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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
Tuning Generalized Predictive PI controllers
for process control applications
Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería con mención
en Ingeniería Eléctrica
Oscar Alberto Briones Jorquera
Profesor Supervisor
PhD. Alejandro J. Rojas N.
Profesor Co-Supervisor
PhD. Daniel J. Sbárbaro H.
Comisión
PhD. José R. Espinoza C.
Dr.-Ing. Manuel Olivares S.
Concepción, Chile
Agosto 2020
Departamento de Ingeniería Eléctrica
Facultad de Ingeniería
Universidad de Concepción
Concepción, Chile
© 2020 by Oscar Alberto Briones Jorquera
i
Resumen
Los controladores predictivos PI (PPI) han demostrado superar los controladores PID tra-
dicionales cuando se aplican a sistemas con grandes retardos en comparación a su constante de
tiempo.
Este trabajo propone un controlador, su estructura de control y ajuste, denominado Propor-
cional Integral Predictivo Generalizado (del inglés Generalized PPI, GPPI) el cual proporciona
una mayor flexibilidad de diseño que las estrategias PI y PPI con las cuales será comparado.
Con el fin de realizar una comparación equitativa, las reglas de diseño y ajuste para los
controladores discretos PI y PPI se desarrollaron utilizando argumentos óptimos basados en
lugar de las raíces, para una respuesta críticamente amortiguada ante un cambio escalón en la
referencia.
Se obtuvieron resultados experimentales, lo cual es de suma importancia para validar el
uso del controlador propuesto en aplicaciones reales, para ello se utilizó un canal hidráulico
instrumentado con un PLC, sensores y actuadores industriales. De la planta se utilizaron dos
lazos de control los cuales pueden ser modelados por FOPTD en un punto de operación para
sintonizar y evaluar los controladores propuestos.
Los resultados del control GPPI son alentadores, reduciendo el tiempo de asentamiento con
sobrepaso muy pequeño ante un cambio escalón en la referencia con respecto a las estrategias
PI y PPI, para el caso experimental, reduce el tiempo de asentamiento hasta 41.03% en el lazo
de control de flujo y hasta 54.21% en el lazo de control de nivel.
Se realizó el análisis discreto de las estrategias en el plano Z, lo que permitió una traducción
directa a ecuaciones recursivas que luego se pueden programar en un Controlador Lógico Pro-
gramable (PLC), otros controladores industriales como Sistemas de Control Distribuido (DSC)
o microcontroladores, como Arduino, Raspberry o FPGA.
En este trabajo, se utilizó un PLC Rockwell ControlLogix ® con lenguaje de programación
de texto estructurado.
ii
A mi amada esposa
Pamela
iii
Agradecimientos
Primero que nada, quiero agradecer a Dios por la oportunidad que me ha dado, de perfeccio-
narme, de crecer y guiar mis pasos. Quiero agradecer a mi amada esposa Pamela, por su amor,
su paciencia, por apoyarme cada día y ser mi soporte incondicional, te amo con todo mi cora-
zón. Quiero agradecer a mi familia, mi motivación para seguir adelante. Quiero agradecer a mi
profesor guía Alejandro Rojas, por todas sus enseñanzas, su apoyo constante, dedicación y por
forjarme como investigador. A mi co-guía Daniel Sbarbaro, quien siempre me dio una palabra
de aliento y estaba dispuesto a ayudar. A mis amigos y colegas del Laboratorio de Control de
Sistemas, Rubén Alarcón, Nelson Cisneros y Miguel Suarez, porque no faltaron las risas, ni aún
en los momentos más difíciles, gracias por todo.
Quiero agradecer el apoyo de la Facultad de Ingeniería a través del Proyecto de Fomento de
Iniciativas Innovadoras con Gran Potencial de Impacto, Proyecto “Instrumentación y control
de flujo, velocidad, nivel y erosión del canal hidráulico con lecho móvil”. También agradecer el
apoyo de la Agencia Nacional de Investigación y Desarrollo (ANID), a través de Proyecto Basal
FB0008 y el Proyecto Fondecyt Regular 1190196.
iv
Índice General
Resumen I
Agradecimientos III
Índice de Figuras VII
Índice de Tablas IX
1. Introducción 1
1.1. Motivación de la investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Sistemas con tiempo muerto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Introducción a los Sistemas de Primer Orden con Retardo . . . . . . . . 1
1.1.3. Introducción a las estrategias de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.4. Introducción a la estrategia de control GPPI . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2. Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4. Alcances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5. Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Preliminares 9
2.1. Sistemas de Primer Orden con Retardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1. Características de los Sistemas de Primer Orden con Retardo (del inglés
First Order Plus Time-Delay Systems, FOPTD) . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2. Respuesta a entrada escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3. Equivalente discreto de los FOPTD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.4. Característica L/τ de los sistemas FOPTD . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Estructura de control en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Herramientas de análisis en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1. Desempeño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1.1. Desempeño respecto a la salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1.2. Desempeño respecto a la entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
v
2.3.2. Robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.3. Incertidumbre de modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4. Modelación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6. Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6.1. Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Estructura y diseño de controladores PI , PPI y GPPI 24
3.1. Control PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.1. Control PI discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2. Diseño de control PI discreto para una planta FOPTD . . . . . . . . . . 26
3.2. Predictive Proportional Integral Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.1. Control PPI discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.2. Diseño de control PPI discreto para una planta FOPTD . . . . . . . . . 29
3.3. General Predictive Proportional Integral Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.1. Estructura de control GPPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.2. Estructura continua de GPPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.3. Diseño de control GPPI discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.3.1. Ajuste GPPI ponderado, Weighted GPPI tuning . . . . . . . . 31
3.3.3.2. Ajuste GPPI nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.3.3. GPPI State Feedback control tuning . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.4. Análisis en el sentido de IAE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.4.1. Desarrollo de IAE analítico para GPPI . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.5. Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4. Comparación de la estrategia GPPI en simulación y en forma experimental
con lasestrategias PI y PPI 42
4.1. Comparación de los controladores con FOPTD en simulación . . . . . . . . . . . 42
4.1.1. Selección de plantas y tiempos de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1.2. Ejemplos de diseño en simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2. Simulación e implementación de controladores para canal experimental . . . . . 64
4.2.1. Control en lazo cerrado de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.2. Control de lazo cerrado de nivel de agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3. Requerimiento de robustez para las diferentes estrategias . . . . . . . . . . . . . 72
4.3.1. Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
vi
5. Conclusión 80
5.1. Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3. Trabajo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
A. Derivación de fórmulas 82
A.1. Obtención de las matrices de la planta aumentada . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
A.2. Razón entre los parámetros kc, zc y γj con respecto al vector de retroalimentación
de estado K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
B. Códigos 85
B.1. Funciones para estimar los controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
B.1.1. Estimación de control PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
B.1.2. Estimación de control PPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
B.1.3. Estimación de control GPPW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
B.1.4. Estimación de control GPPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B.1.5. Estimación de control GSF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
B.2. Rutina de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
B.3. Código implementado en PLC para el controlador GPPI para la planta de flujo . 90
vii
Índice de Figuras
2.1. Respuesta a entrada escalón unitario para un sistema FOPTD, (para esta simu-
lación se utilizaron k′p = 100, τ = 1 y L = 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Respuesta a entrada escalón para un FOPTD continuo y su equivalente discreto,
(para esta simulación se utilizaron k′p = 100, τ = 1, L = 1 y Ts = 0,25). . . . . . 12
2.3. Diagrama de bloques del sistema de control con realimentación, y dy una pertur-
bación de salida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4. Ensayo para obtener datos de modelación (lazo de nivel de agua). . . . . . . . . 20
2.5. P&ID del setup, canal hidráulico de laboratorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6. Control de flujo del setup experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7. Control de nivel de agua del setup experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1. Root-Locus para control PI con zc < pp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2. Estructuras de control: a) PI, b)PPI, c)GPPI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3. Diagrama de bloque de lazo de control realimentado para el ajuste de parámetros
GPPW. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1. Respuesta del lazo de control P1(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2. Respuesta del lazo de control P2(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3. Respuesta del lazo de control P3(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4. Respuesta escalón en lazo cerrado y ante una perturbación escalón para el con-
trolador GPPW para la planta P4(z) sin redondeo y con redondeo de αj. . . . . 59
4.5. Respuesta escalón en lazo cerrado y ante una perturbación escalón para el con-
trolador GPPI para la planta P4(z) sin redondeo y con redondeo de βj. . . . . . 61
viii
4.6. Simulación para el lazo de control con P4(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.7. Respuesta escalón en lazo cerrado y ante una perturbación escalón para el con-
trolador GPPI para la planta P4(z) sin redondeo y con redondeo de γj. . . . . . 65
4.8. Resultados experimentales para el control de flujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.9. Resultado experimental para control de nivel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.10. Valores de ganancias k̂c1(Ωn) y k̂c2(Ωn) para los cuales k̂cj(Ωn)L(Ωn), j ∈ [1, 2],
intersectan el círculo en el plano complejo asociado a Ms = 1,8. . . . . . . . . . 74
4.11. Valores de ganancias k̂c1(Ωn) y k̂c2(Ωn) respecto a la frecuencia Ωn. . . . . . . . 75
4.12. Diagrama de Nyquist antes y después de aplicar las ganancias k̂c obtenidas para
Ms = 1,4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.13. Respuesta en lazo cerrado para Ms = 1,4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.14. Diagrama de Nyquist antes y después de aplicar las ganancias k̂c obtenidas para
Ms = 1,8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.15. Respuesta en lazo cerrado para Ms = 1,8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.16. Diagrama de Nyquist antes y después de aplicar las ganancias k̂c obtenidas para
Ms = 1,4, con GPPI más conservador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.17. Respuesta en lazo cerrado para Ms = 1,4, con GPPI más conservador. . . . . . . 78
ix
Índice de Tablas
2.1. Índices de autorregulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Variables normalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1. Plantas para pruebas de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2. Polos de lazo-cerrado y parámetros αj para el controlador GPPW en la planta
P2(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3. Polos de lazo-cerrado y parámetros βj para el controlador GPPI en la planta P2(z) 51
4.4. Polos de lazo-cerrado, ganancia K y parámetros γj para el controlador GSF en
la planta P2(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5. Polos de lazo-cerrado y parámetros αj para el controlador GPPW en la planta
P3(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.6. Polos de lazo-cerrado y parámetros βj para el controlador GPPI en la planta P3(z) 54
4.7. Ganancia K para el controlador GSF en la planta P3(z) . . . . . . . . . . . . . . 54
4.8. Polos de lazo-cerrado y parámetros γj para el controlador GSF en la planta P3(z) 55
4.9. Polos de lazo-cerrado para el controlador GPPW en la planta P4(z) . . . . . . . 57
4.10. Parámetros αj del controlador GPPW en la planta P4(z) . . . . . . . . . . . . . 58
4.11. Polos de lazo-cerrado para el controlador GPPI en la planta P4(z) . . . . . . . . 59
4.12. Parámetros βj del controlador GPPI en la planta P4(z) . . . . . . . . . . . . . . 60
4.13. Polos de lazo-cerrado para el controlador GSF en la planta P4(z) . . . . . . . . . 62
4.14. Parámetros K para el controlador GSF en la planta P4(z) . . . . . . . . . . . . 63
4.15. Parámetros γj para el controlador GSF en la planta P4(z) . . . . . . . . . . . . 64
x
4.16. Polos de lazo-cerrado de flujo colocados y parámetros α, β y γ . . . . . . . . . . 67
4.17. Resultados obtenidos para el control de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.18. Polos de lazo cerrado de nivel colocados y parámetros α, β y γ . . . . . . . . . . 71
4.19. Resultados obtenidos para el control de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
xi
Siglas
DTC Compensadores de Tiempo Muerto (del inglés Dead-Time Compensator)
FOPTD Sistemas de Primer Orden con Retardo (del inglés First Order Plus Time-Delay Sys-
tems)
F. de T. Función de Transferencia
GPPI Proporcional Integral Predictivo Generalizado (del inglés Generalized PPI)
GPPW General PredictivoProporcional Ponderado (del inglésGeneral Predictive Proportional
Weighted)
GSF GPPI en espacio de estados (del inglés GPPI State Feedback)
IMC Internal Model Control
MIMO Multiples Entradas Multiples Salidas (del inglés Multiple Input Multiple Output)
MPC Model Predictive Control
PID Proporcional Integral Derivativo (del inglés Proportional Integral Derivative)
PPI Proporcional Integral Predictivo (del inglés Predictive PI)
SIMC Skogestad Internal Model Control
SP Predictor Smith (del inglés Smith Predictor)
TDS Sistemas con Retardo (del inglés Time-Delay Systems)
TV Variación Total (del inglés Total Variation)
1
CAPÍTULO 1
Introducción
1.1. Motivación de la investigación
Este capítulo introduce los sistemas con tiempo muerto con un mayor énfasis en los FOPTD,
las estrategias de control utilizadas para estos sistemas y la importancia de la sintonización de
parámetros para las estrategias. Finalmente, se presenta una estrategia de control propuesta,
denominada General Predictive PI (GPPI), sus características, y ventajas, con respecto a las
estrategias de control PI y PPI, en el marco de los FOPTD discretos.
1.1.1. Sistemas con tiempo muerto
Los Sistemas con Retardo (del inglés Time-Delay Systems, TDS), o también conocidos como
Sistemas con Tiempo Muerto, están presentes en la industria y en múltiples áreas de la ciencia
aplicada, [1]. Ejemplos de estos sistemas los encontramos en redes de comunicación, procesos
químicos, sistemas de teleoperación, biosistemas, vehículos submarinos, sistemas hidráulicos,
entre otros [2]. Los TDS pueden estar asociados al comportamiento propio de un proceso causado
por transporte de masa, intercambio de energía, tiempos de cálculo, retardos de comunicación,
mediciones realizadas fuera de línea y/o también cuando se realizan aproximaciones de sistemas
de orden superior o de ecuaciones diferenciales parciales con modelos de orden reducido [3, 4].
1.1.2. Introducción a los Sistemas de Primer Orden con Retardo
Muchos procesos dentro de los TDS presentan respuestas a escalón esencialmente monótonas
y pueden ser modelados por FOPTD [4], un enfoque simple, que logra capturar las dinámicas
esenciales de los sistemas [5, 6]. Los FOPTD se caracterizan por la Función de Transferencia
2
(F. de T.) P (s),
P (s) = y(s)
u(s) = k
′
p
e−sL
τs+ 1 . (1.1)
donde τ es la constante de tiempo, L es el tiempo muerto del sistema y k′p es la ganancia, (sólo
por notación en este trabajo k′p será la ganancia en tiempo continuo y kp la ganancia en tiempo
discreto como se verá más adelante). Una clasificación relevante de los FOPTD para el estudio
de TDS se puede encontrar en [7], donde se distinguen procesos lag-dominantes, balanceados y
tiempo-muerto-dominantes, en función de la razón entre la constante de tiempo del sistema y
el tiempo muerto, τ/L.
1.1.3. Introducción a las estrategias de control
Para los procesos que son modelados por FOPTD la estrategia de control más utilizada en las
últimas décadas sigue siendo el Control Proporcional Integral Derivativo (del inglés Proportional
Integral Derivative, PID) [7]. En una encuesta realizada en industrias de pulpa y papel, productos
químicos y refinación, se muestra que el 97% de los controladores reguladores utilizaban la
estrategia PID, [8]. Resultados similares se encontraron en un estudio realizado en una gran
planta en Japón, [9]. Sin embargo, Visioli y Zhong [10] mencionan que, en presencia de un
gran tiempo muerto en el proceso, un controlador PID simple no es suficiente. Según Åström
y Hägglund [11], cuando se requiere de un alto desempeño o el tiempo muerto respecto a la
constante de tiempo del sistema es relativamente alto, se deben utilizar estrategias de control
alternativas, esto lo reafirman Normey-Rico y Camacho en [12].
Los procesos con grandes retardos presentan un desafío importante para la Ingeniería de
Control. Estos procesos introducen una disminución adicional no deseada en la fase del sistema,
es decir, cada acción ejecutada en la variable manipulada de un proceso solo afectará a la variable
controlada después del tiempo muerto. Esto, puede provocar una disminución en el desempeño
e inclusive provocar inestabilidad en un proceso a controlar, haciendo más difícil el análisis y el
diseño de los controladores [12]. Por este motivo, ingenieros e investigadores han desarrollado
estrategias para disminuir estos efectos negativos mediante Compensadores de Tiempo Muerto
(del inglés Dead-Time Compensator, DTC), [13].
Los DTC son elementos que se añaden a un “controlador primario” para predecir el com-
portamiento del sistema, en algunos casos se integran directamente al controlador por lo que el
controlador es también llamado DTC. “Son efectivos para controlar los TDS, ya que eliminan
el efecto del tiempo muerto en la respuesta nominal del proceso. Además, se puede obtener un
3
buen equilibrio entre robustez y desempeño mediante el ajuste adecuado del controlador prima-
rio y el predictor”, [14]. El primero de los DTC, sin duda el más conocido, es el Predictor Smith
(del inglés Smith Predictor, SP) [15]. Esta estrategia se propone como una mejora aplicada a
los controladores PI y PID clásicos, sin embargo, al requerir un modelo del sistema preciso,
es poco robusto, esto quiere decir que es limitado con respecto a los errores de modelado e
incertidumbres del proceso, así como al rechazo de perturbaciones, [16].
Ejemplos de algunas estrategias basadas en SP han sido realizadas por Albertos y García
[17] con modificaciones en la estructura del lazo para garantizar buen comportamiento ante
perturbaciones, probadas experimentalmente en el estudio realizado por Sanz en [18]. Otra
estrategia realizada por Torrico, Correia y Nogueira [19], esta basada en SP con la adición de
filtros para sistemas con múltiples retardos. Estrategias de control más complejas como Model
Predictive Control (MPC) e Internal Model Control (IMC) también han sido propuestas para
lidiar con los TDS. Sin embargo, según Hassan, Ibrahim, Saad, Asirvadam y Chung [20] estos
métodos mantienen la necesidad de un modelo muy preciso del proceso para su implementación,
situación que complica la implementación del controlador.
Debido a la dificultad que significa tener un modelo preciso del proceso, T.Hägglund en [21]
y más tarde en [22] presenta la estrategia de control Proporcional Integral Predictivo (del inglés
Predictive PI, PPI) para sistemas FOPTD. Esta estrategia es una modificación de un SP, en
donde el modelo interno se ajusta a partir de los parámetros del controlador por lo que posee
mejor rechazo a perturbaciones, [23]. El controlador PPI, a diferencia de las estrategias PID
con SP, puede manejar procesos integrativos sin la necesidad de adicionar filtros. En [24], se
realiza una comparación de PPI con PID mostrando que poseen características similares en baja
frecuencia, pero que PID no funciona bien cuando se trata de un tiempo muerto prolongado
y ruido de alta frecuencia y que el mecanismo predictivo del PID no es adecuado cuando se
considera una fase no mínima, [25]. Según [26], PPI es uno de los DTC más simples y sin
embargo uno de los más efectivos.
Algunos resultados recientes en donde se utiliza la estrategia de control PPI los encontramos
en [27], donde se analiza esta estrategia para sistemas de segundo orden con retardo en tiempo
continuo. En [20] se utiliza la estrategia PPI para sistemas con retardo en redes de comunicación,
en [28] se compara con otras estrategias como PI y PID ante procesos integrativos, mientras
que [26] presenta un control de alimentación en un proceso de molienda automático modificado,
basado en un controlador PPI y un controlador PI estándar. Motivados por la necesidad de la
Ingeniería Hidráulica de representar fenómenos de la macroescala en la microescala [29] y seguir
4
referencias variables que representen crecidas de ríos de manera confiable y repetible [30]. En
[31] se realiza el control nivel en un canal hidráulico de pequeña escala mediante la estrategia
PPI, y en [32] suextensión para en sistema Multiples Entradas Multiples Salidas (del inglés
Multiple Input Multiple Output, MIMO) para el control de flujo y nivel.
Una parte fundamental del diseño de la estrategia de control, junto con la estructura se-
leccionada, es el ajuste de parámetros del controlador. El ajuste de parámetros tiene como
objetivo modificar el comportamiento del lazo de control, y puede modificarse para dar énfasis
a ciertas especificaciones de desempeño y robustez requeridas por el proceso. Dependiendo de la
estrategia de control seleccionada el método que se utilice para el ajuste de parámetros puede
variar, ya sea mediante métodos ampliamente conocidos como Ziegler-Nichols para la estrate-
gia de control PID o métodos genéricos desarrollados para cada nueva estructura de control.
Estos métodos generalmente buscan alcanzar algún criterio de diseño que permita caracterizar
el comportamiento del control en lazo cerrado.
Dentro de los criterios de diseño utilizados para establecer el comportamiento en lazo cerrado
están el desempeño, el cual tiene relación con disminuir el tiempo de asentamiento, el error en
estado estacionario y el sobrepaso, y el criterio de robustez, que se relaciona a la capacidad del
lazo para mantener cierto desempeño ante errores de modelado o incertidumbres del proceso
como perturbaciones o ruido.
1.1.4. Introducción a la estrategia de control GPPI
El controlador PPI ha demostrado tener buenos resultados en comparación al controlador
PI. Ambos controladores en términos de variable discreta, estiman el esfuerzo de control, u(k),
a partir de una combinación lineal entre el error e(k), el error anterior e(k − 1) y el esfuerzo
de control anterior u(k− 1). Siendo una característica del controlador PPI, del cual depende su
ventaja, la adición del esfuerzo de control utilizado N−1 iteraciones en el pasado, u(k −N − 1),
siendo N el retardo estimado de la planta. Por este motivo, en [33] se propone una estrategia
de control Proporcional Integral Predictivo Generalizado (del inglés Generalized PPI, GPPI),
que utiliza una combinación lineal de todas las acciones de control pasadas, para estimar la
acción de control actual u(k), desde u(k − 1) hasta u(k −N − 1), aprovechando el máximo de
información disponible.
La estrategia GPPI otorga la capacidad de utilizar las acciones de control pasadas como
combinación lineal para el cálculo de la acción de control. Esto implica una que no se requiere
5
la minimización de una función de coste en línea como algunas estrategias MPC, por lo que
garantiza un menor costo computacional y es más simple de implementar en un PLC, ventaja
que comparte con sus estrategias predecesoras, PI y PPI.
La estructura de control GPPI, «al utilizar la combinación de los esfuerzos de control ante-
riores», posee más parámetros que las estrategias PI y PPI, esto implica, que la sintonización
de parámetros para obtener un comportamiento en lazo cerrado deseado no es trivial. Además
se requiere idealmente que estos métodos sean simples y que sean realizados en tiempo discreto
para poder ser implementados directamente en un PLC o microcontrolador.
La intuición indica que la estrategia de control GPPI, al poseer una estructura generaliza-
da, podría alcanzar mejor desempeño que las estrategias de control PI y PPI, las cuales están
restringidas en su estructura, por tanto, en sus parámetros. Por otro lado al desarrollar las estra-
tegias de control y métodos de sintonización en tiempo discreto estas pueden ser implementadas
directamente en un PLC.
Este trabajo propone desarrollar métodos de sintonización de parámetros en tiempo discreto
para la estrategia de control GPPI y comparar su desempeño con las estrategias de control PI
y PPI, mediante simulación y pruebas experimentales en un canal hidráulico de pequeña escala
presente en el Laboratorio de Control de Sistemas (LCS) de la Universidad de Concepción,
considerando como planta un lazo de flujo y un lazo de nivel modelados como FOPTD.
6
1.2. Hipótesis
A continuación se presenta la hipótesis de trabajo que motiva los lineamientos de la inves-
tigación propuesta.
La estrategia de control GPPI puede lograr un mejor desempeño que los controladores PI
y PPI para sistemas de primer orden con retardo discretos. Al ser una extensión de PI y PPI
mediante una estructura generalizada, posee más grados de libertad para escoger una respuesta
en lazo cerrado deseada mediante técnicas de ajuste de parámetros especializadas, sin dejar de
lado la capacidad de implementación directa en un PLC o microcontrolador.
7
1.3. Objetivos
A continuación, son presentados el objetivo general y los objetivos específicos cuyo propósito
es probar la hipótesis propuesta.
1.3.1. Objetivo general
Realizar la modelación, sintonización de parámetros en tiempo discreto, simulación, imple-
mentación y comparación experimental de las estrategias de control PI, PPI y la estrategia
propuesta GPPI para sistemas de primer orden con retardo discretos.
1.3.2. Objetivos específicos
• Describir los modelos FOPTD, controladores y herramientas de análisis para evaluar y
comparar las estrategias de control.
• Describir y desarrollar las metodologías de diseño para los controles PI, PPI y GPPI.
• Comparar la estrategia de control GPPI en simulación y en forma experimental con las
estrategias de control PI y PPI.
8
1.4. Alcances
Los objetivos de este estudio se centran en el control GPPI propuesto, por lo que el
desarrollo de los modelos se presentarán de manera breve.
El proceso será representado por modelos de primer orden con retardo.
La metodología de diseño del controlador busca desempeño mediante colocación de polos
en lazo cerrado.
Se entrega una herramienta adicional, de requerirse un grado de robustez, mediante mo-
dificación de ganancia de controlador.
1.5. Metodología
A continuación se describen la metodología general a utilizar para abordar cada uno de los
objetivos propuestos:
Desarrollar el marco conceptual mediante la búsqueda y estudio de bibliografía para co-
nocer el estado del arte de los sistemas de primer orden con retardo, en especial su clasi-
ficación en cuanto a la razón L/τ y las herramientas de análisis en lazo cerrado.
Presentar la estructura de control en lazo cerrado a utilizar y desarrollar la metodología
de modelación, simulación y la realización de experimentos.
Presentar la estructura de los controladores y los métodos de diseño de los controladores
PI, PPI y el propuesto GPPI.
Realizar simulaciones y experimentos para comparar la estrategia GPPI propuesta con las
estrategias PI y GPPI mediante las herramientas de análisis en lazo cerrado presentadas.
9
CAPÍTULO 2
Preliminares
Este capítulo introduce los conceptos necesarios para desarrollar los objetivos de la investigación,
tales como, los sistemas FOPDT, herramientas de análisis en lazo cerrado y las estrategias de
control a utilizar.
2.1. Sistemas de Primer Orden con Retardo
La mayor parte de los procesos, especialmente en la industria, tienen un comportamiento
que puede ser modelado como una planta de primer orden con retardo. Esta elección se debe
en general a su simplicidad y a la capacidad de capturar la dinámica esencial de los sistemas
[5, 6]. Además, si es necesario, los modelos de orden superior se pueden reducir juiciosamente a
FOPTD, como se presenta, por ejemplo, en [34].
La siguiente sección presenta las características de los FOPTD, su equivalente en variable
discreta y la clasificación de estos sistemas.
2.1.1. Características de los FOPTD
Los FOPTD generalmente se encuentran expresados en tiempo continuo, en particular para
este estudio serán utilizados en variable discreta, pero será de importancia comprender las
características y clasificaciones realizadas por otros autores en variable continua para luego
hacer su equivalente en variable discreta. Como se mencionó los procesos dentro de los TDS
presentan respuestas a escalón esencialmente monótonas y pueden ser modelados por FOPTD
[4], logrando capturar las dinámicasesenciales de los sistemas [5, 6].
10
Un FOPTD se puede modelar por la ecuación diferencial,
τ
dy(t)
dt
+ y(t) = k′pu(t− L), con y(0) = 0, (2.1)
cuya F. de T. como resultado de aplicar la Transformada de Laplace se obtiene como P (s),
P (s) = y(s)
u(s) = k
′
p
e−sL
τs+ 1 . (2.2)
donde τ es la constante de tiempo, k′p es la ganancia y L es el tiempo muerto del sistema. Notar
que este sistema posee un polo en s = −1/τ y un cero, debido al retardo, en ∞, [35].
2.1.2. Respuesta a entrada escalón
La función Escalón Unitario o Escalón de Heaviside, representa una señal que cambia ins-
tantáneamente de cero a 1, [36]. Puede ser definida de la siguiente forma,
U(t) =
 0 if t < 0,1 if t ≥ 0. (2.3)
Está es una función base para otras señales y tiene transformada de Laplace U(s) como,
U(s) = L{U(t)} = 1
s
. (2.4)
Lo más relevante sin duda, es que la respuesta de un sistema ante un escalón unitario es una
señal fácilmente realizable en la práctica, desde el punto de la ingeniería de procesos, y además,
está muy bien estudiada. La respuesta a escalón de un FOPTD es la siguiente,
y(t) = k′p(1− e−(t−L)/τ )U(t− L). (2.5)
Notar que al evaluar la respuesta del sistema en t = L+ τ , se tiene que,
y(L+ τ) = k′p(1− e−1) = 0,632k′p (2.6)
es decir el tiempo en que la señal alcanza el 63,2 % de la magnitud en estado estacionario, esto
se observa en la Fig. 2.1. Evaluando la respuesta del sistema en S.S, y(∞) = k′p(1− e−∞) = k′p,
la respuesta del sistema tiende a ser la ganancia del sistema k′p, lo que concuerda con el Teorema
del Valor Final para la Ec. (2.9), es decir P (0) = k′p = y(∞).
11
0 L L + 3 4 5 6 7 8 9 10
0
20
40
60
80
100
Fig. 2.1: Respuesta a entrada escalón unitario para un sistema FOPTD, (para esta simulación
se utilizaron k′p = 100, τ = 1 y L = 1).
2.1.3. Equivalente discreto de los FOPTD
Si bien las características dinámicas y estáticas de los sistemas FOPTD son intuitivas y
claras para el caso continuo, la adquisición de datos y control de procesos en la actualidad se
desarrollan mayormente en tiempo discreto. Es por ello que se presentan a continuación los
sistemas FOPTD en tiempo discreto y su equivalencia con los sistemas FOPTD continuos.
Un sistema FOPTD discreto se representa por la siguiente ecuación de diferencia con tiempo
de muestreo Ts,
y(kTs + Ts)− ppy(kTs) = kpu(kTs −NpTs) (2.7)
o de manera equivalente con otra notación, asumiendo Ts conocido, se utiliza la expresión,
y(k + 1)− ppy(k) = kpu(k −Np) (2.8)
cuya F. de T. como resultado de aplicar la Transformada Z se obtiene como P (z),
P (z) = y(z)
u(z) = kp
z−Np
z − pp
. (2.9)
con un polo en pp. La respuesta a entrada escalón es la siguiente,
y(kT ) = kp1− pp
(
1− p(k−Np)p
)
U(k −Np) (2.10)
12
0 4T 8T 3 4 5 6 7 8 9 10
0
20
40
60
80
100
Fig. 2.2: Respuesta a entrada escalón para un FOPTD continuo y su equivalente discreto, (para
esta simulación se utilizaron k′p = 100, τ = 1, L = 1 y Ts = 0,25).
la equivalencia entre la ecuación diferencial (2.1) muestreada a un tiempo Ts, con la ecuación
de diferencia (2.8), se cumple al hacer,
pp = e−Ts/τ , kp = k′p(1− pp) y Np = dL/Tse. (2.11)
Notar que si L no es múltiplo de Ts, entonces la razón L/Ts se debe aproximar hacia arriba, es
decir dL/Tse. La Fig. 2.2 muestra la respuesta escalón para un FOPTD y la respuesta escalón
equivalente para un FOPTD en tiempo discreto con Ts = 0,25.
2.1.4. Característica L/τ de los sistemas FOPTD
Una característica importante de los FOPTD para realizar un buen diseño de controlador en
lazo cerrado es la razón L/τ . Esta característica permite una clasificación de diferentes FOPTD
según su relación entre el tiempo muerto L y la constante de tiempo τ del sistema. Uno de
los primeros trabajos que consideraron este aspecto fue realizado por Cohen y Coon, [37], en
donde el factor L/τ es denominado “Índice de autorregulación del proceso”, y partir de este, se
ajustaban los parámetros para controladores PI, PD o PID. En [38] se considera el factor L/τ
para el desarrollo de las reglas del Simple o Skogestad Internal Model Control (SIMC). En [7] se
realiza la distinción como, lag - dominantes L/τ < 0,25, balanceados 0,25 < L/τ < 2,5 y delay-
dominantes L/τ > 2,5.En [39], es presentada la razón L/τ como “razón de controlabilidad” y
13
se introduce el retardo relativo,
Lτ =
L
L+ τ , (2.12)
el cual tiene la ventaja de estar en el rango entre 0 y 1. También se menciona que los procesos
con un bajo Lτ son considerados fáciles de controlar, mientras que los procesos con un alto Lτ
son difíciles de controlar.
En este trabajo se consideran cuatro diferentes índices de autorregulación presentados en la
tabla 4.1. En donde se consideran dos casos delay-dominantes de diferentes magnitudes, ya que,
como se mencionó anteriormente son las más difíciles de controlar.
Tabla 2.1: Índices de autorregulación
L/τ Planta ejemplo Clasificación según [7]
0,1 P (s) = k′p e
−0,1s
s+1 Lag - dominante
1 P (s) = k′p e
−s
s+1 Balanceado
5 P (s) = k′p e
−5s
s+1 Delay - dominante
20 P (s) = k′p e
−20s
s+1 Delay - dominante
Es interesante notar, que la clasificación anterior es muy relevante para el análisis en tiempo
discreto, dado que diferentes procesos en tiempo continuo son equivalentes si cumplen con: un
índice de autorregulación o razón de controlabilidad igual, y se escoge un tiempo de muestreo
adecuado. Por ejemplo, si se escogen dos plantas diferentes, pero con índice de autorregulación
0.1 o razón de controlabilidad 0.0909,
Pa(s) = 5
e−0,1s
s+ 1 y Pb(s) = 5
e−2s
20s+ 1 , (2.13)
y un tiempo de muestreo Tsa = 0,1 y Tsb = 2 respectivamente, la F. de T. en tiempo discreto
será,
Pd(z) =
0,4758
z − 0,9048z
−1 (2.14)
la misma función de transferencia para ambos casos.
14
2.2. Estructura de control en lazo cerrado
En esta tesis se considera un controlador C(z) definido por,
C(z) = u(z)
e(z) =
nc(z)
dc(z)
, (2.15)
donde e(z) = r(z)− y(z) es el error de control, u(z) es la entrada del proceso, nc(z) es el nume-
rador de C(z) y dc(z) es el denominador de C(z).
Considerando el diagrama en bloque del control realimentado para una planta de FOPTD
(ver, (2.9)) en la Figura 2.3, la función de lazo cerrado es,
T (z) = y(z)
r(z) =
kpnc(z)
zNpdc(z)(z − pp) + kpnc(z)
(2.16)
r(z)
C(z) P (z)
-
+ +
dy(z)
e(z) u(z) y(z)
Fig. 2.3: Diagrama de bloques del sistema de control con realimentación, y dy una perturbación
de salida.
Problema. En este trabajo, el problema es diseñar un sistema de lazo cerrado que tenga una
respuesta escalón sobre amortiguada (sin sobrepaso), con la respuesta más rápida posible, sujeta
a ciertos requisitos de robustez.
Este objetivo de control es similar al utilizado por el método de ajuste Lambda [4].
2.3. Herramientas de análisis en lazo cerrado
El requisito básico de un sistema de control es la estabilidad. Por este motivo en la comunidad
de control automático se han desarrollado diferentes maneras de definir estabilidad en lazo
cerrado. Por ejemplo en términos de entrada-salida, se dice que un sistema es Bounded-Input
15
Bounded-Output (BIBO) estable si para cualquier entrada acotada, la salida es también acotada.
Si la salida del sistema no converge, pero no diverge, se dice que el sistema es marginalmente
estable. Un sistema es inestable, si la salida del sistema diverge. La estabilidad de un sistema
de lazo cerrado se puede determinar también conociendo las características del sistema por la
ubicación de sus polos en lazo cerrado. Un sistema de control Lineal Invariante en el Tiempo
(LTI) es estable cuando en el dominio de tiempo continuo todos sus polos de lazo cerrado están
en el semiplano izquierdo del Plano de Laplace, o en el dominio de tiempo discreto, todos sus
polos de lazo cerrado están dentro del círculo unitario en el plano Z.
2.3.1. Desempeño
El desempeño va un poco más allá de la estabilidad, para ello se aplican herramientas
que cuantifican la calidad del control, en particular, para su respuesta transiente. Hay varias
propiedades que se pueden usar para evaluarel comportamiento transitorio de un sistema de
control en lazo cerrado, por ejemplo, precisión en estado estacionario, tiempo de asentamiento
y sobrepaso.
2.3.1.1. Desempeño respecto a la salida
Los criterios más utilizados para evaluar la calidad del control en desempeño se relacionan con
el error de control e(t), definido como la diferencia entre el set-point r(t) y la salida del sistema
y(t). En (2.17) y (2.18) son presentados índices de rendimiento en forma de tiempo continuo y
de tiempo discreto, donde t0(k0) y tf (kf ) son los tiempos continuos (discretos) iniciales y finales
del período de evaluación. [40]
Error Integral Absoluto (IAE)
IAE =
∫ tf
t0
|e(t)|dt ≈
kf∑
k=k0
|r(kh)− y(kh)| (2.17)
Error Integral Absoluto ponderado por Tiempo (ITAE)
ITAE =
∫ tf
t0
t|e(t)|dt ≈ k
kf∑
k=k0
|r(kh)− y(kh)| (2.18)
16
IAE penaliza los errores de manera equitativa durante el tiempo, mientras que ITAE penaliza
el error en la medida que el tiempo avanza. El valor debe ser el menor posible.
Se consideran otros indicadores de desempeño relacionados con el problema principal para
un mejor análisis tomados de [41] considerando la respuesta escalón en lazo cerrado,
Tiempo de Asentamiento o Settling time (ts) el cual se calcula como el tiempo en que la
señal de salida alcanza la banda del 5 % de la señal deseada (see [42]).
Tiempo de Subida o Rise time (tr) que se calcula al tomar el tiempo en que la señal
alcanza el 63 % de la respuesta en estado estacionario.
El Indice de Sobrepaso u Overshoot (OS) Index, se define como,
OS = máx |y(k)| − |r(k)|
|y(k)| 100 % (2.19)
2.3.1.2. Desempeño respecto a la entrada
El desempeño respecto a la entrada implica cuantificar el esfuerzo de control que realiza
la entrada manipulada u(t), como por ejemplo evaluando la potencia necesaria para que el
controlador realice su tarea. Una de las alternativas es el uso de la Norma-2, (2.20) aplicada a
la entrada del sistema, [43]. Otra herramienta es la Variación Total (del inglés Total Variation,
TV) de u(t), que corresponde a la suma de todos sus movimientos hacia arriba y hacia abajo. La
TV es difícil de definir de manera compacta para una señal continua, pero es posible discretizar
la señal de entrada, la definición en (2.21), [38].
Norma-2 de u(t)
||u(t)||22 =
∫ tf
t0
u(t)2dt ≈
kf∑
k=k0
u(kh)2 = u(kh)Tu(kh) (2.20)
Variación Total (TV)
TV =
kf−1∑
k=k0
|u(kh+ h)− u(kh)| (2.21)
En ambos casos interesa que el valor sea el mínimo posible.
17
2.3.2. Robustez
Ningún sistema matemático puede modelar exactamente un sistema físico. Por esta razón
es necesario considerar cómo los errores de modelado pueden afectar de manera negativa el
rendimiento de un sistema de control, reduciendo su desempeño e incluso volviendo el sistema
inestable, [43].
En ese sentido es necesario definir las herramientas para la medición de robustez. A conti-
nuación, se presentan las herramientas de evaluación de robustez más importantes, las cuales se
extraen de [44],
A. Medidas Clásicas
Las mediciones de robustez comúnmente usadas en ajustes industriales, no requieren una
modelación de la incertidumbre de modelado.
• Margen de Fase (PM) y Ganancia (GM): Siendo estos los más comúnmente utili-
zados. Le otorgan robustez a la fase y la ganancia, aumentando hasta PM y GM en
el proceso, aunque no al mismo tiempo. Se debe considerar que el PM se define en
la frecuencia más baja donde la amplitud del lazo abierto es 1 (o cruce por 0db) y el
GM a la frecuencia más baja donde la fase del lazo abierto es −180◦.
• Margen de tiempo muerto (DM): Corresponde al menor retardo adicional en lazo
abierto a la frecuencia del PM , que haga el sistema en lazo cerrado inestable. Es
decir, si el margen de fase es PM a la frecuencia ωPM , entonces el margen de tiempo
muerto es DM = PM/ωPM > 0. Hay que tener en cuenta que el margen de tiempo
muerto no puede ser negativo, dado que PM y ωPM son siempre positivos.
B. Métodos basados en incertidumbre de modelo
Al realizar la modelación de un proceso es posible encontrar las limitaciones en la incerti-
dumbre, por ejemplo, en los parámetros como, ganancias, constantes de tiempo y tiempos
muertos. Al combinar estos intervalos se encuentra una región de incertidumbre para la
F. de T. de proceso. La forma de esta región a menudo tiene una descripción compleja
y es difícil de manejar en un diseño de controlador sistemático, ver por ejemplo [45]. El
enfoque sistemático más utilizado es, por lo tanto, unir esta región por un disco con cierto
radio, es decir, incertidumbre ligada a la norma. En un diagrama de Nyquist, esto puede
18
ilustrarse como un círculo de incertidumbre en cada frecuencia. Esto lleva a la posibilidad
de establecer restricciones en la sensibilidad y la función de sensibilidad complementaria,
S(s) = 11 + P (s)C(s) , T (s) =
P (s)C(s)
1 + P (s)C(s) , (2.22)
Donde P (s) y C(s) son las F. de T. del proceso y el controlador respectivamente. Las
restricciones son a menudo expresadas como
||S(s)Ws(s)||∞ < 1, ||T (s)WT (s)||∞ < 1, (2.23)
es decir, según la norma infinito, ver [45], [46] [47] y [4]. Esto se conoce como estabilidad
robusta en el marco de un control robusto y los pesos Ws(s) y WT (s) son parámetros
de diseño. Si las regiones de incertidumbre son difíciles de modelar, los pesos se pueden
elegir como constantes y las restricciones se expresan como ||S(s)||∞ < MS y ||T (s)||∞ <
MT . Las restricciones se pueden ilustrar como círculos independientes de la frecuencia
en un diagrama de Nyquist y se usan comúnmente en el control del proceso debido a su
simplicidad, ver [4].
Uno de los principales problemas con el enfoque anterior es la posibilidad de conservadu-
rismo. Es decir, la región de incertidumbre del proceso, cubierta por un círculo, podría
no tener en realidad una forma similar a un círculo y, por lo tanto, el modelo de proceso
puede contener procesos no representables con este enfoque.
En otro artículo de E. Jahanshahi, V. De Oliveira, C. Grimholt y S. Skogestad, [48] se define
robustez de manera breve, comenzando inmediatamente con las herramientas utilizadas para
cuantificarla y que coinciden con las mencionadas en [44]. Las herramientas mencionadas son el
peak (o valor máximo) de sensibilidad (MS), el peak de sensibilidad complementaria (MT ), el
GM , el PM y el error de retardo de tiempo permitido (∆L/L), que viene a ser una alternativa
al DM . En el artículo se escoge cuantificar la robustez como.
M = máx(MS,MT ), (2.24)
Donde Ms = ||S(s)||∞ = máx
ω
|S(jω)| y MT = ||T (s)||∞ = máx
ω
|T (jω)|, || · ||∞ corresponde a la
norma-H∞, la cual entrega el valor máximo en el dominio de la frecuencia. Un pequeñoM indica
que se permiten grandes perturbaciones relativas en las funciones de transferencia del proceso,
[4]. Como el sistema del estudio es inestable dicen que normalmente tendrán M = MT . Sin
19
embargo, para procesos estables, generalmente se tiene M = MS. Una de las diferencias en [48],
es que considera además la importancia de limitar el uso de la entrada o esfuerzo de control. Esto
se puede lograr limitando el peak de la magnitud Mks = ||C(s)S(s)||∞ = máx
ω
|C(jω)S(jω)|.
2.3.3. Incertidumbre de modelado
Al igual que en el capitulo anterior será considerado el modelado del proceso como un sistema
FOPTD, en donde el modelo nominal P (z) será equivalente al descrito en (1.1),
P (z) = y(z)
u(z) = kp
z−Np
z − pp
. (2.25)
Si consideramos que cada uno de los parámetros posee un grado de incertidumbre podemos
describir un modelo más completo P̂ (z) que representa el modelo de la planta real con mayor
certeza.
P̂ (z) = (kp + ∆kp)
z−(Np+∆Np)
z − (pp + ∆pp)
. (2.26)
Donde, ∆kp, ∆pp y ∆Np corresponden al valor de incertidumbre del modelo de la planta los
cuales están acotados a un cierto rango dado por cada proceso en particular. Notar que, ∆kp
afectará directamente el margen de ganancia y ∆Np afectará directamente el margen de fase.
2.4. Modelación
Los modelos se identificarán experimentalmente desde un canal hidráulico de laboratorio
mediante respuestaa escalón en un punto de operación correspondiente al 50[ %] del valor de
entrada con una estructura FOPTD. Se identifican dos lazos, uno de flujo de agua cuya entrada
es la frecuencia del VDF y otro de nivel de agua cuya entrada es el flujo de agua, ver Figura
2.5. Los modelos identificados serán usados para sintonizar los controladores. El método de
identificación se realiza mediante mínimos cuadrados, ver [49], aplicado a los datos obtenidos de
las variables de entrada y salida ante un escalón de 10% a la variable de entrada en lazo abierto
en el punto de operación, un ejemplo de ensayo para adquirir datos se puede ver en la Figura
2.4. La estructura utilizada será ARX (autoregresivo con entrada exógena) de primer orden
y(k) = ppy(k − 1) + kpu(k −Np − 1), para obtener los parámetros que corresponden al modelo
FOPTD equivalente (2.8). Los datos deben ser agrupados para el cálculo de los parámetros
como sigue,
20
y(Np + n) = ppy(Np + n− 1) + kpu(n− 1) (2.27)
y(Np + n− 1) = ppy(Np + n− 2) + kpu(n− 2)
... = ...
y(Np + 2) = ppy(Np + 1) + kpu(1)
y(Np + 1) = ppy(Np) + kpu(0)
con Np + n la cantidad de datos a utilizar. Notar que, los datos mínimos a utilizar serán Np, en
la practica se utilizan muchos más. El retardo Np se obtiene al realizar la diferencia de muestras
entre el número de la muestra al momento la aplicación del escalón a la entrada y el número de
la muestra al momento en que el sistema responde. De manera matricial la ecuación (2.28) se
puede expresar como,
Y = M [pp kp]T , (2.28)
los parámetros se obtienen resolviendo la siguiente ecuación matricial 2.29, obtenida de la ecua-
ción 2.28.
[pp kp]T = (MTM)−1MTY, (2.29)
Fig. 2.4: Ensayo para obtener datos de modelación (lazo de nivel de agua).
Las variables fueron normalizadas en el rango de 0[ %] a 100[ %], donde 0[ %] corresponde al
valor mínimo igual a cero en todos los casos y 100[ %] corresponde al máximo valor mostrado
en la Tabla 2.2 para cada variable.
21
Tabla 2.2: Variables normalizadas
Variable Valor máximo
Flujo de agua 4.5 [lt/s]
Nivel de agua 22.0 [cm]
Frecuencia del VDF 50.0 [Hz]
Apertura de compuerta 5.0 [cm]
2.5. Simulación
Las simulaciones se realizan mediante la utilización del software MATLAB® y Simulink® en
donde se programarán los distintos sistemas y lazos de control, además de realizar el ajuste
de parámetros mediante métodos de optimización, lugar geométrico de raíces y resolución de
ecuaciones matriciales. Luego se obtendrán gráficas y resultados a partir de herramientas de
desempeño y robustez, que permitirán comparar las estrategias presentadas. Las herramientas
utilizadas fueron descritas en la sección 2.3. El desarrollo en simulación de las estrategias de
control y sus métodos de sintonización se realizan en tiempo discreto.
2.6. Experimentos
Los ensayos experimentales consideran el control de flujo de entrada y nivel de agua en un
micro-canal de laboratorio, ver P&ID en la Figura 2.5 .
Los componentes principales del control de flujo se representan en la Figura 2.6. Una bomba
centrífuga maneja la manipulación del flujo a través de un variador de frecuencia variable (VFD)
Rockwell PowerFlex® 40 y un medidor de flujo electromagnético Endress+Hauser® Promag D
mide el caudal. La segunda configuración considera el control de nivel del micro-canal mediante
la manipulación del flujo de entrada, en configuración cascada, en donde la posición de apertura
de la compuerta fija las condiciones del proceso; como se ilustra en la Figura 2.7. El lazo de
nivel considera un sensor de nivel ultrasónico Endress+Hauser® Prosonic M y un motor de paso
que manipula la compuerta.
La implementación de los controladores se llevó a cabo en un PLC Rockwell ControlLogix
® PLC a través del lenguaje de programación de Texto Estructurado. Las funciones y parámetros
recursivos se obtienen directamente aplicando la Transformada Z inversa a las F. de T. de cada
22
Fig. 2.5: P&ID del setup, canal hidráulico de laboratorio.
controlador obtenido.
Tanto el lazo de flujo como el de nivel se controlarán con las estrategias de control propuestas,
PI, PPI, GPPI. La respuesta en lazo cerrado deseada se obtendrá mediante simulación para
verificar el desempeño del lazo cerrado. Luego, los parámetros de sintonización obtenidos se
transferirán al PLC, y las mismas respuestas en lazo cerrado serán desarrolladas en la planta
real. Posteriormente, estos datos serán contrastados con los resultados de la simulación.
2.6.1. Sumario
En este capítulo han sido presentadas las características de los sistemas de primer orden
con retardo, su representación continua, función de transferencia, respuesta a escalón su
equivalente el discreto y como se relacionan los parámetros de la F. de T. continua con
F. de T. discreta. Se desarrolla la característica L/τ o índice de autorregulación y se
entregan ejemplos para su mejor comprensión.
Se presenta la estructura de control en lazo cerrado a utilizar en F. de T. y como diagrama
de bloques. Con ello se define el problema principal diseñar un sistema de lazo cerrado
que tenga una respuesta escalón sobre amortiguada (sin sobrepaso), con la respuesta más
rápida posible, sujeta a ciertos requisitos de robustez.
23
Fig. 2.6: Control de flujo del setup experimental.
Fig. 2.7: Control de nivel de agua del setup experimental.
Son presentadas las herramientas de análisis en lazo cerrado tanto de desempeño, IAE,
ITAE, ts, tr y OS, como las herramientas de robustez clásicas, margen de fase, ganancia,
tiempo muerto y las herramientas basadas en incertidumbre como MS y MT .
Son presentados los métodos de: modelación mediante mínimos cuadrados en un punto de
operación, simulación usando MATLAB® y Simulink® y la realización de experimentos,
los cuales se realizan en una planta con equipamiento industrial.
24
CAPÍTULO 3
Estructura y diseño de controladores PI , PPI
y GPPI
El siguiente capítulo presenta la estructura y diseño de los controladores PI y PPI que se-
rán utilizados, así como también la estructura y diferentes métodos de diseño del controlador
propuesto, llamado Proporcional Integral Predictivo Generalizado (GPPI, del ingles General
Predictive PI), sus características. El diseño de los controladores estarán orientados a procesos
FOPDT.
3.1. Control PID
Los controladores PID son los controladores más adoptados en entornos industriales debido
a su relativa facilidad de uso y al rendimiento satisfactorio que son capaces de proporcionar para
la gran mayoría de los procesos. De hecho, la relación costo/beneficio que pueden conseguir es
difícil de superar por otros tipos de controladores. Debido a su uso generalizado, se han propuesto
muchas técnicas para el ajuste de los parámetros y para la implementación de funcionalidades
adicionales que mejoran su rendimiento [10]
Un controlador PID consiste en la suma de tres acciones de control. Una acción de control
proporcional al error de control e(t), una acción de control proporcional a la integral de e(t) y una
acción de control proporcional a la primera derivada de e(t). De hecho, la acción proporcional
implementa la operación típica de aumentar la variable de control cuando el error de control es
grande (con el signo apropiado). La acción integral está relacionada con los valores pasados del
error de control y permite la reducción a cero del error de estado estacionario cuando se aplica
una señal de referencia escalón o se produce una perturbación de carga constante d(t). La acción
derivativa se basa en los valores futuros estimados de e(t), por tanto, tiene un gran potencial
25
para mejorar el rendimiento del control, ya que puede anticipar una tendencia incorrecta del
error de control y contrarrestarlo. En su forma básica, la acción de control u(t) se puede expresar
como,
u(t) = kc
(
e(t) + 1
Ti
∫ t
0
e(v)dv + Td
d
dt
e(t)
)
(3.1)
donde e(t) = r(t)− y(t) es el error de control, kc es la ganancia proporcional, Ti es constante de
tiempo integral, y Td es la constante de tiempo derivativa. Este controlador tiene como F. de T.,
CPID(s)=
u(s)
e(s) = kc
(
1 + 1
sTi
+ sTd
)
(3.2)
Aunque los controladores clásicos como el PID y el PI pueden usarse cuando el tiempo
muerto es relativamente pequeño, su rendimiento generalmente se degrada para los sistemas
de retardo de tiempo largo, [16] pudiendo inclusive conducir a la inestabilidad de lazo cerrado
debido a una disminución adicional no deseada en la fase del sistema [12].
Como se mencionó anteriormente, el control de los sistemas delay-dominantes es notoria-
mente difícil. También es un tema sobre el cual hay muchas opiniones diferentes sobre el mérito
del control PID, sin embargo, parece haber un acuerdo general de que la acción derivada no
ayuda mucho a los procesos delay-dominantes.[4]
Según [22], la predicción a través de la derivación de la señal de medición no es apropiada
cuando el proceso contiene largos tiempos muertos. Por lo tanto, si se aplica un controlador PID
en este tipo de problema, la parte derivativa se desactiva y solo se usa el control PI. Por este
motivo, el análisis posterior sólo considera el caso PI en donde el énfasis estará en mejorar los
resultados para sistemas delay-dominantes.
CPI(s) =
u(s)
e(s) = kc
(
1 + 1
sTi
)
(3.3)
3.1.1. Control PI discreto
La ecuación recursiva del controlador PI en tiempo discreto, mediante el Método de Euler
hacia adelante, se define como,
u(k) = u(k − 1) + kce(k) + kc(1/ki − 1)e(k − 1) (3.4)
26
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
branch from z=p
p
branch from z=1
branches from z=0
Fig. 3.1: Root-Locus para control PI con zc < pp
Con F. de T., Figure 3.2 a),
CPI(z) = kc
z − zc
z − 1 (3.5)
Donde ki = Ti/Ts, kc > 0 es la ganancia del controlador y zc = 1−1/ki es el cero del controlador,
ambos parámetros deben ser ajustados de manera que se satisfagan los requisitos de diseño.
3.1.2. Diseño de control PI discreto para una planta FOPTD
Para un lazo de control PI, la ecuación en lazo abierto considerando kb = kckp es la siguiente,
P (z)CPI(z) = kb
1
zNp(z − pp)
(z − zc)
(z − 1) , (3.6)
los posibles polos de lazo cerrado estarán restringidos por la estructura de control y la selección
de kc y zc. El Root-Locus para un sistema FOPTD más un controlador PI con zc < pp y
considerando Np = 7 se representa en la Figura 3.1. Como se ve en esta figura, los polos
dominantes de lazo cerrado estarán determinados por la posición del cero del controlador. La
respuesta de lazo cerrado más rápida se obtiene cuando el cero del controlador se encuentra a la
izquierda del polo del proceso. En este caso, los polos de lazo cerrado deseados se ubicarán justo
en el punto de despegue entre el polo del proceso y el polo del controlador. No se considera un
enfoque de cancelación de polo cero, ya que en la práctica esta no es una opción robusta debido
a la incertidumbre propia de la modelación del proceso, en especial en un polo lento, [8].
Para encontrar el punto de despegue, según el argumento de Root-Locus, se requiere encon-
27
trar la posición de la raíz que maximice la ganancia total; es decir,
∂kb
∂z
= ∂
∂z
(
zNp(z − 1)(z − pp)
(z − zc)
)
= 0 (3.7)
En este caso, si se eliminan las soluciones triviales, esta condición se reduce a una ecuación de
tercer orden en el punto de despegue zd
Npz
3
d −(Nppp +Np +Npzc − pp − 1 + zc)z2d+
(2ppzc + 2zc)zd − zcpp = 0
(3.8)
Dado z∗d la solución real de (3.8), en el intervalo entre el polo del sistema y 1. La ganancia k∗b
en el punto de despegue, se puede calcular como
kb
∗ = z
∗
d
Nc(z∗d − 1)(z∗d − pp)
(z∗d − zc)
(3.9)
3.2. Predictive Proportional Integral Control
En el año 1992 y más adelante en el año 1996 la estrategia de control PPI es presentada por
Hagglund [21, 22] en tiempo continuo. Esta estrategia es presentada como un compensador de
tiempo muerto con un enfoque de aplicación en la industria con la ventaja de que solo posee tres
parámetros de ajuste para el controlador, una ganancia kc, tiempo integral Ti y tiempo muerto
Lc, los cuales se ajustan en base a un modelo FOPTD de la planta que se requiere controlar.
La estructura del controlador es la siguiente,
u(t) = kce(t) +
kc
Ti
∫ t
0
e(t)dt− 1
Ti
∫ t
0
(u(t)− u(t− Lc)) dt, (3.10)
con función de transferencia,
CPPI(s) = kc
sTi + 1
(sTi + 1− e−sLc)
, (3.11)
donde Lc debe ser ajustado igual al retardo de la planta L. Notar que si se hace Lc = 0, entonces
el controlador PPI viene a ser un controlador PI.
En el libro “PID Controllers: Theory, Design, and Tuning” [11] se menciona la estrategia de
control PPI por medio de un método de ajuste analítico llamado λ-tuning. El método λ-tuning
28
considera un proceso FOPTD,
P (s) = kp
e−sL
τs+ 1 . (3.12)
y considerando una F. de T. en lazo cerrado objetivo como,
T (s) = e
−sL
λτs+ 1 . (3.13)
donde λ es un parámetro de sintonización. La constante de tiempo del lazo abierto y el lazo
cerrado son la misma si λ = 1. El lazo cerrado responde más rápido si λ < 1 y más lento si
λ > 1. La siguiente ecuación muestra la función de transferencia del controlador PPI usando
λ-tuning,
CPPIλ(s) = kc
sTi + 1
(sλTi + 1− e−sLc)
, (3.14)
notar que para λ = 1 el controlador es equivalente al presentado en (3.11).
El método λ-tuning, fue desarrollado a partir del controlador desarrollado por Dahlin (1968)
y Higham (1968), [4], como un controlador discreto cuya función de transferencia para una
planta (2.9) es la siguiente,
CDH(z) =
(1− pd)(1− ppz−1)
kp (1− pdz−1− (1− pd)zNp+1)
, (3.15)
con una F. de T. de lazo cerrado deseada,
T (z) = y(z)
u(z) = (1− pd)
z−Np
z − pd
. (3.16)
3.2.1. Control PPI discreto
De la misma forma en tiempo discreto, mediante el Método de Euler hacia adelante, el
controlador PPI posee una estructura similar, pero la señal de control esta retrasada en Nc
periodos de muestreo, como se muestra en la Figura 3.2 (b). La ecuación recursiva se representa
como,
u(k) = zcu(k − 1) + (1− zc)u(k −Nc) + kce(k) + kczce(k − 1) (3.17)
con función de transferencia
CPPI(z) = kc
(z − zc)zNc
zNc(z − zc)− (1− zc)
. (3.18)
29
De manera equivalente al caso continuo, Nc debe ser seleccionado igual a Np. Observar que
z = 1 es un polo del controlador, por lo tanto, la estructura está dotada de un integrador.
Nota 1. Observar que la diferencia estructural entre el controlador PPI y el controlador PI es
el uso de la entrada de control retrasada u(k−Nc − 1). Si Nc = 0, entonces el controlador PPI
se convierte en un controlador PI.
3.2.2. Diseño de control PPI discreto para una planta FOPTD
La ecuación en lazo abierto considerando un controlador PPI es,
P (z)CPPI(z) = kb
1
zNp(z − pp)
zNc(z − zc)
zNc(z − zc)− (1− zc)
(3.19)
Si Np = Nc y zc < pp, entonces solo habrá un punto de partida entre el polo del sistema y el de
1. Por lo tanto, al igual que en el caso anterior para PI, el punto de despegue se puede obtener
dejando que la derivada de la ganancia total con respecto a z sea igual a cero
∂kb
∂z
= ∂
∂z
(
(z − pp)(zNc(z − zc)− (1− zc))
(z − zc)
)
= 0 (3.20)
esta condición lleva a la siguiente ecuación para encontrar el punto de despegue
(Nc − 1)zNc+1d −(Ncpp − 2pp +Nczc)zNc+
(Nc − 1)ppzczNc−1d + (zc − pp)zd − (zc − pp) = 0
(3.21)
Dado z∗d la solución real (3.21) en el intervalo entre el polo del sistema y 1. Por lo tanto, la
ganancia k∗b en el punto de partida se puede calcular de la siguiente manera
k∗b =
(z∗d − pp)(z∗dNc(z∗d − zc)− (1− zc))
(z∗d − zc)
(3.22)
3.3. General Predictive Proportional Integral Control
La estrategia de control GPPI, utiliza una combinación lineal de todas las acciones de control
pasadas, para estimar la acción de control actual u(k), desde u(k − 1) hasta u(k −N − 1),
aprovechando el máximo de información disponible. Con esto, se agregan grados de libertad
30
1
ki(z-1)+1
+kc
e(k)
u(k)
z
-Nc
ki(z-1)+1
+kc
e(k) u(k)
ΣNc α
i
 z
-Nc-i
ki(z-1)+1
+kc
e(k) u(k)
i=0
a)
b)
c)
Fig. 3.2: Estructuras de control: a) PI, b)PPI, c)GPPI.
adicionales a la estructura de control con respecto a PI y PPI, como se muestra en la Figura
3.2 (c).
3.3.1. Estructura de control GPPIComo se mencionó, la señal de control u(k) puede ser obtenida de la siguiente forma,
u(k) = zcu(k − 1) + (1− zc)
∑Nc
j=0 u(k − j − 1)αj+
kce(k)− kczce(k − 1)
(3.23)
donde los αj son parámetros adicionales que deben ser ajustados. La F. de T. para GPPI es,
CGPPI(z) = kc
(z − zc)zNc
zNc(z − zc)− (1− zc)
∑Nc
j=0 z
Nc−jαj
. (3.24)
Observar que para asegurar la presencia de integración en CGPPI(z) se requiere que la∑Nc
j=1 αj = 1, con lo que se obtiene un polo en 1.
Nota 2. De manera similar a la Nota 1, se puede observar de la ecuación (3.24) que si αNc = 1
y αi = 0 para todos i 6= Nc, entonces la estructura del controlador GPPI se convierte en un
controlador PPI. Por otro lado, si α0 = 1 y αi = 0 para todos i 6= 0, el controlador vuelve a una
estructura PI.
31
3.3.2. Estructura continua de GPPI
Como complemento para el análisis y la comprensión de GPPI, a continuación, se presenta
la estructura equivalente para tiempo continuo.
u(t) = kce(t) +
kc
Ti
∫ t
0
e(t)dt− 1
Ti
∫ t
0
(
u(t)−
Nc∑
i=0
u(t− T0i)αi
)
dt, (3.25)
donde 0 < T0 < L es un instante de tiempo, ver (4.1), Nc = L/T0 es el número de grados de
libertad y los αi son los parámetros de ponderación. Nc debe ser entero. La F. de T. de GPPI
en tiempo continuo es la siguiente,
CGPPI(s) = kc
sTi + 1
sTi +
(
1−∑Nci=0 e−sT0iαi) . (3.26)
Es importante considerar∑Nci=0 αi = 1, igual que el caso discreto, para asegurar la acción integral
en CGPPI , de esta manera es posible obtener cero error en estado estacionario ante una entrada
escalón en la referencia o de perturbación.
Nota 3. Notar que al igual que en el caso discreto si αNc = 1 y αi = 0 para todos los i 6= Nc,
entonces la estructura del controlador viene a ser PPI. Por otro lado, si α0 = 1 y αi = 0 para
todos los i 6= 0, el controlador toma la estructura PI.
3.3.3. Diseño de control GPPI discreto
Se presentan tres métodos de ajuste alternativas para la estructura de control GPPI pro-
puesta en (3.24) considerando la planta (2.9). Cada una de las estrategias propone un diseño
en lazo cerrado estable y sobreamortiguado, a través de la colocación de polos.
3.3.3.1. Ajuste GPPI ponderado, Weighted GPPI tuning
El primer método de ajuste para la estructura GPPI será denominado General Predictivo
Proporcional Ponderado (del inglés General Predictive Proportional Weighted, GPPW), ya que
requiere una ponderación de referencia para alcanzar el valor esperado en la salida.
32
r(z)
wα C(z) P (z)
-
+ +
dy(z)
e(z) u(z) y(z)
Fig. 3.3: Diagrama de bloque de lazo de control realimentado para el ajuste de parámetros
GPPW.
Lemma 3.3.1. (Ajuste GPPW) Los pasos para el ajuste GPPW son:
Seleccionar Nc = Np y seleccionar Nc+ 2 polos pj que corresponden a los polos deseados
de lazo cerrado con Re{pj} ∈ [0, 1[ , que luego definen el polinomio característico de lazo
cerrado deseado dobjcl (z) como,
dobjcl (z) = zNc+2 + dNc+1zNc+1 + · · ·+ d1z + d0 =
Nc+1∏
j=0
(z − pj) (3.27)
Seleccionar zc ∈ [0,máx(Re{pj})] y diferente de pp.
Para obtener los coeficientes αj, y la ganancia del controlador kc, la siguiente ecuación
debe ser resuelta,

−1 0 0 · · · 0 0 0
pp −1 0 · · · 0 0 0
0 pp −1 · · · 0 0 0
... ... ... . . . ... ... ...
0 0 0 · · · −1 0 0
0 0 0 · · · pp −1 kp
0 0 0 · · · 0 pp −zckp


α̂0
α̂1
α̂2
...
α̂Nc−1
α̂Nc
kc

=

dNc+1 + zc + pp
dNc − ppzc
dNc−1
...
d2
d1
d0

,
(3.28)
considerando α̂j = (1− zc)αj.
33
Para lograr un error de estado estacionario cero, la referencia debe multiplicarse por un
peso wα igual a,
wα = T (1)−1 =
dobjcl (1)
kpkc(1− zc)
. (3.29)
antes de ingresar al lazo cerrado, ver Figura 3.3.
El lazo cerrado obtenido será estable, con una respuesta a escalón sobre amortiguada y cero
error ajustable a través del parámetro wα.
Prueba: Considerando el modelo de la planta (2.9) y la estructura de control GPPI (3.24), la
F. de T. de lazo abierto estará dada por,
P (z)CGPPI(z) = kpkc 1zNp (z−pp)
zNc (z−zc)
(zNc+1−zczNc−(1−zc)
∑Nc
j=0 z
Nc−jαj)
(3.30)
La F. de T. de lazo cerrado para Nc = Np, es entonces
T (z) = kpkc(z − zc)
dcl(z)
(3.31)
donde dcl(z), el polinomio característico se convierte,
dcl(z) = (zNc(z − zc)− (1− zc)
∑Nc
j=0 z
Nc−jαj)(z − pp)
+kpkc(z − zc)
(3.32)
Dado α̂j = (1− zc)αj y expandiendo sus términos, los coeficientes del polinomio característico
en (3.32) puede identificarse como,
dcl(z) = zNc+2 − (pp + zc + α̂0)zNc+1 + (ppα̂0 − α̂1 − zcpp)zNc+
Nc−2∑
j=1
zNc−j(α̂j − α̂j+1pp) + (kpkc − α̂Nc + α̂Nc−1pp)z + (α̂Ncpp − kpkczc) (3.33)
De (3.33) está claro que los parámetros de diseño del controlador αj, kc y zc, dada la elección
del usuario de polos de lazo cerrado definidos por (3.27), satisfacen el conjunto de ecuaciones
definidas en (3.28).
La elección de zc se basa en lo siguiente. Primero, dada la estructura de lazo cerrado (3.31),
34
zc debe ser menor que un polo de lazo cerrado para abordar el problema principal. Por otro
lado, si se elige zc igual a pp, hay una disminución en el rango en la matriz cuadrada de (3.28),
por lo que no es invertible y no se puede encontrar una solución.
Finalmente, obtenemos wα en (3.29) de la Figura 3.3, invocando el Teorema del valor final
que establece que ĺımt→∞ y(t) = ĺımz→1(z− 1)wαT (z)r(z) (ver por ejemplo [50, §12.6] para más
detalles) y así observar que wα tiene que satisfacer wαH(1) = 1 para lograr el valor esperado
en la salida para una señal similar a un paso r(z). A partir de este último hecho, y la definición
del T (z) = kpkc(z − zc)/dobjcl (z) en (3.31), recuperamos el valor de wα como en (3.29).
�
Nota 4. Es importante elegir los valores deseados de los polos de lazo cerrado entre 0 y 1 para
obtener una respuesta sin sobreimpulso. La dinámica de lazo cerrado se puede modificar como
se desee. Por ejemplo, al elegir todos los polos de lazo cerrado en 0.4, la respuesta de salida será
más agresiva; es decir, una respuesta más rápida pero un mayor esfuerzo de control. Por otro
lado, al elegirlos a 0,8, la respuesta de salida será más conservadora, es decir, una respuesta
más lenta y un menor esfuerzo de control. También notamos que wα en (3.29) es un número
real positivo, que será mayor cuanto más cercano sea zc a 1.
3.3.3.2. Ajuste GPPI nominal
El segundo método de ajuste para GPPI será llamado, ajuste GPPI nominal (GPPIn) o
simplemente ajuste GPPI. Esta método de ajuste de GPPI garantiza integración de lazo cerrado
al considerar el parámetro zc como parámetro a calcular, luego es posible forzar la restricción∑Nc
j=0 αj = 1, equivalente a agregar la acción integral.
Lemma 3.3.2. (Ajuste GPPI) Los pasos para el ajuste GPPI son:
Seleccione Nc = Np y luego seleccione Nc + 2 polos pj, correspondientes a los polos de
lazo cerrado deseados, dentro del disco unitario abierto, que luego definen el polinomio
característico de lazo cerrado dobjcl (z). Para obtener una respuesta sobreamortiguada, los
polos de lazo cerrado deben contener al menos un polo más grande1 que pp,
1Este requisito adapta, mutatis mutandis, el resultado de tiempo continuo de [50, Lemma 8.3].
35
dobjcl (z) = zNc+2 + dNc+1zNc+1 + · · ·+ d1z + d0 =
Nc+1∏
j=0
(z − pj) (3.34)
Para obtener los parámetros del controlador, se debe resolver la siguiente ecuación,

1 0 0 · · · 0 0 0
−(1 + pp) 1 0 · · · 0 0 0
pp −(1 + pp) 1 · · · 0 0 0
... ... ... . . . ... ... ...
0 0 0 · · · 1 0 0
0 0 0 · · · −(1 + pp) 1 0
0 0 0 · · · pp 0 1


β̂1
β̂2
β̂3
...
β̂Nc
ψ1
ψ2

=

dNc+1 + 1 + pp
dNc − pp
dNc−1
...
d2
d1
d0

(3.35)
donde ψ1 = kckp, ψ2 = −zckpkc y β̂0 = 1. La siguiente ecuación (3.36) es equivalente a
(3.24), solo que se expresa en términos βj por simplicidad,
CGPPI(z) = kc
(z − zc)zNc∑Nc+1
j=0 βjz
Nc+1−j
, (3.36)
considerando la equivalencia ∑Nc+1j=0 zNc+1−jβj = (z − 1)∑Ncj=0 zNc−jβ̂j que relaciona los
parámetros βj y β̂j.
El lazo cerrado alcanzado será estable, conuna respuesta escalón sobre amortiguada y ce-
ro error en estado estacionario. Este controlador tiene integración, por lo que puede rechazar
perturbaciones escalón de carga.
Demostración. Teniendo en cuenta el modelo de planta (2.9), la estructura del controlador
GPPI (3.36) y la función de transferencia de bucle cerrado, para Nc = Np, en (3.31). Además,
36
el polinomio característico de bucle cerrado (3.37) con un polo del controlador restringido a uno
para lograr la integración,
dcl(z) = (z − pp)(z − 1)
Nc∑
j=0
zNc−jβ̂j + kpkc(z − zc). (3.37)
Expandiendo los términos y equiparando los coeficientes con la ecuación característica desea-
da de ciclo cerrado (3.27), satisface el conjunto de ecuaciones definidas en (4.17).
�
3.3.3.3. GPPI State Feedback control tuning
El tercer ajuste para GPPI se desarrolla en espacio de estados y se denomina control GPPI
en espacio de estados (del inglés GPPI State Feedback, GSF). La estructura del GPPI, ver la
ecuación (3.23), también se puede interpretar como un controlador de realimentación de estados
para el sistema aumentado, donde se agrega un bloque de integración a la planta para asegurar
cero error en estado estacionario debido a perturbaciones o incertidumbre paramétrica, de la
siguiente manera,
Pa(z) =
z
z − 1P (z) = kp
z−Np z
(z − pp)(z − 1)
(3.38)
y r(k) una señal de referencia constante. Se debe tener en cuenta que al agregar un integrador a
la planta, el diseño del controlador considera ∆u(k) = u(k)−u(k− 1) como una nueva entrada.
Por lo tanto, si se definen las siguientes variables de estado
x1(k) = e(k) = r − y(k)
x2(k) = e(k − 1) = r − y(k − 1)
x3(k) = ∆u(k −Np)
...
xNc+2 = ∆u(k − 1),
(3.39)
entonces la dinámica de error se puede describir mediante la siguiente representación en espacio
de estado
x(k + 1) = Ax(k) +B∆u(k)
e(k) = Cx(k)
(3.40)
37
donde x(k) = [x1(k) x2(k) x3(k) · · · xNc+2(k)]T y las matrices del sistema son:
A =

(1 + pp) −pp −kp 0 · · · 0
1 0 0 0 · · · 0
0 0 0 1 · · · 0
... ... ... ... . . . ...
0 0 0 0 · · · 1
0 0 0 0 · · · 0

, B =

0
0
0
...
0
1

, CT =

1
0
0
...
0
0

. (3.41)
El controlador de retroalimentación de estado para este sistema es ∆u(k) = −Kx(k), donde
K = [k1 k2 · · · kNc+2] es un vector de ganancia . Tenga en cuenta que si la señal de control
se expresa en términos de u(k) variables, tiene la misma estructura GPPI,
u(k) = kce(k) + kczce(k − 1) +
Nc∑
j=0
γj+1u(k − j − 1), (3.42)
considerando la selección de variables de estado y u(k) = u(k − 1) + ∆u(k), los valores de γ se
pueden obtener del vector de ganancia K de la siguiente manera,
kc = −k1, zc = −k2/k1, γ1 ··· Nc = [1 kNc+2 ··· 3]− [kNc+2 ··· 3 0], (3.43)
Lemma 3.3.3. (Ajuste GSF) Los pasos para el ajuste de GSF son:
Evalúe las matrices A, B y C de (3.41).
Para obtener una respuesta sobreamortiguada, encuentre un vector de ganancia K para
que la matriz de lazo cerrado A−BK tenga un conjunto de valores propios deseados dentro
del disco unitario abierto, con al menos uno más grande que pp
Este enfoque considera la acción integrativa a través de la representación en espacio de estado.
Prueba: Para la representación de espacio de estado aumentado, si el par (A,B) es controlable,
entonces es posible encontrar un vector de ganancia K para que la matriz de bucle cerrado
A−BK tenga un conjunto de valores propios deseados. �
38
3.3.4. Análisis en el sentido de IAE
En esta sección, el desempeño del control GPPI en términos de error integral absoluto
discreto (IAE) se compara con los obtenidos para los los controladores PI y PPI. Este estudio
se basa en el análisis continuo de [22] para la comparación de PI con PPI.
3.3.4.1. Desarrollo de IAE analítico para GPPI
La ley de control PI mencionada en (3.4) como una ecuación recursiva, puede ser representado
en forma de sumatoria como sigue,
u(k) = kce(k) + kc(1− zc)
k−1∑
j=0
e(j) (3.44)
Dado la ley como sumatoria (3.49), ante un escalón de perturbación en la salida (dy), como
se muestra en la Figura 2.3, el cambio en la señal de control es:
u(kf + 1)− u(kd) = ∆du = kc(1− zc)
kf∑
j=kd
e(j), (3.45)
donde la suma debe hacerse desde el tiempo discreto de perturbación kd, a kf + 1 el tiempo dis-
creto cuando el error de control es cercano a cero. Dado que los controladores están sintonizados
para tener una respuesta sobre-amortiguada o críticamente amortiguada, entonces la suma del
error absoluto es igual a la suma del error absoluto, es decir,
∣∣∣∣∣∣
kf∑
j=kd
e(k)
∣∣∣∣∣∣ =
kf∑
j=kd
|e(k)|, (3.46)
luego de manera similar a [22], suponiendo ∆du > 0 y considerando la definición de IAE de la
siguiente manera,
IAEPI =
∫ tf
td
|e(t)|dt ≈
kf∑
j=kd
|e(k)|, (3.47)
El IAE del control PI en tiempo discreto se puede expresar como,
IAEPI ≈
kf∑
j=kd
|e(k)| = 1
kc(1− zc)
∆du. (3.48)
39
Del mismo modo, el controlador PPI se puede representar en forma de suma de la siguiente
manera,
u(k) = kce(k) + kc(1− zc)
k−1∑
j=0
e(j)− (1− zc)
k−1∑
j=0
(u(j)− u(j −Nc)) , (3.49)
después de un cambio de paso de perturbación considerando que,
kf∑
j=kd
(u(j)− u(j −Nc)) = Nc∆du, (3.50)
y control críticamente amortiguado, la expresión IAE del control PPI es,
IAEPPI ≈
kf∑
j=kd
|e(k)| = 1 +Nc(1− zc)
kc(1− zc)
∆du, (3.51)
La expresión para GPPI en forma de suma es,
u(k) = kce(k) + kc(1− zc)
k−1∑
j=0
e(j)− (1− zc)
k−1∑
j=0
(
u(j)−
Nc∑
i=0
u(j − i)αi
)
, (3.52)
Lemma 3.3.4. La suma con la combinación lineal de la señal de control en el controlador GPPI
(3.52) después de que se produce un cambio de paso de perturbación
kf∑
j=kd
(
u(j)−
Nc∑
i=0
u(j − i)αi
)
=
Nc∑
i=0
iαi∆du, (3.53)
Prueba: Dada la ecuación (3.53), debe expandirse como,
kf∑
j=kd
u(j)− α0
kf∑
j=kd
u(j)− α1
kf∑
j=kd
u(j − 1) . . .
− α
Nc−1
kf∑
j=kd
u(j − (Nc − 1))dt− αNc
kf∑
j=kd
u(j −Nc) (3.54)
Desarrollando los factores acompañados de αi, se puede hacer un cambio en los límites de suma
como
αi
kf∑
j=kd
u(j − i) = αi
kf−i∑
j=kd−i
u(j) (3.55)
Separar la integral por el tiempo entre kd − i a kd y sumar y restar un término de suma con
40
tiempos entre kf − i a kf ,
αi
kd∑
j=kd−i
u(j) + αi
kf−i∑
kd
u(j) + αi
kf∑
kf−i
u(j) − αi
kf∑
j=kf−i
u(j) (3.56)
Mientras que el valor de u(k) = u(kd) para todos k < kd y que u(k) = u(kf ) para todos
k > kf −Nc,
αiu(kd)i + αi
kf∑
j=kd
u(j) − αiu(kf )i = αi
 kf∑
j=kd
u(j)− i∆du
 (3.57)
De esta manera, se desarrolla la expresión en (3.57) para cada término con αi
kf∑
j=kd
u(j)−
Nc∑
i=0
αi
 kf∑
j=kd
u(j)− i∆du
 =
kf∑
j=kd
u(j)−
kf∑
j=kd
u(j)
Nc∑
i=0
αi +
Nc∑
i=0
αiiT0∆u (3.58)
Finalmente, considerando ∑Nci=0 αi = 1 para garantizar la integración, la expresión anterior se
simplifica como (3.53) que demuestra la igualdad. �
Lemma 3.3.5. Dado un cambio de paso de perturbación y una respuesta sobre o críticamente
amortiguada, el error absoluto integral para el controlador GPPI es,
IAEGPPI ≈
kf∑
j=kd
|e(k)| = 1 + (1− zc)
∑Nc
i=0 iαi
kc(1− zc)
∆du, (3.59)
Prueba: Dada la ley de control GPPI en (3.52) es posible obtener la diferencia entre u(kf + 1)
y u(kd) como resultado del cambio de paso de perturbación de la unidad como,
∆du = kc(1− zc)
kf∑
j=kd
e(k)− (1− zc)
kf∑
j=kd
(
u(j)−
Nc∑
i=0
u(j − i)αi
)
, (3.60)
utilizando el Lema 3.3.4 para la ecuación anterior se obtiene,
∆u = kc(1− zc)
kf∑
j=kd
e(k)− (1− zc)
Nc∑
i=0
iαi∆du, (3.61)
al reorganizar la ecuación para borrar la integral del error, se obtiene la expresión deseada. �
41
3.3.5. Sumario
En este capitulo han sido presentados los tres controladores que serán utilizados en este
trabajo. Los primeros dos PI y PPI, ampliamente estudiados son presentados en estructura
tanto en tiempo continuo como en tiempo discreto, adicionalmente se presenta un método
para el ajuste de parámetros utilizando el argumento de LGR que asegura la respuesta
más rápida y sin sobrepaso posible.
Se presenta la estrategia de control propuesta GPPI en tiempo discreto y tres métodos
de sintonización en lazo