Apuntes Tema 3

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Universidad de Huelva 
ESCUELA POLITECNICA SUPERIOR 
Departamento de Ingeniería Minera, Mecánica y 
Energética 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Asignatura: Ingeniería de Máquinas [570004027] 
5º curso de Ingenieros Industriales 
 
 
 
 
 
3º Tema.- Síntesis de mecanismos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Huelva, Sep. 2007 
 
Profesor: Rafael Sánchez Sánchez 
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 ÍNDICE 
 
 
 
1. INTRODUCCIÓN A LA SÍNTESIS. 
 
2. CLASIFICACIÓN DE PROBLEMAS EN LA SÍNTESIS 
 CINEMÁTICA. 
 
 2.1. Generación de funciones. 
 2.1.1. Diseño gráfico. 
 2.1.2. Diseño analítico. 
 2.1.3. Espaciamiento de los puntos de exactitud. 
 
 2.2. Generación de trayectorias. 
 2.2.1. Diseño gráfico. 
 2.2.2. Diseño analítico. 
 
 2.3. Guía de cuerpos. 
 2.3.1. Diseño gráfico. 
 2.3.2. Diseño analítico. 
 
3. NOCIONES SOBRE TÉCNICAS DE OPTIMIZACIÓN EN 
 LA SÍNTESIS DE MECANISMOS. 
 
4. CONSIDERACIONES PRÁCTICAS EN LA SÍNTESIS DE 
 MECANISMOS. 
 
 4.1. Defectos de ramificación. 
 4.2. Defectos de orden. 
 4.3. Defecto de Grashof 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
 
 
 
 
1. Introducción a la síntesis. 
 
El estudio que hemos realizado de los mecanismos hasta este 
momento, ha consistido, en dadas las dimensiones y forma del 
mismo, en analizar su movimiento. 
 
Sin embargo, un problema totalmente diferente, es el de a partir 
de un movimiento requerido, tratar de determinar la forma y 
proporciones de un mecanismo, que produzca dicho movimiento. 
Este estudio, es lo que conocemos como “Síntesis de 
Mecanismos”. 
 
Podemos definir la síntesis o diseño, “como el proceso creativo 
mediante el cual es posible generar un mecanismo capaz de 
satisfacer una necesidad, cumpliendo las restricciones impuestas 
por el problema”. 
 
La síntesis de mecanismos, podemos dividirla en tres aspectos: 
 
a) El tipo de mecanismos que debemos utilizar 
(síntesis de tipo). 
b) El número de eslabones y pares necesarios para 
producir el movimiento requerido (síntesis de 
número). 
c) Las proporciones y longitudes de los eslabones 
necesarios (síntesis dimensional). 
 
Para las dos primeras existe muy poca teoría disponible, y para 
ellas el ingeniero de diseño debe confiar en su intuición y 
experiencia. Por el contrario, para la síntesis dimensional, se 
cuenta con un amplio desarrollo teórico que nos permite resolver 
muchos problema de diseño de mecanismos. 
 
En síntesis debemos tener siempre muy presente la exactitud. El 
diseñador debe en muchos casos darse por satisfecho, con una 
aproximación al movimiento deseado. La diferencia entre el 
movimiento deseado y el movimiento real se conoce como error 
estructural. 
 
 2
2. Clasificación de problemas en la síntesis cinemática. 
 
La experiencia demuestra que los problemas que nos podemos 
encontrar en la síntesis cinemática, los podemos clasificar en tres 
categorías: 
 
• La generación de funciones. 
• La generación de trayectorias. 
• La guía de cuerpos. 
 
 
2.1. Generación de funciones: 
 
Podemos definirla como: aquella parte de la síntesis, que estudia 
el establecimiento de relaciones entre las posiciones del eslabón 
de salida de un mecanismo y su eslabón de entrada. 
 
Si nos centramos en el mecanismo de cuatro barras, el problema 
consiste en hallar las dimensiones del mecanismo de eslabones 
articulados requerido para producir una relación funcional 
específica entre el ángulo de entrada φ y de salida ψ. 
 
 
2.1.1. Diseño gráfico: 
 
Existen muchos métodos gráficos desarrollados, para la 
síntesis de mecanismos. El que vamos a utilizar se basa en 
las propiedades del polo del movimiento plano (punto de 
corte de las mediatices de dos segmentos que unen los 
mismos puntos del eslabón, entre dos posiciones del 
mismo). 
 
Vamos a ver como obtenemos el mecanismo de cuatro 
barras que cumpla la condición de que a un giro φ12 
determinado al eslabón de entrada, le corresponda un giro 
ψ12 del eslabón de salida. 
 
Seguiremos los siguientes pasos: 
 
1. Tomamos un punto cualquiera que hará las 
 funciones de polo P12. A través de él trazamos una 
 recta LA y fijamos un punto O2 dentro de ella. 
 3
2. Elegiremos un valor “a” para el eslabón 2 de 
entrada, y tomando el punto O2 como origen, se 
trazarán las posiciones A1 y A2 simétricas con 
respecto a LA, con la condición de que el ángulo 
formado por A1O2A2 tenga el valor φ12 especificado. 
3. Se unen los puntos A1 y A2 con P12 de manera que se 
forme el ángulo A1P12A2. 
4. Tomando P12 como origen, se traza otra línea 
arbitraria LB, sobre la que se toma otro punto que 
denominaremos O4. 
5. Tomando como origen P12 trazaremos dos líneas 
simétricas a L4 con la condición de que el ángulo que 
formen sea igual a A1P12A2. 
6. Tomando como origen O4 trazaremos dos líneas con 
la condición de que el ángulo que formen se igual a 
ψ12, y que LB sea su bisectriz. 
7. Los puntos de corte de estas últimas cuatro líneas, 
nos determinan los puntos B1 y B2. 
8. El mecanismo de cuatro barras sintetizado, estará 
formado por los puntos O2A1B1O4, cuando esté en su 
posición (1) y por O2A2B2O4 cuando esté en su 
posición (2). 
 
 
 
 
 
 
 4
 
2.1.2. Diseño analítico: 
 
Para aplicar este método de síntesis, recurriremos a la 
misma figura que utilizamos en el análisis, y a su ecuación 
vectorial de cierre: 
 
 
 
 
 r1 + r4 – r2 – r3 = 0 
 
Que proyectando sobre los ejes cartesianos tendremos: 
 
 r2 · cosφ + r3 · cosθ – r1 – r4 · cosψ = 0 
 r2 · senφ + r3 · senθ – r4 · senψ = 0 
 
Para sacar la relación específica entre el ángulo de entrada 
(φ) y el de salida (ψ), debemos operar en el sistema de dos 
ecuaciones anterior, a fin de llegar a la expresión de: 
ψ = f(φ). 
 
 r3 · cosθ = r1 + r4 · cosψ – r2 · cosφ 
 r3 · senθ = r4 · senψ – r2 · senφ 
 
Elevando ambas ecuaciones al cuadrado, y sumándolas, 
tendremos que: 
 
r32 = r12 + r42 + r22 - 2 · r2 · r4 · (cosψ · cos φ + 
 + senψ · senφ) + 2 · r1 · (r4 cosψ - r2 cosφ) [1] 
 5
 
Recordando que en trigonometría: 
 
 cos(ψ- φ) = cosψ · cos φ + senψ · senφ 
 
Podemos expresar [1] como: 
 
r32 = r12 + r42 + r22 - 2r2r4 · cos(ψ – φ) + 2r1r4 cosψ – 
 – 2r1r2 cosφ [2] 
 
Si llamamos ahora a: 
 
R1 = r1/r2 ; R2 = r1/r4 ; R3 = [r12+r42+r22- r32] / 2r2r4
 
Podremos expresar [2] como: 
 
 
 [3] R1 cosψ – R2 cosφ + R3 = cos(ψ – φ) 
 
Que es conocida por ecuación de Freudeinstein. 
 
Si tenemos por ejemplo tres parejas de puntos de precisión 
de las posiciones de los eslabones, o lo que es lo mismo de 
la función que queremos que cumpla mi mecanismo: 
(ψ1, φ1), (ψ2, φ2), (ψ3, φ3), sustituyendo sus valores en [3], 
obtendré: 
 
 
 R1 cosψ1 – R2 cosφ1 + R3 = cos(ψ1 – φ1) 
 R1 cosψ2 – R2 cosφ2 + R3 = cos(ψ2 – φ2) 
 R1 cosψ3 – R2 cosφ3 + R3 = cos(ψ3 – φ3) 
 
 
Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que me 
permite calcular R1 R2 R3 y con ellas los valores de: r2 r3 r4, 
adoptando previamente un valor arbitrario de r1,que 
únicamente me condicionará el tamaño del mecanismo, 
pero no la proporción entre sus eslabones. 
 
Si utilizásemos cuatro puntos de precisión, en vez de 
utilizar [3], utilizaríamos [2] y podríamos calcular 
directamente r1 r2 r3 r4. 
 
 6
 
2.1.3. Espaciamiento de los puntos de exactitud: 
 
Al diseñar un mecanismo para generar una función 
particular, generalmente es imposible producir con 
exactitud la función deseada en más de unos cuantos 
puntos. Estos puntos se conocen como puntos de exactitud, 
o puntos de precisión, y se deben localizarde tal forma, 
que se minimice el error entre la función generada y la 
función deseada. 
 
 Si definimos el error estructural como: 
 
 ε = f(x) – g(x) 
 
donde: 
f(x): es la función deseada 
g(x): es la función generada 
 
 
 
En la figura anterior, podemos ver la gráfica de la 
variación en el error estructural de la función generada, en 
un intervalo 2h, estando el centro del intervalo en un punto 
x = a, siendo el error igual a 0 en los puntos a1,a2,a3 que 
serían los puntos de exactitud. 
 
En ella se puede apreciar que el error máximo ε1 al pasar 
de a1 a a2 es menor que ε2 al pasar de a2 a a3. De ella se 
puede despender también, que el error estructural total se 
minimiza cuando estos dos errores se hicieran iguales. 
 
 7
 
Pues bien, mediante la teoría desarrollada por Chebyshev, 
es posible localizar unos puntos a1, a2, a3, de manera que ε1 
sea aproximadamente igual a ε2. 
 
El procedimiento es, según la siguiente figura: 
 
 
 
 
 
El método de Chebyshev para hallar tres puntos de 
exactitud tiene los siguientes pasos: 
 
 
• Se dibuja un semicírculo en el eje x con radio “h” y 
centro en el punto “a”. 
• Luego se inscribe un polígono regular, de manera 
que dos de sus lados sean perpendiculares al eje x. 
• Pues bien las líneas que se trazan perpendiculares al 
eje x desde los vertices del polígono determinan los 
puntos de exactitud: a1, a2, a3. 
 
 
En la siguiente figura, podemos ver gráficamente el 
método para hallar tres puntos de exactitud: 
 
 8
 
 
 
Y para conseguir cuatro puntos de exactitud: 
 
 
 
 
 
Puede apreciarse que en el caso de cuatro puntos de 
exactitud, el polígono es un octágono, mientras que para 
tres puntos era un hexágono, es decir que el número de 
lados del polígono inscrito, es doble del número de puntos 
de exactitud a deseados. 
 
 
 
 9
 
2.2. Generación de trayectorias: 
 
En este apartado, estudiaremos la correspondencia entre la 
trayectoria seguida por un punto de un eslabón (generalmente el 
punto trazador “P” del acoplador) del mecanismo, y el 
movimiento del eslabón de entrada. Las curvas que describen el 
punto P se denominan curvas de acoplador. 
 
2.2.1. Diseño gráfico: 
 
Vamos a estudiar el mecanismo de cuatro barras, para los 
casos de dos y tres posiciones del eslabón acoplador. 
 
 2.2.1.1. Síntesis para dos posiciones del 
 eslabón acoplador: 
 
 
El método esta basado en las propiedades del 
polo, y seguiremos los siguientes pasos: 
 
 
1. Supongamos que las dos posiciones del 
eslabón acoplador AB son (A1,B1),(A2,B2). 
2. Se unen los puntos A1, A2 mediante un 
segmento, y se le traza su mediatriz Ma. 
3. Hacemos lo mismo con B1,B2, y trazamos la 
mediatriz Mb. 
4. El punto de corte de ambas será, como ya 
sabemos el polo P12. 
5. Tomando un punto cualquiera de Ma, 
tendremos O2, y uno cualquiera de Mb, será 
O4. Ya que podemos pasar de A1 a la A2 
mediante un giro en O2, y de B1 a B2 
mediante un giro en O4. 
6. De esta manera obtendremos el mecanismo 
 O2A1B1O4 u O2A2B2O4 como se muestra 
 en la siguiente figura: 
 
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2.2.1.2. Síntesis para tres posiciones del 
 eslabón acoplador: 
 
En este caso el eslabón acoplador ha de pasar por 
tres puntos. Para ello, procederemos de la 
siguiente forma: 
 
1. Supongamos que las tres posiciones del eslabón 
acoplador AB son (A1,B1),(A2,B2),(A3,B3). 
2. Se unen A1, A2 y A2, A3 mediante segmentos, 
 trazando las mediatrices Ma1 y Ma2. 
3. El punto de corte determina O2. 
4. Hacemos lo mismo que con B1,B2,B3 y 
 obtendremos Mb1 y Mb2. 
5. El punto de corte nos determina O4. 
6. Obtendremos con todo ello el mecanismo 
 O2A1B1O4 u O2A2B2O4 u O2A3B3O4, tal 
 como se muestra en la siguiente figura. 
 
 
 11
 
 
 
2.2.2. Diseño analítico: 
 
Utilizaremos un método basado en los números complejos, 
conocidos tres puntos P1,P2 y P3 del eslabón acoplador. 
 
Veamos la siguiente figura: 
 
 
 
 12
Las ecuaciones vectoriales de cierre que determinan el 
punto P del acoplador planteándolas por la derecha y por 
la izquierda serán: 
 
 r1 = z1 + a + g 
 r1 = z1 + d + b + f 
 
Si la primera de ellas la particularizamos para los puntos 
P1 y P2, y las expresamos en notación compleja, tendremos: 
 
r1 = z1eiα1 + aeiφ1 + geiθ1
 r2 = z1eiα1 + aeiφ2 + geiθ2
 
De ellas el vector desplazamiento lo obtendremos restando 
las anteriores expresiones: 
 
 δ12 = r2 - r1 = a(eiφ2 - eiφ1) + g(eiθ2 - eiθ1) 
 
Si operamos, y tenemos en cuenta que: 
 
 φ12 = φ2 – φ1 ; θ12 = θ2 – θ1 
 
δ12 = aeiφ1 (eiφ2/ eiφ1 - 1) + geiθ1(eiθ2 / eiθ1 - 1) = 
 
 = a(eiφ12 - 1) + g(eiθ12 – 1) [4] 
 
Si igualmente, particularizamos ahora para los puntos P1 y 
P3, igualmente calcularíamos δ13
 
 δ13 = a(eiφ13 - 1) + g(eiθ13 – 1) [5] 
 
Con [4] y [5] puedo despejar: a y g 
 
 
 │δ12 eiθ12 -1│ │eiφ12 -1 δ12│ 
 │δ13 eiθ13 -1│ │eiφ13 -1 δ13│ 
a = ---------------------- ; g = ---------------------- 
 │eiφ12 -1 eiθ12 -1│ │eiφ12 -1 eiθ12 -1│ 
 │eiφ13 -1 eiθ13 -1│ │eiφ13 -1 eiθ13 -1│ 
 
 
Si hacemos lo mismo con la segunda ecuación de cierre: 
 
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 r1 = z1eiα1 + deiβ1 + beiψ1 + feiθ1
 r2 = z1eiα1 + deiβ1 + beiψ2 + feiθ2
 
Restándole a la segunda la primera, obtendré el vector 
desplazamiento δ12 => 
 
 δ12 = r2 - r1 = b(eiψ2 - eiψ1) + f(eiθ2 - eiθ1), 
 
 Si operamos, y tenemos en cuenta que: 
 
 ψ12 = ψ2 – ψ1 
 y que: 
 θ12 = θ2 – θ1 tendremos: 
 
 δ12 = b(eiψ12 - 1) + f(eiθ12 - 1) [6] 
 
 Si igualmente, particularizamos ahora para los puntos 
P1 y P3, de la misma forma calcularíamos δ13
 
 δ13 = b(eiψ13 - 1) + f(eiθ12 - 1) [7] 
 
 De [6] y [7] despejo b y f 
 
 
 │δ12 eiθ12 -1│ │eiψ12 -1 δ12│ 
 │δ13 eiθ13 -1│ │eiψ13 -1 δ13│ 
b = ---------------------- ; f = ---------------------- 
 │eiψ12 -1 eiθ12 -1│ │eiψ12 -1 eiθ12 -1│ 
 │eiψ13 -1 eiθ13 -1│ │eiψ13 -1 eiθ13 -1│ 
 
 
Para calcular el valor de d y Z1 sustituiremos los valores 
calculados de: a,b,g,f en las ecuaciones de cierre, y de ellas 
calcularemos d y Z1 y con todos ellos tendremos definido 
todo el mecanismo. 
 
 
2.3. Guía de cuerpos: 
 
El problema a resolver en lo que denominamos “guía de 
cuerpos” es la necesidad de obtener un movimiento donde se 
precisa no solo la posición de un punto determinado sino además 
la orientación angular de éste. Es decir para alcanzar el 
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movimiento deseado, éste debe estar compuesto de: una rotación 
+ una traslación. Por tanto podemos intuir fácilmente que los 
eslabones 2 y 4 del típico mecanismo de cuatro barras, no son 
aptos para resolver este problema, ya que su movimiento es de 
rotación pura. 
 
Por el contrario el eslabón 3 (acoplador), al tener movimiento 
tanto de rotación como de traslación, podría utilizarse para este 
fin. 
 
 
 
 
En la anterior figura, se muestra un típico ejemplo de utilización 
del eslabón acoplador del mecanismo de cuatro barras, para la 
carga automática de una caja, por ejemplo, desde un 
transportador de banda, a una mesa o a un transportador de 
rodillos. Puede observarse que durante el movimiento, la caja se 
mantiene fija al eslabón acoplador, de manera que tanto la caja 
como el eslabón sufren las mismas rotaciones y traslaciones. 
 
 
2.3.1. Diseño gráfico: 
 
El diseño gráfico solamente podemos utilizarlo para 
solucionar problemas donde necesitemos tres posiciones, o 
puntos de precisión, como máximo. Pero ello lejos de ser 
un restricción para su utilización, este método que nos 
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permite resolver una amplia gama de problemas 
industriales, y proporciona al ingenierouna gran 
capacidad de resolución en la síntesis de mecanismos. 
 
La manera de llevarla a efecto se basa igualmente en las 
propiedades del polo del movimiento plano, y por tanto es 
la misma que hemos visto en el punto 2.2.1.2, por lo que no 
vamos a repetir en este apartado. 
 
2.3.2. Diseño analítico: 
 
Para estudiar el método analítico, vamos a suponer que 
necesitamos que nuestro eslabón acoplador (A,B) pase por 
tres posiciones determinadas (A1,B1), (A2,B2) y (A3,B3). Por 
tanto el problema consistiría en determinar los puntos O2 y 
O4. 
 
 
 
Supongamos en la anterior figura, que queremos obtener 
las coordenadas del punto O2. Para ello vamos calcular la 
distancia A1O2 que estará dada por: 
 
 A1O2 = [(x1 – x)2 + (y1 – y)2]1/2 
 
Igualmente: 
 
 A2O2 = [(x2 – x)2 + (y2 – y)2]1/2
 A3O2 = [(x3 – x)2 + (y3 – y)2]1/2 
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Para que O2 sea el centro del círculo que pasa por los 
puntos A1, A2 y A3, esas distancias deben ser iguales. 
Igualándolas de dos en dos: 
 
 [(x1-x)2 + (y1-y)2]1/2 = [(x2-x)2 + (y2-y)2]1/2 
 [(x2-x)2 + (y2-y)2]1/2 = [(x3-x)2 + (y3-y)2]1/2 
 
Elevando al cuadrado y ordenando nos queda: 
 
 2x(x2-x1) +x12 –x22 + 2y(y2-y1) + y12 –y22 = 0 
 2x(x3-x2) +x22 –x32 + 2y(y3-y2) + y22 –y32 = 0 
 
Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que me 
permite obtener los valores de las coordenadas x e y del 
punto O2. Igual podríamos hacer con los puntos B1,B2 y B3, 
con los que calcularíamos las coordenadas del punto O4. 
 
 
3. Nociones sobre técnicas de optimización en la síntesis de 
 mecanismos. 
 
Las técnicas de síntesis que acabamos de ver, nos permiten resolver 
los problemas de diseño de mecanismos, para alcanzar posiciones 
de precisión especificadas. Pero gracias al desarrollo de las técnicas 
de programación matemática y al avance de los procesadores y del 
software, es posible formular el problema de síntesis, como un 
problema de optimización. 
 
A través de él tratemos se trata de minimizar una determinada 
función objetivo, satisfaciendo las condiciones especificadas en el 
diseño. Con ello trataremos de obtener la solución óptima. 
 
Podríamos plantearlo como: Determinar los valores de las variables 
x1, x2,…,xn que minimizan la función objetivo f(x), cuando está 
sometida a un conjunto de restricciones. 
 
 Minimizar f (x1, x2,…,xn) sometida a las restricciones: 
 
 hj (x1, x2,…,xn) ≤ 0 j = 1, 2,..,m 
 gk (x1, x2,…,xn) ≤ 0 k = 1, 2,..,p 
 
 
 
 17
4. Consideraciones prácticas en la síntesis de mecanismos. 
 
Con los métodos de síntesis estudiados, conseguiremos unos 
mecanismos que pueden alcanzar puntos de precisión especificados. 
Pero una vez llevado a la construcción el prototipo, podemos 
descubrir con sorpresa, que el mecanismo sintetizado no es capaz de 
satisfacer los requisitos cinemáticos del diseño. 
 
Esto suele deberse a tres tipos de problemas o “defectos”, que 
pueden hacer que el mecanismo sea inadecuado para la función 
diseño: 
 
• Defectos de ramificación. 
• Defectos de orden. 
• Defecto de Grashof. 
 
 
4.1. Defectos de ramificación: 
 
Para entender este problema, consideremos el mecanismo de 
cuatro barras O2-A-B-O4 que se muestra en la siguiente figura: 
 
 
 
 
 
 
 
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En ella se puede observar que sin mover el eslabón de entrada 
O2A y con la misma longitud de eslabones, es posible configurar 
el mecanismo según la versión O2-A-B’-O4. Estas dos 
configuraciones se denominan ramas del mecanismo, y una vez 
ensamblado según una rama, no es posible moverse en la otra, a 
menos que se desarme físicamente. Las técnicas de síntesis, 
lamentablemente no distinguen entre una y otra rama. Por ello 
es necesario verificar el mecanismo después de la síntesis, para 
comprobar que cumple todos los puntos de precisión en una de 
las ramas. 
 
 
4.2. Defectos de orden: 
 
Este defecto solamente ocurre en generación de trayectoria y en 
la guía de cuerpos, cuando se ha especificado más de tres puntos 
de precisión. Consideremos por ejemplo el caso de la siguiente 
figura, y supongamos que al diseñador le interesara que los 
puntos se recorrieran en la secuencia 1-2-3-4 (trayectoria con 
línea continua). Desafortunadamente podemos encontrarnos con 
que mecanismo sintetizado funcione según la secuencia 1-3-2-4 
(trayectoria con línea discontinua). 
 
 
 
 
 
 
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4.3. Defecto de Grashof: 
 
El último defecto que vamos a analizar, requiere que recordemos 
la Ley de Grashof, a través de la cual podíamos predecir la 
capacidad de rotación relativa de los eslabones de entrada y 
salida en un mecanismo de cuatro barras articuladas. Teniendo 
en cuenta que con bastante frecuencia, es necesario accionar el 
mecanismo desde una fuente de entrada con giro completo, como 
puede ser un motor eléctrico. 
 
 
 
En estos casos, es necesario por tanto que el eslabón de entrada 
de nuestro mecanismo gire completamente, es decir que nuestro 
mecanismo sea del tipo Grashof. Si como se muestra en la 
anterior figura, el mecanismo sintetizado no es de Grashof, 
decimos que el mecanismo adolece del defecto Grashof, y por 
tanto aunque cumpliese con los puntos de precisión prescritos, 
no nos serviría para resolver nuestro problema. 
 
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