notas de capitulo 1

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MECÁNICA DE FLUIDOS 
 
 
Curso del Trimestre 07-I 
 
Notas complementarias al libro de texto: 
Fenómenos de Transporte 
por Bird, Stewart, Lightfoot (Reverte, 1982), 
para actualizar el contenido de acuerdo a la nueva edición en inglés 
(John Wiley & Sons, 2002) 
 
 
 
Prof. Alberto Soria López 
 
 
 2
0. LLooss FFeennóómmeennooss ddee TTrraannssppoorrttee 
 
 
 
 
** CCAANNTTIIDDAADDEESS:: 
¾¾ MMeeccáánniiccaa ddee fflluuiiddooss o ttrraannssppoorrttee ddee mmoommeennttuumm 
¾¾ TTrraannssffeerreenncciiaa ddee ccaalloorr o ttrraannssppoorrttee ddee eenneerrggííaa 
¾¾ TTrraannssffeerreenncciiaa ddee mmaassaa o ttrraannssppoorrttee ddee mmaassaa ddee eessppeecciieess qquuíímmiiccaass 
 
**** SSIISSTTEEMMAASS:: 
¾¾ MMaatteerriiaall o ssiisstteemmaa llaaggrraannggiiaannoo o ssiisstteemmaa cceerrrraaddoo 
¾¾ VVoolluummeenn o ssiisstteemmaa eeuulleerriiaannoo o ssiisstteemmaa aabbiieerrttoo 
 
EESSTTUUDDIIOO SSIISSTTEEMMÁÁTTIICCOO DDEE FFEENNÓÓMMEENNOOSS DDEE TTRRAANNSSPPOORRTTEE 
¾¾ LLooss mmeeccaanniissmmooss qquuee ssuubbyyaacceenn eenn llooss ttrreess ffeennóómmeennooss ddeeppeennddeenn eenn ccoommúúnn ddee llaa 
eessttrruuccttuurraa ddee llaa mmaatteerriiaa ((mmoovviimmiieennttooss ee iinntteerraacccciioonneess mmoolleeccuullaarreess)) 
¾ SSeemmeejjaannzzaa eenn mmeeccaanniissmmooss,, eeccuuaacciioonneess yy mmééttooddooss mmaatteemmááttiiccooss 
 
NIVELES DE DESCRIPCIÓN 
 
Ejemplo: Columna de absorción de pared mojada 
 
 
NIVEL GLOBAL NIVEL LOCAL NIVEL MOLECULAR 
Balances globales balances locales Leyes de conservación 
 Ecuaciones de cambio en partículas 
 
volumen
m������
³
 
espacio fase
m�������
³
 
 
eG 
eL 
sL 
sG 
zv
Moléculas de líquido 
Moléculas de gas 
LU GU
EEssttuuddiioo ddee llaass mmaanniiffeessttaacciioonneess ooccuurrrriiddaass ccuuaannddoo ssee ttrraannssffiieerree 
uunnaa ccaannttiiddaadd ddee iinntteerrééss** eenn uunn ssiisstteemmaa eelleeggiiddoo**** 
 3
1. Viscosidad y mecanismos de transporte de momentum 
 
§1.1 Ley de Newton de la viscosidad 
 
 
 
 
EJEMPLO: Flujo entre dos placas planas 
 
 
En la última situación, la fuerza necesaria para mantener V de la placa, es constante. Al 
aumentar la fuerza F, aumenta la velocidad V, en tanto que para mantener una velocidad 
constante, al reducir Y, debe aumentarse la fuerza F. Entonces podemos proponer que 
F V
A Y
v (1.1) 
La constante de proporcionalidad es la viscosidad. Es decir que 
F V
A Y
P (1.2) 
V 
V 
V 
V 
x 
x 
x 
x 
y 
y 
y 
y 
Y t < 0, no hay movimiento 
t = 0, la placa inferior se mueve a velocidad 
constante V, por adherencia el fluido en 
contacto con la placa se mueve también con 
la misma velocidad vx(y=0,t=0)=V 
t pequeños, el fluido cercano a la placa 
adquiere velocidad vx(y,t). El flujo es 
transitorio 
t grandes, todo el fluido se mueve con 
velocidad vx(y), independiente del tiempo. 
Por adherencia el fluido en contacto con la 
placa superior no se mueve, vx(Y) = 0. El 
flujo es estacionario
Viscosidad = Propiedad física que cuantifica 
la resistencia al flujo 
 4
Esta fuerza por unidad de área se transmite a través de todo el fluido, imprimiéndole 
movimiento. Así, la placa superior debe sujetarse firmemente, pues si se deja suelta, acabará 
por moverse como una balsa en la superficie de un río, como se ve en la siguiente Figura: 
 
 
¿Cuál es la fuerza/área en algún plano al interior del fluido? 
 
En el ejemplo del flujo entre dos placas planas, a régimen estacionario, la fuerza/área es una 
constante a través de todo el fluido. Podemos verlo porque la fuerza necesaria para mantener 
fija la placa superior es, precisamente, igual y de sentido contrario a la que se ejerce sobre la 
placa inferior, es decir que un balance (simplificado) de las fuerzas en dirección x, para todo el 
fluido entre las placas, a régimen estacionario, es 
placa superior placa inferior
0F F� (1.3) 
Entonces, la fuerza que ejerce la placa superior es F� y el fluido que está en contacto con esta 
placa, ejercerá una fuerza F sobre ella. Balances similares pueden hacerse para diferentes 
porciones del fluido, abarcando desde la placa inferior hasta algún plano 0y y , encontrando 
que el fluido por arriba del plano ejerce una fuerza F� sobre el fluido por debajo del 
mismo y de manera correspondiente, que el fluido debajo del plano, ejerce una fuerza F 
sobre el fluido arriba del plano. Además podemos dividir entre el área A para darnos cuenta 
de que por todo el fluido se transmite una fuerza/área constante. Llamaremos esfuerzos 
viscosos a esta razón de fuerza/área en cualquier plano del fluido, y los denotaremos por yxW , 
es decir que 
yx
F
A
W (1.4) 
 
 
 
Por otra parte, en el perfil lineal estacionario de la velocidad del fluido, podemos verificar la 
igualdad: 
 
yxW Plano y = y0 
x 
y 
xdv V
dy Y
 � 
V 
x 
y Si la placa superior no se sujeta adquiere, a t 
grandes, la velocidad de la placa inferior y 
de todo el fluido 
 5
0
0
xdv V V
dy Y Y
�
 �
�
 (1.4) 
Entonces escribimos la Ecuación (1.2), para cualquier plano del fluido, como 
x
yx
dv
dy
W P � (1.5) 
Conocida como “Ley” de Newton de la viscosidad. Ésta es en realidad una relación de 
comportamiento de un conjunto muy grande y muy importante de fluidos que la cumplen. 
Pero hay fluidos que se comportan de otra manera, es decir, fluidos que no presentan una 
relación lineal (con ordenada al origen nula) entre los esfuerzos viscosos yxW y el gradiente de 
velocidad xdv
dy
. 
Acerca de la notación de yxW , y aprovechando el ejercicio: 
1. La dirección de la velocidad del fluido coincide con la dirección de la fuerza aplicada, 
en este caso, la del eje coordenado x. 
2. La dirección de una superficie se puede determinar por su vector normal. La dirección 
del eje coordenado y es normal al plano y = y0, que es aquel donde se aplica el esfuerzo 
yxW . 
3. El movimiento del fluido se propaga desde la placa inferior hacia arriba, es decir, en la 
dirección del eje coordenado y. Este movimiento tiene, sin embargo, la dirección x. 
Entonces, considerando a yxW como una fuerza aplicada: 
 
O considerando a yxW como un flujo de cantidad de movimiento: 
 
Dimensiones, unidades y valores de la viscosidad: 
 
P = viscosidad dinámica, � �
2
M F t Pa s
Lt L
ª º ª º o« » « »¬ ¼ ¬ ¼
< 
PQ
U
 = viscosidad cinemática, � �
2
2 1L m s
t
�ª º o« »¬ ¼
< 
 
Ejemplos numéricos: 
 
Aire a 20 0C, 51.8 10P � u Pa s< 
Agua a a 20 0C, 31.0019 10P � u Pa s< 
Glicerina a 20 0C, 1.00P Pa s< 
 
 
i kW 
Segundo índice: dirección 
del momentum 
Primer índice: dirección de la 
propagación de momentum 
i kW 
Segundo índice: 
dirección de la fuerza 
Primer índice: dirección 
de la superficie 
 6
Ejercicios de tarea 
 
E1.1. Buscar Tablas de viscosidad de fluidos en los manuales de la biblioteca y hacer 
en fotocopias un banco de propiedades, tan completo como se pueda. 
E1.2. Dos placas planas están separadas una distancia 0.1Y m y fluye agua al 
desplazar la placa inferior a una velocidad 1V m/s. Si se sustituye el agua por 
aire, ¿cuál debe ser la separación entre las placas, para que con la misma fuerza, 
la placa inferior se mueva a la misma velocidad V? 
 
 
§2.2 Generalización de la ley de Newton de la viscosidad (a tres coordenadas del espacio) 
 
El gradiente de la velocidad 
 
La velocidad de los flujos es un campo vectorial que depende de la posición y del tiempo: 
� �
� �
� �
, , ,
, , ,
, , ,
x
y
z
v x y z t
v x y z t
v x y z t
§ ·
¨ ¸ ¨ ¸
¨ ¸
© ¹
v (1.6) 
de modo que el término xdv
dy
, que hemos llamado el gradiente de la velocidad, es más bien 
uno de los elementos de dicho gradiente. El operador “nabla”,en notación vectorial y 
coordenadas cartesianas, es: 
x
y
z
§ ·w
¨ ¸w¨ ¸
w¨ ¸� ¨ ¸w
¨ ¸
w¨ ¸
¨ ¸w© ¹
 (1.7) 
de modo que el gradiente de la velocidad es: 
� �
yx z
yx z
x y z
yx z
vv v
x x xx
vv vv v v
y y y y
vv v
z z z z
§ w ·§ · w ww
¨ ¸¨ ¸ w w ww ¨ ¸¨ ¸
ww w w¨ ¸¨ ¸� ¨ ¸¨ ¸w w w w¨ ¸¨ ¸
w ww w¨ ¸¨ ¸
¨ ¸ ¨ ¸w© ¹ w w w© ¹
v (1.8) 
 
en tanto que su divergencia es: 
x
yx z
y
z
v
vv vv
x y z x y z
v
§ ·
§ · ww w w w w¨ ¸� � �¨ ¸¨ ¸w w w w w w© ¹¨ ¸
© ¹
v< (1.9) 
así, mientras el gradiente de v es un arreglo matricial 3 3u , la divergencia de v es un escalar. 
 
 7
El tensor de esfuerzos viscosos 
 
Los esfuerzos viscosos del ejemplo anterior, yxW , son en realidad, sólo una componente de los 
esfuerzos que pueden existir en un caso general, donde hay tres componentes de la velocidad. 
En un flujo general, el tensor de esfuerzos viscosos es el arreglo: 
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
W W W
W W W
W W W
§ ·
¨ ¸ ¨ ¸
¨ ¸
© ¹
IJ (1.10) 
que se puede también expresar como ikW , (para i = 1, 2, 3; k=1, 2, 3) donde los ejes 
coordenados � �x y z se representan de manera equivalente como � �1 2 3 . Además, los 
esfuerzos fuera de la diagonal principal tienen dirección tangencial al plano considerado 
[porque la dirección de la (normal a la) superficie es ortogonal a la dirección de la fuerza], en 
tanto que los esfuerzos de la diagonal principal, los iiW (para i = 1, 2, 3) son normales al plano. 
Además, los esfuerzos viscosos son simétricos, es decir, que el elemento en la posición ik del 
arreglo (1.10) es igual al elemento en la posición ki del arreglo, es decir que ik kiW W . Esto se 
escribe en notación tensorial (tensores y vectores en negritas) como T IJ IJ [donde TIJ es la 
transpuesta del arreglo (1.10)] y se cumple si su relación lineal con el gradiente de la 
velocidad (que no es simétrico) se propone, más bien, en términos de funciones simétricas 
lineales de �v . Entonces podemos proponer el caso más general: 
� � � �2
3
TP P N§ ·ª º � � � � � � �¨ ¸¬ ¼ © ¹
IJ v v v į< (1.11) 
donde ikG es el tensor unitario o delta de Kronecker, dado por 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
ikG
§ ·
¨ ¸ ¨ ¸
¨ ¸
© ¹
į (1.12) 
 
viscosidad dinámica
viscosidad dilatacional o volumétrica
P
N
 
 
 
Generalmente no se requiere conocer N porque muchas veces los líquidos se consideran 
incompresibles y entonces 0� v< y para muchos gases se puede proponer como 
aproximación un resultado encontrado válido para gases monoatómicos ideales que cumplen 
0N . 
 
Además la presión es también una fuerza normal a la superficie, que no ha sido considerada en 
los esfuerzos viscosos iiW . Habría que sumarla para tener un tensor de esfuerzos totales o 
tensor de presiones ikS , de modo que 
ik ik ikpS G W � (1.13) 
Nota sobre los signos de IJ 
 
El signo negativo en (1.11) es compatible con la observación hecha al definir yxW , es decir, que 
los esfuerzos viscosos se toman en la dirección positiva del eje coordenado, para el fluido más 
cercano al eje coordenado (debajo del plano 0y y , ver discusión del flujo entre dos placas 
 8
planas) y se toman negativos para el fluido más lejano al eje coordenado (arriba del plano 
0y y ). En algunos textos se propone lo contrario ( yxW positiva arriba y negativa abajo del 
plano 0y y ), lo cual es compatible con un signo positivo para la ley de Newton de la 
viscosidad, resultando en conjunto un resultado idéntico al de la convención que aquí usamos. 
 
 
§1.3 Dependencia de la viscosidad con la presión y la temperatura 
 
Se usa un enfoque derivado de la ley de estados correspondientes, para lo cual es necesario 
conocer las constantes críticas de cada material 
c
presión crítica
temperatura crítica
viscosidad crítica
c
c
p
T
P
 
 
 
 
Con estos datos se definen las propiedades reducidas r
c
pp
p
 , r
c
TT
T
 y r
c
PP
P
 y se utiliza 
la Gráfica correspondiente del texto. 
 
Hay pocos datos de la viscosidad crítica, pero puede estimarse de dos maneras: 
(1) Si se conoce un valor de la viscosidad a una presión y temperatura reducidas, se 
localiza el punto en la Gráfica, se encuentra la viscosidad reducida y se despeja la 
viscosidad crítica (cuanto más cerca el punto del valor requerido, mejor). 
(2) Se usan relaciones empíricas, cuidando las conversiones de unidades, para estimar cP . 
(3) Para fluidos multicomponentes se usan propiedades “pseudocríticas”. 
 
 
§1.7 Transporte convectivo de momentum 
 
Además del transporte molecular de momentum, que resulta como consecuencia de la 
transferencia de movimiento entre las moléculas, también existe un flujo de momentum 
debido al movimiento de bulto o movimiento convectivo del fluido. Esta transferencia de 
movimiento tiene que ver con el flux másico Uv , que atraviesa un plano dado del fluido. El 
flux másico atraviesa un plano dado, debido a su componente de velocidad normal a dicho 
plano, así en el plano xy tenemos: 
 9
 
 
 
El flux convectivo de momentum es el producto del flux másico por la velocidad, es decir 
Uvv . Entonces, el flux convectivo de momentum atravesando el plano 0x x es xvU v , el flux 
convectivo de momentum atravesando el plano 0y y es yvU v y por extensión a la 
coordenada z, se tiene también el flux convectivo de momentum atravesando el plano 0z z , 
como zvU v . Cada uno de estos fluxes es un vector, tiene tres componentes, que corresponden 
a las direcciones de las componentes de la velocidad. 
 
El flux combinado de momentum ij es la suma del flux molecular de momentum, que 
corresponde a los esfuerzos totales más el flux convectivo de momentum: 
 
pU U � � �ij ʌ vv į IJ vv (1.14) 
 
Así, la componente yxM del flux combinado de momentum tiene el significado: 
 
 
 
 
 
Y se expresa como: 
yx yx y x yx yx y xv v p v vM S U G W U � � � (1.15) 
 
Aquí hay que recordar que 0yxG , lo cual elimina el efecto de la presión en esta componente 
[ver la definición de ikG en la Ecuación (1.12)]. Esto es así debido a que la presión es una 
fuerza normal a la superficie considerada. 
 
Ejercicios de tarea 
E1.3. Problema 1.A del texto 
E1.4. Problema 1.B del texto 
y yvU U v e 
0y 
0x0x
x x 
yy 
Uv 
xvU 
El flux másico atravesando el 
plano 0x x es xvU 
El flux másico atravesando el plano 0x x es cero, 
pero el que atraviesa el plano 0y y es yvU 
yxM flux combinado de momentum en la dirección x, 
atravesando una superficie perpendicular a la dirección y 
 10
E1.5. Problema 1.C del texto 
E1.6. Encuentra las componentes no cero del flux combinado de momentum si la 
velocidad de flujo de un fluido newtoniano en coordenadas cartesianas y la 
presión son, respectivamente: 
1
2
1
0
xV
t
yV
t
§ ·
¨ ¸�¨ ¸
¨ ¸ ¨ ¸�
¨ ¸
¨ ¸¨ ¸
© ¹
v � �0 2p P x y � 
 Donde P0 y V son constantes. 
 
 
Autoevaluación 1 
 
1. ¿Cuáles son las unidades de momentum por unidad de área por unidad de tiempo en 
términos de fuerza? 
2. Escribe la ley de Newton de la viscosidad y nombra cada uno de sus elementos. 
3. Dibuja un sistema coordenado (x, y, z), luego representa los esfuerzos viscosos 
, ,xx xy xzW W W en el punto � �0 0, ,0x y , así como el plano considerado. 
4. Escribe la expresión del flux combinado de momentum y nombra cada uno de sus 
términos. 
5. Encuentra las componentes del flux combinado de momentum si 
� �2
0
1
0 , 
0
V y
p P y
§ ·�
¨ ¸
 ¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
v . 
 Donde P0 y V son constantes. 
 
Auto-evaluación 2 
 
1. Define el concepto de viscosidad (no fórmulas). 
2. ¿Qué es un esfuerzo cortante? 
3. ¿Qué significa la “condición de adherencia”? 
4. ¿Qué es el régimen transitorio? 
5. ¿Qué le pasa a la viscosidad de un líquido cuando aumenta la temperatura? 
6. ¿Qué le pasa a la viscosidad de un gas cuando aumenta la temperatura? 
7. ¿En qué dimensiones se mide la viscosidad? 
8. ¿Qué es 1 poise? 
9. Define la cantidad de movimiento o momentum lineal de un fluido 
10. ¿Qué diferencia física hay entre � ��v y � �� � v ? 
 
 11
2. Balancesde momentum en envolturas y distribuciones de velocidad 
con flujo laminar 
 
§ 2.1 Balances de momentum en envolturas y condiciones a la frontera 
 
La envoltura es el sistema, se elige una rebanada delgada del espacio, al interior del flujo, que 
conserva las características geométricas del sistema global, con sus caras paralelas o 
perpendiculares a la dirección del flujo (las componentes de la velocidad). 
 
Se aplica un balance de momentum a esta envoltura, considerando los términos importantes en 
cada una de sus superficies (o caras). El balance de momentum es: 
 
Flujo de momentum Flujo de momentum Fuerza de gravedad Tasa de cambio
combinado entrando combinado saliendo actuando sobre del momentum
a la envoltura de la envoltura el sistema
­ ½ ­ ½ ­ ½
° ° ° ° ° °� � ® ¾ ® ¾ ® ¾
° ° ° ° ° °
¯ ¿ ¯ ¿ ¯ ¿ en el sistema
­ ½
° °
® ¾
° °
¯ ¿
 
 
El balance de momentum es una relación vectorial, consiste por lo tanto de tres relaciones 
escalares, una para cada una de las direcciones de un sistema coordenado ortogonal. 
 
 
 
 
 
Procedimiento para la aplicación, solución y uso de los balances de envoltura 
 
1. Considerando el flujo en la escala global, elige el sistema coordenado que se adapte a 
la geometría del flujo (coordenadas cartesianas, cilíndricas o esféricas), localiza el 
origen y determina la dirección de los ejes coordenados. 
2. Identifica la componente de la velocidad que no se anula y la dirección (o las 
direcciones) en la(s) que cambia dicha componente [la velocidad depende de la(s) 
coordenada(s) correspondiente(s) a dichas direcciones] 
3. Determina el lugar de la envoltura, que debe estar inmersa en la región de flujo que te 
interesa analizar. La envoltura debe ser delgada en la(s) dirección(es) en la(s) que 
cambia la velocidad y amplia en la(s) que no cambia. Dibuja un diagrama de dicha 
envoltura. 
4. Identifica las componentes del flux combinado de momentum en la dirección del flujo 
y anótalos en el diagrama, entrando a la envoltura por la cara correspondiente más 
cercana al eje coordenado y saliendo por la más lejana. Agrega la contribución de la 
fuerza gravitacional, cuando corresponda. 
5. Aplica el balance de momentum en la dirección del flujo. 
Flujo laminar � El fluido se desplaza ordenadamente, como en láminas o capas 
Flujo turbulento � El fluido se desplaza aparentemente con desorden, siguiendo patrones 
muy complejos con movimientos transversales a la dirección de flujo principal 
Aplicaremos el balance de momentum a sistemas que tienen solamente una 
componente de velocidad, por lo que el balance se aplicará solamente en 
la dirección de dicha componente.
 12
6. Divide el balance entre el volumen de la envoltura y toma el límite cuando el (los) 
espesor(es) de la(s) cara(s) delgada(s) de la envoltura tiende(n) a cero, para hacer uso 
de la definición de la derivada como el cociente incremental de una función y obtener 
así la ecuación diferencial correspondiente. 
7. Sustituye las componentes del flux combinado de momentum por los términos que 
correspondan, de acuerdo con su definición [Ecuación (1.14)] y con las 
especificaciones para cada término [como en el ejemplo de la Ecuación (1.15)]. 
8. Simplifica la ecuación resultante, considerando la dependencia espacial de la 
velocidad (¿de qué coordenadas es función la velocidad?) y de la presión (los cambios 
de la presión se producen en la dirección del flujo). El resultado es el balance 
diferencial de momentum en la dirección seleccionada. 
9. Determina las condiciones a la frontera. Necesitas establecer una condición a la 
frontera para cada variable derivada. A veces no se tiene una condición para los 
esfuerzos viscosos y su determinación se deja para una etapa posterior (el paso 12 de 
esta secuencia). En tal caso se requiere una condición de frontera adicional para la 
velocidad. 
10. Integra esta ecuación para obtener la distribución del flux de momentum (en la 
dirección elegida) y aplica las condiciones a la frontera si es procedente. 
11. Sustituye la ley de Newton de la viscosidad (o la relación de comportamiento que 
corresponda al fluido), considerando nuevamente la dependencia espacial de la 
velocidad para simplificar los términos. Resulta una ecuación diferencial para la 
velocidad. 
12. Integra esta ecuación y aplica las condiciones a la frontera, para obtener la 
distribución de velocidad (el perfil de velocidad). 
13. Utiliza la distribución de velocidad para obtener otras cantidades importantes como la 
velocidad máxima, el flujo volumétrico o gasto, la fuerza del fluido sobre una 
superficie sólida que lo limite o la disipación viscosa. 
 
Condiciones a la frontera 
 
En las fronteras del flujo se encuentran otros materiales, sólidos o fluidos, o bien el mismo 
fluido entrando o saliendo del sistema. Las condiciones a la frontera son reglas que se asignan 
al comportamiento de la velocidad o de los esfuerzos en las fronteras del sistema. Las que se 
usan más frecuentemente son: 
 
a. Interfases sólido-fluido: La velocidad del fluido en contacto con el sólido iguala la 
velocidad del sólido. Esta condición se subdivide en (i) condición de adherencia, 
para la igualdad de las componentes tangenciales de la velocidad y (ii) condición 
de impenetrabilidad, para la igualdad de las componentes normales. 
b. Interfases líquido-líquido: Se satisface la condición de adherencia y si no hay 
transferencia de masa, también la condición de impenetrabilidad. Además las 
componentes del tensor de esfuerzos totales ʌ son continuas. 
c. Interfases líquido-gas: Se satisface la condición de adherencia y si no hay 
transferencia de masa, también la condición de impenetrabilidad. Además las 
componentes del tensor de esfuerzos viscosos IJ son cero. Esto es una 
aproximación razonable porque la viscosidad de los gases es muy inferior a la de 
los líquidos. 
 13
Al integrar los balances diferenciales también se usan frecuentemente otras reglas para 
determinar unívocamente la solución (la distribución de velocidad). Las más usadas son: 
 
d. Los esfuerzos viscosos están acotados ( ikW no se hacen infinitos) en todo el campo 
de flujo. 
e. Las variables de campo (presión, velocidad y esfuerzos viscosos) cambian 
continuamente en todo el campo de flujo. 
 
 
§ 2.2 Flujo de una película líquida descendente 
 
Haremos este ejercicio seleccionando un sistema coordenado distinto al del texto, para 
mostrarte que los resultados no dependen físicamente de dicha selección, cuando se respetan 
las convenciones de signos establecidas en el Capítulo 1. También usaremos el concepto de 
flux combinado de momentum en los balances. Esto es una de las mejoras de la segunda 
edición del texto. El propósito es que desarrolles una habilidad sintética que te permita tratar 
posteriormente los problemas en términos de dicho flux combinado, para expresarlo luego en 
términos de sus partes, haciendo las simplificaciones pertinentes de una manera adecuada. 
 
 Lee el enunciado del problema en el texto. 
1. Elegimos un sistema coordenado cartesiano, pero localizamos el origen en contacto 
con el sólido; la coordenada x es ascendente y la coordenada z sigue siendo 
descendente (ver Figura). 
 
2. La componente de la velocidad que no se anula sigue siendo zv y cambia desde cero 
(en contacto con la pared sólida) hasta un valor máximo (en contacto con el aire). 
Entonces, a régimen estacionario tenemos � �zv x o la componente de velocidad en 
dirección z depende de la coordenada x. 
3. La envoltura debe ser delgada en la dirección x que es aquella en la que cambia la 
componente zv y amplia en las direcciones y y z, de las cuales no depende zv . 
Entonces dibujamos la envoltura: 
z
x
� �zv x
L 
 14
 
4. Haremos un balance de momentum en la dirección z, que es la del flujo. Entonces las 
componentes del flux combinado de momentum a considerar son aquellas cuyo 
segundo índice es z, es decir, , ,xz yz zzM M M . Anotamos estos fluxes en las caras 
correspondientes de la envoltura,agregando la componente gravitacional en dirección 
z: 
 
5. Cada uno de los fluxes combinados se multiplica por el área de la superficie donde el 
flux entra o sale y se aplica el balance de momentum en la dirección z: 
zzM 
zzM 
yzM 
yzM 
xzM 
xzM 
cosgU E 
E 
0y 
y W 
z L 
0z 
x 
x x� ' 
Dirección de 
la gravedad 
 15
� � � � � �
� � � � � �
� �
0 0
cos 0
xz yz zzx y z
xz yz zzx x y W z L
WL L x W x
WL L x W x
WL x g
M M M
M M M
U E
 
�' 
� ' � '
� � ' � '
� ' 
 (2.1) 
6. Se divide entre el volumen de la envoltura, se agrupan los términos formando es 
cociente incremental de los términos con xzM y se toma el lim 0x' o , para obtener la 
ecuación diferencial: 
0 0 cos 0
yz yz zz zzy y Wxz z z Ld g
dx W L
M M M MM U E 
� �
� � � � (2.2) 
7. Los fluxes combinados son, en general: 
xz xz x z
yz yz y z
zz zz z z
v v
v v
p v v
M W U
M W U
M W U
 �
 �
 � �
 (2.3) 
8. Pero al considerar que 
� �
� �
0
0 y ,
z
p p x
v x
§ ·
¨ ¸ ¨ ¸
¨ ¸
© ¹
v (2.4) 
 los fluxes combinados se reducen a 
0
xz xz
yz
zz z zp v v
M W
M
M U
 
 
 �
 (2.5) 
 Sustituimos ahora los fluxes combinados en (2.2) para obtener: 
� � � �0 cos 0z z z zxz z z L
p v v p v vd g
dx L
U UW U E 
� � �
� � � (2.6) 
 Sin embargo, tanto p como zv son funciones solamente de x, por lo que su 
contribución al balance es la misma al evaluarlos en 0z y en z L . Entonces su 
diferencia es cero y podemos escribir el balance diferencial de momentum en dirección 
z como: 
cosxzd g
dx
W U E (2.7) 
Este balance es idéntico al del texto. El cambio del sistema coordenado no afectó este 
resultado. ¿Por qué? 
9. La Ecuación diferencial (2.7) requiere una condición a la frontera para xzW y 
posteriormente, al sustituir la relación de Newton de la viscosidad, requerirá una 
condición a la frontera para la velocidad. En la interfase de la película con el aire 
podemos proponer 
0, para xz xW G (2.8) 
En tanto que, en la interfase de la película con el sólido proponemos una condición de 
adherencia: 
0, para 0zv x (2.9) 
 16
Las condiciones a la frontera (2.8) y (2.9) difieren de las del texto debido a nuestra 
selección de sistema coordenado, pero físicamente el significado es idéntico. 
10. Al integrar la ecuación (2.7) y sustituir la condición a la frontera (2.8) tenemos: 
� �cosxz g xW U E G � � (2.10) 
A diferencia del resultado del texto, los esfuerzos viscosos son aquí negativos. Esto 
indica que la propagación del momentum sigue ahora la dirección negativa del eje 
coordenado x, lo cual es físicamente idéntico al resultado del texto, ya que hemos 
invertido el sentido del eje coordenado en nuestro ejercicio. 
11. Sustituimos ahora la relación de Newton de la viscosidad en la ecuación (2.10): 
z
xz
dv
dx
W P � (2.11) 
para obtener una ecuación diferencial para la velocidad: 
� �coszdv g x
dx
U E G
P
 � (2.12) 
12. Integramos esta ecuación para la velocidad y sustituimos la condición a la frontera 
(2.9) para obtener la distribución o perfil de velocidad: 
2 cos 2
2z
g x xv U G E
P G G
§ · �¨ ¸
© ¹
 (2.13) 
Esta ecuación tampoco coincide, matemáticamente, con la del texto. Sin embargo 
la coincidencia debe darse en cuanto al significado físico del problema, pues es natural 
que si mi representación geométrica es distinta, mi resultado matemático esté en 
términos de la definición de mis variables. Para comprobar la identidad física del 
problema, podemos hacer el cambio de la variable x de nuestro resultado (2.13) por la 
variable xc , que coincide con el eje coordenado del texto, es decir que proponemos 
x xG c � (2.14) 
Al sustituir este cambio de coordenada en (2.13) obtenemos, después de simplificar: 
22 cos 1
2z
g xv U G E
P G
ª ºc§ · �« »¨ ¸
© ¹« »¬ ¼
 (2.15) 
que es el resultado del texto y confirma que nuestro desarrollo es, en todo punto, 
físicamente equivalente al desarrollo del texto. 
13. Podemos ahora utilizar la distribución de velocidad (2.13) o la (2.15) para obtener, con 
cualquiera de las dos expresiones, los siguientes parámetros físicos: 
a. Velocidad máxima que es el valor máximo que alcanza la velocidad. En este 
problema es la velocidad cuando x G en la Ecuación (2.13): 
2
,max
cos
2z
gv U G E
P
 (2.16) 
b. Flujo volumétrico que es el volumen de fluido que atraviesa la superficie 
transversal por unidad de tiempo. Se obtiene integrando la velocidad en dicha 
superficie. El elemento diferencial de área es dxdy , de modo que 
3
0 0
cos
3
W
z
gWQ v dxdy
G U G E
P
 ³ ³ (2.17) 
de donde puede despejarse el espesor de la película G . También puede obtenerse el 
flujo másico, multiplicando el flujo volumétrico por la densidad w QU y la 
 17
velocidad media de flujo, dividiendo el flujo volumétrico entre el área de la sección 
transversal: 
2 cos
3z
Q gv
W
U G E
G P
 (2.18) 
c. Fuerza del fluido sobre la superficie sólida, tiene en general una componente 
tangencial y una normal a la superficie sólida. Con la distribución de velocidad 
podemos encontrar la componente tangencial de la fuerza zF , al integrar los 
esfuerzos tangenciales (o esfuerzos cortantes) en toda la superficie del sólido. Es 
importante recordar la convención que usamos, sobre la aplicación de los 
esfuerzos: se consideran positivos en un plano, para la acción del material más 
cercano al eje coordenado sobre el material más alejado del eje coordenado. En el 
plano 0x , al integrar xzW obtendremos la fuerza que ejerce la superficie sólida 
sobre el fluido, en tanto que al integrar xzW� obtendremos la fuerza que el fluido 
ejerce sobre el sólido. Esto es nuevamente, inverso al desarrollo del texto, debido a 
la elección invertida del eje coordenado x, pero el resultado debe ser físicamente 
equivalente. Entonces, utilizando la distribución de velocidad (2.13): 
0 0 0 00 0
W L W L z
z xz
x x
dvF dzdy dzdy
dx
W P
 
 � ³ ³ ³ ³ (2.19) 
que integrado resulta la expresión del texto. 
d. Disipación viscosa, es la degradación de energía mecánica a calor, debida a la 
resistencia viscosa al flujo. Equivale a la rapidez de la pérdida de trabajo efectuado 
por las fuerzas viscosas, integrado para todo el volumen de fluido: 
2
0 0 0 0 0 0
W L W Lz z
v xz
dv dvE dxdzdy dxdzdy
dx dx
G G
W P § · � ³ ³ ³ ³ ³ ³ ¨ ¸
© ¹
 (2.20) 
Al sustituir la distribución de velocidad e integrar tenemos 
� �2cos
3v
WLE gG GU E
P
 (2.21) 
e. Rapidez de trabajo: lo que produce el perfil de velocidad parabólico, expresado por 
(2.13) o (2.15), es la presencia de la superficie sólida que frena el movimiento del 
líquido. Si dicha superficie pudiera desplazarse sin ofrecer resistencia, viajaría a la 
velocidad media de flujo, junto con todo el fluido. Podemos calcular la rapidez de 
trabajo (virtual, puesto que la superficie sólida no se mueve) del fluido sobre la 
placa, como el producto de la fuerza que ejerce el fluido sobre la placa por su 
velocidad media de flujo: 
� �2cos
3v z z
WLW F v gG GU E
P
 � (2.22) 
Notamos que vW� es igual a vE en este caso particular. Esto ocurre sólo con los 
flujos estacionarios, pues los efectos de aceleración de los flujos transitorios 
inducen una diferencia. 
 
Este flujo se ha resuelto bajo el supuesto de flujo laminar, pero experimentalmente se pueden 
identificar tres regímenes de flujo: laminar sin ondulaciones de la superficie, laminar con 
ondulaciones y turbulento. La ocurrencia de uno de estos regímenes está asociada al valor de 
su número de Reynolds, definido como 
 18
4
Re z
vG U
P
 (2.23) 
de modo que ocurre un flujo 
a. laminar sin ondulaciones importantes, si Re 20� 
b. laminar con importantes ondulaciones, si 20 Re 1500� � 
c. turbulento, si Re 1500! . 
 
 
Ejercicio de tarea 
E2.1. Repite el ejercicio de esta Sección, proponiendo el sistema coordenado como se 
muestra en el siguiente diagrama: 
 
 
 
 
§2.3 Ecuación de la hidrostática 
 
Un fluido enreposo está también sujeto a esfuerzos, que son hidrostáticos. Consideremos un 
tanque de almacenamiento, sin flujos de entrada y salida. Haremos un balance de envoltura 
siguiendo el procedimiento que hemos señalado. 
 
1. Elegimos un sistema coordenado cartesiano y localizamos el origen en el fondo del 
tanque. La coordenada importante es la vertical, z, que tomamos positiva en el 
sentido ascendente. 
2. En este caso la velocidad es cero, pero la presión cambia con la profundidad en el 
tanque, es decir que � �p p z . 
E 
x 
� �zv x
L 
z 
Dirección de 
la gravedad 
 19
3. La envoltura será delgada en la dirección z y amplia en x y y, como se muestra en el 
diagrama: 
 
4. Haremos un balance de momentum en la dirección z. Entonces las componentes del 
flux combinado de momentum a considerar son aquellas cuyo segundo índice es z, 
es decir, , ,xz yz zzM M M . Anotamos estos fluxes en las caras correspondientes de la 
envoltura, agregando la componente gravitacional en dirección z: 
 
5. Cada uno de los fluxes combinados se multiplica por el área de la superficie donde 
el flux entra o sale y se aplica el balance de momentum en la dirección z: 
gU0zz z zM �' 
x 
y 
z 
Fondo del tanque 
0
zz zM 
0xz xM 
xz x LM 
0yz yM 
yz y WM 
z' 
x 
y 
z 
Fondo del tanque 
W 
L 
0z z 
 20
� � � � � �
� � � � � �
� �
0
0
0 0
0
xz yz zzx y z
xz yz zzx L y W z z
W z L z WL
W z L z WL
WL z g
M M M
M M M
U
 
 �'
' � ' �
� ' � ' �
� ' 
 (2.24) 
 
6. Se divide entre el volumen de la envoltura, se agrupan los términos formando el 
cociente incremental de los términos con zzM y se toma el lim 0z' o , para obtener 
la ecuación diferencial: 
00 0
yz yzxz xz y y W zzx x L d g
W L dz
M MM M M U 
��
� � � (2.25) 
7. Los fluxes combinados son, en general: 
xz xz x z
yz yz y z
zz zz z z
v v
v v
p v v
M W U
M W U
M W U
 �
 �
 � �
 (2.26) 
8. Pero al considerar que 
0
0
xz
yz
zz p
M
M
M
 
 
 
 (2.27) 
la ecuación diferencial queda: 
dp g
dz
U� (2.28) 
Podemos interpretar esta ecuación diciendo que 
 
 
 
 
 
9. La presión es atmosférica en la superficie libre del líquido en el tanque, que se 
encuentra a una altura H del fondo del mismo. Es decir que: 
 para atmp p z H (2.29) 
10. Integrando (2.28) y utilizando (2.29) para determinar la constante de integración, 
tenemos: 
� �atmp p g H zU � � (2.30) 
que se puede arreglar también como 
� � � � constanteatmz p z gz p gHU U � � P , (2.31) 
definiendo la presión modificada � �zP , como la suma de la presión interna � �p z 
más el peso de la columna de líquido desde el plano z hasta el origen de 
coordenadas. Esta suma, en condiciones hidrostáticas, es una constante igual a la 
presión en el fondo del tanque. Cualquier cambio en la presión modificada se verá 
reflejado en una imposibilidad de mantener las condiciones hidrostáticas, es decir, se 
verá reflejado en la ocurrencia de un flujo. 
 
En condiciones hidrostáticas los cambios de la presión son 
debidos solamente a los efectos gravitacionales. 
 21
Ejercicios de tarea 
E2.2. Encontrar la presión modificada � �zP para un tanque de almacenamiento en 
condiciones hidrostáticas, si el origen de coordenadas se localiza al nivel del 
líquido en el tanque y la dirección de la coordenada vertical es descendente. 
E2.3. Hacer un balance de momentum en la dirección transversal al flujo (dirección 
x), para el flujo de una película líquida descendente (§ 2.2) y demostrar que los 
cambios de presión son hidrostáticos. Justificar la Ecuación (2.4b) propuesta 
allí. 
 
 
Autoevaluación 
Desarrolla un balance de envoltura para la componente x del momentum del ejercicio de la 
tarea. Sugerencia: Considera las coordenadas de la tarea y la misma envoltura, pero considera 
los flujos de momentum adecuados y la fuerza de gravedad como corresponda. 
 
 
§ 2.4 Flujo a través de un tubo circular 
 
Hemos de notar que el único aspecto nuevo es la geometría del tubo, que se adapta mejor al 
uso de un sistema de coordenadas cilíndricas. Este sistema debe colocarse con el origen en el 
eje axial del tubo. Podría estar dirigido hacia arriba o hacia abajo, pero es preferible localizarlo 
en el extremo del tubo por donde entra el fluido y dirigir la coordenada axial en la dirección de 
la velocidad del flujo. Así la distribución de velocidad será positiva (Ver las Figuras 2.3-1 y 
2.3-2 del libro de texto). 
 
Consecuencia de la geometría seleccionada (coordenadas cilíndricas) en el balance de 
momentum es que los flujos combinados en dirección z, entrando por la superficie r y 
saliendo por la superficie r r� ' de la envoltura, dan: 
� � � �2 2rz rzr r rrL rLS M S M �'� (2.32) 
que al dividirse entre el volumen de la envoltura � �2 r rLS ' dan: 
� � � �2
2
rz rzr r r
L r r
Lr r
S M M
S
�'
ª º�¬ ¼
'
 (2.33) 
Aquí el término 2 LS es constante y se ha expresado como factor común en el numerador. El 
radio r del numerador no puede factorizarse, puesto que está evaluado en la cara interna de la 
envoltura, para el primer término del corchete � �rz rrM y está evaluado en la cara externa de la 
envoltura en el segundo término � �rz r rrM �' ; por lo tanto no se trata de una constante, sino de 
una variable que toma dos valores distintos. Al simplificar la expresión (2.33) eliminando las 
constantes 2 LS en el numerador y el denominador, y tomando el límite cuando 0r' o , 
obtenemos 
� � � �
� �
0
1lim rz rzr r r rzr
r r
r
r r r r
M M
M�'
' o
� w
 �
' w
 (2.34) 
 
Ejercicios de tarea 
 22
E2.4. Por una columna de pared mojada escurre un líquido por gravedad, si el gas que 
ocupa la región central de la columna está estancado, (a) encuentra la 
distribución de velocidad en el líquido, sabiendo que el espesor de la película de 
líquido es constanteG . (b) encuentra la velocidad máxima de flujo, la 
velocidad media de flujo y la fuerza tangencial que ejerce el líquido sobre la 
pared. (c) Si el espesor es mucho menor que el radio, es decir si 1
R
G
�� , 
encuentra que la distribución de velocidad es equivalente a la del líquido 
escurriendo por una pared plana vertical. 
 
E2.5 Problema 2.E del texto 
E2.6. Ejercicio de la § 2.4 desarrollado en el texto 
E2.7. Problema 2.F del texto 
 
gas 
estancado 
L 
G 
R
R
líquido