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Trabajo de Fin de Máster
Máster universitario en Ingeniería Industrial (MUEI)
Sistemas complejos fuera del
equilibrio: Análisis termodinámico de
sistemas biológicos y económicos.
MEMORIA
16 de septiembre de 2022
Autor: Abdulrahim Oukar Tatari
Directores: Sergio Berart Diez & Víctor Lopez de Rioja
Convocatoria: 10/2022
Escola Tècnica Superior
d’Enginyeria Industrial de Barcelona
Resumen
Este proyecto nace de la intención de analizar los momentos de no equilibrio en mercados eco-
nómicos mediante la aplicación de los conceptos de la termodinámica y la mecánica estadística
y, de este modo, construir un modelo económico basado en la formulación estas materias que
explicase los distintos fenómenos acontecidos en los sistemas económicos.
En primer lugar, se hace un extenso repaso de todos los campos de la física involucrados en
la construcción del modelo. Concretamente, se expone los conceptos de la termodinámica de
equilibrio, presentando las ecuaciones fundamentales y las condiciones de equilibrio y estabi-
lidad, de la termodinámica fuera del equilibrio, analizando casos interesantes de desequilibrio
en la conducción térmica y, por último, de la mecánica estadística, donde se presentan los mi-
croestados y macroestados, y se deduce la fórmula de la entropía. Además, también se repasan
algunos conceptos de la economía, diferenciando entre la microeconomía y la macroeconomía.
Posteriormente, se construye el modelo económico-termodinámico. El primer punto de vista es
el termodinámico, en el cual se formulan la ecuación fundamental económica y los potenciales
económicos análogos a los presentes en la termodinámica. También, se realiza desde el punto
de vista mecánico-estadístico, donde se determina la entropía económica. Después, se analiza
el caso de los sistemas económicos en situaciones de no equilibrio, donde se formula la situa-
ción de dos economías inicialmente aisladas que entran en contacto, una analogía del caso de
conducción térmica de una barra aislada con, inicialmente, dos temperaturas distintas.
Finalmente, al no encontrar datos de dos sistemas económicos aislados que comienzan a inter-
accionar, se opta por estudiar un sistema inicialmente en “equilibrio” que sufre una interacción
perturbadora. Se analiza el caso de la economía de Siria, estudiando los desequilibrios en los
precios de distintas cestas de productos causados por fenómenos sociales desestabilizantes, en
concreto la crisis financiera de 2008 y la guerra de Siria iniciada en 2011. Adicionalmente, se
analizan los efectos de las guerras en algunas poblaciones mundiales, añadiendo así un estudio
sobre sistemas biológicos. Por último, se extraen conclusiones de todos los resultados obtenidos.
1
Agradecimientos
Me gustaría agradecer a los codirectores de este trabajo, el profesor Sergio Berart Diez y el pro-
fesor Víctor López de Rioja por su apoyo y guía durante toda la realización de este. Así como
por permitirme formar parte de este proyecto tan interesante, con el cual he podido expandir
mis conocimientos y cerrar esta trayectoria educativa de mi vida.
2
Índice general
Resumen 1
Agradecimientos 2
1 Introducción 7
1.1 Origen y motivación del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Objetivos del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Alcance del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Requerimientos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Estado del concepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Fundamentos teóricos. 9
2.1 Termodinámica de equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Ecuaciones fundamentales y potenciales termodinámicos . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Condiciones de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Condiciones de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Termodinámica fuera del equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Sistema fuera del equilibrio térmico unidimensional. Conducción térmica. 17
2.2.2 Sistema fuera del equilibrio químico. Difusión de materia . . . . . . . . . 20
2.3 Mecánica estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 Microestados y macroestados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Colectividad microcanónica. Número de microestados. . . . . . . . . . . . 23
2.3.3 Colectividad canónica. Función de partición canónica . . . . . . . . . . . . 25
2.3.4 Valores medios y fluctuaciones de las magnitudes macroscópicas . . . . . 28
2.4 Sistemas económicos en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.1 Microeconomía. Equilibrio en un mercado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.2 Equilibrio macroeconómico. Plazos temporales. . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Modelo termoeconómico 37
3.1 Modelo termodinámico microeconómico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Modelo mecánico-estadístico microeconómico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Sistemas económicos fuera del equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Adaptación del modelo. Perspectiva mecánica y sistemas biológicos . . . . . . . . 47
4 Casos Prácticos 50
4.1 Desequilibrio de precios en economía real: El caso de Siria . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.1 Evolución de los precios y el IPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.2 Análisis de los desequilibrios. Regresión Exponencial . . . . . . . . . . . . 55
4.1.3 Análisis de los desequilibrios. Regresión Logística . . . . . . . . . . . . . . 57
3
pág. 4 Memoria
4.1.4 Discusión de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Desequilibrios en la población . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5 Presupuesto 62
5.1 Coste de horas empleadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2 Coste de material y licencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6 Impacto ambiental 63
7 Conclusiones 64
Anexos
Bibliografia
Índice de figuras
2.1 Curva de la oferta [Mankiw, 2012] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Curva de la demanda [Mankiw, 2012] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Punto de equilibrio [Mankiw, 2012] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Curva de la oferta con elasticidad variable [Mankiw, 2012] . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Curvas de la demanda según elasticidad [Mankiw, 2012] . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Curva de la demanda agregada [Mankiw, 2012] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7 Curva de la oferta agregada a medio plazo [Mankiw, 2012] . . . . . . . . . . . . . 35
4.1 Evolución del precio del burgul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Evolución de los precios del pan y los cereales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Ejemplo de extracción del efecto de la inflación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Regresión Exponencial-Pan y cereales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.5 Regresión Logística-Pan y cereales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.6 Evolución poblacional de Siria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5
Índice de cuadros
4.1 Valores de α para la Regresión Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Valores de α para la Regresión Logística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Valores de α para los picos poblacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6
Capítulo 1
Introducción
1.1. Origen y motivación del proyecto
Este proyecto surge a partir de la propuesta de trabajo de fin de estudios del profesor Sergio
Berart. La idea original plasmaba la salida de la visión idealdel equilibrio económico y el análisis
de los procesos económicos aplicando conceptos de la termodinámica y la mecánica estadística
en situaciones de no equilibrio.
Dada la originalidad de la propuesta, me puse en contacto con el profesor para plantearle mi co-
laboración en el proyecto comomi trabajo de fin demáster. El principal atractivo que encontraba
en esta propuesta era la aplicación de varios campos de la ciencia, en principio diversos, como
son la termodinámica, las matemáticas y la economía en un solo proyecto cohesionado. Esta
fue una de las principales motivaciones que tuve a la hora de seleccionar el grado y el máster
propuestos por la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Industrial de Barcelona. Adicional-
mente, también encontraba interesante la oportunidad de estudiar un campo nuevo como es la
mecánica estadística. Además, debido a que realicé la especialidad biomédica en el máster, se
me sugirió añadir el estudio de sistemas biológicos en el proyecto.
De esta forma, junto a los compañerosCarles Valldosera yAndaLai, quienes también realizarían
su trabajo de fin de grado en base a la misma idea, comencé a trabajar en este proyecto con el
profesor Sergio Berart como director. Posteriormente se unió el profesor Víctor López como
codirector.
1.2. Objetivos del proyecto
El proyecto presenta dos objetivos principales. Por un lado, la construcción de un modelo eco-
nómico basado en las fórmulas de la termodinámica, especialmente enfocado en las situaciones
de no equilibrio, realizado en conjunto con los compañeros Carles Valldosera y Anda Lai y los
profesores Sergio Berart y Víctor López. Asimismo, para conseguir este objetivo, previamente
es necesario un repaso profundo de las materias de la termodinámica y la economía, así como
la asimilación de los nuevos conceptos de la mecánica estadística.
7
pág. 8 Memoria
Por otro lado, una vez completado este primer objetivo, el siguiente es el de encontrar, de forma
propia, casos en economías reales que sustenten los resultados del modelo teórico. Adicional-
mente, se pretende la extensión del modelo añadiendo ideas propias.
1.3. Alcance del proyecto
La principal limitación en cuanto al alcance de este proyecto es la búsqueda de los casos reales
que pretendían demostrar la certeza del modelo propuesto, pues las condiciones del marco teó-
rico no suelen reflejarse en su totalidad en el marco real. Además, otra limitación en el alcance
del proyecto es el tiempo de realización de este trabajo, que en este caso concreto han sido apro-
ximadamente seis meses.
1.4. Requerimientos previos
El principal requerimiento previo para este trabajo es el de poseer conocimientos básicos sobre
los campos de la termodinámica, la economía y las matemáticas, pues para poder entender
y ampliar los conceptos de la física que se aplicarán al modelo económico es necesario haber
tenido experiencia en el estudio de estos ámbitos. No obstante, todos los fundamentos teóricos
necesarios para la comprensión del modelo se explicarán en este trabajo.
1.5. Estado del concepto
La idea de aplicar los conceptos de la termodinámica a la economía, aunque bastante singular,
no es novedosa. Uno de los libros pioneros en este campo es The Entropy Law and the Economic
Process [Georgescu-Roegen, 1971].
En los años posteriores siguieron surgiendo más propuestas de modelos económicos basados
en la termodinámica. Uno de los más relevantes, y que más ha servido como base de referen-
cia para este trabajo, es el artículo An economic analogy to thermodynamics [Saslow, 1999]. Otros
artículos relevantes y más recientes son Thermodynamics and Economics [Jenkins, 2005] y Finite-
Time Thermodynamics in Economics [Tsirlin et al, 2020].
Es pertinente mencionar, desde un punto de vista con perspectiva de género, a algunas autoras
que aplicaron la estadística al estudio de la economía, como son Mollie Orshansky, Madeleine
Guilbert, Aryness Joy Wickens, Florence Kelly, entre otras.
.
Capítulo 2
Fundamentos teóricos.
En este capítulo se presentan los fundamentos teóricos necesarios para la construcción del mo-
delo termodinámico-económico que se presentará en el Capítulo 3. Algunos de estos elementos
también serán utilizados en el análisis de los casos reales que pretenden sustentar el modelo
en el Capítulo 4. Concretamente, se exponen conceptos esenciales, junto a sus principales refe-
rencias, de la termodinámica de equilibrio [Callen, 1981], la termodinámica fuera del equilibrio
[García Villaluenga et al, 2018], la mecánica estadística [Ortin Rull et al, 2006] y la economía en
el equilibrio [Mankiw, 2012].
2.1. Termodinámica de equilibrio.
La termodinámica, junto a la mecánica y al electromagnetismo, conforman las tres ramas de
la física clásica. Concretamente, la termodinámica es la rama que estudia y analiza sistemas de
muchas partículas (del orden demagnitud del número deAvogadro∼ 1023) desde un punto de
vistamacroscópico. Todo aquello que es exterior al sistema de estudio y que puede interaccionar
con él se conoce como entorno. El conjunto formado por el sistema y el entorno se denomina
Universo termodinámico.
La termodinámica usa variables de valores promedio en sistemas pequeños y variables dimen-
sionales que tienen en consideración la extensión del sistema. Las primeras son las variables
intensivas, que se definen en volúmenes muy pequeños en comparación al volumen total del
sistema, pero con un número suficiente de partículas para poder definir estas magnitudes (tem-
peratura, presión, potencial químico...). Las segundas son las variables extensivas, que depen-
den directamente de la cantidad de materia del sistema (energía interna, volumen, número de
moles, entropía...).
Las distintas formas en las que se puede presentar un sistema termodinámico se denominan
estados. Para definir un estado, es necesario asignar valores a un número mínimo de aquellas
variables. Este número coincide con los grados de libertad del sistema. Estas variables mínimas
son las denominadas variables independientes,mientras que el resto son variables dependientes
de estas.
9
pág. 10 Memoria
Si un sistema se encuentra en un estado en que el todas las variables son independientes del
tiempo se dice que el estado es estacionario. Cuando un sistema se encuentra en estado estacio-
nario y no hay intercambio de energía ni materia con el entorno ni dentro del propio sistema,
se dice que el sistema está en equilibrio.
2.1.1. Ecuaciones fundamentales y potenciales termodinámicos
La ecuación fundamental de la termodinámica, para un sistema simple pVT (sistemas con dos
variables termodinámicas independientes que, habitualmente, son p, V y T) con k diferentes
especies o fases (diferentes componentes en mezclas o disoluciones), es
U(S, V, n1, ..., nk), (2.1)
siendo U la energía interna, S la entropía, V el volumen y n el número de moles.
La ecuación 2.1 también se puede escribir en forma diferencial:
dU =
∂U
∂S
dS +
∂U
∂V
pdV +
k∑
i=1
∂U
∂ni
dni. (2.2)
Las diversas derivadas parciales que aparecen en la ecuación 2.2 son términos que se presentan
con frecuencia por lo que adquieren una nomenclatura característica. Concretamente, son los
parámetros intensivos de Temperatura, Presión (con signo opuesto) y Potencial Químico:
T =
∂U
∂S
,
−p = ∂U
∂V
, (2.3)
µi =
∂U
∂ni
.
Con estas definiciones, la ecuación fundamental en forma diferencial 2.2 queda tal que
dU = TdS − pdV +
k∑
i=1
µidni, (2.4)
y en la denominada forma de Euler resulta en
U = TS − pV +
k∑
i=1
µini. (2.5)
Sistemas complejos fuera del equilibrio:
Análisis termodinámico de sistemas biológicos y económicos. pág. 11
Es interesante definir las transformadas de Legendre de la función de energía interna: Entalpía,
Función de Helmholtz i Función de Gibbs.
H = U + pV = TS +
k∑
i=1
µini,
F = U − TS = −pV +
k∑
i=1
µini, (2.6)
G = U + pV − TS =
k∑
i=1
µini.
Todas las funciones (H ,F yG), y también la U , se denominan potenciales termodinámicos. Sus
formas diferenciales son:
dH = TdS + V dp+
k∑
i=1
µidni,
dF= −SdT − pdV +
k∑
i=1
µidni, (2.7)
dG = −SdT + V dp+
k∑
i=1
µidni.
Si únicamente se tiene una especie o fase (k=1), los sumatorios tienen un único término,
U = TS − pV + µn,
H = TS + µn,
F = −pdV + µn, (2.8)
G = µn,
S =
1
T
U +
p
T
V − µ
T
n.
En forma diferencial:
pág. 12 Memoria
dU = TdS − pdV + µdn,
dH = TdS + pdV + µdn,
dF = −SdT − pdV + µdn, (2.9)
dG = −SdT − pdV + µdn,
dS =
1
T
dU +
p
T
dV − µ
T
dn.
2.1.2. Condiciones de equilibrio
Cada potencial termodinámico es útil en según qué condiciones, que vienen establecidas por
los enlaces a los que está sometido el sistema.
Para un sistema aislado en equilibro, se tiene que la entropía, el volumen, y el número de moles
de cada fase no varían y, por tanto, la energía interna se mantiene constante:
dU = 0. (2.10)
Para un sistema adiabático, impermeable y en equilibrio mecánico con el entorno, en el equili-
brio, se cumple que la entalpía se mantiene constante:
dH = 0. (2.11)
Para un sistema impermeable, rígido y en equilibrio térmico con el entorno, en el equilibrio, se
cumple que su función de Helmholtz se mantiene constante:
dF = 0. (2.12)
Para un sistema impermeable en equilibrio térmico y mecánico con el entorno, en el equilibrio,
se cumple que su función de Gibbs se mantiene constante:
dG = 0. (2.13)
En un sistema aislado en equilibrio compuesto por dos subsistemas 1 y 2 separados por una
pared diatérmana, rígida e impermeable, los subsistemas se encuentran en equilibrio térmico:
T1 = T2. (2.14)
Sistemas complejos fuera del equilibrio:
Análisis termodinámico de sistemas biológicos y económicos. pág. 13
Este es el conocido Principio Cero.
Si la pared que separa los subsistemas es diatérmana, móvil e impermeable, los subsistemas se
encuentran en equilibrio térmico y mecánico:
T1 = T2,
(2.15)
p1 = p2.
Si la pared que separa a los subsistemas es diatérmana, móvil y permeable en la sustancia j, los
subsistemas se encuentran en equilibrio térmico, mecánico y químico respecto a la sustancia j:
T1 = T2,
p1 = p2, (2.16)
µj,1 = µj,2.
Si la pared es diatérmana, móvil y permeable en todas las sustancias, los subsistemas se encuen-
tran en equilibrio termodinámico entre sí.
2.1.3. Condiciones de estabilidad
Sistema aislado
Según el Segundo Principio, la entropía de un sistema adiabático, como por ejemplo el Uni-
verso, aumenta en cualquier proceso real (irreversible) y se mantiene constante en un proceso
reversible, el cual es una idealización:
△S > 0 (Irreversible),
(2.17)
△S = 0 (Reversible).
Esto quiere decir que la entropía de un sistema adiabático es máxima en situación de equilibrio
termodinámico. La condición de estabilidad se puede expresar como:
d2S < 0. (2.18)
pág. 14 Memoria
Dado que la energía interna es función creciente de la entropía, ya que
∂U
∂S
= T > 0. (2.19)
La condición de entropía máxima en un sistema aislado implica que la energía interna ha de ser
mínima en el equilibrio:
d2U > 0. (2.20)
Sistema en contacto con una fuente térmica
Sea un sistema compuesto por dos subsistemas 1 y 2, en contacto térmico con una fuente de
temperatura TF
d(U + UF ) = d(U1 + U2 + UF ) = 0. (2.21)
Esto es el conocido como Primer Principio, la energía interna de un sistema aislado se conserva.
Se puede demostrar que [Callen, 1981]:
T1 = T2 = TF . (2.22)
Otro resultado interesante a causa de ser TF constante es que la función deHelmholtz esmínima
en un sistema de equilibrio con una fuente térmica:
d(U − TFdS) = dF = 0,
(2.23)
d2(U − TFdS) = d2F > 0.
Sistema en equilibrio mecánico con el entorno
Sea un sistema compuesto por dos subsistemas 1 y 2, en equilibrio mecánico con el entorno, la
presión del cual es pe, la condición de equilibrio es:
d(U + Ue) = d(U − pedVe) = d(U + pedV ) = d(U + pedV ) = 0. (2.24)
El equilibrio mecánico implica que
Sistemas complejos fuera del equilibrio:
Análisis termodinámico de sistemas biológicos y económicos. pág. 15
p1 = p2 = pe. (2.25)
Por tanto, la entalpía es mínima en un sistema en equilibrio mecánico con el entorno.
dH = d(U + pedV ) = 0,
(2.26)
d2H = d2(U + pedV ) = d
2U > 0.
Sistema en equilibrio térmico y mecánico con el entorno
Sea un sistema compuesto por dos subsistemas 1 y 2, en equilibrio térmico con una fuente de
temperatura TF y en equilibrio mecánico con el entorno, la presión del cual es pe, la condición
de equilibrio es:
d(U + Ue) = dU + TFdSF − pedVe = dU − TFdS + pedV = d(U − TFdS + pedV ) = 0. (2.27)
El equilibrio térmico implica que
T1 = T2 = TF . (2.28)
El equilibrio mecánico implica que
p1 = p2 = pe. (2.29)
Entonces, la función de Gibbs es mínima en un sistema en equilibrio térmico con una fuente
térmica y en equilibrio mecánico con el entorno.
dG = d(U − TFdS + pedV ) = 0,
(2.30)
d2G = d2(U − TFdS + pedV ) = d2U > 0.
2.2. Termodinámica fuera del equilibrio
La generalización a situaciones fuera del equilibrio requiere de la reformulación de la ecuación
fundamental de la termodinámica en forma diferencial 2.4 en términos locales, por lo cual, fue-
ra del equilibrio, si se asume el principio de equilibrio local, esta ha de verificarse localmente
pág. 16 Memoria
en cada punto del espacio (x, y, z) y en cada instante del tiempo (t). Las variables intensivas
adoptan la forma de:
T = T (x, y, z, t),
p = p(x, y, z, t), (2.31)
µi = µi(x, y, z, t).
Para describir el equilibrio local, se han de transformar las variables extensivas en intensivas.
Una opción es dividirlas por el volumen:
u =
U
V
= u(x, y, z, t),
s =
S
V
= s(x, y, z, t), (2.32)
ci =
ni
V
= ci(x, y, z, t).
donde ci es la concentración (local) de la especie química i.
La ecuación fundamental 2.4 queda de tal forma que
u = Ts− p+
k∑
i
µici, (2.33)
y la formulación local de la ecuación de la entropía se puede expresar como:
ds =
1
T
du− 1
T
k∑
i
µdci. (2.34)
La ecuación 2.34 establece una relación entre los cambios en las densidades de entropía (ds),
energía interna (du) y concentración de cada especie química (dci).
Aplicando la derivada convectiva [García Villaluenga et al, 2018] a, por ejemplo, la energía in-
terna por unidad de volumen:
Du
Dt
=
∂u
∂t
+−→v •
−→
∇u = ∂u
∂t
+
3∑
1
vi
∂u
∂xi
. (2.35)
Sistemas complejos fuera del equilibrio:
Análisis termodinámico de sistemas biológicos y económicos. pág. 17
El término −→∇u es el gradiente de energía. Este gradiente provoca un flujo de energía en ca-
da punto y, multiplicado escalarmente por la velocidad del sistema, resulta en la parte de la
variación temporal de energía causada por este flujo de energía. El término ∂u∂t es la variación
temporal de energía por la producción (o destrucción, si es negativo) de energía. Este razona-
miento también es válido para los casos de la entropía local y la concentración local de cada
especie. A partir de la ecuación del equilibrio local 2.34:
Ds
Dt
=
1
T
Du
Dt
− 1
T
k∑
i
µi
Dci
Dt
. (2.36)
2.2.1. Sistema fuera del equilibrio térmico unidimensional. Conducción térmica.
Cuando una barra de longitud L y masa m tiene los extremos a distintas temperaturas pero
constantes (T1 y T2), existe un flujo de calor inducido por esta diferencia de temperaturas desde
las partes más calientes hacia las partes más frías. El modelo más sencillo para representar este
flujo es la Ley de Fourier, que dice que el flujo de calor (por unidad de área y de tiempo) es
proporcional al gradiente de temperaturas, es decir, a la variación de temperaturas respecto de
la longitud x:
fQ =
Q̇
A
= −kdT
dx
. (2.37)
Donde fQ es el flujo de calor,A es el área transversal de la barra y k es la conductividad térmica.
El signo negativo indica que el flujo de calor va en el sentido decreciente de temperatura.
Para el caso de una barra de longitud L y masa m con los extremos a temperaturas diferentes,
T1 (x=0) y T2 > T1 (x = L) que no tienen porqué ser constantes, la temperatura depende del
punto y del tiempo:
T = T (x, t). (2.38)
La energía interna también depende del tiempo. Si no hay variaciones de longitud, se tiene que
dU = mcdT → U̇ = mcṪ , (2.39)donde c es el calor específico de la barra.
Si se utiliza la energía interna por unidad de volumen, teniendo en cuenta que la densidad (ρ)
esm/V , se tiene:
du = ρcdT → u̇ = ρcṪ . (2.40)
pág. 18 Memoria
Dado que la energía fluye (en forma de calor), la ley de la conservación de la energía implica
que, en un pequeño trozo de la barra alrededor de cada punto x, la velocidad de acumulación
de energía (por unidad de volumen) en forma de calor es igual es igual a menos la derivada
espacial del flujo de calor (por área y tiempo) en este punto:
u̇ = −
∂fQ
∂x
→ ρcṪ = − 1
A
∂Q̇
∂x
→ ρcṪ = −(−k∂
2T
∂x2
) = kT ′′ → Ṫ = k
ρc
T ′′. (2.41)
Se define la difusividad térmica como
α =
k
ρc
. (2.42)
Dado que k, ρ y c son coeficientes positivos,α también es positiva. Se considera el calor específico
constante.
La ecuación diferencial de conservación de la energía queda:
Ṫ = αT ′′. (2.43)
Utilizando una solución del tipo T (x, t) = G(x)B(t) se tiene
Ḃ = B0exp(−αλt), (2.44)
siendo λ una constante y B0 un parámetro que depende de las condiciones iniciales.
Barra con extremos a temperaturas diferentes y constantes. Distribución inicial lineal de tem-
peraturas.
Sean las condiciones iniciales una distribución inicial lineal de temperaturas tales que
T (x, 0) = T1 +
T2 − T1
L
x, (2.45)
y las condiciones de contorno temperaturas constantes en los extremos tales que
T (0, t) = T1,
(2.46)
T (L, t) = T2.
Sistemas complejos fuera del equilibrio:
Análisis termodinámico de sistemas biológicos y económicos. pág. 19
se puede demostrar que, en la solución (λ=0), la temperatura es independiente de tiempo
(B(t) = B0), es decir, el sistema está en estado estacionario. De esta manera:
T = T (x) = T1 +
T2 − T1
L
x. (2.47)
Barra aislada
Sea la barra aislada térmicamente del exterior, el único flujo de calor será entre las diferentes
partes de la barra que estén a temperaturas diferentes. De esta manera, las condiciones de con-
torno establecen que no hay flujo de calor en los extremos de la barra y, por tanto:
∂T
∂x
(0, t) =
∂T
∂x
(L, t) = 0 → G′(0) = G′(L) = 0. (2.48)
Se puede demostrar que la solución de este problema es:
T (x, t) = Teq +
∞∑
n=1
Cncos(
nπ
L
x)exp[−(nπ
L
)2αt]. (2.49)
Con los coeficientes
Cn =
2
L
∫ L
0
T (x, 0), cos(
nπ
L
x)dx. (2.50)
y donde
Teq =
1
L
∫ L
0
T (x, 0)dx. (2.51)
es la temperatura media de la distribución inicial.
La variación de entropía entre el estado inicial de no equilibrio y el estado de equilibrio final es
△S = Aρc[LlnTeq −
∫ L
0
T (x, 0)dx]. (2.52)
Si la distribución inicial de temperaturas es lineal 2.45, se tiene que
Teq =
T1 + T2
2
. (2.53)
pág. 20 Memoria
T (x, t) =
T1 + T2
2
+
∞∑
n=1
[(−1)n − 1] 2
(nπ)2
(T2 − T1)cos(
nπ
L
x)exp[−(nπ
L
)2αt]. (2.54)
Y la variación de entropía es
△S = Aρc[LlnT1 + T2
2
−
∫ T2
T1
L
T2 − T1
ln(x′)dx′] > 0. (2.55)
Se puede demostrar que la variación de entropía es positiva.
Si la distribución inicial de temperaturas es escalonada con dos temperaturas, es decir, una parte
de la barra está a una temperatura y el resto a otra, tal que
T (x, 0) = T1 si 0 ≤ x ≤ a,
T (x, 0) = T2 si a < x ≤ L. (2.56)
Se tiene que
Teq =
αT1 + (L− a)T2
L
. (2.57)
T (x, t) =
αT1 + (L− a)T2
L
+
∞∑
n=1
2
nπ
(T1 − T2)sin(
nπ
L
a)cos(
nπ
L
x)exp[−(nπ
L
)2αt]. (2.58)
Y la variación de entropía es
△S = Aρc[LlnαT1 + (L− a)T2
L
− alnT1 − (L− a)lnT2] > 0. (2.59)
Al igual que en el caso anterior, aquí también es demostrable que esta variación de entropía es
positiva.
Este caso podría ser análogo al de un mercado económico de un producto que se vende a dos
precios diferentes. Por ejemplo, dos economías inicialmente aisladas entre sí que se abren en un
momento dado. Se verá más detenidamente en el apartado 3.3.
2.2.2. Sistema fuera del equilibrio químico. Difusión de materia
La existencia de un gradiente del potencial químico de una especie de un sistema produce trans-
porte de materia (de la especie donde el potencial químico varía con el punto), en forma de lo
Sistemas complejos fuera del equilibrio:
Análisis termodinámico de sistemas biológicos y económicos. pág. 21
que se conoce como difusión. Imagínese un sistema monocomponete y por tanto, con un único
potencial químico. El gradiente del potencial químico implica un gradiente de concentración.
Es más adecuado trabajar con el gradiente de concentración en lugar del gradiente del potencial
químico. Para gases ideales o disoluciones ideales:
−→
∇µ = (∂µ
∂c
)
−→
∇c = RT
c
−→
∇c. (2.60)
Según la Primera Ley de Fick:
−→
J = −D
−→
∇c, (2.61)
donde −→J es el flujo de materia, definido como el número de moleculas que atraviesan, por
unidad de tiempo, un área perpendicular a la dirección de difusión, y D es el coeficiente de
difusión, generalmente dependiente del sistema, de la concentración c y de T .
La ecuación de balance de la concentración (conservación de la masa) dice que la variación de
la concentración respecto al tiempo ha de compensar la variación de concentración debida al
flujo de materia:
∂c
∂t
= −
−→
∇ •
−→
J = D∇2c. (2.62)
Esta es la Segunda Ley de Fick. Si D se mantiene constante y no hay gradiente de temperatu-
ra, esta ecuación es idéntica matemáticamente a la de la conducción térmica cuando hay un
gradiente de temperatura. En una dimensión espacial queda:
∂c
∂t
= D
∂2c
∂x2
. (2.63)
Esta misma ecuación en función del potencial químico resulta en
∂µ
∂t
=
D
RT
∂2µ
∂x2
, (2.64)
la cual también es análoga matemáticamente (si no hay gradiente de temperatura).
2.3. Mecánica estadística
Lamecánica estadística es la rama de la física que estudia y analiza sistemas demuchas partícu-
las desde un punto de vista microscópico. Para poder realizar un análisis exhaustivo se tendrían
que conocer la posición y la velocidad de todas las partículas, lo cual es imposible, por lo que
se utilizan métodos probabilísticos y estadísticos.
pág. 22 Memoria
2.3.1. Microestados y macroestados
La idea básica es que se pueden diferenciar entremicroestados ymacroestados. Unmicroestado
es un estado en el que cada partícula del sistema tiene una posición y una velocidad determi-
nadas en un instante determinado. Esto implica que la energía mecánica de una partícula i es:
Ei =
1
2
miv
2
i + V (
−→ri ) =
p2i
2mi
+ V (−→ri ). (2.65)
Los términos−→ri ,−→vi ,−→pi , son los vectores de posición, velocidad ymomento lineal de la partícula y
mi es sumasa. V es la energía potencial, que únicamente depende de la posición de la partícula.
La energía total del sistema es:
E =
n∑
i=1
Ei =
n∑
i=1
[
p2i
2mi
+ V (−→ri )]. (2.66)
Esmás adecuadousar la notaciónde variables canónicas conjugadas
{
q1, q2, ..., q3n, p1, p2, ..., p3n
}
,
donde las q son las 3n variables de posición de las n partículas y las p son las 3n variables de
momento. Además, si se considera que las partículas son moléculas del sistema, todas tienen la
misma masam. De esta forma:
E =
3n∑
i=1
[
p2i
2m
+ V (−→qi )]. (2.67)
Es posible, y de hecho habitual, que diferentes microestados den los mismos valores de magni-
tudes macroscópicas, como la energía total del sistema o la temperatura. Un macroestado es un
estado definido de la manera termodinámica o macroscópica, es decir, donde se tienen unos va-
lores de las variables promedio del sistema. Por tanto, las partículas del sistema pueden alcanzar
un mismo macroestado de muchas maneras diferentes.
La conexión entre la mecánica a nivel microscópico y macroscópico se basa en varios axiomas
o postulados de partida:
Postulado de equiprobabilidad a priori: Todos losmicroestados son igualmente probables,
por lo que la probabilidad de tener un macroestado concreto es proporcional al número
de microestados compatibles con él.
Postulado sobre el número de microestados en el equilibrio: El número de microestados
correspondientes a dos sistemas en equilibrio termodinámico entre sí y aislados del resto
del Universo, es máximo respecto a las variables termodinámicas de uno de los sistemas.
El macroestado de equilibrioes el más probable, es decir, el que es compatible con más
microestados.
Postulado de compatibilidad con la termodinámica: Las propiedades macroscópicas de-
rivadas de una descripción mecánico-estadística han de ser compatibles con las leys de la
termodinámica.
Sistemas complejos fuera del equilibrio:
Análisis termodinámico de sistemas biológicos y económicos. pág. 23
Para calcular el número de microestados compatibles con cierto macroestado se puede utilizar
el método de la teoría de colectividades.
2.3.2. Colectividad microcanónica. Número de microestados.
La colectividad microcanónica es la correspondiente a los sistemas aislados, el estado termodi-
námico de los cuales está determinado por las variables energía (E), volumen (V ) y número
de partículas (N). El número de microestados compatibles con el macroestado o estado termo-
dinámico es:
Ω = Ω(E, V,N). (2.68)
Sean dos sistemas aislados (1 y 2), con unos valores de energía (E1,E2), volumen (V1,V2) y
número de partículas (N1,N2) determinados. El número de microestados de cada sistema es:
Ω1 = Ω1(E1, V1, N1),
(2.69)
Ω2 = Ω2(E2, V2, N2).
El sistema compuesto (1+2) también es un sistema aislado, con E = E1 + E2, V = V1 + V2 y
N = N1+N2. Dado que los microestados de los sistemas 1 y 2 son independientes, se tiene para
el sistema compuesto:
Ω = Ω(E, V,N ;E1, V1, N1) = Ω1(E1, V1, N1)Ω2(E2, V2, N2). (2.70)
Si se ponen en contacto los dos sistemas y la interacción entre ambos es débil a través de única-
mente la superficie de contacto, se puede suponer que
Ω(E, V,N ;E1, V1, N1) = Ω1(E1, V1, N1)Ω2(E − E1, V − V1, N −N1). (2.71)
Como los sistemas intercambian energía y/o materia, el número de microestados evoluciona
con el tiempo hasta alcanzar un nuevo equilibrio, donde tendrá un valor máximo, compatible
con los enlaces del sistema compuesto.
Para el caso de una pared diatérmana, rígida e impermeable, E, V1, V2, N1 y N2 son fijos. Las
energías de los sistemas 1 y 2, en cambio, varían. Se tiene que
Ω(E,E1) = Ω1(E1)Ω2(E − E1). (2.72)
Maximizando respecto la única variable E1 se obtiene la relación
pág. 24 Memoria
dlnΩ1
dE1
=
dlnΩ2
dE2
. (2.73)
Tal y como se vio en el apartado 2.1.2, según el Principio Cero de la termodinámica, dos sistemas
en contacto mediante una pared diatérmana alcanzan el equilibrio térmico, donde
T1 = T2. (2.74)
Dado que en la termodinámica la energía del sistema es la energía interna (U), se tiene que:
dlnΩ1
dU1
=
dlnΩ2
dU2
. (2.75)
La relación previa se asemeja a la relación termodinámica del equilibrio térmico:
∂S1
∂U1
=
∂S2
∂U2
. (2.76)
Y teniendo en que
T =
∂U
∂S
→ 1
T
=
∂S
∂U
, (2.77)
se puede llegar a la conclusión:
S = KBln(Ω). (2.78)
La ecuación 2.78 es la conexión entre el mundo macroscópico y el microscópico, y la constante
universalKb (que se ha de determinar) es la constante de Boltzmann, autor de dicha conexión.
Es interesante recordar que la entropía es una medida del grado de desorden de un sistema
macroscópico. Según la mecánica estadística, este grado de desorden es el logaritmo del núme-
ro de microestados compatibles con un macroestado. Si un macroestado únicamente tiene un
único microestado posible, el sistema está perfectamente determinado desde el punto de vista
microscópico y, por tanto, su entropía es cero. Cuantos más microestados compatibles con un
macroestado haya, más desorden desde el punto de vista microscópico se tiene y, por tanto, más
grande es la entropía.
Cálculo del número de microestados
La idea es contar el número de microestados compatibles con un macroestado de energía defi-
nida E:
Sistemas complejos fuera del equilibrio:
Análisis termodinámico de sistemas biológicos y económicos. pág. 25
Ω(E) =
∑
microestadosenergiaE
1. (2.79)
En la práctica, se considera que los niveles de energía son continuos. Se calcula el "volumen"que
ocupan los microestados con energía dentro del intervalo [E,E + δE] en el espacio de fases
(espacio de 6N dimensiones definido por las coordenadas qi y pi, visto en el apartado 2.3.1).
Este volumen se divide por el volumen que ocupa un único microestado δ3N0 , con
δ0 = △qi△pi = h, (2.80)
donde h es la constante de Planck, que según el principio de incertidumbre de Heisenberg, es
el límite máximo de precisión que se puede obtener al medir la posición y la velocidad de una
partícula.
Se tiene que
Ω(E, V,N) =
1
h3N
∫
...
∫
E≤H≤E+δE
d3Nqd3Np, (2.81)
donde H es el hamiltoniano del sistema, que es la energía total en la mecánica clásica. En la
mecánica estadística cuántica se utiliza el operador hamiltoniano.
2.3.3. Colectividad canónica. Función de partición canónica
La colectividad canónica es la correspondiente a los sistemas en equilibrio con una fuente tér-
mica de temperatura T , con lo cual la temperatura del sistema a estudiar también es T . Las otras
variables que definen el sistema son el volumen (V ) y el número de partículas (N). Es difícil
mantener constante la energía de un sistema, pero no la temperatura, que se puede conseguir
colocando el sistema en contacto térmico con una fuente. Debido a esto, la colectividad canónica
es mucho más utilizada que la microcanónica 2.3.2.
Dado que la energía no está fijada, se ha de determinar la probabilidad P (Er) de que el sistema
tenga energía Er. Para hacerlo, se supone que el sistema está aislado. Este sistema está dividido
en dos subsistemas, el subsistema de estudio 1, y el resto que será una fuente térmica F y, por
tanto, mucho más grande que uno. La energía total es:
E0 = E1 + EF . (2.82)
La probabilidad P (Er) es proporcional al número de microestados del sistema total correspon-
diente con una energía Er:
P (Er) = CΩ1(Er)ΩF (E0 − Er). (2.83)
pág. 26 Memoria
El parámetro C de la ecuación anterior 2.83 es una constante de normalización (la probabilidad
de que el sistema tenga una energía cualquiera es 1):
C =
1∑
Er
Ω1(Er)ΩF (E0 − Er)
. (2.84)
Para una fuente se tiene que
ΩF (E0 − Er) = e
SF (E0−Er)
kb . (2.85)
Dado que el sistema que se está estudiando es mucho más pequeño que la fuente térmica:
Er ≪ E0 → SF (E0 − Er) ≈ SF (E0)−
Er
T
, (2.86)
donde SF es la entropía de la fuente.
De esta manera,
P (Er) = CΩ1(Er)e
− Er
kbT . (2.87)
Si se define
β =
1
kbT
, (2.88)
resulta
P (Er) = CΩ1(Er)e
−βEr =
Ω1(Er)e
−βEr∑
Er
Ω1(Er)e−βEr
. (2.89)
Se define la función de partición canónica como:
Z(T, V,N) =
∑
Er
Ω1(Er)e
−βEr . (2.90)
El sumatorio sobreEr es una suma sobre los posibles valores de la energía del sistema a estudiar.
Si la suma se realiza sobre los microestados, se tiene
Z(T, V,N) =
∑
r
e−βEr , (2.91)
Sistemas complejos fuera del equilibrio:
Análisis termodinámico de sistemas biológicos y económicos. pág. 27
donde habrá terminos repetidos cuando haya degeneración de energías (varios microestados
con el mismo valor de energía).
La probabilidad queda
P (Er) =
Ω1(Er)e
−βEr
Z
. (2.92)
Colectividades canónica y termodinámica
Si un sistema está en equilibrio termodinámico, los valores de las variables macroscópicas se
consideran constantes (las posibles fluctuaciones de estas variables se verán en el apartado 2.3.4.
Por tanto, en este caso, la distribución de probabilidad canónica será muy estrecha alrededor de
su valor máximo, que será, prácticamente el valor macroscópico. En el caso de la energía, el
valor macroscópico será U:
Z ∼= Ω1(U)e−βEr → kbT ln(Z) = TS − U. (2.93)
Recordando la función de Helmholtz 2.6 se obtiene
F = −KbT ln(z). (2.94)
Cálculo de la función de partición canónica
Se puede demostrar [Ortin Rull et al, 2006] que
Z(T, V,N) = (
2πmkbT
h2
)
3N
2
∫
V N
eβV ({q})d3Nq, (2.95)
donde m es la masa de una partícula y {q} son las 3n variables de posición definidas en el
apartado 2.3.1.
Si las partículas no interaccionan entre sí, se tiene, siempre y cuando las partículas estén locali-
zadas (son distinguibles):
Z(T, V,N) = Z1(T, V,N)
N . (2.96)
SiendoZ1 es la función de partición de una partícula (N=1). Si las partículas son indistinguibles,
se han de descartar las repeticiones de términos debidosa intercambiar una partícula por otra.
Z(T, V,N) =
Z1(T, V,N)
N
N !
. (2.97)
pág. 28 Memoria
2.3.4. Valores medios y fluctuaciones de las magnitudes macroscópicas
Una vez definida la probabilidad de que un sistema macroscópico tenga un valor de energía
Er (2.92), se puede calcular el valor medio de cualquier variableX , dependiente de la energía,
como
⟨X⟩ =
∑
Er
X(Er)P (Er) =
1
Z
∑
Er
X(Er)Ω(Er)e
−βEr . (2.98)
Si las variables son continuas:
⟨X⟩ =
∫ ∞
0
X(Er)P (Er)dEr =
1
Z
∫ ∞
0
X(Er)Ω(Er)e
−βErdEr. (2.99)
La varianza se calcula como
(△X)2 = 1
Z
∫ ∞
0
X2(Er)Ω(Er)e
−βErdEr − (
1
Z
∫ ∞
0
X(Er)Ω(Er)e
−βErdEr)
2. (2.100)
El valor medio de la energía resulta
⟨E⟩ = − 1
Z
∂Z
∂β
= −∂ln(Z)
∂β
, (2.101)
donde, para el caso continuo, Z es la función de partición
Z =
∫ ∞
0
Ω(Er)e
−βErdEr. (2.102)
La varianza de la energía resulta
(△E)2 = −∂⟨E⟩
∂β
=
∂2ln(Z)
∂β2
. (2.103)
Por último, la desviación típica del valor de la energía es
△E =
√
∂2ln(Z)
∂β2
. (2.104)
Se puede demostrar que el orden de magnitud de las distribuciones alrededor del valor medio
son muy estrechas, prácticamente funciones delta de Dirac. Esta hipótesis se usará para el caso
de los sistemas económicos.
Sistemas complejos fuera del equilibrio:
Análisis termodinámico de sistemas biológicos y económicos. pág. 29
2.4. Sistemas económicos en equilibrio
La economía es el estudio de cómo la sociedad administra sus recursos, los cuales son escasos.
En este ámbito, la escasez es debida a que los recursos de los que dispone la sociedad son limita-
dos, por lo que no puede producir todos los bienes y servicios que las personas desearían tener.
Los economistas estudian la forma en que las personas toman sus decisiones, cómo se interre-
lacionan, cuanto trabajan y cómo administran e invierten su dinero. Asimismo, los economistas
analizan las fuerzas y las tendencias que afectan a la economía en su conjunto, incluyendo el
crecimiento del ingreso promedio, la porción de la población que no encuentra trabajo y la tasa
a la que se incrementan los precios.
2.4.1. Microeconomía. Equilibrio en un mercado.
La microeconomía es la rama de la economía que estudia el comportamiento de agentes indivi-
duales como familias y empresas, que fundamentalmente son compradores y vendedores, y su
interacción en mercados específicos. Un mercado se define como un grupo de compradores y
vendedores de un bien o servicio en particular. Los compradores son el grupo que determina la
demanda del producto y los vendedores son el grupo que determina la oferta de dicho produc-
to. Como idea básica, los vendedores quieren vender al mayor precio posible y los compradores
quieren comprar al menor precio posible.
La cantidad ofertada de cualquier bien o servicio es la cantidad que los vendedores quieren y
pueden vender. Existen muchos factores que determinan la cantidad que se ofrece de un bien
pero el fundamental es el precio de dicho bien. De este modo, la oferta O de los vendedores se
puede definir como la relación entre los bienes ofrecidos BO que están dispuestos a vender y
los precios a los cuales los venderían.
O(p) = BO(p). (2.105)
La curva de la oferta tiene pendiente positiva y muestra la relación entre el precio y la cantidad
ofertada de un bien. Según la ley de la oferta, si el resto de factores se mantienen constantes,
cuando el precio de un bien aumenta, la cantidad ofertada de dicho bien también aumenta y
cuando el precio de un bien disminuye, la cantidad que se ofrece de dicho bien también dismi-
nuye. Por tanto, la curva de la oferta crece a medida que crece el precio:
dBO
dp
> 0. (2.106)
La Figura 2.1 muestra la construcción de una curva de la oferta utilizando el ejemplo de un vaso
de helado como producto.
pág. 30 Memoria
Figura 2.1: Curva de la oferta [Mankiw, 2012]
La cantidad demandada de un bien determinado es la cantidad que de ese bien están dispuestos
a adquirir los compradores. Existen muchos factores que determinan la cantidad demandada
de un bien pero, de nuevo, lo fundamental es el precio de dicho bien. Por tanto, la demanda D
de los compradores se puede definir como la relación entre los bienes demandados (BD) por
estos y los precios por los cuales los adquirirían:
D(p) = BD(p). (2.107)
La curva de la demanda tiene pendiente negativa y relaciona el precio y la cantidad demandada
de un bien. Según la ley de la demanda, si el resto de factores se mantienen constantes, cuando
el precio de un bien aumenta, la cantidad demandada de dicho bien disminuye, y cuando el
precio disminuye, la cantidad demandada aumenta. Por tanto, la curva de demanda decrece a
medida que crece el precio:
dBD
dp
< 0. (2.108)
La Figura 2.2 muestra la construcción de la curva de la demanda para el mismo ejemplo del
vaso de helado utilizado anteriormente.
Sistemas complejos fuera del equilibrio:
Análisis termodinámico de sistemas biológicos y económicos. pág. 31
Figura 2.2: Curva de la demanda [Mankiw, 2012]
Las curvas de la oferta y la demanda también se pueden expresar en función de los bienes de
compra-venta.
O(B) = pO(B) →
dpO
dB
> 0,
(2.109)
D(B) = pD(B) →
dpD
dB
< 0.
La intersección entre ambas curvas se conoce como punto de equilibrio de mercado. De esta
intersección se obtienen el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio:
BO(peq) = BD(peq) = Beq,
(2.110)
pO(Beq) = pD(Beq) = peq.
La Figura 2.3 muestra un ejemplo del punto de equilibrio para el mismo caso del vaso de helado
utilizado anteriormente para representar las dos curvas por separado.
pág. 32 Memoria
Figura 2.3: Punto de equilibrio [Mankiw, 2012]
Hasta el momento, la ley de la demanda y la ley de la oferta se han definido desde un punto de
vista cualitativo, no cuantitativo. De esta forma, es interesante introducir el concepto de elasti-
cidad. La elasticidad es una medida de la capacidad de respuesta de la cantidad demandada
u ofertada ante un cambio en uno de sus determinantes, es decir, en qué tanto reaccionan los
compradores y vendedores a cambios en el mercado. Así, se verá que las curvas de la oferta y
la demanda no son rectas como se han mostrado hasta el momento (Figura 2.1 y Figura 2.2).
Se considera que la oferta de un bien es elástica si la cantidad ofertada responde sustancialmente
a cambios en el precio. Por el contrario, se considera inelástica si la cantidad ofertada responde
ligeramente a dichos cambios. La oferta es usualmente más elástica a largo plazo que a corto
plazo. El cálculo de la elasticidad precio de la oferta se realiza como
Elasticidad =
Cambio porcentual en la cantidad ofertada
Cambio porcentual en el precio
. (2.111)
La curva de la oferta adopta distintas formas según el grado de elasticidad. Cuando la elasti-
cidad es igual a cero, la curva es vertical (perfectamente inelástica). Conforme la elasticidad
aumenta, la curva de la oferta se hace más plana. El caso extremo se da cuando la elasticidad se
aproxima a infinito y la curva es totalmente horizontal (perfectamente elástica). Habitualmen-
te, la elasticidad de la oferta no es constante y varía sobre la propia curva. Un ejemplo se puede
observar en la Figura 2.4
Sistemas complejos fuera del equilibrio:
Análisis termodinámico de sistemas biológicos y económicos. pág. 33
Figura 2.4: Curva de la oferta con elasticidad variable [Mankiw, 2012]
De forma análoga al caso de la oferta, se considera que la demanda de un bien es elástica si
la cantidad demandada responde sustancialmente a un cambio en el precio. Por el contrario,
se considera inelástica si la cantidad demandada responde ligeramente a dichos cambios. Los
bienes tienden a tener demandas más elásticas entre más largo sea el horizonte de tiempo. El
cálculo de la elasticidad precio de la demanda se realiza como
Elasticidad =
Cambio porcentual en la cantidad demandada
Cambio porcentual en el precio
. (2.112)
La curva de la demanda también adopta distintas formas según el grado de elasticidad. La de-
manda se considera elástica cuando la elasticidad esmayor que uno e inelástica cuando laelasti-
cidad esmenor que uno. El caso en que la elasticidad es exactamente igual a uno se conoce como
elasticidad unitaria. En general, cuanto más plana sea la curva de la demanda que pasa por un
punto determinado, mayor será la elasticidad precio de la demanda. Cuanto más pronunciada
sea la curva de la demanda que pasa por un punto determinado, menor será la elasticidad pre-
cio de la demanda. En la Figura 2.5 se muestran dos casos de curvas de la demanda elástica e
inelástica.
pág. 34 Memoria
Figura 2.5: Curvas de la demanda según elasticidad [Mankiw, 2012]
2.4.2. Equilibrio macroeconómico. Plazos temporales.
La macroeconomía es la rama de la economía que se encarga de estudiar la economía como un
todo. Sumeta es explicar los cambios económicos que afectan simultáneamente amuchos hoga-
res, empresas y mercados. La macroeconomía analiza los indicadores globales de la economía
mediante las variables agregadas (magnitudes macroeconómicas) como los bienes y servicios
totales producidos, los ingresos totales, el nivel de precios o la tasa de ocupación.
De manera similar al caso microeconómico, se puede construir una gráfica con las curvas de
oferta y demanda agregadas. El número de bienes y servicios totales Y se puede representar
mediante la función de producción
Y = Y (K,L,Ri), (2.113)
donde K es el capital, L es la fuerza y Ri son otros factores de producción, como por ejemplo
los factores tecnológicos.
A largo plazo, el capital, la fuerza de trabajo y los otros factores, aumentan y, con ello, aumenta
también la producción. A corto plazo, la producción se puede considerar fija y, por tanto, la
curva de la oferta agregada es un valor de producción constante a cualquier precio.
Y = C(Y − T ) + I(r) +G+XN, (2.114)
donde C son las compras, I las inversiones, G el gasto público, XN las exportaciones netas,
T los impuestos y r el tipo de interés. La curva de la demanda agregada (Figura 2.6) se pue-
de considerar como una relación decreciente del número de bienes demandados con el precio
creciente.
Sistemas complejos fuera del equilibrio:
Análisis termodinámico de sistemas biológicos y económicos. pág. 35
Figura 2.6: Curva de la demanda agregada [Mankiw, 2012]
La curva de la oferta dependerá del plazo temporal. A corto plazo, los precios son bastante
rígidos y por tanto, la curva de la oferta es horizontal (p = cte) en un sistema de ejes p − Y .
A medio plazo, los precios son flexibles pero la producción rígida, por lo que la curva de la
oferta es vertical Y = cte (Figura 2.7). A largo plazo, la producción generalmente aumenta, ya
que aumenta la productividad de cada factor de producción. En este último caso, la curva de la
oferta es vertical, por lo que se va desplazando hacia la derecha (Y creciente).
Figura 2.7: Curva de la oferta agregada a medio plazo [Mankiw, 2012]
Una manera natural de juzgar el buen o mal desempeño de una economía es mirar la cantidad
de bienes y servicios, medida en dinero, que se compran (y venden) en un determinado lugar
pág. 36 Memoria
y en un determinado intervalo de tiempo. El indicador más utilizado para dicha tarea es el
producto interior bruto (PIB). El PIB mide el ingreso total de todas las personas en la economía
y el gasto total en los bienes y servicios producidos en la economía de manera simultanea, pues
en realidad son lo mismo. Esto es debido a que el ingreso de una economía es igual su gasto ya
que cada transacción involucra a un comprador y a un vendedor.
El PIB, como medida de gasto total, se define como el valor de mercado de todos los bienes y
servicios finales producidos dentro de un país en un periodo determinado. El PIB (Y ) se des-
compone en el consumo (C), la inversión (I), las compras de gobierno (G) y las exportaciones
netas (XN):
Y = C + I +G+XN. (2.115)
Es interesante diferenciar entre el PIB nominal y el PIB real. Mientras el PIB nominal utiliza los
precios actuales para asignar un valor a la producción de bienes y servicios en la economía, el
PIB real utiliza los precios constantes del año base para asignar un valor a la producción de
dichos bienes. Esto se realiza para tener una medida de la producción de bienes y servicios de
la economía, evitando el efecto de los precios implícito en el PIB nominal.
Otro índice importante es el índice de precios al consumidor (IPC), el cual es una medida del
costo total de los bienes y servicios comprados por un consumidor típico. El IPC se utiliza para
monitorizar los cambios en el costo de vida a lo largo del tiempo. En economía, la inflación es
el término usado para describir una situación de aumento generalizado de los precios de una
economía, y el IPC es la medidamás común de esta. La tasa de inflación es el cambio porcentual
en el nivel de precios con respecto al periodo previo.
En primer lugar, para poder calcular el IPC se ha de fijar una canasta de bienes y servicios y
encontrar sus precios para calcular el coste total de la canasta. Una vez obtenidos dichos datos,
se ha de fijar un año de referencia o base y calcular el índice con la siguiente fórmula:
IPC =
Precio canasta año actual
Precio canasta año base
× 100. (2.116)
A partir del IPC, se puede calcular la tasa de inflación de la siguiente manera:
Tasa inflación año 2 =
IPC año 2− IPC año 1
IPC año 1
. (2.117)
Capítulo 3
Modelo termoeconómico
En este Capítulo se utilizan los conceptos expuestos en el Capítulo 2 para construir el modelo
termodinámico-económico. En primer lugar, se construye el modelo desde el punto de vista ter-
modinámico propiamente y, seguidamente, desde el punto de vista mecánico-estadístico. Pos-
teriormente, se analizan los sistemas económicos en las situaciones de no equilibrio y la posible
aplicación de la formulación resultante en casos reales, que se plasmarán en el Capítulo 4.
3.1. Modelo termodinámico microeconómico
El primer paso para construir el modelomicroeconómico basado en la termodinámica es definir
una ecuación fundamental económica análoga a la expuesta en la termodinámica 2.5:
U = TS − pV +
k∑
i=1
µini = TS +
m∑
i=1
fiXi, (3.1)
que en forma diferencial adopta la forma de
dU = TdS +
m∑
i=1
fidXi. (3.2)
Las magnitudes intensivas, es decir, la T y las fi, se pueden considerar fuerzas generalizadas,
pues son los parámetros que se han de igualar cuando dos sistemas (sometidos a estas fuerzas
entre sí) están en equilibrio. Las magnitudes extensivas, es decir, la S y las Xi, son las dimen-
siones generalizadas. Una de estas dimensiones varía directamente cuando hay una interacción
causada por la fuerza generalizada conjugada correspondiente. También puede variar indirec-
tamente cuando hay otro tipo de interacciones.
La forma de medir los procesos económicos es mediante el intercambio de mercancías, que se
traduce esencialmente en dinero,M . En un sistema termodinámico, la energía es la capacidadde
37
pág. 38 Memoria
realizar cambios. Dado que en la economía la capacidad para comprar o vender la proporciona
el dinero, la primera analogía que se propone es:
U = M. (3.3)
En el supuesto en que unmercado económico está en estado de equilibrio, el precio es la magni-
tud (intensiva) que se considera constante. Durante un cierto intervalo de tiempo, se compran
y venden un número de unidades, N , de productos, a un precio pi cada uno. De este modo, el
dinero total intercambiado es:
M =
N∑
i=1
pi. (3.4)
El periodo de tiempo (△t) que se considera puede ser más grande o más pequeño según lo
que se quiera analizar, pero tiene que ser lo suficientemente grande para que el número de
transacciones compra-venta y, por tanto, el número de bienes totalesB, sean lo suficientemente
grandes como para poder considerar el sistema económico como un sistema “macroscópico”.
Cada transacción de un producto i se puede considerar como una partícula “microscópica” y,
el dinero correspondiente mi, es el precio del producto:
mi = pi. (3.5)
Si el sistema está en equilibrio, hay un único precio para todos los productos idénticos en todos
los intervalos de tiempo. Si se tienenQtipos de productos diferentes, y de cada uno de estos se
intercambian un número de unidades Bj con precios pj de equilibrio (j=1,...,Q):
M =
Q∑
j=1
pjBj =
Q∑
j=1
Mj . (3.6)
Cada término de este sumatorio,Mj , es la cantidad de dinero intercambiada en el mercado del
tipo de producto j determinado.
Es interesante observar que los distintos precios juegan el papel de las fuerzas generalizadas
termodinámicas y que el número de productos de cada tipo son análogos a las magnitudes
extensivas que representan dimensiones generalizadas conjugadas de los precios correspon-
dientes. Aún más, como se ha considerado cada transacción (cada producto intercambiado)
como una partícula, se puede afirmar que cada tipo de producto j es equivalente a cada especie
química de un sistema termodinámicomulticomponente y cadaBj es equivalente al número de
partículas de cada especie. De esta manera, cada precio pj es equivalente al potencial químico
de la especie j. Así, se obtiene que
M =
Q∑
j=1
pjBj ≡
k∑
i=1
uini = U − TS + pV = G, (3.7)
Sistemas complejos fuera del equilibrio:
Análisis termodinámico de sistemas biológicos y económicos. pág. 39
que en forma diferencial adopta la forma de:
dM =
Q∑
j=1
pjdBj ≡
k∑
i=1
uidni = −SdT + V dp = dG. (3.8)
La equivalencia entre el sistema económico y el sistema termodinámico comporta a que la can-
tidad de dinero intercambiado en un cierto periodo de tiempo es equivalente a la función de
Gibbs.
Respecto al significado de los términos de TS y pV en el sistema económico, se puede conside-
rar S como la entropía del sistema, es decir, el grado de desorden correspondiente a un sistema
"macroscópico". La temperatura T se considera como el nivel de desarrollo de la economía de
un sistema concreto [Saslow, 1999]. Por ejemplo, si la economía de mercado no está presente
en una sociedad, la temperatura sería nula (cero absoluto) y sólo habría un microestado. En
este caso, se puede decir que la entropía es cero. Esto sería equivalente al Tercer Principio de la
termodinámica (la entropía es nula en el cero absoluto de temperaturas). En este trabajo no se
analizará como calcular el nivel de desarrollo de un sistema económico y, por tanto, la tempe-
ratura del mismo. De este modo, como primera aproximación, se considera que la temperatura
viene dada y es fija para un sistema en el equilibrio.
Como segunda aproximación, no se considerarán magnitudes equivalentes a la presión y al
volumen en un sistema económico. De este modo, se tiene que
M =
Q∑
j=1
pjBj = U − TS = F. (3.9)
En forma diferencial:
dM =
Q∑
j=1
pjdBj = dF. (3.10)
La equivalencia de M con la función de Helmholtz será más adecuada a la hora de trabajar el
sistema económico desde un punto de vista mecánico-estadístico con la colectividad canónica,
como se verá en el siguiente apartado 3.2.
3.2. Modelo mecánico-estadístico microeconómico
Para determinar la entropía del sistema económico se necesita un tratamientomecánico-estadístico.
Se calculará el número de microestados según el método de colectividad microcanónica. A mo-
do de suposición, la entropía se puede expresar como una suma de términos de la siguiente
manera, donde se separan variables:
pág. 40 Memoria
S = S(T, p1, ..., pQ) = ST (T ) +
Q∑
j=1
Sj(pj) + ct. (3.11)
Dado que la temperatura se considera constante, se tiene:
S =
Q∑
j=1
Sj(pj) + ct. (3.12)
Número de microestados y entropía del sistema económico
Se considera un único mercado para determinar su contribución a la entropía total. Se calculan,
por tanto, los microestados de un único mercado. En el apartado 3.1 se ha definido como partí-
cula cada unidad de producto intercambiado y como dinero intercambiado en cada transacción
de una de estas unidades el precio de la misma 3.5.
El número de microestados compatibles con un macroestado con una cantidad de dinero por
producto definida, p, es
Ω(p) =
∑
microestadosp
1. (3.13)
Se tiene que
Ω(p) =
1
δ0
∫ p+δp
p
dBp, (3.14)
donde las variables sobre las que se integra son el precio de cada uno de los productos. Se tiene
un espacio B-dimensional. δ0 es el "volumen"de un microestado, al que se le puede dar el valor
de 1. Si el número de partículas es suficientemente grande, la integral se puede considerar como
el volumen de una esfera de B dimensiones de radio p:
Ω(p) =
∫ p+δp
p
dBp ∼=
∫ p
0
dBp = CpB. (3.15)
El parámetro C es una constante que, a la hora de calcular variaciones de entropía, no será
relevante.
Se define la entropía del sistema económico (a T=ct) como
S(p) = kEln(Ω(p)), (3.16)
Sistemas complejos fuera del equilibrio:
Análisis termodinámico de sistemas biológicos y económicos. pág. 41
donde kE es una constante análoga a la de Boltzmann pero con unidades económicas de dine-
ro/temperatura (económica).
Se tiene
S(p) = kEln(Cp
B) = kEBln(p) + ct. (3.17)
Si se consideran varios mercados, la entropía a T=ct es
S = kE
Q∑
j=1
Bjlnpj + ct. (3.18)
Si la temperatura varía, se tiene
S = ST (T ) + kE
Q∑
j=1
Bjlnpj + ct, (3.19)
que en forma diferencial queda:
dS = dST (T ) + kE
Q∑
j=1
Bjdpj
pj
+ kE
Q∑
j=1
lnpjdBj . (3.20)
Función de partición canónica y función de Helmholtz
Se considera un único mercado para determinar su contribución a la función de Helmholtz y
se mantiene la temperatura económica constante. Los productos de un mismo mercado (par-
tículas) se consideran idénticos, pero son distinguibles porque se puede seguir su rastro (B es
un número mucho más pequeño que N en un sistema termodinámico). La función de partición
canónica es
Z(T ) = Z1(T )
B, (3.21)
donde Z1 es la función de partición de un producto:
Z1(T ) =
∑
pr
Ω1(pr)e
−βpr =
∫ ∞
0
Ω1(pr)e
−βprdpr, (3.22)
con β = 1kET .
pág. 42 Memoria
Se asume que el sistema económico se comporta de manera similar al sistema físico macroscó-
pico de N partículas, donde las fluctuaciones relativas de la energía son del orden de 10−12:
△E
⟨E⟩
∼ N−
1
2 ∼ 10−12. (3.23)
En el caso de B "partículas":
△E
⟨E⟩
∼ B−
1
2 . (3.24)
Para distintos valores de B, las fluctuaciones relativas son:
B = 10 → △E
⟨E⟩
∼ 10−
1
2 ∼ 0, 3 = 30%
B = 102 → △E
⟨E⟩
∼ 10−1 = 10%
B = 103 → △E
⟨E⟩
∼ 10−
3
2 ∼ 0, 03 = 3%
B = 104 → △E
⟨E⟩
∼ 10−2 = 1%
B = 105 → △E
⟨E⟩
∼ 10−
5
2 ∼ 3−3 = 0, 3%
B = 106 → △E
⟨E⟩
∼ 10−3 = 0, 1%
Se puede observar que, cuando el número de productos intercambiados de unmercado alcanza
valores cercanos a 1000 unidades, las fluctuaciones relativas serian, si se cumple la suposición
adoptada, menores al 1%. Por tanto, y como primera aproximación, la distribución de precios
de un único producto en el equilibrio es cercana a una delta de Dirac:
Z1(T ) ∼=
∫ ∞
0
δ(pr − p)e−βprdpr = e−βp. (3.25)
La función de partición total es
Z(T ) = Z1(T )
B = e−βpB. (3.26)
La función de Helmholtz queda
Sistemas complejos fuera del equilibrio:
Análisis termodinámico de sistemas biológicos y económicos. pág. 43
F = −kET lnZ = −kET (−βpB) = pB, (3.27)
que coincide con lo determinado como F en el modelo termodinámico 3.9
3.3. Sistemas económicos fuera del equilibrio
Se puede considerar que un sistema económico está fuera del equilibrio cuando el precio de un
tipo de producto no es único.
Sea el caso de un único mercado. Imagínese que distintas cantidades del bien se venden a dis-
tintos precios, de forma que la cantidad de dinero total es
M =
B∑
i=1
piBi. (3.28)
Esta suma es referente a los grupos de bienes con un mismo precio. El número total de bienes
es
B =
B∑
i=1
Bi. (3.29)
La entropía es
S = kE
B∑
i=1
Bilnpi + ct. (3.30)
Si la distribución de precios es continua, los sumatorios se convierten en integrales, extendidas
a toda la cantidad de bienes intercambiados, B. Se puede asumir que el precio de los bienes
va desde un precio mínimo, pi, hasta un precio máximo, p2, y que en cada rango infinitesimal
de precios dp hay un rango infinitesimal de bienes intercambiados, dB. Se define la cantidad b
como el cociente entre valores infinitesimales:
dB = bdp → B =
∫ p2
p1
bdp. (3.31)
El dinero total es
M =
∫ p2
p1
pbdp, (3.32)pág. 44 Memoria
y la entropía es
S = kE
∫ p2
p1
blnpdp+ ct. (3.33)
Dado que el sistema está fuera del equilibrio , las variables p y b varían en función del tiempo:
p = p(t),
(3.34)
B = B(t).
La cuestión esencial es entender, en el caso de que el sistema alcance el equilibrio (así se su-
pondrá), cómo lo hace y en cuánto tiempo. Se puede imaginar una analogía con los casos de
la conducción térmica (apartado 2.2.1) y de la difusión de materia (apartado 2.2.2). De esta
manera:
∂p
∂t
= f
∂2p
∂W 2
. (3.35)
Siendo f una constante. Por su parte, W es una función que se entiende como una variable
dimensional de longitud B que va desde cero (cuando el precio es mínimo p1) hasta el valor B
(cuando el precio es máximo p2). La solución, suponiendo que el sistema alcanza el equilibrio
con un único precio y que el sistema está aislado, dependerá de las condiciones iniciales.
Una situación bastante realista sería la de tener una distribución normal (Gaussiana) de precios,
de forma que
b =
dB
dp
= Kexp[−α(p− p)2], (3.36)
con p siendo el precio medio.
En el estado inicial, el número total de bienes es
B0 =
∫ p2
p1
Kexp[−α(p− p)2]dp. (3.37)
Para resolver esta integral, se usará el cambio de variable:
x = p− p → dx = dp. (3.38)
Se tiene que
Sistemas complejos fuera del equilibrio:
Análisis termodinámico de sistemas biológicos y económicos. pág. 45
B0 = K
∫ x2
x1
exp[−αx2]dx. (3.39)
Definiendo los límites de integración desde −∞ hasta ∞, ya que las contribuciones van a cero
rápidamente a medida que los valores se alejan de p=p (x=0), se obtiene:
B0 = K
∫ ∞
−∞
exp[−αx2]dx = K
√
π
α
→ K =
√
α
π
B0. (3.40)
La cantidad de dinero total es
M0 =
∫ p2
p1
pKexp[−α(p− p)2]dp. (3.41)
Utilizando el mismo cambio de variable anterior y definiendo los límites de integración de la
misma forma, se obtiene:
M0 = K
∫ ∞
−∞
(x+ p)exp[−αx2]dx = K
∫ ∞
−∞
xexp[−αx2]dx+K
∫ ∞
−∞
pexp[−αx2]dx. (3.42)
La primera integral es nula, pues la función que está integrando es impar y los límites son
simétricos respecto al valor 0. La segunda integral es la misma a la realizada en el caso anterior
para B0 pero multiplicada por la constante p. Por tanto:
M0 = pK
√
π
α
= pB0. (3.43)
Si se restringe el mercado de forma que la cantidad de dinero total y los bienes totales sean
constantes, el precio medio inicial coincide con el precio de equilibrio.
La solución de la Ecuación 3.35 depende de la desviación típica de la distribución Gaussiana,√
2
a . Si esta es lo suficientemente pequeña,
p(W, t) = p = ct, (3.44)
es decir, la distribución de precios ya estaría en equilibrio.
Un caso interesante a estudiar es la interacción entre dos mercados inicialmente aislados. Sean
dos mercados (1 y 2) de unmismo tipo de producto, inicialmente aislados, que en unmomento
dado se abren entre sí. Inicialmente, el precio y el número de bienes intercambiados de cada
mercado son:
pág. 46 Memoria
p1 ̸= p2, B1 ̸= B2} → M1 = p1B1 ̸= M2 = p2B2. (3.45)
Los bienes totales iniciales son:
B0 = B1 +B2. (3.46)
La cantidad de dinero total de los dos mercados inicialmente es:
M0 = M1 +M2 = p1B1 + p2B2. (3.47)
La entropía inicial es:
S0 = S1 + S2 = kE(p1lnB1 + p2lnB2). (3.48)
Una vez los mercados interactúan, se tiene un único mercado aislado y, por tanto, evolucionará
hasta una situación de equilibrio:
Meq = peq +Beq,
(3.49)
Seq = kEBeqlnpeq + ct.
Si se restringe el mercado de forma que la cantidad de dinero total y los bienes totales sean
constantes,
p1B1 + p2B2 = peqB0B1 +B2 = B0 → p1B1 + p2B2 = peqB0 → peq =
p1B1 + p2B2
B0
, (3.50)
el precio de equilibrio es el precio medio de la distribución inicial.
La variación de entropía (dividida entre B0kE) queda:
△S
kEB0
= ln
p1B1 + p2B2
B0
− (p1lnB1 + p2lnB2) (3.51)
Tal y como se mencionó al final del apartado 2.2.1, este sistema es el análogo al de una barra ais-
lada donde, inicialmente, parte de la misma está a una temperatura y el resto a otra temperatura
distinta. La solución de la Ecuación 3.35 es, por tanto:
p(W, t) =
p1B1 + p2B2
B0
+
∞∑
n=1
2
nπ
(p1 − p2)sin(
nπ
B0
B1)cos(
nπ
B0
W )exp[−(nπ
B0
)2ft]. (3.52)
Sistemas complejos fuera del equilibrio:
Análisis termodinámico de sistemas biológicos y económicos. pág. 47
3.4. Adaptación del modelo. Perspectiva mecánica y sistemas bioló-
gicos
Originalmente, a partir de los resultados obtenidos, la idea era analizar y comprobar el caso de
dos mercados inicialmente aislados que entran en contacto en un entorno real. No obstante, no
se encontraron datos reales para este caso. Debido a esto, en virtud de hacer un análisis similar
del que obtener información, se propondrá otro tipo de desequilibrio del cual se puedan extraer
datos reales y analizar los resultados en el Capítulo 4.
Entiéndase unpseudo-equilibrio en el cual, para todos los productos idénticos, el precio crece de
forma sostenida en todos los intervalos de tiempo (pendiente constante de crecimiento). De esta
forma, el sistema económico se considerará fuera del equilibrio cuando, a partir de un intervalo
de tiempo concreto, haya un crecimiento o decrecimiento irregular que rompa con la tendencia
esperada. Este desequilibrio sería provocado por un fenómeno singular. Este fenómeno sería
análogo a la fuerza de la mecánica clásica, debido a la cual, un cuerpo en reposo o movimiento
uniforme modifica dicho estado (Segunda Ley de Newton). De la misma forma, este fenómeno
provocaría que el valor esperado del precio de equilibrio de un producto se modificase.
Considérese un espacio donde se encuentran distintas partículas. Para cada una de estas partí-
culas se puede definir su posición respecto a un punto concreto (origen). Asumiendo un sistema
de referencia inercial, a partir de la posición, se puede definir la velocidad (variación de posi-
ción respecto al tiempo, primera derivada) y la aceleración (variación de velocidad respecto al
tiempo, segunda derivada). Cada partícula P tiene asociada una masa, que es una magnitud
física que expresa la resistencia de dicha partícula al cambio de posición y que está asociada a
la cantidad de materia. La segunda Ley de Newton se define como:
∑
Fext(P ) = mpa(P ) = mpẍ(P ). (3.53)
El sumatorio de fuerzas externas sobre una partícula (Fext(P )) es igual a la masa de dicha partí-
cula (mp) por su aceleración (a(P )). Siendo la fuerza el fenómeno que modifica el movimiento
de la partícula.
En la analogía del modelo económico, la posición de la partícula sería el precio de un bien B,
el cual, a diferencia del caso del modelo anterior (apartado 3.3), solo depende del tiempo y
no de la variable W . La masa, por su parte, es un concepto más complejo. Teniendo en cuenta
que la masa expresa la resistencia de un cuerpo o partícula a cambiar de posición, la magnitud
económica tiene que expresar la resistencia o facilidad de un precio para variar. Aunque no era
uno de los objetivos de este trabajo, se plantearon dos ideas interesantes para analogía de la
masa económica que podrían ser desarrolladas más profundamente en trabajos futuros.
La primera alternativa sugiere el uso del inverso de la variación (derivada temporal) de la dife-
rencia entre la oferta y la demanda de un bien. Así pues, cuanto más pequeña sea la variación,
más difícil será que cambie o se mueva el precio, y por contra, cuanto más grande sea esta va-
riación, más fácil será que varíe. Por tanto, para que tenga la misma propiedad que la masa, se
tendrá que usar el inverso (a mayor valor, mayor resistencia).
Definiendo la diferencia entre la oferta y la demanda como:
pág. 48 Memoria
OD = |O −D| . (3.54)
La variación de la diferencia es:
w =
△OD
△t
. (3.55)
Por tanto, la masa económica es:
mec =
1
w
. (3.56)
La segunda alternativa plantea el uso del inverso de la elasticidad precio de la demanda (ver
apartado 2.4.1). De estemodo, cuantomayor sea la elasticidad (mayor respuesta ante un cambio
en el precio), menos masa económica y, por tanto, menor resistencia al cambio de precio. Por
contra, cuanto menor sea la elasticidad (menor respuestaante un cambio en el precio), mayor
será la masa económica y, por tanto, mayor resistencia a la variación del precio del bien. Otras
propuestas pensadas fueron las de usar la elasticidad precio de la oferta o una combinación de
ambas. No obstante, para elegir la opción más adecuada, serían necesarios estudios de casos
reales para comprobar qué planteamiento es el más certero.
Dado que el precio solo depende del tiempo, los desequilibrios se estudiarán analizando la evo-
lución de los precios a través de dicha dimensión. En principio, la evolución de los desequilibrios
causados por un mismo fenómeno deberían seguir una tendencia similar o poseer alguna ca-
racterística común en todos los productos. Por este motivo, se debía encontrar una ecuación de
los precios que se ajustase a dicho desequilibrio. Dicha ecuación, que realizaría el papel de la
posición x en la mecánica, se podría derivar y obtener la “aceleración” de los precios. Esta “ace-
leración”, junto a la “masa económica”, acabarían de definir la fuerza del fenómeno, la cual se
podría estudiar si se asemejaba a algún tipo de fuerza conocida de la mecánica clásica. De esta
forma, la ecuación económica análoga a la Segunda Ley de Newton adopta la forma de
∑
Fecext(B) = mecB p̈(B). (3.57)
Precio como función exponencial
Una primera hipótesis fue la de tratar el desequilibrio como una evolución exponencial. Esta
visión estaba inspirada en las ecuaciones de la temperatura de la conducción térmica expuestas
en el apartado 2.2.1. A partir de las temperaturas iniciales y el valor de la difusividad térmica
(dependiente del material de la barra), se podía deducir el tiempo de estabilización hasta el
equilibrio. Esta variable se encontraba dentro de la exponencial en las distintas fórmulas perte-
necientes a los distintos casos (2.49, 2.54 o 2.58).
La idea inicial era aplicar esto al caso del modelo termo-económico expuesto en el apartado 3.3
mediante la ecuación 3.52. No obstante, como se ha mencionado anteriormente, no se encon-
traron casos reales que sustentaran el modelo. Aún así, se asumió que el uso de la exponencial
como ascenso y el descenso de los desequilibrios podría ser una buena aproximación.
Sistemas complejos fuera del equilibrio:
Análisis termodinámico de sistemas biológicos y económicos. pág. 49
La ecuación del precio como una función exponencial es:
p = C exp at. (3.58)
Su primera derivada, es decir, la velocidad de crecimiento o decrecimiento del precio resulta:
ṗ = aC exp at = ap (3.59)
Por último, su segunda derivada o, en otras palabras, la “aceleración económica” es:
p̈ = a2C exp at = a2p (3.60)
Precio como función logística
La segunda hipótesis que se planteó fue la de tratar el desequilibrio como una evolución logís-
tica. La función logística es una curva en forma de S (o sigmoide) con diversas aplicaciones en
distintos campos, pero que es especialmente común en el modelado de sistemas biológicos. Es-
ta aplicación sirvió de inspiración para una ampliación del trabajo. Concretamente, se decidió
estudiar desequilibrios en sistemas biológicos reales y comprobar si existían similitudes con los
resultados obtenidos en el análisis de los desequilibrios económicos.
El precio como función logística adopta la forma de
p = Pini +
pfin − pini
1 + exp (−αt)
(3.61)
La primera derivada de dicha ecuación es
ṗ = (pfin − pini)
α exp (−αt)
(1 + exp (−αt))2
(3.62)
Por último, tras varias simplificaciones, la segunda derivada resulta en:
p̈ = −αṗ+ 2ṗ α exp−(αt)
(1 + exp (−αt))
= −αṗ+ 2 ṗ
2
p− pini
(3.63)
El primer término de la ecuación 3.63 corresponde a una fricción viscosa, mientras que el se-
gundo es un término que al principio es dominante pero que después deja paso al dominio de
la fricción.
Capítulo 4
Casos Prácticos
En este Capítulo, a partir de las conclusiones obtenidas en el Capítulo 3, se analiza el caso de
una economía real que sufre un fenómeno desestabilizante que provoca un desequilibrio en los
precios como el descrito en el apartado 3.4. Adicionalmente, se hace un estudio sobre el mismo
tipo de desequilibrios aplicado a sistemas biológicos, concretamente a evoluciones de población
en distintos países.
4.1. Desequilibrio de precios en economía real: El caso de Siria
Tal y como semencionó en el capítulo anterior, la idea era encontrar un caso real de dos sistemas
económicos inicialmente aislados que se abriesen y entrasen en contacto en algún momento. Se
considera un sistema económico aislado como una economía cerrada, es decir, aquella que no
realiza ningún intercambio (importaciones o exportaciones de bienes y servicios) con otras eco-
nomías. Hay que tener en cuenta que no existe ningún país con una economía completamente
cerrada, por lo que el sistema no es realmente aislado. Aun así, se asume que es una aproxima-
ción suficientemente buena como para cumplir con la formulación expuesta.
Inicialmente, algunos ejemplos en los que se pensó fueron el de España tras la dictadura o el
de la unificación de Alemania Oriental y Alemania Occidental tras la caída del muro de Berlín.
No obstante, al estar buscando los precios y la cantidad de bienes vendidos de productos muy
específicos (leche, pan, ect) en fechas relativamente antiguas, no se pudieron encontrar los datos
necesarios. Tras esto, se decidió ampliar la búsqueda a países que, a causa de algún fenómeno
importante (e.g una guerra), habían sufrido una desestabilización en la tendencia base de los
precios.
Un país que había tenido una economía cerrada y había sufrido una guerra en la historia reciente
era Siria. Concretamente, el país se abrió económicamente de forma importante en el año 2000
tras la sucesión de poder a Bashar al-Assad. La guerra, por su parte, comenzó en el año 2011
durante la primavera árabe. Debido a esto, se decidió investigar los datos disponibles de este
país, recurriendo al centro oficial de estadísticas del país The Central Bureau of Statistics. Este
caso fue exitoso, pues se encontraron datos de los precios de gran cantidad de productos desde
el 2002 hasta el 2015, por lo que se decidió empezar a analizar la evolución de estos.
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https://cbssyr.sy/
Sistemas complejos fuera del equilibrio:
Análisis termodinámico de sistemas biológicos y económicos. pág. 51
4.1.1. Evolución de los precios y el IPC
Los datos disponibles eran anuales y por provincias, por lo que el primer paso fue obtener la
mediana del país para todos los años. Una vez hecho esto, se obtuvieron las gráficas de los
precios de 50 productos. Se pudo observar que, pese a la apariencia de mantener una tendencia
de crecimiento moderado hasta el 2011, donde los precios aumentaron rápidamente a causa
de la guerra, surgía un pico suave alrededor del año 2008 en varios productos, sobre todo en
los alimenticios. Un buen ejemplo es el caso del burgul, un alimento derivado del trigo que se
puede observar en la Figura 4.1. La unidad monetaria (eje de ordenadas) es la lira siria SYP, y
la evolución temporal (eje de abcisas) está, como se ha mencionado, en años.
Figura 4.1: Evolución del precio del burgul
Para analizar la naturaleza de estos picos se planteó realizar una regresión exponencial y una re-
gresión logística (tanto en la subida como en la bajada), determinando el parámetro α presente
en las ecuaciones 3.58 y 3.61, respectivamente. La idea era descubrir si había un comportamien-
to similar entre los distintos productos. No obstante, como los datos eran anuales y el intervalo
del pico se situaba aproximadamente entre los años 2007 y 2010, no se tenían suficientes pun-
tos como para realizar la regresión. Además, solo se disponía de los datos de los bienes totales
vendidos de cada producto específico hasta el año 2006, posteriormente los datos eran sobre sec-
tores. Por tanto, las condiciones tampoco eran óptimas para la continuación del estudio. Debido
a esto, se decidió optar por otra vía.
La nueva vía de análisis se basaba en que la página web del centro de estadísticas disponía
también de los datos del IPC mensual total y de varios grupos