Precálculo_Enfoque_de_resolución_de_problemas_Prado,_Santiago,_Aguilar

Vista previa del material en texto

Precálculo
Enfoque de resolución de problemas
Revisión técnica 
Leopoldo Zúñiga Silva 
Doctor en Ciencias en Matemática Educativa 
Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología, Instituto Politécnico Nacional (CICATA-IPN) 
Director del Departamento de Físico Matemáticas de la Escuela de Ingeniería y Ciencias 
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus San Luis Potosí
Eudaldo Rubio Güemes Lázaro Barajas de la Torre
Director Académico Director Académico
Rectoría de la Zona Metropolitana de la Ciudad de México Rectoría de la Zona Centro 
Tecnológico de Monterrey Tecnológico de Monterrey
Carlos Daniel Prado Pérez 
Departamento de Matemáticas
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
Campus Estado de México
Rubén Dario Santiago Acosta 
Departamento de Matemáticas
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
Campus Estado de México
Gerardo Pioquinto Aguilar Sánchez 
Departamento de Matemáticas
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
Campus Ciudad de México
Guillermo Rodríguez López 
Departamento de Matemáticas
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
Campus Guadalajara
Ma. de Lourdes Quezada Batalla 
Departamento de Matemáticas
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
Campus Estado de México
José Luis Gómez Muñoz 
Departamento de Matemáticas
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
Campus Estado de México
Blanca Rosa Ruiz Hernández 
Departamento de Matemáticas
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
Campus Monterrey
Araceli Florido Segoviano 
Departamento de Matemáticas
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
Campus Querétaro
Precálculo
Enfoque de resolución de problemas
Editor: Enrique Quintanar Duarte
e-mail: enrique.quintanar@pearsoned.com
Editor de desarrollo: Felipe Hernández Carrasco
Supervisor de producción: Rodrigo Romero Villalobos
Diseño de interiores y portada: Kariza, S. A. de C.V.
PRIMERA EDICIÓN, 2006
D.R. © 2006 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Atlacomulco 500-5º Piso
Industrial Atoto 
53519, Naucalpan de Juárez, Estado de México
Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031
Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmi-
tirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecáni-
co, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del
editor.
El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del
editor o de sus representantes.
ISBN 970-26-0671-3
Impreso en México. Printed in Mexico.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 – 08 07 06 05
Datos de catalogación bibliográfica
PRADO, SANTIAGO, AGUILAR, RODRÍGUEZ, 
QUEZADA, GÓMEZ, RUIZ y FLORIDO 
Precálculo. Enfoque de resolución de problemas 
�����������PEARSON EDUCACIÓN, México, 2006
ISBN: 970-26-0671-3
Área: Universitarios
Formato: 20 × 25.5 cm Páginas: 672
Unidad 1. Problemas de conteo (conjuntos) 1
1.1 El lenguaje de conjuntos 2
El lenguaje de conjuntos 3
Diagramas de Venn 5
1.2 Problemas de conteo 13
Cardinalidad de conjuntos 14
Probabilidad de eventos 20
Unidad 2. Expresiones algebraicas 29
2.1 Productos notables 30
Productos notables o especiales 31
2.2 Factorización 42
Factorización por agrupamiento y el máximo común divisor 43
Factorización de trinomios cuadrados perfectos 45
Factorización de otros productos notables 47
Factorización de trinomios cuadrados de la forma ax2 + bx + c 49
2.3 División de expresiones algebraicas 59
División de expresiones algebraicas 60
División sintética 64
Contenido
vi Contenido
2.4 Simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas 72
Dominio de una fracción algebraica 73
Simplificación de expresiones racionales 74
Multiplicación y división de fracciones algebraicas 75
2.5 Suma y resta de fracciones algebraicas 83
Mínimo común denominador de una suma o resta de fracciones 84
Suma y resta de fracciones 86
Fracciones complejas 89
2.6 Exponentes enteros 98
Exponentes enteros 99
2.7 Exponentes fraccionarios y radicales 112
Radicales 113
2.8 Números complejos 129
El conjunto de los números complejos 131
Operaciones con números complejos 132
Unidad 3. Ecuaciones 147
3.1 Ecuaciones lineales 148
Ecuación lineal 149
3.2 Sistemas de ecuaciones lineales 159
Ecuaciones lineales con varias variables 162
Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas 164
Métodos de solución 166
Tipos de solución 174
Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas 177
Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales
con tres incógnitas 179
Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones 186
3.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales 201
Ecuaciones cuadráticas 202
La fórmula general 203
Ecuaciones con radicales 212
3.4 Ecuaciones polinomiales 224
Funciones polinomiales 226
Resolución y factorización de una ecuación polinomial 227
Las posibles raíces de una función polinomial 233
viiContenido
Unidad 4. Desigualdades 251
4.1 Desigualdades 252
Definición de las relaciones < , >, ≤ , ≥ y notación de intervalos 253
Ejemplos sobre las definiciones de desigualdades 254
Ejemplos sobre intervalos 257
Propiedades de las desigualdades 258
Ejemplo de la demostración de una propiedad 260
Solución de desigualdades 260
Resolución de problemas que involucran desigualdades 267
4.2 Valor absoluto 278
Ejemplos de la aplicación del concepto de valor absoluto
de un número real 280
Definición de distancia entre dos puntos de una recta numérica real 281
Ejemplos de cómo determinar la distancia entre dos puntos en 
la recta numérica real 281
Valor absoluto en ecuaciones y desigualdades 281
Algunas propiedades del valor absoluto 283
Unidad 5. Trigonometría 291
5.1 Ángulos 292
Ángulos 293
Medida en grados y en radianes 295
Conversión de grados a radianes y viceversa 298
Longitud de un arco circular y el área de un sector circular 302
5.2 Funciones trigonométricas 316
Definición de las funciones trigonométricas 317
5.3 Funciones trigonométricas de ángulos especiales 333
Manejo de ángulos especiales: 0°, ±90°, ±180° 334
Funciones trigonométricas de triángulos rectángulos 336
Manejo de ángulos especiales: ±30°, ±60°, ±45° 339
Identidades de paridad 341
5.4 Identidades fundamentales 351
Identidades fundamentales o básicas 354
Demostración de otras identidades 357
viii Contenido
Unidad 6. Geometría analítica 371
6.1 Recta 372
Líneas rectas: ecuación, gráfica, pendiente, intersecciones
con los ejes 373
Líneas paralelas y líneas perpendiculares 383
Gráfica de sistemas de desigualdades lineales 388
Distancia de un punto a una recta 392
6.2 Circunferencia 405
Ecuaciones de la circunferencia 406
Circunferencias, circunferencias degeneradas y circunferencias 
complejas 412
6.3 Parábola 419
Parábola 420
6.4 Elipse 432
Elipse 433
Más sobre elipses 439
6.5 Hipérbola 453
Hipérbola 454
Asíntotas, hipérbolas degeneradas y gráficas de hipérbolas 457
Unidad 7. Funciones 473
7.1 Conceptos básicos de funciones 474
Concepto de función 475
Variable dependiente, variable independiente, dominio e imagen 
de una función 476
Formas de representación para una función 477
Efectos geométricos en la gráfica de una función 479
7.2 Modelación 499
Planteamiento matemático de relaciones funcionales 500
7.3 La función lineal 512
La función lineal 513
Crecimiento y decrecimiento 513
Modelación de funciones lineales 514
7.4 La función cuadrática 525
Análisis de la gráfica de una función cuadrática 526
Modelación de problemas que dan lugar a una función cuadrática 530
ixContenido
7.5 Funciones que forman parte de una cónica 540
Graficación de funciones 541Análisis de crecimiento y decrecimiento 541
Modelación de problemas 552
Graficación de funciones seccionadas 556
Modelación de problemas 559
7.6 Funciones polinomiales 573
Funciones potenciales 574
Funciones polinomiales 578
Máximos y mínimos de funciones polinomiales 585
7.7 Funciones racionales 601
Funciones racionales 602
7.8 Funciones trigonométricas 613
Funciones trigonométricas 614
Otras funciones trigonométricas 623
Las funciones trigonométricas inversas 629
El siglo que ahora vivimos se caracteriza, entre diversas cualidades, por cambios que
ocurren en todos los ámbitos del quehacer humano. El advenimiento de las tecnologías
de información está transformando nuestras vidas de manera inusitada al darnos grandes
posibilidades de acceso a información y, sobre todo, de interacción con personas de to-
dos los lugares del mundo.
Las computadoras que se desarrollaron inicialmente con finalidades de cómputo se
han transformado adicionalmente en poderosos instrumentos de comunicación, organi-
zación y acceso a información, provocando que la rapidez de los cambios se esté acele-
rando, por lo que saber hacer frente a esta dinámica situación constituye ahora un factor
clave para el éxito en la vida.
Para dar respuesta al creciente cúmulo de información, y lograr transformarla en co-
nocimientos que impulsen el desarrollo de la sociedad, se necesita mantenerse al día
aprendiendo por cuenta propia o por otros medios. Lograr este tipo de aprendizaje re-
quiere asegurar la existencia de bases fundamentales constituidas por conocimientos
esenciales, particularmente los provenientes de los diversos campos de la matemática.
Es, en este contexto, que me complace presentar este libro que tiene como propósito
asegurar el aprendizaje de los conocimientos matemáticos esenciales para abordar de
manera exitosa los diversos dominios de la matemática requeridos en el nivel universi-
tario.
El libro ha sido el resultado de la colaboración de profesores entusiastas de diversos
campus del Tecnológico de Monterrey, que basados en su experiencia, incluyeron acti-
vidades individuales y de colaboración relacionadas con la vida diaria, que permitirán
estimular en los alumnos el desarrollo de cualidades necesarias para desempeñarse con
éxito en su futura vida profesional.
Los autores han enfatizado el aprendizaje significativo considerando los diversos
estilos de aprendizaje de los estudiantes, con el fin de conducirlos a profundizar en el
análisis del conocimiento y orientarlos a la observación, planteamiento y resolución de
Presentación
xii Presentación
problemas. Adicionalmente se ha aprovechado el uso de tecnologías computacionales
basadas en hojas de cálculo, para así asegurar la comprensión de los conceptos y apro-
vechar aplicaciones computacionales no especializadas, de amplia disponibilidad.
Se trata así de un libro en el que los estudiantes aprenderán a partir del “hacer”, lo
que a su vez les formará “ser”, dándoles una formación analítica. No se trata solamente
de lo que podrán hacer con las matemáticas, sino lo que las matemáticas harán por quie-
nes las estudien.
Lázaro Barajas de la Torre
Director Académico
Rectoría de la Zona Centro
Tecnológico de Monterrey
Prólogo
Distingue lo que puede servir en el problema que estés tratando;
más tarde, al resolver otros problemas, intenta descubrir el mo-
delo general que subyace en el fondo de la situación concreta
que afrontas.
GEORGE POLYA
Escribimos este trabajo pensando en que tú, como estudiante universitario, requieres,
además del conocimiento, las habilidades que desarrolla una ciencia tan antigua y útil
como las matemáticas. Consideramos que lograrás el éxito en su estudio teniendo un ba-
gaje mínimo de conocimientos y una mente abierta. Ayudará, por supuesto, tu gusto por
el trabajo y tu deseo, tal vez apenas incipiente, de aprender. Nos gustaría que intentes
ser de las personas que responden bien a los desafíos y que, además de escuchar, te gus-
te participar activamente en el quehacer matemático. Por esta razón, consideramos que,
por un juicio preconcebido, no debes pensar que esta ciencia poco te ofrecerá para tu for-
mación profesional. 
El libro de matemáticas que tienes en tus manos incluye temas de muchas áreas de la
disciplina. En cada uno discutimos conceptos y presentamos ejemplos suficientemente
elaborados, que te ayudarán a resolver problemas más complejos. Nuestra intención es
que desarrolles tus habilidades matemáticas hasta el grado en que seas capaz de plantear
estrategias y resolver problemas utilizando las herramientas básicas que ofrece el texto.
Por lo tanto, nuestra propuesta didáctica se basa en el aprendizaje de las matemáticas
mediante la solución de situaciones reales o simuladas, cuyo fundamento es nuestra ex-
periencia en la enseñanza de las matemáticas universitarias, y en las investigaciones que
hemos realizado sobre las estrategias de aprendizaje que utilizan los estudiantes, así co-
mo en las metodologías didácticas que fomentan aprendizajes y habilidades intelectua-
les de alto nivel.
xiv Prólogo
En cada una de las secciones, encontrarás que el texto muestra situaciones que ofre-
cen la posibilidad de visualizar la utilidad de los conceptos discutidos. Estos problemas
pertenecen a muy diversas áreas; algunos de ellos han sido planteados y resueltos por la
humanidad desde tiempos remotos; en tanto que otros más tienen que ver con cuestiones
que corresponden a nuestros tiempo y circunstancias. Nuestra propuesta incluye, por
lo tanto, el principio de que “aprende mejor quien reconoce la importancia de aprender lo
que aprende”. 
La obra se escribió para cubrir las matemáticas universitarias previas al cálculo.
Nuestro objetivo consiste en presentar y discutir conceptos que ayuden posteriormente a
comprender las ideas fundamentales del cálculo diferencial e integral. 
En forma paralela incorporamos prácticas de exploración computacional que utilizan
el paquete Excel. Dichas prácticas tienen dos objetivos: el primero es que los conceptos
matemáticos se exploren utilizando tecnología, y el segundo, que la herramienta sirva
para resolver problemas más complejos.
También hemos buscado un adecuado equilibrio entre el trabajo individual y el traba-
jo en equipos pequeños. Para el primero se proponen actividades rutinarias de solución
de ejercicios; mientras que para el segundo se sugieren actividades más ambiciosas que,
por su complejidad, requieren de un estudio colectivo. 
El texto inicia con un capítulo sobre conjuntos. La importancia del tema reside en que
buena parte del saber matemático actual se basa en este concepto. Marcamos el capítulo
con el principio de que los símbolos, más que una danza de entes extraños, deben ofre-
cer la posibilidad de transitar entre el lenguaje de las matemáticas y el lenguaje colo-
quial, con la finalidad de que tengan significado para el estudiante.
El capítulo 2 trata de las operaciones básicas del álgebra elemental. Mantenemos
nuestra idea fundamental de que el simbolismo matemático es un medio para lograr un
fin. En este caso, la función del álgebra no consiste en hacer desfilar símbolos, sino en
convertir o transformar expresiones de una en otra forma, la que sea más útil, para resol-
ver el problema que tengamos entre manos. Por lo tanto, partimos de la idea de que una
competencia adecuada en matemáticas tendrá que ver con la posibilidad de efectuar
transformaciones entre una forma algebraica y otra. 
En el capítulo 3 hacemos nuestra la concepción de uno de los científicos más grandes
de todos los tiempos; a saber: “El idioma del álgebra es la ecuación. Para ver un proble-
ma referente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho
problema del lenguaje coloquial al idioma algebraico (Newton)”. Por esta razón el capí-
tulo 3 se dedica en su totalidad al estudio de las ecuaciones, desde las lineales hasta las
más elaboradas, como las ecuaciones polinomiales y las que implican radicales.
Las desigualdades también juegan unpapel preponderante en las aplicaciones. Por
ello, el capítulo 4 aborda su estudio partiendo de las definiciones, propiedades y notacio-
nes básicas, hasta algunas posibles aplicaciones.
En el capítulo 5 tratamos con la materia prima de los conceptos relacionados con fe-
nómenos periódicos y diversas relaciones angulares; es decir, la trigonometría, que en su
forma más básica estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo rec-
tángulo. Sin embargo, las aplicaciones modernas abarcan varios tipos de problemas que
tienen poco o nada que ver con esto, como, por ejemplo, fenómenos periódicos como el
sonido, la luz, las ondas eléctricas, los ciclos en las finanzas y los movimientos planeta-
rios. De las aplicaciones mismas se intuye la importancia de este capítulo.
El capítulo 6 está dedicado a un tema en extremo importante: la geometría analítica.
Nuevamente tenemos aquí el interés de presentar los conceptos más significativos, sin
perder de vista la potencial utilidad de una de las herramientas matemáticas más pode-
rosas en la aplicación de diversas áreas. 
xvPrólogo
Finalmente, el capítulo 7 se dedica al estudio de las funciones. Tal vez éste sea uno
de los capítulos más interesantes que componen el libro, a causa de la riqueza de sus
aplicaciones, que van desde asuntos cotidianos hasta aplicaciones que sorprenden por lo
inesperado. Cabe indicar que este capítulo, junto con el resto del material, ofrece una ex-
celente introducción al cálculo. Discutimos varios modelos que involucran funciones,
gráficas y tablas numéricas, de las que conjeturamos métodos que después aparecerán
relacionados con el importantísimo concepto de derivada del cálculo diferencial, que no
se presenta en este trabajo.
No han sido pocas las dificultades que hemos enfrentado para escribir esta obra; sin
embargo, esperamos que lo que aquí encuentres sea novedoso; quizá no tanto en cuanto
al desarrollo de la teoría presentada, pero sí en el enfoque de varios de sus temas y en la
presentación de muchos de sus problemas, que se pensaron para darle un alto grado de
significancia a los conocimientos. 
Unidad
Problemas de 
conteo (conjuntos)
Contenido de la unidad
1.1 El lenguaje de conjuntos
1.2 Problemas de conteo
Introducción a la unidad
¿Te interesa la política? ¿Te interesa saber quién va a gobernar tu país, afectando con sus decisiones tu vida dia-
ria? Las encuestas son herramientas muy importantes para conocer la opinión y las preferencias de la gente. Desde
hace varios años, cada elección política viene precedida por una lluvia de encuestas en la televisión y en los perió-
dicos sobre la “intención de voto” para cada candidato. De hecho, al final de la elección las “encuestas de salida”
de los medios de comunicación anuncian al ganador mucho antes que se den a conocer los resultados oficiales. Si
la diferencia entre los votos ganados por cada candidato es grande, los resultados de las encuestas predicen con se-
guridad quién es el ganador. Sin embargo, en casos donde la elección es muy cerrada, los resultados de las encues-
tas no coinciden con el resultado oficial final. El ejemplo más famoso es el de la elección presidencial del año 2000 en
Estados Unidos, cuando algunos medios de comunicación internacionales, basándose en sus encuestas, informaron
erróneamente que el candidato Al Gore le había ganado a George W. Bush la presidencia de ese país. Tal situación
deterioró fuertemente la credibilidad del público internacional, tanto en los medios de comunicación como en la
elección misma. Como verás, es muy importante saber qué se puede asegurar y qué no al interpretar los resultados
de una encuesta.
Los temas de teoría de conjuntos que estudiarás en esta unidad sirven precisamente para organizar e interpretar
los resultados de las encuestas, incluso en términos de probabilidades. De hecho, muchos de los ejercicios de con-
juntos comienzan “Se realizó una encuesta en…”. Cabe mencionar que la importancia de la unidad va todavía más
lejos, ya que las matemáticas, básicas o avanzadas, tienen su fundamento en la teoría de conjuntos.
2 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
Es razonable pensar que lo que lees no tiene sentido para ti, en tanto no veas de manera
clara alguna posible utilidad de este lenguaje; por ello, considera la siguiente situación:
Competencia automotriz
A una revista de automovilismo le interesa estudiar la preferencia que la gente de
la zona metropolitana tiene sobre las marcas de automóviles disponibles en el
mercado. De manera particular, se desea fijar la atención en las marcas Ford,
Chevrolet y Chrysler. Una encuesta aplicada a 1600 propietarios de al menos un
auto de modelo reciente, mostró la siguiente información: 801 poseen un Ford,
900 un Chevrolet, 752 un Chrysler, 435 un Ford y un Chevrolet, 398 un Ford y
un Chrysler, 412 un Chevrolet y un Chrysler, 310 uno de cada una de las tres mar-
cas y el resto alguno de las marcas restantes.
La simple lectura del párrafo anterior en lenguaje coloquial servirá para ver la maraña
que se ha formado. La organización de datos y relaciones, en tales términos, no parece
tarea sencilla; sin embargo, la teoría de conjuntos te será útil para organizar la maraña,
te ayudará a sintetizar su información y, lo que es más importante aún, te facultará para
interpretarla. 
1.1 El lenguaje de 
conjuntos
Admitámoslo, el estudio de las mate-
máticas es una locura divina del espíri-
tu humano, un refugio ante la urgencia
aguijoneante de los sucesos apremiantes. 
Alfred North Whitehead
Introducciónn
En la vida diaria agrupamos continuamente objetos de la misma naturaleza. En
matemática a tal colección se le llama conjunto, en tanto que a los objetos
que lo componen se les llama elementos. En consecuencia, el concepto de
conjunto es simplemente una generalización de una idea que ya es algo co-
mún en la cotidianidad. Más aún, el desarrollo moderno de la matemática re-
posa sobre el concepto de conjunto, así que si supieras un poco de teoría de
conjuntos tendrías una comprensión mucho mayor del lenguaje de las mate-
máticas. 
31.1 El lenguaje de conjuntos
El lenguaje de conjuntos
Igual que ocurre con el estudio de cualquier otro lenguaje, iniciaremos el estudio del len-
guaje de las matemáticas estableciendo un vocabulario básico que contiene las palabras
que son esenciales en la construcción de los enunciados propios de nuestra ciencia. 
Las matemáticas constituyen un lenguaje exacto, que requiere palabras sencillas, aun-
que bien definidas, y la estricta observancia de sus reglas. Una frase en matemáticas de-
be transmitir un mensaje exacto a quien la lea. Frases cuyo significado no es claro y
aquellas que admiten más de una interpretación no pueden ser toleradas en este lengua-
je. El escritor de una frase matemática tiene que saber lo que quiere decir,y estar seguro
de que la frase expresa el mensaje que desea transmitir. Como regla general, las frases
en matemáticas, breves y sencillas, se expresan por medio de símbolos. Un símbolo en
matemáticas, traducido al lenguaje coloquial, puede requerir muchas palabras. En con-
secuencia, una frase matemática sería muy breve en comparación con la frase que ha de
construirse en otro lenguaje para decir lo mismo. Dentro de esta búsqueda por sintetizar
ideas, el lenguaje de conjuntos constituye un poderoso recurso. 
La siguiente tabla te ofrece un resumen del vocabulario básico de la teoría de conjun-
tos; en la tercera columna encontrarás una breve “traducción” de los símbolos al lengua-
je coloquial:
Objetivos
Al terminar la sección, serás capaz de “traducir” una expresión que involu-
cre conjuntos y sus operaciones al lenguaje común y viceversa.
símbolo traducción
nombre
matemático
U Conjunto universal Colección de números, objetos o ideas “del mismo
tipo” que abarca la totalidad de elementos en una dis-
cusión particular.
x H U Pertenencia Cada número, objeto o idea que comprende U es lla-
(léase: x pertenece a U) mado elemento de U. Es costumbre designar a losele-
mentos con minúsculas.
A Conjunto A es una parte de U determinada por una ley de elegi-
bilidad.1 Es costumbre designar a los conjuntos con
mayúsculas.
x x A No pertenencia Número, objeto o idea que “no pasa” la ley de elegibi-
(léase: x no pertenece a A) lidad que define al conjunto A. 
Tabla 1.1 Vocabulario básico del lenguaje de conjuntos
4 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
1 La ley de elegibilidad para un conjunto A debe estar definida clara-
mente, de tal modo que:
• sea posible examinar a cada elemento de U y decidir si pertenece
o no pertenece a A,
• cada elemento de U pertenece al conjunto A o no pertenece a A.
Se usan llaves para colocar los elementos de un conjunto o la ley de
elegibilidad del conjunto. Por ejemplo: A = {2, 4, 6, 8} = {x H N :x
es un número par menor que 10}, aquí N = conjunto de todos los
números naturales, o enteros positivos; en el ejemplo, “x es un nú-
mero par menor que 10” es la ley de elegibilidad.
2 Cada elemento del conjunto universal debe pertenecer ya sea a A o
a su complemento Ac.
3 A B equivale a B ⊃ A, A B; también se lee: A está contenido
en B, mientras que B ⊃ A se lee: B contiene a A.
4 Si A ∩ B = ∅ se dice que A y B son ajenos entre sí. Lo anterior sig-
nifica que no tienen elementos en común.
Los siguientes son resultados básicos de la teoría de conjuntos:
⊃⊃
A´ o Ac (léase: A complemento) Complemento Ac es el conjunto de todos los elementos que estando 
de A en U en U no pasan2 la ley de elegibilidad que define al con-
junto A.
A B (léase: A es un Inclusión de 3Se escribe cuando cada elemento de A pertenece
subconjunto de B) conjuntos también a B.
A = B Igualdad de Cada elemento de A pertenece a B y viceversa.
conjuntos
∅ Conjunto vacío Es el único subconjunto de U que carece de elementos. 
A ∪ B (léase: A unión B, Unión de conjuntos Este nuevo conjunto se forma con los elementos que 
o bien, “A o B”) pertenecen a A o a B o a ambos. 
A ∩ B (léase: A intersección B, Intersección Este conjunto4 se forma con los elementos que son co-
o bien, “A y B”) de conjuntos munes tanto a A como a B. 
A − B (léase: A diferencia B, Diferencia Este conjunto consta de los elementos que pertenecen 
o bien, complemento de B de conjuntos a A, pero no a B.
respecto de A)
⊃⊃
1. En toda discusión se tiene que: ∅ (A (U.
2. A y B son ambos subconjuntos de A ∪ B; esto es, A A ∪ B y B
A ∪ B.
3. A ∩ B es subconjunto tanto de A como de B, es decir, A ∩ B A y
A ∩ B B.⊃
⊃
⊃⊃
51.1 El lenguaje de conjuntos
Diagramas de Venn
Las ideas de conjunto y subconjunto, así como las operaciones referentes a la combina-
ción de ambos pueden ilustrarse gráficamente por medio de los llamados diagramas de
Venn (en honor a John Venn, matemático y lógico inglés). En dichos diagramas se repre-
senta al conjunto universal U con un rectángulo y se usan regiones encerradas por cur-
vas simples (generalmente círculos), dibujadas dentro del rectángulo, para representar
los conjuntos que intervienen. A continuación se muestran representaciones gráficas de
algunas de las operaciones de conjunto que ya fueron descritas.
4. A − B A, además los conjuntos, A − B, A ∩ B y B − A son mutua-
mente ajenos, es decir, la intersección de dos cualesquiera de ellos es
el conjunto vacío.
5. A ∪ Ac = U, mientras que A ∩ Ac = ∅.
6. A − B = A ∩ Bc.
7. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) y A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);
a éstas se les conoce como leyes distributivas.
8. (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc y (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc; a éstas se les conoce como
leyes de De Morgan.
⊃
Intersección de conjuntos Unión de conjuntos
Conjunto diferencia: B-A
A unión B menos la intersección de A y B
Conjunto diferencia: A-B
Complemento de la unión de A con B
A B
A B A B
A B A B
A B
6 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
solución
solución
Ejemplos
Ejemplo 1
Convierte a lenguaje de conjuntos las siguientes proposiciones textuales:
a) x no pertenece a A.
b) B es un conjunto que contiene al conjunto A.
c) d es un elemento de A y B.
d) A no es subconjunto de B o C.
a) x x A
b) B ⊃ A
c) d H A ∩ B
d) A X B ∪ C
Ejemplo 2
Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, C = {2, 4, 8, 9}, D = {4, 5}, E = {2, 4} y F = {2}. Sea
X un conjunto desconocido. Determina cuáles de los conjuntos A, B, C, D, E o F pueden ser iguales
a X si se conoce la siguiente información:
1. X A y X B, 2. X X B y X C, 3. X X A y X X C, 4. X B y X X C
1. El único conjunto que es subconjunto de A y de B es D; C, E y F no son subconjuntos de B porque
2 H C, E, F, pero 2 x B.
2. El conjunto X puede ser igual a C, E o F, pues éstos son subconjuntos de C y, como ya se vio, no son
subconjuntos de B. 
3. Sólo B no es subconjunto de A ni de C. D y A son subconjuntos de A; C, E y F son subconjuntos de C.
Por lo tanto, X = B.
4. Tanto B como D son subconjuntos de B, pero no son subconjuntos de C. Los demás conjuntos dejan de
cumplir al menos una de las condiciones. Por lo tanto, X = B o X = D.
Ejemplo 3
Se lanzan dos dados normales y se anotan los resultados (x1, x2), en donde xi es el resultado del i-ésimo
dado i = 1, 2. Determina:
a) La colección de todos los resultados que componen al conjunto universo U de esta situación.
b) Sea A el conjunto que consta de todas las parejas (x1, x2), tales que la suma de los números de los
dos dados es 10. Escribe al conjunto A usando su ley de elegibilidad, después indica las parejas de
resultados de U que lo componen.
⊃⊃⊃⊃
71.1 El lenguaje de conjuntos
solución
solución
c) Si B es el conjunto que consta de las parejas (x1, x2), tales que el primer dado aparece con un núme-
ro mayor que el segundo, describe al conjunto B usando su ley de elegibilidad, después indica las
parejas de U que lo componen.
d) Determina el conjunto que cumple las condiciones en (b) y en (c).
e) Encuentra el conjunto que cumple con la condición en (b), pero no en (c).
a) U = {(1, 1), (1, 2),..., (1, 6), (2, 1),..., (2, 6),..., (6, 1),..., (6, 6)}
b) A = {(x1, x2) H U :x1 + x2 = 10} = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
c) B = {(x1, x2) H U :x1 > x2} = {(2, 1), (3, 1), (3, 2),..., (6, 4), (6, 5)}
d) A ∩ B = {(x1, x2) H U :x1 + x2 = 10, x1 > x2} = {(6, 4)}
e) A − B = {(x1, x2) H U :x1 + x2 = 10, x1 ≤ x2} = {(4, 6), (5, 5)}
Ejemplo 4
Una fábrica produce fusibles para uso doméstico. Su departamento de control de calidad decide tomar
dos cajas, llamadas caja 1 y caja 2, de un lote de la producción de la última semana. Si un fusible es
defectuoso, se le asigna la letra D; si no lo es, la letra N. Al examinar dos fusibles, uno de cada caja, se
producen parejas cuyas componentes son D o N. Por ejemplo, (D, N) significa que el fusible de la pri-
mera caja resultó defectuoso, mientras que el fusible de la segunda caja no resultó defectuoso. Sea A1
el conjunto en donde el primer fusible es defectuoso, A2 el conjunto en donde el segundo fusible es de-
fectuoso. Escribe en la notación de conjuntos y determina todos los elementos que corresponden a cada
una de las siguientes descripciones:
a) Al conjunto universal de la situación.
b) Al conjunto que describe que exactamente uno de los dos fusibles extraídos es defectuoso.
c) Al conjunto que describe que ninguno de los dos fusibles extraídos es defectuoso.
d) Al conjunto que describe que al menos uno de los dos fusibles es defectuoso.
e) Al conjunto que describe que el número de fusibles defectuosos sea uno como máximo.
a) U = {(D, D), (D, N), (N, D), (N, N)}
b) Notamos que A1 = {(D, D), (D, N)} y que A2 = {(D, D), (N, D)}. Ahora bien, A
c
1, por ejemplo, significa
que A1 no se cumple, es decir, que el fusible extraído de la caja 1 es no defectuoso. Por lo tanto, la des-
cripción coloquial de este inciso corresponde a: (A1 ∩ A
c
2 ) ∪ (A
c
1 ∩ A2) en el lenguaje de conjuntos. Se
tiene, en consecuencia:
(A1 ∩ A
c
2 ) ∪ (A
c
1 ∩ A2) = {(D, N), (N, D)}
c) La descripción de este inciso corresponde a Ac1 ∩ A
c
2 ={(N, N)}.
d) Ahora la descripción corresponde a: A1 ∪ A2 = {(D, D), (D, N), (N, D)}.
e) La última descripción corresponde al conjunto: Ac1∪ A
c
2 ={(N, D), (N, N), (D, N)}.
solución
8 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
Ejemplo 5
Una compañía de seguros se interesa en la distribución de edades de las parejas. Sea x la edad del ma-
rido y y la edad de la esposa. Cada observación da como resultado una pareja de números (x, y).
Considera como conjunto universal U al primer cuadrante del plano x, y, de manera que cada punto con
x > 0 y y > 0 es un elemento de U. 
Primera parte
Describe cada uno de los siguientes conjuntos:
a) El conjunto A: “el marido es mayor de 40”.
b) El conjunto B: “el marido es mayor que la esposa”.
c) El conjunto C: “la esposa es mayor de 40”.
Segunda parte
“Traduce” al español cada uno de los siguientes enunciados del lenguaje de conjuntos, donde A, B y C
son los conjuntos de la primera parte.
a) A ∩ B; ¿tiene la esposa más de 40 años?
b) A ∩ Bc; ¿es la esposa mayor o menor de 40 años?
c) A ∩ C; ¿quién tiene más edad: el esposo o la esposa?
d) A ∪ C; ¿son los dos menores de 40 años?
e) (A ∪ B)c ∩ C; ¿por qué se puede reducir este conjunto a Ac ∩ C?
Primera parte
a) El conjunto A está representado por todos los puntos del primer cuadrante a la derecha de la recta ver-
tical x = 40.
b) B está representado por la zona angular del primer cuadrante entre el eje x y la bisectriz y = x.
c) El conjunto C está representado por todos los puntos del primer cuadrante colocados por encima de la
recta horizontal y = 40.
Segunda parte
a) A ∩ B: el marido es mayor de 40 años y mayor que su esposa. No puede afirmarse nada respecto de la
edad de la esposa.
b) A ∩ Bc: el marido es mayor de 40, pero no mayor que su esposa; por lo tanto, la esposa tiene más de 40
años.
c) A ∩ C: la mujer y el marido son mayores de 40 años. Con esta información no puede precisarse quién
es mayor.
d) A ∪ C : por lo menos uno de ellos es mayor de 40 años. La pregunta debe responderse negativamente.
e) Por una de las leyes de De Morgan: (A ∪ B)c ∩ C = Ac ∩ Bc ∩ C : el marido tiene menos de 40 años o
el marido es menor que la mujer y ella tiene más de 40 años; por lo tanto, si el marido tiene menos de
40 años y la mujer más de 40 años, luego el marido es menor que la mujer; entonces podemos prescin-
dir de Bc.
91.1 El lenguaje de conjuntos
Ejercicios 
y problemas
Problemas para trabajar en equipo
1. Si A = {x H N :3x = 9} y b = 3, ¿es b = A?
2. Si M = {r, s, t}, indica cuáles de las afirmaciones son correctas o incorrectas. Si alguna es incorrecta,
señala por qué lo es:
a) r H M, b) r M, c) {r} H M, d) {r, s} M
3. Sea A un subconjunto de B y B un subconjunto de C. Suponiendo que a H A, b H B, c H C y, ade-
más, d x A, e x B, f x C, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
a) a H C, b) b H A, c) c x A, d) d H B, e) e x A, f ) f x A
4. Un juego de azar, similar al juego de la ruleta, arroja 12 posibles resultados numerados como 1, 2,
3,…, 12. Dos jugadores, Antonio y Blanca, participan y deciden jugar con los números: {1, 2, 3, 4} y
{3, 5, 6}, respectivamente; esto es, si en el juego sale alguno de los números elegidos entonces el juga-
dor correspondiente gana. Cabe decir que entre más números escojan, más costosa será su partida. De-
termina cada uno de los siguientes conjuntos.
a) El conjunto universal y los conjuntos de números con los que ganan Antonio o Blanca.
b) El conjunto de números con los que no ganan ni Antonio ni Blanca.
c) El conjunto de números con los que gana exactamente uno de los jugadores.
d) El conjunto de números con los que gana por lo menos uno de los jugadores.
⊃⊃
Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes si-
tuaciones:
1. Competencia automotriz
Una revista de automovilismo está interesada en estudiar la preferencia que la gente de la
zona metropolitana tiene en cuanto a las marcas de automóviles disponibles en el mercado.
De manera particular, se desea fijar la atención en las marcas Ford, Chevrolet y Chrysler.
Una encuesta aplicada a 1600 propietarios de al menos un auto de modelo reciente, mostró
la siguiente información: 801 tienen un Ford, 900 un Chevrolet, 752 un Chrysler, 435 un
Ford y un Chevrolet, 398 un Ford y un Chrysler, 412 un Chevrolet y un Chrysler, 310 un au-
to de cada una de las tres marcas y el resto de los encuestados algún auto de las marcas
restantes.
Usen notación de conjuntos y sus operaciones para trasladar, al lenguaje matemático, cada
una de las siguientes descripciones dadas en el lenguaje coloquial:
El conjunto de propietarios:
a) De sólo una marca de vehículo.
10 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
b) De exactamente dos marcas de vehículo.
c) Que no poseen ninguna de las tres marcas de vehículo.
d) Con al menos un vehículo de alguna de las tres marcas.
e) De un vehículo cuando mucho de dos marcas.
2. De la vacuidad a la infinitud 
Si A = {1, 2, 3,…} y B = ∅ . Realicen los siguientes pasos:
a) Tomen los números 1 y 2 de A y colóquenlos en B. 
b) Cuando falte 1/2 hora para terminar su clase de matemáticas, saquen el número mayor de B,
tomen los números 3 y 4 del conjunto A y colóquenlos en B.
c) Un 1/4 de hora antes de que termine su clase de matemáticas, saquen el número mayor de B,
tomen los números 5 y 6 del conjunto A y colóquenlos en B.
d) Cuando falte 1/8 de hora antes de que termine su clase de matemáticas, saquen el número
mayor de B, tomen los números 7 y 8 del conjunto A y colóquenlos en B.
Si este procedimiento continúa así, ¿cuál es el conjunto B al terminar la clase? Una vez halla-
do el conjunto B, describan sus elementos a través de una ley de elegibilidad adecuada.
3. Preferencias televisivas
En esta actividad organizarás con tu equipo cierta información conforme a los siguientes li-
neamientos:
a) Cada miembro del equipo (considerando equipos con cuatro integrantes en promedio)
hará una entrevista a 20 personas e investigará sus preferencias televisivas en el horario de
9 a 10 de la noche. De manera más específica, investigará si la persona entrevistada ve al-
gún programa de TV Azteca, Televisa o televisión privada (sin distingo de la señal contra-
tada). 
b) Respondan a las siguientes preguntas:
• ¿Cuántas personas ven en el citado horario algún programa únicamente de TV Azteca?
¿De Televisa? ¿Cuántos ven sólo televisión privada?
• ¿Hay personas que ven dos programas de televisoras diferentes? ¿Hay quienes ven de los
tres tipos de televisión?
• ¿Hay personas que no ven televisión?
c) Sean A: el conjunto de personas que ven TVAzteca, B: el conjunto de personas que ven
Televisa y C: el conjunto de personas que ven televisión privada. El símbolo N(X) (léase:
cardinalidad del conjunto X) representa el número de elementos que contiene el conjunto X.
Coloquen la información del inciso (a) en un diagrama de Venn adecuado.
• Determinen la cardinalidad de cada uno de los siguientes conjuntos:
A − (B ∪ C); (A ∪ B ∪ C)c; A ∩ B ∩ C; A ∩ B
• Sin utilizar símbolos matemáticos, expresen en sus propias palabras el significado de ca-
da uno de los conjuntos del punto anterior.
111.1 El lenguaje de conjuntos
1. Indica la opción que contiene una descripción que no define a un conjunto.
a) A es el conjunto de los múltiplos de 2.
b) B es el conjunto de los números interesantes.
c) C es el conjunto de matrículas de estudiantes del ITESM.
d) D es el conjunto de los números x que satisfacen la ecuación x + 4 = 5.
2. Sea U = {copa, basto, espada, oro}, determina la opción que contiene la afirmación falsa.
a) basto ∈ { basto, espada}
b) {espada, oro} U 
c) Si A = {copa, basto}, B = {copa, basto, espada}, entonces:
d) {copa, espada, oro} ∈ U
3. Este problema refiere su descripción a la del problema 4 de la sección de ejercicios y proble-
mas. Así, sean U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}; supón ahora que juegan tres jugado-
res, cada uno de ellos decidiendo su juego, según se indica a continuación:
, , .
Elige la opción que contiene al conjunto que especificado en español se da a continuación:
“el juego es ganado exactamente por uno de losjugadores”.
a) {10, 11, 12}
b) {1, 2, 3}
c) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
d) {1, 2, 3, 10, 11, 12}
4. Para los conjuntos de las columnas A y B, relaciona los que son iguales.
Columna A Columna B
C = { , , }7 8 9B = { , , , , , }4 5 6 7 8 9A = { , , , , , }1 2 3 4 5 6
A B− = ∅
⊃
a) A = { 2 n +1: n es un número natural}
b) A = { x : x fue presidente de México antes
de 1815}
c) A = { 4 n: n es un número natural}
d) A = { x: x satisface la ecuación
2x2 + x − 1 = 0}
i. A = {Guadalupe Victoria, Vicente
Guerrero}
ii. A = {1/2, −1}
iii. A = {2 n: n es un número natural}
iv. A = {2k: k es un número natural par}
v. ∅
vi. A = {2 n −1: n es un número natural
mayor o igual a 2}
vii. A = {2 n −1: n es un número natural}
viii. A = {Guadalupe Victoria} 
12 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
Respuestas a los
Ejercicios y problemas
1. No, A = {3}, pero hay una diferencia fundamental entre un elemento x y el conjunto {x}.
2. a) Correcta
b) Incorrecta. El símbolo vincula a dos conjuntos, pero r no es un conjunto, sino un elemento de M.
c) Incorrecta. El símbolo ∈ vincula a un elemento con un conjunto, pero {r} es un subconjunto de M, no
un elemento de M.
d) Correcta. 
3. a) A es un subconjunto de C. Luego a ∈ A implica a ∈ C, así la afirmación es verdadera.
b) Como el elemento b ∈ B puede no ser elemento de A, la afirmación es falsa.
c) El elemento c ∈ C podría ser un elemento de A; por lo que c ∉ A podría no ser verdadera.
d) El elemento d, que no está en A, puede no estar en B; así que la afirmación podría no ser verdadera.
e) Como e ∉ B y A B, e ∉ A es verdadera.
f) Ya que f ∉ C y A B, f ∉ A es verdadera.
4. Si U designa al conjunto universal de la situación, A representa el conjunto de números con los que gana
Antonio y B el conjunto de números con los que gana Blanca; entonces:
a) , ,
b) 
c) 
d) A B∪ = { , , , , , }1 2 3 4 5 6
( ) ( ) { , , , , }A B A Bc c∩ ∪ ∩ = 1 2 4 5 6
A B A Bc c c∩ = ∪ =( ) { , , , , , }7 8 9 10 11 12
B = { , , }3 5 6A = { , , , }1 2 3 4U = { , , , , , , , , , , , }1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
⊃
⊃
⊃
Respuestas a los
ejercicios de autoevaluación
1. b) 
2. d)
3. b) 
4. (a, vi), (b, v), (c, iv), (d, ii)
131.2 Problemas de conteo
1.2 Problemas
de conteo
-—¡Ya lo tengo! -—gritó-—¡Es un juego de
niños! ¿Cómo lo sabes? —preguntó el señor
Bockel. -—¡Ooooh!-— respondió Robert-—,
se calcula sólo. Y tocó la estrellita
bajo su camiseta y pensó, agradecido,
en su diablo de los números.
Hans Magnus Enzensberger,
El diablo de los números
Introducciónn
La demografía es una ciencia donde se analizan elementos de la dinámica
poblacional como la natalidad y la mortalidad. En esta área suele usarse la
teoría de conjuntos como la base de un sistema de clasificación que considera
sexo, edad, composición urbano-rural, etcétera. Más aún, el conocimiento
del número de elementos que tienen los conjuntos usados permite, a los gober-
nantes, planear nuevos programas en salud, educación y seguridad, entre
otros. Con la siguiente situación, conocerás el potencial que tiene el contar
los elementos de un conjunto.
Relación entre alfabetización, edad y sexo
Resultados del XII Censo Nacional de Población y Vivienda, efectuado en Mé-
xico en el 2000, muestran que la dinámica poblacional depende del sexo y la
edad. Por ejemplo, para edades comprendidas entre ocho y 14 años se tiene
mayor proporción de hombres que de mujeres, en tanto que para edades supe-
riores la proporción cambia notablemente. Resultados relacionados con la al-
fabetización muestran una situación similar. En la tabla siguiente se muestran
los resultados clasificados por sexo, edad y grado de alfabetización. De acuerdo
con la información presentada ¿cuántos hombres y cuántas mujeres mayores
de ocho años no saben leer ni escribir? Considerando que la muestra es repre-
sentativa de la población, ¿cuál es la probabilidad de que un hombre, seleccio-
nado al azar, sea mayor de 14 años y no sepa leer ni escribir? Para responder
tales preguntas necesitaremos contar el número de elementos con un conjunto
finito y calcular la probabilidad de que suceda un conjunto de resultados en un
experimento aleatorio.
14 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
Cardinalidad de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos:
Claramente el conjunto A consta de seis elementos y el conjunto B de un número infini-
to de elementos. Es posible contar los elementos del conjunto B estableciendo una rela-
ción con el conjunto de los números enteros positivos. Por ejemplo, el primer número es
el 1, el segundo es el 3, el tercero es el 5, el cuarto el 7 y así sucesivamente. La diferen-
cia entre los dos conjuntos es el número de elementos que lo forman; para distinguirlos,
contamos con la siguiente definición:
A
B
= − −
=
{ , , , , , }
{ , , , , , , , ...}
2 1 7 9 11 55
1 3 5 7 9 11 13
Sexo
(total)
Alfabetización
(porcentaje)
Hombre Mujer Hombre Mujer 
Población de 8 a 14 años 7,707,486 7,522,440 94.9% 95.6% 
Población de 15 años y más 30,043,824 32,798,814 92.5% 88.6%
Objetivos
Al terminar la sección, deberás ser capaz de:
• Definir el concepto de cardinalidad de un conjunto finito.
• Determinar la cardinalidad de conjuntos finitos dados.
• Resolver problemas de conteo, utilizando diagramas de Venn y el concep-
to de cardinalidad.
• Utilizar diagramas de Venn para resolver problemas de probabilidad de
eventos. 
Definición
a) Un conjunto A es finito si contiene n elementos diferentes a1, a2, a3,.., an.
Decimos entonces que su cardinalidad, o número de elementos que lo forman,
es N(A) = n.
b) Un conjunto A es infinito si tiene un número infinito de elementos. Decimos
entonces que su cardinalidad es N(A) = ∞.
151.2 Problemas de conteo
Los conjuntos finitos tienen las propiedades siguientes:
Si A, B y C son conjuntos finitos, entonces:
1. A ∪ B y A ∩ B son finitos.
2. Si A y B son ajenos, entonces N (A ∪ B) = N(A) + N(B)
3. Si A B, entonces N (A) ≤ N(B)
4.
5.
6. N A B C N A N B N C N A B N A C
N B C N A B C
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩
− ∩ + ∩ ∩
N A B N A N B N A B( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩
N A B N A N A B( ) ( ) ( )− = − ∩
Las propiedades 1, 2 y 3 son evidentes por sí mismas. La propiedad 6 es una generaliza-
ción de la propiedad 5, así que sólo mostraremos las propiedades 4 y 5.
Demostración de la propiedad 4. Para demostrar la propiedad 4, considera que:
Aplicamos la operación de cardinalidad y la propiedad 2, entonces tenemos:
Finalmente, despejamos N(A − B) de la última relación para obtener:
Demostración de la propiedad 5. La propiedad 5 se deduce, considerando que:
Al calcular la cardinalidad, tenemos:
donde hemos usado las propiedades 2 y 4.
N A B N A B B A A B
N A B N B A N A B
N A N A B N B N A B N A B
N A N B N A B
( ) (( ) ( ) ( ))
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ),
∪ = − ∪ − ∪ ∩
= − + − + ∩
= − ∩ + − ∩ + ∩
= + − ∩
A B A B B A A B∪ = − ∪ − ∪ ∩( ) ( ) ( )
N A B N A N A B( ) ( ) ( )− = − ∩
N A N A B A B
N A B N A B
( ) (( ) ( ))
( ) ( )
= − ∪ ∩
= − + ∩
A A B A B= − ∪ ∩( ) ( )
⊃
16 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
solución
Ejemplos
Ejemplo 1
Juan y Carlos encuestaron a 350 mexicanos sobre sus preferencias para visitar Cancún y Acapulco en
las vacaciones. Cancún recibió 210 menciones, mientras que Acapulco recibió sólo 195. Doce de los
encuestados mencionaron que no les gustaría visitar ninguno de los dos lugares. ¿A cuántos les gusta-
ría visitar los dos lugares? ¿A cuántos les gustaría visitar sólo Cancún?
Sean
U = conjunto de todos los encuestados,
A = conjunto de las personas que desean visitar Acapulco, y
C = conjunto de las personas que desean visitar Cancún.
De los datos del problema, tenemos que:
El diagrama de Venn ilustra la situación:
Si usamos la propiedad 5, se tiene:
de donde se concluye que:
Concluimos que 67 personas quieren visitar los dos lugares. Para determinar el número de personas que
quieren visitar sólo Cancún usamos 
N(C − A) = N(C) − N(C ∩ A)
= 210 − 67 = 143.
Es decir, 143 personas quierenvisitar sólo Cancún.
N A C( ) .∩ = + − =195 210 338 67
N A C N A N C N A C
N A C
( ) ( ) ( ) ( ),
( ),
∪ = + − ∩
= + − ∩338 195 210
N A
N C
N U
N U AUC
N AUC
( ) ,
( ) ,
( ) ,
( ( )) ,
( )
=
=
=
− =
= − =
195
210
350
12
350 12 338
A-C C-AA∩C
A, 195 C, 210
U, 350
solución
171.2 Problemas de conteo
Ejemplo 2 
De 400 estudiantes que estudian inglés o francés en una escuela prestigiada, 60 toman clases de inglés
y francés simultáneamente. Si se sabe que hay tres veces más estudiantes que estudian inglés que fran-
cés, ¿cuántos estudiantes estudian francés? ¿Cuántos no estudian inglés?
Consideremos que:
x = número de quienes estudian sólo inglés.
y = número de los que estudian inglés y francés.
z = número de quienes estudian sólo francés.
El diagrama de Venn siguiente ilustra las condiciones del problema:
De los datos, tenemos:
De la figura, establecemos el sistema de ecuaciones:
El sistema se reduce a:
Despejando x de la primera ecuación y sustituyendo el resultado en la segunda ecuación, se obtiene:
x z
z z
= −
− + = +
340
340 60 3 60
,
( ).
x z
x z
+ =
+ = +
340
60 3 60
,
( ).
y
x y z
x y y z
=
+ + =
+ = +
60
400
3
,
,
( ).
N I F
N I F
N I N F
( ) ,
( ) ,
( ) ( ).
∪ =
∩ =
=
400
60
3
I F
x zy
solución
18 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
Despejando z se tiene:
El valor de x lo obtenemos usando 
Entonces, el número de alumnos que estudian francés es N(F) = y + z = 60 + 55 = 115. El número de
alumnos que no estudian inglés es z = 55.
Ejemplo 3
Se aplicó una encuesta a 1200 personas sobre sus pasatiempos favoritos. Los resultados indican que: a
720 les gusta el cine, 620 escuchan música, 700 hacen ejercicio, 420 hacen ejercicio y les gusta el ci-
ne, 314 escuchan música y les gusta el cine, 220 hacen ejercicio y escuchan música y sólo 17 realizan
las tres actividades.
a) ¿A cuántas personas no les gusta el cine, no escuchan música y no hacen ejercicio?
b) ¿Cuántas personas no escuchan música, pero sí van al cine y hacen ejercicio?
Sean:
C = conjunto de personas que van al cine.
M = conjunto de personas que escuchan música.
E = conjunto de personas que hacen ejercicio.
Y las variables ai:
a N C M E
a N C M E
a N C M E
a N C M E
a N C M E
a N C M E
a N C M E
c c
c c
c c
c
c
c
1
2
3
4
5
6
7
= ∩ ∩
= ∩ ∩
= ∩ ∩
= ∩ ∩
= ∩ ∩
= ∩ ∩
= ∩ ∩
( ),
( ),
( ),
( ),
( ),
( ),
( ).
x z
x
x
= −
= −
=
340
340 55
285
,
.
400 180 3
400 180 3
220 4
220 4
55
− = +
− = +
=
=
=
z z
z z
z
z
z
,
,
,
/ ,
.
191.2 Problemas de conteo
En el diagrama de Venn siguiente hemos colocado las variables ai
De los datos, sabemos que: a7 = 17 Usando nuevamente los datos del problema, se tiene:
de donde es simple determinar que: a4 = 297, a5 = 203, a6 = 403.
El primer diagrama de Venn se simplifica como sigue.
Usando nuevamente los datos y
se obtiene que: a1 = 3, a2 = 103, a3 = 77.
a
a
a
1
2
3
297 17 403 720
297 17 203 620
403 17 203 700
+ + + =
+ + + =
+ + + =
,
,
,
a a
a a
a a
4 7
5 7
6 7
314
220
420
+ =
+ =
+ =
,
,
,
C, 720
E, 700
M, 620
a1 a2
a3
a4
a7
a6 a5
C, 720
E, 700
M, 620
a1 a2
a3
297
17
403 203
20 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
Finalmente para responder a las dos preguntas, observamos que:
a) Cc ∩ Mc ∩ Ec = conjunto de personas que no les gusta el cine, no escuchan música y no hacen ejer-
cicio, y N(Cc ∩ Mc ∩ Ec) = 1200 − 3 − 103 − 77 − 403 − 297 − 203 − 17 = 97.
b) C ∩ Mc ∩ E = conjunto de personas que no escuchan música pero sí van al cine y hacen ejercicio,
y N(Mc ∩ C ∩ E) = a6 = 403.
Probabilidad de eventos
Consideremos el conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Este conjunto puede representar los re-
sultados posibles al lanzar un dado. Cada uno de los resultados tiene una probabilidad
de ocurrir. Nos preguntamos ¿cuál es la probabilidad de que salga un
número par al lanzar un dado? En ese caso, la respuesta es . La pro-
babilidad es una forma de determinar la proporción de ocurrencias de un cierto resulta-
do con respecto a todos los resultados posibles en un experimento aleatorio. Definimos
algunos conceptos de probabilidad que nos serán útiles posteriormente.
P A
N A
N S
( )
( )
( )
= =3
6
P
N S
= =1
6
1
( )
Definición
1. El espacio muestral S es el conjunto de todos los resultados de un experi-
mento aleatorio.
2. Un evento A es un subconjunto del espacio muestral.
3. La probabilidad del evento A, en espacios donde todos los resultados son
igualmente probables, es:
P A
N A
N S
casos a favor
casos posibles
( )
( )
( )
= =
Si A, B y C son eventos y S es el espacio muestral, entonces:
1. P(S) = 1
2. 0 ≤ P(A) ≤ 1
La probabilidad de un evento A tiene propiedades similares a la función cardinalidad. La
razón es que la probabilidad y la cardinalidad de un conjunto A son proporcionales.
Enunciamos, sin demostración, las propiedades de la probabilidad de un evento A:
211.2 Problemas de conteo
3. P(A) + P(Ac) = 1
4. Si A B, entonces P(A) ≤ P(B)
5.
6. 
7. P A B C P A P B P C P A B P A C
P B C P A B C
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩
− ∩ + ∩ ∩
P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩
P A B P A P A B( ) ( ) ( )− = − ∩
solución
Ejemplos
Ejemplo 4
La probabilidad de que un esposo vote en la próxima elección presidencial es 0.7, la probabilidad de
que su esposa vote es 0.6, la probabilidad de que los dos voten es 0.45. ¿Cuál es la probabilidad de que 
a) ninguno vote?
b) un esposo vote y su esposa no? 
Sean A y B los eventos
A = el esposo vota y
B = la esposa vota
De los datos del problema, se tiene que P(A) = 0.7, P(B) = 0.6, P(A ∩ B) = 0.45. Entonces
a) Para responder la pregunta a), usamos:
P(ninguno vote) = 1 − P(A ∪ B)
= 1 − 0.85
= 0.15
b) para responder la pregunta b), observamos que:
P(un esposo vote y su esposa no) = P(A ∩ Bc)
= P(A) − P(A ∩ B)
= 0.7 − 0.45
= 0.25
P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )
. . .
.
∪ = + − ∩
= + −
=
0 7 0 6 0 45
0 85
⊃
solución
22 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
Ejemplo 5 
Se aplicó una encuesta a 750 personas en septiembre de 2004 sobre inseguridad en el Distrito Federal.
A los encuestados se les hicieron las preguntas:
P1: ¿Ha sido víctima alguna vez de algún delito?
P2: ¿Ha notado aumento en la inseguridad?
P3: ¿La autoridad hace lo suficiente para reducir la inseguridad?
Después de capturar las respuestas, se encontró que 277 personas respondieron afirmativamente la pre-
gunta P1, 293 la pregunta P2 y 270 la pregunta P3. Además, 120 respondieron afirmativamente las
preguntas P1y P2, 132 la P2 y la P3, 125 la P1 y la P3, y 74 las tres preguntas. Si se selecciona una
persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 
a) una persona haya sido víctima alguna vez, declare que no se esté haciendo lo suficiente y que haya
notado aumento en la inseguridad?
b) una persona no haya sido víctima, declare que se esté haciendo lo suficiente por las autoridades y
que no haya notado aumento en la inseguridad?
Consideremos que los conjuntos A, B y C son los formados por aquellos que respondieron afirmativa-
mente a las preguntas P1, P2 y P3. El número de personas que respondieron afirmativamente alguna de
las tres preguntas se calcula usando:
Trabajando de forma similar al ejemplo 3, se obtiene el diagrama de Venn:
Finalmente, para responder a las dos preguntas observamos que:
a) A ∩ B ∩ Cc es el evento deseado y 
b) Ac ∩ Bc ∩ C es el evento deseado y P A B C N A B C
N S
c c
c c
( )
( )
( )
∩ ∩ = ∩ ∩ = 87
750
P A B C
N A B C
N S
c
c
( )
( )
( )
∩ ∩ = ∩ ∩ = 46
750
N A B C N A N B N C N A B N A C
N B C N A B C
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
- - -
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩
− ∩ + ∩ ∩
= + + + =277 293 270 120 132 125 74 537 
A, 277
C, 270
B, 293
46
87
115106
74
51 58
231.2 Problemas de conteo
Ejercicios 
y problemas
1. Si N(A ∪ B) = 280, N(A ∩ B) = 120 y N(A) = 3N(B), determina cuántos elementos tiene cada uno de
los conjuntos A y B.
2. En un grupo de 100 estudiantes se tienen 30 queestudian preparatoria, 20 mujeres y 10 mujeres que
estudian preparatoria. ¿Cuántos estudiantes son hombres que no estudian preparatoria?
3. En una encuesta realizada entre 1000 personas sobre sus preferencias electorales, 440 contestaron
estar a favor del partido revolucionario, 470 a favor del partido nacional y 260 declararon no estar
a favor de ninguno de los dos partidos. ¿Cuántos de los entrevistados están a favor sólo del partido re-
volucionario?
4. De 3000 alumnos que asisten a una escuela profesional, 368 utilizan sólo su automóvil, 548 usan el
transporte escolar, 274 usan el transporte urbano y su automóvil, 714 usan su automóvil, 184 usan sólo
el transporte escolar, 156 usan el transporte urbano y su automóvil pero no el transporte escolar y 1438
no usan ningún medio de transporte.
a) ¿Cuántos alumnos utilizan solamente el transporte urbano?
b) ¿Cuántos alumnos utilizan su automóvil o el transporte escolar, pero no el transporte urbano?
c) ¿Cuántos alumnos utilizan sólo uno de los tres medios de transporte mencionados?
d) ¿Cuántos alumnos utilizan los tres medios de transporte?
5. Una universidad tiene 1050 alumnos de primer ingreso. De ellos, 860 cursan matemáticas, 664 física,
388 redacción, 480 física y matemáticas, 270 redacción y matemáticas, 210 física y redacción, y todos
llevan al menos una de las tres asignaturas.
a) ¿Cuántos alumnos cursan física y matemáticas pero no redacción?
b) ¿Cuántos alumnos cursan matemáticas y no llevan física ni redacción?
6. La probabilidad de que una persona escuche música o lea un libro es de 0.4. Si la probabilidad de que
lea un libro es de 0.2 y la probabilidad de que escuche música es de 0.3, ¿cuál es la probabilidad de
que lea un libro y no escuche música? 
7. En una encuesta aplicada a 5000 personas se encontró que 330 no trabajan ni estudian, 2607 sólo tra-
bajan y 220 trabajan y estudian. Si se escoge una al azar,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que estudie pero no trabaje?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que estudie?
8. En cierta población hay tres periódicos, el Imparcial, la Crónica y Últimas Noticias. Al Imparcial es-
tán suscritas el 60% de las familias de esa población, a la Crónica el 40%, a Últimas Noticias el 30%; al
Imparcial y la Crónica el 20%, al Imparcial y a Últimas Noticias el 10%, a la Crónica y a Últimas
Noticias el 20% y a los tres periódicos el 5% de la población. Determina la probabilidad de que una
familia seleccionada al azar
a) esté suscrita al menos a uno de los tres periódicos.
b) no esté suscrita a ningún periódico.
Problemas para trabajar en equipo
24 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
9. En una encuesta aplicada a 102 trabajadores de una fábrica, se obtuvo la siguiente información: Todos
los hombres tenían más de 20 años y había 52 mujeres. En total, 62 personas tenían más de 20 años,
25 mujeres estaban casadas, 15 de las quienes dijeron estar casadas superaban los 20 años y 10 de las
mujeres casadas tenían más de 20 años. Supón que seleccionas una persona al azar, calcula la probabi-
lidad de que:
a) sea casada
b) sea una mujer soltera de más de 20 años
c) sea un hombre casado
d) tenga menos de 20 años
10. En una encuesta aplicada a 180 personas, se obtuvo la siguiente información: 48 tienen por lo menos
casa propia, 87 tienen por lo menos automóvil, 120 tienen por lo menos televisión, 52 tienen sólo au-
tomóvil y televisión, una tiene sólo casa propia, tres tienen sólo automóvil y 44 no tienen ninguna de
las tres cosas. Calcula la probabilidad de que un empleado, seleccionado al azar,
a) tenga automóvil, casa propia y televisión
b) tenga casa propia y televisión pero no automóvil
c) tenga televisión pero no casa propia ni automóvil
d) tenga automóvil o televisión
Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes
situaciones:
1. Relación entre alfabetización, edad y sexo 
a) Construye un diagrama de Venn con los datos proporcionados en el inicio de la sección.
b) Determina, si es posible, el número de hombres y mujeres mayores de ocho años que no
saben leer ni escribir.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar no sepa leer ni escribir?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea hombre mayor de 14 años
y no sepa leer ni escribir?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre seleccionado al azar sea mayor de 14 años y no
sepa leer ni escribir?
2. El examen 
Recientemente se aplicó un examen de precálculo con tres problemas A, B y C. Sólo 25
alumnos resolvieron al menos un problema. De aquellos alumnos que no resolvieron el pro-
blema A, el número de quienes resolvieron el problema B fue el doble de los que resolvieron
el problema C. El número de quienes resolvieron el problema A fue uno más de quienes resol-
vieron el problema A y al menos otro problema. De todos los alumnos que sólo resolvieron
251.2 Problemas de conteo
exactamente un problema, la mitad no resolvió el problema A. Exactamente 12 alumnos re-
solvieron el problema A o el C. ¿Cuántos alumnos resolvieron el problema B?
3. El conjunto potencia 
El conjunto potencia de A es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. 
a) Determina el conjunto potencia de A = {1, 2, 3, 4, 5} y el número de elementos que lo
forman.
b) ¿Cuántos subconjuntos de cuatro elementos tiene el conjunto potencia de A?
c) ¿Cuántos subconjuntos del conjunto potencia de A no tienen como elemento al 2 y al 3?
d) Responde las preguntas a), b) y c) considerando al conjunto
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
1. En una universidad hay 100 estudiantes que estudian alemán o francés. Se sabe que 50 estu-
diantes se matricularon para alemán y 70 para francés. Indica cuál de las opciones siguientes
contiene la fracción de estudiantes que estudian alemán solamente.
a) 3/10
b) 5/10
c) 2/10
d) 3/5
2. Indica cuál de las opciones dadas a continuación contiene N(A − B).
a)
b)
c)
d)
3. Una fábrica de prendas de vestir produce camisas. Doce inspectores revisan 10,000 prendas y en-
cuentran 25 con la tela rayada, 20 ligeramente rotas, 20 descoloridas, seis con rayas y ligera-
mente rotas, cinco rayadas y descoloridas, cuatro rotas y descoloridas, y sólo una con los tres
defectos. Indica el número de camisas que tienen al menos un defecto. 
a) 1
b) 13
c) 51
d) 38
N B N A B( ) ( )− ∩
N A N A B( ) ( )+ ∪
N A N A B( ) ( )− ∩
N A N A B( ) ( )+ ∩
26 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
4. Diversos estudios de la Secretaría de Turismo establecen que un turista que visita la ciudad
de México tiene una probabilidad de 0.74 de visitar la Basílica de Guadalupe, de 0.70 de ir
al Palacio de las Bellas Artes, de 0.62 de visitar Santa Fe, de 0.52 de visitar la Basílica e ir a
Bellas Artes, de 0.44 de ir a Bellas Artes y visitar Santa Fe, de 0.46 de visitar la Basílica y
Santa Fe y de 0.34 de visitar la Basílica, Santa Fe y Bellas Artes. Indica cuál de las siguien-
tes opciones representa la probabilidad de que un turista cualquiera realice al menos una de
estas actividades:
a) 0.32
b) 0.64
c) 0.98
d) 0.06
5. Considera la siguiente situación:
La Delegación Mexicana para los Juegos Olímpicos de Sydney estuvo formada por 205 depor-
tistas. Entre ellos hubo 135 atletas con estudios superiores de licenciatura, 146 que asistían al
menos por segunda vez a unos Juegos Olímpicos y 84 eran mujeres, 30 eran mujeres con li-
cenciatura, 35 eran mujeres que asistían por segunda vez y 110 eran atletas con licenciatura
que asistían por segunda vez. 
Encuentra en la columna B las respuestas a las preguntas que aparecen en la columna A:
Columna A Columna B
a) ¿Número de mujeres con licenciatura que
asisten por segunda vez?
b) ¿Número de hombres con licenciatura que
asisten por segunda vez?
c) ¿Número de mujeres sin licenciatura que
asisten por primera vez?
d) ¿Número de hombres sin licenciatura que
asisten por primera vez?
i. 25
ii. 29
iii. 11
iv. 10
v. 15
vi. 20
vii. 5
viii. 100
Respuestas a los
Ejercicios y problemas
1. N(A) = 300,N(B) = 100
2. 60
3. 270
271.2 Problemas de conteo
Respuestas a los
ejercicios de autoevaluación
1. a
2. b
3. c
4. c
5. (a, iv), (b, viii), (c, ii), (d, vii) 
4.
a) 490
b) 624
c) 1042
d) 118
5. 
a) 382
b) 208
6.
0.1
7. 
a) 0.3686
b) 0.4126
8. 
a) 0.85
b) 0.15
9. 
a) 25/102
b) 2/102
c) 5/102
d) 40/102
10. 
a) 1/9
b) 1/12
c) 33/180
d) 0.75
Unidad
Expresiones 
algebraicas
Contenido de la unidad
2.1 Productos notables
2.2 Factorización
2.3 División de expresiones algebraicas
2.4 Simplificación, multiplicación y 
 división de fracciones algebraicas
2.5 Suma y resta de fracciones 
 algebraicas
2.6 Exponentes enteros
2.7 Exponentes fraccionarios y radicales
2.8 Números complejos
Introducción a la unidad
¿Cuándo te has encontrado un cinco tirado en la calle? ¿O un tres? Seguramente nunca, porque un cinco no es un
objeto real, es una abstracción mental, una idea. Esto se hace más evidente cuando convivimos con una niña muy
pequeña que apenas está aprendiendo a contar. La mamá, o el hermano mayor, o la tía, repite una vez y otra con la
niña “uno, dos, tres…”, contando pelotas, piezas de un rompecabezas o las teclas de un pianito. Quizás, al princi-
pio, para la niña sólo será un juego, una cancioncita que se repite en orden a la vez que se señalan objetos; tendrá
que pasar algún tiempo antes de que pueda abstraer la idea de cantidad. Por ejemplo, si a cinco manzanas le qui-
tamos dos manzanas, quedan tres manzanas. Si a cinco pasteles le quitamos dos pasteles, quedan tres pasteles.
Como esto sigue siendo cierto para cualquier tipo de objeto que contemos, diremos que si a cinco le quitamos dos,
quedan tres. ¿Cinco qué? ¿Cinco manzanas? ¿Cinco pasteles? ¿Cinco juguetes? No importa, si a cinco le quitas
dos, quedan tres. Pero un cinco no es un objeto; jamás encontrarás un cinco tirado en la calle. Lo que si podrías
encontrar tirado es un papel donde estuviera escrito el símbolo que utilizamos para representar la idea abstracta de
cinco, es decir, un papel que tuviera escrito un “5”. Eso nos lleva a otro paso más en la abstracción que la niña ten-
drá que dar; cuando llegue a la escuela, ya ni siquiera dirá la frase con palabras: “si a cinco le quitas dos, quedan
tres”; en lugar de eso utilizará símbolos: 5 – 2 � 3. ¿Por qué debe esforzarse la pequeña en aprender tales abstrac-
ciones y simbología? Porque son útiles para la vida diaria. Cuando sea más grande y vaya a comprar cinco refrescos
de a ocho pesos cada uno, y pague con un billete de 100 pesos, tendrá que trabajar con esas abstracciones para sa-
ber si le dieron el cambio correcto. Si ella no aprendiera a manejar los números, entonces sería víctima fácil de los
estafadores.
Cuando aprendes álgebra, te encuentras en una situación similar a la de la niña. Te enfrentarás con nuevas abs-
tracciones y simbología. Por ejemplo, en lugar de decir “si a un número cualquiera le sumo cinco y le quito tres,
30 Unidad 2: Expresiones algebraicas
obtengo el mismo resultado que si a ese mismo número le sumo dos”, ahora escribirás
x � 5 – 3 � x � 2. Manejar la simbología algebraica permite trabajar con relaciones
complejas más fácilmente que si tuviéramos que usar sólo palabras. Por ejemplo, intenta
explicar la siguiente expresión sin usar simbología algebraica: (x � y)2 � x2 � 2xy � y2. Si
te preguntas: ¿Por qué debo esforzarme en aprender estas abstracciones y símbolos?, parte
de la respuesta es similar al caso de la niña: porque el álgebra te será útil para resolver
problemas en tu vida profesional. Algunos de los ejercicios que resolverás en esta uni-
dad te darán una idea de las aplicaciones del álgebra: “El dilema del gerente de com-
pras”, “La demanda de la señora Celia Reyes Lujano”, “El problema del agricultor” y
“¿Exponentes fraccionarios en la inflación?”. Más aún, el álgebra tiene relación con la
música y el arte, como aprenderás en “Arte por medio de radicales, la proporción áurea”.
Si no aprendieras a manejar el álgebra, perderías una herramienta muy importante para
un profesionista, independientemente de la carrera que quieras estudiar.
Hay otra razón también muy importante para aprender álgebra. ¿Por qué en la escue-
la nos hicieron leer poemas, si pocos de nosotros seremos poetas? Porque la poesía es
uno de los logros más bellos de la humanidad; en consecuencia, debe ser parte de la for-
mación de todo ser humano. ¿Por qué aprender álgebra, si pocos de nosotros vamos a ser
matemáticos? Por la misma razón. 
2.1 Productos
notables
La matemática es el faro mediante el
cual lo que antes se veía tenue ahora
surge con trazos firmes y marcados.
Irving Fisher
Introducción
La palabra álgebra proviene de ilm al-jabr w´al muqabala, título de un libro
escrito en el siglo IX por el matemático árabe Al Juarismi. La traducción fo-
nética de al-jabr en el latín popular, llevó al nombre de la rama de las mate-
máticas que ahora conocemos como álgebra; disciplina donde se usan letras
para denotar números arbitrarios y símbolos para combinarlos a través de la
suma, la resta, el producto, la división y la potenciación. Pero el simbolis-
mo sólo es un medio para un fin; la función del álgebra no consiste en hacer
desfilar símbolos, sino en convertir o transformar expresiones de una for-
ma en otra, la que sea más útil, para resolver el problema que tengamos entre
manos. Por lo tanto, una competencia adecuada en matemáticas estará rela-
cionada con la posibilidad de efectuar transformaciones entre una forma alge-
312.1 Productos notables
braica y otra. ¿Qué determina que una expresión algebraica sea más útil que
otra? La respuesta depende, en general, de la situación que se trate. No obs-
tante, es preciso señalar que prácticamente cualquier estudio o aplicación de
las matemáticas, por simple o técnica que sea, requerirá de tales transforma-
ciones. Te presentamos una situación que requiere, según analizarás en uno
de los problemas, una de tales transformaciones. 
Objetivos
Al terminar esta sección, serás capaz de:
1. Reconocer y desarrollar los productos notables.
2. Ponderar la utilidad del lenguaje algebraico cuando el lenguaje colo-
quial ya no es útil.
3. A través de los productos notables, identificar las transformaciones al-
gebraicas adecuadas que te permitan la solución de problemas. 
Productos notables o especiales
Con frecuencia se denomina al álgebra la aritmética de las operaciones simbólicas; al
decir operaciones se quiere subrayar a la suma, la resta, el producto, la división y la ele-
vación a potencias de expresiones algebraicas. En esta sección trabajaremos con las tres
primeras, bajo la consideración de los así llamados productos notables; término emplea-
do para señalar a ciertos productos que cumplen con reglas fijas, cuyo resultado puede
ser escrito por simple inspección, sin efectuar las operaciones indicadas. No obstante que
estudiarás una parte introductoria del álgebra, te será necesario tener presentes algunos
de sus principios, dos de los cuales te presentamos a continuación:
Regla de los signos
El producto o la división de dos cantidades de signos iguales es positivo, el producto o
la división de dos cantidades de signos contarios es negativo.
La antigua disputa 
En tiempos de la vieja Rusia, se cuenta que dos mercaderes vendieron una
partida de toros, recibiendo por cada animal tantos rublos como toros ha-
bía en la partida. Con el dinero recibido compraron un rebaño de ovejas,
pagando 10 rublos por cada oveja, y un corderito. Al partirse el rebaño en
dos mitades, uno recibió una oveja más, y el otro, el corderito. Sin embargo,
esto provocó una fuerte disputa entre ellos, que se arregló compensando al
dueño del corderito con un rublo. La pregunta es: ¿fue suficiente esta com-
pensación para que el reparto fuese equitativo? 
Ésta y otras situaciones completamente diferentes pueden ser analizadas
con la ayuda de las transformaciones algebraicas de las que hemos hablado.
32 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Leyes básicas de exponentes
Por el momento, sólo necesitaremosde las siguientes leyes de exponentes, donde a, b,
m y n son cantidades cualesquiera:
1. . 
2. . 
3. .
Con base en las tres leyes anteriores, estableceremos sin dificultad la veracidad de los si-
guientes resultados, que son los productos notables que más frecuentemente aparecen en
el desarrollo y la factorización de expresiones algebraicas.
( )ab a bm m m=
( )a am n mn=
a a am n m n= +
i. Binomio al cuadrado:
ii. Binomio al cuadrado:
iii. Binomios conjugados:
iv. Cubo de un binomio:
v. Cubo de un binomio:
vi. Producto de dos binomios:
vii. Diferencia de cubos:
viii. Suma de cubos:
ix. Diferencia de potencias enésimas:
x. Cuadrado de un trinomio: ( )a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + +2 2 2 2 2 2 2
( )( )a b a a b a b ab b a bn n n n n n n− + + + + + = −− − − − −1 2 3 2 2 1L
( )( )a b a ab b a b+ − + = +2 2 3 3
( )( )a b a ab b a b− + + = −2 2 3 3
( )( ) ( )x a x b x a b x ab+ + = + + +2
( )a b a a b ab b− = − + −3 3 2 2 33 3
( )a b a a b ab b+ = + + +3 3 2 2 33 3
( )( )a b a b a b+ − = −2 2
( )a b a ab b− = − +2 2 22
( )a b a ab b+ = + +2 2 22
Tabla 2.1 Productos notables
Nota: Observa que en el desarrollo ix. de la tabla anterior, el segundo factor del miem-
bro izquierdo puede ser escrito en la forma:
,
Como puedes observar los exponentes de a comienzan con n � 1y decrecen hasta lle-
gar a 0, mientras que los de b empiezan en 0 y crecen hasta n � 1; asimismo, que la
suma de los exponentes de a y b en cada término es n � 1.
 a b a b a b ab b
n n n n n− − − − −+ + + + +1 0 2 3 2 2 1L
332.1 Productos notables
El desarrollo en x. tiene una generalización: el cuadrado de un polinomio cualquiera es
igual a la suma de los cuadrados de cada uno de sus términos, más el doble producto de
cada término con cada uno de los que le siguen.
Como se señaló, es posible verificar cada uno de los resultados anteriores e incluso en
algunos casos dar una interpretación geométrica sencilla. A manera de ejemplo, ilustra-
mos dos de las igualdades que se han establecido:
I II
IIIIV
Considera el cuadrado de la figura 2.1 y supón que tiene lado a � b, donde a es el valor
del lado en el cuadrado IV y b el lado del cuadrado II. Si A es el área total del cuadrado, y
AI, AII, AIII y AIV son las áreas mostradas en la figura anterior; entonces,: ;
también:
�
;
por lo tanto: .
Si en la misma figura 2.1, tomamos ahora al valor de a como al valor del cuadrado
más grande y como b al lado del cuadrado II; entonces:
,
,
como , concluimos que: .( )a b a ab b− = − +2 2 22A a bIV = −( )
2
= − + − − + = − +a ab b b ab b a ab b2 2 2 2 2 22
= − − − − −a a b b b a b b2 2( ) ( )
A A A A AIV I II III= − − −
( )a b a ab b+ = + +2 2 22
= + +a ab b2 22
ab b ab a+ + +2 2
A A A A AI II III IV= + + +
A a b= +( )2
Figura 2.1
34 Unidad 2: Expresiones algebraicas
solución
solución
solución
Ejemplos
En cada uno de los siguientes ejemplos, desarrolla la expresión usando el producto notable que corresponda:
Ejemplo 1
, asociando términos (binomios conjugados)
, (iii)
, binomio al cuadrado (i)
, uso de las leyes de exponentes (a), (b).
Ejemplo 2
, (generalización de x), ver nota anterior,
, uso de la regla de los signos.
Ejemplo 3
, una extensión del resultado (vi)
, ley de exponentes (b).
Ejemplo 4
, escribe el resultado en la forma
, para cierto valor de k.( )( )x y x yk k k k− +
( )( )x y x x y x y x y x y x y y2 2 12 10 2 8 4 6 6 4 8 2 10 12− + + + + + +
= + ++ +x xa a2 2 117 72
( )( ) ( ) ( ) ( )x x x xa a a a+ + + ++ + = + + +1 1 1 2 18 9 8 9 8 9
( )( )x xa a+ ++ +1 18 9
= + + + − + − − + −a b c d ab ac ad bc bd cd2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
+ − + − − + −2 2 2( )( ) ( )( ) ( )( )b c b d c d
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )a b c d a b c d a b a c a d− + − = + − + + − + − + + −2 2 2 2 2 2 2 2
( )a b c d− + − 2
= + + −x x x4 3 22 1
= + + −( ) ( )( )x x x x2 2 2 22 1
= + −( )x x2 2 21
[ ][ ] [( ) ][( ) ]x x x x x x x x2 2 2 21 1 1 1+ + + − = + + + −
[ ][ ]x x x x2 21 1+ + + −
352.1 Productos notables
solución
solución
� , ley de exponentes
, de acuerdo al resultado (ix) con n � 7
, ley de exponentes (b) y diferencia de cuadrados.
Ejemplo 5
, utilizando (viii)
, por la ley de exponentes (c).= +x y3 3 8
( )( ) ( )xy x y xy xy+ − + = +2 2 4 22 2 3 3
( )( )xy x y xy+ − +2 2 42 2
= − = − +x y x y x y14 14 7 7 7 7( )( )
= −( ) ( )x y2 7 2 7
( )(( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )x y x x y x y x y x y x y y2 2 2 6 2 5 2 2 4 2 2 2 3 2 3 2 2 2 4 2 2 5 2 6− + + + + + +
( )( )x y x x y x y x y x y x y y2 2 12 10 2 8 4 6 6 4 8 2 10 12− + + + + + +
Ejercicios 
y problemas
1. Determina si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera o falsa. En caso de que la proposi-
ción sea falsa, proporciona su corrección; si, por el contrario, la proposición es verdadera fundamenta
su veracidad:
a) 
b) 
c) 
d) Con la finalidad de que , sea igual a se requiere que
, y 
e) El coeficiente de x2 en es .
2. Desarrolla cada una de las siguientes operaciones, sin recurrir al producto directo, sino utilizando al-
guno de los productos notables i)- x):
a) .( )( )( )x x x4 2 21 1 1+ + −
5 4− m3 2 42 2( ) ( )( ) ( )x my x my x my mx y− + − + − +
c = 7 6b = 5 2a = 4 3
4 2x x+a x x b x x c[ ( ) ] [ ( ) ]3 3 2 21 1− − + − − +
[( )( )]a a a a− + = + +3 2 362 4 2
x x x x x x x( ) ( )+ + + = + + + +1 1 1 4 6 43 3 2 3 4
( )( ) ( )( ) ( ) ( )x x x x x x+ + − + − = + − − =1 1 1 1 1 1 22 2
36 Unidad 2: Expresiones algebraicas
b) .
c) .
d) .
e) .
3. Una esfera de radio r centímetros tiene un volumen de . ¿Cuánto aumentará el volumen si el ra-
dio se incrementa en un centímetro?
4. Considera la figura 2.2, en el cuadrado: OA � OB � n. Por otro lado, cada Bj es un cuadrado de lado
j. Si también usamos Bj para referirnos al área del rectángulo correspondiente, se te pide hallar una for-
ma cerrada para la suma de áreas (véase el problema Una mente brillante, de la sección de Proble-
mas para trabajar en equipo): .
Considera el siguiente procedimiento:
a) Desarrolla , luego escribe el resultado en la forma: , para ciertos valores de
las constantes a, b, c.
b) En la igualdad , asigna a k sucesivamente los valores 1, 2, …, n, luego
escribe las ecuaciones resultantes, una debajo de la otra.
c) Suma en forma ordenada el miembro izquierdo de una ecuación con el de la ecuación que está in-
mediatamente debajo de ésta y simplifica, en cuanto al miembro derecho; sólo podrás escribir su-
mas en forma abierta. 
d) En el miembro derecho quedarán las sumas abiertas: , y ; relaciona
este hecho con la suma , luego determina la respuesta pedida.B B Bn1 2+ + +L
1 22 2 2+ + +L n 1 2+ + +L n
( )k k ak bk c+ − = + +1 3 3 2
ak bk c2 + +( )k k+ −1 3 3
B B Bn1 2+ + +L
4
3
3π r
( )( )x y x x y ym m m m m m3 3 2 1 6 6 3 3 2 1 4 2+ + + + + ++ − +
( )( )x y x x y x y xy y− + + + +2 2 4 8 164 3 2 2 3 4
− + + + −( )( )x y z x y z
( )( )( )a a a a a a2 2 4 21 1 1− + + + + +
1
4
3
2
1 4320
B1
B2
B3
B4
B
A
Figura 2.2
372.1 Productos notables
Problemas para trabajar en equipo
Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes
situaciones:
1. La antigua disputa
Lean nuevamente el problema presentado en la introducción (La antigua disputa). Fundamen-
tando una respuesta con todo detalle y claridad, argumenten en favor o en contra acerca de si
el reparto que se describe en este problema es equitativo o no.
2. Una mente brillante 
El título de este problema poco tiene que ver con la obra cinematográfica que en honor del ma-
temático John Forbes Nash produjo Hollywood, pero es el calificativo con el que uno se tiene
que referir a la inteligencia de uno de los hombres que la historia ha señalado como a una de
las mentes más brillantes de la antigüedad; nos referimos a Arquímedes. Algunos historiadores
atribuyen las fórmulas para la suma de los primeros enteros positivos y la de sus cuadrados a
este genio de la antigua Grecia. La fórmulas que discutirás en este problema eran conocidas por
los matemáticos árabes de la Edad Media,