Funciones reales

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Funciones Reales
Universidad Nacional de Ingenieŕıa
Los Profesores
2021-1
Función Real
Definición
Sean A y B dos conjuntos no vaćıo, denotemos al conjunto
A× B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} al conjunto de los pares ordenados. Por
tanto una relación
R = {(a, b) ∈ A× B | p(a, b)}
es un subconjunto de A× B determinado por cierta propiedad p.
Ejemplo
Sean A = R y B = Z tal que R1 = {(a, b) | a2 + b2 = 1} ⊂ A× B
Ejemplo
Sean A = R y B = R tal que R2 = {(a, b) ∈ R× R | ax0 + by0 ≤ 1}
donde x0, y0 ∈ R, son fijos y x0 > 0.
Función Real
Ejemplo
Sean A = Z y B = Z tal que
R3 = {(x , y) ∈ A× B | y = ax + b}
donde a, b ∈ R, son fijos.
Definición
Sean A y B dos subconjuntos de los números reales. Decimos que la
relación f de A× B (f ⊂ A× B), diremos que es una función
Si (a, b) ∈ f y (a, c) ∈ f entonces b = c .
Función real
Comentario.-
De la definición, f será una función si para cada elemento a en A
existe un único elemento b en B.
Se representa a la función f , como f : A→ B.
La relación f de A× B, es una función si ella es un subcojunto
propio.
La relación f ⊂ A× B, será una función si y solo si (a1, b1) y
(a2, b2) ∈ f y b1 6= b2, entonces a1 6= a2.
Definición (Dominio)
Sea f una función definida en A sobre B, esto es, f : A→ B el dominio
de f es el conjunto de todos los elementos a ∈ A para los que existe
algún b ∈ B tal que (a, b) ∈ f , denotado por
Dom(f ) = {x ∈ A | ∃y ∈ B : (x , y) ∈ f } ⊆ A
Dominio y Rango
De la definición de función tenemos para cada (a, b) ∈ f , la componente
b es determinado por a, es decir, para cada b le corresponde un elemento
de a ∈ A, lo que denotamos por b = f (a), y la que llamaremos regla de
correspondencia.
Definición
Sea f una función definida de A sobre B, esto es f : A→ B, el rango de
f es el conjunto de elementos b = f (a), para algún a ∈ Dom(f ),
denotado por Ran(f ), es decir
Ran(f ) = {y ∈ B | ∃x ∈ Dom(f ) : y = f (x)}
Observaciones
1 Diremos que una función f : A→ B es una aplicación si
Dom(f ) = A.
2 En el caso que Dom(f ) ⊆ R y Ran(f ) ⊆ R, deremos que f : R→ R
es una función real de variable real.
Función Real
Ejemplo
Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c}. Establecer cuáles de
las siguientes relaciones de A× B son funciones:
1 f = {(1, a), (2, a), (3, b), (4, b)}
2 g = {(1, a), (2, c), (4, b)}
3 h = {(1, a), (1, b), (2, b), (3, c), (4, c), (1, a)}.
Observación: Para que f : A→ B sea función cada par ordenado debe
tener distinta primera componente, es decir,
x1 6= x2 → f (x1) = y1 6= y2 = f (x2).
Gráfica de una función
Definición
Sea una función f : A→ B real de variable real, entonces la gráfica de la
función f es el conjunto de pares ordenados representada en plano
cartesiano, denotada por Graf (f ), esto es:
Graf (f ) = {(x , f (x)) ∈ R2 | x ∈ Dom(f )}.
x
y
Graf (f )
f
Funciones especiales
Sea f : R→ R, definimos la función afin como f (x) = mx + n, donde
m 6= 0 y n ∈ R, Domf = R y Ranf = R
Función máximo entero
Sea f : R→ R, definimos la función máximo entero como:
f (x) = [|x |], Domf = R y Ranf = Z
Función valor absoluto
Sea f : R→ R, definimos la función valor absoluto como:
f (x) = |x |, Domf = R y Ranf = [0,+∞〉
Función ráız cuadrada
Sea f : R→ R, definimos la función ráız cuadrada como:
f (x) =
√
x , Domf = [0,+∞〉
Función signo
Sea f : R→ R, definimos la función signo como:
f (x) = sgn(x) =
 1 ; si x > 00 ; si x = 0−1 ; si x < 0 , Dom(sgn) = R
Función escalón unitario
Sea f : R→ R, definimos la función escalón unitario como:
f (x) = µa(x) =
{
1 ; si x ≥ a
0 ; si x < a
donde a ∈ R
Función de Dirichlet
Sea f : R→ R, definimos la función de Dirichlet como
f (x) = XQ =
{
1 ; si x ∈ Q
0 ; si x ∈ I
En forma más general definimos:
Sea f : R→ R, definimos la función caracteŕıstica, como
f (x) = XA(x) =
{
1 ; si x ∈ A
0 ; si x /∈ A donde A ⊂ R.
Función polinómica
Sea f : R→ R, definimos la función polinómica como:
f (x) = anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x + a0
Dom(f ) = R y Ran(f ) = R.
Función racional
Sea f : R→ R y P(x) y Q(x) polinomios en R,definimos la función
racional como:
f (x) =
P(x)
Q(x)
.
Por ejemplo si f (x) =
2x + 6
2x + 4
Dom(f ) = R− {−2} y Ran(f ) = R− {1}.
Función par
Sea f una función con dominio Dom(f ), se dice que f es una función par si:
1 x ∈ Dom(f ), entonces −x ∈ Dom(f ).
2 f (−x) = f (x), ∀x ∈ Dom(f ).
Ejemplo
Sea la función f definida por: f (x) = 2|x | − x2. Vemos que Dom(f ) = R.
1 x ∈ R, entonces −x ∈ R
2 f (−x) = 2| − x | − (−x)2 = f (x), entonces f (−x) = f (x), ∀x ∈ R.
Función impar
Sea f una función con dominio Dom(f ), se dice que f es una función impar si:
1 x ∈ Dom(f ), entonces −x ∈ Dom(f ).
2 f (−x) = −f (x), ∀x ∈ Dom(f ).
Ejemplo
Sea la función f definida por: f (x) = x3 − x . Vemos que Dom(f ) = R.
1 x ∈ R, entonces −x ∈ R
2 f (−x) = (−x)3, entonces f (−x) = −f (x), ∀x ∈ R.
Función periódica
Sea f una función con dominio Dom(f ), se dice que f es una función
periódica si: ∃T ∈ R+ tal que
1 T 6= 0
2 Si x ∈ Dom(f )→ (x + T ) ∈ Dom(f )
3 f (x + T ) = f (x),∀x ∈ Dom(f ).
Diremos que TP es periodo si T = ḿın{T ∈ R+ | T 6= 0}.
Ejemplo
Sea la función f definida por: f (x) = x − [|x |]. Vemos que Dom(f ) = R.
1 x ∈ R, entonces x + T ∈ R
2 f (x + T ) = f (x), entonces ∀x ∈ R. f (x + T ) = (x + T )− [|x + T |].
Si T ∈ Z⇒
f (x + T ) = x + T − [|x |]− T ⇒ f (x + T ) = x − [|x |] = f (x),
lo que implica que f (x + T ) = f (x).
Si T = 1, tenemos
f (x + 1) = (x + 1)− [|x + 1|] = f (x)
Función periódica
Ejemplo
Encuentra el periodo de f (x) = sen( x3 ) + cos(5x).
Observe que T = 6π,
f (x + 6π) = sen(
x
3
+ 2π) + cos(5x + 30π) = f (x)
Luego f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ R,
Si x = 0, entonces f (T ) = f (0)⇒ sen(T3 ) + cos(5T ) = 1.
Si x = −T , entonces f (0) = f (−T )⇒ 1 = −sen(T3 ) + cos(5T )
luego cos(5T ) = 1⇒ 5T = 2kπ ⇒ T = 2kπ5 , si k = 1, 2, 3, . . . .
Función real
Luego
f (x + T ) = sen(
x
3
+
2k
15
π) + cos(5x + 2kπ) = sen(
x
3
+
2k
15
π) + cos(5x)
⇒ k = 15⇒ T = 6π
Ejemplo
Sea f (x) = |sen(x)|, halle su periodo si existe.
f (x + T ) = |sen(x + T )| = |sen(x + 2π)| = |sen(x)| cuando T = 2π. Luego
f (T ) = f (0)⇒ |sen(T )| = 0⇒ sen(T ) = 0⇒ T = kπ
Si k = 1 f (x + π) = |sen(x + π)| = |sen(x)|
Ejemplo
Sea f (x) = |sen(px)|, halle su periodo si existe.
Del ejemplo anterior
|sen(pT )| = 0⇒ pT = kπ ⇒ T = kπ
p
⇒ f (x + kπ
p
) = |sen(px + kπ)| ⇒
si k = 1 f (x) = |sen(px)| ⇒ T = π
p
Ejerccios
Ejemplo
Sea f (x) = [|2x |]− 2[|x |]. Demuestre que es periódica, halle su dominio,
rango, periodo y grafique.
a) Domf = R.
b) Sea
[|x |] = n ⇔ n ≤ x < n + 1
2n ≤ 2x < 2n + 2
i ⇔ [|x |] = 2n o [|2x |] = 2n + 1
luego [|2x |]− 2[|x |] = 0 o 1
Ranf = {0, 1}
c) Sea T = 1⇒ f (x + T ) = [|2x + 2|]− [|x + 1|] = [|2x |]− 2[|x |]
Si x = 0, f (T ) = f (0)⇒ [|2T |] = 2[|T |] como [|2T |] ∈ Z
entonces 2[|T |] ∈ Z⇒ 2[|T |] = 2, 0⇒ [|T |] = 1 o [|T |] = 0 ya que
0 < T ≤ 1.
Ejercicios
1 Si [|T |] = 1⇔ 1 ≤ T < 2⇒ T = 1.
2 Si [|T |] = 0⇔ 0 < T < 1⇒ Si 12 < T < 1⇒ 1 < 2T < 2
⇒ [|2T |] = 1 = 2[|T |] = 0(⇒⇐)
3 Si 0 < T < 12 , luego existe b > 0 tal que T =
1
1+b y se tiene b > 1.
Si escogemos x =
b
1 + b
, tenemos:
[|2( b
1 + b
+
1
1 + b
)|]− 2[| b
1 + b
+
1
1 + b
|] = [| 2b
1 + b
|]− 2[| b
1 + b
|]
2− 2 = [| 2b
1 + b
|]− 2[| b
1 + b
|], con b > 1⇒ 2b > 1 + b
como
2b
1 + b
> 1, y
b
1 + b
< 1⇒ 0 = 1− 0(⇒⇐)
Traslado Horizontal
La gráfica de una función g(x) = f (x − h) se consigue desplazando la gráfica
de y = f (x) horizontalmente en h unidades:
1 Hacia la derecha si h > 0.
2 Hacia la izquierda si h < 0
Ejemplo
Si f (x) = x2,⇒ g(x) = (x + 3)2 y h(x) = (x − 4)2 tienen como gráfica
Traslado Vertical
La gráfica de una función g(x) = f (x) + k se consigue desplazando la
gráfica de y = f (x) verticalmente en k unidades:
1 Hacia la arriba si k > 0.
2 Hacia abajo si k < 0
Ejemplo
Si f (x) = x2,⇒ g(x) = x2 + k , donde k ∈ R tienen como gráfica
Reflexiónsobre el eje X
La gráfica de una función g(x) = −f (x) se consigue por reflexión la
gráfica de y = f (x) considerando al eje X como doble espejo:
Reflexión sobre el Y
La gráfica de una función g(x) = f (−x) se consigue por reflexión la
gráfica de y = f (x) considerando al eje Y como doble espejo:
Función Real
Ejemplo
Determine el dominio y rango de la siguiente función
f (x) =
√
2x − 3
x + 4
y grafique.
Propiedades de una Función
Definición
Sea f : A ⊆ R→ B ⊆ R una función, diremos que es inyectiva si,
∀a, b ∈ A, f (a) = f (b)⇒ a = b
o equivaletemente
∀a, b ∈ A, a 6= b ⇒ f (a) 6= f (b)
Ejemplo
Sea f una función real de variable real definida por
f (x) = 2x +
√
x2 − 9, ∀x ≥ 3.
Pruebe que f es inyectiva.
Fucnión real
Sean x , y ≥ 3 tales que f (x) = f (y).
Si x = 3, entonces
6 = 2y +
√
y2 − 9,
agrupando y factorizando√
y − 3.[2
√
y − 3 +
√
y + 3] = 0
y como y ≥ 3, entonces y = 3.
Si x > 3, 2x +
√
x2 − 9 = 2y +
√
y2 − 9, luego
2(x − y) = (y − x)(y + x)√
y2 − 9 +
√
x2 + 9
(x − y)
(
2 +
(y + x)√
y2 − 9 +
√
x2 + 9
)
= 0
y como y ≥ 3 entonces x = y .
Función Real
Definición
Sea f : A ⊂ R→ B ⊂ R una función. Diremos que es sobreyectiva si,
para cada y ∈ B existe x ∈ A | f (x) = y .
Ejemplo
Sea f : R→ R la función af́ın, con regla de correspondencia
f (x) = mx + b, m 6= 0. Pruebe que es sobreyectiva.
Sea y ∈ R, luego si x = y − b
m
se tiene que f (x) = m
(
y − b
m
)
+ b = y .
Por lo tanto es sobreyectiva.
Definición
Sea f : A ⊂ R→ B ⊂ R una función. Diremos que es biyectiva si y solo
si es inyectiva y sobreyectiva.
Función real
Ejemplo
Sea f : N→ Z definida por
f (x) =

−n
2
,Si n = par
n − 1
2
,Si n = impar.
Pruebe que es biyectiva.
i) f es sobreyectiva.
Sea k ∈ Z
si k ≥ 0 entonces veamos que f (n) = k para el que n ∈ N escogemos
n = (2k + 1) ∈ N, entonces f (n) = 2k + 1− 1
2
= k.
si k < 0, entonces f (n) = k, escogemos n = −2k entonces
f (n) = −−2k
2
= k.
ii) f es inyectiva.
Sean m, n ∈ N, por la definición de f , m, n son pares o impares.
Imagen y preimagen
Definición
Sea f : R→ B ⊂ R una función y sea A ⊆ Dom(f ). El conjunto
f (A) = {y ∈ B | ∃x ∈ A tal que y = f (x)}
el cuale es llamado imagen de A.
Ejemplo
Sean A,B ⊂ R y sea f : A→ B una función. Pruebe que:
1 A ⊂ B ⇒ f (A) ⊂ f (B).
2 f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)
Sea y ∈ f (A) entonces existe x0 ∈ A tal que y = f (x0) ∈ B, pues x0 ∈ B
Sea y ∈ f (A ∪ B)⇒ existe x0 ∈ A ∨ x0 ∈ B ⇒
y = f (x0) ∈ f (A) ∨ y = f (x0) ∈ B ⇒ y ∈ f (A) ∪ f (B).
Sea y ∈ f (A) ∪ f (B), entonces existe x1 ∈ A ∨ x2 ∈ B tales que y = f (x1) ∨ y = f (x2)
entonces
x1 ∈ A ∪ B ∨ x2 ∈ A ∪ B ⇒ y = f (x) ∈ f (A ∪ B) ∨ y = f (x2) ∈ f (A ∪ B)
Imagen y preimagen
Definición
Sea f : Dom(f ) ⊂ R→ R una función y sea B ⊂ R. El conjunto
f −1(B) = {x ∈ Dom(f ) | f (x) ∈ B}
es llamado preimagen de B.
Ejemplo
Sea f (x) = x2,∀x ∈ R, hallar f −1(〈−∞,−1]) y f −1(〈−1, 1]).
Sea x ∈ f −1(〈−∞,−1])↔ f (x) ∈ 〈−∞,−1]↔ x2 ∈ 〈−∞,−1]⇒
C .S . = ∅
f −1(〈−1, 1])↔ f (x) ∈ 〈−1, 1]⇔ −1 < x2 ≤ 1↔ −1 ≤ x ≤ 1. por
lo tanto f −1(〈−∞,−1]) = [−1, 1]
Monotonia de funciones
Definición
Una función f : Dom(f ) ⊂ R→ R es llamada
1 Creciente si ∀x , y ∈ Dom(f ), con x < y ⇒ f (x) < f (y).
2 Decreciente si ∀x , y ∈ Dom(f ), con x < y ⇒ f (y) < f (x).
3 No creciente si ∀x , y ∈ Dom(f ), con x < y ⇒ f (y) ≤ f (x)
4 No decreciente si ∀x , y ∈ Dom(f ), con x < y ⇒ f (x) ≤ f (y)
Diremos que f es una función monótona si cumple cualquiera de las
primeras cuatro proposiciones.
Ejemplo
Demostrar que si f es creciente entonces f es inyectiva sobre Dom(f ).
Sean x , y ∈ Dom(f ) tales que x < y como f es creciente tenemos
f (x) < f (y) ≡ f (x) 6= f (y).
Función real
Ejemplo
Hallar el dominio y la gráfica de la función
f (x) =
√
9− x2.sgn
(√
x + 2
x − 1
)
+
[∣∣∣∣2x + 5x + 3
∣∣∣∣]− 1
Dom(f ) :
9− x2 ≥ 0 ∧ x 6= 1 ∧ x + 2 ≤ 0 ∧ x 6= −3
⇒ Dom(f ) = [−2, 1〉 ∪ 〈1, 3]
sgn
(√
x + 2
x − 1
)
=
 −1 , 1 < x ≤ 30 , x = −2
1 , −2 < x < 1[∣∣∣∣2x + 5x + 3
∣∣∣∣] = 2 + [∣∣∣∣− 1x + 3
∣∣∣∣]
Si 1 < x ≤ 3⇒ 4 < x + 3 ≤ 6⇒ 1
6
≤ 1
x + 3
<
1
4
,
−1
4
< − 1
x + 3
≤ −1
6
. Entonces:
[∣∣∣∣2x + 5x + 3
∣∣∣∣] = 2− 1 = 1
Ejercicios
Si x = −2 entonces
[∣∣∣∣2x + 5x + 3
∣∣∣∣] = 2 + [∣∣− 11 ∣∣] = 1
Si −2 < x < 1⇔ 1 < x + 3 < 4⇔ 1
4
<
1
x + 3
< 1⇔
−1 < − 1
x + 3
< −1
4
, entonces
[∣∣∣∣2x + 5x + 3
∣∣∣∣] = 1
Luego,
f (x) =
 −
√
9− x2 , 1 < x ≤ 3,
1 , x = −2√
9− x2 , −2 < x < 1
Operaciones entre funciones
Igualdad de Funciones: Dos funciones f y g son iguales si
i) Dom(f ) = Dom(g)
ii) f (x) = g(x), ∀x ∈ Domf
Suma de Funciones: Sean f y g dos funciones reales de variables reales
definimos la función f + g suma de funciones, tal que
i) Dom(f + g) = Dom(f ) ∩ Dom(g)
ii) (f + g)(x) = f (x) + g(x)
Luego la función f + g la podemos expresar como el conjunto
f + g = {(x , f (x) + g(x)) | x ∈ Dom(f ) ∩ Dom(g)}
Multiplicación de Funciones: Sean f y g dos funciones reales de
variables reales definimos la función f .g , tal que
i) Dom(f .g) = Dom(f ) ∩ Dom(g)
ii) (f .g)(x) = f (x).g(x)
Luego la función f .g la podemos expresar como el conjunto
f .g = {(x , f (x).g(x)) | x ∈ Dom(f ) ∩ Dom(g)}
Operaciones entre funciones
Cociente de Funciones: Sean f y g dos funciones reales de variables reales
definimos la funcón f /g , tal que
i) Dom(f /g) = Dom(f ) ∩ Dom(g)− {x ∈ Dom(g) | g(x) = 0}
ii) (f /g)(x) = f (x)/g(x)
Luego la función f /g la podemos expresar como el conjunto
f /g = {(x , f (x)/g(x)) | x ∈ Dom(f ) ∩ Dom(g)} − {x ∈ Dom(g) | g(x) = 0}
Composición de Funciones: Sean f y g dos funciones reales de variables reales
definimos la función compuesta f ◦ g , tal que
i) Dom(f ◦ g) = {x ∈ Dom(g) | g(x) ∈ Dom(f )} = {x | x ∈
Dom(g) ∧ g(x) ∈ Dom(f )}
ii) (f ◦ g)(x) = f (g(x))⇒ f ◦ g = {(x , f (g(x))) | x ∈ Dom(f ◦ g)}
Ejercicios
Ejemplo
Halle la composición f ◦ g para: f = {(1,−2), (2,−5), (3, 0), (4,−1)}
g = {(0, 1), (1, 0), (3, 3), (−1, 4), (2, 1)}
Dom(f ◦ g) = {x | x ∈ Domg ∧ g(x) ∈ Domf }
Dom(g) = {−1, 0, 1, 2, 3}, Domf = {1, 2, 3, 4},
Rang = {0, 1, 3, 4}
Dom(f ◦ g) = Dom(g) ∩ {x | g(x) ∈ Dom(f )} = {0, 2,−1, 3}
f ◦ g = {(x , f (g(x))) | x ∈ Dom(f ◦ g) = {−1, 0, 2, 3}}
= {(−1,−1), (0,−2), (2,−2), (3, 0)}
Ejemplo
Halle las composiciones f ◦ g y g ◦ f , para
f = {(x ,
√
x) | x ∈ [0,+∞〉} y g = {(0, 1); (2,−3); (4, 7); (8,−1); (3, 1)}
Operaciones entre funciones
Dom(f ◦ g) = {x/x ∈ Dom(g) ∧ g(x) ∈ Dom(f )} = {0, 3, 4}
(f ◦ g) = {(x , f (g(x))) | x ∈ {0, 3, 4} = {(0, 1); (3, 1), (4; 7)}
Dom(g ◦ f ) = {x/x ∈ Dom(f ) ∧ f (x) ∈ Dom(g)} = {0; 4; 16; 64; 9}
(g ◦ f ) = {(x ; g(f (x))) | x ∈ {0; 4; 16; 64; 9}}
= {(0; 1), (2;−3), (4; 7), (8;−1), (3; 1)}
Ejemplo
Halle la función f ◦ g , donde
f (x) =
{
3x + 4 ; x ∈ [0; 2]
−x + 1 ; x ∈ 〈2, 5] g(x) =
{
x2 ; x ∈ [0, 3〉
4 ; x ∈ [3, 6]
Función real
Definimos:
f (x) =
{
f1(x) ; x ∈ [0, 2] = Dom(f1)
f2(x) ; x ∈ 〈2, 5] = Dom(f2)
g(x) =
{
g1(x) ; x ∈ [0, 3〉 = Dom(g1)
g2(x) ; x ∈ [3, 6] = Dom(g2)
Dom(f ◦ g) = Dom(f1 ◦ g1) ∪ Dom(f1 ◦ g2) ∪ Dom(f2 ◦ g1) ∪ Dom(f2 ◦ g2)
i)
Dom(f1 ◦ g1) = {x | x ∈ Dom(g1) ∧ g1(x) ∈ Dom(f1)}
= {x | x ∈ [0, 3〉 ∧ x2 ∈ [0, 2]}
= {x | x ∈ [0, 3〉 ∧ x ∈ [0,
√
2]} = [0;
√
2]
ii) Dom(f1 ◦ g2) = {x | x ∈ [3, 6] ∧ 4 ∈ [0; 2]} = ∅
iii) Dom(f2 ◦ g1) = {x | x ∈ [0, 3] ∧ x2 ∈ 〈2, 5]}
= {x | x ∈ [0, 3〉 ∧ ([−
√
5;−
√
2〉 ∪ 〈
√
2;
√
5])}
= 〈
√
2,
√
5]
iv) Dom(f2 ◦ g2) = {x | x ∈ [3; 6] ∧ 4 ∈ 〈2, 5]} = [3; 6]
Operaciones sobre las funciones
(f ◦ g)(x) =

3x2 + 4 ; si x ∈ [0;
√
2〉
−x2 + 1 ; si x ∈ 〈
√
2;
√
5]
−3 ; si x ∈ [3; 6]
Ejemplo
Halle el rango de la función
f (x) = x2
[∣∣∣x
2
∣∣∣]− 4x [∣∣∣x
3
∣∣∣] , x ∈ 〈2, 6][∣∣∣x
2
∣∣∣] = n⇔ n ≤ x
2
< n + 1⇔ 2n ≤ x < 2n + 2[∣∣∣x
3
∣∣∣] = m⇔ m ≤ x3 < m + 1⇔ 3m ≤ x < 3m + 3
Para
n = 0 0 ≤ x < 2
n = 1 2 ≤ x < 4
n = 2 4 ≤ x < 6
n = 3 6 ≤ x < 8
;
m = 0 0 ≤ x < 3
m = 1 3 ≤ x < 6
m = 2 6 ≤ x < 7
Función real
([2; 4〉 ∪ [4; 6〉 ∪ {6}) ∩ ([0, 3〉 ∪ [3; 6〉) ∪ {6} ∩ Domf
= 〈2, 3〉 ∪ [3, 4〉 ∪ [4, 6〉 ∪ {6}
a) x ∈ 〈2; 3〉, f (x) = x2− 4x .0 = x2 ⇒ f (x) ∈ [4; 9〉
b) x ∈ [3; 4], f (x) = x2 − 4x ⇒ f (x) ∈ [3, 9〉
c) x ∈ [4, 6〉, f (x) = 2x2 − 4x ⇒ f (x) ∈ [16; 48〉
d) x = 6⇒ f (6) = 60
Ranf = [4; 9〉 ∪ [16, 48〉 ∪ {60}
Ejercicios
1 Para a, b, c reales positivos a + b + c = 3, demostrar que si
A =
√
2a + 3 +
√
2b + 3 +
√
2c + 3, entonces A ≤
√
45.
Ejercicios
2 Determine en forma de intervalo el conjunto
A =
{
x ∈ R |
([|x |]− 2)(
√
|x | − 2− 1)(
√
5− x + 1)
|
√
x − 4|
≥ 0
}
Ejercicios
3 Si se cumple
∣∣∣∣x2 − (2 + k)x + k + 2x2 − x + 1
∣∣∣∣ < 3, ∀x ∈ R, determine los
valores de k .
Ejercicios
4 Resolver
∣∣∣∣x2 − 4x − 5|x | − 1
∣∣∣∣ < ∣∣∣∣x2 − 10x + 25x + 3
∣∣∣∣.
Ejercicios
5 Dada la función f definida por f (x) =
x + |x + 1|+ 1
|x + 1| − [|x |]− 1
, determine
el dominio y rango de f .
Ejercicios
6 Halle el conjunto A en forma de intervalo
A =
{
y ∈ R | y =
√
x − 2
[∣∣∣∣ |x − 2|+ 4x2 − x − 2x2 − 1
∣∣∣∣] , 2 ≤ x ≤ 6}
Ejercicios
7 Resolver ([|x |]2 + [|x |]− 6)(
√
[|x |]2 − 8) ≥ 0.
Ejercicios
1 Dados los conjuntos
A =
{
x ∈ R | ([|x |]
2 − [|x |]x)([|x |]2 + [|x |]− x [|x |])
x2 + 4x + 7
> 0
}
B =
{
x ∈ R |
√
x2 − x − 2
3−
√
4− x2
≥ x2 − 4x − 26
}
Ejercicios
8 Si a, b, c son reales positivos con ab + bc + ca = 1, pruebe que
a√
a2 + 1
+
b√
b2 + 1
+
c√
c2 + 1
≤ 3
2
Ejercicios
9 Sean a, b, c > 0 tales que abc = 1. Pruebe que
1 + ab
1 + a
+
1 + bc
1 + b
+
1 + ac
1 + c
≥ 3
Ejercicios
10 Sean a, b, c números reales positivos. Pruebe que
√
a + b − c +
√
b + c − a +
√
c + a− b ≤
√
a +
√
b +
√
c