06 cap4 - Control de Par y Flujo

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Caṕıtulo 4
Control de Par y Flujo
4.1. Control vectorial
El concepto de campo orientado fue propuesto a finales de los sesenta como uno de
los mayores paradigmas en la teoŕıa y control de las máquinas de inducción. En esencia,
el objetivo principal del campo orientado consiste controlar el motor de inducción en
forma similar a como se controla una máquina de corriente continua.
El control vectorial (FOC, por sus siglas en inglés) es una estrategia basada en las
propiedades del modelo de la máquina de inducción descritas en la sección 3.3.1.3 de este
trabajo.
El principio del FOC, orientado al vector de flujo λf que pudiera ser cualquiera de
los flujos que aparecen en el sistema o el fijado en el rotor, puede ser resumido en los
siguientes pasos:
1. Dados el par de referencia T ∗e y el flujo de referencia λ
∗
f , traducir estas referencias a
corrientes de referencia i∗sd y i
∗
sq en el marco de referencia adoptado.
2. Estimar la posición del vector de flujo θf ; que es necesario para realizar la transfor-
mación del sistema de referencia en variables de fase a d–q y viceversa.
3. A partir de los valores de referencia y los valores medidos obtener los esfuerzos de
control requeridos para minimizar el error de la variable de control.
69
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
Figura 4.1: Generación del par electromagnético en el control FOC orientado en el flujo
de rotor.
4. Transformar los esfuerzos de control del marco de referencia d–q al de las variables
de fase u otro marco de referencia, como el α–β, para el control de la corriente
suministrada por el inversor a la máquina.
Para el caso que se adopte el sistema de referencia orientado al flujo de rotor λr
(RFOC), basandonos en las ecuaciones (3.99)–(3.100) del modelo en el subespacio d–q, la
generación de par electromagnético se muestra en el diagrama presentado en la Fig. 4.1. El
principio del control vectorial, para este caso, se puede desglosar de manera muy sencilla
a partir de este diagrama, y puede resumirse de la siguiente manera:
1. La componente de corriente de estátor isd es utilizada para controlar el flujo de
rotor. El comportamiento dinámico depende de la constante de tiempo del rotor τr.
2. La componente de corriente de estátor isq es utilizada para controlar la generación
de par electromecánico, siendo independiente de cualquier constante de tiempo.
3. El RFOC requiere de lazos de control de corriente independientes para imponer las
componentes de corriente de generación de flujo de rotor y de par electromagnético.
Además, requeriŕıa de un lazo de control externo que genere el par de referencia.
En este trabajo se considera sólo el control vectorial orientado en el rotor de la
máquina como estrategia de control de velocidad, por lo simplificado que resulta el
modelo y el control de la máquina.
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Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
4.1.1. Estrategias de control RFOC
En la obtención del modelo de la máquina de inducción de cinco fases se pudo notar
la similitud con la de tres fases en el subespacio en el cual se realiza la conversión de
enerǵıa electromecánica. Por tanto, las estrategias de control vectorial de las máquinas
de tres fases pueden ser aplicadas a las de cinco fases siempre y cuando se adicionen
acciones de control que minimizen las componentes en los subespacios que no contribuyen
a la generación del par electromagnético.
Las estrategias a estudiar son el control vectorial directo (DRFOC) y el control vec-
torial indirecto (IRFOC).
4.1.1.1. Control vectorial directo (DRFOC)
El esquema de control vectorial DRFOC se muestra en la Fig 4.2(a). Esta técnica de
control requiere de lazos de medición que determinen las coordenadas polares, posición
y magnitud del vector de espacio de flujo del rotor λr. La Fig. 4.2(b) muestra un corte
esquemático transversal al eje de la máquina con la localización de los sensores de
efecto Hall, empotrados en el entrehierro de la máquina de manera ortogonal, con lo
que obtenemos las componentes en cuadratura del flujo en el entrehierro λm respecto al
marco de referencia fijo en el estátor α–β.
A partir del vector de flujo en el entrehierro puede obtenerse el flujo de estátor por
medio de la siguiente ecuación:
�λmαβ = �λsαβ − Lls ·�isαβ (4.1)
y el flujo del rotor puede ser obtenido a partir de la siguiente expresión:
�λrαβ =
1
kr
· �λsαβ − σ · Ls
kr
·�isαβ (4.2)
Finalmente, con las componentes en cuadratura del flujo del rotor pueden ser
obtenidas la magnitud y la posición del flujo del rotor.
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Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
(a)
(b)
Figura 4.2: Control vectorial directo. (a) Esquema de control DRFOC para una máquina
de inducción de cinco fases. (b) Esquema de medición del flujo en el entrehierro de la
máquina para el control DRFOC.
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Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
El controlador PI externo establece una corriente itsq de referencia basada en la
velocidad de consigna de la máquina. Esta es comparada con la corriente actual isq,
generando una señal de error que nuevamente pasa por un controlador PI que genera
la referencia i∗sq para el control de corriente, que se realiza mediante el Controlado de
Corriente PWM (CCPWM).
Para el control de flujo, se calcula el error entre el valor de referencia λ∗r y el valor
medido λr generándose la referencia i
∗
sd por medio de un controlador PI (este valor
será necesario para gobernar el CCPWM). El proceso descrito se repite cada ciclo de
control.
La desventaja de esta estrategia de control consiste en el uso de sensores de efecto
Hall cuyo elevado coste disminuye la competitividad con respecto a otras estrategias que
veremos seguidamente.
4.1.1.2. Control vectorial indirecto (IRFOC)
En la Fig. 4.3 se muestra un esquema de la estrategia de control IRFOC.
En el control vectorial indirecto, la posición y magnitud del vector de espacio de
flujo de rotor son determinadas por medio de estimadores, a partir de la medición de las
corrientes y de la velocidad de la máquina. Como se puede observar en la Fig. 4.1, que
muestra las relaciones deducidas de las ecuaciones presentadas en (3.100), la magnitud y
posición del flujo están dadas por:
τr · p · λr + λ rr = M · i esd
ωsl =
M · i esq
τr · λr =
i esq
τr · i esq
=
i ∗sq
τr · i ∗sq
θre =
∫ t
0
(ωsl + ωr) · dt
(4.3)
Con las coordenadas del flujo, magnitud y posición se procede de manera análoga
al DRFOC, como puede verse en el esquema de control de la Fig. 4.3. Puede notarse
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Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
Figura 4.3: Esquema de control del IRFOC para una máquina de inducción de cinco fases.
que los estimadores son muy sensibles a las mediciones a y la constante de tiempo del rotor.
El estimador presentado en (4.3) genera su resultado a partir de la corriente y de la
velocidad de giro de la máquina. Otro estimador que puede considerarse es el basado en
la tensión y la corriente en el marco de referencia α–β según:
p · �λsαβ = �vsαβ −Rs · �isαβ
�λrαβ =
1
kr
· �λsαβ − σ · Ls
kr
·�isαβ
(4.4)
con lo que combinando estas ecuaciones, se obtiene las componentes en cuadratura del
vector de espacio de flujo dadas por:
�λrαβ =
1
kr
·
∫ (
�vsαβ −Rs · �isαβ
)
· dt− σ · Ls
kr
·�isαβ (4.5)
Con los estimadores se evita el uso de los sensores de efecto Hall, con lo que se consigue
una técnica de control más barata y competitiva.
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Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
4.1.2. Control de corriente en un inversor de cinco ramas
Un importante bloque para que sean posibles las técnicas de control de un accio-
namiento electromecánico de cinco fases es el control de corriente del inversor de cinco
ramas, pues con los controles finalmente se obtienen corrientes de referencias que deben
ser impuestas en la máquina. La técnica de control más utilizada para los inversores de
potencia es la de modulación PWM.
El control de corriente empleado por las técnicas de control vectorial se basa en
convertir lascorrientes de referencia en tensión de referencia por medio de la adición a
cada linea de control de la señal de desacoplo. Una vez obtenida la tensión de referencia
cualquiera de las técnicas de modulación de actuadores multifásicos puede ser utilizada.
Para disminuir la generación de armónicos y evitar sobrecorrientes, se adiciona
un control de corrientes en el plano x–y, con un valor de referencia nulo. Con la adi-
ción de estos controles se consigue minimizar las componentes de corriente en le plano x–y.
El esquema de control de corriente en el marco de referencia d–q se muestra en la
Fig. 4.4. En la Fig. 4.4(a) se puede observar como se genera la tensión de referencia en
el marco śıncrono. La corriente de referencia de cada componente en el subespacio d–q se
corrige con el término de desacoplo, el cual se obtiene a partir de las ecuaciones de tensión
en régimen permanente (�λ esdq constante) según:
ed = ω
r
e · σ · Ls · i esq
eq = ω
r
e · Ls · i esd
(4.6)
Una vez definida la tensión de referencia en el marco śıncrono, se transforma ésta
a coordenadas de fase, previo paso por coordenadas α–β, para obtener la tensión de
referencia a ser modular en la salida del inversor. En la Fig. 4.4(b) se muestra un esquema
general para la modulación de la tensión de referencia.
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Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
(a)
(b)
Figura 4.4: Control de corriente en el marco de referencia śıncrono. (a) Esquema de genera-
ción de tensión de referencia en variables de fase. (b) Esquema de modulación multifásica.
Para la modulación puede utilizarse tanto las técnicas basadas en portadoras como las
de vectores de espacio (SVPWM). Los métodos basados en portadoras son muy simples
de implementar, inclusive con la inyección de armónicos; pero se posee poco control de
armónicos y de la conmutación de las ramas del inversor.
Para este trabajo se seleccionó una modulación del tipo SVPWM, por su gran
facilidad en el control de armónicos, frecuencia de conmutación y generación de referencia
con respecto a la modulación basada en portadora.
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Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
4.1.3. SVPWM para convertidores de cinco fases y dos niveles
Las técnicas de modulación PWM para convertidores multifásicos publicados en
la literatura actual están basados en portadora y en el modelado de los convertidores
por medio de vectores de espacio SVPWM. Las técnicas basadas en modulación con
portadora son una extensión de las empleadas en la modulación de convertidores trifásicos
[25]–[27]. Las primeras técnicas de modulación basadas en SVPWM fueron desarrolladas
basadas en algoritmos que consideran los vectores de espacios en los subespacios α–β
[16], [28]–[30]. Actualmente también han sido estudiadas estrategias con vectores de
espacio generados en variables de fases [31]–[33].
El algoritmo de modulación implementado en este trabajo está basado en el método
Multidimensional SVPWM para convertidores de dos niveles [33], que consiste en un
caso particular de los métodos de modulación de convertidores multifase y multinivel
[31]–[32]. Este algoritmo tiene como virtud el bajo coste computacional requerido para
su aplicación en controladores digitales.
En [31] se presenta un algoritmo de modulación para convertidores de N fases, que
requieren un espacio N–dimensional para representar cada vector de espacio que el VSI
puede imponer en su salida con el objetivo de reproducir la referencia dada. De esta
manera, cada vector de tensión de referencia Vr, expresado en variables de fases está dado
por:
Vr =
[
Vr1 Vr2 Vr3 · · · VrN
]T
∈ RN (4.7)
Suponiendo que la solución del problema de modulación sea obtenida por l vectores
N–dimensionales de espacio Vjs (j = 1, 2, 3, · · · , l), que se aplican durante un periodo de
tiempo Tj obtenido mediante el algoritmo de modulación, tendremos que en cada periodo
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Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
de modulación se cumple:
Vr · Ts =
l∑
j=1
Vjs · Tj
Ts =
l∑
j=1
Tj
(4.8)
Donde cada vector de espacio está definido por sus componentes en variables de fase como
sigue:
Vjs =
[
V js1 V
j
s2 V
j
s3 · · · V jsN
]T
∈ RN (4.9)
Tomando como marco de referencia de medición de potencial la ĺınea neutra del
DC–Link y considerando que cada vector de tensión de estado es resultado de un es-
tado de conmutación del inversor de N ramas, tal como se demostró en la sección 3.2 de
este trabajo, se obtiene que cada componente será obtenida por:
V jsk = S
j
k · Vdc ; Sjk ∈ S (4.10)
siendo k = 1, 2, 3, · · · , N y S = {0, 1}. Este último conjunto definido denota el uso
de convertidores de dos niveles y puede ser ampliado en el caso de convertidores multinivel.
Aprovechando esta definición matemática, los vectores de tensión pueden ser normali-
zados respecto a la tensión del DC–Link Vdc y los periodos de conmutación de cada vector
de espacio respecto al periodo de modulación Ts, obteniendo:
vr =
Vr
Vdc
;∈ RN
vjs =
Vjs
Vdc
;∈ SN
tj =
Tj
Ts
(4.11)
Con lo que las ecuaciones tensión–tiempo serán:
vr =
l∑
j=1
vjs · tj
l∑
j=1
tj =1
(4.12)
78
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
y las nuevas definiciones de los vectores de tensión serán:
vr =
[
vr1 vr2 vr3 · · · vrN
]T
∈ RN
vjs =
[
Sj1 S
j
2 S
j
3 · · · SjN
]T
∈ SN
(4.13)
Acotando, además, que cada componente del vector de tensión de referencia debe
verificar la desigualdad 0 ≤ vrj ≤ 1, pues la tensión máxima respecto a la ĺınea neutra
del DC–Link en cualquier rama del VSI es igual a la tensión del DC–Link Vdc.
Matricialmente, las ecuaciones tensión–tiempo (4.12) puede expresarse como sigue:⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1
vr1
vr2
vr3
...
vrN
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
=
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 1 1 · · · 1
S11 S
2
1 S
3
1 · · · Sl1
S12 S
2
2 S
3
2 · · · Sl2
S13 S
2
3 S
3
3 · · · Sl3
...
...
...
. . .
...
S1N S
2
N S
3
N · · · SlN
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
︸ ︷︷ ︸
[D]
·
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
t1
t2
t3
...
tl
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
(4.14)
Para darle solución al sistema lineal de ecuaciones (4.14) se puede notar que la matriz
[D], que permite obtener los tiempos de aplicación de cada vector, consiste en una matriz
que pertenece al espacio S(N+1)×l. Para obtener una solución única, la matriz [D] se define
como cuadrada haciendo l = N + 1, con lo que el sistema de ecuaciones final a analizar
seŕıa: ⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1
vr1
vr2
vr3
...
vrN
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
=
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 1 1 · · · 1
S11 S
2
1 S
3
1 · · · SN+11
S12 S
2
2 S
3
2 · · · SN+12
S13 S
2
3 S
3
3 · · · SN+13
...
...
...
. . .
...
S1N S
2
N S
3
N · · · SN+1N
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
·
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
t1
t2
t3
...
tN+1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎡
⎣ 1
vr
⎤
⎦ = [D] · [t]
(4.15)
79
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
Bajo la restricción de que los tiempos resultantes de la aplicación del algoritmo de
modulación deben ser positivos. Además, es lógico pensar, que la rama del inversor que
posea el mayor valor de tensión de referencia tendrá que poseer mayor tiempo de disparo
y viceversa la rama que posea el menor valor de tensión de referencia tendrá que poseer
un tiempo de disparo menor a las demás. Por otro lado, la matriz [D] representa la tabla
de conmutación en cada rama del inversor a la que podemos añadir la restricción de que
entre columnas consecutivas sólo pueda existir un cambio por rama, minimizando de esta
forma las pérdidas por conmutación y asegurando que la frecuencia de conmutación por
rama sea igual a la frecuencia de modulación.
De esta forma, los pasos para resolver el algoritmo son:
1. Seleccionar una matriz de conmutación adecuada [D] no singular.
2. Resolver el sistema lineal de ecuaciones para obtener los tiempos de aplicación de
cada vector de espacio.
3. Extraer los vectores de conmutación a ser aplicados durante cada periodo.
Un posible método consiste en encontrar una matriz de permutación [P ] que ordene
las componentes del vector vr de manera decreciente, con la mayor de sus componentes
ocupandoel primer orden del vector. Obtendŕıamos:
[
P
]
·
⎡
⎣ 1
vr
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 1
v̂r
⎤
⎦ (4.16)
Con lo que se verifica:
1 > v̂r1 ≥ v̂r2 ≥ v̂r3 ≥ · · · ≥ v̂rN ≥ 0 (4.17)
Además, como la matriz [P ] es una matriz de permutación, originada por operacio-
nes elementales de intercambio a partir de la matriz identidad, se verifica la siguiente
propiedad: [
P
]−1
=
[
P
]T
(4.18)
80
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
Premultiplicando por [P ] la ley de modulación (4.15) se obtiene:⎡
⎣ 1
v̂r
⎤
⎦ = [D̂] · [t] (4.19)
Siendo [
D̂
]
=
[
P
]
·
[
D
]
(4.20)
Una matriz [D̂] con secuencias de un cambio en conmutaciones adyacentes y no singular
es la matriz unitaria triangular superior en el espacio S(N+1)×(N+1):
[
D̂
]
=
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 1 1 · · · 1
0 1 1 · · · 1
0 0 1 · · · 1
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · 1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
(4.21)
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenido por la transformación se obtienen los
tiempos de aplicación de cada vector de espacio iguales a:
tj =
⎧⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩
1− v̂r1 si j = 1
v̂r j−1 − v̂rj si 2 ≤ j ≤ N
v̂rN si j = N + 1
(4.22)
Se puede verificar mediante (4.17) que todas las soluciones obtenidas son positivas.
Los vectores de conmutación, para cada tiempo definido corresponde a los N últimos
elementos de cada columna de la matriz [D], obtenida mediate la transformación:
[
D
]
=
[
P
]T
·
[
D̂
]
(4.23)
81
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
Con lo que queda totalmente definido algoritmo de modulación. Consideremos, en-
tonces, el algoritmo aplicado a la modulación de un convertidor de cinco fases y dos niveles.
La dimensión del espacio seŕıa N = 5 y el vector de Tensión de referencia seŕıa Vr =
[ v∗as v
∗
bs v
∗
cs v
∗
ds v
∗
es]
T para el control del corriente que circula por la máquina de cinco
fases. Supongamos, entonces, que estos valores de referencia normalizados con respecto a
la tensión del DC–Link Vdc y referidas a la linea neutra del mismo son:
vr =
[
0,69 0,60 0,11 0,21 0,34
]T
(4.24)
La matriz de permutación para el vector de referencia será:
[
P
]
=
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
(4.25)
Luego de la transformación con la construcción auxiliar de dimensiones 6× 6 se obtiene:
v̂r =
[
0,69 0,60 0,34 0,21 0,11
]T
(4.26)
La matriz [D̂] es la unitaria triangular superior de orden 6× 6:
[
D̂
]
=
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
(4.27)
82
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
y la matriz [D] de los vectores de conmutación resultante es:
[
D
]
=
[
P
]T
·
[
D̂
]
=
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 1
0 0 0 1 1 1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
(4.28)
Los vectores de conmutación v̂ js = [S
j
a S
j
b S
j
c S
j
d S
j
e ]
T resultantes son:
v̂ 1s =
[
0 0 0 0 0
]T
v̂ 2s =
[
1 0 0 0 0
]T
v̂ 3s =
[
1 1 0 0 0
]T
v̂ 4s =
[
1 1 0 0 1
]T
v̂ 5s =
[
1 1 0 1 1
]T
v̂ 6s =
[
1 1 1 1 1
]T
(4.29)
Finalmente, los tiempos normalizados de aplicación de cada vector de espacio se obtienen
mediante:
t1 =1− v̂r1 = 0,31
t2 =v̂r1 − v̂r2 = 0,09
t3 =v̂r2 − v̂r3 = 0,26
t4 =v̂r3 − v̂r4 = 0,13
t5 =v̂r4 − v̂r5 = 0,10
t6 =v̂r5 = 0,11
(4.30)
Luego el tiempo real puede obtenerse multiplicando el valor normalizado por el periodo
de modulación Ts. En la Fig. 4.5 se muestra un esquema del patrón de conmutación por
ramas resultante al aplicar el algoritmo de modulación y disparos simétricos en el periodo
de modulación.
83
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
Figura 4.5: Esquema del patrón de conmutación obtenido para la implementación con
tiempos simétricos en el periodo de modulación.
4.2. Control directo de par
El Control Directo de Par (DTC) fue propuesto como técnica de control de velocidad
a mediados de la década de los ochenta [34],[35]. Este esquema de control de basa en
el acceso a una tabla de búsqueda para seleccionar el estado del inversor con el que se
alimenta la máquina, en función de un conjunto de entradas basadas en comparadores de
par y flujo respecto a los valores de referencias. A esta estrategia se la denomina DTC
basada en tabla de conmutación (ST–DTC). Las principales ventajas de esta estrategia
de control citadas en la literatura son: poca dependencia de los parámetros de la máquina
y gran velocidad de respuesta. Esta técnica también ha sido recientemente implementada
en máquinas multifásicas [36]–[37].
Sin embargo, su implementación ha reportado la generación de rizado en el par
electromagnético y gran contenido de armónicos [38]–[39], por lo que para su aplicación
en máquinas multifásicas no sólo debe tenerse en cuenta el control del flujo y el par,
sino también una baja distorsión en la corriente que alimenta la máquina. En este
84
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
sentido se han desarrollado estrategias de control DTC que cumplen, además, con
este requisito adicional [40]–[41]. Otra desventaja a considerar es que no genera una
frecuencia de conmutación constante, como en el caso del control vectorial, por lo que se
han presentado estrategias DTC basadas en la aplicación de modulador (SVM–DTC).
El uso del modulador genera cierta controversia puesto que hace que el DTC pierda la
simplicidad por la que inicialmente se propone, forzando además, la comparación con el
control vectorial y el cuestionamiento de sus ventajas.
4.2.1. Principios del DTC.
Para deducir los principios del DTC, utilizaremos el modelo de la máquina en el
marco de referencia estático α–β–x–y, descrito en la sección 3.3.1.2.
De la ecuación (3.74), el flujo en el estátor puede ser obtenido mediante:
�λsαβ =
∫ t
0
(
�vsαβ −Rs ·�isαβ
)
· dt (4.31)
Si por simplicidad, despreciamos la cáıda de tensión en la resistencia de estátor (lo que
supone no alejarse de la realidad en especial a velocidades lejanas a cero) se obtiene:
d�λsαβ = �vsαβ · Ts (4.32)
Con lo que se demuestra la dependencia del módulo del flujo con relación directa al
vector de tensión aplicado durante cada periodo de muestreo.
Con el objeto de analizar el comportamiento del par electromagnético, se combinan
las ecuaciones (3.74), (3.75), (3.86) y (3.87), obtenidas del modelo de la máquina y las
constantes definidas en función de los parámetros en (3.110). Siendo γ en ángulo de
carga, se puede llegar a las siguientes ecuaciones que expresan el par electromagnético de
la máquina y su derivada respecto al tiempo:
Te =
P · kr
σ · Ls ·
(
�λrαβ × �λsαβ
)
=
P · kr
σ · Ls · ‖
�λrαβ‖ · ‖�λsαβ‖ · sin(γ) (4.33)
σ · Ls
P · kr p·Te =
(
�λrαβ × �vsαβ
)
−
(
Rs
P · kr +
σ · Ls
P · kr · τr +
M
P · τr
)
·Te−ωr·
(
�λsαβ · �λrαβ
)
(4.34)
85
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
Además, se puede obtener la relación entre los vectores de flujo según:
1
kr
�λsαβ = �λrαβ +
σ · Ls
kr
�isαβ (4.35)
Lo que indica que si la corriente en el estátor se encuentra bien controlada (acotada a un
valor definido), y como se encuentra multiplicada por una constante muy pequeña y la
constante de tiempo del rotor es mayor que la del estátor, se verificará que:
�λsαβ ≈ �λrαβ (4.36)
Aplicando la aproximación (4.36) en (4.34), obtenemos:
σ · Ls
P · kr p ·Te ≈
(
�λsαβ × �vsαβ
)
−
(
Rs
P · kr +
σ · Ls
P · kr · τr +
M
P · τr
)
·Te−ωr ·
(
‖�λsαβ‖2
)
(4.37)
Expresión de la cual se puede deducir que si el flujo de estátor es controlado, la variación
del par es función del vector del tensión de estátor aplicado en cada periodo de muestreo.
Se busca conseguir que el vector de flujo de estátor posea un lugar geométrico
en una circunferencia con una banda de histéresis, de manera que considerarse como
constante. Por otro lado, el par electromagnético, de la ecuación (4.37) tendrá un cambio
que depende del producto vectorial entre el vector de flujo de estátor y el vector de
espacio de tensión, por lo tanto proporcional al seno del ángulo de carga γ.En la
Fig. 4.6 se puede apreciar el impacto del vector de espacio de tensión en la magnitud
del flujo de estátor y en el ángulo de carga γ. La Fig. 4.6(a) muestra el diagrama
fasorial basado en las ecuaciones del modelo de la máquina, incluyendo la cáıda de
tensión en la resistencia del estátor, mientras que la Fig. 4.6(b) muestra la aproximación
asumida para la estrategia de control. Se puede notar el impacto en el ángulo de car-
ga γ, considerando que la reacción del flujo del rotor es mucho más lenta que la del estátor.
Diferentes resultados se obtendrán según el vector espacial de tensión que se aplique,
creándose el sentido de rotación del flujo y del giro de la máquina. Para el VSI de cinco
fases y dos niveles, se disponen de 31 vectores distintos que pueden ser seleccionados
para cumplir con el criterio de control. En la Fig. 4.7 se muestran la disponibilidad de
vectores espaciales de tensión y la trayectoria circular de referencia del vector de espacio
86
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
(a) (b)
Figura 4.6: Diagrama fasorial resultante debido a la aplicación de un vector de tensión.(a)
Diagrama fasorial del modelo de la máquina. (b) Diagrama fasorial estimado para el DTC.
de flujo de estátor. También se muestra al vector espacial de flujo del rotor con el ángulo
de carga γ. Un caso especial es el representado por el vector nulo, con el que no se
produce ninguna variación en el flujo de estátor y un muy pequeño decremento en el par
electromagnético.
En śıntesis, se puede dividir al vector espacial de tensión en componentes tangencial
y radial al flujo. La componente tangencial es la que produce el cambio en el par de la
máquina, y la componente radial es la que modifica la magnitud del flujo. De esta forma,
el flujo y el par electromagnético pueden ser controlados simultáneamente con el vector
de espacial de tensión aplicado. En las máquinas multifásicas se deben tener en cuenta,
además, el control de las corrientes en los demás planos.
4.2.2. Minimización de la corriente en el plano x–y.
En la Fig. 4.8 se observan los vectores de tensión descritos por un inversor de dos
niveles y cinco ramas, que definen diez sectores en cada plano. Cada vector se representa
por el equivalente decimal del estado de conmutación del inversor [Sa Sb Sc Sd Se].
Existen 32 vectores con 4 distintas magnitudes: dos vectores nulos (0), diez vectores
cortos (0,3909 ·Vdc), diez vectores medios (0,6325 ·Vdc) y diez vectores largos(1,0233 ·Vdc).
87
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
Figura 4.7: Esquema de los vectores espaciales de flujo junto a los vectores espaciales de
tensión disponibles para el control.
Se puede observar que los estados del inversor que se representan mediante vectores
largos en el plano α–β son representados por vectores cortos en el plano x–y; los estados
del inversor que son representados mediante vectores medios en el plano α–β son repre-
sentados también por vectores medios en el plano x–y; y los estados del inversor que son
representados por vectores cortos en el plano α–β son representados por vectores largos
en el plano x–y. Estas caracteŕısticas geométricas hacen posible que en algoritmos de
modulación se pueda conseguir la generación de la componente fundamental minimizando
las componentes armónicas de bajo orden.
En la Fig. 4.8 se puede notar, por ejemplo, una combinación entre los vectores de
espacio 24 (Largo) y 29 (Medio) que en el plano α–β tienen el mismo sentido mientras
que en el plano x–y son de sentido opuesto. La aplicación, por tanto, de uno u otro
puede minimizar el valor de tensión media aplicada a la máquina en el plano x–y, lo que
provocará una reducción en las corrientes en este plano y la correspondiente reducción
del flujo de estátor en el mismo plano. Lo mismo podemos decir de los vectores de
espaciales de tensión 29 (Medio) y 26 (Corto). Todos estos vectores de espaciales de
tensión se encuentran sobre la misma ĺınea, por lo que provocarán el similares efectos en
el control según el análisis realizado en la sección anterior, aunque a distintas tasas por
88
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
(a) (b)
Figura 4.8: Vectores espaciales de tensión en un inversor de cinco ramas y dos niveles. (a)
Vectores en el subespacio α–β. (b) Vectores subespacio x–y.
las magnitudes que poseen.
Para describir el comportamiento que tendrá la aplicación de los vectores de tensión
en el plano x–y, describamos el modelo en el espacio de estado de la máquina de cinco
fases en el plano x–y. Sea el vector de espacio [x] definido como:
[x] =
[
isx isy
]T
(4.38)
De esta manera, el modelo en el espacio de estado de la máquina en el plano x–y, es-
tará definido por:
d
dt
[x] = [A] · [x] + [B] · [u] (4.39)
siendo:
[u] =
[
vsx vsy
]T
(4.40)
[A] =
⎡
⎢⎣−
1
τls
− 1
τls
⎤
⎥⎦ (4.41)
89
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
[B] =
⎡
⎢⎣
1
Lls
1
Lls
⎤
⎥⎦ (4.42)
Discretizando el modelo en el espacio de estado, se obtiene el comportamiento obser-
vable del vector de espacial de estado según la siguiente ecuación:
[x(k + 1)] = [Φxy] · [x(k)] + [Γxy] · [u(k)] (4.43)
Siendo:
[Φxy] = e
[A]·Ts
[Γxy] =
∫ Ts
0
e[A]·τ · [B] · dτ = e[A]·Ts · [B] · Ts
(4.44)
Todas las matrices pueden ser obtenidas off–line de forma sencilla, por tratarse
de matrices diagonales. Su implementación en un controlador digital determinará el
comportamiento de la corriente en el plano x–y del sistema.
Como se mencionó que todos los vectores de tensión que se encuentran sobre la
misma linea generan el mismo impacto con diferentes magnitudes, un criterio para la
selección puede ser el comportamiento en el plano x–y para a evitar sobrecorrientes. Las
magnitudes de los vectores de espaciales de tensión se deben considerar como un criterio
para su aplicación en distintos rangos de velocidades, combinando en un caso los vectores
cortos y los medios y en otro caso los vectores medios y largos con el fin de minimizar las
componentes en el plano x–y.
4.2.3. Selección de vectores de tensión.
En el DTC clásico; se implementa un estimador de flujo y par cuyas salidas se
comparan con los valores de referencia. Con esas salidas se determinan los vectores
de tensión seleccionados empleando comparadores de dos niveles. Para el caso de la
90
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
máquina de cinco fases, por la disponibilidad de vectores de espaciales de tensión, se
puede aumentar el número de niveles de comparación del par y velocidad con el fin de
minimizar las corrientes en el plano x–y. El nivel de error de los comparadores será el
indicador que determine la tasa de cambio necesaria para el control.
El flujo de estátor se intenta mantener dentro de una banda de histéresis de magnitud
mı́nima. Para ello se propone un comparador de dos niveles que evalúa cuando la
magnitud del flujo es mayor o menor a la magnitud de referencia .
El par electromagnético también se mantiene dentro de una banda de histéresis ΔT .
En este caso, el control realiza una preselección de dos vectores espaciados en ĺınea de
tensión que pueden ser uno corto y uno medio o uno medio y uno largo, en función a que
se requiera una tasa de cambio pequeña o grande, respectivamente, en el flujo y el par
electromagnético. El primer grupo de vectores de tensión es de utilidad para disminuir el
rizado de par, por lo que será de mucha utilidad en el control del par. Para considerar
todas las posibles acciones de control se utiliza un comparador de 5 niveles de manera
que considera una banda de error cero, una banda de error pequeño, y otra banda de
error elevado en los dos sentidos posibles de giro de la máquina.
A bajas velocidades, el efecto de despreciar la cáıda de tensión en la resistencia
de estátor produce una cáıda apreciable del vector de flujo de estátor cuando éste se
encuentra posicionado en el ĺımite de algún sector [41]. Adicionalmente,se propone un
comparador de 3 niveles de velocidad que define la banda de baja velocidad, debido a que
a baja velocidad no se puede despreciar el efecto de la cáıda de tensión en la resistencia
de estátor. El umbral de baja velocidad se define como ωlow.
En la Fig. 4.9 se muestra el esquema de los comparadores propuestos para generar las
señales de error que servirán como criterio para la selección del vector de tensión adecuado
para cumplir con los requisitos del control. Las expresiones matemáticas que se verifican
91
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
(a) (b) (c)
Figura 4.9: Esquema de los comparadores propuestos para el control. (a) Comparador de 2
niveles propuesto para procesar la señal de error del flujo de estátor. (b) Comparador de 5
niveles propuesto para procesar la señal de error del par electromagnético. (c) Comparador
de 3 niveles para procesar la señal de error de la velocidad.
en los comparadores son las siguientes:
λ∗s > ‖�λs‖ dλ = 1
λ∗s ≤ ‖�λs‖ dλ = 0
T ∗e ≥ Te + ΔT2 dT = 2
Te +
ΔT
2
> T ∗e > Te +
ΔT
4
dT = 1
Te +
ΔT
4
≥ T ∗e ≥ Te − ΔT4 dT = 0
Te − ΔT2 < T ∗e < Te − ΔT4 dT = −1
T ∗e ≤ Te − ΔT2 dT = −2
ωm > ωlow dω = 1
ωlow ≥ ωm ≥ −ωlow dω = 0
ωm < −ωlow dω = −1
(4.45)
Siendo:
dλ: Salida del comparador de flujo.
dT : Salida del comparador de par.
dω: Salida del comparador de velocidad.
Para la selección del vector de tensión se necesitan dos procesos de selección. En
el primero, que se denomina preselección, se busca un grupo de vectores que mini-
92
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
Tabla 4.1: Agrupamiento de los vectores de tensión.
Grupo Vectores
VL1 2 20
VL2 4 24
VL3 3 8
VL4 7 16
VL5 5 15
VL6 13 31
VL7 9 29
VL8 25 30
VL9 17 26
VL10 18 28
Grupo Vectores
VS1 2 19
VS2 12 24
VS3 3 6
VS4 23 16
VS5 5 11
VS6 14 31
VS7 9 21
VS8 27 30
VS9 10 17
VS10 22 28
mizen los errores de flujo y par en la región de velocidad que se encuentre, basando
su búsqueda en la posición del vector espacial de flujo de estátor. En el segundo, la
selección final, basa su criterio en minimizar las componentes de corriente en el plano x–y.
En la Tabla 4.1, se muestra el agrupamiento de los vectores de tensión siguiendo las
caracteŕısticas descritas. Los vectores largos y medios alineados y con el mismo sentido
se designan como VLi, los medios y cortos VSi y el vector nulo V0.
Con la tabla de búsqueda se consigue seleccionar el grupo de vectores que puede
generar la salida de control deseada. Este grupo es evaluado por el observador de
corriente en el plano x–y, donde finalmente se aplica el vector de tensión que minimiza
la componente de corriente en dicho plano. En la Tabla 4.2 se resume la selección de
los grupos de vectores de tensión en el intervalo de velocidad (ωlow ≥ ωm ≥ −ωlow), en
la Tabla 4.3 se muestra la selección para el intervalo de velocidad (ωm > ωlow), y en la
Tabla 4.4 se puede observar la regla de selección en el intervalo de velocidad (ωm < −ωlow).
93
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
Tabla 4.2: Tabla de búsqueda (dω = 0).
dλ dT
Sector
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
+2 VL2 VL3 VL4 VL5 VL6 VL7 VL8 VL9 VL10 VL1
+1 VS2 VS3 VS4 VS5 VS6 VS7 VS8 VS9 VS10 VS1
0 V0
−1 VS10 VS1 VS2 VS3 VS4 VS5 VS6 VS7 VS8 VS9
−2 VL10 VL1 VL2 VL3 VL4 VL5 VL6 VL7 VL8 VL9
0
+2 VL5 VL6 VL7 VL8 VL9 VL10 VL1 VL2 VL3 VL4
+1 VS5 VS6 VS7 VS8 VS9 VS10 VS1 VS2 VS3 VS4
0 V0
−1 VS9 VS10 VS1 VS2 VS3 VS4 VS5 VS6 VS7 VS8
−2 VL9 VL10 VL1 VL2 VL3 VL4 VL5 VL6 VL7 VL8
Tabla 4.3: Tabla de búsqueda (dω = 1).
dλ dT
Sector
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
+2 VL3 VL4 VL5 VL6 VL7 VL8 VL9 VL10 VL1 VL2
+1 VS3 VS4 VS5 VS6 VS7 VS8 VS9 VS10 VS1 VS2
0 V0
−1 VS10 VS1 VS2 VS3 VS4 VS5 VS6 VS7 VS8 VS9
−2 VL10 VL1 VL2 VL3 VL4 VL5 VL6 VL7 VL8 VL9
0
+2 VL4 VL5 VL6 VL7 VL8 VL9 VL10 VL1 VL2 VL3
+1 VS4 VS5 VS6 VS7 VS8 VS9 VS10 VS1 VS2 VS3
0 V0
−1 VS9 VS10 VS1 VS2 VS3 VS4 VS5 VS6 VS7 VS8
−2 VL9 VL10 VL1 VL2 VL3 VL4 VL5 VL6 VL7 VL8
94
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
Tabla 4.4: Tabla de búsqueda (dω = −1).
dλ dT
Sector
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
+2 VL2 VL3 VL4 VL5 VL6 VL7 VL8 VL9 VL10 VL1
+1 VS2 VS3 VS4 VS5 VS6 VS7 VS8 VS9 VS10 VS1
0 V0
−1 VS9 VS10 VS1 VS2 VS3 VS4 VS5 VS6 VS7 VS8
−2 VL9 VL10 VL1 VL2 VL3 VL4 VL5 VL6 VL7 VL8
0
+2 VL5 VL6 VL7 VL8 VL9 VL10 VL1 VL2 VL3 VL4
+1 VS5 VS6 VS7 VS8 VS9 VS10 VS1 VS2 VS3 VS4
0 V0
−1 VS8 VS9 VS10 VS1 VS2 VS3 VS4 VS5 VS6 VS7
−2 VL8 VL9 VL10 VL1 VL2 VL3 VL4 VL5 VL6 VL7
Figura 4.10: Esquema de control DTC propuesto para una máquina de inducción de cinco
fases.
95
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
El esquema de control DTC para una máquina de inducción de cinco fases se detalla
en la Fig. 4.10. La selección del estado de conmutación del inversor se realiza en las dos
etapas desarrolladas con el fin de minimizar las componentes de corriente en el plano
x–y, condición adicional para implementar el DTC en las máquinas multifásicas. En la
primera etapa se selecciona el grupo de vectores, dos por grupo para esta aplicación.
Para ello se utiliza la tabla de búsqueda a partir de las salidas de los comparadores
alimentados con las señales de error de flujo y par, además de seleccionar un intervalo de
baja velocidad que permite minimizar la influencia de la cáıda de tensión en la resistencia
de estátor.
4.3. Control predictivo de par
El control predictivo es una estrategia que se ha aplicado recientemente a una
amplia variedad de convertidores de potencia [42], al presentar varias ventajas que lo
hacen competitivo para esta aplicación. Entre estas ventajas podemos citar que los
conceptos son intuitivos y fáciles de interpretar, por lo que puede aplicarse fácilmente
toda restricción y no linealidad, permitiendo la implementación simple del control.
Por contra, para conseguir la implementación del control predictivo se requiere
una gran potencia de cálculo dado que necesita de una elevada carga computacional
comparado con los esquemas de control tradicional. Esta desventaja puede soslayarse
hoy en d́ıa con el desarrollo de los DSP y las FPGA, que permiten disponer de medios
de implementación del control con elevada velocidad de procesamiento.
La estrategia de control predictivo se basa principalmente en el uso de un modelo del
sistema, modelo de predicción, que permite estimar el comportamiento de las variables
a controlar. La calidad del control estará dada por la precisión del modelo puesto que
las estimaciones son utilizadas por el controlador con el fin de obtener una operación
deseada, a partir de unos criterios de optimización prestablecidos.
96
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
Las técnicas de optimización se clasifican según el criterio utilizado para la determi-
nación de la salida óptima. Entre las técnicas de control predictivo se pueden citar las
basada en histéresis, trayectoria y deadbeat. Una de las técnicas más flexibles consiste
en el modelo predictivo de control (MPC), que se basa en minimizar una función de
coste.El control predictivo se ha aplicando recientemente en convertidores multifásicos, y
en la regulación de la corriente, aunque sólo en máquinas asimétricas de doble devanado
trifásico [43]–[46] y cargas estáticas de cinco fases [47]. En este trabajo se extenderá el
control predictivo a la regulación de par, definiendo una estrategia de control de velocidad
de máquinas multifásicas de cinco fases que denominaremos control predictivo de par
(PTC por sus siglas en inglés).
4.3.1. Principios Generales del PTC
Los sistemas controlados por un modulador de enerǵıa con un número finito de estados
son aquellos en los que la salida de un controlador continuo es traducida en una secuencia
finita de estados generados por un convertidor y utilizando un algoritmo que controla
los estados de conmutación del convertidor. Este es el caso de las máquinas de AC,
alimentadas por un VSI, que puede modelarse como una ganancia que consiste en una
transformación lineal del estado de conmutación.En aplicaciones en las que se requiere
una respuesta rápida de par, esto implica un control de corriente de elevado desem-
peño. Entre las principales ventajas que la estrategia de control PTC ofrece, destacan
la flexibilidad con la que las restricciones y no linealidades pueden ser implementa-
das, y la facilidad la facilidad de cambiar el número y las variables de interés en el control.
El PTC utiliza un modelo que combina el VSI y la máquina para definir las acciones
de control que deben ser aplicadas. Este modelo se utiliza cada periodo de muestreo con
el fin de evaluar el el vector de estado al que llegaŕıa el sistema para cada estado del VSI.
Las acciones de control son definidas resolviendo un problema de optimización orientada
a minimizar una función de coste J , que define el criterio de control. Por lo tanto,
diferentes funciones de coste pueden ser utilizadas para implementar distintos criterios
97
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
de control, lo cual justifica la flexibilidad en el criterio de control de este esquema. Por
ejemplo, consideremos la distancia euclidiana entre el flujo de referencia λ∗s y el flujo de
estátor estimado por medio del modelo predictivo λpreds , aśı como la distancia entre el par
de referencia T ∗e y el par estimado T
pred
e para la propulsión de la máquina como variables
de control de la velocidad. La función de coste que se asocia a este criterio de control se
muestra en la ecuación (4.46).
J =
(T ∗e − T prede [k + 1])2
T 2n
+
(|λ∗s| − |λpreds [k + 1]|)2
λ2sn
(4.46)
donde Tn y λsn son los pesos asignados a cada una de las distancias del par y flujo,
respectivamente, consideradas en la función de coste en el intervalo de control de
velocidad. El supeŕındice pred hace referencia a los valores estimados a partir del modelo
predictivo. Si los pesos son iguales a los valores nominales de cada variable de la máquina,
el error de flujo y par tendrán el mismo peso ponderado en el criterio de control. En
la función de coste pueden ser incluidos otros términos, que adicionan nuevos criterios
de control, como pueden ser la pérdidas por conmutación, el balanceo de las tensio-
nes del DC–Link, el control de la corriente o la minimización de los armónicos de corriente.
El par de referencia T ∗e es actualizado en cada periodo de muestro por un controlador
PI. El módulo del flujo de estátor de referencia es mantenido constante si el rango de
operación es inferior a la velocidad nominal de la máquina, único caso considerado en
este trabajo.
Un esquema básico del control predictivo aplicado a las máquinas de cinco fases se
mouestra en la Fig. 4.11. En la misma, ω∗m es la velocidad mecánica de referencia, ωm
es la velocidad mecánica medida, is es la corriente de estátor medida, Te[k + 1] es el par
electromagnético estimado por medio del modelo predictivo, λs[k+1] es el flujo de estátor
estimado y Si[k + 1] representa en el estado de conmutación del VSI que será aplicado
durante el próximo periodo de muestreo. El algoritmo de control puede ser resumido
según:
98
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
Figura 4.11: Esquema de control PTC propuesto para una máquina de inducción de cinco
fases.
Repetir para cada periodo de muestreo
• Lectura de is y ωm
Repetir para cada estado del VSI
• Estimar Te y λs → Evaluar J
• Seleccionar el estado con el mı́nimo valor de J (smin)
fin Repetir
• Aplicar el estado smin seleccionado (siguiente periodo de muestreo)
fin Repetir
4.3.2. Modelo Predictivo de Control
El modelo predictivo de la máquina está basado en el modelo en el espacio de estados
obtenido en la sección 3.3.1.4, representado por la ecuaciones (3.111)–(4.51) y referido a
un marco de referencia estático α–β–x–y. Si el modelo en el espacio de estado está definido
99
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
por:
d
dt
[x] = [A] · [x] + [B] · [u]
[y] = [C] · [x]
(4.47)
siendo
[x] =
[
isα isβ isx isy λrα λrβ
]T
[u] =
[
vsα vsβ vsx vsy
]T
[y] =
[
isα isβ λsα λsβ
]T (4.48)
y las matrices [A], [B] y [C] están dadas por:
[A] =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
A11 0 0 0
(1− σ)
σ ·M · τr
(1− σ)
σ ·M · ωr
0 A22 0 0 −(1− σ)
σ ·M · ωr
(1− σ)
σ ·M · τr
0 0 − 1
τls
0 0 0
0 0 0 − 1
τls
0 0
M
τr
0 0 0 − 1
τr
−ωr
0
M
τr
0 0 ωr − 1
τr
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
(4.49)
donde A11 = A22 = −
(
1
σ · τs −
(1− σ)
σ · τr
)
.
[B] =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1
σ · Ls 0 0 0
0
1
σ · Ls 0 0
0 0
1
Lls
0
0 0 0
1
Lls
0 0 0 0
0 0 0 0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
(4.50)
[C] =
⎡
⎣σ · Ls 0 0 0 kr 0
0 σ · Ls 0 0 0 kr
⎤
⎦ (4.51)
Para implementar en un controlador digital y obtener el modelo predictivo, se discre-
tiza el modelo en el espacio de estado con un periodo de muestreo Ts y un mantenerdor
100
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
de orden cero, asumiendo las matrices constantes durante todo el periodo de muestreo
[48]. El modelo discreto en el espacio de estado viene definido por:
x[k + 1] = [Φ] · x[k] + [Γ] · u[k] (4.52)
y[k + 1] = [C] · x[k + 1] (4.53)
donde [Φ] = e[A]·Ts y [Γ] =
∫ Ts
0
e[A]·τ · [B] · dτ .
La matriz [A] depende del valor instantáneo de ωm, por lo que el modelo discreto es un
variante en el tiempo. Sin embargo, la dinámica de la velocidad mecánica es mucho más
lenta que la de las variables eléctricas, por lo que podemos considerarla como constante a
lo largo del periodo de muestreo y actualizarla al inicio de cada periodo para obtener las
matrices [Φ] y [Γ] a ser empleadas en ese periodo de muestreo. Con el fin de simplificar
la implementación del modelo en el controlador digital, varios cálculos pueden realizarse
off–line. Una simplificación puede obtenerse dividiendo la matriz [A] en una componente
constante y otra que debe ser actualizada con la velocidad en cada periodo de muestreo.
La matriz [A] se expresaŕıa como sigue:
[A] = [Ac] + [Aω] (4.54)
siendo [Ac] la matriz con todos sus términos constantes y la matriz [Aω] la matriz con
términos dependientes de la velocidad ωr. De forma que la matriz [Φ] estará dada por el
producto:
[Φ] = e([Ac]+[Aω ])·Ts = e[Ac]·Ts · e[Aω ]·Ts (4.55)
Aśı pues, la matriz e[Ac]·Ts puede obtenerse off–line, mientras que la matriz e[Aω ]·Ts debe
ser actualizada cada periodo de muestreo. Aplicando el teorema de Cayley–Hamilton, esta
101
Caṕıtulo 4. Control de Par y Flujo
última matriz queda definida como sigue [48]:
eAω ·Ts=
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 0 0
M(1− cos(ωr · Ts))
σ · Ls · Lr
M sin(ωr · Ts)
σ · Ls · Lr
0 1 0 0 −M sin(ωr · Ts)
σ · Ls · Lr
M(1− cos(ωr · Ts))
σ · Ls · Lr
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 cos(ωr · Ts) − sin(ωr · Ts)
0 0 0 0 sin(ωr · Ts) cos(ωr · Ts)
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
(4.56)
La matriz [Γ] puede evaluarse off–line según:
[Γ] = e[Ac]·Ts · [B] · Ts (4.57)
Finalmente, el comportamiento del flujo y corrientes de estátor pueden obtenerse
mediante el modelo predictivo de control definido por las ecuaciones (4.52)–(4.57), para
aplicarse en la estrategia de control PTC. Esta estrategia de control podŕıa extenderse
a máquinas con un mayor número de fases [49], lo que conlleva con un mayor coste
computacional debido al incremento en el número de vectores de espacio de tensión
disponibles.
102