ASESORIA - GEOMETRIA

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DECIMONOVENA ASESORÍA DE GEOMETRÍA 
 
 
01. En una cuña esférica, el diedro mide 
30 y el área de la superficie que la 
limita es 
16
3

 u2. Calcule el área (en 
u2) del huso esférico correspondiente. 
 
A) 1,21π B) 1,49π C) 1,25π 
D) 
4
3

 E) 
2
3

 
 
02. En el arco AB
⌢
 de una circunferencia 
de centro O, que mide 90, se ubica el 
punto P y mPOB = a. Calcule la 
razón de volúmenes de los sólidos 
que se generan al girar los sectores 
circulares AOP y POB, una vuelta 
alrededor de OA ⃡ . 
 
A) sen B) cos C) 2sen 1  
D) 1 sen  E) csc 1  
 
03. Una superficie esférica es tangente a 
todas las aristas de un hexaedro 
regular y el área del menor casquete 
determinado por una cara del 
hexaedro es S. El área de la 
superficie esférica es 
 
A)  S 2 2 B)  2S 2 2 
C)  S 2 2 D)  2S 2 2 
E)  3S 2 2 
 
04. Dado un huso esférico de área S y 
ángulo diedro de medida 60, calcule 
el área de la superficie esférica de 
mayor radio, tangente al huso y a las 
caras de dicho diedro. 
 
A) 
7S
3
 B) 
5S
3
 C) 
4S
3
 
D) 
S
3
 E) 
2S
3
 
05. En una semicircunferencia de 
diámetro AB , las cuerdas AD y BC 
se intersecan en el punto P; en AB se 
ubican los puntos E y H tal que CE y 
DH son perpendiculares al diámetro 
AB . Si (AB)2(EH) = 4(2 + √3) u
3 y 
m∠APC = 75 y, entonces el volumen 
(en u3) del solido generado por el 
segmento circular CD al girar una 
vuelta alrededor de AB es 
 
A) 
4

 B) 
6

 C) 
8

 
D) 
3

 E) 
3
4

 
 
06. En una circunferencia de centro en O, 
se trazan los radios perpendiculares 
OA̅̅ ̅̅ y OE̅̅ ̅̅ . En el cuadrado ABCD (D en 
OA̅̅ ̅̅ ), BC̅̅̅̅ interseca al menor arco AÊ en 
el punto M. Si CM = 2(BM) = 2a, 
entonces el volumen del solido 
generado por el sector circular AOM 
al girar una vuelta alrededor de OE ⃡ es 
 
A) 35πa3 B) 40πa3 C) 45πa3 
D) 50πa3 E) 57πa3 
 
07. Un plano P es secante a una 
superficie esférica de centro O. Si el 
radio de la superficie esférica mide 
(√5 + 2) u y el área de la sección 
determinada es igual a la diferencia 
de las áreas de los casquetes 
resultantes, entonces la distancia de 
O al plano P es 
 
A) 
2
3
 B) 2 C) 
1
3
 
D) 
5
3
 E) 1 
 
 
08. En un paralelepípedo rectangular 
ABCD-EFGH, EH = HG = 12 u y CG = 
3 u. Una esfera, cuyo radio mide 6 u, 
es tangente a la cara EFGH en el 
punto Q, el cual coincide con el centro 
de dicha cara. Calcule el volumen (en 
u3) del menor segmento esférico 
determinado por la cara ABCD. 
 
A) 40𝜋 B) 42𝜋 C) 45𝜋 
D) 48𝜋 E) 50𝜋 
 
09. Un sector circular AOB de centro O, 
cuyo ángulo central mide 30, gira en 
torno a OB ⃡ . Si el área del casquete 
esférico correspondiente es 4π(2 - √3) 
u2, entonces el volumen (en u3) del 
sólido generado por el sector circular 
es 
 
A)  8 2 3
3

 B)  2 2 3  
C)  3 2 3  D)  7 2 3
4

 
E)  10 2 3
3

 
 
10. En una superficie esférica, un plano 
secante determina una sección cuya 
área es la cuarta parte del área del 
casquete esférico correspondiente. Si 
la longitud del radio de la superficie 
esférica es 4√3 u, entonces el 
volumen (en u3) del segmento 
esférico limitado por el casquete es 
 
A) 216π√3 B) 208π√3 C) 220π√3 
D) 232π√3 E) 215π√3 
 
11. La base de un cono circular recto está 
limitada una circunferencia máxima de 
la superficie esférica circunscrita, un 
plano paralelo a la base del cono 
biseca a la altura. La razón de áreas 
del menor casquete esférico y de la 
superficie lateral del cono parcial es. 
 
A) 2√3 B) √3 C) 2√2 
D) 3√2 E) 2√5 
12. En un tronco de cilindro de revolución, 
está inscrita una esfera. Si las bases 
del tronco determinan un ángulo 
diedro de medida 45 y la generatriz 
menor es de longitud L, entonces el 
volumen de la esfera es 
 
A) 32 L B) 
34 L 2
3

 C) 348 L 
D) 
3L 2
3

 E) 
3L 2
6

 
 
13. Un prisma triangular regular está 
inscrito en una superficie esférica de 
área S. Calcule el área máxima de la 
superficie lateral del prisma regular 
 
A) 
7S 3
4
 B) 
3S 3
4
 C) 
9S 3
4
 
D) 
9S 6
4
 E) 
3S 6
5
 
 
14. En un cuadrilátero ABCD recto en D, 
se traza la circunferencia de centro C 
y radios CA y CB, se ubican los 
puntos E y H en BC̅̅̅̅ y AD̅̅ ̅̅ 
respectivamente, tal que m∠AHB = 
m∠AEB = 90. Si 2(HE) = BC y el área 
de la región triangular BHE es S y 
tiene como circunradio r, entonces el 
volumen del anillo esférico 
determinado por el segmento circular 
AB̅̅ ̅̅ cuando gira una vuelta alrededor 
de CD ⃡ es 
 
A) 
7 rS
4

 B) 
3 rS 6
4

 C) 
8 rS
3

 
D) 
9 rS 6
4

 E) 
3 rS
5

 
 
15. En un tetraedro regular cuyas aristas 
miden 6 u, está inscrita una esfera. 
Calcule el volumen (en u3) de la 
menor cuña esférica determinada por 
dos planos de simetría del tetraedro 
que son perpendiculares a una de las 
caras. 
 
A) 
6
4

 B) 
6
5

 C) 
6
6

 
D) 
6
3

 E) 
6
2

 
 
16. En un hexaedro regular cuyas aristas 
miden 6 u, una esfera es tangente a 
todas las aristas. Calcule el volumen 
(en u3) del segmento esférico de dos 
bases determinado por dos caras 
opuestas del hexaedro. 
 
A) 90π B) 84π C) 96π 
D) 98π E) 86π 
 
17. En una esfera se encuentra inscrito 
un octaedro regular de 72√3 m
2 de 
área. Se traza un plano por una de 
sus caras, determinando dos 
segmentos esféricos, entonces el 
volumen (en m3) del menor segmento 
esférico es 
 
A)  9 2 4 6  
B)  2 9 2 4 6  
C)  3 9 2 4 6  
D)  4 9 2 4 6  
E)  5 9 2 4 6  
 
18. Dos esferas secantes E1 y E2 de 
centros O1 y O2 son intersecadas por 
un plano paralelo a 1 2O O , 
determinando dos círculos de áreas 
108 m2 y 64 m2. Si el radio de la 
esfera menor mide 10 m, entonces el 
volumen (en m3) de la otra esfera es 
 
A) 576 B) 1152 C) 2304 
D) 2880 E) 3456 
 
 
 
 
 
19. En un hexaedro regular ABCD-EFGH, 
se inscribe una esfera, tangente a la 
cara CDHG en el punto O. Si el plano 
OEF determina sobre la esfera una 
sección circular de área S, entonces 
el área se la superficie esférica es 
 
A) 2S B) 3S C) 4S 
D) 5S E) 6S 
 
20. En una semicircunferencia de 
diámetro AB̅̅ ̅̅ y centro O, se ubican los 
puntos C y D (C  AD̂), cuyas 
distancias al diámetro miden a y b. Si 
mCOD = 90, entonces el volumen 
del sector esférico generado al girar el 
sector circular COD alrededor del 
diámetro es 
 
A)    2 2
2
a b a b
3
   
B)    2 2
2
a b a b
3
   
C)    2 2
4
a b a b
3
   
D)    2 2
5
a b a b
3
   
E)    2 2
7
a b a b
3
   
 
21. En una superficie esférica, tres planos 
secantes determinan circunferencias 
que dos a dos tienen en común un 
punto. Si las áreas de las círculos que 
terminan dos de ellos son S1 y S2, 
entonces el área de la zona esférica 
determinado por un plano paralelo a 
la tercera circunferencia que contiene 
al punto común de las dos primeras 
es 
 
A) 1 2
S S
2

 B) 1 2S S C) 1 22 S S 
D) 1 2
1 2
S S
S S
 E) 1 24 S S 
 
 
 
 
22. En una esfera se tienen una cuña 
esférica y un sector esférico 
equivalentes, tal que la altura de la 
zona esférica está contenida en el 
diámetro de la cuña esférica. Si el 
radió de la superficie esférica y la 
altura de la cuña esférica miden R y h, 
entonces el volumen de la 
intersección de estas partes de la 
esfera es 
 
A) 2
1
Rh
2
 B) 2
1
Rh
3
 C) 2
1
Rh
4
 
D) 2
1
Rh
6
 E) 2
2
Rh
3
 
 
23. En un cuadrado ABCD, A es centro 
del arco BD y radio AB̅̅ ̅̅ , B y D son 
centros de los arcos AC de radios BC̅̅̅̅ 
y DC̅̅ ̅̅ que interseca el arco BD en P y 
Q respectivamente, las proyecciones 
de P y Q sobre AD̅̅ ̅̅ son M y N. Sí AB = 
2 u, entonces el volumen (en u3) del 
sólido generado por la región limitado 
por el arco PQ, QN̅̅ ̅̅ , NM̅̅ ̅̅̅ y MP̅̅ ̅̅ al girar 
una vuelta alrededor de AD ⃡ es. 
 
A) 
 9 3 11
3
 
 B) 
 9 3 10
3
 
 
C) 
 9 3 11
2
 
 D) 9 3 11
3
 
 
E) 
 9 3 11
4
 
 
 
24. En una semicircunferencia de centro 
O y diámetro AB̅̅ ̅̅ , se trazan la 
semicircunferencia de diámetro AO̅̅ ̅̅ y 
la cuerda BC̅̅̅̅ tangente en D a la 
semicircunferencia, la prolongación de 
AD̅̅ ̅̅ interseca el arco BC en P. Calcule 
la razón entre las áreas de las 
superficies generadas por los arcos 
AD y PB al girar una vuelta alrededor 
de AB ⃡ . 
 
A) 1:2 B) 1:3 C) 1:4 
D) 2:3 E) 3:4 
25. Calcule la longitud (en u) de la altura 
de una zona esférica cuya área es 
igual al área de un círculo mayor de la 
superficie esférica que la contiene e 
igual a 16𝜋 u2. 
 
A) 1 B) 
3
2
 C) 2 
D) 
5
2
 E) 3 
 
26. La base de un cono equilátero es un 
círculo menor de una superficie 
esférica y el vértice es el centro de la 
misma. Un anillo esférico está 
determinado por dicha superficie 
esférica y la superficie lateral de un 
tronco de cono, cuya base menor es 
la base del cono y cuyo eje es el eje 
del cono. Si la capacidad del cono es 
125
3
24
 u3, entonces el volumen (en 
u3) del anillo esférico es 
 
A) 
125 3
12
 B) 
105 3
11
 C) 
59 3
6
 
D) 
53 3
17
 E) 
15 3
4
