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Ecuaciones diferenciales 
y problemas con valores 
en la frontera 
Ecuaciones diferenciales 
y problemas con valores 
en la frontera 
M,' 
/,,' 
Cuarta edición 
William E. :Boyce 
Richard C."DiPrima 
Rensselaer Polytechnic Institute 
HLIMUSA WILEY @3 
........ 
224332 ' ? 
VERSION AUTORIZADA EN E S P A ~ L DE LA OBRA 
ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS 
AND BOUNDARY VALUE PROBLEMS 
O JOHN WILEY & SONS, INC. 
COLABORADOR EN LA TRADUCCION: 
HUGO VILLAG6MEZ VELAZQUEZ 
JOSE HERNAN PEREZ CASTELLANOS 
REVISION: 
INGENIERO INDUSTRIAL POR LA ESCUELA MILITAR DE IN- 
GENIEROS. PROFESOR DE WTEM~TICAS EN LA ESCUELA 
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL, MEXICO. 
LA PRESENTACION Y DISPOSICI~N EN CONIUNTO DE 
PUBLICADA EN INGLCS CON EL T¡NLO: 
SUPERIOR DE INGENlERiA MECANICA Y ELÉCTRIW DEL 
ECUACIONES DIFERENCIALES Y 
PROBLEMAS CON VALORES EN 
LA FRONTERA 
SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE ESTA 
OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA O TRANSMITIDA, ME- 
DIANTE NINGUN SISTEMA O MÉTODO, ELECTRONIC0 O 
MECANIW (INCLUYENDO ELFOTOCOPIADO, LA GRABACION 
o CUALQUIER SISTEMA DE RECUPERACION Y ALMACENA- 
MIENTO DE INFORMACI~N), SIN CONSENTIMIENTO POR 
ESCRITO DEL EDITOR. 
DERECHOS RESERVADOS: 
Q2001, EDITORIAL LIMUSA, S.A. DE C.V. 
GRUPO NORIEGA EDITORES 
BALMRAS 95, MCxlco, D.F. 
C.P. 06040 
'ZS? (5)521-21-05 
&Al (5)512-29-03 
Ol(800) 7-06-91-00 
lirnusa@nonega.corn.rnx 
bp www.no"ega.corn.rnx 
CANIEM NUM. 121 
TERCERA REIMPRESION 
DE LA CUARTA E D ~ C I ~ N 
HECHO EN MEXICO 
ISBN 968-18-4974-4 
A la grata memoria de nuestros padres 
Ethel y Clyde DiPrima 
Marie y Edward Boyce 
2 2 4 5 3 2 
Prólogo 
Un curso de ecuaciones diferenciales elementales es un medio excelente para que el estu- 
diante comprenda la relación que hay entre las matemáticas y las ciencias físicas o la inge- 
niería. Antes de que el ingeniero o el científico pueda aplicar con confianza las ecuaciones 
diferenciales, debe dominar las técnicas de resolución y tener un mínimo de conocimiento 
de la teoría que las fundamenta. El estudiante de matemáticas recibe un gran beneficio al 
conocer algunas de las maneras en que el deseo de resolver problemas específicos ha esti- 
mulado el trabajo de naturaleza más abstracta. 
Escribimos este libro desde el punto de vista intermedio de quien se dedica a las matemá- 
ticas aplicadas, cuyo interés en las ecuaciones diferenciales puede ser muy teórico e inten- 
samente práctico. Buscamos combinar una exposición sólida y precisa (pero no abstracta) 
de la teoría elemental de las ecuaciones diferenciales, con bastante material sobre métodos 
de resolución, análisis y aproximación que han probado su utilidad en una amplia variedad de 
aplicaciones. Pusimos atención especial en aquellos métodos de mayor aplicación y que 
pueden extenderse a problemas fuera del alcance de nuestro libro. Se hace hincapié en que es- 
tos métodos tienen una estructura sistemática y ordenada, y que no son sólo una coleccidn 
diversa de artificios matemáticos. Los métodos analizados en el libro no sólo incluyen 
técnicas analíticas elementales que dan soluciones exactas en ciertas clases de problemas, 
también incluyen aproximaciones basadas en algoritmos numéricos o en desarrollos en 
serie, así como métodos cualitativos o geométricos que a menudo permiten una mejor com- 
prensión del comportamiento global de las soluciones. Estos últimos métodos se están vol- 
viendo mucho más accesibles a los estudiantes, como resultado del uso común de 
computadoras personales o calculadoras de bolsillo poderosas. 
De hecho, con la amplia disponibilidad del enorme poder de cómputo, incluyendo los 
flexibles paquetes de cómputo simbólico, es razonable preguntarse si los métodos analíti- 
cos elementales para resolver ecuaciones diferenciales siguen siendo un tema de estudio 
que valga la pena. Creemos que sí, al menos por dos razones. Primera, resolver un proble- 
8 Prólogo 
ma dificil de ecuaciones diferenciales a menudo exige el empleo de diversas herramientas, 
tanto analíticas como numéricas. Poner en práctica un procedimiento numérico eficiente 
requiere de un considerable análisis preliminar: determinar las características cualitativas 
de la solución como guía para el cálculo, investigar los casos límite o especiales, o descu- 
brir qué intervalos de las variables o parámetros requieren o ameritan atención especial. 
Segunda, comprender en cierta medida un proceso natural complicado a menudo se logra al 
combinar o partir de modelos más sencillos y más básicos. Estos últimos suelen describirse 
mediante ecuaciones diferenciales de un tipo elemental. Por tanto, el paso inicial e indis- 
pensable hacia la resolución de problemas más complejos es un conocimiento completo de 
estas ecuaciones, sus soluciones y los modelos que representan. 
Una de las metas de esta revisión es alentar a los estudiantes y maestros a explotar el 
poder de c6mputo con el que ahora cuentan para que los estudiantes logren una compren- 
si6n m& profunda de las ecuaciones diferenciales y una apreciaci6n JXIS precisa de la mane- 
ra en que pueden aplicarse al estudio de problemas importantes de las ciencias naturales 
o la ingeniería. En esta edición se incluyen muchas gr%lcas nueva5 generadas por compu- 
tadora que ayudan a declarar el comportamiento cualitativo de las a menudo complicadas 
fórmulas que producen los métodos analíticos de resolución. Al mismo tiempo, en el texto 
se hace un análisis más amplio de las propiedades geométricas o asintóticas de las solucio- 
nes. Se presentan aproximadamente 275 problemas nuevos, en muchos de los cuales se 
requiere que el estudiante ejecute algún cálculo numérico, construya (con ayuda de algún 
paquete idóneo para trazar gráficas) la gráfica de una solución y, con frecuencia, llegue a 
conclusiones adecuadas a partir de esas acciones. Por último, se agregan dos nuevas seccio- 
nes: una sobre ecuaciones en diferencias de primer orden en la que se destaca la ecuación 
logística, y otra sobre las ecuaciones de Lorenz. En estas secciones se presentan algunas de 
las ideas básicas asociadas con bifurcaciones, caos y atractores extraños. Además de ser 
fascinante por sí mismo, este material puede usarse para terminar con la creencia de que las 
matemáticas son una disciplina ya agotada, y no una en constante crecimiento y renovación. 
Escribimos este libro principalmente para estudiantes que ya tienen conocimientos de 
cálculo obtenidos en un curso normal de dos o tres semestres; el material de la mayor parte 
del libro es accesible a estos estudiantes. En el capítulo 7 se resume en dos secciones la 
información necesaria acerca de las matrices. Las secciones señaladas con un asterisco 
probablemente requieren mayor elaboración matemática (aunque, en términos escritos, no 
más conocimientos) que el resto del libro. Algunos problemas también están señalados con 
un asterisco, lo cual indica que son más difíciles que la mayoría y que, en algunos casos, 
rebasan el alcance del material presentado en el propio libro. 
Consideramos que este libro ofrece una flexibilidad mayor que el promedio para adaptar- 
se a las necesidades de un curso. A partir del capítulo 4, los capítulos son en esencia inde- 
pendientes entre sí, aunque el capítulo 11 sigue lógicamente al capítulo 10 y el capítulo 9 
contiene citas del capítulo 7. De este modo, una vez que se completan las partes necesarias 
de los tres primeros capítulos(en términos generales, las secciones 1.1, 2.1, a 2.4 y 3.1 a 
3.7), la selección de los temas adicionales, así como el orden y profundidad con los cuales 
se traten, quedan al criterio del profesor. Por ejemplo, aunque hay bastante material sobre 
aplicaciones de varios tipos, especialmente en los capítulos 2 , 3 , 9 y 10, la mayor parte de 
este material se presenta en secciones separadas, de modo que un profesor puede elegir con 
facilidad las aplicaciones que desee incluir y las que quiera omitir. Otra posibilidad es 
combinar la presentación de las ecuaciones lineales de segundo orden y de orden superior 
Prólogo 9 
mediante el estudio concurrente de los capítulos 3 y 4. Todavía otra posibilidad es empezar 
la presentación del material sobre métodos numéricos del capítulo 8 inmediatamente des- 
pués, o incluso al mismo tiempo, que el material sobre problemas con valor inicial de 
primer orden del capítulo 2. Por último, aunque en esta revisión se supone que el estudiante 
dispone de una computadora o calculadora, es posible que algún profesor que no desee 
destacar este aspecto del tema lo logre, si selecciona con un poco más de atención los 
problemas asignados. 
Al final de cada sección del texto hay un conjunto de problemas para el estudiante. Estos 
problemas van desde los comunes hasta los que representan un reto; en algunos de estos úl- 
timos se amplían aspectos de la teoría o se introducen Breas de aplicación que no se trataron 
en el texto principal. Como ya se mencionó, en otros problemas es necesaria una investiga- 
ción, con ayuda de computadora, de una ecuación diferencial mediante la aplicación de 
técnicas numéricas o gráficas. Al final del libro se dan las respuestas de casi todos los 
problemas. También, hay un manual de soluciones, compilado por Charles W. Haines del Ro- 
chester Institute of Technology, que contiene soluciones detalladas de muchos problemas. 
Las secciones del libro están numeradas en forma decimal y, en cada sección, los teore- 
mas y las figuras lo están consecutivamente. Así, el teorema 3.2.4 es el cuarto teorema de la 
sección 3.2. Al término de cada capítulo se proporciona una bibliografía general y, algunas 
veces, las más específicas aparecen como notas de pie de página. 
El alcance del libro puede juzgarse a partir del contenido, y los lectores que conocen la 
edición anterior encontrarán que ésta sigue el mismo patrón general. Sin embargo, esta 
revisión contiene muchos cambios menores y los más importantes se dan en seguida, algu- 
nos de los cuales ya se mencionaron: 
1. En correspondencia con la tendencia de crecimiento de la materia así como con la 
creación de paquetes amigables para construir gráficas por computadora, en esta edición se 
hace mayor hincapié en las propiedades geométricas de las ecuaciones diferenciales y sus 
soluciones. En comparación con las ediciones anteriores, hay más gráficas, más análisis de 
las propiedades y métodos geométricos y más problemas en los que el estudiante debe 
hacer gráficas u obtener conclusiones a partir de ellas. 
2. En el texto se destaca más la obtención de conclusiones a partir de una solución, y no 
sólo la deducción de la solución en sí, y también se proponen más problemas en este sentido. 
Lo anterior refleja el hecho de que a menudo la motivación para resolver una ecuación 
diferencial particular es la necesidad de comprender algún proceso o fenómeno natural 
descrito por la ecuación. 
3. Se han agregado secciones nuevas sobre ecuaciones en diferencias de primer orden 
y sobre las ecuaciones de Lorenz, introduciendo los conceptos de bifurcaciones, caos y 
atractores extraños. 
4. El material básico acerca de las ecuaciones lineales de segundo orden del capítulo 3 
se volvió a escribir para hacer más directa la presentación y, en especial, para analizar la 
solución de algunos problemas simples antes de abordar la teoría general. 
5. Se intercambiaron los capítulos 4 (ecuaciones lineales de orden superior) y 5 (solu- 
ciones en series de potencias) para facilitar la labor de los profesores que deseen combinar 
el tratamiento de las ecuaciones lineales de segundo orden y las de orden superior. 
6. Al capítulo 8 se le agregó un análisis más completo de los métodos numéricos para 
resolver sistemas de ecuaciones. También se proponen aproximadamente 30 problemas 
nuevos en este capítulo. 
10 Prólwo 
7. El capítulo 9, sobre análisis de estabilidad y del plano fase, fue ampliado de manera 
considerable. Además de la nueva sección sobre las ecuaciones de Lorenz, ahora hay dos 
secciones en vez de una sobre la interacción de dos poblaciones, asi como una sección 
nueva sobre ciclos límite en la que se hace resaltar la ecuación de van der Pol. 
A medida que el tema de estudio de las ecuaciones diferenciales continúe creciendo, que 
nuevas tecnologías se vuelvan lugar común, que se amplíen los antiguos campos de aplica- 
ción y que surjan nuevos campos en este aspecto, así tendrán que evolucionar el contenido 
y los puntos de vista de los cursos y sus libros de texto. Esta fue la idea que pretendimos 
expresar en este libro. 
William E. Boyce 
Troy, Nueva York 
Agradecimientos 
Durante la preparación de esta revisión recibimos la valiosa ayuda de varias personas. Es 
un placer expresar ahora nuestro agradecimiento sincero a todos y cada uno de ellos por su 
tiempo y dedicación. 
Mientras revisaba el manual de soluciones, Charles W. Haines leyó el texto y comprobó 
las respuestas de muchos de los problemas. Gracias a su capacidad de observación se elimi- 
naron numerosos errores e incoherencias. 
Richard Bagby, Bruce Berndt, Paul Davis y Thomas Otway revisaron todo el manuscrito 
e hicieron muchas sugerencias pertinentes; como resultado, el libro es considerablemente 
mejor de lo que hubiera sido sin su ayuda. 
A partir de la publicación de la edición precedente recibimos valiosos comentarios de 
varios usuarios. De ellos, merecen mención especial R. B. Burckel, Leah Edelstein-Keshet 
y Melvin Lax por lo detallado y amplio de sus sugerencias. 
Cathy Caldwell leyó la mayor parte del manuscrito, verificando los ejemplos y las res- 
puestas dadas a los problemas nuevos. También fue de gran ayuda en la corrección de las 
pruebas. 
En esta edición se presentan figuras nuevas generadas por computadora. Algunas de 
éstas se trazaron originalmente con la aplicación del PHASER de Hiiseyin KoGak, mientras 
que otras se prepararon con ayuda del PHASE PORTRAITS de Herman Gollwitzer. 
Por último, y lo más importante de todo, agradezco a mi esposa Elsa no sólo su ayuda en 
actividades como la lectura de pruebas y la comprobación de cálculos, en especial por su 
apoyo moral, aliento y paciencia infatigables a lo largo de todo el proyecto. 
W E. B. 
. 
Contenido 
Capítulo 1. Introducción 17 
1.1 Clasificación de las ecuaciones diferenciales 17 
1.2 Notas históricas 27 
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de primer orden 31 
2.1 
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
2.6 
2.7 
2.8 
2.9 
2.10 
*2.11 
2.12 
Ecuaciones lineales 31 
Otras consideraciones acerca de las ecuaciones lineales 40 
Ecuaciones separables 47 
Diferencias entre las ecuaciones lineales y las no lineales 54 
Aplicaciones de las ecuaciones lineales de primer orden 60 
Dinámica de laspoblaciones y algunos problemas relacionados 
Algunos problemas de mecánica 87 
Ecuaciones exactas y factores integrantes 95 
Ecuaciones homogéneas 103 
Problemas diversos y aplicaciones 107 
Teorema de existencia y unicidad 111 
Ecuaciones en diferencias de primer orden 121 
Capítulo 3. Ecuaciones lineales de segundo orden 135 
3.1 Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes 135 
3.2 Soluciones fundamentales de las ecuaciones lineales homogéneas 
3.3 Independencia lineal y el wronskiano 154 
3.4 Raíces complejas de la ecuación característica 160 
3.5 Raíces repetidas; reducción de orden 168 
71 
144 
3.6 Ecuaciones no homogéneas; método de los coeficientes indeterminados 177 
3.7 Variación de parámetros 189 
~._.._I... ......L. ~ . . . ... 
14 Contenido 
3.8 Vibraciones mecánicas y eléctricas 197 
3.9 Vibraciones forzadas 210 
Capítulo 4. Ecuaciones lineales de orden superior 219 
4.1 Teoría general de las ecuaciones lineales de n-ésimo orden 219 
4.2 Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes 225 
4.3 Método de los coeficientes indeterminados 232 
4.4 Método de variación de parámetros 236 
Capítulo 5. Soluciones en serie de las ecuaciones lineales de segundo orden 241 
5.1 Repaso de series de potencias 241 
5.2 Soluciones en serie cerca de un punto ordinario, parte I 248 
5.3 Soluciones en serie cerca de un punto ordinario, parte I1 259 
5.4 Puntos singulares regulares 266 
5.5 Ecuaciones de Euler 271 
5.6 Soluciones en serie cerca de un punto singular regular, parte I 280 
5.7 Soluciones en serie cerca de un punto singular regular, parte I1 286 
*5.8 Soluciones en serie cerca de un punto singular regular; rl = r2 y rI - r2 = N 292 
*5.9 Ecuación de Bessel 295 
Capítulo 6. La transformada de Laplace 309 
5.1 Definición de la transformada de Laplace 309 
6.2 Solución de problemas con valor inicial 316 
6.3 Funciones escalón 327 
6.4 Ecuaciones diferenciales con funciones de fuerza discontinuas 335 
6.5 Funciones impulso 339 
6.6 Integral de convolución 344 
Capítulo 7. Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden 353 
7.1 Introducción 353 
7.2 Repaso de matrices 361 
7.3 Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales; independencia lineal, eigenvalores, 
eigenvectores 371 
7.4 Teoría básica de los sistemas de ecuaciones lineales de primer orden 383 
7.5 Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes 388 
7.6 Eigenvalores complejos 398 
7.7 Eigenvalores repetidos 405 
7.8 Matrices fundamentales 413 
7.9 Sistemas lineales no homogéneos 420 
Capítulo 8. Métodos numéricos 429 
8.1 Método de Euler o de la recta tangente 429 
8.2 Errores en los procedimientos numéricos 436 
8.3 Mejoras en el método de Euler 444 
8.4 Método de Runge-Kutta 450 
8.5 Algunas dificultades con los métodos numéricos 454 
Contenido 15 
8.6 Un método de pasos múltiples 460 
8.7 Sistemas de ecuaciones de primer orden 467 
Capítulo 9. Ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad 473 
9.1 Plano fase: sistemas lineales 473 
9.2 Sistemas autónomos y estabilidad 486 
9.3 Sistemas casi lineales 495 
9.4 Especies competidoras 508 
9.5 Ecuaciones del depredador-presa 521 
9.6 Segundo método de Liapunov 531 
9.7 Soluciones periódicas y ciclos límite 541 
9.8 Caos y atractores extraños: ecuaciones de Lorenz 552 
Capítulo 10. Ecuaciones diferenciales parciales y series de Fourier 
10.1 Separación de variables; conducción del calor 563 
10.2 Series de Fourier 572 
10.3 Teorema de Fourier 582 
10.4 Funciones pares e impares 588 
10.5 Solución de otros problemas de conducción del calor 597 
10.6 Ecuación de onda: vibraciones de una cuerda elástica 608 
10.7 Ecuación de Laplace 620 
Apéndice A. Deducción de la ecuación de conducción del calor 
Apéndice B. Deducción de la ecuación de onda 634 
Capítulo 11. Problemas con valores en la frontera y 
teoría de Sturm-Liouville 639 
11.1 Ocurrencia de problemas con valores en la frontera en dos puntos 
563 
629 
639 
11.2 Problemas lineales homogéneos con valores en la frontera: eigenvalores y 
11.3 Problemas de Sturm-Liouville con valores en la frontera 652 
11.4 Problemas no homogéneos con valores en la frontera 665 
eigenfunciones 643 
* 11.5 Problemas singulares de Sturm-Liouville 681 
* 11.6 Otras consideraciones sobre el método de separación de variables: un desarrollo 
*11.7 Series de funciones ortogonales: convergencia en la media 695 
en serie de Bessel 689 
Respuestas a los problemas 705 
Índice 751 
Introducción 
En este breve capítulo se proporciona una perspectiva del estudio de las ecuaciones dife- 
renciales. Primero, se indican varias maneras de clasificar las ecuaciones, a fin de contar 
con una estructura organizada para el resto del libro. Luego, se presentan algunas de las 
figuras y tendencias más importantes en el desarrollo histórico de la materia. El estudio de 
las ecuaciones diferenciales ha llamado la atención de muchos de los matemáticos más 
grandes del mundo a lo largo de los tres últimos siglos. Sin embargo, sigue siendo un 
campo dinámico de la investigación actual, con muchas preguntas interesantes abiertas. 
1.1 Clasificación de las ecuaciones diferenciales 
Cuando se plantean en terminos matemáticos muchos problemas importantes y significati- 
vos de la ingeniería, las ciencias físicas y las ciencias sociales, se requiere determinar una 
función que satisfaga una ecuación que contiene una o más derivadas de la función desco- 
nocida. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales. Quizá el ejemplo más 
conocido es la ley de Newton 
para la posición u(r) de una partícula sobre la cual actúa una fuerza F, yue puede ser una 
función del tiempo t, de la posición u(t) y de la velocidad du(t)/dr. Para determinar el mo- 
vimiento de una partícula sobre la que actúa una fuerza F es necesario hallar una función u 
que satisfaga la ecuación (1). 
El objetivo primordial de este libro es analizar algunas propiedades de las soluciones de 
las ecuaciones diferenciales y describir algunos de los métodos que han probado su eficacia 
para hallar las soluciones o, en algunos casos, dar aproximaciones de las mismas. A fin de 
18 Introducción 
contar con un marco de referencia para la presentación, en principio se mencionarán varias 
maneras útiles de clasificar las ecuaciones diferenciales. 
Ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Una de las clasificaciones más eviden- 
tes se basa en el hecho de si la función desconocida depende de una sola variable indepen- 
diente o de varias variables independientes. En el primer caso en la ecuación diferencial 
sólo aparecen derivadas ordinarias, por lo que se dice que es una ecuación ordinaria; En el 
segundo las derivadas son derivadas parciales, por lo que la ecuación se denomina ecua- 
ción diferencial parcial. 
Además de la ecuación (l), dos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias son 
para la carga Q(t) en un condensador en un circuito con capacitancia C, resistencia R, 
ínductancial, y voltaje aplicadoE(t), y la ecuación que rige el decaimiento con el tiempo de 
una cantidad R(t) de una sustancia radiactiva, como el radio, 
dR( t ) 
dt 
~ = - kR(t), 
en donde k es una constante conocida. Ejemplos típicos de ecuaciones diferenciales parcia- 
les son la ecuación del potencial 
la ecuación de la difusión o conducción del calor 
y la ecuación de ondaen donde (Y' y a2 son ciertas constantes. La ecuación del potencial, de difusión y de onda 
surgen de diversos problemas en los campos de la electricidad y del magnetismo, elasti- 
cidad y mecánica de fluidos. Cada una de ellas es típica de fenómenos físicos distintos 
(observe los nombres) y cada una es representativa de una gran clase de ecuaciones dife- 
renciales parciales. 
Sistemas de ecuaciones diferenciales. Otra clasificación de las ecuaciones diferenciales 
depende del número de funciones desconocidas que intervienen. Si hay que determinar una 
sola función, entonces basta una ecuación. Sin embargo, si existen dos o más funciones 
desconocidas, entonces se requiere un sistema de ecuaciones. Por ejemplo, las ecuacio- 
nes de Lotka-Volterra, o del depredador-presa, son importantes en la creación de modelos 
ecológícos; estas ecuaciones tienen la forma 
1.1 Clasificación de las ecuaciones diferenciales 19 
dHld t = aH - MHP, 
(7) 
dPldt -cP + yHP, 
en donde H ( f ) y P ( f ) son las poblaciones respectivas de las especies presa y depredadora. 
Las constantes a, (Y, c y y se basan en observaciones empíricas y dependen de las especies 
en estudio. En los capítulos 7 y 9 se estudian los sistemas de ecuaciones; en particular, en la 
sección 9.5, se examinan las ecuaciones de Lotka-Volterra. 
Orden. El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que apa- 
rece en ella. así, las ecuaciones (1) y (2) son ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo 
orden y la (3) es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. (4), (5) y (6) son 
ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden. De manera más general, la ecuación 
F[x, u(x), u'(x), . . . , u'"'(x)] = o (8) 
es una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden. La ecuación (8) representa una 
relación entre la variable independiente x y los valores de la función u y sus n primeras 
derivadas u', u", . . . , u@). En las ecuaciones diferenciales es conveniente y se acostumbra 
escribir y en vez de u(x), así como y', y", . . . , y(") en vez de u'(x), u"(x), . . . , u(")@); por 
tanto, la ecuación (8) se escribe como 
F(x, y, y', . . . , y'"') = o. (9) 
Por ejemplo, 
y"' + 2exy" + yy' = x4 (10) 
es una ecuación diferencial de tercer orden para y = u@). En ocasiones se usan otras letras 
en lugar de y; el resultado resulta evidente a partir del contexto. 
Se supone que siempre es posible despejar la derivada de orden más alto en una ecuación 
diferencial ordinaria dada y obtener 
y'") = f ( x , y, y', y", . . . , y'" - l)). (1 1 ) 
Sólo se estudiarán las ecuaciones de la forma (11). Lo anterior se hace principalmente para 
evitar la ambigüedad que pudiera surgir debido a que una sola ecuación de la forma (9) 
puede corresponder a varias ecuaciones de la forma (11). Por ejemplo, la ecuación 
y'2 + xy' + 4y = o 
da las dos ecuaciones 
Solución. Una solución de la ecuación diferencial ordinaria (1 1) sobre el intervalo (Y < x 
< p es una función 4 tal que existen &, + ' I , . . . , 4 ( n ) y se satisface 
4'"'(x) = f [ x , 4(x), 4'6x1, . . . 7 4@- W] (1 2 ) 
para toda x en (Y < x < p. Amenos de que se diga otra cosa, se supone que la función f de 
la ecuación (11) es una función de valores reales, y se tiene interés en obtener las soluciones 
y = +(x) de valores reales. 
20 Introduccibn 
Es fácil comprobar por sustitución directa que la ecuación de primer orden (3) 
tiene la solución 
R = $ ( t ) = ceCkr, - cc < t < m, (13) 
en donde c es una constante arbitraria. De manera semejante, las funciones yl(x) = cos x y 
y,@) = sen x son soluciones de 
y” + y = o (13) 
para toda x. Como un ejemplo un poco más complicado, se comprueba que $,(x) = x2 In x 
es una solución de 
. s 2 y ” - 3xy‘ + 4y = o, x > o. ( 1 5 ) 
Se tiene 
Al sustituir en la ecuación diferencial (15) se obtiene 
con lo cual se comprueba que +,(x) = x2 In x es una solución de la (15). También es posible 
demostrar que +?(x) = x’ es una solución de la ecuación (15); se deja esto último como 
ejercicio. 
Aunque para las ecuaciones (31, (14) y (15) es posible verificar que ciertas funciones 
sencillas son soluciones, en general no se tienen con facilidad esas soluciones. Por tanto, 
una pregunta fundamental es: dada una ecuación de la forma (11), jcómo es posible decir si 
tiene una solución? Esta es la cuestión de existencia de una solución. El hecho de que se ha- 
ya escrito una ecuación de la forma (11) no necesariamente significa que exista una función 
y = &x) que la satisfaga. De hecho, no todas las ecuaciones diferenciales tienen soluciones, 
ni su existencia es un asunto puramente matemático. Si un problema físico que tenga senti- 
do, se plantea matemáticamente de manera correcta como una ecuación diferencial, enton- 
ces el problema matemático debe tener una solución. En este sentido, un ingeniero o un 
científico cuenta con un medio para comprobar la validez del planteamiento matemático. 
En segundo lugar, suponiendo que una ecuación dada tiene una solución, ¿tendrá otras 
soluciones? En caso afirmativo, ¿qué tipo de condiciones adicionales es necesario especifi- 
car para singularizar una solución específica? Esta es la cuestión de unicidad. Obsérvese 
que para la ecuación de primer orden (3) existen una infinidad de soluciones, que corres- 
ponden a la infinidad de posibilidades de elección de la constante c de la ecuación (13). Si 
se especifica R en algún instante t , esta condición determinará un valor de c; sin embar- 
go, aún así no se sabe todavía si la ecuación (3) no tiene otras soluciones que tambikn 
tengan el valor prescrito de R en el instante predeterminado t. Las cuestiones de existencia 
1.1 Clasificación de las ecuaciones diferenciales 21 
y unicidad son difíciles de responder; a medida que se avance se analizarán estas dudas y 
otras relacionadas. 
Una tercera pregunta, más práctica, es: dada una ecuación diferencial de la ecuación (1 l), 
jcómo se determina realmente una solución? Observe que si se encuentra una solución de 
la ecuación dada, al mismo tiempo se responde la pregunta de la existencia de una solu- 
ción. Por otra parte, sin conocer la teoría de la existencia posible, por ejemplo, usar una 
computadora para hallar una aproximación numérica a una "solución" que no existe. Aun- 
que fuese posible saber que existe una solución, puede ser que ésta no sea expresable en 
términos de las funciones elementales usuales: funciones polinomiales, trigonométricas, 
exponenciales, logaritmicas e hiperbólicas. No obstante, esto es lo que sucede para la ma- 
yor parte de las ecuaciones diferenciales. Por tanto, al mismo tiempo que se analizan los 
métodos elementales que pueden aplicarse para obtener soluciones de ciertos problemas 
relativamente sencillos, también es importante considerar los métodos de naturaleza más 
general que puedan aplicarse a problemas más difíciles. 
Ecuaciones lineales y no lineales. Otra clasificación decisiva de las ecuaciones dife- 
renciales es si éstas son lineales o no linea!es. Se dice que la ecuación diferencial ordinaria 
F(x , y, y', . . . , y'"') = O 
es lineal si F es una función lineal de las variables y, y', . . . , y("); se aplica una definición 
semejante para las ecuaciones diferenciales parciales. Por tanto, la ecuación diferencial 
ordinaria lineal general de orden n es 
a,(x)y'"' + u,(x)y'"- l ' + ' ' . + u,(x)y= y(x). (16) 
Las ecuaciones (2) a (6), (14) y (15) son lineales. Una ecuación que no es de la forma (16) 
es no lineal. La (10) es no lineal debido al término yy'. Un problema físico sencillo que da 
origen a una ecuación diferencial no lineal es el péndulo oscilante. El ángulo Oformado por 
un péndulo oscilante de longitud 1, con respecto a la vertical (ver la figura 1.1.1) satisface la 
ecuación no lineal 
d 'Q y 
dt' 1 
+ -- sen 0 = O. 
La teoría matemática y las técnicas para resolver ecuaciones lineales están bastante desa- 
rrolladas. Por el contrario, para las ecuaciones no lineales la situación no es tan satisfacto- 
mg 
FIGURA 1.1.1 Péndulo oscilante. 
22 Introducción 
ria. Faltan en gran parte técnicas generales para resolver las ecuaciones no lineales y la 
teoría no asociada con ellas también es más complicada que la correspondiente de las 
ecuaciones lineales. En vista de lo anterior, resulta conveniente que muchos problemas 
importantes originen ecuaciones diferenciales ordinarias lineales o, por lo menos en una 
primera aproximación, ecuaciones lineales. Por ejemplo, para el problema del péndulo, si 
el ángulo t9 es pequeño, entonces sen 8 = 6 y la ecuación (17) puede sustituirse por la 
ecuación lineal 
d 2 0 y 
-+"=0. 
dt2 1 
Por otra parte, existen fenómenos físicos importantes, como los problemas ecológicos de 
las secciones 9.4 y 9.5, en los que no es posible dar una aproximación de las ecuaciones 
diferenciales no lineales rectoras por medio de lineales: la no linealidad es decisiva. 
En un texto elemental es natural hacer hincapié en el análisis de las ecuaciones lineales. 
Por consiguiente, la mayor parte de este libro está dedicada a las ecuaciones lineales y a 
diversos métodos para resolverlas. Sin embargo, los capítulos 8 y 9, así como una gran 
parte del capítulo 2, tratan de ecuaciones no lineales. A lo largo de todo el texto se intenta 
mostrar por qué las ecuaciones no lineales son, en general, más difíciles y por qué muchas 
de las técnicas útiles para resolver ecuaciones lineales no pueden aplicarse a las no lineales. 
Campos direccionales. A partir del próximo capítulo se analizarán con detalle muchos 
métodos para resolver varias clases de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, antes de 
proceder a ese análisis, vale la pena hacer algunos comentarios acerca de la interpretación 
geométrica de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones. Un punto de vista geométrico 
es particularmente útil para las ecuaciones de primer orden, es decir, ecuaciones de la forma 
Dado que una solución de la ecuación (19) es una función y = +(x), la representación 
geométrica de una solución es la gráfica de una función. Geométricamente, en la ecua- 
ción (19) se afirma que, en cualquier punto (x, y ) la pendiente dy/& de la solución en ese 
punto está dada por f (x , y) . Esto pude indicarse si se traza un pequeño segmento rectilíneo 
que pase por el punto (x, y ) con la pendiente f ( x , y). La colección de todos esos segmentos 
rectilíneos se llama campo direccional de la ecuación diferencial (19). El campo direccional 
puede observarse si se trazan pequeños segmentos rectilíneos en algún conjunto represen- 
tativo de puntos en el plano xy. Aunque hacer esto manualmente es tedioso, resulta una 
tarea sencilla para una computadora, ya que sólo se requiere la evaluación repetida def(x, 
y ) para valores diferentes de x y y. Por lo general se elige alguna rejilla rectangular de 
puntos. Una vez que se obtiene un esquema del campo direccional, a menudo es posible ver 
de inmediato el comportamiento cualitativo de las soluciones, o quizá observar regiones 
del plano que tienen algún interés especial. 
Por ejemplo, en la figura 1.1.2 se tiene el campo direccional de la ecuación 
1.1 Clasificación de las ecuaciones diferenciales 23 
FIGURA 1.1.2 Campo direccional de y' = (3 - y ) / 2 . 
Para esta ecuación,f(x, y) sólo depende de y , de modo que los segmentos rectilíneos tienen 
la misma pendiente en todos los puntos sobre cualquier recta paralela al eje x. Por ejemplo, 
sobre la recta y = 2 la pendiente de cada segmento rectilíneo es 1/2. Cualquier solución de 
la (20) tiene la propiedad de que, en todo punto, su gráfica es tangente al elemento del cam- 
po direccional en ese punto. Por tanto, como puede observarse a partir de esta figura, el 
campo direccional proporciona una información cualitativa acerca de las soluciones. Por 
ejemplo, con base en la figura 1.1.2 parece evidente que las soluciones son funciones de- 
crecientes cuando y > 3, que son crecientes cuando y < 3, y que, aparentemente, todas las 
soluciones tienden al valor 3 cuando x -+ CQ. 
En la sección 2.1 se estudia con mayor detalle esta ecuación; allí se encontrarán sus 
soluciones y se confirmarán estas conclusiones tentativas. 
Como otro ejemplo, considere la ecuación 
Ahora la función f(x, y) = e-' - 2y depende tanto de x como de y, de modo que es una 
ecuación más complicada que la (20). En la figura 1.1.3 se muestra el campo direccional de 
la ecuación (21). Una vez más, el patrón general de las curvas solución resulta evidente con 
base en esta figura y parece que todas las soluciones tienden a cero cuando x -+ m. 
Empleo de las computadoras en las ecuaciones diferenciales. Una computadora puede 
ser una herramienta bastante valiosa para el estudio de las ecuaciones diferenciales. Duran- 
te muchos años se han utilizado las computadoras para ejecutar algoritmos numéricos, 
como los que se describen en el capítulo 8, a fin de construir aproximaciones numéricas 
para las soluciones de ecuaciones diferenciales. En la actualidad, estos algoritmos se han 
refinado hasta un nivel extremadamente superior de generalidad y eficiencia. Para resolver 
numéricamente una amplia variedad de ecuaciones diferenciales bastan unas cuantas líneas 
de código de computadora, escritas en un lenguaje de alto nivel, como FORTRAN, BASIC 
" . 
, , . . .. " 
24 
". ____." Introducción 
FIGURA 1.1.3 Campo direccional de y' = e-"- 2y. 
o Pascal, y que se ejecuten (a menudo en unos cuantos segundos) en una computadora 
relativamente poco costosa. En la mayoría de los centros de cómputo se cuenta con las 
rutinas más complicadas. Estas rutinas combinan la capacidad de manejar sistemas muy 
grandes y complejos, con numerosas características de diagnóstico que alertan al usuario 
respecto a posibles problemas a medida que se presentan. La salida usual de un algoritmo 
numérico es una tabla de números en la que se listan valores seleccionados de la variable 
independiente y los valores correspondientes de la variable dependiente. Con medios idó- 
neos para trazar gráficas con computadoras, también es fácil presentar gráficamente la 
solución de una ecuación diferencial, sin importar que la solución se haya obtenido numé- 
ricamente o como resultado de un procedimiento analítico de algún tipo. Esta presentación 
gráfica suele ser mucho más ilustrativa y útil, para comprender e interpretar la solución de 
una ecuación diferencial, que una tabla de números o una f ó p u l a analítica complicada. 
Por ejemplo, muchas de las figuras en este libro se generaron por medio de una computa- 
dora, aunque hayan sido vueltas a trazar por un artista. Por supuesto, ahora la amplia dispo-nibilidad de microcomputadoras poderosas ha puesto este tipo de capacidad de cómputo y 
gráfica al alcance de los estudiantes, quienes poseen sus propias computadoras personales 
o tienen acceso a laboratorios públicos de microcomputadoras. Un estudiante interesado en 
las ecuaciones diferenciales debe considerar, a la luz de sus propias circunstancias, la mejor 
manera de aprovechar los recursos de cómputo de que disponga. En el mercado existen 
varios paquetes de software bien diseñados para la investigación gráfica de las ecuaciones 
diferenciales y seguramente en el futuro aparecerán más. Al final de este capítulo, en la 
bibliografia, se listan algunos de los paquetes disponibles. 
Otro aspecto muy pertinente del uso de las computadoras para el estudio de ecuaciones 
diferenciales es la existencia de paquetes de software extremadamente poderosos y genera- 
les para efectuar cálculos simbólicos y numéricos. Entre éstos se encuentran Derive, 
Macsyma, Maple, Mathematica, y Mathscribe, cada uno de los cuales puede utilizarse en 
1.1 Clasificación de las ecuaciones diferenciales 25 
varios tipos de computadoras personales o estaciones de trabajo. Entre otras funciones, 
estos paquetes pueden efectuar las operaciones analíticas que intervienen en la resolución 
de muchas ecuaciones diferenciales, a menudo en respuesta a una sola instrucción. El em- 
pleo de manipuladores simbólicos o del álgebra por computadora aún es incipiente, pero 
quienquiera que pretenda abordar las ecuaciones diferenciales de forma no superficial debe 
familiarizarse por lo menos con un paquete de manipulación simbólica e investigar las 
maneras en que es posible aplicarlo. 
Para el estudiante, estos recursos diversos de cómputo tienen un efecto sobre la manera 
en que debe estudiar las ecuaciones diferenciales. Sigue siendo esencial comprender cómo 
se aplican los diversos métodos de resolución, y esta comprensión se logra en parte al 
trabajar con detalle un número suficiente de empleos. Sin embargo, llegará el momento en 
que deba delegar tanto como sea posible los detalles sistemáticos (a menudo repetitivos) a 
una computadora para concentrar más la atención en el planteamiento adecuado del proble- 
ma y en la interpretación de la solución. En especial, el estudiante debe esforzarse por 
combinar los métodos numéricos, gráficos y analíticos a fin de comprender mejor el com- 
portamiento de la solución y del proceso subyacente modelado por el problema. Nuestro 
punto de vista es que siempre debe tratar de usar las mejores herramientas disponibles para 
cada tarea. Algunas veces pueden ser lápiz y papel; otras, una computadora o una calcula- 
dora. A menudo lo mejor es una combinación atinada. 
En cada uno de los problemas 1 a 6, determine el orden de la ecuación diferencial dada; diga 
también si la ecuación es lineal o no lineal 
En cada uno de los problemas 7 a 14, verifique que la función o funciones que se dan son una 
solución de la ecuación diferencial. 
7. y” - y = O; y , ( x ) = ex, y2 (x ) = cosh x 
8. y” + 2y’ - 34’ = O; y l ( x ) = e-3x , y2(x) = ex 
9. xl’‘ - y = x2; y = 3x + x2 
11. 2x2y” + 3xy’ - y = O, x > O; yl(-x) = xI12, y2(x) = x” 
10. y”” + 43”” + 3 y = x: y , ( x ) = x/3, yJx ) = e - x + x/3 
12. x2y” + 5xy’ + 43: = O , x > O; ~ ~ ( x ) = x-’, y2(x) = . x - ~ 2 In x 
13. J” + y = sec x, O < x < n/2; y = (cos x) In cos x + x sen x 
14. y‘ - 2 x ~ ’ = I ; y = ex‘ J”; e“‘dt + ex’ 
. .. 
26 Introducción 
En cada uno de los problemas 15 a 18, determine los valores de r para los que la ecuación 
diferencial dada tiene soluciones de la forma y = erx. 
15. y ’ + 2 y = O 
17. y” + y’ - 6y = O 
16. y” - y O 
18. y’” - 34”’ + 2y’ = O 
En cada uno de los problemas 19 y 20, determine los valores de r para los que la ecuación 
diferencial dada tiene soluciones de la forma y = x“ , para x > O. 
19. x2y” + 4xy‘ + 2y = O 20. x2y” - 4xy’ + 4y = o 
En cada uno de los problemas 21 a 26, determine el orden de la ecuación diferencial parcial 
dada; diga también si la ecuación es lineal o no lineal. Las derivadas parciales se denotan por 
medio de subindices. 
21. u,, + U],], + uzz = O 
23. a2u,, = u,, 
25. U,,,, + 2~~~~~ + uYYyg = O 
22. a‘u,, = u, 
24. U,, + uyP + UU, + uuS + U = O 
26. U, + UU, = 1 + U,, 
En cada uno de los problemas 27 a 32, verifique que la función o funciones dadas son una 
solución de la ecuación diferencial parcial correspondiente. 
27. U,, + uyy = O; u,(x, y ) = cos x cosh y , u2(x, y ) = ln(x2 i .y2) 
28. a2u,, = U,; u,(x, t) = e“*‘sen x, u2(x, t) = e-ozi2r sen ix , i es una constante real 
29. a2u,, = u!,; u,(x, t) = sen Ax sen ].ut, u2(x, t ) = sen(x - at), i es una constante real 
30. U,, + uYy + U,, = O; U = (X’ + y’ + z’)-’“, (X, y , Z ) # (O, O, o) 
31. azu,, = u,; u = (71/t)112e-x214a2‘ , t > O 
32. a2u,, = U,‘: U =f(x - at) + g(x + at), 
en donde f y g son funciones doblemente diferenciables 
En cada uno de los problemas 33 a 40 use una computadora, de ser posible, para hacer un 
esquema del campo direccional de la ecuación diferencial dada. Con base en el campo 
direccional, determine el comportamiento de y cuando x + m. 
33. y’ = - 1 - 2y 
35. y‘ = -2 + x - y 
39. y’ = y(4 - y) 
37. y‘ = e- , + y 
34. y‘ = 4’ + 2 
36. y’ = xe - 2 x - 2 y 
38. y‘ = X + 2y 
40. y‘ = -y(5 - y ) 
Isóclinas. Si es necesario trazar manualmente el campo direccional de la ecuación diferen- 
cial y’ = f(x, y ) , es útil observar que la pendiente y‘ de la solución tiene el valor constante cen 
todos los puntos de la curvaflx, y) = c. Estas curvas se denominan isóclinas. Para ecuaciones 
relativamente simples es posible trazar el campo direccional dibujando unas cuantas isóclinas 
y luego insertar los segmentos rectilíneos tangentes a la solución en varios puntos de cada 
una. Por ejemplo, las isóclinas de la ecuación (20) son rectas paralelas al eje x y las isóclinas 
de la (21) son las gráficas de la ecuación y = (e-x- c)/2 para varios valores de c. En cada uno de 
los problemas del 41 al 46, determine las isóclinas y después úselas para trazar el campo di- 
reccional. Compruebe su dibujo usando una computadora, si es posible. 
41. y’ = 3 - 2 y 
43. y’ = (1 - y)(2 - y) 
45. y‘ = x2 + 4’2 
42. y’ = -y(1 + y’) 
44. yr = 2x - 3y 
46. y’ I - XY 
1.2 Notas históricas 27 
1.2 Notas históricas 
Si no se tienen algunos conocimientos acerca de las ecuaciones diferenciales y los métodos 
para resolverlas, es difícil apreciar la historia de esta importante rama de las matemáticas. 
Además, el desarrollo de las ecuaciones diferenciales está estrechamente relacionado con 
el desarrollo general de' las matemáticas, por lo que no es posible separarlo de éste. Sin 
embargo, para proporcionar una perspectiva histórica, se indican algunas de las tendencias 
más importantes en la historia de la materia y se identifican los primeros contribuido- 
res más sobresalientes. En los pies de página dispersos en todo el libro y en la bibliografía 
que se encuentra al final de este capítulo se proporciona información histórica adicional. 
El estudio de las ecuaciones diferenciales se originó en los albores del cálculo con Isaac 
Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), en el siglo XVII. Newton 
creció en la campiña inglesa, estudió en el Trinity College de Cambridge y trabajó ahí 
como profesor de matemáticas a partir de 1669. Sus memorables descubrimientos del cál- 
culo y las leyes fundamentales de la mecánica datan de 1665. Estos circularon en forma 
privadaentre sus amigos, pues Newton era extremadamente sensible a la crítica y no CO- 
menzó a publicar sus resultados hasta 1687 con la aparición de su libro más famoso, 
Philosophiae naturalisprincipia mathernatica. Aunque Newton trabajó relativamente POCO 
en las ecuaciones diferencialesper se, su desarrollo del cálculo y su aclaración de los prin- 
cipios fundamentales de la mecánica proporcionaron una base para la aplicación de aqué- 
llas en el siglo XVIII, de modo más notable por Euler. Newton clasificó las ecuaciones 
diferenciales de primer orden según las formas dy dx = f(x), dyldx = fCy) y dyldx = f ( x , y). 
Para la última ecuación desarrolló un método de resolución, aplicando series infinitas, cuan- 
do f(x, y) es un polinomio en x y y. La larga carrera de investigación activa de Newton, 
terminó a principios de la década de 1690, salvo por la resolución de problemas ocasionales 
que constituían un desafío. En 1695 fue designado guardián de la Casa de Moneda británica 
y algunos años después, renunció a su cátedra. Fue nombrado caballero en 1705 y al falle- 
cer sus restos fueron depositados en la Abadía de Westminster. 
Leibniz nació en Leipzig y terminó su doctorado en filosofía a la edad de 20 años en la 
Universidad de Altdorf. Durante toda su vida se entregó a trabajos eruditos en varios cam- 
pos. En matemáticas fue esencialmente autodidacta, ya que su interés en la materia se 
inició cuando tenía un poco más de 20 años. Leibniz llegó a los resultados fundamentales 
del cálculo de manera independiente, aunque un poco más tarde que Newton, pero los 
publicó primero, en 1684. Leibniz tenía plena conciencia del poder de una buena notación 
matemática, y la notación actual para la derivada (dyldx) y el símbolo de la integral se 
deben a él. Descubrió el método de la separación de variables (sección 2.3) en 1691, la 
reducción de ecuaciones homogéneas a ecuaciones separables (sección 2.9) en 1691, y el 
procedimiento para resolver ecuaciones lineales de primer orden (secciones 2.1 y 2.2), en 
1694. Fue embajador y consejero de varias familias de la realeza alemana, lo que le permi- 
tió viajar mucho y mantener una amplia correspondencia con otros matemáticos, en espe- 
28 Introducción 
cia1 con los hermanos Bernoulli. En el curso de esta correspondencia se resolvieron mu- 
chos problemas de ecuaciones diferenciales durante la última parte del siglo XVII. 
LOS hermanos Jakob (1654-1705) y Johann (1667-1748) Bernoulli de Basilea hicieron 
mucho por llegar a métodos para resolver ecuaciones diferenciales y ampliar el alcance de 
sus aplicaciones: Jakob empezó a trabaja: como profesor de matemáticas en Basilea en 
1687, y Johann obtuvo la misma cátedra al morir su hermano en 1705. Fueron pendencie- 
ros, celosos y frecuentemente se enredaban en disputas, especialmente entre ellos. Sin em- 
bargo, los dos hicieron contribuciones importantes en varias áreas de las matemáticas. Con 
la ayuda del cálculo plantearon y resolvieron varios problemas de la mecánica como 
ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, Jakob Bernoulli resolvió la ecuación diferencial y’ = 
[u3/(b2y - u3)]’/* en 1690 y en el mismo artículo aplicó el término “integral” en el sentido 
moderno. En 1694, Johann Bernoulli pudo resolver la ecuación dyldx = ylax, aun cuan- 
do todavía no se sabía que d(ln x) = &/x. Uno de los problemas a cuya solución colaboraron 
los dos hermanos, y que provocó bastantes fricciones entre ellos, fue el de la bruquuisf6cronu 
(la determinación de la curva de descenso más rápido). En el problema 17 de la sección 2.7 
se verá que este problema da origen a la ecuación no lineal de primer orden 
en donde c es una constante. El problema de la braquistócrona también fue resuelto por 
Leibniz y Newton, además de los hermanos Bernoulli. Se dice, aunque quizá no sea cierto, 
que Newton supo del problema al final de una tarde de un fatigoso día en la Casa de Mone- 
da y que lo resolvió esa noche, después de la cena. Publicó la solución de manera anónima, 
pero Johann Bernoulli, al verla: exclamó: ‘ ‘ i A h ! , conozco al león por su zarpa.” 
Daniel Bernoulli (1700-1782), hijo de Johann, emigró en su juventud a San Petersburgo 
para ingresar a la recientemente creada Academia de San Petersburgo, pero en 1733 volvió 
a Basilea como profesor de botánica y, ,más tarde, de física. El tema que más le atrajo fue 
esencialmente el de las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Por ejemplo, su nom- 
bre es el que se asocia a la famosa ecuación de Bernoulli de la mecánica de fluidos. Tam- 
bién fue el primero en descubrir las funciones que un siglo más tarde se conocieron como 
funciones de Bessel. 
El matemático más grande del siglo XVIII, Leonhard Euler (1707-1783), creció cerca de 
Basilea y fue alumno de Johann Bernoulli. En 1727 siguió a su amigo Daniel Bernoulli a 
San Petersburgo. Durante el resto de su vida estuvo relacionado con la Academia de San 
Petersburgo (1727-1741 y 1766-1783) y con la Academia de Berlín (1741-1766). Euler fue 
el matemático más prolífico de todos los tiempos; sus trabajos reunidos llenan más de 70 
grandes volúmenes. Su interés se extendió a todas las áreas de las matemáticas y muchos 
campos de aplicación. Aun cuando quedó ciego durante los últimos 17 años de su vida, SU 
ritmo de trabajo no disminuyó hasta el mismo día de su fallecimiento. De interés particular 
para estas notas es su planteamiento de problemas de mecánica en lenguaje matemático y 
su desarrollo de métodos para resolver estos problemas matemáticos. Refiriéndose al traba- 
jo de Euler en mecánica, Lagranje dijo que era “el primer gran trabajo en el que se aplica el 
análisis a la ciencia del movimiento”. Entre otras cosas, Euler identificó las condiciones 
para la exactitud de las ecuaciones diferenciales de primer orden (sección 2.8) en 1734- 
1735, desarrolló la teoría de los factores integrales (sección 2.Q en el mismo documento, 
y dio la solución general de las ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constan- 
tes (secciones 3.1,3.4,3.5 y 4.2), en 1743. De 1750 a 1751 extendió estos últimos resulta- 
1.2 Notas históricas 29 
dos a las ecuaciones no homogéneas. Comenzando alrededor de 1750, Euler aplicó con 
bastante frecuencia las series de potencias (capítulo 5) para resolver ecuaciones diferen- 
ciales. De 1786 a 1769 también propuso un procedimiento numérico (sección 8.l), hizo 
importantes contribuciones a las ecuaciones diferenciales parciales y dio el primer trata- 
miento sistemático del cálculo de variaciones. 
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) se convirtió en profesor de matemáticas en su Turin 
natal a los 19 años. En 1776 ocupó la cátedra de matemáticas dejada por Euler en la Acade- 
mia de Berlín y en 1787 se desplazó a la Academia de París. Es más famoso por SU monu- 
mental trabajo Mécanique analytique, publicado en 1788; un tratado elegante y extenso d e 
la mecánica newtoniana. Con respecto a las ecuaciones diferenciales elementales, Lagrange 
demostró en 1762-1765 que la solución general de una ecuación diferencial lineal homogé- 
nea de n-ésimo orden es una combinación lineal de n soluciones independientes (secciones 
3.2, 3.3 y 4.1). Más tarde, entre 1774 y 1775, dio un desarrollocompleto del método de 
variación de parámetros (secciones 3.7 y 4.4). Lagrange también es conocido por su trabajo 
fundamental en ecuaciones diferenciales parciales y el cálculo de variaciones. 
El nombre de Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) a menudo se asocia con el de La- 
grange, aunque la naturaleza de su trabajo matemático fue bastante diferente. Laplace uti- 
lizó las matemáticas como un medio para comprender la naturaleza, mientras que Lagrange 
se dedicó a las matemáticas por sí mismas. Laplace vivió su juventud en Normandía, aun- 
que en 1768 se mudó a París, donde en poco tiempo dejo su sello en los círculos científicos, 
siendo elegido como miembro de la Academia de Ciencias en 1773. Destacó en el campo 
de la mecánica celeste; su obra más importante, Traité de mécanique céleste, fue publicada 
en cinco volúmenes entre 1799 y 1825. La ecuación 
un t u + u, = o, 
YY 
en donde los subindices denotan derivadas parciales, se conoce como ecuación de Laplace 
o como ecuación del potencial. Es fundamental en muchas ramas de la física-matemática y 
Laplace la estudió ampliamente en relación con la atracción gravitacional. La transformada 
de Laplace (capítulo 6) también recibió ese nombre en honor a é1, aunque su utilidad en la 
resolución de ecuaciones diferenciales no se reconoció hasta mucho después. 
Alrededor de fines del siglo XVIII se habían descubierto muchos métodos elementales 
para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. En el siglo XIX el interés se dirigió más 
hacia la investigación de cuestiones teóricas de existencia y unicidad, así como al desarro- 
llo de métodos menos elementales, como los que se basan en métodos de series de poten- 
cias (ver el capítulo 5). También se empezaron a estudiar con intensidad las ecuaciones 
diferenciales parciales, en la medida en que se aclaraba su papel primordial en la física- 
matemática. 
Las numerosas ecuaciones diferenciales que no podían ser resueltas por métodos analíti- 
cos originaron la investigación de métodos de aproximaciones numéricas (ver el capítulo 
8). Ya por 1900 se habían ideado métodos de integración numérica bastante efectivos, aun- 
que su aplicación estaba muy restringida por la necesidad de ejecutar los cálculos a mano o 
con equipo de cómputo bastante primitivo. Durante los últimos 50 años el desarrollo de com- 
putadoras cada vez más poderosas y versátiles ha ampliado mucho la variedad de proble- 
mas que es posible investigar con eficacia por medio de métodos numCricos. Durante el 
mismo periodo se han creado integradores numéricos en extremo refinados y poderosos 
disponibles en casi todos los centros científicos de cómputo. Las versiones adecuadas para 
." " . 
. . ... 
30 Introducción 
computadoras personales han puesto al alcance de los estudiantes la capacidad de resolu- 
ción para un gran número de problemas significativos. 
Otra característica de las ecuaciones diferenciales en el siglo XX ha sido la creación de 
métodos geométricos o topológicos, específicamente para resolver ecuaciones no lineales. 
El objetivo en este caso es comprender por lo menos el comportamiento cualitativo de las 
soluciones desde un punto de vista geométrico, en vez de analítico. En el capítulo 9 se 
presenta una introducción a estos métodos. 
Durante los últimos quince o veinte años se han unificado estas dos tendencias. Las 
computadoras, y en especial las gráficas por compufadora, han dado un nuevo impulso al 
estudio de sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales. Se han descubierto fenómenos 
inesperados (sección 9.8), a los que se les ha dado el nombre de atractores extraños, caos, y 
fractales, los cuales se están estudiando intensamente y están dando origen a nuevas con- 
cepciones en diversas aplicaciones. Aunque las ecuaciones diferenciales constituyen un 
tema antiguo acerca del cual se sabe mucho, a fines del siglo XX siguen siendo una fuente 
de problemas fascinantes e importantes que no se han resuelto. 
B I B L i o G R M h Tres paquetes de software muy adaptables para presentar gráficamente las soluciones de ecuaciones 
diferenciales son: 
Koqak, H., Differential and Difference Equations Through Computer Experiments (2a. ed.) (New YorU 
Berlín: Springer-Verlag, 1989). Este es un amplio manual de disquetes incluidos que contiene el progra- 
ma PHASER, que puede ejecutarse en varias máquinas IBM y compatibles. 
Gollwitzer, H., Phase Portraits (Philadelphia: Drexel University, 1988). Este programa se corre en 
computadoras Macintosh y en la actualidad lo distribuye Intellimation Inc., Santa Barbara, California. 
Newman, D., Carosso, K., y Freed, N., Mathlib (Claremont Cal.: Innosoft International, Inc.). Este soft- 
Para más información acerca de la historia de las matemáticas pueden consultarse libros como los que se 
Bell, E. T., Men of Mathemafics (New York: Simon & Schuster). 
Boyer, C. B. y U. C. Merzbach, A History ofkfathematics (2a. ed.) (New York: Wiley). 
Eves, H., A n Introducfion to the History of Mathematics (5a. ed.) (Troy, Missouri: Saunders). 
Kline. M., Mathematical Throught from Ancient to Modern Times (New York Oxford University Press). 
ware se ejecuta en máquinas VAX en las que se use VMS. 
listan a continuación. De los cuatro que se mencionan, el más amplio es el de Kline. 
En l a siguiente obra también aparece un índice histórico útil : 
Ince, E. L., Ordinary Differential Equations (London: Longmans, Green, 1927; New York: Dover). 
En el mercado se encuentran varias antologías que incluyen material de fuentes originales, así como CO- 
Calinger, R., ed., Classics ofMathematics (Oak Park, Illinois: Moore Publishing Company 
Newman, J. R., ed., The IVorld ofMathemafics (4 vols.)(New York: Simon ¿? Schuster). 
Por último, una fuente enciclopédica de información sobre la vida y obra de matemáticos del pasado es 
Gillespie, C. C., ed., Dictionary of Scientific Biography (15 vols.) (New York: Scribner’s). 
mentarios explicativos e históricos; por ejemplo: 
224532 
Ecuaciones diferenciales de 
primer orden 
En este capítulo se estudian ecuaciones diferenciales de primer orden, 
Sin embargo, para una función arbitraria f , no existe un método general para resolver esta 
ecuación en términos de funciones elementales. En lugar de ello, se describen varios méto- 
dos, cada uno de los cuales es aplicable a cierta subclase de ecuaciones. En otras secciones 
de este capítulo se abordan algunas de las aplicaciones importantes de las ecuaciones dife- 
renciales de primer orden y algunas cuestiones teóricas relacionadas con la existencia y la 
unicidad de las soluciones. 
2.1 Ecuaciones lineales 
Se empieza con las ecuaciones de la forma ' 
en donde f es una función dada de dos variables. Cualquier función diferencial y = +(x) que 
satisface la ecuación (1) para toda x en algún intervalo se llama solución, y el objetivo es 
determinar si existen funciones de este tipo y, en caso afirmativo, desarrollar métodos para 
encontrarlas. 
En esta sección y en la siguiente se supondrá que la función f(x, y) depende linealmente 
de la variable dependiente y. En este caso, la ecuación (1) puede escribirse en la forma 
32 Ecuaciones diferenciales de primer orden 
y s e denomina ecuación lineal de primer orden. Se supondrá que p y g son funciones 
dadas y que son continuas en algún intervalo a < x < p. Por ejemplo,la ecuación dife- 
rencial 
Ejemplo 1 
es una ecuación lineal particularmente simple en la que las funciones&) = 1/2 y g(x) = 
3/2 son constantes. Recuerde que en la figura 1.1.2 de! capítulo anterior se dio el campo 
direccional de la ecuaci6n (3) . 
Resolver la ecuacicin (3) y determinar el comportamiento de las soluciones para valores grandes 
de .Y. Tambih, determinar la solución cuya gráfica contiene el punto (O, 2). 
Para resolver la ecuacidn (3) se observa que si y # 3, entonces esa ecuación puede escribirse 
de nuevo como 
Como el primer miembro de la ecuación (4) es la derivada de In y - 3, se tiene 
Entonces, se conciuye que 
en donde C es una constante arbitraria de integración. Por consiguiente, al tomar la exponencial 
de ambos miembros, se obtiene 
ly - 31 = &c-* 2. 
o bien, 
y, por último, 
en donde c = t ec también es una constante arbitraria (diferente de cero). Observe que la solu- 
ción constante y = 3 también está contenida en la expresión (S), si se permite que c tome el valor 
cero. En la figura 2.1.1 se muestran las gráficas de la ecuación (5 ) para varios valores de c. 
Nótese que poseen el carácter inferido con base en el campo direccional de la figura l . 1.2; por 
ejemplo, a partir de la ecuación ( 5 ) resulta evidente que y -+ 3 cuando x -+ m. Para un valor 
particular de c la gráfica correspondiente contiene el punto (O, 2). Para hallar este valor de c, en 
la ecuación (5 ) se sustituye x = O y y = 2 y se encuentra que c = -1. Por tanto, 
2.1 Ecuaciones lineales "_____ 33 
FIGURA 2.1.1. Soluciones de y' + (1/2)y = 3/2. 
Factores integrantes. Al volver a examinar la solución de la ecuación diferencial del 
ejemplo 1, es posible encontrar un indicio que conduzca a un método para resolver ecuacio- 
nes lineales de primer orden más generales. En primer lugar, la ecuación (5) se escribe en la 
forma 
y luego, al derivar ambos miembros con respecto a x se obtiene 
lo que es equivalente a la ecuación original (3). Observe ahora que la ecuaci6n (3) puede 
resolverse si se invierten los pasos precedentes. Es decir, si se multiplica primero la ecua- 
ción (3) por ex/2, con lo que se obtiene la ecuaciGn (8). Luego, note que el primer miembro 
de la ecuación (8) es la derivada de yeXl2, de modo que la ecuación queda 
Por último, al integrar ambos miembros de la ecuación (9) se obtiene la ecuación (7) y, por 
tanto, l a solución de la ecuación (5). En otras palabras, una manera de resolver la ecuación 
(3) es multiplicarla primero por la función ex/2. Como esta multiplicación reduce l a ecua- 
ción a una forma que es integrable de manera inmediata, la función exi2 se denomina factor 
34 ~- Ecuaciones dgerenciales de primer orden 
integrante (o de integración) de la ecuación (3). Por supuesto, para que este método sea 
eficaz debe ser posible calcular el factor integrante directamente a partir de la ecuación 
diferencial. Acontinuación, se aborda esta cuestión en el contexto de la ecuación más gene- 
ral (2). 
Ei anrilisis anterior sugiere que una manera posible de resolver l a ecuación lineal general 
de primer order (21, 
y’ + p(x)J; = gb), 
es multiplicar por un factor integrante adecuado y llevarla en consecuencia a una forma 
integrable. Para encontrar ese factor integrante primero se multiplica la ecuación (2) por 
una funci6n p(x ) , que por el momento no está determinada. Entonces, se tiene 
P(-X)Y’ + P(X)P(X)Y = P(X)Y(X). ( 1 O) 
1 3 objetivo es elegir p ( x ) de modo que el primer miembro de la ecuación (10) sea la deriva- 
da de alguna función. El tirmino p(x)y’ sugiere que la función deseada podría ser el produc- 
t o p(s )y . A f in de obtener la combinación [ p(x)y]’ = p’(x)y + &)y’ es necesario sumar y 
restar el término p’(x)y en el primer miembro de la ecuación (10); al hacerlo y agrupar los 
términos de manera conveniente, se obtiene 
[p’(x)g + P(X)P’] ” [@‘(X) - P(..c)P(X)lY = P W ( X ) . ( 1 1 ) 
Ahora, si el segundo término del primer miembro de la ecuación (11) fuese cero, entonces 
esta ecuación tendrá la forma 
IP(X,Yl’ = P ( X M X ) , ( 1 2 ) 
y el primer miembro (por lo menos) sería fácilmente integrable. Afin de lograr lo anterior, 
debe elegirse p de modo que 
PYX) - P(X)PL(X) = o. (13) 
Si, por el momento, se supone que p e s positiva, entonces la ecuación (13) puede escribirse 
como 
o bien, 
Por tanto, 
d 
-- In p(x) = p ( x ) . dx 
Al elegir la constante k como cero se obtiene la función más simple posible para p, a saber 
p(x) = exp p(x) dx. S (16) 
Observe que p ( x ) es positiva para toda x, como se supuso. 
2.1 Ecuaciones lineales 35 
Ejemplo 2 
Una vez que se ha encontrado la función ,u, se regresa a la ecuación (2) y se multiplica por 
p(x) , obteniéndose así la ecuación (12). Al integrar ambos miembros de la ecuación (12) se 
obtiene 
o bien, 
Como y representa cualquier solución de la ecuación (2), se concluye que toda soluci6n 
de la ecuación (2) está incluida en la expresión del segundo miembro de la ecuación 
(17). Por consiguiente, esta expresión se conoce como solución general de la ecuación (2). 
Observe que para encontrar la solución dada por la ecuación (17) se requieren dos inte- 
graciones: una para obtener p(x ) a partir de la ecuación (16) y otra para determinar y a 
partir de la ecuación (17). 
También, observe que antes de calcular el factor integrante p ( x ) a partir de la ecuación 
(16), es necesario asegurarse de que la ecuación diferencial esté exactamente en la forma 
(2); específicamente, el coeficiente de y’ debe ser uno. En caso contrario, la p(x) usada pa- 
ra calcular p será incorrecta. En segundo lugar, después de encontrar p ( ~ ) y multiplicar la 
ecuación (2) por ella, es necesario tener la certeza de que los términos en los que aparecen 
y y y’ son, en efecto la derivada p(x)y, como debe ser. Con lo anterior se obtiene una com- 
probación del cálculo de p . Por supuesto, una vez que se ha encontrado la solución y , tam- 
bién puede verificarse sustituyéndola en la ecuación diferencial. 
La interpretación geométrica de la ecuación (17) es una familia infinita de curvas, una 
para cada valor de c, de la misma manera en que las gráficas de la figura 2.1.1 representan 
las soluciones (5) de la ecuación (3). A menudo, a estas curvas se les da el nombre de 
curvas integrales. Algunas veces es importante elegir un elemento específico de la familia 
de curvas integrales. Lo anterior se lleva a cabo al identificar un punto particular (xo, yo) por 
el que se requiera que pase la gráfica de la solución. Este requisito suele expresarse como 
Y(%) = Y,, (18) 
y se denomina condición inicial. Una ecuación diferencial de primer orden, como la (I) o 
(2), junto con una condición inicial, como la (IS), constituyen un problema con valor 
inicial. 
Determinar la solución del problema con valor inicial 
y’ + 2 y = e-*, (191 
~ ( 0 ) = 0.75. (20) 
En la figura 1.1.3 se muestra el campo direccional de la ecuación (19), de donde es posible 
deducir el perfil general de las curvas integrales. Para resolver la ecuación (19), observe que &a 
es de la forma de la ecuación (2), con p(x ) = 2 y g(x) = c X . Por tanto, el factor integrante es 
36 "" .. , Ecuaciones diferenciales de primer orden 
y a l multiplicar la ecuacih (19) por esta cantidad, se obtiene 
c z J v ' + 3(,2'). = ( 2 , (21 i 
*. El primer micmbro de la ecuaci6n (21) es la derivada de de modo que esta ecuación puede 
escrihirse como 
p , , ) ' = p r . 
i_ y por integracih se concluyc que 
en donde c es una constantc arbitraria.Por lo tanto, 
es la soitici6n general de l a ecuación (19). En la figura 2.1.2 se muestran algunas curvas integra- 
les de l a ecuaci6n (79); obscrve que siguen el patrón que resulta evidente basándose en el campo 
direccional de la figura 1.1.3. Con más precisión, para x grande el segundo término del segun- 
do miembro de la ecuacih (22) es despreciable en comparación con el primer térnmino; por 
tan~n, las gráficas de todas las soluciones tienden a la gráfica de y = exp(-x) cuando X "* m. 
Para satisfacer la condición inicial (20), se sustituyenx = O yy = 0.75 en la ecuación (22); esto 
da = -0.25, de modo que la soluci6n del problema con valor inicial dado es 
Y I 
,' = (> ' - 0.25'1 2 1 , (731 
''<= En la figura 2.1.2 se muestra l a gráfica de esta solución, por medio de la curva de trazo grueso. 
FIGURA 2.1.2 Curvas integrales de y' + 2y = e-* 
2.1 Ecuaciones lineales 37 
Ejemplo 3 Determinar la solución del problema con valor iniciai 
y' - ? s y = x , y(0) .= o . (24) 
y se concluye que 
y = -; + (."X2 ( 3 ! 
es la solución del problema con valor inicial (24). En la figura 2.1.4 se muestran algunas curvas 
integrales y l a solución particular que pasa por el origen. 
38 "_ Ecuaciones diferenciales de primer orden 
a 
" 
;E; FIGURA 2.1.4 Curvas integrales de y' - 2xy = x. 
En cada uno de los problemas 1 a 8, encuentre la solución general de la ecuación diferencial 
dada. 
1. y' + 3y = x + e - 2 x 
3. y' + y = xe"' + 1 
S. y' - y = 2e" 
7. y' + 2xy = 2 x e ~ ~ ~ 
2, y' - 24' = x"=" 
4. y' + ( l / S ) J ' = 3 cos 2x, x > o 
6. xy' + 21' = sen x, S > o 
8. (1 + x2)y' + 4xy = (1 + 2 - 
En cada uno de los problemas 9 a 16, encuentre la solución del problema con valor inicial 
dado. 
Y. y' - y = 2xeZX, y(O) = I 
10. y' + 2 y = xe 2x, y(1) = o 
11. xy' + 2 y = x2 - x + 1, y(1) =f. x > o 
12. y' + - y = __ y(7T) = o, x > o x 2 1 . 
2 cos x 
X 
13. y' - 2 y = y(0) = 2 
14. xy' + 2 y = senx, y(n/2) = 1 
IS. x3y' + 4 x 2 y = e-", y( - 1) = O 
16. xy' + (x -t l )y = x, y(ln 2) = 1 
En cada uno de los problemas 17 a 20, use una computadora para graficar el campo direccional. 
Obtenga una conclusión acerca del comportamiento de las soluciones cuando x --t m. Para 
comprobar la conclusión a la que llegó, resuelva la ecuación diferencial y después tome el 
límite cuando x + m. 
17. y' t 3y = x t e-zr (Problema 1) 
18. y' + y = xe-' + 1 (Problema 3) 
2.1 Ecuaciones lineales 39 - 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
* 25 
xy’ t 2y = sen x (Problema 6) 
(1 t x2)y’ t 4xy = (1 + (Problema 8) 
Encuentre la solución de 
Sugerencia: Considere x como variable independiente, en vez de y . 
a) Demuestre que &(x) = ezr es una solución de y’ - 2y = O y que y = c ~ ( x ) tambiin es 
una soIución de esta ecuación para cualquier valor de l a constante c. 
b) Demuestre que &(x) = l/x es una solución de y’ + y 2 = O, para .Y > O, pero que y = 
c ~ ( x ) no es una solución de esta ecuación, a menos de que c = O o c = 1. Obseme que l a 
ecuación del inciso b) es no lineal, mientras que la del inciso a) es lineal. 
Demuestre que si y = 4(x) es una solución de y’ + p(x)y = O, entonces y = c$(s) también 
es una solución para cualquier valor de la constante c. 
Sea y = y l ( x ) una solución de 
Y’ + P ( 4 Y = O, ( i ) 
y sea y = y2(x) una solución de 
Demuestre que y = y l (x ) t y2(x) también es una solución de la ecuación (ii). 
Variación de parámetros. Considere el siguiente método para resolver la ecuación li- 
neal general de primer orden: 
Y’ + P ( X ) Y = dx). (i) 
a) si g(x) es idénticamente cero, demuestre que la solución es 
en donde A es una constante. 
b) Si g(x) no es idénticamente cero, suponga que la solución es de la forma 
y = A(x) exp - p(x) dx , [ S 1 (iii) 
en donde ahora A es una función de x. Por sustitución de y en la ecuílción diferencial 
dada, demuestre que A(x) debe satisfacer la condición. 
N-4 = g(x) exp [ J P ( X ) 4 ’ (iv) 
c) DetermineA(x) a partir de la ecuación (iv); luego sustituyaA(x) en la ecuación (iii) y 
determine y . Compruebe que la solución obtenida de esta manera concuerda con la de la 
ecuación (17) del texto. Esta técnica se conoce como método de variación de pariime- 
tros y se analiza con detalle en la sección 3.7 en relación con las ecuaciones lineales de 
segundo orden. 
.”- ^. . .i .” . . 
40 ___ Ecuaciones diferenciales de primer orden 
En cada uno de ios problemas 26 y 27, aplique el método del problema 25 para resolver la 
ecuación diferencial dada. 
*76 -I . p' - 2p = x2e2' *27. y' + (1jx)y = 3 cos 2x, X > O 
2.2 Otras consideraciones acerca de las ecuaciones lineales 
En la sección 2.1 se mostró cómo construir soluciones de problemas con valor inicial para 
ecuaciones diferenciales lineales de primer orden mediante el uso de un factor integrante 
para cambiar la ecuación diferencial por una forma integrable. A continuación se abordarán 
algunas cuestiones de carácter más general, a saber, 
1. ¿,Un problema con valor inicial de este tipo siempre tiene una solución? 
2. ¿Es posible que tenga más de una solución? 
3. ¿Es vilida la solución para toda x o sólo para algún intervalo restringido alrededor del 
punto inicial? 
El siguiente teorema fundamental da respuesta a las preguntas anteriores. 
Observe que el teorema 2.2.1 establece que el problema con valor inicial dado tiene una 
solución y también que el problema tiene sólo una solución. En otras palabras, el teorema 
asegura la existencia y la unicidad de la solución del problema con valor inicial (I), (2). 
Además establece que la solución existe en toda la extensión de cualquier intervalo I que 
contenga al punto inicial x. en el que los coeficientes p y g sean continuos. Es decir, la 
solución puede ser discontinua o no existir sólo en los puntos en los que por lo menos una 
de p y g sea discontinua. A menudo estos puntos se identifican a primera vista. 
La demostración de este teorema está parcialmente contenida en el análisis de la sección 
anterior que llevó a la fórmula 
224532 
2.2 Otras consideraciones acerca de las ecuaciones lineales 41 
en donde 
p(x) = exp S p ( x ) dx. 
En la sección 2.1 se demostró que si la ecuación (1) tiene una solución, entonces ésta 
debe estar dada por la ecuación (3). Al observar con más cuidado esa deducción, también 
puede concluir que, en efecto, la ecuación diferencial (1) debe tener una solución. Dado 
quep es continua para a < x < p, se concluye que está definida en este intervalo y que es 
una función diferenciable diferente de cero. Al multiplicar la ecuación (1) por p(x) se 
obtiene 
En virtud de que p y gson continuas, la función M e s integrable, y la ecuación (3) se deduce 
de la (5). Además, la integral de es diferenciable, de modo que y , dada por la ecuación 
(3), existe y es diferenciable en todo el intervalo a < x < p. Al sustituir la expresión dada 
para y por la ecuación (3), en (1) o en ( 9 , es fácil verificar que esta expresión satisface la 
ecuación d i f e r e n c i a b todo el intervalo (Y < x < p. Por último, la condición inicial (2) 
determina de manera única la constante c, de modo que existe sólo una solución del proble- 
ma con valor inicial, con lo que se completa la demostración. Dado que la ecuación (3) 
contiene todas la soluciones de la ecuación (l) , esta expresión se llama solución general de 
la ecuación (1). 
La ecuación (4) determina el factor de integración p(x) solo hasta un factor multiplicativo 
que depende del límite inferior de integración. Si se elige este límite inferior como x,,, 
entonces 
y se concluye que p(x,,) = 1. Al utilizar el factor integrante dado por la ecuación (6) y elegir 
el límite inferior de integración