Analisis def sensibilidad

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Análisis de Sensibilidad
INVESTIGACIÓN OPERATIVA I
Análisis de Sensibilidad
Objetivos
Conocer las características de análisis de sensibilidad.
Aplicar análisis de sensibilidad a casos prácticos.
¿Cuánto
Producir para
Obtener mayores utilidades?
¿Qué es el 
precio sombra?
¿Qué es el 
precio sombra?
¿Qué es Costo
Reducido?
¿Qué es Costo
Reducido?
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
PRECIO SOMBRA.
COSTOS REDUCIDOS.
HOLGURA / EXCEDENTE
PRECIOS DUALES
SOLUCION UTILIZANDO EL LINDO
RANGOS DE VARIACIÓN PARA MANTENER LA BASE DEL VECTOR DE RECURSOS
1.        CAMBIOS EN EL VECTOR DE DISPONIBILIDAD DE 	RECURSOS.
2.        CAMBIOS EN EL VECTOR DE COSTO / UTILIDADES
 a.     COEFICIENTES BÁSICOS.
 b.      COEFICIENTES NO BASICOS.
3.        CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES TECNOLÓGICOS
3.1      VARIABLE BASICA.
3.2      VARIABLE NO BASICA.
4. ADICION DE UNA NUEVA VARIABLE.
5. ADICION DE UNA NUEVA RESTRICCIÓN
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD CON METODO DE LAS DOS FASES
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
En las aplicaciones prácticas ocurre que no solo interesa la solución del problema propuesto, sino que también se desea saber como cambia la solución encontrada. si las condiciones iniciales del problema se modifican.
	Una vez encontrada la solución de un problema, la administración puede realizar cambios en los recursos disponibles, costos de operación, etc. Generalmente estos cambios dan origen a un nuevo problema y su resolución requiere de los recursos financieros, humanos y de tiempo.
	En ocasiones no es factible gastar y esperar más por el nuevo problema. Con las propiedades del método simplex no se necesita resolver el nuevo problema desde el principio. 
 ·   Cambios en el vector de disponibilidad de 	recursos.
 ·   Cambios en el vector de costos / precios 	de 	la 	F.O
 ·         Cambios en los coeficientes tecnológicos.
 ·         Adición de nuevas actividades
 ·         Adición de restricciones.
El análisis de sensibilidad permite utilizar la tabla final para realizar operaciones matriciales:
La información obtenida por la aplicación del análisis de sensibilidad, es más importante y mucho más informativa que el simple resultado obtenido en la solución optimal.
EJEMPLO PROBLEMA 1:
La Cia X fabrica 2 tipos de sillones de ejecutivos; A y B. Donde cada sillón pasas por dos etapas, la producción(cortar madera, telas, etc) y la de acabado(armar y pintar), el Dpto de producción tiene 60 hrs semanales y el de acabado 48 hrs semanales. La Cia. Trabaja 6 días a la semana, pero los sábados trabaja medio día.
	Cada sillón A, requiere 4 hrs de producción y 2 hrs de acabado y cada sillón B 2 hrs de producción y 4 hrs de acabado, las utilidades de A y B en centenas son $8 y $6 respectivamente. La gerencia desea saber el número de sillones a fabricar de cada tipo en el supuesto de que se venden todos los sillones en el mercado.
 
 X1 X2
 S1 S2
 RHS
 
0 0
 5/3 2/3
 132
 X1
 X2
 
 
 
 0
0 1
 1/3 -1/6
-1/6 1/3
12
6
FORMULACION
Variable de decisión
X1 : Sillones del tipo A
X2 : Sillones del tipo B
Restricciones:
	4X1 + 2X2 < 60
	2X1 + 4X2 < 48
		X1 , X2 > 0
Función objetivo:
	Max Z = 8X1 + 6X2
SOLUCION
PRECIO SOMBRA.
El recurso sombra para el recurso i mide el valor marginal de este recurso, es decir la base a la cual se podría incrementar / decrementar Z aumentando / disminuyendo la cantidad del recurso bi
1.          De incrementar b1 a 61
	Z = 132 + 1(1.66) = 133.6
	Valores de las variables básicas:
2.          De incrementar b2 a 49:
	Z = 132 + 1(0.66) = 132.66
	Valores de las variables básicas:
COSTOS REDUCIDOS.
Cuanto tendría que mejorar el coeficiente de la FO de la variable de decisión para asumir un valor positivo en la solución optima.
 
HOLGURA / EXCEDENTE
proporciona el valor de la variable de holgura. remanente del recurso no utilizado.
 
PRECIOS DUALES
El precio dual correspondiente a una restricción es el mejoramiento en el valor optimo de la función objetivo por cada aumento unitario en el lado derecho de la restricción.
SOLUCION UTILIZANDO EL LINDO: problema 1
 VALOR DE LA FUNCION OBJETIVO
 1) 132.0000
 VARIABLE VALOR COSTO REDUCIDO
 X1 12.000000 0.000000
 X2 6.000000 0.000000
 ROW HOLGURA / EXCEDENTE PRECIOS DUALES
 2) 0.000000 1.666667
 3) 0.000000 0.666667
RANGO EN LOS CUALES LA BASE OPTIMA NO CAMBIA 
 
	RANGOS PARA LOS COEFICIENTES DE LA FO
VARIABLE COEFICIENTE INCREMENTO DECREMENTO
 ACTUAL PERMITIDO PERMITIDO
 X1 8.000000 4.000000 5.000000
 X2 6.000000 9.999999 2.000000
RANGO PARA LOS TERMINOS DEL LADO DERECHO
 FILA RHS INCREMENTO DECREMENTO
 ACTUAL PERMITIDO PERMITIDO
 2 60.000000 36.000000 36.000000
 3 48.000000 72.000000 18.000000
Análisis de los rangos de sensibilidad:
·          Variación de las utilidades Cj de la FO
	Utilidad del sillón A [ 3 , 12 ]
	Utilidad del sillón B [ 4 , 15.9 ]
 ·          Variación de los recursos bi.
	Horas de producción [ 24 , 96]
	Horas de acabado	 [ 30 , 120]
RANGOS DE VARIACIÓN PARA MANTENER LA BASE DEL VECTOR DE RECURSOS
 
VARIANTE PROBLEMA 1
¿En cuanto debe aumentar el recurso 1, para que se mantenga la misma base?
considerando:
	6 - /6  0
 	  36
 ·    En 12 + /3 se puede aumentar infinitamente
 · En 6 - /6 soporta a lo más   36 de lo 	contrario se vuelve infactible.
En conclusión: Para mantener la misma base (X1, X2) el recurso 1 debe aumentar de 60 hasta 96 hrs.
En.
si todos los términos tienen a  con signo positivo, el recurso 1 aumenta sin restricciones.
VARIANTE PROBLEMA 1
¿En cuanto debe disminuir el recurso 2, para que se mantenga la misma base?
considerando:
	 6 - /3  0
		   18
debe disminuir de 48 a 30 el recurso 2.
OBSERVACIÓN:
Si los dos términos, tienen a  con signo positivo, al evaluar se considera la menor cota de 
luego:
	12 - /3  0
		  36
¿En cuanto debe disminuir el recurso 1, para que se mantenga la misma base?
El recurso 1 puede disminuir de 60 a (60-36) = 24. 
Probando.
1.    CAMBIOS EN EL VECTOR DE DISPONIBILIDAD DE RECURSOS.
CASO A:
VARIANTE PROBLEMA 1
El administrador de la fabrica decide aumentar 2 hrs cada día a cada uno de los procesos.
	Max Z = 8X1 + 6X2
	S.A.
 		4X1 + 2X2 < 71
		2X1 + 4X2 < 59
			X1 , X2 > 0
OBS: Los sábados trabaja medio día.
Tabla optima.
 
 X1 X2
 S1 S2
 RHS
 
 0 0
 5/3 2/3
 132
 X1
 X2
 1 0
 0 1
 1/3 -1/6
 -1/6 1/3
 12
 6
Valores de la base:
solución factible:
Z = 
La diferencia de cada uno de los recursos es 11
Vector multiplicador ( 5/3 , 2/3 ); 
11(5/3) = 18.33
11(2/3) = 7.33
Z = 132 + 25,66 = 157.66
Analizando resultados de la modificación:
Alternativa 1			Alternativa 2
	X1 = 12				X1 = 14
	X2 = 6				X2 = 8
	Z = 132				Z = 157.6
Al ejecutar la alternativa 2:
·     La adición de una unidad del recurso b1; 	utilidad marginal de 5/3
·     La adición de una unidad del recurso b2; 	utilidad marginal de 2/3
CASO B.
VARIANTE PROBLEMA 1
Suponiendo por dificultades económicas, no se puede vender el producto, con la misma rapidez que el año pasado. Y por problemas de liquidez no es posible cubrir el sueldo de todos los trabajadores. La situación es temporal y el administrador decide reducir;
 ·          Capacidad de producir: 56 hrs
 ·          Capacidad de acabado: 25 hrs
Qué efectos tendrá la solución?
Max Z = 8X1 + 6X2
S.A.
 4X1 + 2X2 < 56
2X1 + 4X2 < 25
		X1 , X2 > 0
Nuevos valores de la base.
para X2 = -1 viola las reglas del simples primal, esta situación no es factible. Se ha de utilizar el simplex dual, para restablecer la factibilidad del problema.
Valor de Z:
 
 X1 X2
 S1S2
 RHS
 
 0 0
 5/3 2/3
 110
 X1
 X2
 1 0
 0 1
 1/3 -1/6
 -1/6 1/3
 29/2
 -1
 
 
(5/3)/(-1/6)
 
 
 0 10
 0 12/3
 100
 X1
 S1
 1 2
 0 -6
   0   3/6 
 1 -2
 25/2
 6
2.   CAMBIOS EN EL VECTOR DE COSTO / UTILIDADES
EJEMPLO PROBLEMA 2:
Manufacturación de sillones A y B
 
HRS 
SILLON A
HRS 
SILLON B
DISPONIBILIDAD
HRS / SEMANA
PRODUCCIÓN
4
2
60
ACABADO
2
4
48
UTILIDADES
(centenas)
8
2
 
FORMULACION
Variable de decisión
	X1 : Sillones del tipo A
	X2 : Sillones del tipo B
Restricciones:
	4X1 + 2X2 < 60
	2X1 + 4X2 < 48
	 X1 , X2 > 0
Función objetivo:
	Max Z = 8X1 + 2X2
 
 X1 X2
 S1 S2
 RHS
 
 - 8 - 2
 0 0
 0
 S1
 S2
 4      2
 2 4
 1      0
 0 1
 60
 48
 
 0 2
 2 0
 120
 X1 	 S2
 1 2/4
 0 3
 1/4 0
 -2/4 1
 15
 18
OBSERVACIONES.
·          	Del total de horas de acabado, 18 horas no 	han sido utilizadas.
·          	Si deseamos producir el sillón B, debemos 	incrementar su utilidad en al menos $2; es 	decir $4.
·          	Si adicionamos horas al Dpto de producción, 	por cada hora adicionada, el valor de Z se 	incrementa en: Z + HRS(2)
a.      COEFICIENTES BÁSICOS.
VARIANTE PROBLEMA 2: 
Suponiendo que la Cia tiene mucha mercancía almacenada, que no puede vender y decide reducir el precio del sillón A a $6. ¿Cuál es el efecto de la operación?
Nuevo problema
Max Z = 6X1 + 2X2
S.A.
 4X1 + 2X2 < 60
2X1 + 4X2 < 48
	X1 , X2 > 0
En el dual.
	4Y1 + 2Y2 > 6
vector multiplicador: (2,0)
	4(2) + 2(0) – 6 = 2
coeficiente de X1 en Z: 2 = 
 
 X1 X2
 S1 S2
RHS
 
 2 2
 2 0
120
 X1
 S2
 1 2/4
 0 3
 1/4 0
 -2/4 1
15
18
 
 0 1
 1.5 0
90
 X1
 S2
 1 2/4
 0 3
 1/4 0
 -2/4 1
15 18
3.      Si
OBS:
1.       Si
para todo j la solución es factible, hacer operaciones matriciales, para obtener la tabla optima.
2.       Si
para todo j la solución es factible, los valores de las variables básicas se mantienen.
 para un j la solución no es optima. Utilizar el simplex, para llegar al optimo.
VARIANTE PROBLEMA 1: 
Suponiendo que la Cia tiene mucha mercancía almacenada, que no puede vender y decide reducir el precio del sillón A a $6 y el sillón B a $5 . ¿Cuál es el efecto de la operación?
Nuevo problema
	Max Z = 6X1 + 5X2
S.A.
 	4X1 + 2X2 < 60
	2X1 + 4X2 < 48
		X1 , X2 > 0
Donde Q = C * A , A : Matriz multiplicador.
Si Q  0 solución factible.
Si Q  0 solución no factible
Nuevo vector multiplicador:
Nuevos coeficientes de X1 y X2 en la Función objetivo.
 
 X1 X2
 S1 S2
 RHS
 
 2 1
 7/6 4/6
 132
 X1
 X2
 1 0
 0 1
 1/3 -1/6
 -1/6 1/3
 12
 6
 
 0 0
 4/6 4/6
 102
 X1
 X2
 1 0
 0 1
 1/3 -1/6
 -1/6 1/3
 12
 6
b.          COEFICIENTES NO BASICOS.
 
VARIANTE PROBLEMA 2: 
Suponiendo que la Cia tiene escaces en recursos para producir el sillón B, decide aumentar el precio $6. ¿Cuál es el efecto de la operación?
Nuevo problema
	Max Z = 8X1 + 6X2
S.A.
 	4X1 + 2X2 < 60
	2X1 + 4X2 < 48
	 X1 , X2 > 0
En el dual.
	2Y1 + 4Y2 > 6
vector multiplicador. (2,0)
	2(2) + 4(0) – 6 = -2
coeficiente de X2 en Z es –2:
 
 X1 X2
 S1 S2
RHS
 
 0 -2
 2 0
120
 X1
 S2
 1 2/4
 0 3
 1/4 0
 -2/4 1
15
18
 
 0 0
 5/3 2/3
132
 X1
 S2
 1 0
 0 1
 1/3 -1/6 
 -1/6 1/3
12 6
EJEMPLO PROBLEMA 3:
Dado el problema:
	Max Z = 5X1 + 12X2 + 4X3
sa
	 X1 + 2X2 + X3 < 5
	2X1 – X2 + 3X3 = 2
	 X1, X2, X3  0
Y su Tabla optima:
Cambiar el problema a:
	Max Z = 5X1 + 12X2 + 6X3
sa
	 X1 + 2X2 + X3 < 5
	2X1 – X2 + 3X3 = 2
	 X1, X2, X3  0
 
 X1 X2 X3
 S1 A2
 RHS
 
 0 0 3/5
 29/5 -2/5+M
 141/5
 X2
 X1
 0 1 -1/5
 1 0 7/5
 2/5 -1/5
 1/5 2/5
 8/5
 9/5
restricción en el dual
	Y1 + 3Y2 > 6
vector multiplicador.
	(29/5, -2/5)
nuevo coeficiente de X3 en la F.O es – 7/5.
 
 X1 X2 X3
 S1 R2
 RHS
 
 0 0 -7/5
 29/5 -2/5+M
 141/5
 X2
 X1
 0 1 -1/5
 1 0 7/5
 2/5 -1/5
 1/5 2/5
 8/5
 9/5
 
 1 0 0
 6 M
 30
X2
X3
 1/7 1 0
 5/7 0 1
 3/7 -1/7
 1/7 2/7
 13/7
 9/7
3.     CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES TECNOLÓGICOS
 
3.1      VARIABLE BASICA.
VARIANTE PROBLEMA 2: 
La Cia. ha realizado estudios de tiempo y movimiento para medir la productividad de los trabajadores y encuentra, para el sillón A pude dedicar 2 hrs de producción y 3 hrs para el acabado.
Nuevo problema.
	Max Z = 8X1 + 2X2
sa
 	2X1 + 2X2 < 60
	3X1 + 4X2 < 48
	 X1 , X2 > 0
Nueva restricción dual correspondiente a X1
	2Y1 + 3Y2 > 8
por propiedad II, el nuevo coeficiente de X1 en la F.O.
	X1 = 2(2) + 3(0) – 8 = -4
Coeficiente tecnológicos:
 
 X1 X2
 S1 S2
RHS
 
 -4 2
 2 0
120
 X1
 S2
 2/4 2/4
 2 3
 1/4 0
 -2/4 1
15
18
 
 0 6
 4 0
240
 X1
 S2
 1 1
 0 1
 2/4 0
 -6/4 1
30
-42
 
 
 4/(-6/4)
 
 
 0 52/6
 0 16/6
128
 X1
 S1
 1    4/3
 0 -4/6
   0     2/6
 1 –4/6
16
28
VARIANTE PROBLEMA 1: 
La Cia. ha realizado estudios de tiempo y movimiento para medir la productividad de los trabajadores y encuentra, para el sillón A pude dedicar 3 hrs de producción y 3 hrs para el acabado.
Nuevo problema.
	Max Z = 8X1 + 6X2
sa
 	3X1 + 2X2 < 60
 	3X1 + 4X2 < 48
	 X1 , X2 > 0
 
 X1 X2
 S1 S2
 RHS
 
 0 0
 5/3 2/3
 132
 X1
 X2
 1 0
 0 1
 1/3 -1/6
 -1/6 1/3
 12
 6
Calculando.
También:
 
 X1 X2
 S1 S2
 RHS
 
 -1 0
 5/3 2/3
 132
 X1
 X2
 1/2 0
 1/2 1
 1/3 -1/6
 -1/6 1/3
 12
 6
 
 0 0
 7/3 2/6
156
 X1
 X2
 1 0
 0 1
 2/3 -2/6
 -3/6 3/6
 24
 -6
 
 
(7/3)/(-3/6)
 
 
 0 14/3
 0 8/3
128
 X1
 S1
 1 4/3
 0 -2
 0        2/6
 1        -1
 16
 12
3.2      VARIABLE NO BASICA.
 
VARIANTE PROBLEMA 2: 
La Cia. Ha realizado estudios de tiempo y movimiento para medir la productividad de los trabajadores y encuentra, para el sillon B puede dedicar 3 hrs de producción y 3 hrs para el acabado.
Nuevo problema.
	Max Z = 8X1 + 2X2
sa
 	4X1 + 3X2 < 60
 	2X1 + 3X2 < 48
	X1 , X2 , > 0
Nueva restricción dual correspondiente a X1
	3Y1 + 3Y2 > 2
por propiedad II, el nuevo coeficiente de X2 en la F.O.
	X2 = 3(2) + 3(0) – 2 = 4
Coeficiente tecnológicos:
 
 X1 X2
 S1 S2
RHS
 
 0 4
 2 0
120
 X1
 S2
 1 3/4
 0 6/4
 1/4 0
 -2/4 1
15
18
VARIANTE PROBLEMA 3:
Dado el problema:
	Max Z = 5X1 + 12X2 + 4X3
sa
	 X1 + 2X2 + X3 < 5
	2X1 – X2 + 3X3 = 2
	 X1, X2, X3  0
Tabla optima:
 
 X1 X2 X3
 S1 R2
 
 
 0 0 3/5
 29/5 -2/5+M
 141/5
 X2
 X1
 0 1 -1/5
 1 0 7/5
 2/5 -1/5
 1/5 2/5
 8/5
 9/5
Cambiando:	 
por
restricción en el dual
	2Y1 + 3Y2 > 4
nuevo coeficiente de X3 en la F.O es 32/5.
	
nuevos coeficientes tecnológicos.
4.      ADICION DE UNA NUEVA VARIABLE.
Aumentar otra variable, significa producir un nuevo producto, cuya producción necesita utilizar nuestros recursos limitados.VARIANTE PROBLEMA 2: 
La Cia. Esta pensando en producir un escritorio que se venderá S/9.00 y para él se necesitará 3 hrs de producción y 4 hrs de acabado. Al administrador le interesa saber el efecto de esta nueva producción y su ganancia.
Nuevo problema.
	Max Z = 8X1 + 2X2 + 9x3
	S.A.
		4X1 + 2X2 + 3X3 < 60
		2X1 + 4X2 + 4X3 < 48
		 X1 , X2 , X3 > 0
Costo / ganancia de la nueva variable:
coeficientes tecnológicos de la nueva variable:
5.          ADICION DE UNA NUEVA RESTRICCIÓN
VARIANTE PROBLEMA 1: 
La Cia quiere abrir el departamento de arte para grabar dibujos en los productos. Este Dpto tiene 20 hrs de capacidad de producción semanal y dedica 2 hrs al sillón del tipo A y 1 hr al sillón del tipo B.
Nuevo problema:
	Max Z = 8X1 + 6X2
	sa
 		4X1 + 2X2 < 60
		2X1 + 4X2 < 48
		2X1 + X2 < 20
		 X1 , X2 > 0
 
 X1 X2
 S1 S2 S3
 RHS
 
 0 0
 5/3 2/3 0
 132
 X1
 X2
 S3
 1 0
 0 1
 2 1
 1/3 -1/6 0
 -1/6 1/3 0
 0 0 1
 12
 6
 20
 
 0 0
 5/3 2/3 0
 132
 X1
 X2 S3
 1 0
 0 1
 0 0
 1/3 -1/6 0
 -1/6 1/3 0
 -3/6 0 1
 12
 6
 -10
 
 
 (5/3)/
 (-3/6)
 
 
 0 0
 0 2/3	 -5/3
 296/3
 X1
 X2
 S1
 1 0
 0 1 
 0 0 
 0 -1/6 2/3
 0 1/3 1/6
 1 0 -2
 16/3
 28/3
 20
 
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD CON METODO DE LAS DOS FASES
A.          PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
La Cia WINCO vende tres tipos de producto, se da en la tabla los requerimientos de horas de trabajo de los productos por unidad y los precios de venta de producto / unidad.
PROD 1 PROD 2 PROD 3
MATERIA PRIMA
HORAS DE TRABAJO
PRECIO DE VENTA
 2 3 4
 5 4 5
 8 10 12
se dispone de 1,850 unidades de materia prima y 2,500 horas de trabajo. Los clientes exigen por lo menos 500 unidades del producto 2. Cuántas unidades de cada producto se deben producir?
 B.     FORMULACION
¡ problema de producción
¡ Xi : producto i
 
	MAX 8X1 + 10 X2 + 12X3
 ST
 MATPRIM) 2X1 + 3X2 + 4X3 < 1850
 HORTRAB) 5X1 + 4X2 + 5X3 < 2500
 PRODMIN) 	 X2 > 500
	END
C. SOLUCION CON SIMPLEX PRIMAL: TABLA OPTIMA
 Z
 X1 X2 X3 S1
 A1 S2 S3
 RHS
 1
 0 0 1.14 0 
 0 2.57 0.57
6,185.71
X2
S1
X1
 0 1 1.43 0
 0 0 1.43 1
 1 0 -0.14 0
 0 0.71 -0.29
-1 0.71 -0.29
 0 -0.57 0.43
607.14
107.14
14.29
D. SOLUCION CON EL LINDO TABLA OPTIMA
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
 
 1) 6185.714
 
 VARIABLE VALUE REDUCED COST
 X1 14.285714 0.000000
 X2 607.142883 0.000000
 X3 0.000000 1.142857
 
 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
 MATPRIM) 0.000000 2.571429
 HORTRAB) 0.000000 0.571429
 PRODMIN) 107.142860 0.000000
 
 		NO. ITERATIONS= 2
E. ANALISIS DE SENSIBILIDAD
Consideraciones para que la base encontrada en la solución no varie.
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
 
 OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
 COEF INCREASE DECREASE
 X1 8.000000 4.500000 1.333333
 X2 10.000000 2.000000 0.800000
 X3 12.000000 1.142857 INFINITY
 
		RIGHTHAND SIDE RANGES
 ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE 
 RHS INCREASE DECREASE
MATPRIM 1850.000 24.999998 150.000000
HORTRAB 2500.000 375.000000 33.333332
PRODMIN 500.000 107.142860 INFINITY
F.          INTERPRETACIÓN
1.   Por cada unidad que se adicione el recurso 3, 	el valor de la función objetivo se incrementa 	en 0. Esto indica que, el recurso 3 no se ha 	agotado en el proceso de producción.
2.    El valor de la variable de holgura S1 (PRODMIN) 	indica que el requerimiento de 500 unidades 	puede crecer hasta 607, y se mantiene las 	variables básicas iniciales.
3.    Si adicionamos dos unidades del recurso 1 ( De 	1850 a 1852), la función objetivo se incrementa 	en 2 ( 2.57); Z = 6,185.714 + 5.14 = 	6,190.854. 
4.  Los precios sombra (DUAL PRICES), son los 	valores de las variables de decisión del PL 	dual.
5.  Para que la variable X3, tenga un valor 	diferente a cero en la solución del problema, 	debemos incrementar en al menos 1.14 su costo, 	es decir 12 + 1.14 = 13.14.
6.    Si la WINCO aumenta el precio del producto 2 en 	50 centavos, el incremento permitido es un 	máximo de 2 u.m. para que la base inicial se 	mantenga, entonces:
	Z = 8 (14.28) + 10.5(607.14)+ 12 (0) = 6,489.21
	También Z = 6,185.714 + 0.5( 607.142) = 6,489.21
7.    Si la WINCO disminuye el precio del producto 2 	en 50 centavos, el decremento permitido es un 	máximo de 0.8 centavos para que la base inicial 	se mantenga, entonces;
	Z = 8 (14.28) + 9.5 (607.14) + 12 (0) = 5,882.07
	También: Z = 6,185.714 - 0.5 ( 607.142) = 	5,882.14
8.   Para que la solución básica ( X2, S1,X1) no 	varíe con el cambio que podemos hacer al recurso 	3, el nuevo valor debe estar en el rango de, 	crecer de 500 unidades del recurso 3 a 500 + 	107.147 y decrecer indefinidamente
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