de la recta.
Plano. Geométricamente representa una superficie infinitamente delgada que se extiende en 
todas direcciones hacia el infinito. Tiene dos dimensiones (ancho y profundidad). Gráficamente 
un plano puede representarse por una porción del mismo.
Punto Línea Recta Semirrecta Segmento Plano
TIPOS DE LÍNEAS UTILIZADAS EN LOS TRAZADOS GEOMÉTRICOS
En la ejecución de los trazados geométricos intervienen tres tipos de líneas.
Línea continua semigruesa. Se usa para la presentación de los datos del problema. Su espe-
sor aproximado es de 0,4 mm.
Línea continua fina. Se utiliza para dejar constancia del proceso seguido en la resolución del 
problema. Su espesor aproximado es de 0,2 mm.
Línea continua gruesa. Se usa para destacar la solución del problema. Su espesor aproximado 
es de 0,8 mm.
Línea semigruesa Línea continua fina Línea continua gruesa
INSTRUMENTOS DE DIBUJO TÉCNICO
Las nuevas tecnologías aplicadas al dibujo técnico mediante programas de Diseño Asistido por 
Ordenador CAD (Computer Aided Design) son actualmente el instrumento por excelencia para 
la realización de cualquier dibujo técnico. Únicamente en el entorno escolar se concibe la reali-
zación de los mismos mediante los instrumentos tradicionales que describimos a continuación.
Juego de plantillas. Está formado por la escuadra y cartabón. Son de material plástico duro 
y se fabrican en distintos tamaños. Sus bordes pueden ser con escalón o sin escalón, si bien 
para el dibujo a lápiz se recomienda que sean sin escalón.
Se utilizan para el trazado de las líneas que conforman un dibujo técnico. Su uso correcto faci-
lita la rapidez de los trazados.
En el trazado de paralelas y perpendiculares deben situarse las escuadras en la posición que 
se indica en la figura, independientemente de que también pueden usarse en otras posiciones.
10    SEDITÉCNIC
Compás. Es el útil que se usa para el trazado de circunferencias o arcos, así como para el 
transporte de medidas.
Lápiz. Es el instrumento que se usa para el trazado de líneas. La mina está formada por una 
mezcla de grafito (una variedad del carbono) y arcilla. De-
pendiendo de dicha proporción se obtienen minas con dis-
tinta dureza, a mayor arcilla mayor dureza, dando lugar a su 
clasificación en lápices duros y blandos. Para distinguirlos 
se utilizan los siguientes códigos: B(Black) HB (Hard-Black) , 
F (Firm) y H(Hard), que a su vez se dividen en otros grados 
identificados por números. Por ejemplo H, 2H, 3H, 4H,.... 
son lápices duros, mientras que los designados por B, 2B, 
3B,..... son blandos.
La elección de la dureza va a depender del tipo de dibujo, 
así para los dibujos técnicos suelen utilizarse las minas du-
ras porque no manchan el papel, aunque sí lo dañan, mien-
tras que para los dibujos artísticos deberemos elegir minas 
blandas que proporcionan mayor expresividad y flexibilidad 
Escuadra Cartabón Posición de las plantillas para el
trazado de paralelas
Posición de las plantillas para el
trazado de perpendiculares
Regla milimetrada. Es una regla de material plástico transparente graduada con apreciación 
del milímetro. 
Escalímetro. Es una regla con forma estrellada de 30 cm. de longitud que presenta seis caras 
graduadas con escalas diferentes.
0
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2
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Regla milimetrada Escalímetro
: 01 1
0 0
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05
05
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50
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y no dañan el papel aunque lo ensucian más. 
Ellápiz para el dibujo técnico se comercializa actualmente en dos formas:
1. El tradicional, que está formado por una mina de grafito de 2 mm. alojada dentro de una 
carcasa de madera o plástico de sección redonda o hexagonal.
2. El portaminas, que es parecido a un bolígrafo que lleva alojado en su interior la mina, que es 
empujada por un émbolo que al girar deja al descubierto la punta de la mina.
Dependiendo del espesor de la mina existen dos tipos: de mina muy fina de 0,5 ó 0,3 mm, y de 
mina de 2 mm.
Para la ejecución correcta de 
dibujos técnicos a lápiz se re-
comienda usar:
• El portaminas con mina de 
espesor igual a 0,5 mm. y du-
reza H, para dejar constancia 
de los trazados realizados en 
el proceso de un ejercicio.
• El portaminas o lápiz con 
mina de 2 mm. y dureza HB, 
para destacar los resultados 
obtenidos.
En la construcción geométrica 
de la figura puede apreciarse 
la utilización correcta de los 
tipos de líneas.
Goma Transportador de ángulos
M
I
L
A
N
Goma de borrar. Se utiliza para eliminar zonas de grafito sobrantes. Su forma generalmente 
es rectangular y su consistencia blanda o dura. Se fabrican de caucho sintético o materiales 
plásticos. Para el dibujo técnico se recomienda que la goma sea de color blanca y flexible.
Para borrar zonas pequeñas sin alterar el dibujo adyacente se utilizan plantillas especiales. 
Es cómodo utilizar tam-
bién para el borrado el 
portagomas, que es un útil 
muy parecido a un bolígrafo 
que tiene en su interior aloja-
do una barra de goma. 
Transportador de ángulos. 
El transportador de ángulos 
es una herramienta de dibu-
jo que se utiliza para medir y 
transportar ángulos.
Es de material plástico trans-
parente y su forma es circular dividido en 360º o de semicírculo dividido en 180º. Viene gra-
duado en la escala sexagesimal. Su uso es recomendado en aquellos casos en los que no 
podamos construir el ángulo con la ayuda de las escuadras o del compás.
Línea de datos
Línea de resultado
Línea de proceso
12    SEDITÉCNIC
FORMATOS NORMALIZADOS
Se denomina formato a las dimensiones expresadas en milímetros de un papel.
Todo dibujo técnico ha de realizarse en un formato normalizado con objeto de facilitar su clasi-
ficación y el intercambio de documentos entre distintas empresas.
Se denomina formato base al A0, que es un rectángulo de superficie 1 m2 cuyos lados miden 
841 x 1189. Los formatos obtenidos a partir del A0 forman la serie principal A y su designa-
ción es con la letra A seguida de un número correlativo para cada formato. Los formatos de 
esta serie se obtienen dividiendo por dos las dimensiones del formato anterior o duplicando 
por dos el formato origen. 
Las dimensiones de los formatos de la serie principal A (expresadas en mm.) son:
4A0 =1682 x 2378
2A0 = 1189 x1682
A0 = 841 x 1189
A1= 594 x 841 
A2 = 420 x 594 
A3= 297 x 420 
A4 = 210 x 297 
A5= 148 x 210 
A6= 105 x 148 
A7= 74 x 105 
A8= 52 x 74
A9= 37 x 52
A10= 26 x 37
De todos ellos, el más utiliza-
do en entornos escolares es 
el A4 y en ocasiones el A3.
Además de la serie A exis-
ten otros formatos norma-
lizados que constituyen las 
series auxiliares B y C. Los 
formatos de estas series no se utilizan en los planos de dibujo técnico, estando reservado su 
uso para las dimensiones de sobres, carpetas, archivadores, etc. 
ROTULACIÓN NORMALIZADA
Rotulación es el conjunto de letras y signos que acompañan a un dibujo técnico. Estas letras y 
signos que se colocan en los planos han de realizarse atendiendo a unas normas establecidas. 
Así, tendremos que tener en cuenta, entre otras, las siguientes normas:
• La altura nominal que se adopte para los diversos rótulos de un plano ha de ser proporcional 
al dibujo representado y al tamaño del plano.
• Los títulos no se subrayan.
• Las letras minúsculas se usarán en anotaciones y observaciones.
• Los caracteres en mayúsculas deben reservarse para titulares o encabezados.
Tipos de rotulación
La escritura puede ser vertical o cursiva con una inclinación de 75º respecto a la base de la 
misma. Según la norma ISO-3098-0:1997 puede haber dos tipos de escritura: escritura tipo A 
y escritura tipo B, tanto para la rotulación vertical como para la cursiva.
Indicamos acontinuación las dimensiones de la escritura tipo B por ser la más utilizada en en-
tornos escolares de acuerdo con las siguientes especificaciones:
A0
A1
A2
A3
A4
A5
A6
1
 13SEDITÉCNIC
(7
/1
0)
h hE 2009
Dibujo (13/10
)h(6/10)h
(1/10)h (1/5)h
(3
/1
0)
h
NOMENCLATURA Y SIGNOS EMPLEADOS
Puntos: letras mayúsculas (A,B,C, ...)
Rectas: letras minúsculas (r, s, t, u, ...)
Planos: letras griegas (��������...)
Paralelismo: | |
Perpendicularidad:
Ángulos: letras griegas:
Equivalente:
 (��������...)
Suma: +
Resta: 
Multiplicación: x
División: : 
Mayor que: >
Menor que: <
Igual: =
Desigual: =
Infinito:
a
b
Proporción de las letras
La altura h de las letras mayúsculas se tomará como medida de referencia para obtener las 
demás. Son alturas h de escritura normalizada: 1,8. 2,5; 3,5; 5; 7; 10; 14; 20 (mm).
Altura de las minúsculas (sin trazos salientes) = (7/10)h
Altura salientes inferiores =(3/10)h.
Área de marcas diacríticas (letras mayúsculas) = (2/5)h.
Espaciado entre caracteres = (1/5)h
Espacio entre palabras=(6/10)h
Espesor del trazo = (1/10)h.
Anchura media de las mayúsculas =(6/10)h
Anchura media de las mayúsculas =(5/10)h
Espacio mínimo entre líneas de apoyo escritura= variable entre (19/10)h, (15/10)h y (13/10)
h, dependiendo si es entre letras mayúsculas con tilde, entre letras mayúsculas o entre letras 
minúsculas y mayúsculas.
Cuando un texto tenga que ser subrayado o sobrerayado, se recomienda interrumpir la línea 
cuando ésta corte a partes salientes inferiores o donde las letras mayúsculas o minúsculas 
tengan una marca diacrítica (tilde, cedilla, diéresis).
14    SEDITÉCNIC
Aproximadamente sobre el año 1650 a.C. data el papiro del escriba 
egipcio Ahmes. Su tamaño es de unos 6 metros de longitud por 33 cm. 
de anchura. Según se deduce del propio papiro, éste fue redactado a 
partir de escritos de 200 años de antigüedad. El papiro muestra entre 
otros contenidos matemáticos, información geométrica, como medi-
ciones de áreas de triángulos, rectángulos, trapezoides y círculos, así 
como volúmenes de cilindros y prismas.
Hacia el año 580 a.C. aparece Pitágoras, matemático y filósofo griego 
que nació en la isla de Samos en Grecia. Éste fundó un movimiento con 
propósito religioso, político y filosófico, conocido como “Pitagorismo”, 
que se caracterizaba por el retiro, el ascetismo y el misticismo. A esta 
escuela se le atribuye el famoso teorema de Pitágoras relativo al trián-
gulo rectángulo.
Buena parte de la geometría pitagórica en relación con la sección 
áurea tuvo que ver con el pentágono regular, pues se sabe que la es-
trella de cinco puntas era una especie de símbolo 
de identificación de la Escuela Pitagórica. A este sím-
bolo se le conocía como “Pentagrama pitagórico”, el 
cual tuvo carácter religioso y fue usado por los pi-
tagóricos como un signo secreto para reconocerse 
entre ellos. Representa el número cinco, la vida, el 
poder y la invulnerabilidad. 
REFERENCIAS HISTÓRICAS DEL DIBUJO TÉCNICO
Sus orígenes
Según los historiadores, los orígenes de la geometría se atribuyen a los egipcios por la necesi-
dad que tenían éstos de medir sus tierras, debido a que las constantes inundaciones del Nilo 
alteraban los límites de las parcelas. Precisamente la palabra geometría significa medida de 
tierras.
También se tienen nociones geométricas en la civilización mesopotámica (año 3000 a.C.), te-
rritorios que actualmente pertenecen a Irak. 
Sin embargo, las primeras manifestaciones del dibujo técnico que se 
conocen datan del año 2450 a.C. El dibujo está esculpido sobre el ta-
blero que se apoya en las rodillas de la estatua de piedra conocida 
como “El Arquitecto del plano” del rey sumerio Gudea, y se trata de un 
plano de la planta de un templo fortificado, acompañado de un instru-
mento de dibujo y otrode medida (similar a un escalímetro). La estatua 
se encuentra expuesta en el museo de Louvre de París.
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 15SEDITÉCNIC
Del mismo siglo es Thales, filósofo, matemático y astrónomo griego 
que nació en Mileto y fue considerado como el más famoso de los 
siete sabios de Grecia. Es conocido por el teorema que lleva su nom-
bre, aunque no está claro que Thales sea el autor de este teorema, 
pues su demostración aparece por primera vez en el libro VI de los 
Elementos de Euclides. 
Otras aportaciones a la geometría que se le atribuyen a Thales son 
cinco teoremas geométricos y la resolución de dos problemas prác-
ticos, que enunciamos a continuación:
1. Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por su diámetro.
2. Los ángulos de la base de todo triángulo isósceles son iguales.
3. Los ángulos opuestos por el vértice que se forman al cortarse dos 
rectas son iguales.
4. Si dos triángulos tienen un lado y los dos ángulos adyacentes respectivamente iguales, resul-
ta que los triángulos son iguales.
5. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es de 90º.
Problema 1. Determinación de la altura de la pirámide de Keops.
Problema 2. Cálculo de la distancia de una nave a la costa.
Sobre el año 300 a. C. aparece Euclides, matemático y físico griego 
que enseñaba en Alejandría (Egipto). Su obra principal “Elementos“ 
es una de las obras más conocidas del mundo. Comprende 13 volú-
menes con contenido geométrico relativo a la geometría plana y del 
espacio. Euclides consideró el punto, la línea, el plano y los cuerpos 
geométricos como entes abstractos tal como hoy día son considera-
dos.
Los Elementos de Euclides se utilizaron como texto durante 2000 
años, y puede decirse que es la base de la geometría plana que se 
estudia actualmente.
Alrededor del año 400 a.C. nos encontramos con Platón, que nace en 
Atenas y es uno de los filósofos que más ha influido en la historia del 
pensamiento de todos los tiempos. Su pasión por las matemáticas y 
su creencia de que éstas eran necesarias para la formación íntegra 
del hombre, hizo que se convirtiera en un insigne artífice de matemá-
ticos.
Platón dibuja el mundo físico y explica los fenómenos naturales en 
clave geométrica. Estudió los poliedros regulares y asoció a cada uno 
de ellos con un elemento: asignó el tetraedro al fuego por su forma 
puntiaguda, el cubo a la tierra por su imagen de solidez, el octaedro al 
aire porque su forma puntiaguda en ambos lados está destinada a la 
flotabilidad, el icosaedro al agua porque recuerda en sus múltiples ca-
ras reflejos sin fin del agua, y el dodecaedro al universo porque Platón 
se refería a él de una forma muy vaga, que ha sido interpretada como la forma del universo.
16    SEDITÉCNIC
En el año (287-212 a.C.) Arquímedes, matemático e inventor grie-
go realizó estudios importantes sobre geometría, como la forma de 
medir el áreas de las figuras curvas, así como el cálculo de áreas y 
volúmenes de sólidos limitados por superficies curvas. Popularmente 
Arquímedes es conocido entre los matemáticos por los estudios que 
realizó sobre las propiedades matemáticas de la espiral que lleva su 
nombre, y que plasmó en un escrito titulado “Sobre las espirales”.
Entre los años 262 a.C. y 190 a.C. aparece Apolonio, matemático 
griego conocido como el Gran Geómetra. Nació en Perga, en el sur 
de Asia Menor. Se cree que estudió en Alejandría y vivió durante una 
época de su vida en Pérgamo.
Gran parte de su obra ha desaparecido, siendo una de sus obras más 
importantes “Las Cónicas”, que junto con los “Elementos” de Euclides 
constituyeron las mejores obras en su género de toda la matemática 
de la antigüedad.
Fue Apolonio quien dio nombre a la elipse, parábola e hipérbola. 
En otra de las obras de Apolonio “Las tangencias” aparece resuelto el 
siguiente problema:
“Dados tres objetos tales que cada uno de ellos puede ser un punto, 
una recta o una circunferencia, dibujar una circunferencia que sea 
tangente a cada uno de los elementos dados”.
Este problema da lugar a diez casos posibles.
Marco Vitrubio Polión (siglo I a.C.) , arquitecto, escritor, ingeniero y 
tratadista romano debe su fama al tratado didáctico “De architectu-
ra”, escrito en 10 libros, en donde ha plasmado la técnica de la arqui-
tectura y de la ingeniería del periodo helenismo, (período comprendi-
do entre la muerte de Alejandro Magno en el año 323 a.C., hasta la 
mitad del siglo I a.C. cuando los romanos incorporan esos territorios 
a su Imperio).
Parece ser que Vitrubio tenía un profundo conocimiento de los escri-
tos anteriores griegos y romanos.
Durante el primer siglo del imperio Musulmán no se produjo ningún 
desarrollo científico, y es hasta la segunda mitad del siglo VIII cuando se traducen al árabe to-
das las obras griegas conocidas, fundándose escuelas por todo el Imperio.
En el continente Europeo cabe destacar en el siglo XI la obra de 
Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, “Practica Geometriae” 
dedicada a resolver problemas geométricos de áreas y volúmenes. 
Fibonacci como buen matemático 
estudió una sucesión de infinitos 
números en la que cada término, 
salvo el primero, es la suma de los 
dos anteriores:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 
89, 144, 233, 377, etc.
L O S X L I B R O S
A R Q U I T E C T U R A
M A R C O V I T R U V I O
P O L I O N
D 
D 
1
12
5
8
13
3
1
 17SEDITÉCNIC
Era moderna (1500-1789)
En el Renacimiento (siglos XV-XVI) es cuando el dibujo técnico se va consolidando gracias a los 
trabajos realizadas por Filippo Brunelleschi, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Alberto Durero y 
René Descartes, entre otros.
Filippo Brunelleschi (1377-1446), arquitecto y escultor italiano más famo-
so del siglo XV que destacó porque diseñó la cúpula de la catedral de su 
ciudad natal, Florencia construida sobre un tambor poligonal (octogonal) de 
42 metros de diámetro. Otras obras suyas son la basílica de San Lorenzo de 
Florencia, el palacio Pitti, fachada del Hospital de los Inocentes, Capilla Pazzi. 
En todas sus obras de arquitectura las partes se relacionan entre sí y con 
el todo mediante fórmulas matemáticas. Además utiliza combinaciones de 
figuras geométricas como el cuadrado, el círculo y el triángulo.
Sus conocimientos en matemáticas y geometría le lle-
varon al descubrimiento de las leyes de la perspectiva 
central en la pintura, que aplicó a las representacio-
nes pictóricas consiguiendo imágenes prácticamente 
reales.
El descubrimiento de Brunelleschi se basaba en la sim-
plificación de la visión a un sólo ojo imaginando que los 
rayos de luz entran en él según un haz cónico. De esta forma cada rayo atraviesa en su sólo 
punto al plano de la pintura interpuesto entre el objeto y el ojo, con un punto de fuga único co-
rrespondiente al ojo que se sitúa en el horizonte de la representación pictórica, de modo que 
todas las rectas que sean perpendiculares al cuadro convergen en ese punto. Para demostrar 
esta teoría Brunellechi pintó un cuadro del Baptisterio (edificio religioso) y le hizo un agujero 
(mirilla) justo en el punto de fuga. Cuando una personal se situaba en la puerta de la catedral y 
miraba al Baptisterio por ese orificio de la parte posterior del cuadro sosteniendo delante con 
la mano un espejo, podía verificar que en él se reflejaba la imagen del cuadro correspondiendo 
exactamente con lo que estaba viendo del edificio real. Para completar el 
experimento Brunelleschi situó sobre la zona del cielo de la pintura polvo 
de plata, para reflejar sobre el espejo las nubes reales que se movían 
por delante del edificio por efecto del viento. Esta técnica fue utilizada 
posteriormente en el cine para realizar efectos especiales.
 
A partir de este modelo puede construirse una espiral, que es del tipo logarítmica.
Se ha demostrado que la espiral de Fibonacci aparece en infinidad de objetos de la naturaleza, 
así por ejemplo está presente en el crecimiento de las semillas de los girasoles, en los capara-
zones de los caracoles, las escamas de una piña,en la formación de los huracanes, en algunas 
galaxias, en el crecimiento de las ramas de un árbol conforme subimos por el tronco, etc.
18    SEDITÉCNIC
Luca Pacioli (1445-1510), franciscano y profesor de matemáticas italia-
no, destaca en geometría por su interés por la sección áurea, ya conoci-
da desde Euclides. 
En 1494, Pacioli publicó su famoso libro “Summa 
de arithmética, geometria, proportioni et propor-
tionalita” (Resumen de la aritmética, la geometría, 
la proporción y la proporcionalidad). 
Como discípulo sobresaliente tuvo a Leonardo da 
Vinci. Éste ilustró el manuscrito de La Divina Pro-
portione (de proporciones divinas) mediante el dibujo del hombre de Vi-
trubio que representa al hombre como el centro del universo al quedar 
inscrito en un círculo y en un cuadrado.
Leonardo da Vinci (1452-1519), pintor, escultor, ingeniero, arqui-
tecto e inventor italiano, es uno de los grandes genios del renacimien-
to y posiblemente no haya en la historia de la humanidad un hombre 
tan completo por su aspiración al conocimiento global. 
En el campo de la perspectiva Leonardo crea la perspectiva aérea o 
perspectiva atmosférica, método por el cual se produce una sensa-
ción de profundidad al considerar la atmósfera compuesta de partí-
culas sólidas que cambian la intensidad del color y de la luz que perci-
bimos, y como consecuencia de ello vemos los objetos más pálidos a 
medida que la distancia es mayor y más nítidos los primeros planos.
En su concepción de dibujante se interesó por la anatomía humana, 
practicando la disección de cadáveres y realizando dibujos anatómi-
cos de huesos y músculos con gran precisión, claros y exactos. Tam-
bién realizó dibujos sobre la anatomía de animales como aves y vacas.
Como pintor, Leonardo es autor de muchas obras, siendo la más no-
table la realizada en Florencia, conocida por el retrato de Mona Lisa o 
Gioconda, que se conserva en el museo de Louvre de París. La obra representa a Lisa Gherar-
dini.
Otra obra muy conocida es La Última Cena pintada sobre un muro del convento dominicano de 
Santa María de las Gracias en Milán (Italia).
 Autoretrato de Leonardo
Mona Lisa
La Santa Cena Anatomia del cuerpo 
humano
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 19SEDITÉCNIC
Alberto Durero (1471-1528), pintor y grabador. Es considerado como 
el artista mas famoso del Renacimiento alemán. Publicó varios libros 
donde reflejó la construcción de un gran número de curvas, como las 
espirales, las curvas cíclicas, las cónicas, etc. También realizó estudios 
sobre la teoría de las sombras, construcciones de polígonos regulares, 
sólidos platónicos y una introducción a la perspectiva.
Durero imaginaba el lienzo 
como una pantalla de vidrio. 
En el grabado realizado en 
madera Durero muestra 
cómo puede copiarse en un 
papel cuadriculado la imagen que observa a través 
del vidrio cuadriculado igualmente.
Uno de los grabados más conocidos de Durero es Melancolía I. Se 
piensa que esta obra representa el estado depresivo o melancólico.
Fruto de la influencia de Leonardo y aún de Euclides y Vitrubio, Dure-
ro se sirve de la geometría, incluso para la plasmación de la figura 
humana. Y es que estaba convencido de que 
con la geometría y con las 
matemáticas, se podía ex-
plicar el mundo. 
Durero, emplea incluso vis-
tas auxiliares para la defini-
ción de algunos elementos del cuerpo humano.
René Descartes (1596-1650), filósofo y científico francés desarrolló 
un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la 
geometría analítica, por el cual las curvas cónicas se pueden represen-
tar por ecuaciones de segundo grado en dos variables. Es decir:
a. x2 + b. x.y + c.y2 + d.x + e.y + f = 0 . Las soluciones de esta ecuación 
son las llamadas curvas cónicas.
Se le considera el inventor de la Geometría Analítica, aunque su logro 
más importante fue la reducción de la naturaleza a leyes matemáticas. 
Según Descartes todo lo que nos rodea está compuesto de puntos, rec-
tas y curvas, por lo tanto la naturaleza puede interpretarse matemática-
mente por medio de ecuaciones.
Para Descartes las curvas geométricas deben ser construibles con algún instrumento que 
tenga la misma precisión que la regla y el compás.
En 1637 publicó 4 obras: El Discurso del Método, La Dióptrica, Los Meteoros y la Geometría, 
siendo de todas ellas la más famosa la primera.
Las reglas del método enunciadas en su libro se resumen en cuatro fundamentales:
1. Regla de evidencia.
2. Análisis.
3. Síntesis.
4. Comprobación.
Melancolía I
20    SEDITÉCNIC
Era contemporánea
Este periodo que comprende desde el año 1789 hasta nuestro días se caracteriza por trans-
formaciones aceleradas de la economía, la sociedad y la tecnología conocido también por el 
nombre de revolución industrial.
A finales del siglo XIX en plena revolución industrial es cuando aparece la Normalización como 
un conjunto de normas aplicadas a la representación de los planos y fabricación de piezas, 
creándose en Alemania en el año 1917 el comité Alemán de Normalización.
A partir del siglo XX se incorporan al dibujo técnico técnicas digitales con la aparición de los 
ordenadores, desarrollándose una serie de programas popularmente conocidos como progra-
mas CAD (Computer Aided Desing), que permiten representar los dibujos técnicos con gran 
precisión aplicando las normas actuales de normalización ISO. 
Además de las representaciones en 2D, hoy día tenemos programas de 3D que nos permiten 
hacer recreaciones virtuales en tres dimensiones de cualquier objeto. 
Gaspard Monge (1746-1818), matemático francés que nació en 
Beaune, estudió en las escuelas de Beaune y Lyon. Llegó a ser mi-
nistro de la república francesa y amigo de Napoleón. Se le conside-
ra el creador de la geometría descriptiva y uno de los fundadores 
por orden de Napoleón de la Escuela Politécnica, en la que impar-
tió clases de Geometría Descriptiva durante más de 10 años. En 
1799 publica su famosa obra Geometría Descriptiva.
El objetivo que perseguía Monge era proporcionar métodos para 
representar en el papel que únicamente tiene dos dimensiones, 
todos los cuerpos de la naturaleza que tiene tres dimensiones, 
siempre que estos cuerpos se puedan definir, y por otro lado el 
caso inverso, es decir dada la representación plana de un objeto 
saber ubicarlo en el espacio.
Debido a la importancia militar que se le dio a la geometría descriptiva se obligó a Monge a 
mantenerlos en secreto hasta 1795, año a partir del cual pasó a formar partes de la educa-
ción técnica en Francia y Alemania, y posteriormente en Estados Unidos.
Jean-Victor Poncelet (1788-1867), geómetra francés e ingeniero mi-
litar que estudió con Monge. Es considerado como el fundador de la 
geometría proyectiva moderna. Su obra más importante es “Tratado 
de las propiedades proyectivas de las figuras”, que puede decirse que 
enlaza con la de Gaspard Monge.
Leonhard Euler, (1707 - 1783), matemático suizo. Aunque sus traba-
jos más importantes están relacionados con la matemática pura, Euler 
recoge en su obra “Introducción al análisis” la sistematizó de la geo-
metría analítica de una manera formal. En su obra Opera Onnia. Euler 
dedica cuatro volúmenes a la Geometría. En una parte de ella trata de 
la geometría Euclidiana (no utiliza coordenadas en el plano), y la mayor 
parte de ella son del tipo analítico (utiliza ejes coordenados y medios 
algebraicos). Descubrió propiedades geométricas conocidas como la 
recta de Euler, la circunferencia de los nueve puntos y el teorema sobre 
los poliedros.
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 21SEDITÉCNIC
Le Corbusier (1887-1965), arquitecto, diseñador y pintor suizo na-
cionalizado francés, considerado uno de los más importantes de la 
arquitectura moderna con mayor influencia de 
toda la historia de la arquitectura.
Fue el creador del Modulador que publicó en un 
libro con este mismo título. El modulador es un 
sistema de medidas basado en las proporciones 
del hombre, en que cada magnitud se relaciona 
con la anterior por el número áureo, relacionan-
do las proporcionesdel edificio con las del hombre.
La medida base es de 216 cm. que se corresponde con la figura humana 
con el brazo levantado. Cada término se obtiene multiplicando el anterior 
por 1,618.
216
82175
1
0
8
6
6
4
1
66
108
41
25
16
7
9
133
51
82
51
51
20
11
31
20
66
41
25
16
Antonio Gaudí (1852-1926), arquitecto español que nació en Bar-
celona, máximo exponente del modernismo catalán. Gaudí tenía una 
capacidad innata para la geometría y la visión espacial que le permi-
tían imaginar mentalmente sus obras que posteriormente recreaba. 
Realiza planos de sus creaciones trabajando primero sobre maquetas 
que iba modelando a medida que lo iba imaginando. Se interesó por la 
geometría de las superficies regladas, y la naturaleza le proporcionó 
el modelo para el diseño de sus originales formas como pueden apre-
ciarse en sus arcos, columnas y fachadas, donde utiliza paraboloides 
hiperbólicos, la hiperboloide, el helicoide y el conoide. Como arquitecto 
concibió sus edificios de una forma global combinando las soluciones 
decorativas con las estructurales.
Además de una amplia representación de edificios residenciales y urbanos, entre sus obras 
destacan la Sagrada Familia (actualmente en construcción), la Cripta de la Colonia Güell y el 
Colegio de Santa Teresa.
Santiago Calatrava, arquitecto e ingeniero español que nació en el año 
1951 en Benimámet (Valencia). Es considerado como un especialista en 
el diseño de puentes. Sus construcciones se caracterizan por el empleo de 
estructuras plegables y por hacer de la estructura de un edificio una obra 
de arte. El diseño de sus estructuras se inspira en la anatomía del cuerpo 
humano o de los animales, la cristalografía y en la botánica. También es 
escultor y dibujante cuyos trabajos giran en torno a la visión, la geometría, 
el movimiento, el equilibrio o las estructuras de la naturaleza.
En Valencia realizó los edifi-
cios que componen la Ciu-
dad de las Artes y de las 
Ciencias. La mayor parte de 
sus obras realizadas están 
en Suiza, España, Alemania, 
Francia y Canadá. Calatrava 
ha recibido numerosos pre-
mios como reconocimiento 
a su trabajo. 
22    SEDITÉCNIC
RAÍCES GEOMÉTRICAS DEL ARTE ARÁBICO-ANDALUZ
La arquitectura árabe es la que se desarrolló en la España musul-
mana entre los siglos VIII y XV.
Uno de los elementos mas interesantes del arte islámico son los 
arabescos, que son adornos simétricos construidos con líneas 
que limitan las formas de las hojas, flores, etc.
En la ornamentación árabe existen numerosos ejemplos de com-
posiciones modulares. Los módulos se originan a partir de polígo-
nos regulares que se pueden repetir, combinar y enlazar.
Los frisos, mosaicos y adornos geométricos del arte arábico-an-
daluz constituyen una de las manifestaciones mas espectaculares 
de la geometría en el arte.
En el patrimonio arquitectónico andaluz hay numerosas muestras del uso de frisos desde el 
punto de vista de la ornamentación. Los frisos árabes se encuentran en edificios como la Mez-
quita de Córdoba, la Alhambra de Granada o el Alcázar de Sevilla.
Los frisos o cenefas constan de un determinado módulo, figura o motivo que se repite a lo lago 
de una banda rectangular.
En la Alhambra de Granada puede apreciarse la belleza y compejidad de una amplia muestra de 
mosaicos geométricos en los que no aparecen motivos de personas o animales debido a que 
su religión se lo impedía. Un mosaico geométrico es una composición en el plano basándose en 
simetrías, traslaciones, o rotaciones.
Los llamados mosaicos nazaríes están formados de polígonos que tienen la misma área del po-
lígono del que procede. Los más conocidos son el hueso, el pétalo, el avión, el huso y la pajarita.
El hueso es un polígono cóncavo de doce lados que se obtiene a partir de un cuadrado.
El pétalo se obtiene a partir de un rombo formado por dos triángulo equiláteros.
El avión o clavo se obtiene de la transformación de un cuadrado.
El huso se obtiene a partir de un cuadrado, y su construcción es parecida al hueso.
La pajarita se obtiene a partir del triángulo equilátero.
Hueso Pétalo Avión Huso Pajarita
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 23SEDITÉCNIC
LAS FORMAS GEOMÉTRICAS EN LA PINTURA CONTEMPORÁNEA
Los artistas de todas las épocas han empleado las reglas compositivas conocidas, al mismo 
tiempo que han ido creando otras nuevas. La geometría tuvo su punto más álgico con el naci-
miento (entre los años 1906 y 1908) del cubismo, como el arte de interpretar la naturaleza 
por medio de figuras geométricas, representando todas las partes de un objeto en un mismo 
plano. Alrededor del año 1910 nació el arte abstracto influido por la aparición de la fotografía, 
en donde la representación figurativa es sustituida por un lenguaje visual autónomo. A partir de 
1960 aparece el arte minimalista o tendencia de reducir la pintura a lo esencial como colores 
puros, formas geométricas simples, tejidos naturales, etc.
Guernica Las señoritas de Aviñón
Wassily Kandinsky (1866-1944), pintor ruso, nacionalizado alemán y poste-
riormente francés. Su pintura se caracteriza por ser abstracta y compuesta de 
figuras geométricas. Considerado el creador del arte abstracto.
Paul Klee (1879-1940), pintor nacido en suiza que vivió en Alemania.
Klee trabaja con formas geométricas dando lugar a composiciones muy equili-
bradas y racionales. Utiliza la línea como un elemento fundamental que sive de 
soporte a la obra.
Pablo Picasso (1881-1973), pintor y escultor español malagueño, gran genio 
de la pintura contemporánea, considerado junto a Braque como el creador del 
cubismo y uno de los artistas más importantes del siglo XX con más de 20.000 
trabajos en su haber.
24    SEDITÉCNIC
Piet Mondrián (1872-1944), pintor vanguardista holandés, fundador del neo-
plasticismo. Llevó el arte abstracto hasta sus últimas consecuencias.
Victor Vasarely (1908-1997), pintor húngaro, destaca por el op art (el arte 
óptico) y el arte cinético (arte por efectos ópticos). 
Vasarely utiliza las formas geométricas (círculos, elipses, cuadrados, rectán-
gulos, etc.) y sus diferentes tonalidades cromáticas para realizar complejas 
composiciones equilibradas, teniendo en cuenta algunos principios ópticos 
sobre formas y colores. Consigue crear efectos de relieve o de movimiento 
trabajando con la relación fondo-forma.
Logotipo de Renault
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 25SEDITÉCNIC
DISEÑO INDUSTRIAL
Se denomina diseño industrial a toda actividad humana ligada a la creación de un producto 
susceptible de ser producido industrialmente. Su necesidad va ligada a la revolución industrial 
del siglo XIX, cuando la producción artesana incorpora maquinaria, iniciándose así la produc-
ción en serie.
Desde los tiempos más primitivos el hombre ha creado objetos, en defi-
nitiva ha diseñado, y muchos de ellos se han desarrollado dependiendo 
en gran parte de su función.
Se considera que la primera institución que implantó las bases del di-
seño industrial y gráfico fue la escuela alemana de arte, diseño y arqui-
tectura La Bauhaus (casa de la construcción), fundada en 1919 en 
Weimar por Walter Gropius. 
La Bauhaus nace como necesidad de la recuperación de los oficios ar-
tesanales en una actividad constructiva que permita integrar sus pro-
ductos dentro de la producción industrial.
Existían talleres de ebanistería, diseño, teatro, cerámica, tejido, encua-
dernación, vidriería, etc. y contaba con profesores de reconocido pres-
tigio como Paul Klee o Kandinsky.
Con la Bauhaus se reunificaron todas las artes bajo una arquitectura funcional que utilizó los 
nuevos materiales de la época y en especial el hormigón.
La Bauhaus fue cerrada en 1933 por las autoridades nazis porque se pensaba que podría ser 
una amenaza para el régimen por la variedad de artistas que había de diferentes países.
En la actualidad el diseño industrial se ha extendido por todo el mundo, siendo las escuelas más 
importantes las de Milán y toda Italia en general.
Proceso en el diseño de un producto
El proceso del diseño industrial pasa por muchasfases desde el boceto inicial hasta la fabrica-
ción del producto.
En todo diseño intervienen variables como la forma, la estética, el material, la seguridad, la du-
rabilidad... que hay que tener en cuenta en función del mercado al cual vaya dirigido el producto.
El proceso de diseño debe pasar por las siguientes fases:
1. Investigación previa para evaluar la viabilidad del producto.
2. Observar y analizar, para descubrir alguna necesidad del ser humano.
3. Proyectar, por medio de bocetos y planos técnicos.
4. Construir y ejecutar, haciendo realidad el proyecto.
El diseñador Industrial
El diseñador es el que recibe el encargo de un problema al cual debe dar una solución en forma 
de objeto. Deberá emplear técnicas de representación bidimensionales como: dibujo técnico, 
dibujos de representación, desarrollos geométricos, fotografías, etc.
Para ser un buen diseñador se requieren características como: poseer hábitos de la observa-
ción; tener una curiosidad innata por la investigación; facilidad de comunicación gráfica median-
te escritos, esquemas, dibujos y símbolos; sensibilidad estética; percepción espacial; memoria 
visual; interés por construir y transformar cosas.
26 SEDITÉCNIC
PERPENDICULARIDAD
APLICACIONES
 Trazar la recta perpendicular a un segmento en su punto medio
 Trazar una recta perpendicular a otra
 Trazar una recta perpendicular a una semirrecta en su extremo
 Trazar una recta perpendicular a otra en un punto A
 Trazado práctico de rectas perpendiculares
PARALELISMO
APLICACIONES
 Trazar la recta paralela a otra pasando por un punto
 Trazado práctico de rectas paralelas
 
PERPENDICULARIDAD Y 
PARALELISMO2
 27SEDITÉCNIC
2
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
• Saber cuando dos rectas se dice que son perpendiculares.
• Conocer los distintos procedimientos que hay para el trazado de rectas perpendiculares.
• Conocer la forma rápida que se utiliza en la práctica del trazado de perpendiculares.
• Saber cuando dos rectas son paralelas.
• Conocer al menos un método para el trazado de paralelas con el compás.
• Conocer la forma práctica que se utiliza para el trazado de paralelas.
METODOLOGÍA Y TEMPORIZACIÓN:
1ª SESIÓN
• Se explicará qué se entiende por dos rectas perpendiculares.
• Se resolverán problemas de perpendicularidad mediante el uso del compás: trazar la recta 
perpendicular a un segmento en su punto medio; trazar una recta perpendicular a otra; 
trazar una recta perpendicular a una semirrecta en su extremo; trazar una recta perpen-
dicular a otra en un punto A.
• Se explicará la forma práctica en el trazado de rectas perpendiculares.
• Se explicará qué son rectas paralelas.
• Se resolverá el problema de trazar la recta paralela a otra pasando por un punto utilizando 
el compás.
• Se explicará la forma práctica en el trazado de rectas paralelas.
 
28 SEDITÉCNIC
APLICACIONES
Trazar la recta perpendicular a un segmento en su punto 
medio
Dado el segmento AB, con 
radio mayor de la mitad 
del mismo y haciendo centro en A y después en B describiremos 
dos arcos, cuyas intersecciones unidas entre sí nos determina la 
recta perpendicular al segmento en su punto medio. Esta recta se 
denomina mediatriz del segmento y divide al éste en dos partes 
iguales. Se deduce, por tanto, que todos los puntos de la mediatriz 
equidistan (están a igual distancia) de los extremos del segmento.
Trazar una recta perpendicular a una semirrecta en 
su extremo
Método 1
Dada la semirrecta r de extremo A, con centro en este punto trazamos un arco con cualquier 
radio, obteniendo sobre la semirrecta el punto M. Con centro en este punto y con la misma aber-
tura trazamos otro arco que corta al anterior en N. Con centro en este último punto trazamos 
otro arco con 
el mismo ra-
dio, obtenien-
do el punto P, 
y con centro 
en este punto 
y mismo radio 
trazamos otro 
arco que cor-
ta al anterior 
en Q. Uniendo 
Q con A se ob-
tiene la recta 
pedida.
Trazar una recta perpendicular a otra
Dada la recta r, por un punto cualquiera O exterior a ella 
se traza un arco que corte a la recta en dos puntos A y 
B. Con centro en A y después en B y, radio mayor de la 
mitad de AB se trazan arcos que se cortan en M. Unien-
do M con O se obtiene la recta pedida.
A B
A B
O
M
r
A M r
P N
Q
A
M
r
O
N
Método 2Método 1
90º
r
s
90
º
90º
90
º
PERPENDICULARIDAD
Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman 
cuatro ángulos iguales. Estos ángulos necesariamente serán 
de 90º.
 29SEDITÉCNIC
2
PARALELISMO
Se dice que dos rectas son paralelas cuando su separación permanece constante.
APLICACIONES
Trazar la recta paralela a otra pasando por un punto
Dada la recta r y el punto P, con centro en un punto 
cualquiera O de r se traza un arco de radio OP, ob-
teniendo sobre r los puntos A y B. Con centro en B y 
abertura AP se corta el arco anterior, obteniendo M. 
Uniendo P con M queda determinada la recta pedida.
Trazar una recta perpendicular a otra en un pun-
to A
Dada la recta r, por A se traza un arco que corta 
a r en M y N. Con abertura del compás mayor de 
la mitad de MN y centro en M y después en N res-
pectivamente se trazan arcos que se cortan en P. 
Uniendo P con A se obtiene la recta pedida.
Método 2
Con centro en un punto cualquiera O exterior a la semirrecta se describe una circunferencia 
de radio OA tal que corte a r en el punto M. Se une M con O y se prolonga hasta cortar a la 
circunferencia en el punto N. Se une A con N, quedando así determinada la recta perpendicu-
lar a la semirrecta en su origen.
A
rM N
P
Trazado práctico de rectas perpendiculares
Como regla general el trazado de rectas perpen-
diculares siempre lo haremos utilizando conjuntamente las escuadras, y cuando se trate de 
dividir un segmento en dos partes iguales trazaremos la mediatriz haciendo uso combinado del 
compás y las escuadras. 
BA
Trazado de rectas perpendicular 
usando las escuadras
Trazado de la mediatriz de un 
segmento usando el compás y las 
escuadras
r
P
O
M
A B
Trazado práctico de rectas paralelas
Como regla general el trazado de rectas paralelas 
siempre lo haremos utilizando conjuntamente las 
escuadras.
SEDITÉCNIC30 
ÁNGULO
 Tipos de ángulos
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
 Bisectriz de un ángulo mixtilíneo
 Bisectriz de un ángulo curvilíneo
 Bisectriz de un ángulo cuyo vértice está fuera de los límites del dibujo
CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS CON LAS ESCUADRAS
CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS CON EL COMPÁS
TRANSPORTAR UN ÁNGULO
TRISECCIÓN DE UN ÁNGULO RECTO
ÁNGULOS CUYOS LADOS SON PERPENDICULARES
RECTA CONCURRENTE CON OTRAS DOS QUE SE CORTAN FUERA DE LOS LÍMITES DEL 
DIBUJO 
OPERACIONES CON ÁNGULOS
 Suma de ángulos
 Diferencia de ángulos
 Producto de un ángulo por un número natural
 Cociente entre un ángulo y un numero natural
ARCO CORRESPONDIENTE DE UN ÁNGULO
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
ÁNGULOS3
 31SEDITÉCNIC
3
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
• Saber qué es un ángulo, así como su designación y unidad de medida que se utiliza en el 
dibujo técnico. 
• Conocer los distintos tipos de ángulos.
• Saber obtener la bisectriz de un ángulo.
• Saber qué es un ángulo mixtilíneo y curvilíneo, así como la determinación de su bisectriz.
• Saber obtener la bisectriz de un ángulo cuando el vértice está fuera de los límites del dibujo.
• Saber construir ángulos haciendo uso de las escuadras.
• Saber construir ángulos haciendo uso del compás.
• Conocer el procedimiento a seguir para el transporte de un ángulo.
• Saber obtener la trisección de un ángulo recto.
• Descubrir qué pasa cuando dos ángulos tienen sus lados perpendiculares.
• Conocer la construcción geométrica para trazar una recta concurrente con otras dos, cuando 
su vértice está fuera de los límites del dibujo.
• Conocer las operaciones con ángulos de suma, diferencia, multiplicación y división.
• Conocer la característica de los ángulos cuyos arcos correspondientes son iguales.
• Conocer los distintos ángulos y sus características en relación con la circunferencia.
METODOLOGÍA YTEMPORIZACIÓN:
1ª SESIÓN
• Se explicará qué se entiende por ángulo, así como su designación, unidades de medida y 
sentido de un ángulo.
• Gráficamente se expondrán los distintos tipos de ángulos y sus características.
• Se explicará el proceso a seguir para obtener la bisectriz de un ángulo.
• Se explicará que es un ángulo mixtilíneo y curvilíneo y cómo puede obtenerse la bisectriz.
• Se explicará el procedimiento a seguir para obtener la bisectriz de un ángulo cuando su 
vértice queda fuera de los límites del dibujo.
• Mediante el uso de las escuadras se construirán diversos ángulos, por ejemplo el de 90º, 
45º, 30º, 60º, 120º, 135º, 150º.
• Mediante el uso del compás se construirán diversos ángulos, por ejemplo el de 90º, 45º, 
22,5º, 60º, 30º, 15º, 75º así como otros que puedan obtenerse mediante suma o resta de 
ellos.
2ª SESIÓN
• Se explicará el proceso a seguir para realizar el transporte de un ángulo con el compás.
• Se explicará cómo se obtiene la trisección de un ángulo recto.
• Se demostrará qué pasa cuando dos ángulos tienen sus lados perpendiculares.
• Se explicará el proceso a seguir para trazar una recta concurrente con otras dos cuando el 
vértice del ángulo queda fuera de los límites de dibujo.
• Se explicará el proceso a seguir para operar con ángulos: suma, diferencia, multiplicación y 
división.
• Se explicará la característica que tienen dos ángulos cuyos arcos son iguales.
• Se explicarán los distintos tipos de ángulos en relación con la circunferencia, así como la 
determinación del valor del ángulo.
32    SEDITÉCNIC
ÁNGULO
Se define un ángulo como la zona del espacio limitada 
por dos rectas que se cortan. Estas rectas se llaman 
lados del ángulo, y el punto de intersección, vértice del 
ángulo. 
Medir un ángulo es comparar su abertura con otro que 
se toma como unidad. En el dibujo técnico la amplitud 
de los ángulos se miden en grados sexagesimales, porque 60 uni-
dades de un orden forman una unidad del siguiente orden. En este 
sistema la unidad es el grado sexagesimal. 1 grado es la amplitud 
de un ángulo obtenido al dividir la circunferencia en 360 partes 
iguales. Por tanto, la circunferencia tiene 360 grados. A su vez, 
el grado está dividido en 60 minutos y el minuto en 60 segundos. 
Su indicación es mediante ° (para el grado), ‘ (para el minuto) y “ 
(para el segundo). Ejemplo: 52° 23´36”. Para pasar de una uni-
dad de orden superior a la inmediata inferior se multiplica por 60. 
Así: 1° = 60 ’ ; 1’ = 60 ” ;1° = 3600 ”
La medición de un ángulo puede hacerse en sentido horario (posi-
tivo) o en sentido contrario a las agujas del reloj (negativo). El útil 
que se utiliza para medir y transportar ángulos sexagesimales es 
el transportador de ángulos, consistente en un semicírculo gra-
duado en 180°.
Otra unidad de medida de los ángulos es el radian. Un ángulo 
medido en radianes es la relación que existe entre la longitud del 
arco del ángulo central que abarca y el radio de la circunferencia. 
Un radian es la medida del ángulo de vértice el centro de un círcu-
lo de radio r que abarca un arco de longitud igual al radio. Se deduce que la circunferencia tiene 
2p radianes porque aplicando la definición de radian en una circunferencia de radio la unidad 
cuando s abarca los 360 °, el valor de s se corresponde con la longitud de la circunferencia 
(2pr), siendo F=(2pr) /r =2p radianes.
Tipos de ángulos
Ángulo recto. Es el que mide 90°.
Ángulo agudo. Es el que mide menos de 90°.
Ángulo obtuso. Es el que mide más de 90° y menos de 180° .
Ángulo llano. Es el que mide 180°.
Ángulo complementario. Es lo que le falta para valer 90°.
Ángulo suplementario. Es lo que le falta para valer 180°.
Ángulos opuestos por el vértice. Son los que tienen un vértice en común y sus lados están en 
prolongación.
Ángulos consecutivos. Son los que tienen un lado en común.
Lado
L d
oa
Vértice
Sentido de las agujas 
del reloj
Sentido contrario a las 
agujas del reloj
0
10
20
30
40
50
60
Transportador de ángulos
 (ángulo medido =36º)
7080100 90110
1 02
130
14
0
15
0
61
0
701
180
360
r
s
�
�=
s
r radianes
 33SEDITÉCNIC
3
Ángulo agudoÁngulo recto Ángulo llano Ángulos
complementarios
Ángulos
 suplementarios
Ángulo obtuso
Ángulos opuestos
 por el vértice
Ángulos adyacentesÁngulos consecutivos
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Se llama bisectriz de un ángulo a la recta que pasando por su vértice lo divide en dos partes 
iguales. 
Sea un ángulo a, el proceso a seguir para tra-
zar su bisectriz es:
1. Con centro en el vértice del ángulo A se traza 
un arco de circunferencia, que corta a los lados 
en los puntos B y C.
2. Con centro en B y después en C, y abertura 
del compás mayor de la mitad de CB, se trazan 
arcos que se cortan en P.
3. Se une P con el vértice A, siendo esta recta 
la bisectriz del ángulo.
A
B
C
P
�
O
A
t
s
r
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Bisectriz de un ángulo mixtilíneo
Un ángulo mixtilíneo es aquel cuyos lados son 
una recta y un arco de circunferencia.
Sea la recta r y el arco de circunferencia de 
centro O que se cortan en A, el proceso a se-
guir para obtener la bisectriz de este ángulo es:
1. En un punto cualquiera de r se traza una per-
pendicular s, y se llevan sobre ella magnitudes 
iguales, que numeramos con 1, 2, 3, 4...
2. En O se traza un radio cualquiera t y se pro-
longa, llevándose a partir del arco magnitudes 
iguales a las trazadas sobre la recta s.
3. Por las divisiones de s se trazan paralelas a 
la recta r, y sobre las correspondientes en t se 
trazan arcos concéntricos de centro O.
4. Donde estos arcos encuentren a las corres-
pondientes paralelas a r nos determinarán pun-
Ángulos adyacentes. Son ángulos consecutivos cuyos lados no comunes son semirrectas 
opuestas. Estos ángulos son suplementarios.
34 SEDITÉCNIC
A
sB
t
r
M
N
Bisectriz de un ángulo cuyo vértice está fuera de los límites del dibujo
Dadas las rectas r y s, el proceso a seguir es:
1. Se traza un recta cualquiera t que corte a las rec-
tas dadas en los puntos A y B.
2. Se trazan las bisectrices de los ángulos que la rec-
ta t determina con r y s, obteniendo los puntos M y N.
3. Se une M con N, siendo esta recta la bisectriz bus-
cada.
CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS CON LAS ESCUADRAS
Se indican en la figura algunos de los ángulos que pueden construirse con el juego de plantillas 
(escuadra y cartabón).
135º 0º
12
1 º50
45º 60º
30º
Bisectriz de un ángulo curvilíneo
Un ángulo curvilíneo es aquel cuyos lados son arcos de circunferencia.
Sean los arcos de circunferencia de centros O
1
 y O
2
 
que se cortan en A, el proceso a seguir para obtener 
la bisectriz de este ángulo es:
1. En O
1
 se traza un radio cualquiera t, llevándose a 
partir del arco magnitudes iguales.
2 En O
2
 se traza otro radio cualquiera s y se prolon-
ga, llevándose a partir del arco magnitudes iguales a 
las anteriores.
3. Por las divisiones de t y s se trazan circunferen-
cias concéntricas con centro en O
1
 y en O
2
 respecti-
vamente.
4. Donde estos arcos se corten nos determinan pun-
tos de la bisectriz.
5. La unión a mano alzada de todos los puntos así 
obtenidos nos define la bisectriz de dicho ángulo.
O2
O1
A
s
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
t
tos de la bisectriz.
5. La unión a mano alzada de todos los puntos así obtenidos nos define la bisectriz de dicho 
ángulo.
 35SEDITÉCNIC
3
CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS CON EL COMPÁS
Como norma general cuando un ángulo no pueda ser construido con las escuadras, éste se 
construirá con el compás, y si tampoco fuera posible, utilizaremos el transportador de ángulos.
Se indica a continuación la construcción de algunos de los ángulos más utilizados en el dibujo 
técnico.
Ángulo de 90°. Su construcción se realiza trazando por un punto O de una recta una perpen-
dicular.
Ángulo de 45°. Primero se construye el de 90° y a éste se le traza su bisectriz.
Ángulo de 22,5°. Se construye el ángulo de 45°, y después se divide en dos partes iguales 
trazando la bisectriz.Ángulo de 60°. Sobre una semirrecta se traza un arco de circunferencia obteniendo el punto 
A. Después con centro en A se traza otro arco con el mismo radio, que corta al anterior en P. 
Uniendo P con O se obtiene el lado del ángulo buscado.
Ángulo de 30°. Se construye primero el de 60° y se le traza a éste su bisectriz.
Ángulo de 15°. Se construye primero el de 30º y después se le traza su bisectriz.
Ángulo de 75°. Se construyen los ángulos de 90° y 60°, obteniendo el ángulo de 30º, y después 
se traza la bisectriz de dicho ángulo, obteniendo así el ángulo de 75°, puesto que 60°+15° 
=75°.
TRANSPORTAR UN ÁNGULO
El transporte de un ángulo es una operación que se usa con frecuencia en los dibujos técnicos. 
Dado el ángulo a de vértice A y la semirrecta r, el proceso a seguir es:
1. Con centro en A se traza un arco cualquiera 
que corta a los lados del ángulo en B y C.
2. Con la misma abertura del compás se traza 
otro arco haciendo centro en el extremo M de la 
semirrecta, obteniendo en ella el punto P.
3. Se mide con el compás la abertura del ángu-
lo BC y se traslada sobre el arco, trazado en la 
semirrecta a partir de P, obteniendo Q.
4. Uniendo Q con M se obtiene el ángulo trans-
portado.
A
B
C
�
M
P
Q
r
90º 45º 22,5º
60º 30º 15º 75º
O
A
P
O
A B
36 SEDITÉCNIC
OPERACIONES CON ÁNGULOS
Con los ángulos pueden realizarse las siguientes operaciones:
P
Q
A
B
C
D
E
M
F
G
Suma de ángulos
Dados dos ángulos de vértices P y Q, para obtener el ángulo suma de ambos se procede del 
siguiente modo:
1. Se traza una semirrecta de extremo M, vértice del ángulo suma a determinar.
2. Sobre los ángulos dados, y con centro en el vértice de cada uno de ellos, se traza un arco, 
y sin modificar la abertura del compás, se traza otro arco con centro en el extremo M de la 
semirrecta.
3. Se mide con el compás la aber-
tura AB del ángulo P, y se tras-
lada sobre el arco trazado en la 
semirrecta a partir de E, obte-
niendo el punto F.
4. Análogamente, se mide con el 
compás la abertura CD del otro 
ángulo y se traslada a continua-
ción de F, obteniendo el punto G.
5. Uniendo este último punto con 
el extremo M de la semirrecta se 
obtiene el ángulo suma. 
ÁNGULOS CUYOS LADOS SON PERPENDICULARES
Cuando dos ángulos tienen sus lados perpendicu-
lares, se cumple que dichos ángulos son iguales. 
En efecto, sean a y b los ángulos dados cuyos la-
dos son perpendiculares. Se cumple que a = b. En 
la figura puede observarse que, si trasladamos el 
ángulo b sobre el a haciendo coincidir sus vérti-
ces, se verifica que el ángulo w=b por tener sus 
lados paralelos. Por otro lado w =a, por ser igual 
su complementario, luego de aquí se deduce que 
a = b.
�
��
TRISECCIÓN DE UN ÁNGULO RECTO
Dado un ángulo recto, el proceso a seguir es:
1. Se traza con centro en su vértice O un arco de 
cualquier radio que corta a los lados en A y B.
2. Con centro en A y después en B, y radio AO se 
trazan arcos que se cortan con el anterior en P 
y Q.
3. Uniendo P y Q con O tendremos dividido el án-
gulo en tres partes iguales.
O A
B
P
Q
 37SEDITÉCNIC
3
Diferencia de ángulos
Dados dos ángulos de vértices P y Q, para ob-
tener el ángulo diferencia de ambos se proce-
de del siguiente modo:
1. Se traza una semirrecta de extremo M, vér-
tice del ángulo diferencia a determinar.
2. Sobre los ángulos dados, y con centro en el 
vértice de cada uno de ellos se traza un arco, y 
sin modificar la abertura del compás, se traza 
otro arco con centro en el extremo M de la 
semirrecta.
3. Se mide con el compás la abertura AB del ángulo P, y se traslada sobre el arco trazado en 
la semirrecta a partir de E, obteniendo el punto F.
4. Análogamente, se mide con el compás la abertura CD del otro ángulo, y se traslada a partir 
de F en sentido contrario, obteniendo el punto G.
5. Uniendo este punto con el extremo M de la semirrecta se obtiene el ángulo diferencia. 
P
Q
A
B
C
D E
M
F
G
Cociente entre un ángulo y un número natural
Para dividir un ángulo en partes iguales, como 
norma general se utiliza el transportador de 
ángulos. Como caso particular, puede usarse 
el compás cuando el número por el que se ha 
de dividir puede ser obtenido por divisiones su-
cesivas del ángulo en dos partes iguales me-
diante el trazando de la bisectriz. Así por ejem-
plo, para dividir un ángulo en 4 partes iguales 
se traza la bisectriz del ángulo, quedando éste 
dividido en dos partes iguales. Dividiendo nue-
vamente cada una de estas partes en dos, se 
obtiene un total de 4 partes iguales.
C
M
D
P
A
B
P
Producto de un ángulo por un número natural
El resultado es igual al ángulo suma de tantos ángulos iguales como indique el número na-
tural. Por ejemplo, para multiplicar un ángulo de vértice P por 5 , se procede del siguiente 
modo:
1. Se traza una semirrecta 
de extremo M, vértice del 
ángulo a determinar.
2. Sobre el ángulo dado, y 
con centro en el vértice se 
traza un arco, y sin modifi-
car la abertura del compás 
se traza otro arco con cen-
tro en el extremo M de la 
semirrecta.
3. Se mide con el compás 
la abertura AB del ángulo P, y se traslada sobre el arco trazado en la semirrecta a partir de 
C cinco veces, obteniendo el punto D.
4. Uniendo el punto D con el extremo M de la semirrecta se obtiene el ángulo pedido. 
38 SEDITÉCNIC
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Un ángulo en relación con la circunferencia puede ocupar las siguientes posiciones:
Ángulo central. Cuando el vértice 
está situado en el centro de la circun-
ferencia. Su valor es una fracción de 
los 360° que abarca toda la circun-
ferencia.
Ángulo inscrito. Cuando el vértice 
está situado sobre la circunferencia 
y sus lados son rectas secantes. Su 
valor es igual a la mitad del ángulo 
central que abarca un mismo arco. 
Para su demostración dibujamos un 
ángulo central con uno de sus lados 
coincidente con el diámetro de la cir-
cunferencia. El triángulo OAN que se 
forma es isósceles por tener dos de 
sus lados iguales al radio de la circun-
ferencia, luego el ángulo en N será 
igual al ángulo en A. De aquí se dedu-
ce que: g = 180-2b . Y por otro lado 
a= 180-g. Sustituyendo el valor de g 
en esta expresión, se obtiene:
a=180-(180-2b) = 2b.
Ángulo semiinscrito. Cuando el vér-
tice está sobre la circunferencia y 
sus lados son uno secante y el otro 
tangente a la circunferencia. Puede 
considerarse un caso particular del 
ángulo inscrito, puesto que la tangen-
te es un caso límite de la secante. 
El valor del ángulo es igual que en el 
ángulo inscrito, es decir, la mitad del 
ángulo central que abarca. Su demos-
tración es evidente cuando el lado 
que es secante se hace pasar por el 
centro de la circunferencia.
�
O
Ángulo central
�
���
O
A
M
N
Ángulo inscrito
�
A
�
�A
�
�A
Ángulo semiinscrito
ARCO CORRESPONDIENTE DE UN ÁNGULO
Se denomina así el arco comprendido entre 
sus lados, que tiene como centro el vértice del 
ángulo.
Si dos ángulos son iguales, sus arcos corres-
pondientes descritos con el mismo radio tam-
bién son iguales.
 39SEDITÉCNIC
3
O
B�
��
�
�
�
�
A
Ángulo interior
O
�
��
�
Ángulo circunscrito
O
A
B
�
��
�
�
�
�
Ángulo exterior
Ángulo interior. Cuando el vértice está en el círculo 
que define la circunferencia y los lados son secan-
tes con ella. Su valor es igual a la semisuma de los 
dos centrales correspondientes, obtenidos al unir 
las cuerdas que definen sus lados. Para su demos-
tración trazamos la cuerda AB que nos define el 
triángulo AOB. Deducimos que f = 180°-(g+w). Por 
otro lado: b=180°-f . Sustituyendo el valor de f, se 
tiene: b=180-(180-g-w) = g+w.
Pero como g=a/2 y w =a
1
/2 , sustituyendo valo-
res: b=(a+a
1
)/2
Ángulo exterior. Cuando su vértice es exterior a la circunferencia y sus lados son secantes con 
ella. Su valor es la semidiferencia entre los dos ángulos centrales correspondientes, obtenidos 
al unir las cuerdas que definen sus lados. Para su demostración trazamos la cuerda AB que 
nos define el triángulo AOB. Deducimos que b = 180°-(g+w)= 180-g-w. Por otro ladow=180°-
f. Sustituyendo el valor de w en la expresión anterior, se tiene: b=180-g-(180°-f) = f-g. Además 
como f=a/2 y g =a
1
/2 , sustituyendo valores se obtiene que: b=(a-a
1
)/2 .
Ángulo circunscrito. Es un caso particular del ángulo exterior en el que los lados del ángulo son 
tangentes a la circunferencia. Su valor es b=(a-a
1
)/2 .
40 SEDITÉCNIC
PROPORCIONALIDAD
 Tipos de proporcionalidad 
PROPORCIONALIDAD DIRECTA ENTRE SEGMENTOS
 Valor numérico de un segmento
 Razón entre dos segmentos
PROPORCIÓN
TEOREMA DE LA ALTURA EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
TEOREMA DEL CATETO EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
TEOREMA DE THALES
APLICACIONES GRÁFICAS
 Cuarta proporcional
 Tercera proporcional
 Media proporcional
 Suma de segmentos
 Resta de segmentos
 Producto de un segmento por un número
 División de un segmento en partes iguales 
 División de un segmento en partes proporcionales a otros dados
 División de dos segmentos 
 Multiplicación de dos segmentos
 Raíz cuadrada de un segmento
 Exponencial de un segmento
PROPORCIÓN ÁUREA 
 Cálculo del número áureo
 Determinación gráfica del segmento áureo de un segmento dado
 Determinación gráfica de un segmento a partir de su segmento áureo
 Rectángulo áureo
 Relación áurea en el pentágono regular
4 PROPORCIONALIDAD
 41SEDITÉCNIC
4
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
• Comprender el concepto de proporcionalidad.
• Saber distinguir entre proporcionalidad directa e indirecta.
• Entender el concepto de razón entre dos segmentos.
• Conocer el concepto matemático de proporción.
• Comprender los teoremas de la altura y del cateto en un triángulo rectángulo.
• Conocer el teorema de Thales.
• Saber resolver problemas relativos a operaciones con segmentos: suma, resta, multiplica-
ción, división, exponencial, raíz cuadrada, así como su aplicación a la cuarta, tercera y media 
proporcional.
• Conocer el concepto de proporción áurea.
• Saber determinar gráficamente el segmento áureo.
• Saber obtener un rectángulo áureo.
• Saber deducir la relación áurea que existe entre el lado y la diagonal de un pentágono re-
gular.
METODOLOGÍA Y TEMPORIZACIÓN:
1ª SESIÓN
• Se introducirá a los alumnos en el concepto de proporción a través de ejemplos reales de la 
vida y se extenderá a su definición matemática.
• Se explicarán a través de ejemplos los tipos de proporcionalidad existentes, así como su 
representación cartesiana.
• Se explicará qué se entiende por valor numérico de un segmento.
• Se definirá el concepto de razón y de proporción.
• Se deducirán matemáticamente los teoremas de la altura y del cateto en un triángulo rec-
tángulo, repasando las propiedades de los triángulos semejantes.
• Se explicará el enunciado del teorema de Thales, definiendo el concepto de razón de seme-
janza.
2ª SESIÓN
• Se explicarán las aplicaciones gráficas de la determinación gráfica de: la cuarta proporcional; 
tercera proporcional; media proporcional; suma y resta de segmentos; producto de un seg-
mento por un número; división de un segmento en partes iguales; división de un segmento 
en partes proporcionales a otros dados; división de dos segmentos; multiplicación de dos 
segmentos; raíz cuadrada de un segmento; exponencial de un segmento.
• Se explicará qué se entiende por proporción áurea, así como su importancia a lo largo de la 
historia.
• Se deducirá matemáticamente el valor del número áureo.
• Se realizarán las construcciones geométricas necesarias para determinar gráficamente el 
valor del segmento áureo, justificando matemáticamente el proceso seguido.
• Se explicará y razonará la construcción de un rectángulo áureo.
• Se demostrará la relación áurea que existe entre la diagonal y lado de un pentágono regular.
42 SEDITÉCNIC
PROPORCIONALIDAD
El concepto de proporción o desproporción aparece constantemente en situaciones diarias 
de nuestra vida. Así, hablamos de un castigo proporcionado a un delito, de un cuerpo propor-
cionado, proporción de alumnos que aprueban todo, proporción de archivos infectados por un 
virus, etc. Ahora bien, desde la antigüedad el hombre ha asociado la proporción con la belleza, 
por este motivo es muy probable que su belleza dependa de la proporción o relación entre las 
partes. Así, decimos que la figura humana está proporcionada cuando existe una relación de 
medidas entre sus partes y de cada una de ellas con la totalidad de acuerdo con un patrón 
preestablecido. Vemos pues, que la proporción lleva implícito la comparación de las dimensio-
nes basadas en criterios previamente establecidos, sin ellos, no tiene sentido el concepto de 
proporcionalidad. 
Si buscamos la palabra proporción en el diccionario nos dirá que es el nombre o adjetivo nu-
meral que expresa cuántas veces una cantidad contiene en sí a otra inferior, por ejemplo el 
doble, el triple, etc. 
Ahora bien, desde el punto de vista matemático decimos que dos magnitudes a y b son pro-
porcionales cuando entre ellas existe una relación que llamaremos constante de proporciona-
lidad o razón k. Hay magnitudes que pueden ser expresadas según estas leyes y otras no. Por 
ejemplo, en un ángulo inscrito en la circunferencia, las magnitudes ángulo y arco que abarca 
son comparables porque a mayor ángulo le corresponde mayor arco y viceversa, siendo este 
aumento o disminución proporcional. La velocidad y el tiempo también son comparables, por-
que a mayor velocidad el tiempo empleado en recorrer una distancia determinada es menor 
y viceversa. En cambio, otras magnitudes como por ejemplo, la edad y la altura de un niño no 
son comparables porque no existe relación alguna entre ellas, aunque al aumentar una de 
las magnitudes la otra aumente o viceversa. Un ejemplo que ilustra esta afirmación, es la 
comparación de las magnitudes área de un círculo con su radio. Sabemos que el área de un 
círculo es: A=p.r2. Si en esta expresión hacemos r = 2 cm, su área valdrá: A= 12,56 cm2. Aho-
ra bien, si tomamos como radio el doble (r = 4 cm.) vemos que su área no se duplica, puesto 
que su valor es de 50,24 cm2. Con este ejemplo queda demostrado que si dos magnitudes 
son proporcionales, no basta con que al aumentar una de las magnitudes la otra también au-
mente o disminuya, si no que, es necesario también que este aumento o disminución lo haga 
proporcionalmente. 
Tipos de proporcionalidad
La proporcionalidad puede ser directa o inversa. Decimos que dos magnitudes son direc-
tamente proporcionales cuando la razón entre las dos cantidades correspondientes es 
constante, es decir, al aumentar una 
variable la otra también aumenta y vi-
ceversa. Así vemos que el ángulo y el 
arco que abarca sobre la circunferen-
cia son magnitudes directamente pro-
porcionales, porque al aumentar el va-
lor del ángulo aumenta también el arco 
que abarca; otro ejemplo de este tipo 
de proporcionalidad lo tenemos en las 
figuras semejantes. 
La proporcionalidad directa se repre-
senta gráficamente sobre los ejes 
cartesianos según una recta que pasa 
por el origen de coordenadas.
a
b
a
b
Proporcionalidad directa Proporcionalidad inversa
a.b = k—a
b
k
 43SEDITÉCNIC
—
a
b
b
a
Razón=
Unidad =1 cm
5
4
PROPORCIONALIDAD DIRECTA ENTRE SEGMENTOS
La obtención de segmentos proporcionales tiene su aplicación práctica en la resolución de 
problemas de semejanza y equivalencia. Para iniciar su estudio definiremos primero qué se 
entiende por valor numérico de un segmento y qué es la razón de dos segmentos.
Valor numérico de un segmento
Es la relación que existe entre el segmento y 
otro tomado como unidad. Así por ejemplo, si 
tomamos como unidad un segmento de longitud 
1 cm, para representar un segmento de mag-
nitud 5, lo trazaremos con una longitud igual a 
5 cm.
Razón entre dos segmentos
Dados dos segmentos de magnitudes a y b, lla-
mamos razón al valor que expresa el cociente 
entre ellos medidos con la misma unidad. Las 
cantidades comparables se denominan térmi-
nos de la razón.
Así por ejemplo, considerando un rectángulo que tenga por lado mayor 5 cm. y