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Tema 4
Resolución de ecuaciones. El método
de Newton
4.1 Introducción
La resolución de ecuaciones es un importante problema de Matemáticas del que nos ocu-
pamos en este tema. El estudiante conoce ya algunos resultados sobre esta cuestión. Por
ejemplo, ha estudiado las ecuaciones algebraicas de primer y segundo grado que sabe
resolver porque hay fórmulas que dan las soluciones de la ecuación (eventualmente, una
sola); sabe que hay ecuaciones que pueden no tener ninguna solución real. Ha aprendido
también a obtener las soluciones enteras de una ecuación algebraica de cualquier grado
mediante la regla de Ruffini. En los programas de Enseñanza Media además se estu-
dian algunas ecuaciones no algebraicas, por ejemplo, algunas ecuaciones exponenciales,
logaŕıtmicas o trigonométricas.
Las soluciones de una ecuación tienen algunos nombres que conviene conocer
Definición 4.1 Sea f : S ⊂ R −→ R. Se dice que α es un cero o una ráız de f(x) si
f(α) = 0.
Es importante tener en consideración que, desde el punto de vista geométrico, resolver
la ecuación f(x) = 0 es hallar las abscisas de los puntos de corte de la gráfica de la función
y = f(x) con el eje y = 0. Como la determinación de la solución exacta no es posible en
general, se intentan hallar aproximaciones de la ráız y determinar una cota del error que
se ha cometido.
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El problema de resolver una ecuación se divide en los dos problemas siguientes:
1. Separar las ráıces, es decir, encontrar intervalos en los que haya un solo cero de la
función. Ello supone encontrar intervalos en los que haya al menos una solución
(mediante el Teorema de Bolzano) y asegurar que en dichos intervalos hay como
máximo una solución (asegurando que la función es estrictamente monótona en
ellos).
2. Aproximar las ráıces. Hay multitud de procedimientos para ello; nosotros estudiare-
mos uno de los más útiles y eficientes, el método de Newton. En cualquier método
de aproximación es indispensable conocer cotas del error que se comete.
4.2 El método de Newton
Supongamos que pretendemos resolver la ecuación f(x) = 0 y que hemos separado las
ráıces, de modo que en el intervalo [a, b] hay un solo cero de la ecuación, que denotamos
por α. Asumimos que la función y = f(x) admite derivadas hasta de segundo orden
en [a, b] y que la derivada primera no se anula en dicho intervalo porque la función es
estrictamente monótona.
El método de Newton consiste en:
• Se escoge (luego indicaremos el criterio para escoger)
x0 = a, o x0 = b
• Se calculan
xn+1 = xn − f(xn)
f ′(xn)
, n ≥ 0
Se genera aśı una sucesión {xn} que converge en muchas ocasiones a α. La inter-
pretación geométrica del método es que, conocido xn, se tiene que xn+1 es la abscisa del
punto de corte de la tangente a y = f(x) en (xn, f(xn)) con el eje y = 0.
En lo concerniente a la elección del punto inicial tenemos la siguiente regla que nos
dice cómo hacerlo para que el método converja, es decir para que xn → α.
Teorema 4.2 (Regla de Fourier) Sea f : [a, b] −→ R continua y dos veces continuamente
diferenciable en [a, b] y tal que verifica
3
1. f(a)f(b) < 0
2. f ′(x) 6= 0, ∀x ∈ [a, b]
3. f ′′(x) 6= 0, ∀x ∈ [a, b]
Entonces, el método de Newton converge si tomamos x0 = a o x0 = b de tal forma que
f(x0)f
′′(x0) > 0.
El método de Newton es muy eficiente en el sentido que, cuando converge, en cada
iteración se dobla el número de cifras exactas que tiene la aproximación. La cota de error
viene dado por el siguiente resultado
Teorema 4.3 Supongamos las hipótesis de la regla de Fourier y que se escoge el punto ini-
cial según ese criterio. Entonces, una cota del error cometido en la n-sima iteración,|En| =
|xn − α|, viene dada por
|En| ≤ M2
2m1
(xn − xn−1)2
siendo M2 = max
x∈[a,b]
|f ′′(x)| y m1 = min
x∈[a,b]
|f ′(x)|.
Ejemplo 4.4 Consideremos la ecuación x5 + 5x + 1 = 0. Es claro que esta ecuación
tiene al menos una solución, porque la función f(x) = x5 + 5x + 1 es continua en R y
limx→−∞ = −∞ y limx→+∞ = +∞. Además, ya que f ′(x) = 5x4 + 1 > 0, sólo puede
tener como máximo una solución.
Tomando una tabla de valores, puede comprobarse que



f continua en [−1,−0.1]
f(−1) < 0, f(−0.1) > 0
f ′(x) > 0, ∀x ∈ [−1,−0.1]
f ′′(x) = 20x3 < 0, ∀x ∈ [−1,−0.1]
El Teorema de Bolzano y la monotońıa aseguran que la ecuación tiene una única solución,
α, en [−1,−0.1]. Y por la regla de Fourier, el método de Newton
(MN)



x0 = −1
xn+1 = xn − f(xn)
f ′(xn)
, n ≥ 0
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converge. Vamos a calcular las tres primeras iteraciones
xn+1 = xn − x
5
n + 5xn + 1
5x4n + 5
=
4x5n − 1
5x4n + 5



x0 = −1
x1 = − 510 = −0.5
x2 = −0.2117647
x3 = −0.2000047
Para conocer la cota del error cometido al tomar como solución de la ecuación el valor
x3, se denota
M2 = max
x∈[−1,−0.1]
|f ′′(x)| = max
x∈[−1,−0.1]
|20x3| = 20
m1 = min
x∈[−1,−0.1]
|f ′(x)| = min
x∈[−1,−0.1]
|5x4 + 5| = 5.005
y se cumple que
|x3 − α| = M2
2m1
(x3 − x2)2 = 20
5.005
(−0.2000047 + 0.2117647)2 < 0.0006
Ello significa que −0.2006 < α < −0.1994.