Mecanica_Cuantica_Relacional_Carlo_Rovel

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Mecánica Cuántica Relacional
Carlo Rovelli1
1Departamento de Física y Astronomía, Universidad de Pittsburgh, Pittsburgh, Pa 15260, EE. UU.
(1 de febrero de 2008)
Sugiero que el malestar común de tomar la mecánica cuántica como una descripción fundamental
de la naturaleza (el problema de la medición) podría derivar del uso de una noción incorrecta, como
el malestar con las transformaciones de Lorentz antes de Einstein derivó de la noción de tiempo
independiente del observador. Sugiero que esta noción incorrecta que genera el malestar con la
mecánica cuántica es la noción de estado de un sistema independiente del observador, o valores de
cantidades físicas independientes del observador. Reformulo el problema de la interpretación de la
mecánica cuántica como el problema de derivar el formalismo a partir de un conjunto de postulados
físicos simples. Considero una reformulación de la mecánica cuántica en términos de teoría de la
información. Se supone que todos los sistemas son equivalentes, no hay distinción entre observadores
y observadores y la teoría describe solo la información que los sistemas tienen entre sí; sin embargo,
la teoría es completa.
I. UNA REFORMULACIÓN DEL PROBLEMA
DE LA INTERPRETACIÓN DE LA MECÁNICA
CUÁNTICA
En este artículo, analizo una visión novedosa de la
mecánica cuántica. Este punto de vista no es antagóni-
co a los actuales, como las historias consistentes de Co-
penhague [Heisenberg 1927, Bohr 1935] [Griffiths 1984,
Griffiths 1996, Omnes 1988, Gell-Mann y Hartle 1990],
muchos mundos [Everett 1957, Wheeler 1957, DeWitt
1970], evento cuántico [Huges 1989], muchas mentes [Al-
bert y Lower 1988, 1989, Lockwood 1986, Donald 1990]
o interpretaciones modales [Shimony 1969, van Fraassen
1991, Fleming 1992], sino que combina y complementa
aspectos de ellos. Este artículo se basa en una crítica
de una noción que generalmente se asume acríticamente.
Como tal, guarda un vago parecido con la discusión de
Einstein sobre la relatividad especial, que se basa en la
crítica de la noción de simultaneidad absoluta. La no-
ción rechazada aquí es la noción de estado absoluto o
independiente del observador de un sistema; de mane-
ra equivalente, la noción de valores de cantidades físicas
independientes del observador. La tesis del presente tra-
bajo es que al abandonar tal noción (a favor de la noción
más débil de estado –y valores de cantidades físicas– re-
lativas a algo), la mecánica cuántica tiene mucho más
sentido. Esta conclusión se deriva de la observación de
que la evidencia experimental en la base de la mecánica
cuántica nos obliga a aceptar que distintos observadores
dan diferentes descripciones de los mismos eventos. A
partir de esto, argumentaré que la noción de estado in-
dependiente del observador de un sistema es inadecuada
para describir el mundo físico más allá del límite ~ → 0,
de la misma manera en que la noción de tiempo inde-
pendiente del observador es inadecuada para describir el
estado físico. mundo más allá del límite c → ∞. Luego
considero la posibilidad de reemplazar la noción de es-
tado absoluto por una noción que se refiera a la relación
entre sistemas físicos.
La motivación del presente trabajo es la observación
común de que a pesar del lapso de 70 años desde el descu-
brimiento de la mecánica cuántica, y a pesar de la varie-
dad de enfoques desarrollados con el objetivo de aclarar
su contenido y mejorar la formulación original, la mecá-
nica cuántica aún mantiene un notable nivel de oscuri-
dad. Incluso es acusado de ser irrazonable e inaceptable,
incluso inconsistente, por físicos de clase mundial (por
ejemplo [Newman 1993]). Mi punto de vista al respec-
to es que la mecánica cuántica sintetiza la mayor parte
de lo que hemos aprendido hasta ahora sobre el mundo
físico: la cuestión no es, por tanto, reemplazarlo o arre-
glarlo, sino comprender qué precisamente dice sobre el
mundo; o, de manera equivalente: lo que precisamente
hemos aprendido de la microfísica experimental.
Es difícil superar la sensación de malestar que trans-
mite la mecánica cuántica. El aspecto preocupante de
la teoría asume diferentes caras dentro de diferentes in-
terpretaciones, y una descripción completa del problema
solo puede basarse en un estudio de las soluciones pro-
puestas. Aquí, no intento tal encuesta; para una revisión
clásica ver [d’Espagnat 1971], una revisión más moderna
está en los primeros capítulos de [Albert 1992], o, en for-
ma compacta, ver [Butterfield 1995]. El malestar se ex-
presa, por ejemplo, en las objeciones que los partidarios
de cada interpretación plantean contra otras interpreta-
ciones. Algunas de estas objeciones son quizás ingenuas
o mal planteadas, pero el hecho de que hasta ahora nin-
guna interpretación haya logrado convencer a la mayoría
de los físicos, indica, creo, que el problema de la interpre-
tación de la mecánica cuántica no se ha desenmarañado
completamente. todavía. Este malestar, y la variedad de
interpretaciones de la mecánica cuántica que ha genera-
do, a veces se denota como el problema de la medición.
En este artículo, abordo este problema y considero una
salida.
El artículo se basa en dos ideas:
Que el malestar puede derivar del uso de un con-
cepto inapropiado para describir el mundo físico a
nivel cuántico. Argumentaré que este concepto es
el concepto de estado de un sistema independiente
2
del observador o, de manera equivalente, el concep-
to de valores de cantidades físicas independientes
del observador.
Que la mecánica cuántica dejará de parecer des-
concertante sólo cuando seamos capaces de derivar
el formalismo de la teoría a partir de un conjunto
de afirmaciones físicas simples (postulados, princi-
pios) sobre el mundo. Por lo tanto, no deberíamos
intentar añadir una interpretación razonable al for-
malismo de la mecánica cuántica, sino más bien de-
rivar el formalismo de un conjunto de postulados
motivados experimentalmente.
Las razones para explorar tal estrategia están iluminadas
por un precedente histórico obvio: la relatividad especial.
Utilizaré esta analogía con fines explicativos, a pesar de
los límites evidentes del símil.
La relatividad especial es una teoría física bien enten-
dida, apropiadamente acreditada en el célebre artículo de
1905 de Einstein. El contenido formal de la relatividad
especial, sin embargo, está codificado en las transforma-
ciones de Lorentz, escritas por Lorentz, no por Einstein,
y antes de 1905. Entonces, ¿cuál fue la contribución de
Einstein? Fue para comprender el significado físico de las
transformaciones de Lorentz. (Y más, pero esto es lo que
interesa aquí). Podríamos decir –ciertamente de manera
provocativa– que la contribución de Einstein a la relati-
vidad especial ha sido la interpretación de la teoría, no
su formalismo: el formalismo ya existía.
Las transformaciones de Lorentz se discutieron a prin-
cipios de siglo y se debatió su interpretación. A pesar
del hecho reconocido de que representan una extensión
del grupo galileano compatible con la teoría de Max-
well, la transformación de Lorentz fue percibida como
“irrazonable” e “inaceptable como una simetría espacio-
temporal fundamental”, incluso “inconsistente”, antes de
1905; palabras que recuerdan hoy en día comentarios so-
bre la mecánica cuántica. La interpretación física pro-
puesta por el propio Lorentz (y defendida por Lorentz
mucho después de 1905) fue una contracción física de
los cuerpos en movimiento, provocada por una interac-
ción electromagnética compleja y desconocida entre los
átomos de los cuerpos y el éter. Fue una interpretación
bastante poco atractiva, notablemente similar a ciertas
interpretaciones del colapso de la función de onda que se
investigan actualmente. El artículo de 1905 de Einstein
aclaró repentinamente el asunto al señalar la razón de
la inquietud de tomar las transformaciones de Lorentz
“en serio”: el uso implícito de un concepto (tiempo in-
dependiente del observador) inapropiado para describir
la realidad cuando las velocidades son altas. De mane-
ra equivalente: una suposiciónprofunda común sobre la
realidad (la simultaneidad es independiente del obser-
vador) que es físicamente insostenible. El malestar con
las transformaciones de Lorentz derivó de un esquema
conceptual en el que se asumía una noción incorrecta de
–simultaneidad absoluta–, lo que arrojaba todo tipo de
consecuencias paradójicas. Una vez que se eliminó esta
noción, la interpretación física de las transformaciones
de Lorentz quedó clara, y la relatividad especial ahora
se considera bastante poco controvertida.
Aquí considero la hipótesis de que todas las situaciones
“paradójicas” asociadas con la mecánica cuántica –como
el famoso y desafortunado gato Schrödinger medio muer-
to [Schrödinger 1935]– pueden derivar de alguna noción
análoga incorrecta que usamos al pensar mecánica cuán-
tica. (No en usando la mecánica cuántica, ya que parece
que hemos aprendido a usarla de una manera notable-
mente eficaz). El objetivo de este artículo es buscar esta
noción incorrecta, con la esperanza de que, al exponer-
la claramente al público desprecio, podríamos liberarnos
del malestar actual con nuestra mejor teoría actual del
movimiento y comprender plenamente lo que afirma la
teoría sobre el mundo.
Además, Einstein fue tan persuasivo con su interpre-
tación de las ecuaciones de Lorentz porque no les agregó
una interpretación: más bien, las re-derivó, partiendo de
dos postulados con contenido físico escueto –equivalencia
de observadores inerciales y universalidad de la velocidad
de la luz– tomada como hechos de la experiencia. Fue es-
ta re-derivación la que desentrañó el contenido físico de
las transformaciones de Lorentz y les proporcionó una
interpretación convincente. Me gustaría sugerir aquí que
para aclarar el significado físico de la mecánica cuán-
tica, se debe buscar un resultado similar: encontrar un
pequeño número de enunciados simples sobre la natura-
leza –que quizás puedan parecer contradictorios, como
los dos postulados de la relatividad especial hacer– con
un contenido físico claro, del cual se podría derivar el
formalismo de la mecánica cuántica. En otras palabras,
tengo una sugerencia metodológica para el problema de
la interpretación de la mecánica cuántica: encontrar el
conjunto de hechos físicos a partir de los cuales se puede
derivar el formalismo de la mecánica cuántica. Que yo
sepa, tal derivación aún no se ha logrado. En este artícu-
lo, no logro tal resultado de manera satisfactoria, pero
discuto un posible esquema de reconstrucción.
Por tanto, el programa esbozado debe hacer para el
formalismo de la mecánica cuántica lo que hizo Einstein
para las transformaciones de Lorentz: i. Encontrar un
conjunto de afirmaciones simples sobre el mundo, con
un significado físico claro, que sabemos que son experi-
mentalmente verdaderas (postulados); ii. Analice estos
postulados y demuestre que de su conjunción se sigue
que ciertos supuestos comunes sobre el mundo son inco-
rrectos; iii. Derive el formalismo completo de la mecáni-
ca cuántica a partir de estos postulados. Espero que si
este programa pudiera completarse, finalmente comen-
zaríamos a estar de acuerdo en que hemos entendido la
mecánica cuántica.
En la sección 2, analizo el proceso de medición des-
crito por dos observadores distintos. Este análisis con-
duce a la idea principal: la dependencia del observador
del estado y las cantidades físicas, y a reconocer algunos
conceptos clave en términos de los cuales, me gustaría
sugerir, la descripción mecánica cuántica de la realidad
3
“tiene sentido”. Entre ellos destaca el concepto de infor-
mación [Shannon 1949, Wheeler 1988, 1989, 1992]. En la
sección 3, cambio de un modo inductivo a uno (muy le-
vemente) deductivo, y presento un conjunto de nociones
y un conjunto de enunciados físicos simples, a partir de
los cuales se puede reconstruir el formalismo de la me-
cánica cuántica. Denomino estas afirmaciones como pos-
tulados, a riesgo de malentendidos: no pretendo ningún
rigor matemático o filosófico, ni completitud –se hacen
suposiciones complementarias a lo largo del camino. No
me interesa aquí una formalización del tema, sino solo
una mejor comprensión de su física. Las ideas y técnicas
para la reconstrucción se toman prestadas de la investi-
gación de la lógica cuántica, pero las motivaciones y el
espíritu son diferentes. Finalmente, en la sección 4, ana-
lizo la imagen del mundo físico que ha surgido e intento
una evaluación. En particular, comparo el enfoque que
he desarrollado con algunas interpretaciones actualmen-
te populares de la mecánica cuántica y sostengo que las
diferencias entre ellas desaparecen si se tienen en cuenta
los resultados presentados aquí.
Para evitar que el lector canalice sus pensamientos en
la dirección equivocada, permítanme adelantarme algu-
nos comentarios terminológicos. Al usar la palabra “ob-
servador” no hago ninguna referencia a un sistema cons-
ciente, animado o informático, o de cualquier otra ma-
nera especial. Utilizo la palabra “observador” en el sen-
tido en que se usa convencionalmente en la relatividad
galileana cuando decimos que un objeto tiene una velo-
cidad “con respecto a cierto observador”. El observador
puede ser cualquier objeto físico que tenga un estado de
movimiento definido. Por ejemplo, digo que mi mano se
mueve a una velocidad v con respecto a la lámpara de
mi mesa. La velocidad es una noción relacional (tanto en
galilea como en física relativista especial) y, por lo tanto,
siempre (explícita o implícitamente) se refiere a algo; Es
tradicional denotar este algo como el observador, pero es
importante en la siguiente discusión tener en cuenta que
el observador puede ser una lámpara de mesa. Además,
uso la teoría de la información en su significado de teoría
de la información (Shannon): la información es una me-
dida del número de estados en los que un sistema puede
estar –o en los que pueden estar varios sistemas cuyos
estados están físicamente restringidos (correlacionados).
Por lo tanto, un bolígrafo en mi mesa tiene información
porque apunta en esta o aquella dirección. No necesita-
mos un ser humano, un gato o una computadora para
hacer uso de esta noción de información.
II. LA MECÁNICA CUÁNTICA ES UNA
TEORÍA SOBRE LA INFORMACIÓN
En esta sección, se presenta un análisis preliminar del
proceso de medición y se introducen las ideas principales.
A lo largo de esta sección, se asume la mecánica cuántica
estándar y la interpretación estándar –con lo que quiero
decir, por ejemplo: formalismo e interpretación en [Dirac
1930] o [Mesías 1958]–.
A. El Problema de la Tercera Persona
Considere un observador O (Observador) que realiza
una medición en un sistema S (Sistema). Por el momen-
to, podemos pensar en O como un aparato de medición
macroscópico clásico, que incluye o no a un ser humano.
Suponga que la cantidad que se mide, digamos q, toma
dos valores, 1 y 2; y deje que los estados del sistema S
se describan mediante vectores (rayos) en un espacio de
Hilbert bidimensional (complejo) HS . Sean los dos eige-
nestados del operador correspondientes a la medida de
q |1〉 y |2〉. Como es bien sabido: si S está en un esta-
do genérico normalizado |ψ〉 = α|1〉 + β|2〉, donde α y
β son números complejos y |α|2 + |β|2 = 1, entonces O
puede medir cualquiera de los dos valores 1 y 2 – con las
respectivas probabilidades |α|2 y |β|2.
Suponga que en una medición específica dada el re-
sultado de la medición es 1. A partir de ahora, nos con-
centraremos en describir este experimento específico, que
denotamos como E . El sistema S se ve afectado por la
medición y, en un momento t = t2 después de la medi-
ción, el estado del sistema es |1〉. En la secuencia física
de eventos E , los estados del sistema en t1 y t2 son por
lo tanto
t1 −→ t2
α|1〉+ β|2〉 −→ |1〉 (1)
Consideremos ahora esta misma secuencia de eventos
E , como la describe un segundo observador, al que nos
referimos como P . Me referiré a O como “él” y a P co-
mo “ella”. P describe el sistema de interacción formado
por S y O. Nuevamente, suponga que P usa la mecá-
nica cuántica convencional.Además, suponga que P no
realiza ninguna medición en el sistema S −O durante el
intervalo t1 − t2, pero que conoce los estados iniciales de
S y O, por lo tanto, puede dar una descripción mecánico
cuántico del conjunto de eventos E . Describe el sistema S
mediante el espacio de Hilbert HS considerado anterior-
mente, y O mediante un espacio de Hilbert HO. Luego,
el sistema S−O se describe mediante el producto tenso-
rial HSO = HS ⊗HO. Como se ha vuelto convencional,
denotemos el vector en HO que describe el estado del ob-
servador O en t = t1 (antes de la medición) como |init〉.
El proceso físico durante el cual O mide la cantidad q
del sistema S implica una interacción física entre O y
S. En el proceso de esta interacción, cambia el estado
de O. Si el estado inicial de S es |1〉 (resp |2〉) (y el es-
tado inicial de O es |init〉), entonces |init〉 evoluciona a
un estado que denotamos como |O1〉 (resp |O2〉). Piense
en |O1〉 (resp |O2〉) como un estado en el que “la posi-
ción de la mano de un aparato de medición apunta hacia
la marca ’1’ (resp ’2’)”. No es difícil construir modelos
hamiltonianos que produzcan evoluciones de este tipo, y
que puedan tomarse como modelos para las interacciones
4
físicas que producen una medida. Consideremos el caso
real del experimento E , en el que el estado inicial de S es
|ψ〉 = α|1〉+ β|2〉. El estado completo inicial del sistema
S−O es entonces |ψ〉⊗|init〉 = (α|1〉+β|2〉)⊗|init〉. Co-
mo es bien sabido, la linealidad de la mecánica cuántica
implica
t1 −→ t2
(α|1〉+ β|2〉)⊗ |init〉 −→ α|1〉 ⊗ |O1〉+ β|2〉 ⊗ |O2〉
(2)
Por lo tanto, en t = t2 el sistema S − O está en el es-
tado (α|1〉 ⊗ |O1〉+ β|2〉 ⊗ |O2〉). Ésta es la descripción
convencional de una medición como proceso físico [von
Neumann 1932].
He descrito un proceso físico real E que tiene lugar en
un laboratorio real. La mecánica cuántica estándar re-
quiere que distingamos el sistema del observador, pero
nos permite la libertad de trazar la línea que distingue a
los dos. En el análisis anterior, esta libertad se ha apro-
vechado para describir la misma secuencia de eventos
físicos en términos de dos descripciones diferentes. En la
primera descripción, ecuación (1), la línea que distingue
al sistema del observador se establece entre S y O. En
el segundo, la ecuación (2), entre S − O y P . Recuerde
que asumimos que P no está realizando una medición en
el sistema S −O ; no hay interacción física entre S −O
y P durante el intervalo t1 − t2. P puede realizar medi-
ciones en un momento posterior t3: si mide el valor de
q en S y la posición de la mano en O, descubre que los
dos están de acuerdo, porque la primera medición colap-
sa el estado en uno de los dos factores de (2), dejando
la segunda medición completamente determinada como
el valor consistente. Así, tenemos dos descripciones de la
secuencia física de eventos E : La descripción (1) dada por
el observador O y la descripción (2) dada por el obser-
vador P . Estas son dos descripciones correctas distintas
de la misma secuencia de eventos E . En el momento t2,
en la descripción O, el sistema S está en el estado |1〉
y la cantidad q tiene el valor 1. Según la descripción de
P , S no está en el estado |1〉 y la mano del aparato de
medición no indica 1.
Por tanto, llego a la observación en la que se basa el
resto del artículo.
Observación principal: En la mecánica
cuántica, diferentes observadores pueden dar
diferentes explicaciones de la misma secuen-
cia de eventos.
Para una conclusión muy similar, véanse [Zurek 1982]
y [Kochen 1979]. En el resto del trabajo, exploro las
consecuencias de tener plenamente en cuenta esta ob-
servación. Dado que esta observación es crucial, ahora
me detengo para discutir y refutar varias objeciones a la
observación principal. El lector que encuentre plausible
la observación anterior puede saltarse esta lista bastante
larga de objeciones y saltar a la sección II.C.
B. Objeciones a la Observación Principal
Objeción 1. Si la cuenta (1) o la cuenta (2) son co-
rrectas depende del tipo de sistema que sea O. Hay sis-
temas que inducen el colapso de la función de onda. Por
ejemplo, si O es macroscópico (1) es correcto, si O es
microscópico (2) es correcto.
La derivación de (2) no se basa en ninguna suposi-
ción de los sistemas, sino solo en los conceptos básicos
de la mecánica cuántica (linealidad). Por lo tanto, un
sistema O particular que produce (1) en lugar de (2) a
través de la evolución de Schrödinger debe comportarse
de una manera que contradiga el formalismo de la mecá-
nica cuántica tal como la conocemos. Esto implica que O
no se puede describir como un sistema cuántico genuino.
Es decir, que hay sistemas especiales que no obedecen a
la mecánica cuántica convencional, pero que son intrínse-
camente clásicos en el sentido de que producen el colapso
de las funciones de onda –o la actualización de los valores
de las cantidades. Esta idea subyace en una variedad de
intentos antiguos y recientes de desentrañar el rompeca-
bezas cuántico. Los sistemas especiales son, por ejemplo,
la gravedad [Penrose 1989], las mentes [Albert y Loewer
1988] o los sistemas macroscópicos [Bohr 1949]. Si acep-
tamos esta idea, tenemos que separar la realidad en dos
tipos de sistemas: los sistemas de mecánica cuántica por
un lado y los sistemas especiales por el otro. Bohr de-
clara explícitamente que debemos renunciar a dar una
descripción cuántica del mundo clásico [Bohr 1949]. Es-
to se repite en textos como [Landau y Lifschit 1977].
Wigner lleva este punto de vista a las consecuencias ex-
tremas y distingue los sistemas materiales (observados)
de la conciencia (observador) [Wigner 1961]. Aquí, por
el contrario, deseo asumir
Hipótesis 1: Todos los sistemas son equi-
valentes: nada distingue a priori los sistemas
macroscópicos de los sistemas cuánticos. Si
el observador O puede dar una descripción
cuántica del sistema S, entonces también es
legítimo que un observador P dé una des-
cripción cuántica del sistema formado por el
observador O.
Por supuesto, no tengo pruebas de la hipótesis 1, solo
argumentos de plausibilidad. Sospecho de los intentos de
introducir una nueva física especial no cuántica y aún no
entendida, con el fin de aliviar la extrañeza de la mecá-
nica cuántica: me parecen mucho al intento de Lorentz
de postular una interacción misteriosa que Lorentz con-
trae físicamente. cuerpos “de verdad” –algo que ahora
vemos estaba muy fuera de lugar, a la luz de la claridad
de Einstein. Prácticamente todas esas vistas modifican
las predicciones de la mecánica cuántica, a pesar de las
declaraciones de lo contrario: si en t2, el estado es co-
mo en (1), entonces P nunca puede detectar términos de
interferencia entre las dos ramas en (2), contrariamen-
te a las predicciones de la teoría cuántica. Es probable
5
que estas discrepancias sean mínimas, como lo demues-
tra el hermoso descubrimiento del mecanismo físico de la
decoherencia [Zurek 1981, Joos y Zeh 1985], que “salva
los fenómenos”. Sin embargo, son diferentes de cero y,
por lo tanto, observables (más sobre esto más adelante).
Me inclino a confiar en que un experimento sofisticado
capaz de detectar esas diminutas discrepancias reivin-
dicará completamente la mecánica cuántica contra las
distorsiones debidas a la clasicidad intrínseca postulada
de sistemas específicos. En cualquier caso, la cuestión
es decidible experimentalmente; y veremos. En segundo
lugar, no me gusta la idea de que la actual teoría del
movimiento, que ha tenido un éxito excesivo, sólo pueda
entenderse en términos de sus fallas aún por detectar.
Finalmente, creo que es razonable seguir comprometido,
hasta la refutación convincente, con la regla de que to-
dos los sistemas físicos son equivalentes con respecto a la
mecánica: esta regla ha demostrado ser tan exitosa, que
no la descartaría en la medida en que haya otra forma.
fuera.
Objeción 2. Lo que indica la discusión es que el estado
cuántico es diferente en las dos explicaciones, pero el
estado cuántico es una construcción mental ficticia no
física; el contenido físico de la teoríaviene dado por los
resultados de las mediciones.
De hecho, se puede considerar que los resultados de las
mediciones son el contenido físico de la teoría y el esta-
do cuántico es una construcción teórica secundaria. Esta
es la forma en que leo [Heisenberg 1927] y [van Fraassen
1991]. Según este punto de vista, cualquier cosa entre dos
resultados de medición es como la trayectoria “inexisten-
te” del electrón, para usar la vívida expresión de Heisen-
berg, de la que no hay nada que decir. Simpatizo mucho
con esta opinión, que desempeña un papel importante
en la sección III. Esta opinión, sin embargo, no elude la
observación principal por la siguiente razón. La cuenta
(2) indica que no hay nada que decir sobre el valor de la
cantidad q de S en el momento t2: para P , en t = t2 la
cantidad q no tiene un valor determinado. Por otro lado,
para O, en t = t2, q tiene el valor 1. De donde se sigue
de nuevo la observación principal.
Objeción 3. Como antes (solo los resultados de las me-
diciones son físicos), pero la verdad es que P tiene razón
y O está mal.
Esto es indefendible. Dado que todos los experimentos
físicos que conocemos pueden verse como instancias de
la medición S − O, esto implicaría que todavía no se
ha obtenido un solo resultado de la medición. Si es así,
¿cómo podríamos haber aprendido la teoría cuántica?
Objeción 4. Como antes (sólo los resultados de las me-
diciones son físicos), pero la verdad del asunto es que O
está bien y P está mal.
Si P está equivocado, la mecánica cuántica no se puede
aplicar al sistema S −O (porque su relato es una imple-
mentación sencilla de la mecánica cuántica de un libro
de texto). Por tanto, esta objeción predice discrepancias,
hasta ahora nunca observadas, con las predicciones de la
mecánica cuántica, que incluyen efectos de interferencia
observables entre los dos términos de (2).
Objeción 5. Como antes, pero bajo el supuesto de que
O es macroscópico. Entonces, los términos de interfe-
rencia se vuelven extremadamente pequeños debido a los
efectos de decoherencia. Si son lo suficientemente peque-
ños, no se pueden observar y, por lo tanto, q = 1 se con-
vierte en una propiedad absoluta de S, lo cual es cierto
y está absolutamente determinado, aunque P lo desco-
noce, quien podría medirlo en cualquier momento y no
vería efectos de interferencia..
Estrictamente hablando, esto es incorrecto, porque la
decoherencia depende de qué observación hará P . Por
lo tanto, la propiedad q = 1 de S se convertiría en una
propiedad absoluta en el momento t2, o no, según las
propiedades posteriores de S que considere el observa-
dor P . Esta es la razón por la cual la idea de explotar
la decoherencia física para la interpretación básica del
problema de la mecánica cuántica ha evolucionado hacia
interpretaciones de historias consistentes, donde las pro-
babilidades se asignan (consistentemente) a historias, y
no a resultados únicos de mediciones dentro de una his-
toria. (Ver, sin embargo, la discusión sobre el eslogan sin
historias en [Butterfield 1995]).
Objeción 6. No hay colapso. La descripción (1) no es
correcta, porque “la función de onda nunca colapsa real-
mente”. La cuenta (2) es la correcta. No hay valores asig-
nados a las propiedades clásicas del sistema; solo hay
estados cuánticos.
Si es así, el observador P tampoco puede medir el valor
de la propiedad q, ya que (por supuesto) no hay valores
asignados a las propiedades clásicas, sino solo estados
cuánticos; por lo tanto, la cantidad q nunca tiene valor.
Pero describimos el mundo en términos de las “propie-
dades” que tienen los sistemas y los valores asumidos
por varias cantidades, no en términos de estados en el
espacio de Hilbert. En una descripción del mundo pu-
ramente en términos de estados cuánticos, los sistemas
nunca tienen propiedades definidas y no veo cómo hacer
coincidir tal descripción con ninguna observación. Para
una elaboración detallada de este punto, que con dema-
siada frecuencia se descuida, pero creo que es muy fuerte,
véase [Albert 1992].
Objeción 7. No hay colapso. La descripción (1) no es
correcta, porque “la función de onda nunca colapsa real-
mente”. La cuenta (2) es la correcta. Los valores asig-
nados a las propiedades clásicas son diferentes de una
rama a otra.
Esta es una forma de la visión de Everett [Everett
1957], que implica la idea de que cuando medimos el es-
pín del electrón estando arriba, el espín del electrón esta
también y simultáneamente hacia abajo “en alguna otra
rama” –o “mundo”, de ahí la denominación de muchos
mundos de este punto de vista. La propiedad del elec-
trón de tener un giro no es absolutamente cierta, solo es
6
verdadera en relación con “esta” rama. Tenemos un nuevo
“parámetro” para expresar la contingencia: “qué rama” es
una nueva “dimensión” de indexicalidad, además de los
familiares “qué momento” y “qué lugar”. Por tanto, el es-
tado de cosas del ejemplo es que, en t2, q tiene valor 1 en
una rama y tiene valor 2 en la otra; las dos ramas están
teóricamente descritas por los dos términos en (2). Esta
es una idea fascinante que se ha implementado reciente-
mente en una variedad de encarnaciones diversas. Tra-
dicionalmente, la idea se ha discutido en el contexto de
una noción de aparato, es decir, un conjunto distinguido
de subsistemas del universo, y una cantidad distinguida
de dicho aparato –la base preferida. Este (conjunto de)
aparatos preferidos y una base preferida son necesarios
para definir la ramificación y, por lo tanto, para tener
asignación de valores [Butterfield 1995]; la vista se ha
ramificado recientemente en las muchas interpretaciones
de la mente, donde los subsistemas distinguidos están re-
lacionados con varios aspectos del cerebro humano. (Ver
[Butterfield 1995] para una discusión reciente). Estas ver-
siones de la idea de Everett violan la hipótesis 1 y, por lo
tanto, no me preocupan. Alternativamente, existen ver-
siones de la idea de Everett que rechazan la especifica-
ción del aparato preferido y la base preferida, y en las
que la ramificación en sí está indexada por un sistema
elegido arbitrariamente que desempeña el papel de apa-
rato y una base elegida arbitrariamente. Que yo sepa, las
únicas versiones elaboradas de este punto de vista que
evita las dificultades mencionadas en la objeción 5 han
evolucionado hacia los formalismos de historias que se
consideran a continuación.
Objeción 8. Lo que es absoluto e independiente del ob-
servador es la probabilidad de una secuencia A1, ...An de
adscripciones de propiedad (de manera que los términos
de interferencia mencionados anteriormente son extre-
madamente pequeños - decoherencia); esta probabilidad
es independiente de la existencia de cualquier observa-
dor que mida estas propiedades.
Ciertamente esto es correcto. De hecho, esta observa-
ción está en la raíz de las interpretaciones de las histo-
rias consistentes (CH) de la mecánica cuántica [Griffiths
1984, 1996, Omnes 1988, Gell-Mann y Hartle 1990]. Sin
embargo, a mi entender, CH confirma la observación an-
terior de que diferentes observadores dan diferentes re-
latos de la misma secuencia de eventos, por la siguiente
razón. La belleza de las interpretaciones de las histo-
rias es el hecho de que la probabilidad de una secuencia
de eventos en una familia consistente de secuencias no
depende del observador, precisamente como no depende
de la mecánica clásica. Uno puede contentarse con este
poderoso resultado de la teoría y detenerse aquí. Sin em-
bargo, las probabilidades dependen de la elección de la
familia consistente de historias, que se elige (para evitar
malentendidos: si se puede asignar o no una probabi-
lidad a un suceso físico depende de la familia elegida).
Uno (¿quién?) Toma una decisión al elegir una familia
de historias alternativas en términos de las cuales elige
describir el sistema. Griffiths ha introducido la vívida
expresión “marco” para indicar una familia consistente
de historias [Griffiths 1996]. Existen casos divertidos en
los que un marco es: “¿El valor de la cantidad física Q
es iguala 1 en el momento t, o no?”; y un segundo mar-
co es “¿Es el valor de la cantidad física Q igual a 2 en
el momento t, o no?”, y en cada marco la respuesta es
sí con probabilidad 1! [Kent 1995, Kent y Dowker 1995,
Griffiths 1996.] Por lo tanto, la descripción de lo que su-
cedió en el momento t, que podemos dar sobre la base
de un conjunto fijo de datos, es: En t, Q era igual a 1,
si preguntamos si Q era 1 o no. O: en t, Q era igual a
2, si preguntamos si Q era 2 o no. No hay ninguna con-
tradicción aquí (en términos de Copenhague, las mismas
matemáticas indicarían que el resultado depende de qué
aparato esté presente), pero es difícil negar que una gran
mayoría de físicos todavía quiere entender más sobre es-
ta extrañeza de la mecánica cuántica. En la visión de
Copenhague, la elección que corresponde a la elección
entre marcos está determinada por qué aparato clásico
está presente. Es decir, el marco está determinado por
la interacción del sistema cuántico con un objeto clási-
co. En CH, se afirma que la atribución de propiedad no
necesita una interacción clásica; el precio a pagar es que
las predicciones (probabilísticas), en lugar de estar de-
terminadas de forma única, dependen del marco. En el
ejemplo de la sección anterior, los observadores O y P
pueden elegir dos marcos distintos, y las dos descripcio-
nes correspondientes son válidas: cada una en su propio
marco. Sin embargo, el observador O no tiene la opción
de usar el marco que usa el observador P , porque ha
“visto” q = 1. Después de haber visto que q = 1, O ya no
tiene opción de permitir un marco en el que q no es 1.
El hecho de que q = 1 se haya convertido en uno de sus
datos; y los datos determinan qué marcos son coherentes.
Por lo tanto, los dos observadores O y P tienen diferentes
conjuntos de marcos a su disposición para describir los
mismos eventos, porque tienen datos diferentes (para el
mismo conjunto de eventos). El marco en el que (2) tiene
sentido está disponible para P , pero no para O, porque
O tiene datos que incluyen ese hecho de que Q = 1 en
t2. Lo que son datos para O no son datos para P , quien
considera el sistema S − O completo: P todavía puede
elegir un marco que no incluye el valor 1 de q en t2. Una
vez que se especifican los datos, todas las predicciones
están bien definidas en CH, pero la caracterización de lo
que puede contar como datos y, por lo tanto, qué marcos
están disponibles, es diferente para los dos observado-
res del ejemplo anterior. Una vez más, tenemos que dos
observadores diferentes dan descripciones diferentes del
mismo conjunto de eventos: lo que son datos para O es
solo una posible elección de marco para P . Volveré sobre
este delicado punto en la última sección.
En conclusión, me parece que cualquiera que sea el
punto de vista de la teoría cuántica (consistente con la
hipótesis 1) que uno tenga, la observación principal es
ineludible. Por tanto, puedo pasar al punto principal de
este trabajo.
7
C. Discusión Principal
Si diferentes observadores dan diferentes explicaciones
de la misma secuencia de eventos, entonces cada des-
cripción de la mecánica cuántica debe entenderse como
relativa a un observador particular. Por lo tanto, una
descripción mecánica cuántica de un determinado siste-
ma (estado y / o valores de cantidades físicas) no puede
tomarse como una descripción “absoluta” (independien-
te del observador) de la realidad, sino más bien como
una formalización o codificación de las propiedades de la
realidad. un sistema relativo a un observador dado. Por
tanto, la mecánica cuántica puede verse como una teo-
ría sobre los estados de los sistemas y los valores de las
cantidades físicas en relación con otros sistemas.
Una descripción cuántica del estado de un sistema S
existe solo si algún sistema O (considerado como un ob-
servador) está realmente “describiendo” So, más precisa-
mente, ha interactuado con S. El estado cuántico de un
sistema es siempre un estado de ese sistema con respecto
a otro determinado sistema. Más precisamente: cuando
decimos que una cantidad física toma el valor v, siem-
pre debemos (explícita o implícitamente) calificar esta
declaración como: la cantidad física toma el valor v con
respecto al observador fulano. Así, en el ejemplo consi-
derado en la sección 2.1, q tiene el valor 1 con respecto a
O, pero no con respecto a P .
Por lo tanto, sugiero que en la mecánica cuántica tanto
el “estado” como el “valor de una variable” –o el “resul-
tado de una medición–” son nociones relacionales en el
mismo sentido en el que la velocidad es relacional en la
mecánica clásica. Decimos que el objeto S tiene veloci-
dad v que significa con respecto a un objeto de referencia
O. De manera similar, sostengo que “el sistema está en
tal estado cuántico” o “q = 1” siempre deben entenderse
“con respecto a la referencia O”. En mecánica cuántica,
“todos” físicos las variables son relacionales, al igual que
la velocidad.
Si la mecánica cuántica describe solo información re-
lativa, se podría considerar la posibilidad de que exista
una teoría subyacente más profunda que describa lo que
sucede “en la realidad”. Ésta es la tesis de la incomple-
titud de la mecánica cuántica (sugerida por primera vez
en [¡Nacido en 1926]!). Ejemplos de teorías subyacentes
hipotéticas son las teorías de variables ocultas [Bohm
1951, Belifante 1973]. Alternativamente, los sistemas de
“producción de colapso de función de onda” pueden ser
“especiales” debido a alguna física aún no entendida, que
se vuelve relevante debido al gran número de grados de
libertad [Ghirardi Rimini y Weber 1986, Bell 1987], com-
plejidad [Hughes 1989], gravedad cuántica [Penrose 1989]
u otros.
Como es bien sabido, no hay indicios sobre bases fí-
sicas de que la mecánica cuántica sea incompleta. De
hecho, la práctica de la mecánica cuántica apoya la opi-
nión de que la mecánica cuántica representa lo mejor
que podemos decir sobre el mundo en el estado actual de
experimentación, y sugiere que la estructura del mun-
do captada por la mecánica cuántica es más profunda y
no menos superficial. que el esquema de descripción del
mundo de la mecánica clásica. Por otro lado, se podrían
considerar las motivaciones sobre bases metafísicas, en
apoyo del carácter incompleto de la mecánica cuántica.
Se podría argumentar: “Dado que la realidad tiene que
ser real y universal, y la misma para todos, entonces una
teoría en la que la descripción de la realidad depende del
observador es ciertamente una teoría incompleta”. Si tal
teoría fuera completa, nuestro concepto de realidad se
vería alterado.
Pero la forma en que reformulé el problema de la inter-
pretación de la mecánica cuántica en la sección I. debería
hacernos sospechar y prestar atención precisamente a es-
te tipo de argumentos, creo. De hecho, lo que estamos
buscando es precisamente alguna “suposición general in-
correcta” que sospechamos tener, y que podría estar en el
origen del malestar con la mecánica cuántica. Por lo tan-
to, descarto la tesis de la incompletitud de la mecánica
cuántica y asumo
Hipótesis 2 (Completitud): La mecánica
cuántica proporciona un esquema completo
y autoconsistente de descripción del mundo
físico, apropiado para nuestro nivel actual de
observaciones experimentales.
La conjunción de esta hipótesis 2 con la observación prin-
cipal de la sección II.A y la discusión anterior conduce a
la siguiente idea:
La mecánica cuántica es una teoría sobre la
descripción física de sistemas físicos en rela-
ción con otros sistemas, y esta es una des-
cripción completa del mundo.
La tesis de este artículo es que esta conclusión no es con-
tradictoria. Si esta conclusión es válida, entonces se ha
descubierto la noción incorrecta en la fuente de nues-
tro malestar con la teoría cuántica: es la noción de des-
cripción del estado del mundo verdadera, universal e in-
dependiente del observador. Si la noción de descripción
del mundo independiente del observador no es física, una
descripción completa del mundo se agota por la informa-
ción relevante que los sistemas tienenentre sí. Es decir,
no hay un estado absoluto del sistema, ni propiedades
absolutas que el sistema tenga en un momento determi-
nado. La física es completamente relacional, no solo en lo
que respecta a las nociones de reposo y movimiento, sino
con respecto a todas las cantidades físicas. Los relatos (1)
y (2) de la secuencia de eventos E son correctos, incluso
si son distintos: cada vez que hablamos de un estado o
propiedad de un sistema, tenemos que referir estas no-
ciones a una observación o referencia específica. sistema.
Por tanto, propongo la idea de que la mecánica cuántica
indica que la noción de una descripción universal del es-
tado del mundo, compartida por todos los observadores,
8
es un concepto físicamente insostenible, en un terreno
experimental. 1
Por lo tanto, la hipótesis en la que baso este artículo
es que las explicaciones (1) y (2) son completamente co-
rrectas. Se refieren a diferentes observadores. Propongo
reinterpretar cada afirmación contingente sobre la na-
turaleza (“el electrón ha girado”, “el átomo está en un
estado tan excitado”, el “resorte está comprimido”, “la
silla está aquí y no allí”) como expresiones elípticas pa-
ra afirmaciones relacionales (“el electrón ha girado con
respecto al aparato de Stern Gerlac”... “la silla está aquí
y no allí con respecto a mis ojos”, etcétera). Una teoría
física general es una teoría sobre el estado que tienen los
sistemas físicos, en relación entre sí. Exploro y elaboro
esta posibilidad en este artículo.
D. Relación Entre Descripciones
La multiplicación de puntos de vista inducida por la
noción relacional de estado y valores de cantidades físi-
cas consideradas anteriormente plantea el problema de
la relación entre descripciones distintas de los mismos
eventos. ¿Cuál es la relación entre el valor de una va-
riable q en relación con un observador Oy el valor de la
misma variable en relación con un observador diferente?
Este problema es sutil. Considere el ejemplo de la sección
II.A. Esperamos alguna relación entre la descripción del
mundo ilustrada en (1) y en (2).
En primer lugar, uno puede preguntarse cuál es la re-
lación “real”, “absoluta” entre la descripción del mundo
relativa a O y la relativa a P . Esta es una cuestión deba-
tida en el contexto de las interpretaciones de la mecánica
cuántica en perspectiva. Creo que la pregunta está mal
planteada. El estado absoluto de cosas del mundo es una
noción sin sentido; preguntar por la relación absoluta en-
tre dos descripciones es, precisamente, preguntar por un
estado de cosas tan absoluto del mundo. Por lo tanto, no
tiene sentido la relación “absoluta” entre las opiniones de
diferentes observadores. En particular, no hay forma de
deducir la vista de uno de la vista del otro.
¿Significa esto que no existe relación alguna entre las
opiniones de diferentes observadores? Ciertamente no;
significa que la relación en sí debe entenderse de forma
cuántica en lugar de clásica. Es decir, la cuestión de la
relación entre puntos de vista debe abordarse desde el
punto de vista de uno de los dos observadores (o de un
tercero). En otras palabras, podemos investigar la vista
1 Contrarrestar objeciones basadas en el instinto por sí solo, quizás
valga la pena recordar la gran resistencia que encontró la idea de
nociones plenamente relacionales de “reposo” y “movimiento” al
comienzo de la revolución científica. Creo que la mecánica cuán-
tica (y la relatividad general) bien podrían estar en el curso de
desencadenar una revisión –aún no desarrollada– de las visiones
del mundo de tan gran alcance como la del siglo XVII (sobre
esto, ver [Rovelli 1995]).
del mundo de O, como lo ve P . Aún en otras palabras:
el hecho de que una cierta cantidad q tenga un valor con
respecto a O es un hecho físico; como un hecho físico, si
es cierto, o no es cierto, debe entenderse como relativo
a un observador, digamos P . Por lo tanto, la relación
entre las vistas de Oy P tampoco es absoluta, pero se
puede describir en el marco de, digamos, la vista de P .
Hay una razón física importante detrás de este hecho:
es posible comparar diferentes puntos de vista, pero el
proceso de comparación es siempre una interacción fí-
sica, y todas las interacciones físicas son de naturaleza
mecánica cuántica. Creo que este simple hecho se olvida
en la mayoría de las discusiones sobre mecánica cuántica,
lo que produce graves errores conceptuales. Suponga que
una cantidad física q tiene valor con respecto a usted, así
como a mí. ¿Podemos comparar estos valores? Sí pode-
mos, comunicándonos entre nosotros. Pero la comunica-
ción es una interacción física y, por lo tanto, es mecánica
cuántica. En particular, es intrínsecamente probabilísti-
co. Por lo tanto, puede preguntar sobre el valor de q con
respecto a mí, pero esto también es (en principio) una
medida cuántica.
A continuación, se deben distinguir dos preguntas di-
ferentes: (i) ¿ P “sabe” que S “sabe” el valor de q? (ii) ¿
P sabe cuál es el valor de q en relación con O? (Sé que
usted sabe el monto de su salario, pero no sé qué sabe
acerca del monto de su salario).
(i) ¿Puede P “saber” que O ha realizado una medición
en S en el momento t2? La respuesta es sí. P tiene una
cuenta completa de los eventos E . La descripción (2) ex-
presa el hecho de que O ha medido S. La observación
clave es que en el estado en t2 en (2), las variables q (con
eigenestados |1〉 y |2〉) y la variable de puntero (con ei-
genestados |O1〉 y |O2〉) están correlacionadas. A partir
de este hecho, P comprende que la variable de punte-
ro en O tiene información sobre q. De hecho, el estado
de S − O es la superposición cuántica de dos estados:
en el primero, (|1〉 ⊗ |O1〉), S está en el estado |1〉 y la
mano del observador está correctamente en el ’1’. Mar-
cos. En el segundo, (|2〉⊗ |O2〉), S está en el estado |2〉 y
la mano del observador está, correctamente nuevamente,
en la marca 2. En ambos casos, la mano de O está en la
marca que representa correctamente el estado del siste-
ma. Más formalmente, hay un operador M en el espacio
de Hilbert del sistema S−O cuya interpretación física es
¿El puntero está correlacionado correctamente con q? Si
P mide M , entonces el resultado de esta medida sería sí
con certeza, cuando el estado del sistema S−O es como
en (2). El operador M viene dado por
M (|1〉 ⊗ |O1〉) = |1〉 ⊗ |O1〉
M (|1〉 ⊗ |O2〉) = 0
M (|2〉 ⊗ |O2〉) = |2〉 ⊗ |O2〉
M (|2〉 ⊗ |O1〉) = 0 (3)
donde el eigenvalor 1 significa “sí, la mano de O indica
el estado correcto de S” y el eigenvalor 0 significa “no,
9
la mano de O no indica el estado correcto de S”. En el
momento t2, el sistema S − O está en un eigenestado
de M con eigenvalor 1; por lo tanto, P puede predecir
con certeza que O “conoce” el valor de q. Por lo tanto,
es significativo decir que, de acuerdo con la descripción
de P de los eventos E , O “conoce” la cantidad q de S, o
que él “ha medido” la cantidad q de S, y la variable de
puntero incorpora la información.
Un comentario al margen es importante. En general,
el estado del sistema S − O no será un eigenvalor de
M . En particular, la interacción física entre S y O que
establece la correlación llevará tiempo. Por lo tanto, la
correlación entre la variable q de S y la variable de pun-
tero de O se establecerá gradualmente. ¿Significa esto
que, en las vistas P , la medición se realiza “gradualmen-
te”, es decir, que, según P , q tendrá valor con respecto a
O solo parcialmente? Esta es una pregunta muy debati-
da: “A la mitad de la medición, ¿se está realizando una
medición?”. Al darnos cuenta de que el conocimiento de
P sobre O también es mecánico cuántico, encontramos
–creo– la solución del acertijo: si el estado del sistema
S−O no es un eigenestado de M , luego, siguiendo la re-
gla estándar de la mecánica cuántica, esto significa que
cualquier intento eventual de P para verificar si se ha
realizado una medición tendrá un resultado “sí” o “no”
con una cierta probabilidad respectiva. En otras pala-
bras: no hay media medida; ¡Existe la mitad de probabi-
lidad de que se haya realizado la medición!Nunca vemos
superposiciones cuánticas de valores físicos, solo vemos
valores físicos, pero podemos predecir cuál vamos a ver
solo probabilísticamente. De manera similar, solo puedo
decir probabilísticamente si una cantidad física ha co-
brado valor para usted o no; ¡pero no debería decir que
usted “ve a medias” una cantidad física! Así, al represen-
tar el hecho de que (para P ) “la variable puntero de O
tiene información sobre la variable q en S” mediante el
operador M resuelve el conocido y formidable problema
de definir el “momento preciso” en el que se realiza la
medición, o la “cantidad de correlación” precisa necesa-
ria para que se establezca una medición –ver por ejemplo
[Bacciagaluppi y Hemmo 1995]. Estas preguntas no son
preguntas clásicas, sino preguntas de mecánica cuántica,
porque si O ha medido S no es una propiedad absoluta
del estado S −O, sino una propiedad cuántica del siste-
ma cuántico S − O, que puede ser investigado por P , y
cuyas respuestas sí / no, en general, se determinan solo
probabilísticamente. En otras palabras: una correlación
imperfecta no implica que no se haya realizado ninguna
medición, sino solo una probabilidad menor de 1 de que
la medición se haya completado.
Una segunda observación a este respecto es que, debi-
do al conocido teorema de descomposición bi-ortogonal,
siempre hay variables correlacionadas en cualquier siste-
ma acoplado (en un estado puro). Por lo tanto, siempre
hay “algún” operador M para el que el sistema S −O es
un autoestado. Se ha dado mucho énfasis a este hecho en
la literatura. No creo que este hecho sea muy relevante.
Imagine que tenemos una partícula cuántica en una ca-
ja, con una probabilidad finita de hacer un túnel fuera
de ella (digamos que esto modela una desintegración nu-
clear). En algún momento inicial describimos el estado
con una función de onda concentrada en el cuadro. En
algún momento posterior, un contador Geiger detecta
la partícula fuera de la caja, y describimos la partícu-
la como una posición de eigenestado en la posición del
contador Geiger. Durante el tiempo intermedio, pode-
mos describir el estado de la partícula dando la forma de
onda de su onda de Schrödinger ψ(x) cuando sale de la
caja. Ahora, en principio, sabemos que hay un operador
A en el espacio de Hilbert de la partícula tal que ψ(x)
es un autoestado de A. Por lo tanto, sabemos que “al-
guna” cantidad se define de manera única en cualquier
momento. Pero, ¿cuál es el interés de tal observación?
Muy poco, diría yo. A corresponderá a una cantidad to-
talmente poco interesante y prácticamente no medible.
De manera similar, dado un estado arbitrario del sistema
acoplado S−O, siempre habrá una base en cada uno de
los dos espacios de Hilbert que da la descomposición bi-
ortogonal y, por lo tanto, que define un M para el cual
el sistema acoplado es un eigenstate. Pero esto tiene una
significación práctica o teórica nula. Solo nos interesan
ciertos operadores autoadjuntos, que representan obser-
vables que sabemos medir; por esta misma razón, sólo
nos interesan las correlaciones entre determinadas canti-
dades: las que sabemos medir.
La segunda pregunta que puede formular P es: (ii.)
¿Cuál es el resultado de la medición realizada por O? Es
importante no confundir la declaración “P sabe que O
conoce el valor de q” con la declaración “P sabe qué O
sabe sobre q”. En general, el observador P no sabe “cuál
es el valor del observable q que O ha medido” (a menos
que α o β en (2) desaparezcan). Un observador con su-
ficiente información inicial puede predecir qué variable
ha medido el otro observador, pero no el resultado de la
medición. Sin embargo, la comunicación de los resulta-
dos de las mediciones es posible (¡y bastante común!). P
puede medir el resultado de la medición realizada por O.
De hecho, puede medir si O está en |O1〉o en |O2〉.
Observe que se debe cumplir una condición de cohe-
rencia, que es la siguiente: si P sabe que O ha medido
q, entonces mide qy luego mide lo que O ha obtenido al
medir q (es decir, mide la variable de puntero), entonces
la coherencia requiere que los resultados obtenidos por P
en la variable q y en la variable de puntero estén corre-
lacionados. ¡De hecho ellos son! como fue observado por
primera vez por von Neumann, y como se desprende de
(2). Por tanto, existe un requisito de coherencia satisfe-
cho en la noción de descripción relativa discutida. Esto se
puede expresar en términos del lenguaje mecánico cuán-
tico estándar: desde el punto de vista de la descripción
P :
El hecho de que la variable de puntero en O
tenga información sobre S (ha medido q) se
expresa por la existencia de una correlación
entre la variable q de S y la variable de pun-
10
tero de O. La existencia de esta correlación
es una propiedad medible del estado S −O.
E. Información
Es hora de introducir el concepto principal en términos
del cual propongo interpretar la mecánica cuántica: la
información.
¿Cuál es la naturaleza precisa de la relación entre la
variable q y el sistema O expresada en la declaración
“q = 1 relativa a O”? ¿Tiene esta relación un significado
físico comprensible? ¿Podemos analizarlo en términos fí-
sicos? La respuesta ha surgido en la subsección anterior.
Permítanme recapitular la idea principal: la declaración
q tiene un valor relativo a O se refiere al estado contin-
gente del sistema S − O. Pero el estado contingente del
sistema S −O no tiene un significado independiente del
observador. Solo podemos hacer declaraciones sobre el
estado del sistema S − O siempre que las interpretemos
como relativas a un tercer sistema físico P . Por lo tan-
to, debería ser posible comprender cuál es el significado
físico de “q tiene un valor relativo a O” al considerar la
descripción que P da (o podría dar) del sistema S − O.
Esta descripción no se hace en términos de física clási-
ca, sino en términos de mecánica cuántica; es el que se
detalla anteriormente. El resultado es que “q tiene valor
con respecto a S significa que existe una correlación en-
tre la variable q y la variable de puntero en O, es decir,
que P puede predecir que las mediciones posteriores ha-
rá en q y en la variable de puntero producirá resultados
correlacionados.
La correlación es “información” en el sentido de la teo-
ría de la información [Shannon 1949]. Si el estado del
sistema S − O está en un eigenestado de M con eigen-
valor 1, entonces las cuatro configuraciones posibles que
pueden tomar la variable q y la variable de puntero se
reducen a dos. Por lo tanto (por definición) la variable de
puntero tiene información sobre q. Permítanme entonces
dar un paso léxico. A partir de ahora expresaré el hecho
de que q tiene un cierto valor con respecto a O diciendo:
O tiene la “información” que q = 1.
La noción de información que empleo aquí no debe
confundirse con otras nociones de información utilizadas
en otros contextos. Utilizo aquí una noción de informa-
ción que no requiere distinción entre observadores huma-
nos y no humanos, sistemas que entienden el significado
o no, sistemas muy complicados o simples, etc. Como es
bien sabido, el problema de definir tal noción fue resuel-
to brillantemente por Shannon: en el sentido técnico de
la teoría de la información, la cantidad de información es
el número de elementos de un conjunto de alternativas
de entre las cuales se elige una configuración.. La infor-
mación expresa el hecho de que un sistema se encuentra
en una determinada configuración, que se correlaciona
con la configuración de otro sistema (fuente de infor-
mación). La relación entre esta noción de información y
nociones de información más elaboradas viene dada por
el hecho de que la información teórico-informativa es una
condición mínima para nociones más elaboradas. En una
teoría física es suficiente tratar con esta noción básica de
información teórica de información. Esto es muy débil;
no requiere que consideremos el almacenamiento de in-
formación, la termodinámica, los sistemas complejos, el
significado ni nada por el estilo. En particular: (i.) La
informaciónse puede perder dinámicamente (el estado
correlacionado puede dejar de estar correlacionado); (ii.)
no distinguimos entre la correlación obtenida a propósi-
to y la correlación accidental; Lo más importante: (iii.)
Cualquier sistema físico puede contener información so-
bre otro sistema físico. Por ejemplo, si tenemos dos par-
tículas de espín 1/2 que tienen el mismo valor de espín en
la misma dirección, decimos que una tiene información
sobre la otra. Por lo tanto, el sistema de observadores
en este artículo es cualquier sistema físico posible (con
más de un estado). Si hay alguna esperanza de compren-
der cómo un sistema puede comportarse como observa-
dor sin renunciar al postulado de que todos los sistemas
son equivalentes, entonces el mismo tipo de procesos –se
“colapsa”– que ocurre entre un electrón y una máquina
CERN., también puede ocurrir entre un electrón y otro
electrón. Los observadores no son “sistemas físicamente
especiales” en ningún sentido. John Wheeler [Wheeler
1988, 1989, 1992] ha defendido la relevancia de la teoría
de la información para comprender la física cuántica.
Por lo tanto, la naturaleza física de la relación entre S
y O expresada en el hecho de que q tiene un valor relativo
a O se captura por el hecho de que O tiene información
(en el sentido de la teoría de la información ) sobre q. Por
“q tiene un valor relativo a O”, queremos decir “relativo
a P , existe una cierta correlación en los estados S y O
”, o, de manera equivalente, ‘ ‘O tiene información sobre
q”.
Note que esto es, en cierto sentido, solo una respues-
ta parcial a la pregunta formulada al principio de esta
sección. Primero, es una respuesta de mecánica cuántica,
porque la información de P sobre el sistema S−O es pro-
babilística. En segundo lugar, es una respuesta que solo
cambia el problema en un paso, porque la información
que posee O se explica en términos de la información
que posee P . Por tanto, la noción de información que
utilizo tiene una doble valencia. Por un lado, quiero de-
bilitar todas las declaraciones físicas que hacemos: no “el
giro está arriba”, sino “tenemos información de que el
giro está arriba” –lo que deja abierta la posibilidad al
hecho que alguien más tiene información diferente. Así,
información indica la atribución habitual de valores a
cantidades que fundamenta la física, pero enfatiza su as-
pecto relacional. Por otro lado, esta adscripción puede
describirse dentro de la propia teoría, como información
teórica de la información, es decir, correlación. Pero tal
descripción, a su vez, es mecánica cuántica y depende del
observador, porque no existe una descripción universal
del estado de cosas del mundo independiente del obser-
vador. Por último, existe una distinción clave irreducible
11
entre el conocimiento de Pde que O tiene información
sobre q y el conocimiento de Ode q. La física es la teoría
de la información relativa que los sistemas tienen entre
sí. Esta información agota todo lo que podemos decir
sobre el mundo.
En este punto, se han formulado las principales ideas
y conceptos. En la siguiente sección, considero cierto nú-
mero de postulados expresados en términos de estos con-
ceptos y derivaré la mecánica cuántica de estos postula-
dos.
III. SOBRE LA RECONSTRUCCIÓN DE LA
MECÁNICA CUÁNTICA
A. Conceptos Básicos
La física se ocupa de las relaciones entre sistemas fí-
sicos. En particular, se ocupa de la descripción que dan
los sistemas físicos de otros sistemas físicos. Siguiendo
la hipótesis 1, rechazo cualquier distinción fundamental
como: sistema / observador, sistema cuántico / clásico,
sistema físico / conciencia. Suponga que el mundo puede
descomponerse (posiblemente de diversas formas) en una
colección de sistemas, cada uno de los cuales puede con-
siderarse equivalentemente como un sistema de observa-
ción o como un sistema observado. Un sistema (sistema
de observación) puede tener información sobre otro siste-
ma (sistema observado). La información se intercambia
a través de interacciones físicas. El proceso real a través
del cual se recopila y quizás se almacena la información
no es de particular interés aquí, pero puede describirse
físicamente en cualquier caso específico.
La información es una cantidad discreta: hay una can-
tidad mínima de información intercambiable (un solo bit,
o la información que distingue entre solo dos alternati-
vas). Denotaré un proceso de adquisición de información
(una medición) como una “pregunta” que un sistema (sis-
tema de observación) pregunta a otro sistema (sistema
observado). Dado que la información es discreta, cual-
quier proceso de adquisición de información puede des-
componerse en adquisiciones de bits elementales de infor-
mación. Me refiero a una pregunta elemental que recopila
un solo bit de información como una “pregunta sí / no”,
y denoto estas preguntas como Q1, Q2, . . ..
Cualquier sistema S, visto como un sistema observa-
do, se caracteriza por la familia de preguntas de sí / no
que se le pueden hacer. Estos corresponden a las varia-
bles físicas de la mecánica clásica y a los observables de
la mecánica cuántica convencional. Denoto el conjunto
de estas preguntas como W (S) = {Qi, i ∈ I}, donde el
índice i pertenece a un conjunto de índices I caracterís-
tico de S. Las características cinemáticas generales de S
se pueden representar como relaciones entre las pregun-
tas Qi en W (S), es decir, estructuras sobre W (S). Por
ejemplo, las preguntas significativas que se le pueden ha-
cer a un electrón son si la partícula se encuentra en una
determinada región del espacio, si su giro a lo largo de
una determinada dirección es positivo, etc.
El resultado de una secuencia de preguntas
(Q1, Q2, Q3, . . .) a S, de un sistema de observado-
res O, se puede representar mediante una cadena
(e1, e2, e3, . . .) (4)
donde cada ei es 0 o 1 (no o sí) y representa la respuesta
del sistema a la pregunta Qi. Por lo tanto, la informa-
ción que O tiene sobre S se puede representar como una
cadena binaria. Es un hecho básico de la naturaleza que
el conocimiento de una parte (e1, . . . , en) de esta cadena
proporciona indicaciones sobre los resultados posteriores
(en+1, en+2, . . .). Es en este sentido que una cadena (4)
contiene la información que tiene O sobre S.
Repetir trivialmente la misma pregunta (experimen-
to) y obtener siempre el mismo resultado no aumenta la
información sobre S. La información relevante (de ahora
en adelante, simplemente información) que O tiene sobre
S se define como el contenido no trivial de la cadena (po-
tencialmente infinita) (4), que es la parte de (4) relevan-
te para predecir respuestas futuras de posibles preguntas
futuras. La información relevante es el subconjunto de la
cadena (4), obtenida descartando los eique no afectan
los resultados de futuras preguntas.
La relación entre las nociones introducidas y las no-
ciones tradicionales utilizadas en la mecánica cuántica
es transparente: una pregunta es una versión de una me-
dida. La idea de que las medidas cuánticas se pueden
reducir a medidas de sí / no es antigua. Una medida de
sí / no se representa mediante un operador de proyección
en un subconjunto lineal del espacio de Hilbert, o por el
subconjunto lineal del propio espacio de Hilbert. Aquí
esta idea no se deriva del formalismo mecánico cuántico,
sino que se justifica en términos teóricos de la informa-
ción. Las nociones de sistema de observación y sistema
observado reflejan las nociones tradicionales de observa-
dor y sistema (pero cualquier sistema puede desempeñar
ambos roles aquí). W (S) corresponde al conjunto de ob-
servables. Recuerde que en los enfoques algebraicos un
sistema se caracteriza por la estructura (algebraica) de
la familia de sus observables.
Aquí no aparece una noción: el estado del sistema. La
ausencia de esta noción es la característica principal de
la interpretación aquí considerada. En lugar de la no-
ción de estado, que se refiere únicamente al sistema, se
ha introducido la noción de información que un sistema
tiene sobre otro sistema. Veo estanoción de manera muy
concreta: una hoja de papel en la que están escritos los
resultados de las mediciones, las manos de los aparatos
de medición, la memoria de los científicos o una variable
de dos valores que está arriba o abajo después de una
interacción.
Para simplificar, a continuación me centraré en sis-
temas que en la mecánica cuántica convencional están
descritos por un espacio de Hilbert de dimensión finita.
Esta elección simplifica el tratamiento matemático de la
12
teoría, evitando el espectro continuo y otros problemas
infinitarios.
B. Los Dos Postulados Principales
Postulado 1 (información limitada). Exis-
te una cantidad máxima de información rele-
vante que se puede extraer de un sistema.
El significado físico del postulado 1 es que es posible
agotar o dar una descripción completa del sistema. En
otras palabras, cualquier predicción futura que se pueda
inferir sobre el sistema a partir de una cadena infinita
(4), también se puede inferir a partir de un subconjunto
finito.
s = [e1, . . . , eN ] (5)
de (4), donde N es un número que caracteriza al sistema
S. La cadena finita (5) representa el conocimiento máxi-
mo que O tiene sobre S. 2 Se puede decir que cualquier
sistema S tiene una máxima “capacidad de información”
N , donde N , una cantidad de información, se expresa
en bits. Esto significa que N bits de información agotan
todo lo que podemos decir sobre S. Por tanto, cada siste-
ma se caracteriza por un número N . En términos de las
nociones tradicionales, podemos ver N como el número
entero más pequeño tal que N ≥ log2 k, donde k es la
dimensión del espacio de Hilbert del sistema S. Recuerde
que los resultados de la medición de un conjunto comple-
to de observables conmutados caracterizan el estado, y
en un sistema descrito por un espacio de Hilbert dimen-
sional k = 2N , tales mediciones distinguen un resultado
de la alternativa 2N (el número de vectores de base orto-
gonal ): esto significa que se obtiene información N en el
sistema. El postulado 1 está confirmado por nuestra ex-
periencia sobre el mundo (dentro del supuesto anterior,
que restringimos a los sistemas espaciales de Hilbert de
dimensión finita. La generalización a sistemas infinitos
no debería ser difícil).
Observe que el postulado 1 ya agrega la constante de
Planck a la física clásica. Considere un sistema clásico
descrito por una variable q que toma valores acotados
pero continuos; por ejemplo, la posición de una partí-
cula. Clásicamente, la cantidad de información que po-
demos recopilar sobre él es infinita: podemos ubicar su
estado en el espacio de fase del sistema con precisión
arbitraria. Mecánicamente cuántico, esta localización in-
finita es imposible debido al postulado 1. Por tanto, la
2 La cadena (5) es esencialmente el estado. La novedad aquí no
es el hecho de que el estado se define como la respuesta del
sistema a un conjunto de experimentos sí / no: esta es la lectura
tradicional del estado como un procedimiento de preparación. La
novedad es que esta noción de estado es relativa al observador
que ha hecho las preguntas.
máxima información disponible puede localizar el estado
sólo dentro de una región finita del espacio de fase. Dado
que las dimensiones del espacio de fase clásico de cual-
quier sistema son (L2T−1M)n, debe haber una constante
universal con dimensión L2T−1M , que determina la lo-
calización mínima de los objetos en el espacio de fase.
Esta constante es, por supuesto, la constante de Planck.
Por tanto, podemos ver la constante de Planck como el
coeficiente de transformación entre unidades físicas (po-
sición × momento) y unidades teóricas de información
(bits).
¿Qué sucede si, después de haber hecho las N pre-
guntas de manera que se haya recopilado la información
máxima sobre S, el sistema O hace una pregunta adicio-
nal QN+1?
Postulado 2 (información ilimitada). Siem-
pre es posible adquirir nueva información so-
bre un sistema.
Si, después de haber recopilado la información máxima
sobre S, el sistema O hace una pregunta adicional Q,
al sistema observado S, existen dos posibilidades extre-
mas: o la pregunta Q está completamente determinada
por preguntas anteriores, o no. En el primer caso, no
se obtiene nueva información. Sin embargo, el segundo
postulado afirma que siempre hay una forma de adqui-
rir nueva información. Este postulado implica, por tanto,
que la secuencia de respuestas que obtenemos al observar
un sistema no puede ser completamente determinista.
La motivación del segundo postulado es completamen-
te experimental. Sabemos que todos los sistemas cuánti-
cos (y todos los sistemas son sistemas cuánticos) tienen
la propiedad de que incluso si conocemos su estado cuán-
tico |ψ〉 exactamente, todavía podemos “aprender” algo
nuevo sobre ellos al realizar una medición de una can-
tidad O de modo que |ψ〉 no sea un eigenestado de O.
Este es un resultado experimental sobre el mundo, codi-
ficado en mecánica cuántica. El postulado 2 expresa este
resultado.
Dado que la cantidad de información que O puede te-
ner sobre S está limitada por el postulado 1, cuando se
adquiere nueva información, parte de la información re-
levante anterior se vuelve irrelevante. En particular, si
se hace una nueva pregunta Q (no determinada por la
información anterior recopilada), entonces O pierde (al
menos) un bit de la información anterior. De modo que,
después de hacer la pregunta Q, hay nueva información
disponible, pero la cantidad total de información rele-
vante sobre el sistema no excede los N bits.
Sorprendentemente, esos dos postulados son (casi) su-
ficientes para reconstruir el formalismo completo de la
mecánica cuántica. Es decir, se puede afirmar que el con-
tenido físico del formalismo general de la mecánica cuán-
tica no es (casi) más que una secuencia de consecuencias
de dos hechos físicos expresados en los postulados 1 y 2.
Esto se ilustra en la siguiente sección.
13
C. Reconstrucción del Formalismo y Tercer
Postulado
En esta sección, discuto la posibilidad de derivar el
formalismo de la mecánica cuántica a partir de las afir-
maciones físicas contenidas en los postulados 1 y 2. Esta
sección es técnica y el lector no interesado puede omitir-
la y pasar a la sección III.D. La maquinaria técnica que
empleo ha sido desarrollada (con diferentes motivacio-
nes) en análisis de lógica cuántica. Véase, por ejemplo,
[Beltrametti y Cassinelli 1981]. Como mencioné en la
introducción, el intento de reconstrucción no es comple-
tamente exitoso. Me veré obligado a introducir un ter-
cer postulado (además de varios supuestos relativamente
menores). Especularé sobre la posibilidad de darle a este
postulado un sentido físico simple, pero no tengo nin-
gún resultado claro. Esta dificultad refleja dificultades
paralelas en los intentos de reconstrucción de la lógica
cuántica.
Permítanme comenzar analizando las consecuencias
del primer postulado. La cantidad de preguntas en W (S)
puede ser mucho mayor que N . Algunas de estas pre-
guntas pueden no ser independientes. En particular,
uno puede encontrar (experimentalmente) que pueden
estar relacionados por implicación (Q1 ⇒ Q2), unión
(Q3 = Q1∨Q2) e intersección (Q3 = Q1∧Q2). Se puede
definir una pregunta (Q0) siempre falsa y una pregun-
ta (Q∞)siempre verdadera, la negación de una pregunta
(¬Q)y una noción de ortogonalidad de la siguiente ma-
nera: si Q1 ⇒ ¬Q2, entonces Q1 y Q2 son ortogonales.
(lo indicamos como Q1⊥Q2). Equipado con estas estruc-
turas, y bajo la suposición adicional (no trivial) de que
∨ y ∧ se definen para cada par de preguntas, W (S) es
una celosía ortomodular [Beltrametti y Cassinelli 1981,
Huges 1989].
Si hay una cantidad máxima de información que se
puede extraer del sistema, podemos suponer que se pue-
de seleccionar en W (S) un conjunto de N preguntas Qi,
que denotamos como c = {Qi, i = 1, N}, que son in-
dependientes de mutuamente. No hay nada canónico en
esta elección, por lo que puede haber muchas familias dis-
tintas c, b, d, ... de N preguntas independientes en W (S).
Si un sistema O hace las preguntasN de la familia c a
un sistema S, las respuestas obtenidas se pueden repre-
sentar como una cadena que denotamos como
sc = [e1, ......, eN ]c (6)
La cadena sc representa la información que O tiene so-
bre S, como resultado de la interacción que le permi-
tió hacer las preguntas en c. La cadena sc puede to-
mar valores 2N = K ; Denotamos estos valores como
s
(1)
c , s
(2)
c , ..., s
(K)
c . Así que eso
s(1)c = [0, 0, . . . , 0]c
s(2)c = [0, 0, . . . , 1]c
. . . ,
s(K)c = [1, 1, . . . , 1]c (7)
Dado que los 2N posibles resultados s(1)c , s
(2)
c , ..., s
(K)
c de
las N preguntas sí / no son (por construcción) mutua-
mente excluyentes, podemos definir 2N nuevas preguntas
Q
(1)
c ...Q
(K)
c de modo que la respuesta afirmativa a Q
(i)
c
corresponda a la cadena de respuestas s(i)c :
Q(1)c = ¬Q1 ∧ ¬Q2 ∧ .... ∧ ¬QN
Q(2)c = ¬Q1 ∧ ¬Q2 ∧ .... ∧QN
...
Q(k)c = Q1 ∧Q2 ∧ .... ∧QN (8)
Nos referimos a preguntas de este tipo como “preguntas
completas”. Al tomar todas las uniones posibles de con-
juntos de preguntas completas Q(i)c (de la misma familia
c), construimos un álgebra booleana que tiene Q(i)c como
átomos.
Como alternativa, el observador O podría usar una fa-
milia diferente de N preguntas independientes de sí o no
para recopilar información sobre S. Denota un conjun-
to alternativo como b. Entonces, seguirá teniendo una
cantidad máxima de información relevante sobre S for-
mada por una Ncadena de bits sb = [e1, ......, eN ]b. Por
lo tanto, O puede proporcionar diferentes tipos de des-
cripciones de S, haciendo diferentes preguntas. En conse-
cuencia, denote como s(1)b ...s
(K)
b los valores 2
N que puede
tomar sb y considere las preguntas completas correspon-
dientes Q(1)b ...Q
(K)
b y el álgebra booleana que generan.
Por tanto, del primer postulado se deduce que el con-
junto de preguntas W (S) que se pueden formular a un
sistema S tiene una estructura natural de una red orto-
modular que contiene subconjuntos que forman álgebras
booleanas. Esta es precisamente la estructura algebraica
formada por la familia de los subconjuntos lineales de un
espacio de Hilbert, que representan las medidas sí / no en
la mecánica cuántica ordinaria. [Jauch 1968, Finkelstein
1969, Piron, 1972, Beltrametti y Cassinelli 1981.]
La siguiente pregunta es hasta qué punto la informa-
ción (6) sobre el conjunto de preguntas c determina el
resultado de una pregunta adicional Q. Hay dos posi-
bilidades extremas: que Q esté completamente determi-
nado por (6), o que sea completamente independiente,
es decir, que la probabilidad de obtener una respuesta
afirmativa sea 1/2. Además, existe un rango de posibili-
dades intermedias: el resultado de Q puede ser determi-
nado probabilísticamente por sc. El segundo postulado
establece explícitamente que hay cuestiones que no es-
tán determinadas. Defina, en general, como p(Q,Q(i)c ) la
probabilidad de que una respuesta afirmativa a Q siga
a la cadena s(i)c . Dadas dos familias completas de infor-
mación sc y sb, podemos considerar las probabilidades
3
pij = p(Q
(i)
b , Q
(j)
c ) (9)
3 No deseo entrar aquí en el debate sobre el significado de probabi-
lidad en la mecánica cuántica. Creo que el cambio de perspectiva
14
Por la forma en que se define, la 2N × 2N matriz pij no
puede ser completamente arbitraria. Primero, debemos
tener
0 ≥ pij ≥ 1 (10)
Entonces, si la información s(j)c , está disponible sobre el
sistema, puede resultar uno y solo uno de los resultados
s
(i)
b . Por lo tanto
∑
i
pij = 1 (11)
También asumimos que p(Q(i)b , Q
(j)
c ) = p(Q
(j)
c , Q
(i)
b ) (¡es-
ta es una nueva suposición! Hay una relación con la inver-
sión del tiempo, pero la dejo aquí como una suposición
injustificada en esta etapa), de la cual debemos tener
∑
j
pij = 1 (12)
Las condiciones (10-11-12) son fuertes restricciones en la
matriz pij . Están satisfechos si
pij = |U ij |2 (13)
donde U es una matriz unitaria, y pij siempre se pue-
de escribir de esta forma para alguna matriz unitaria U
(que, sin embargo, no está completamente determinada
por pij).
Considere una pregunta en el álgebra de Boole gene-
rada por una familia sc, por ejemplo
Q(jk)c = Q
(j)
c ∨Q
(k)
c (14)
Para tener en cuenta esta pregunta, no podemos consi-
derar probabilidades de la forma p(Q(i)b , Q
(jk)
c ), porque
una respuesta afirmativa a Q(jk)c es menor que la can-
tidad máxima de información relevante. Pero podemos
considerar probabilidades de la forma, digamos,
pi(jk)i = p(Q
(i)
b , Q
(jk)
c Q
(i)
b ) (15)
definida como la probabilidad de que una respuesta afir-
mativa a Q(i)b siga a una respuesta afirmativa a Q
(i)
b (N
bits de información) y una respuesta sí posterior a Q(jk)c
(N − 1 bits de información). Como es bien sabido, tene-
mos (¡experimentalmente!) Que
pi(jk)i 6= p(Q
(i)
b , Q
(j)
c ) p(Q
(j)
c , Q
(i)
b )
+p(Qb(i), Q
(k)
c ) p(Q
(k)
c , Q
(i)
b )
= (pij)2 + (pik)2 (16)
que estoy sugiriendo es significativo en el marco de una defini-
ción objetiva de probabilidad, ligada a la noción de mediciones
repetidas, así como en el contexto de probabilidad subjetiva, o
cualquier variante de esta, si no se tiene en cuenta. acepte las
críticas de Jayne sobre el último.
En consecuencia, podemos determinar las fases faltantes
de U en (13) mediante la relación correcta, que es
pi(jk)i = |U ijU ji + U ikUki|2 (17)
Sería extremadamente interesante estudiar las restriccio-
nes que implica la naturaleza probabilística de todas las
cantidades p e investigar hasta qué punto la estructura
de la mecánica cuántica puede derivarse por completo
de estas restricciones. Se podría conjeturar que las ecua-
ciones (13-17) podrían derivarse únicamente de las pro-
piedades de las probabilidades condicionales –o encon-
trar exactamente la formulación más débil del principio
de superposición directamente en términos de probabili-
dades: este sería un resultado fuerte. Alternativamente,
sería aún más interesante investigar hasta qué punto la
consistencia notada entre las descripciones de diferentes
observadores, que creo que caracteriza tan maravillosa-
mente a la mecánica cuántica, podría tomarse como la
entrada que falta para reconstruir el formalismo comple-
to. Tengo la sospecha de que esto podría funcionar, pero
no tiene un resultado definitivo. Aquí, me contento con
el paso más modesto de presentar un tercer postulado.
Para intentos estrictamente relacionados de reconstruir
el formalismo de la mecánica cuántica a partir de la es-
tructura algebraica de los resultados de la medición, ver
[Mackey 1963, Maczinski 1967, Finkelstein 1969, Jauch
1968, Piron 1972].
Postulado 3 (principio de superposición). Si
c y b definen dos familias completas de pre-
guntas, entonces la matriz unitaria Ucb en
p(Q(i)c , Q
(j)
b ) = |U
ij
cb |
2 (18)
se puede elegir de tal manera que para cada
c, b y d, tenemos Ucd = UcbUbd y el efecto de
las preguntas compuestas viene dado por la
ecuación (17).
De ello se deduce que podemos considerar cualquier
pregunta como un vector en un espacio de Hilbert com-
plejo, fijar una base |Q(i)c 〉 en este espacio y representar
cualquier otra pregunta |Q(j)b 〉 como una combinación li-
neal de estas:
|Q
(j)
b 〉 =
∑
i
U
ji
bc |Q
(i)
c 〉 (19)
Las matrices U ijbc son entonces un cambio unitario de
base de la base |Q(i)c 〉 a la |Q
(j)
b 〉. Recuerde ahora la regla
de probabilidad de la mecánica cuántica convencional: si
|v(i)〉 son un conjunto de vectores básicos y |w(j)〉 un
segundo conjunto de vectores básicos relacionados con
los primeros por
|w(j)〉 =
∑
i
U ji |v(i)〉 (20)
15
entonces la probabilidad de medir el estado |w(j)〉 si el
sistema está en el estado |w(i)〉 es
pij = |〈v(i)|w(j)〉|2 (21)
(20) y (21) producen pij = |U ij |2, que es la ecuación (18).
Por lo tanto, el formalismo convencional de la mecánica
cuántica, así como las reglas de probabilidad estándar, se
siguen completamente de los tres postulados. El conjunto
W (S) tiene la estructura de un conjunto de subespacios
lineales en el espacio de Hilbert. Para cualquier pregun-
ta de sí o no Qi, sea