Equivalencias en Lógica de Prediicados

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 Equivalencias en Lógica Equivalencias en Lógica 
de Predicadosde Predicados
I.2
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Equivalencias con Cuantificadores
Los cuantificadores introducen nuevas 
equivalencias de sentencias de la lógica de 
predicados:
∃X [r(X) ∨ q(X)] = ∃X r(X) ∨ ∃X q(X)
∀X [r(X) ∧ q(X)] = ∀X r(X) ∧ ∀X q(X)
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Pero otras no son equivalencias:
∃X [r(X) ∧ q(X)] → ∃X r(X) ∧ ∃X q(X)
∀X r(X) ∨ ∀X q(X) →∀X [r(X) ∨ q(X)]
Equivalencias con Cuantificadores
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Al combinarlos con una negación:
¬[∀X r(X)] = ∃X ¬r(X)
¬[∃X r(X)] = ∀X ¬r(X)
¬[∀X ¬r(X)] = ∃X r(X)
¬[∃X ¬r(X)] = ∀X r(X)
Equivalencias con Cuantificadores
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 Consecuencias Lógicas Consecuencias Lógicas 
en Lógica de Predicadosen Lógica de Predicados
I.2
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Consecuencia Lógica
Los cuantificadores introducen nuevas reglas al 
aplicar inferencias lógicas:
Regla de Especificación Universal
Si ∀X f(X) es verdadero, entonces la proposición 
f(a) también es verdadera, donde a es una 
constante.
 
 
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Consecuencia Lógica
Como ejemplo, sean:
m(X): X es un profesor de matemáticas
c(X): X ha estudiado cálculo.
Todos los profesores de matemáticas han 
estudiado cálculo.
Juan es profesor de matemáticas.
Por lo tanto, Juan a estudiado cálculo.
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Consecuencia Lógica
En Lógica de Predicados:
∀x[m(x)→c(x)]
m(juan)
∴c(juan)
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Consecuencia Lógica
1) ∀x[m(x)→c(x)] premisa
2) m(juan) premisa
3) m(juan)→c(juan) especificación
 universal
4) c(juan) modus ponens
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Consecuencia Lógica
Regla de Generalización Universal
Si f(a) es verdadero para cualquier a, entonces 
∀Xf(X) es verdadero. 
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Consecuencia Lógica
Ejemplo
∀x[p(x)→q(x)]
∀x[q(x)→r(x)]
∴∀x[p(x)→r(x)]
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Consecuencia Lógica
1) ∀x[p(x)→q(x)] premisa
2) p(c)→q(c) Esp. Universal
3) ∀x[q(x)→r(x)] premisa
4) q(c)→r(c) Esp. Universal
5) p(c)→r(c) Silogismo 
3) ∀x[p(x)→r(x)] Gen. Universal