u295559 TERMICAS

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Termodinámica de Agujeros Negros
y Teoŕıa de Información
Por
Luis Ańıbal Garćıa López
Código: 200315095
Dirigido por
Prof. José M. Rolando Roldán, Ph.D.
MONOGRAFÍA
Presentada como requisito para la
obtención del t́ıtulo de
F́ısico
Departamento de F́ısica de la Universidad de los Andes
Bogotá, Colombia
Mayo de 2007
Agradecimientos
Es un gran placer para mı́ agradecer a la gente que hizo que todo esto fuera posible,
toda la gente que me ha apoyado a lo largo de esta aventura. En primer lugar quisiera
agradecer a mi Madre, que con su pedagoǵıa y gran dedicación me enseñó siempre a
ir más allá. A toda mi familia, que me apoyó en todo momento; me gustaŕıa decir
algo de cada uno, pero saben que siempre están en mis pensamientos. Las gracias más
profundas a mis dos grandes, grandes amigas por existir y por compartir triunfos, tris-
tezas, locuras y sobretodo las alegŕıas más grandes. A todos mis compañeros y amigos
de lucha, desde Armenia hasta Bogotá, muchas gracias por estar ah́ı. Agradezco a
mis profesores, que más que enseñarme un puñado de fórmulas, fueron maestros para
la vida. Gracias especiales al director de este proyecto, el Profesor José M. Rolando
Roldán, por las charlas que tuvimos y por darme soporte cuando lo necesité. Un saludo
cálido a Martha Cecilia Bustamante y Mauricio Hoyos, que me abrieron las puertas de
su hogar y cambiaron mi forma de ver el mundo. Y finalmente, gracias a todos los que
de una u otra forma me ayudaron a crecer y a cumplir con la primera misión de esta
campaña.
Luis Ańıbal Garćıa López
Universidad de los Andes
Bogotá, Mayo de 2007
i
Prefacio
Los agujeros negros, defectos en el tejido del espacio-tiempo, entraron en el mundo
de la astrof́ısica a partir el siglo XVIII, por descripciones teóricas dadas separadamente
por el cient́ıfico inglés John Michell y el matemático y astrónomo francés Pierre-Simon
Laplace, de cuerpos celestes cuya razón masa-radio es suficiente para que su velocidad
de escape exceda la velocidad de los corpúsculos de luz. Mediante la teoŕıa de la
Relatividad General de Einstein, esta definición se agudiza, siendo los agujeros negros
soluciones a las ecuaciones de esta teoŕıa gravitacional, teoŕıa que requiere su existencia.
Los agujeros negros son entonces regiones espaciales aisladas gravitacionalmente, en
el sentido de que ninguna señal en forma de luz o part́ıculas masivas puede llevar
información sobre su naturaleza y estado al exterior de dichas regiones. El concepto
clave aqúı es la información. Durante las tres últimas décadas se han revelado lazos
profundos entre la información f́ısica y la naturaleza de los agujeros negros, cuyas
consecuencias van más allá de lo que ha sido deducido de los axiomas de la teoŕıa de
la información y tienen gran paralelismo con el tratamiento termodinámico de estos
paradigmas astrof́ısicos.
El presente documento pretende hacer un estudio de la teoŕıa termodinámica para
agujeros negros y los diferentes avances que ha sufrido a lo largo de las últimas décadas.
El documento se divide en dos partes más una conclusión. La primera parte trata ini-
cialmente las principales caracteŕısticas de los agujeros negros, desde el papel que
cumple la relatividad general, pasando por el proceso de colapso y la geometŕıa del
espacio-tiempo en presencia de un agujero negro; y finalmente, estudiando los difer-
entes teoremas que llevaron a la primera conexión con la termodinámica antes del
descubrimiento de Hawking de la radiación por agujeros negros. La segunda parte, por
otro lado, empieza describiendo este nuevo fenómeno y algunas de sus consecuencias,
como la definición exacta de entroṕıa de un agujero negro y la segunda ley generaliza-
da; consecuencias que dan paso finalmente a la relación con la teoŕıa de información
cuántica y el planteamiento de los diferentes ĺımites entrópicos. Por último, se resumen
los resultados más importantes y se concluye, planteando problemas actuales de la
teoŕıa.
ii
Índice general
Agradecimientos I
Prefacio II
I Agujeros negros y termodinámica 1
1. Defectos del tejido espacio-temporal 2
1.1. Un acercamiento histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. El papel de la Relatividad General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1. Movimiento de part́ıculas de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2. Campos gravitacionales esféricamente simétricos . . . . . . . . . 7
1.3. Generalidades sobre agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1. Horizonte de eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2. Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3. Esfera fotónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.4. Aforismo de Wheeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Colapso gravitacional y geometŕıa 11
2.1. El destino final de las estrellas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Agujero negro de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Agujeros negros rotantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1. Métrica de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2. Observadores estacionarios en geometŕıa de Kerr . . . . . . . . . 16
2.3.3. Métrica de Kerr-Newman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. La conexión con la termodinámica 19
3.1. Teorema de “no-cabello” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2. Cálculo de áreas para agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3. Primera Ley Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4. Teorema del área y entroṕıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.1. Transformaciones de agujeros negros y masa irreducible . . . . . 23
iii
ÍNDICE GENERAL iv
3.4.2. La relación entre área y entroṕıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
II Radiación de Hawking: entroṕıa e información 28
4. El descubrimiento de Hawking 29
4.1. Segunda Ley Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2. Emisión de part́ıculas por agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3. Un modelo sencillo para radiación de Hawking . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4. La paradoja de información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5. Ĺımites entrópicos y la segunda ley 39
5.1. Información y entroṕıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2. El principio holográfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3. El ĺımite universal de información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
III Conclusión 47
6. Conclusión 48
Parte I
Agujeros negros y termodinámica
1
Caṕıtulo 1
Defectos del tejido
espacio-temporal
1.1. Un acercamiento histórico
El concepto de un cuerpo tan masivo que ni siquiera la luz pod́ıa escapar de su
atracción gravitacional fue propuesto por el geólogo John Michell en un art́ıculo de
1784 enviado a Henry Cavendish y publicado por la Royal Society; en él dećıa: “Si
el semidiámetro de una esfera con la misma densidad del Sol excediera el de éste en
una proporción de 500 a uno, un cuerpo cayendo desde una altura infinita hacia ella
adquiriŕıa en su superficie una velocidad mayor a la de la luz, y por consiguiente,
suponiendo que la luz es atráıda por la misma fuerza en proporción a su vis inertiae
con otros cuerpos, toda luz emitida por tal cuerpo seŕıa regresada hacia él por su propia
gravedad.”[1]
El análisis de Michell se basa en el concepto de velocidad de escape, que puede
deducirse de la Ley de Gravitación de Newton. Pero esta ley asume un par de masas,
no una sola. Aśı que cualquier análisis basado en velocidad de escape asume una masa
en reposo (vis inertiae) diferente de cero para los fotones, lo cual sabemos que no es
verdad.
Por otro lado, el matemático Pierre-Simon Laplace promovió la misma idea en las
primerasediciones de su libro Exposition du système du Monde. Sin embargo, la idea
de estas “estre-llas oscuras” fue muy ignorada durante el siglo XIX, y no fue retomada
hasta las primeras décadas del siglo posterior.
En 1915, Albert Einstein desarrolló su teoŕıa de gravedad: la Relatividad General,
habiendo ya predecido que la gravedad influenciaba la luz. Unos pocos meses después,
Karl Schwarzschild dio la solución para el campo gravitacional de una masa esférica,
mostrando la posible existencia de un cuerpo con las caracteŕısticas de un agujero
negro; sin embargo, este resultado no se entendió muy bien en ese tiempo, incluso
Schwarzschild pensaba que no teńıa sentido f́ısico.
2
CAPÍTULO 1. DEFECTOS DEL TEJIDO ESPACIO-TEMPORAL 3
En 1930, el astrof́ısico Subrahmanyan Chandrasekhar argumentó que, de acuerdo
con la relatividad general, un cuerpo no radiante con más de 1,4 masas solares (el ĺımite
de Chandrasekhar), colapsaŕıa, ya que no hab́ıa mecanismo conocido que lo evitara.
Sus argumentos se opońıan a los de Arthur Eddington quien créıa “que debeŕıa existir
una ley de la Naturaleza que evitara que la estrella se comportara de esta manera
absurda”[2]. Y teńıa razón en cierto modo: una enana blanca con masa un poco por
encima del ĺımite de Chandrasekhar colapsaŕıa en una estrella neutrónica. Pero en
1939, Robert Oppenheimer publicó art́ıculos (con diversos coautores) que predećıan
que estrellas por encima de tres masas solares (el ĺımite Tolman-Oppenheimer-Volkoff)
colapsaŕıan en agujeros negros por las razones dadas por Chandrasekhar.
Los agujeros negros y el problema del colapso gravitacional fueron generalmente ig-
norados hasta los años sesenta. Sin embargo, a finales de la década de 1950, J. A. Wheel-
er y sus colaboradores empezaron una investigación seria sobre el problema del colapso.
Wheeler propuso el término “agujero negro” en 1968.
Roy Kerr descubrió en 1963 una familia de soluciones exactas (sin carga eléctrica)
a las ecuaciones de campo de Einstein en el vaćıo. La generalización a fuentes cargadas
fue encontrada al poco tiempo por E. Newman et al. como solución a las ecuaciones
de campo de Einstein-Maxwell (1965). Hoy en d́ıa sabemos que la geometŕıa de Kerr-
Newman descrita por estas soluciones da una descripción única y completa de los
campos electromagnético y gravitacional externos a un agujero negro estacionario.
Un gran número de propiedades importantes de los agujeros negros fueron descu-
biertas y muchos poderosos teoremas probados durante este periodo. El descubrimiento
de cuásares en 1963, de púlsares en 1968, y fuentes compactas de rayos X en 1962 ayu-
daron a motivar el intenso estudio teórico sobre agujeros negros. Observaciones de la
fuente binaria de rayos X, Cygnus X-1, a comienzos de los setentas dieron la primera
evidencia plausible de que los agujeros negros pod́ıan existir.
1.2. El papel de la Relatividad General
La teoŕıa general de la relatividad, desarrollada por Einstein, es de suma impor-
tancia en nuestro estudio de agujeros negros, ya que estos son precisamente soluciones
estables a las ecuaciones de Einstein: la relatividad general requiere la existencia de
agujeros negros. Por esta razón, repasaremos algunos aspectos fundamentales de la
teoŕıa que resultarán de gran ayuda a lo largo de la disertación.
La relatividad general es una teoŕıa relativista de gravitación; en ella la gravedad ya
no es una fuerza sino la que refleja la curvatura del espacio-tiempo. Para entender esto
un poco mejor, miremos los problemas que surgen al intentar “relativizar” la teoŕıa
newtoniana.
La gravitación newtoniana puede ser descrita como una teoŕıa de campo escalar
que satisface la ecuación de Poisson
∇2Φ = 4πGρ0. (1.1)
CAPÍTULO 1. DEFECTOS DEL TEJIDO ESPACIO-TEMPORAL 4
Pero la relatividad nos enseña que todas las formas de enerǵıa son equivalentes a
masa, aśı que las fuentes del campo gravitacional en una teoŕıa relativista de gravitación
seŕıan todas las formas de enerǵıa, y no sólo ρ0. Aśı que esperamos una teoŕıa relativista
que envuelva ecuaciones diferenciales no lineales para el campo gravitacional
F (g) ∼ GT, (1.2)
donde g representa el campo gravitacional, que se reduce a Φ en el ĺımite de campo
débil, F es un operador diferencial no lineal, que se reduce a ∇2 en el ĺımite de campo
débil, y T es una cantidad que describe todas las formas no gravitacionales de enerǵıa,
con ρ0 como su término dominante en el ĺımite no relativista. Una de las grandes ideas
de Einstein fue hacer de la relatividad general una teoŕıa geométrica de gravitación.
El espacio-tiempo, por ejemplo, está representado por una variedad tetradimensional
(“superficie”), donde un evento corresponde a un punto en él, y la geometŕıa de esta
superficie curva está descrita completamente por el llamado tensor métrico gαβ, que
se puede representar por medio del elemento de ĺınea (intervalo o distancia entre dos
eventos en el espacio-tiempo)
ds2 = gαβ(x
γ) dxαdxβ. (1.3)
Un caso especial es la métrica de Minkowski1 ηαβ usada en relatividad especial
ds2 = −dt2 + dx2 + dy2 + dz2; (1.4)
las métricas más generales pueden reducirse a esta mediante una buena escogencia
de marco de referencia, evaluando la métrica en la vecindad de un punto fijo: ds2 =
[ηαβ +O (|x|2)] dxαdxβ, estos marcos especiales son conocidos como marcos inerciales
locales.
Como se dijo, Einstein propuso que cada espacio-tiempo curvo representaba un cam-
po gravitacional particular. Aśı pues, al escribir las ecuaciones f́ısicas no-gravitacionales
en un espacio-tiempo como este, en lugar del espacio-tiempo de Minkowski (1.4), au-
tomáticamente se toman en cuenta los efectos de la gravedad. Esto es conocido como
el principio de equivalencia de Einstein, quien tuvo esta idea revolucionaria de la uni-
versalidad de la cáıda libre: todos los objetos que caen libremente en un campo grav-
itacional dado, desde posiciones y velocidades iniciales idénticas, se mueven a lo largo
de ĺıneas de mundo idénticas, sin importar las diferencias en estructura y composición
[3].
Para terminar, falta especificar la manera como la distribución de masa-enerǵıa
determina la geometŕıa, gαβ, por medio de una ecuación (o sistema de ecuaciones) de
la forma (1.2). Las famosas ecuaciones de campo de Einstein nos dan esta relación
Gαβ = 8πTαβ, (1.5)
1De ahora en adelante se usarán unidades geometrizadas, esto es c = G = 1, a menos de que se
indique lo contrario.
CAPÍTULO 1. DEFECTOS DEL TEJIDO ESPACIO-TEMPORAL 5
donde Gαβ, el tensor de Einstein, es un operador no lineal de segundo orden actuando
sobre gαβ. El término de la fuente es el tensor de enerǵıa-esfuerzos no-gravitacional.
Es importante notar que esta complicada ecuación se reduce a la ecuación de Poisson
(1.1) en el ĺımite newtoniano.
Ahora se estudiarán dos temas de interés: el movimiento de part́ıculas de prueba
en presencia de un campo gravitacional y los campos con simetŕıa esférica que nos
conectarán con la primera y más fundamental solución a las ecuaciones de campo2.
1.2.1. Movimiento de part́ıculas de prueba
Una part́ıcula de prueba es una idealización de un objeto material. Se supone
pequeña (no perturba el espacio-tiempo a su alrededor), sin carga (no responde a
fuerzas electromagnéticas), esférica (no torques), entre otras caracteŕısticas. Simple-
mente se mueve libremente en el campo gravitacional.
En relatividad especial (sin campos gravitacionales), las part́ıculas de prueba se
mueven con velocidad uniforme. Podemos obtener sus ecuaciones de movimiento desde
un principio variacional que extremice la distancia (intervalo) a lo largo de la ĺınea de
mundo
δ
∫
ds = 0. (1.6)
Para verificar esto, escribimos el integrando en la forma
ds =
(
−ηαβẋαẋβ
)1/2
dλ, (1.7)
donde ẋα ≡ dxα/dλ. Aqúı λ es algún parámetro a lo largo de la ĺınea de mundo. La
expresión (1.7) para ds es invariante bajo un cambio de parámetro λ → λ(λ′). El
lagrangiano para la ec. (1.6)es entonces
L =
(
−ηαβẋαẋβ
)1/2
. (1.8)
y aśı, las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange obtenidas de la ec. (1.6) son
simplemente
d
dλ
(
∂L
∂ẋα
)
=
∂L
∂xα
. (1.9)
El lado derecho de la ecuación es cero, ya que L es independiente de xα. Obteniendo
entonces
ηαβẍ
β − 1
L
dL
dλ
ηαβẋ
β = 0. (1.10)
Haciendo un cambio de parámetro, podemos hacer L constante a lo largo de la curva,
donde el nuevo parámetro se conoce como parámetro af́ın. En particular, se puede
parametrizar la ĺınea de mundo de una part́ıcula por la longitud s sobre la curva,
2Para profundizar más sobre tópicos en relatividad general ver por ejemplo [4, 5, 6].
CAPÍTULO 1. DEFECTOS DEL TEJIDO ESPACIO-TEMPORAL 6
o simplemente el tiempo propio denotado τ . Por esto, el segundo término en (1.10)
desaparece, quedando
ηαβẍ
β = 0 ⇒ ẍγ = d
2xγ
dτ 2
= 0, (1.11)
que es precisamente la ecuación para una part́ıcula con velocidad uniforme en movimien-
to rectiĺıneo.
Geométricamente, las curvas de longitud extremal son llamadas geodésicas. La idea
de hacer los cálculos anteriores para relatividad especial es que podemos llevarlos in-
mediatamente a relatividad general. Por el principio de equivalencia, la ec. (1.6) debe
ser un principio variacional para el movimiento de part́ıculas de prueba en relatividad
general: la ĺınea de mundo de una part́ıcula libre de fuerzas externas es un tipo par-
ticular de geodésica, o en otras palabras, las part́ıculas libres se mueven a lo largo de
geodésicas en el espacio-tiempo. Ahora, el nuevo lagrangiano seŕıa
L =
[
−gαβ (xγ) ẋαẋβ
]1/2
, (1.12)
aśı que obtenemos de la ec. (1.9)3
1
L
d
dλ
(
gαβẋ
β
)
− 1
L
(
1
2
gγβ,αẋ
γẋβ
)
= 0
gαβẍ
β + ẋβ
d
dλ
gαβ −
1
2
gγβ,αẋ
γẋβ = 0
gαβẍ
β + gαβ,γẋ
γẋβ − 1
2
gγβ,αẋ
γẋβ = 0. (1.13)
Ahora escribimos el segundo término de la forma
gαβ,γẋ
βẋγ =
1
2
(gαβ,γ + gαγ,β) ẋ
βẋγ, (1.14)
de modo que la ec. (1.13) queda (multiplicando por el tensor métrico inverso gαβ)
ẍα + Γαβγẋ
βẋγ = 0, (1.15)
donde
Γαβγ ≡
1
2
gαλ (gλβ,γ + gλγ,β − gγβ,λ) , (1.16)
componentes conocidas con el nombre de śımbolos de Christoffel.
La ecuación (1.15) es la forma final de la ecuación de la geodésica en relatividad
general. Nótese cómo se satisface el principio de equivalencia: en un marco inercial
local, se pueden escoger coordenadas tales que gαβ,γ = 0 (los śımbolos de Christoffel
son cero). Aśı que el movimiento de la part́ıcula en tal marco es rectiĺıneo y uniforme.
3Asumimos una parametrización af́ın, de tal modo que L es constante.
CAPÍTULO 1. DEFECTOS DEL TEJIDO ESPACIO-TEMPORAL 7
Estas ecuaciones halladas son ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden,
presentándose como vimos, en la forma de las ecuaciones de movimiento de Euler-
Lagrange. Sin embargo, también pueden presentarse como un conjunto de ecuaciones
acopladas de primer orden, como lo son las ecuaciones de Hamilton.
Esta vez usamos el principio variacional que extremice la enerǵıa de la curva
E =
1
2
∫
gαβẋ
αẋβdλ, (1.17)
y definimos el hamiltoniano de la forma
H =
1
2
gαβẋ
αẋβ
=
1
2
pαg
αβgβγẋ
γ
=
1
2
gαβpαpβ. (1.18)
donde pα = gαβẋ
β, para determinado parámetro λ. Con este hamiltoniano podemos
también usar las ecuaciones de Euler-Lagrange y recuperar la ecuación de la geodésica
(1.15), pero como dijimos, puede reexpresarse como ecuaciones diferenciales ordinarias
de primer orden, tomando la forma de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi al introducir
variables independientes adicionales, como se verá a continuación
ẋα =
∂H
∂pα
= gαβpβ, (1.19)
ṗα = −
∂H
∂xα
= − 1
2
gβγ,αpβpγ. (1.20)
Aśı, podemos entender las geodésicas como flujos de campos vectoriales hamilto-
nianos definidos en el espacio cotangente de la variedad4.
1.2.2. Campos gravitacionales esféricamente simétricos
Una métrica esféricamente simétrica puede depender de las coordenadas temporal
y radial, y también de los ángulos (espećıficamente del ángulo sólido dΩ2 ≡ dθ2 +
sin2 θdφ2). Esto es, en su forma más general
ds2 = −A(t, r) dt2 + B(t, r) dr2 + 2C(t, r) dt dr + D(t, r) dΩ2. (1.21)
4En geometŕıa diferencial, se puede asignar a cada punto P de una variedad diferenciable un espacio
vectorial llamado espacio cotangente a P. Generalmente, el espacio cotangente está definido como el
espacio dual del espacio tangente a P.
CAPÍTULO 1. DEFECTOS DEL TEJIDO ESPACIO-TEMPORAL 8
Ahora, sin pérdida de generalidad, podemos cambiar r por D1/2(t, r) en (1.21)
ds2 = −E(t, r) dt2 + F (t, r) dr2 + 2G(t, r) dt dr + r2 dΩ2, (1.22)
con relaciones entre E, F y G y A, B y C. Podemos eliminar ahora el coeficiente dtdr,
cambiando la coordenada t por medio de un diferencial perfecto
dt′ = H(t, r) [E(t, r) dt−G(t, r) dr] , (1.23)
la sustituimos en (1.22) y obtenemos (ignorando las primas)
ds2 = −E−1(H−1dt + G dr)2 + F dr2 + 2GE−1(H−1dt + G dr) dr + r2 dΩ2
= −H
−2
E
dt2 +
G2
E
dr2 + r2 dΩ2
= −e2Φdt2 + e2Λdr2 + r2 dΩ2, (1.24)
donde e2Φ ≡ H−2/E y e2Λ ≡ G2/E son funciones de r y t, y se escogen de esta forma
por conveniencia.
Un resultado importante de la gravitación newtoniana es que en cualquier punto
fuera de una distribución esférica de masa, el campo gravitacional sólo depende de la
masa interior a ese punto. Más aún, incluso si la masa interior está moviéndose con
simetŕıa esférica, el campo afuera es constante en el tiempo (simplemente Φ).
Este resultado es también cierto en relatividad general, donde se conoce como
teorema de Birkhoff : el único campo gravitacional esféricamente simétrico en el vaćıo es
estático. Una definición más profunda de este teorema y sus consecuencias se estudiarán
más adelante.
1.3. Generalidades sobre agujeros negros
Como vimos, la relatividad general ve la masa como el factor que deforma el espacio-
tiempo, y es la forma del espacio-tiempo tiempo la que determina el movimiento de la
materia a través del espacio. Para objetos mucho menos densos que los agujeros negros,
estas caracteŕısticas resultan en algo similar a las leyes gravitacionales de Newton: los
objetos con masa se atraen entre śı, pero es posible definir una velocidad de escape que
permita a un objeto de prueba abandonar el campo gravitacional de un objeto mayor.
Para objetos tan densos como los agujeros negros, éste ya no es el caso. El esfuerzo
requerido para abandonar el agujero se vuelve infinito, sin una velocidad de escape
definida.
Los agujeros negros, en general, tienen ciertos aspectos caracteŕısticos que definire-
mos a continuación:
CAPÍTULO 1. DEFECTOS DEL TEJIDO ESPACIO-TEMPORAL 9
1.3.1. Horizonte de eventos
Es la frontera de la región de la cual ni siquiera la luz puede escapar. El horizonte
de eventos no es una superficie sólida, y no obstruye o disminuye la velocidad de la
materia o radiación que esté viajando hacia la región en el interior de él.
El horizonte es la caracteŕıstica que define un agujero negro: es negro porque ni
la luz ni ninguna otra radiación puede escapar de él. Aśı que el horizonte esconde lo
que sea que pase en su interior y sólo podemos calcular lo que sucede usando la mejor
teoŕıa de la que dispongamos, que en la actualidad es la relatividad general.
El campo gravitacional producido por un agujero negro (que se caracteriza por este
horizonte de eventos) es idéntico al campo exterior a cualquier otro objeto esféricamente
simétrico de la misma masa.
La popular concepción de los agujeros negros como objetos succionadores es falsa:
una part́ıcula puede mantener una órbita alrededor de un agujero negro indefinida-
mente mientras esté por fuera del horizonte. Más adelante veremos que para agujeros
negros rotantes existen otros horizontes además del horizonte de eventos.
1.3.2. Singularidades
De acuerdo con la relatividad general, la masa de un agujero negro está completa-
mente comprimida en una región con volumen cero, lo cual implica que su densidad y
atracción gravitacional sean infinitas, al igual que la curvaturadel espacio-tiempo que
causa. Estos valores infinitos causan que la mayoŕıa de ecuaciones f́ısicas, incluyendo
las de la relatividad general, dejen de trabajar en el centro de un agujero. Aśı que los
f́ısicos denominan a la región de volumen cero e infinitamente densa en el centro de un
agujero negro como singularidad.
Sin embargo, existe una incertidumbre importante con respecto a esta descrip-
ción, hace falta una teoŕıa más completa que no permita objetos de tamaño cero. En
el presente, no se tiene una teoŕıa establecida que combine mecánica cuántica con
relatividad (llamada gravedad cuántica), pero se cree que evitaŕıa las singularidades,
reemplazándolas por nuevas condiciones f́ısicas incréıblemente extremas.
Las singularidades que surgen en las soluciones a las ecuaciones de Einstein están
normalmente escondidas tras horizontes de sucesos, por lo tanto no pueden ser ob-
servadas desde el resto del universo. Las singularidades que no lo están se llaman
comúnmente “singularidades desnudas”. Roger Penrose en 1969 propuso lo que se
conoce como la hipótesis de censura cósmica que dice que no hay las singularidades
desnudas en relatividad general: toda singularidad está tras un horizonte de sucesos sin
posibilidad de sondearla (la singularidad está “desconectada causalmente” del mundo
exterior). Pese a esto, existen diversas dificultades para formalizar la hipótesis, em-
pezando por los problemas existentes con la noción de singularidad.
CAPÍTULO 1. DEFECTOS DEL TEJIDO ESPACIO-TEMPORAL 10
1.3.3. Esfera fotónica
La esfera fotónica de un agujero negro no-rotante es una frontera esférica de grosor
cero, tal que los fotones que se mueven tangentes a la esfera queden atrapados en una
órbita circular. Ningún fotón durará mucho en una órbita aśı, por dos razones. Primero,
porque puede interactuar con materia de la vecindad (siendo absorbida o dispersada).
Segundo, porque la órbita es dinámicamente inestable, pequeñas desviaciones de una
trayectoria perfectamente circular se convertirán rápidamente en desviaciones cada vez
mayores, provocando el escape o cáıda del fotón dentro del agujero.
Otros objetos compactos como las estrellas de neutrones pueden tener esféras
fotónicas. Esto se debe a que la luz “capturada” por una esfera fotónica no atraviesa
el radio que formaŕıa el horizonte de sucesos si el objeto fuera un agujero negro de la
misma masa, por lo tanto su comportamiento no depende de la presencia del horizonte.
1.3.4. Aforismo de Wheeler
El teorema de “no-cabello” establece que la solución más general de un agujero
negro estacionario depende únicamente de tres parámetros internos independientes: la
masa, el momento angular y la carga eléctrica. Toda otra información sobre el estado
inicial es radiada en forma de ondas electromagnéticas y gravitacionales durante el
colapso. Esta teoŕıa toma su nombre de un comentario del famoso astrof́ısico John
Wheeler, quien dijo que “los agujeros negros no poseen cabello.”
En caṕıtulos posteriores veremos la importancia de este teorema como primera
conexión de la teoŕıa de agujeros negros con la teoŕıa termodinámica.
Caṕıtulo 2
Colapso gravitacional y geometŕıa
La geometŕıa de un agujero negro está determinada por el estado de la estrella
moribunda justo antes del colapso, es decir, por el valor de los tres parámetros antes
mencionados en el teorema de “no-cabello.”
De esta manera, podemos clasificar los agujeros negros dependiendo de la solución
exterior de la estrella antes de colapsar, según su momento angular y su carga eléctrica:
No Rotante Rotante
No Cargado Schwarzschild Kerr
Cargado Reissner-Nordström Kerr-Newman
Cuadro 2.1: Tipos de agujeros negros.
No se espera que se formen agujeros negros con carga eléctrica significativa, debido a
que la repulsión electromágnetica que se resiste a la compresión de una masa cargada
eléctricamente es 40 órdenes de magnitud mayor que la atracción gravitacional que
comprime la masa.
Por otro lado, se espera que casi todos los agujeros negros sean rotantes, ya que las
estrellas de las que se formaron rotan. De hecho, se espera que roten muy rápido, ya
que conservan el momento de la estrella inicial pero concentrado en un radio mucho
más pequeño.
Empezaremos entonces con un breve recuento sobre el proceso de colapso gravita-
cional al que están sujetas las estrellas.
2.1. El destino final de las estrellas
Una estrella normal es estable mientras las reacciones nucleares en ella provean
la presión térmica (o cuántica) para contrarrestar la gravedad. Pero la combustión
nuclear convierte gradualmente el hidrógeno del núcleo de la estrella en helio, y para
11
CAPÍTULO 2. COLAPSO GRAVITACIONAL Y GEOMETRÍA 12
núcleos masivos (M > 5M�) éste se transforma en carbono, y aśı en elementos más
pesados hasta alcanzar el grupo del hierro. El núcleo se contrae a medida que cada tipo
de combustible se acaba, ya que pierde presión temporalmente hasta que el calor que
resulta de la contracción dispara la siguiente reacción. Debido a que la nucleośıntesis
de núcleos pesados a partir de livianos aumenta la masa promedio de las part́ıculas,
esta contribuye a la pérdida de presión.
Al final, la desintegración endotérmica de los núcleos del grupo del hierro (los más
fuertemente ligados) precipita el colapso del núcleo estelar. Cálculos de la evolución
estelar [7] muestran que estrellas con masas iniciales entre 20 y 30M� dejan núcleos de
más de 1,8M�. Estos colapsan rápidamente a “agujeros negros masivos” (M > 1,8M�)
sin mostrar efectos ópticos, pero con una emisión intensa de neutrinos debida a la neu-
tronización. Para masas iniciales entre 18 y 20M� la implosión del núcleo (acompañada
también por neutronización) genera una onda de choque que puede arrancar parte de
la estrella (supernova tipo II). Queda un núcleo de masa 1,5M� < M < 1,8M� mo-
mentáneamente rico en neutrones que colapsa en un “agujero negro poco masivo”.
Estrellas con masas iniciales entre 10 y 18M� aparecerán formando supernovas que de-
jan remanentes de estrellas neutrónicas. El destino de estrellas con un rango de masa
inicial ∼ 35 − 80M� es incierto.
2.2. Agujero negro de Schwarzschild
En relatividad general, la solución de Schwarzschild (o vaćıo de Schwarzschild)
describe el campo gravitacional exterior a una masa esférica y no rotante como una
estrella, un planeta o un agujero negro. También es una buena aproximación al campo
gravitacional de un cuerpo que rota lentamente como la Tierra o el Sol.
Según la clasificación vista, una agujero negro de Schwarzschild (o agujero estático)
no posee carga ni momento angular; su geometŕıa está dada por la métrica de Schwarz-
schild, y no puede ser distinguido de otro agujero estático excepto por su masa. Un
agujero negro de Schwarzschild se caracteriza por el área que lo rodea, su horizonte
de eventos, situado en el radio de Schwarzschild (algunas veces referido históricamente
como radio gravitacional). Cualquier objeto no rotante y sin carga con un radio menor
a su radio de Schwarzschild formaŕıa un agujero negro. Como veremos a continuación,
la solución de las ecuaciones de campo de Einstein es válida para cualquier masa M ,
aśı que en principio podŕıan existir agujeros negros de este tipo de cualquier masa si
la naturaleza lo permitiese.
La métrica de Schwarzschild, en coordenadas de Schwarzschild, está dada por
ds2 = −
(
1− 2M
r
)
dt2 +
(
1− 2M
r
)−1
dr2 + r2dΩ2, (2.1)
que es independiente del tiempo y con simetŕıa esférica (ver sección 1.2.2), dos aspectos
que determinarán el movimiento de part́ıculas de prueba alrededor de cuerpos con esta
CAPÍTULO 2. COLAPSO GRAVITACIONAL Y GEOMETRÍA 13
geometŕıa; notar por ejemplo, según la ecuación (1.20), que las componentes p0 y pφ
se conservan.
Estas simetŕıas nos conectan con el ya mencionado teorema de Birkhoff, que dice
que cualquier solución esféricamente simétrica de las ecuacionesde campo en el vaćıo
debe ser estacionaria y asintóticamente plana1. Esto implica que la solución exterior
esté dada por la métrica de Schwarzschild (una demostración del teorema se puede en-
contrar en [5, 8]). La conclusión de que el campo exterior debe ser también estacionario
es bastante sorprendente y tiene una consecuencia interesante. Suponga una estrella
esféricamente simétrica de masa fija que sufre pulsaciones esféricas. Por consiguiente,
el teorema nos dice que la geometŕıa exterior debe ser la de Schwarzschild; el único
efecto de la pulsación es cambiar la ubicación de la superficie estelar. Esto implica que
estrellas que pulsen esféricamente no pueden emitir ondas gravitacionales.
Ahora, el radio de Schwarzschild2 está ubicado en rs = 2M . Al reemplazar este
valor en la métrica (2.1), vemos como el término temporal se va a cero, lo que le da
el nombre de ĺımite estático al radio de Schwarzschild: en su interior las part́ıculas no
pueden estar en reposo, estarán supeditadas a movimiento perpetuo; mientras que el
término radial genera una singularidad, en este caso coordenada, ya que al escoger
un conjunto apropiado de coordenadas se puede demostrar que la métrica está bien
definida en el radio de Schwarzschild.
2.3. Agujeros negros rotantes
Los agujeros negros rotantes se forman durante el colapso gravitacional de estrellas
rotantes masivas (o de un conjunto de estrellas con momento angular promedio difer-
ente de cero). Debido a que las estrellas (y demás cuerpos celestes) rotan, se espera
que los agujeros negros presentes en la naturaleza sean rotantes.
Los agujeros negros rotantes comparten muchas caracteŕısticas con aquellos no
rotantes: incapacidad de la luz o de cualquier otro objeto de escapar desde el horizonte
de eventos, discos de acrecimiento, etc. Pero la relatividad general predice que las
rotaciones rápidas de un cuerpo masivo producen otras distorsiones del espacio-tiempo
aparte de las descritas en la sección anterior, y son estos efectos adicionales los que
hacen la gran diferencia entre agujeros rotantes y no rotantes.
Dos horizontes de eventos. Si dos agujeros negros rotantes tienen la misma masa
pero diferente velocidad angular, el horizonte de eventos interior del agujero más rápido
tendrá un radio mayor; y su horizonte exterior, un radio menor que en el agujero más
lento. En el caso más extremo los dos horizontes tendŕıan radio cero, por lo tanto la
región escondida por ellos tendŕıa tamaño cero y dejaŕıa de ser un agujero negro para
pasar a ser una singularidad desnuda. Según la hipótesis de Penrose (sección 1.3.2),
1Debe tender a la métrica de Minkowski a distancias muy alejadas de la fuente gravitacional.
2Puede deducirse simplemente a partir de la expresión para velocidad de escape, igualando esta
velocidad a la velocidad de la luz.
CAPÍTULO 2. COLAPSO GRAVITACIONAL Y GEOMETRÍA 14
debe existir algún principio sin descubrir que prevenga la existencia de sigularidades
desnudas, y que por lo tanto evite que un agujero negro rote tan rápido como para
crear una.
Dos esféras fotónicas. La relatividad general predice la existencia de dos esferas
fotónicas, una para cada horizonte de eventos. Un rayo de luz viajando en dirección op-
uesta al movimiento de rotación del agujero orbitará circularmente en la esfera fotónica
exterior; mientras que un rayo de luz que viaja en la misma dirección tendrá una órbita
circular en la esfera interior. Este rayo se partirá entonces en dos; ambas partes caerán
finalmente al agujero negro.
Ergosfera. Un agujero negro rotante tiene un horizonte de eventos análogo al radio
de Schwarzschild, pero tiene una superficie adicional exterior a este ĺımite llamada ergo-
superficie, que puede ser caracterizada intuitivamente como la esfera espacio-temporal
que es arrastrada rotacionalmente a la velocidad de la luz. En el interior de esta esfera
(y por fuera del horizonte), la velocidad de arrastre es mayor a la velocidad de la luz3,
esta región es la conocida como ergosfera. Aśı que dentro de ella, ningún observador
o part́ıcula se puede mantener en una órbita no rotante, sino que está forzado a ser
“co-rotado.”
Figura 2.1: Vista esquemática de un agujero negro rotante. La esfera interior es el
horizonte de eventos, y es la frontera interior de una región llamada ergosfera (región
sombreada). La superficie esferoidal o ĺımite estático, que toca al horizonte en los polos,
es la frontera exterior de la ergosfera.
Los objetos y la radiación pueden mantenerse en órbita en el interior de la ergosfera
3La relatividad general prohibe que objetos materiales se muevan con velocidades mayores a c,
pero permite que regiones de espacio-tiempo se muevan más rápido que la luz con respecto a otras
regiones.
CAPÍTULO 2. COLAPSO GRAVITACIONAL Y GEOMETRÍA 15
sin caer al centro. Pero no pueden levitar (permanecer estacionarios con respecto a un
observador externo) porque aquello requiriŕıa que se movieran hacia atrás con velocidad
mayor a la velocidad de la luz relativa a sus propias regiones de espacio-tiempo, que
se mueven más rápido que la luz con respecto al observador externo. Por otro lado,
cabe la posibilidad de escapar de la ergosfera. Debido a que las part́ıculas que caen en
ella son forzadas a rotar más rápidamente, estas ganan enerǵıa; el proceso neto implica
la emisión de part́ıculas energéticas por el agujero negro a costa de su propia enerǵıa
rotacional. La posibilidad de extraer enerǵıa de rotación de un agujero negro rotante
fue propuesta por primera vez por Roger Penrose en 1969 y es llamada entonces proceso
Penrose. Si una gran masa de objetos escapan de esta manera, el agujero rotaŕıa más
lentamente y podŕıa llegar a parar en algún momento.
2.3.1. Métrica de Kerr
Un agujero negro rotante es entonces una solución a las ecuaciones de campo de
Einstein. Esta solución, la métrica axialmente simétrica del espacio-tiempo asociado a
una masa puntual con momento angular y vaćıo en el exterior, fue obtenida por Roy
Kerr en 1963 y se conoce como métrica de Kerr.
La solución en el vaćıo de Kerr, escrita en coordenadas de Boyer-Lindquist4, está da-
da entonces por
ds2 = −
(
1− 2Mr
Σ
)
dt2 − 4aMr sin
2 θ
Σ
dt dφ +
Σ
∆
dr2 + Σ dθ2 +[
∆ +
2Mr(r2 + a2)
Σ
]
sin2 θ dφ2, (2.2)
donde Σ ≡ r2 + a2 cos2 θ y ∆ ≡ r2 − 2Mr + a2. La masa del objeto rotante es M , y
a describe la rotación del agujero negro, estando relacionada con el momento angular
J de la forma a ≡ J/M . Cuando este parámetro de rotación (llamado frecuentemente
momento angular espećıfico) tiene valor cero, no hay rotación y recuperamos la solución
de Schwarzschild. El caso a = M corresponde a un cuerpo masivo rotando maximal-
mente5.
Algunos detalles importantes de la métrica de Kerr bueden ser descubiertos cuando
se escribe de la forma (2.2). Por ejemplo, el horizonte de eventos está ubicado donde
el término radial grr diverge, es decir, en la superficie donde ∆ = 0
r2 − 2Mr + a2 = 0
r± = M ±
√
M2 − a2; (2.3)
4Son una generalización de las coordenadas usadas en la métrica de Schwarzschild, donde la coor-
denada r es reemplazada por
√
r2 + a2; el parámetro a toma en cuenta los efectos rotacionales.
5Rotación maximal se refiere al máximo valor de a para el cual un agujero negro puede existir, no
el valor máximo de a que puede tener un objeto rotante masivo.
CAPÍTULO 2. COLAPSO GRAVITACIONAL Y GEOMETRÍA 16
tomamos la ráız positiva r+ como el radio del horizonte.
Por otro lado, la ergosfera llega hasta la superficie donde 1 − 2Mr/Σ = 0 (donde
el término gtt se hace cero)
r2 − 2Mr + a2 cos2 θ = 0
r0 = M +
√
M2 − a2 cos2 θ, (2.4)
donde r0 define el radio del ĺımite estático
6.
2.3.2. Observadores estacionarios en geometŕıa de Kerr
Un observador estático en un campo gravitacional de Schwarzschild es uno que
tenga r, θ y φ fijos. Estudiar este tipo de observadores es bastante útil para entender
la métrica de Schwarzschild. En esta sección,generalizaremos el concepto para agujeros
negros rotantes, introduciendo los observadores estacionarios, que están a r y θ fijos,
pero que rotan con frecuencia angular constante
Ω =
dφ
dt
=
uφ
u0
. (2.5)
La condición ~u · ~u = −1 nos da una ecuación más (los observadores siguen una ĺınea
de mundo temporal)
− 1 = gtt
(
u0
)2
+ 2gtφu
0uφ + gφφ
(
uφ
)2
−1 =
(
u0
)2 [
gtt + 2Ωgtφ + Ω
2gφφ
]
. (2.6)
La cantidad entre corchetes debe ser negativa. Como la componente gφφ en la ecuación
(2.2) es positiva, esto es cierto solamente si Ω está entre las ráıces de la ecuación
cuadrática que se obtiene al igualar a cero la expresión entre corchetes. Por lo tanto,
Ωmin < Ω < Ωmax, donde
Ωmax
min
=
−gtφ ±
(
g2tφ − gttgφφ
)1/2
gφφ
. (2.7)
Haciendo uso de esta ecuación, se calcularán los valores ĺımites de Ω justo sobre el
horizonte de eventos. Los valores que necesitamos de la métrica podemos escribirlos de
6Notar que el ĺımite estático es el mismo horizonte de eventos para un agujero negro de Schwarz-
schild.
CAPÍTULO 2. COLAPSO GRAVITACIONAL Y GEOMETRÍA 17
la siguiente forma
gtt = −
Σ− 2Mr
Σ
= − ∆− a
2 sin2 θ
Σ
(2.8)
gφφ =
[
∆ +
2Mr(r2 + a2)
Σ
]
sin2 θ
=
[
∆ +
2Mr(∆ + 2Mr)
Σ
]
sin2 θ, (2.9)
y para el horizonte de eventos, tenemos ∆ = 0 y r = r+, por lo cual podemos simplificar
(2.8) y (2.9) aún más
gtt =
a2 sin2 θ
Σ+
(2.10)
gφφ =
4M2r2+ sin
2 θ
Σ+
=
2Mr+(r
2
+ + a
2)
Σ+
sin2 θ. (2.11)
Finalmente, reemplazamos en la ecuación (2.7)
Ω+ =
2aMr+ sin
2 θ ±
√
4a2M2r2+ sin
4 θ −
(
a2 sin2 θ
) (
4M2r2+ sin
2 θ
)
2Mr+ (r2+ + a
2) sin2 θ
; (2.12)
simplificando encontramos la expresión deseada para la frecuencia angular uniforme
que adquieren las part́ıculas justo antes de penetrar el horizonte.
Ω+ =
a
r2+ + a
2
. (2.13)
Esta frecuencia es también una buena definición de la frecuencia de rotación del agujero
negro en cuestión, ya que las part́ıculas (u observadores) consideradas son estacionarias
y su movimiento se debe únicamente al efecto de arrastre de la ergosfera, en este caso
justo sobre el horizonte de eventos.
2.3.3. Métrica de Kerr-Newman
La métrica de Kerr-Newman es una solución a las ecuaciones de campo en relativi-
dad general que describe la geometŕıa del espacio-tiempo en la región exterior de un
agujero negro cargado, rotante y de masa M .
El resultado obtenido por Newman representa entonces la solución estacionaria, ax-
ialmente simétrica y asintóticamente plana más general de las ecuaciones de campo en
presencia de un campo electromagnético en cuatro dimensiones. Sin embargo, aunque
CAPÍTULO 2. COLAPSO GRAVITACIONAL Y GEOMETRÍA 18
representa una generalización de la métrica de Kerr, no se considera muy importante
para propósitos astrof́ısicos, ya que como se dijo anteriormente, no se espera encontrar
agujeros negros con una cantidad importante de carga eléctrica.
La expresión matemática para la métrica (en coordenadas de Boyer-Lindquist gen-
eralizadas) es
ds2 = − ∆
Σ
(
dt− a sin2 θd φ
)2
+
sin2 θ
Σ
[(
r2 + a2
)
dφ− a dt
]2
+
Σ
∆
dr2 + Σ dθ2, (2.14)
donde Σ ≡ r2 + a2 cos2 θ y ∆ ≡ r2 − 2Mr + a2 + Q2 (Q siendo la carga del agujero).
Vemos cómo la métrica de Kerr-Newman se reduce a la métrica de Schwarzschild en
el caso Q = a = 0; a la métrica de Reissner-Nordström en el caso no rotante a = 0; y
a la métrica de Kerr en el caso sin carga Q = 0.
Podemos reescribir (2.14) de la forma usual, obteniendo
ds2 = − 1
Σ
(
∆− a2 sin2 θ
)
dt2 +
2a sin2 θ
Σ
(
∆− r2 − a2
)
dt dφ +
Σ
∆
dr2 + Σ dθ2 +
sin2 θ
Σ
[
(r2 + a2)2 −∆ a2 sin2 θ
]
dφ2. (2.15)
Con la métrica escrita de esta forma, podemos aplicar el mismo método que usamos
para encontrar las ecuaciones (2.3) y (2.4). El horizonte de eventos y el ĺımite estático
para una agujero de Kerr-Newman tienen los siguientes radios respectivamente
r+ = M +
√
M2 −Q2 − a2 (2.16)
r0 = M +
√
M2 −Q2 − a2 cos2 θ. (2.17)
Con respecto a lo obtenido con la solución de Kerr, lo único que cambia es el factor
adicional correspondiente a la carga Q. Por lo tanto, la nueva métrica define un agujero
negro únicamente cuando a2 + Q2 ≤ M2.
Además, podemos hacer el mismo razonamiento que seguimos en la sección 2.3.2
para observadores estacionarios, pero usando las componentes de la métrica de Kerr-
Newman en la ecuación (2.7) y con ∆ = 0. Como era de esperarse, el resultado es el
mismo (ec. (2.13)), pero con r+ definido por la expresión (2.16).
A pesar de que las métricas de Kerr y Kerr-Newman son soluciones válidas para las
ecuaciones de campo de Einstein, se debe tener cuidado a la hora de distinguir entre la
geometŕıa interior axialmente simétrica de ellas y la geometŕıa interior de un agujero
negro que se forma por colapso, que probablemente no posee simetŕıa axial.
Caṕıtulo 3
La conexión con la termodinámica
Los procesos que sigue un agujero negro están gobernados por las leyes f́ısicas que
conocemos: relatividad general, electrodinámica de Maxwell, hidrodinámica, mecánica
cuántica, y otras leyes para la f́ısica de la materia y la radiación. De estas leyes estándar,
se pueden derivar ciertas “reglas” o “restricciones” que todo proceso para agujeros ne-
gros debe satisfacer. Estas reglas tienen un poder, elegancia y simplicidad que rivalizan
y recuerdan el poder, elegancia y simplicidad de las leyes de la termodinámica.
¿Cómo se le puede dar a un agujero negro un tratamiento termodinámico? Mediante
la termodinámica se logra una descripción exitosa de un sistema ya que este se puede
describir con unos pocos parámetros: enerǵıa, volumen, magnetización, etc., por lo
menos a una escala suficientemente grande. Hemos visto cómo un agujero negro puede
describirse completamente con solo tres parámetros: M , Q y J ; no hay necesidad
de describir la materia que formó al agujero con lujo de detalles. Por esta razón, la
termodinámica parece ser un paradigma apropiado para los agujeros negros.
¿Cuáles seŕıan sus variables? La masa del agujero negro M , en el papel de la enerǵıa,
es un parámetro t́ıpico de la termodinámica. Sistemas termodinámicos cargados y
rotantes son también conocidos, aśı que se admiten Q y J . Pero para tener un conjunto
completo de parámetros termodinámicos, se necesita además una entroṕıa. Y es claro
que la entroṕıa de un agujero negro no puede identificarse con la entroṕıa de la materia
que lo formó (o la que ha cáıdo en él), ya que esta, junto con la materia, se vuelve
inobservable en el curso del colapso.
En este caṕıtulo, se exponen diversos teoremas y resultados que llevaron a hacer
este v́ınculo entre agujeros negros y termodinámica, y al planteamiento de las leyes
generalizadas de la termodinámica.
19
CAPÍTULO 3. LA CONEXIÓN CON LA TERMODINÁMICA 20
3.1. Teorema de “no-cabello”
En astrof́ısica, el teorema de “no-cabello” formula: “En teoŕıa gravitacional estándar,
la geometŕıa exterior del agujero negro más general está dada por la solución de Kerr-
Newman con M , Q y J como únicos parámetros.”[10]
Toda información adicional de la materia que formó al agujero o que cae en él,
“desaparece” tras el horizonte de eventos y es por tanto permanentemente inaccesible
a observadores externos. Por ejemplo, si se “construyeran” dos agujeros negros con la
misma masa, carga eléctrica y momento angular, pero con un agujero hecho de materia
ordinaria mientras el otro hecho de antimateria, seŕıan completamente indistinguibles.
¿Cómo conocer estos tres parámetros? Hay dos posibilidades: un observador que
presencia el colapso podrá medir directamente los parámetros, ya que estos son hereda-
dos directamente de la estrella moribunda (justo antes del colapso); si, en caso con-
trario, tenemos un agujero negro y no conocemos nada de la estrella que lo formó,
podemos hacer uso de simples fenómenos f́ısicos para medirlos. La masa es observable,
por ejemplo, al aplicar la tercera ley de Kepler a satélites en un campo gravitacional
newtoniano a una grandistancia del agujero; la carga, con la fuerza de Coulomb que
siente una carga de prueba lejana; hasta aqúı, se usan efectos newtonianos, pero en el
caso del momento angular, se debe recurrir a un efecto puramente relativista conocido
como efecto Lense-Thirring o de arrastre de marcos, que discutimos brevemente en la
sección 2.3.2 para el caso de agujeros negros rotantes1.
3.2. Cálculo de áreas para agujeros negros
Para las secciones posteriores será de gran utilidad conocer el área superficial de
los horizontes de eventos para los diferentes tipos de agujeros negros, ya que esta
dependerá exclusivamente de los tres parámetros M , Q y J , y proveerá de la primera
gran conexión con la teoŕıa termodinámica. Procederemos entonces a hacer los cálculos
pertinentes para hallar el área de un agujero negro de Kerr-Newman (KN), ya que es
el más general.
Tomamos el elemento de ĺınea para KN, que está dado por la ecuación (2.15), y lo
evaluamos para tiempo y distancia radial constantes (r = r+, ∆ = 0), es decir sobre la
superficie definida por el horizonte:
ds′2 = Σ+ dθ
2 +
(r2 + a2)2
Σ+
sin2 θ dφ2, (3.1)
1El efecto se extiende para cualquier cuerpo rotante y fue derivado por primera vez por los f́ısicos
austŕıacos J. Lense y H. Thirring. Predijeron que la rotación del objeto en cuestión alteraŕıa el espacio-
tiempo de modo tal que arrastraŕıa un objeto cercano en la dirección de rotación.
CAPÍTULO 3. LA CONEXIÓN CON LA TERMODINÁMICA 21
donde Σ+ ≡ Σ(r+). Ahora, el área de cierta superficie en una geometŕıa dada, es
A =
∫∫
g1/2dθ dφ, g = det
[
g′αβ
]
. (3.2)
La cantidad g, usando (3.1) es simplemente
g = (r2 + a2)2 sin2 θ, (3.3)
y reemplazando esto en la integral del área obtenemos
A = (r2 + a2)2
∫ 2π
0
∫ π
0
sin2 θdθ dφ
= 4π
(
r2+ + a
2
)
= 4π
[(
M +
√
M2 − a2 −Q2
)2
+ a2
]
. (3.4)
Hemos hallado aśı el área para el agujero negro com métrica de KN, y a partir de
esta podemos calcular la de los agujeros menos generales. Los resultados se presentan
en la tabla 3.1.
Kerr 4π
[(
M +
√
M2 − a2
)2
+ a2
]
Reissner-Nordström 4π
(
M +
√
M2 −Q2
)2
Schwarzschild 16πM2
Cuadro 3.1: Áreas del horizonte de eventos para diferentes agujeros negros.
3.3. Primera Ley Generalizada
El área que acabamos de hallar (ec. (3.4)), depende únicamente de los parámet-
ros del teorema de no-cabello que discut́ıamos con anterioridad, como una especie
de ecuación de estado para agujeros negros. Si calculamos un diferencial de la forma
dA = (∂A/∂M)dM + (∂A/∂Q)dQ + (∂A/∂J)dJ , esperamos poder compararlo con la
primera ley termodinámica de conservación de enerǵıa.
Primero, reescribimos A de la forma
A
8π
= M2 − Q
2
2
+ M
√
M2 −Q2 − J2M−2, (3.5)
CAPÍTULO 3. LA CONEXIÓN CON LA TERMODINÁMICA 22
y diferenciando
dA
8π
=
[
2M +
(
M2 −Q2 − a2
)1/2
+
M2 + J2M−2
(M2 −Q2 − a2)1/2
]
dM −[
Q +
MQ
(M2 −Q2 − a2)1/2
]
dQ− a
(M2 −Q2 − a2)1/2
dJ
= 2
M2 − Q2
2
+ M (M2 −Q2 − a2)1/2
(M2 −Q2 − a2)1/2
dM −Q M + (M
2 −Q2 − a2)1/2
(M2 −Q2 − a2)1/2
dQ−
a
(M2 −Q2 − a2)1/2
dJ ; (3.6)
recordar A de la ecuación (3.4), y (M2 −Q2 − a2)1/2 = r+−M , obteniendo finalmente
dA
8π
=
A
4π (r+ −M)
dM − Qr+
r+ −M
dQ− a
r+ −M
dJ. (3.7)
Por último, despejamos dM , que hará el papel de la enerǵıa termodinámica del sistema
dM =
r+ −M
2A
dA +
4πQr+
A
dQ +
4πa
A
dJ
=
(
r+ −M
2A
)
dA +
(
Qr+
r2+ + a
2
)
dQ +
(
a
r2+ + a
2
)
dJ. (3.8)
A partir de esta ecuación, definimos las siguientes cantidades
Θ =
r+ −M
2A
(3.9)
Φ =
Qr+
r2+ + a
2
(3.10)
Ω =
a
r2+ + a
2
, (3.11)
donde Φ es el potencial eléctrico en el horizonte del agujero, mientras que Ω es la
frecuencia de rotación del agujero negro, que ya calculamos en la sección 2.3.2 (nótese
que es el mismo resultado obtenido en (2.13)). Esta es entonces la forma análoga de la
primera ley de la termodinámica, con Θ sin una interpretación f́ısica aún,
dM = Θ dA + Φ dQ + Ω dJ. (3.12)
Si comparamos esto con dE = T dS+ΦdQ+ΩdJ , y si queremos que los agujeros negros
puedan describirse termodinámicamente (o que por lo menos tengan una primera ley),
tendŕıamos que identificar Θ dA ↔ TANdSAN , la temperatura y entroṕıa del agujero
CAPÍTULO 3. LA CONEXIÓN CON LA TERMODINÁMICA 23
negro respectivamente. Por ahora asumiremos la entroṕıa del agujero como una función
que crece monótonamente con su área [9, 12]
S = f(A) (3.13)
T dS = Tf ′(A)dA
T =
Θ
f ′(A)
, (3.14)
con f ′(A) = df/dA. El por qué de la escogencia de f(A) se verá en la siguiente sección.
3.4. Teorema del área y entroṕıa
Un agujero negro exhibe una notable tendencia a incrementar su área cada vez que
sufre una transformación. Esto fue notado por primera vez por Floyd y Penrose, en
un ejemplo de la extracción de enerǵıa de un agujero rotante de Kerr por medio del
proceso Penrose (sec. 2.3.1). Se sugirió entonces que el incremento del área era una
caracteŕıstica general de las transformaciones de agujeros negros.
Por otro lado, Hawking [8] expuso y probó lo que se conoce como el teorema del
área (o teorema de Hawking): cuando materia o radiación caen en un agujero negro,
o varios agujeros colisionan y se fusionan, o colisionan y se dispersan, o en cualquier
otro proceso que concierna agujeros negros, la suma de las áreas superficiales de todos
los agujeros negros en cuestión nunca puede decrecer. A continuación desarrollaremos
una demostración a este teorema desde un acercamiento muy diferente al usado por
Hawking, pero con los mismos resultados.
3.4.1. Transformaciones de agujeros negros y masa irreducible
El razonamiento que usaremos fue desarrollado por Christodoulou [13, 14] de for-
ma independiente y simultáneamente al planteamiento de Hawking. Consideremos un
agujero negro de KN interactuando con la materia y campos adyacentes. Su área super-
ficial está dada por (3.4). La interacción con la materia y los campos pueden cambiar
M , Q y a de diferentes maneras; M puede inclusive decrecer (extracción de enerǵıa del
agujero v́ıa el proceso Penrose). Pero sin importar los cambios, nunca podrán reducir
el área superficial A. Más aún, si alguno de estos cambios incrementa el área, ningún
proceso futuro podrá reducirla a su valor inicial.
De esta forma, podemos clasificar los procesos de agujeros negros en dos grupos:
1. Las transformaciones reversibles cambian M , Q o a (o combinaciones), dejando
el área superficial fija. Pueden invertirse, regresando al agujero negro a su estado
original.
2. Las transformaciones irreversibles cambian M , Q o a (o combinaciones), e in-
crementan el área superficial en el proceso. Tal transformación nunca podrá ser
CAPÍTULO 3. LA CONEXIÓN CON LA TERMODINÁMICA 24
invertida. Un agujero negro no podrá regresar a su estado inicial después de una
transformación irreversible.
Una extracción reversible de carga y momento angular de un agujero negro (dismin-
ución de Q y a manteniendo A fija) reduce necesariamente la masa del agujero negro.
En el momento en el que toda la carga y todo el momento angular sean removidos, la
masa habrá cáıdo a un valor irreducible final
Mir =
(
A
16π
)1/2
, (3.15)
que es la masa de un agujero negro de Schwarzschild con área superficial A. La masa-
enerǵıa inicial del agujero negro en términos de la masa irreducible se calcula a partir
de las expresiones (3.4) y (3.15)
A
4π
= 2M2 −Q2 + 2M
(
M2 −Q2 − a2
)1/2
(
4M2ir + Q
2 − 2M2
)2
= 4M2
(
M2 −Q2 − J
2
M2
)
(
4M2ir + Q
2
)2
+ 4J2 = 16M2M2ir,
obteniendo finalmente
M2 =
(
Mir +
Q2
4Mir
)2
+
J2
4Mir
. (3.16)
Por lo tanto, se puede considerar que la masa-enerǵıa total de un agujero negro
contiene un término de masa irreducible, otro de masa-enerǵıa electromagnética y otro
de enerǵıa rotacional. Sin embargo, estas contribuciones no se suman linealmente entre
śı; por el contrario, se combinan de una manera análoga a la manera como se combinan
la masa en reposo y el momento lineal para dar enerǵıa (E2 = m2 + p2).
Como vimos, la masa irreduciblepara un agujero negro es proporcional a la ráız
cuadrada de su área superficial, por consiguiente podemos replantear el teorema del
área de la forma: en procesos de agujeros negros, la suma de los cuadrados de las masas
irreducibles de todos los agujeros negros en cuestión nunca puede decrecer.
3.4.2. La relación entre área y entroṕıa
De la sección anterior, es claro cómo los cambios que sufre un agujero negro gen-
eralmente se ven evidenciados en un aumento del área del horizonte de eventos. Este
fenómeno nos hace recordar la segunda ley de la termodinámica, que establece que
los cambios sobre un sistema termodinámico cerrado toman lugar en dirección de la
entroṕıa creciente. Veremos que este paralelismo es más profundo aun. Procederemos
CAPÍTULO 3. LA CONEXIÓN CON LA TERMODINÁMICA 25
a demostrar que es posible dar una definición precisa para la entroṕıa de un agujero
negro.
Resulta ser que el área de un agujero negro está tan ı́ntimamente ligada a la
degradación de la enerǵıa como lo está la entroṕıa. En termodinámica, decir que se
ha incrementado la entroṕıa implica que cierta cantidad de enerǵıa se ha degradado
(no se puede seguir transformando en trabajo). Ahora, como enfatiza Christodoulou,
la masa irreducible representa enerǵıa que no puede ser extráıda por medio de proce-
sos Penrose. En este sentido es enerǵıa inerte que no puede transformarse en trabajo.
Aśı, un incremento en el área superficial correspondeŕıa a la degradación (en el sentido
termodinámico) de cierta cantidad de enerǵıa del agujero negro.
La masa irreducible de un agujero negro de Schwarzschild es simplemente igual a su
masa total. Por tanto, no se puede extraer enerǵıa por medio de procesos Penrose, se
dice entonces que un agujero de Schwarzschild está “muerto.” Sin embargo, la unión de
dos (o más) agujeros negros de Schwarzschild puede radiar enerǵıa en forma de ondas
gravitacionales. La única restricción del proceso es que el área total no decrezca como
resultado de la fusión. A pesar de esto, la suma de las masas irreversibles de cada
agujero negro decrece; esto es, para un sistema de varios agujeros negros la enerǵıa
degradada está dada mejor por
Ed =
(∑
M2ir
)1/2
(3.17)
que por
∑
Mir. De acuerdo a esto, la enerǵıa degradada de un sistema de agujeros
negros es menor que la suma de las enerǵıas degradadas de cada agujero considerado
por separado. Entonces, el combinar agujeros que ya están “‘muertos” se puede aun
obtener enerǵıa. Análogamente, al dejar interactuar dos sistemas termodinámicos (sep-
aradamente en equilibrio), se puede obtener trabajo, mientras que cada sistema por
separado no lo conseguiŕıa.
Con esta relación bien establecida, podemos retomar nuestro estudio de la fun-
ción de entroṕıa dada por (3.13). Aunque nuestra motivación para la introducción del
concepto de entroṕıa para agujeros negros usaba ciertas propiedades de agujeros esta-
cionarios, podemos tomar (3.13) como válida para cualquier tipo de agujero, incluso
uno que evoluciona dinámicamente, ya que el área superficial está bien definida para
todo agujero negro. Las siguientes observaciones soportan esta escogencia.
El incremento de la entroṕıa de un sistema termodinámico en evolución se debe a
la pérdida gradual de información de las condiciones iniciales de la estrella colapsante.
Ahora, cuando un agujero negro se acerca al equilibrio, los efectos de las condiciones
iniciales se pierden (el agujero pierde su cabello); sólo la masa, la carga y el momento
angular determinarán el agujero cuando alcance el equilibrio. Debemos esperar entonces
que la pérdida de información sobre las peculiaridades iniciales del agujero se refleje
en un aumento gradual de S, que es lo que predice precisamente (3.13); por el teorema
de Hawking, S incrementa monótonamente a medida que el agujero negro evoluciona.
CAPÍTULO 3. LA CONEXIÓN CON LA TERMODINÁMICA 26
Por otro lado, sabemos que la posibilidad de provocar el decrecimiento de la entroṕıa
de un sistema termodinámico está ligada con la posibilidad de obtener información
sobre su configuración interna. En oposición, un observador externo no puede adquirir
información acerca del interior de un agujero negro; la naturaleza del horizonte de
eventos previene esto2. Por consiguiente, no se espera que agente externo alguno cause
un decremento en la entroṕıa del agujero. La ecuación (3.13) está de acuerdo con esta
expectativa; por el teorema de Hawking, S nunca disminuye.
Finalmente, ¿cuál función hemos de escoger? Una escogencia posible para f , f(A) ∝
A1/2, no es viable por varias razones. Consideremos dos agujeros negros muy alejados
entre śı inicialmente. La entroṕıa de cada agujero vendŕıa dada por S ∝ A1/2 ∝ Mir en
términos de la masa irreducible. La entroṕıa total es entonces la suma de las entroṕıas
individuales Si ∝
∑
Mir,i. Ahora, los agujeros se acercan y se fusionan, formando
un nuevo agujero negro que alcanza el equilibrio. Durante el proceso, no se conoce
información del interior del agujero, por el contrario, mucha información se pierde
mientras el agujero “pierde cabello.” Aśı que esperamos que la entroṕıa final Sf ∝ Mir,t
exceda la inicial (Sf > Si); comparando, obtenemos que Mir,t >
∑
Mir,i. Si suponemos
que los tres agujeros son agujeros negros de Schwarzschild (M = Mir), nos enfrentamos
a la predicción de que la masa final del agujero es mayor a la suma de las iniciales.
Esto nos conlleva a una contradicción, ya que como vimos más arriba la masa final
decreceŕıa por la emisión de ondas gravitacionales. Por tanto, esta escogencia no es
válida.
La siguiente opción sencilla para f es
f(A) = γA, (3.18)
donde γ es una constante. Siguiendo el mismo razonamiento que usamos con la opción
anterior nos lleva a la conclusión de que el área final del agujero excede el área total
inicial (Af >
∑
Ai). Pero esto es cierto por el teorema del área, aśı que no recuperamos
la contradicción.
Comparando (3.13) y (3.18), vemos que la constante γ debeŕıa tener unidades de
(longitud)−2, pero no tenemos una constante con tales unidades en relatividad general
clásica. Debemos acudir entonces a la teoŕıa cuántica, aunque por ahora la conexión
sea bastante nebulosa. Es aśı como entra en juego la única constante con unidades aśı,
presente en la mecánica cuántica: la longitud de Planck `P ≡ h̄1/2 = (Gh̄/c3)1/2; según
Wheeler esta constante debe jugar un papel crucial en nuestra definición de entroṕıa.
Reemplazando en (3.18) tenemos nuestra primera expresión para la entroṕıa de un
agujero negro
S = ηh̄−1A, (3.19)
donde η es una constante adimensional, que se espera sea del orden de la unidad. Esta
simple expresión propuesta por Bekenstein [11, 12], nos da un primer acercamiento
2Recordar la hipótesis de censura cósmica discutida en la sec. 1.3.2.
CAPÍTULO 3. LA CONEXIÓN CON LA TERMODINÁMICA 27
cualitativo al tratamiento termodinámico de agujeros negros. La aparición de la lon-
gitud de Planck en (3.19) no es sorpresiva (la constante h̄ aparece en la entroṕıa de
diversos sistemas termodinámicos que se tratan clásicamente). De hecho, esto refleja
que la entroṕıa es, en cierto sentido, un conteo de estados del sistema, donde estos
estados son siempre de naturaleza cuántica. Sin embargo, hasta ahora el tratamien-
to termodinámico se ha hecho con base en analoǵıas, sin entenderse aún la realidad
cuántica que subyace a un agujero negro “clásico.”
Parte II
Radiación de Hawking: entroṕıa e
información
28
Caṕıtulo 4
El descubrimiento de Hawking
Como se analizó en el caṕıtulo anterior, podemos caracterizar un agujero negro con
su entroṕıa termodinámica. Más aun, podemos encontrar la temperatura asociada a
dicha entroṕıa combinando las ecuaciones (3.14) y (3.19), para el agujero de KN que
veńıamos estudiando
TAN =
Θ
f ′(A)
=
h̄
η
Θ, (4.1)
y reemplazando Θ de la ecuación (3.9) obtenemos
TAN =
(
h̄
2ηA
) √
M2 −Q2 − a2, (4.2)que para un agujero de Schwarzschild se reduce a la simple expresión
Ts =
h̄
32πηM
. (4.3)
Un agujero masivo tendŕıa entonces una temperatura pequeña comparado con uno
menos masivo.
La entroṕıa de un agujero negro compensaŕıa entonces la entroṕıa perdida de la ma-
teria que cae en él. Por tanto, Bekenstein sugirió [15] una Segunda Ley Generalizada:
la suma de la entroṕıa de agujeros negros más la entroṕıa ordinaria por fuera de ellos
nunca puede decrecer. Sin embargo, la presencia de entroṕıa implica, como ya vimos,
una temperatura para agujeros negros, y sabemos que un cuerpo con temperatura de-
terminada debe emitir radiación a cierta rata. Se requiere de esta radiación para evitar
una violación de la segunda ley. Bekenstein trató de desarrollar una termodinámica
para interacciones entre agujeros negros en relatividad general clásica, pero en esta
teoŕıa no hay un estado de equilibrio para agujeros negros: si un agujero está inmerso
29
CAPÍTULO 4. EL DESCUBRIMIENTO DE HAWKING 30
en un baño de radiación de cuerpo negro, este la absorbe continuamente sin llegar al
equilibrio (notar que cuando la temperatura de la radiación es menor a la del agujero,
la segunda ley es violada).
Fue Hawking [16], en 1975, quien demostró teóricamente que un agujero negro
formado por colapso gravitacional rad́ıa con un espectro térmico definido. Usando
teoŕıa de campos cuánticos, con un campo gravitacional clásico de fondo, se deduce
que si un campo cuántico está en el estado de vaćıo en presencia de un objeto que
comienza a colapsar en un agujero negro, entonces a medida que el radio del objeto
se aproxima al radio del horizonte de eventos, el estado del campo en el exterior del
agujero se acerca a un estado t́ıpico de radiación distribuida térmicamente con una
temperatura de la forma (4.1) con η = 1/4. Esta temperatura es la misma sin importar
el campo usado, ya sea escalar, electromagnético, neutrino, etc.
Ahora podemos escribir (3.19) y (4.1) de forma completa
SAN =
A
4h̄
=
4πM2
h̄
h1 (Q/M, a/M)
≈ 1× 1077
(
M�
M
)2
h1, (4.4)
TAN =
2h̄
A
√
M2 −Q2 − a2
=
h̄
8πM
h2 (Q/M, a/M)
≈ 5× 10−75
(
M�
M
)
h2 m, (4.5)
donde h1(Q/M, a/M) y h2(Q/M, a/M) son dos funciones adimensionales del orden de
la unidad (iguales a uno para Q = a = 0). Es consistente con la segunda ley generaliza-
da que un agujero negro de una masa solar tenga una entroṕıa mayor a la entroṕıa de
una estrella de la misma masa que pudo ser su predecesora. Pero, ¿por qué la supera
en tantos órdenes de magnitud? El principio de Boltzmann que dice que la entroṕıa
de un sistema es el logaritmo del número de configuraciones microscópicas compatible
con las propiedades macroscópicas del sistema, junto con el teorema de “no-cabello”,
sugiere que la entroṕıa de un agujero negro es grande porque su aspecto no puede
darnos precisamente el tipo de sistema que le dio origen. Esta falta de “información
de composición” adicional aumenta el número de configuraciones microscópicas accesi-
bles, aumentando aśı la entroṕıa. Un agujero negro es sinónimo de una gran cantidad
de información perdida.
CAPÍTULO 4. EL DESCUBRIMIENTO DE HAWKING 31
4.1. Segunda Ley Generalizada
Supongamos un cuerpo con cierta entroṕıa ordinaria que cae a un agujero negro
(ver figura 4.1). La entroṕıa del universo visible disminuye entonces en el proceso.
Aqúı pareceŕıa que la segunda ley de la termodinámica es trascendida, ya que ningún
observador externo puede verificar directamente que la entroṕıa total del universo no
decrece en el proceso. Sin embargo, sabemos que el área del agujero negro “compensa”
la desaparición del cuerpo incrementándose irreversiblemente. Entonces no hay necesi-
dad de cambiar el sentido de la ley, sino que la replanteamos en forma generalizada:
la entroṕıa ordinaria en el exterior de un agujero negro más la entroṕıa de este nunca
decrece. Aśı podemos considerar la entroṕıa de agujeros negros como una contribución
genuina al contenido entrópico del universo.
Figura 4.1: Ilustrando la segunda ley generalizada. Caja de gas altamente entrópico
(entroṕıa S) que cae en un agujero negro (entroṕıa SAN); la entroṕıa del agujero negro
debe incrementar por lo menos en una cantidad igual a la entroṕıa de la caja que cae
en él.
El siguiente experimento mental nos ayudará a entender esta nueva ley. Consider-
emos un cuerpo con entroṕıa S que cae en un agujero negro. Como sabemos, S es la
incertidumbre en nuestro conocimiento de la configuración interna del cuerpo. Mientras
el cuerpo se encuentra fuera del agujero podemos efectuar mediciones para desaparecer
dicha incertidumbre y adquirir una cantidad máxima de información S; pero una vez
atraviesa el horizonte de sucesos, esta información es completamente inaccesible. Por
tanto esperamos que la entroṕıa del agujero negro (que mide la cantidad de informa-
ción inaccesible) aumente en S. De hecho, el incremento en SAN seŕıa incluso mayor,
debido a la pérdida de toda la información disponible en el cuerpo antes de caer en el
agujero. Entonces tenemos
∆SAN > S ⇒ ∆SAN − S > 0.
CAPÍTULO 4. EL DESCUBRIMIENTO DE HAWKING 32
Denotando ∆SO como el cambio en entroṕıa ordinaria en el exterior del agujero y
notando que ∆SO = −S, obtenemos finalmente
∆ (SAN + SO) > 0, (4.6)
que es simplemente la segunda ley generalizada propuesta más arriba: la entroṕıa
generalizada SAN + So nunca decrece.
¿A qué entroṕıa se refiere exactamente el enunciado de la segunda ley generalizada
como “entroṕıa ordinaria”? Después de todo, la entroṕıa que asociamos con cierto tipo
de materia depende de la resolución de nuestra descripción. Si esta es más bien pobre e
ignora grados de libertad atómicos, entonces nos referimos a la entroṕıa termodinámica
qúımica. Pero si incluimos grados de libertad atómicos y subatómicos, entonces podrán
existir nuevas contribuciones a la entroṕıa a temperaturas suficientemente altas. Es
fácil de percibir entonces que la “entroṕıa ordinaria” debe tomarse como la entroṕıa
calculada usando mecánica estad́ıstica aplicada a todos los grados de libertad de la
materia y la radiación, sin importar que tan recónditos estos sean. La razón es que la
ley es una ley fundamentalmente gravitacional, y la relatividad, mediante el principio
de equivalencia, toma en cuenta la enerǵıa que reside en todos los grados de libertad.
4.2. Emisión de part́ıculas por agujeros negros
¿Cómo es posible que un agujero negro emita part́ıculas cuando sabemos que nada
puede escapar del interior del horizonte de eventos? Este fenómeno se deduce direc-
tamente de la teoŕıa cuántica: las part́ıculas emitidas no provienen del interior del
agujero, sino del espacio “vaćıo” justo afuera del horizonte de eventos. Esto se puede
entender de la siguiente manera: lo que pensamos como espacio vaćıo no puede ser
completamente vaćıo, ya que esto implicaŕıa que todos los campos, como el gravita-
cional o el electromagnético, tendŕıan que ser exactamente cero. Sin embargo, el valor
de un campo y su rata de cambio con el tiempo en un punto son como la posición y la
velocidad de una part́ıcula: el principio de incertidumbre implica que el conocimiento
preciso de una de estas cantidades generará un conocimiento pobre de la otra. Aśı que
en el espacio vaćıo un campo no puede fijarse en cero, porque tendŕıa tanto un valor
preciso (cero) como una razón de cambio precisa (cero también). Por consiguiente,
debe exisir cierta cantidad de incertidumbre, o fluctuaciones del vaćıo, en el valor del
campo. Podemos pensar en estas fluctuaciones como pares part́ıcula-antipart́ıcula que
aparecen en algún momento, se separan, vuelven a unirse y se aniquilan entre śı. Las
part́ıculas (y antipart́ıculas) en cuestión son virtuales, es decir, no pueden ser obser-
vadas directamente con un detector de part́ıculas. Sin embargo, sus efectos indirectos,
como pequeños cambios en la enerǵıa de las órbitas del electrón en el átomo, puedenmedirse y concuerdan con las predicciones teóricas bajo un buen nivel de precisión.
Por simple conservación de enerǵıa, esta no puede crearse de la nada, aśı que en
un par part́ıcula-antipart́ıcula, uno tendrá enerǵıa positiva, y el otro, enerǵıa negati-
CAPÍTULO 4. EL DESCUBRIMIENTO DE HAWKING 33
va. El que tenga enerǵıa negativa tendrá una vida corta, ya que las part́ıculas reales
tienen enerǵıa positiva en situaciones normales. Aśı que debe buscar a su compañero y
aniquilarse entre śı. Sin embargo, una part́ıcula real en la vecindad de un cuerpo masi-
vo tiene menos enerǵıa que la que tendŕıa si estuviese lejos, ya que se requiere enerǵıa
para llevarla lejos en contra de la atracción gravitacional del cuerpo. Normalmente, la
enerǵıa de la part́ıcula sigue siendo positiva, pero el campo gravitacional producido
por un agujero negro es tan fuerte que incluso una part́ıcula real puede tener enerǵıa
negativa alĺı.
Figura 4.2: Diagrama esquemático de fluctuaciones del vaćıo en presencia de un agu-
jero negro. Si el par se crea lo suficientemente cerca del horizonte de eventos, una
componente caerá en el agujero, mientras que la otra tiene la posibilidad de escapar:
el agujero emite una part́ıcula (o antipart́ıcula).
Es por tanto posible que en presencia de un agujero negro, la part́ıcula virtual con
enerǵıa negativa caiga en el agujero y se vuelva una part́ıcula o antipart́ıcula real. En
este caso ya no necesita aniquilarse con su compañera, que puede también caer en el
agujero; o, teniendo enerǵıa positiva, podŕıa escapar la vecindad del agujero como una
part́ıcula o antipart́ıcula real (ver figura 4.2). Para un observador a cierta distancia,
parecerá que la part́ıcula fue emitida por el agujero mismo. Entre más pequeño el
agujero negro, es menor la distancia que la part́ıcula con enerǵıa negativa debe atrav-
esar antes de convertirse en real, y por consiguiente mayor la tasa de emisión y la
temperatura aparente del agujero negro.
La enerǵıa positiva de la radiación saliente será balanceada por un flujo de part́ıculas
con enerǵıa negativa hacia el interior del agujero. Debido a la proporcionalidad masa-
enerǵıa, un flujo de enerǵıa negativa hacia el agujero reduciŕıa su masa. Como el agujero
pierde masa, el área del horizonte de eventos decrece, pero esta disminución en la
entroṕıa del agujero negro es más que compensada por la entroṕıa de la radiación
emitida, de modo que la segunda ley generalizada nunca es violada1. Este efecto de
1Notar el poder de la segunda ley generalizada: aunque los efectos cuánticos violan el teorema
CAPÍTULO 4. EL DESCUBRIMIENTO DE HAWKING 34
pérdida de masa se conoce como “evaporación de agujeros negros.”
4.3. Un modelo sencillo para radiación de Hawking
El siguiente método [17] trata la evaporación de agujeros negros usando el hecho de
que las fluctuaciones mecánico-cuánticas permiten el paso de enerǵıa a través de una
barrera impenetrable clásicamente, como explicábamos más arriba.
Consideremos un agujero negro de Schwarzschild con extensión espacial determi-
nada por el radio de Schwarzschild rs = 2M . Podemos decir que la incertidumbre en
la medición de la posición de la materia en el interior del agujero es del orden de 2rs.
Del principio de incertidumbre tenemos
∆px∆py∆pz∆x∆y∆z ≈
(
h̄
2
)3
. (4.7)
Sabemos que la enerǵıa para part́ıculas relativistas es E = p con p2 = p2x+p
2
y+p
2
z. Como
el agujero negro está en reposo, ∆px, ∆py y ∆pz no sólo representan fluctuaciones de
momento, sino también son las componentes del momento fluctuante ∆p, por lo cual
podemos escribir
∆px∆py∆pz ≈
4π
3
(∆p)3 =
4π
3
(∆E)3 . (4.8)
Por otro lado, ∆x∆y∆z es la incertidumbre espacial en tres dimensiones, y corresponde
al volumen del agujero negro
∆x∆y∆z =
4π
3
r3s =
4π
3
(2M)3 . (4.9)
Finalmente sustituimos estos resultados en (4.7)
∆E =
h̄
M
(
9
1024π2
)1/3
(4.10)
∆E ≈ 2× 10−74
(
M�
M
)
m (4.11)
Podemos interpretar este resultado de la siguiente manera: clásicamente, la enerǵıa
que está en el interior de un agujero negro no puede dejarlo e ir hasta infinito, ya que
la velocidad de escape más allá del horizonte de eventos excede la velocidad de la luz.
Sin embargo, el principio de incertidumbre nos permite “conseguir” cierta cantidad de
enerǵıa ∆E por un tiempo ∆t. Si este tiempo es suficiente para que la enerǵıa viaje una
clásico del área, la cantidad S + A/4h̄ nunca decrecerá, ya que dependiendo del proceso en cuestión
un término compensará al otro o viceversa, obteniendo siempre una cantidad mayor a cero.
CAPÍTULO 4. EL DESCUBRIMIENTO DE HAWKING 35
distancia igual al radio de Schwarzschild, una cantidad de enerǵıa ∆E puede aparecer
justo por fuera del horizonte. Esto es simplemente el efecto túnel, con una barrera
de potencial gravitacional que se extiende hasta el infinito. La enerǵıa no tiene que
tunelar hasta infinito (lo que tomaŕıa un tiempo infinito, dejando como única opción
la no emisión energética), sino simplemente hasta justo en el exterior de la superficie
definida por rs.
Hawking introdujo la radiación de cuerpo negro efectiva en términos de la con-
stante de Stefan-Boltzmann y la cuarta potencia de la temperatura del cuerpo negro.
A medida que un agujero negro rad́ıa, su masa se comporta como una función decre-
ciente. Podemos calcular la potencia radiada por el agujero por dos caminos. La ley de
Stefan-Boltzmann nos proporciona uno de ellos [18]: P = (4πr2s)σT
4
s , usando rs = 2M
y la ecuación (4.5) con h2 = 1
P =
h̄
15,360πM2
≈ 4× 10−80
(
M�
M
)2
. (4.12)
Para entender mejor el significado de este resultado, podemos ver esta potencia como
la razón de cambio de la masa del agujero negro con respecto al tiempo P ≈ −dM/dt
con correcciones al orden de magnitud que vienen del efecto del corrimiento al rojo
gravitacional, factores geométricos relativistas, y la estad́ıstica de las part́ıculas (Bose
o Fermi). En CGS
dM
dt
≈ −10−42
(
M�
M
)2
g s−1; (4.13)
obviamente a medida que el agujero pierde masa, este rad́ıa más rápidamente y la
pérdida de masa se acelera. Todav́ıa no se sabe qué pasa cuando la masa del agujero
desciende a la escala de Planck, en cuyo momento se estaŕıa tratando con un fenómeno
puramente de gravedad cuántica. La evaporación completa de un agujero negro, o por
lo menos a un objeto en la escala de Planck, debe tomar alrededor de 1072 (M/M�)
3 s.
Un agujero negro ligeramente más pequeño que un protón tendŕıa entonces un tiempo
de vida menor que la edad del universo. La evaporación es lenta, pero no es un fenómeno
completamente hipotético.
Por otro lado, podemos estimar el mismo resultado para la potencia a partir de la
ecuación (4.10) y el principio de incertidumbre ∆E∆t ≈ h̄/2
P =
∆E
∆t
≈ 2 (∆E)
2
h̄
=
2h̄
M2
(
9
1024π2
)2/3
≈ 2× 10−78
(
M�
M
)2
. (4.14)
CAPÍTULO 4. EL DESCUBRIMIENTO DE HAWKING 36
Comparando este resultado con el obtenido por Page [18] y recuperado por nosotros
en (4.12), PPage = 2 × 10−2Pnuestro. Tenemos entonces una sobreestimación, en parte
por no tomar en cuenta el efecto del corrimiento al rojo gravitacional. Una conse-
cuencia importante de todo este desarrollo es que la potencia radiada es una función
decreciente de la masa de un agujero negro. Esto puede entenderse cualitativamente
de la siguiente forma: el radio de Schwarzschild de un agujero negro es proporcional
a su masa. Las fluctuaciones de momento, y por ende de enerǵıa, son inversamente
proporcionales a la extensión espacial del agujero, los agujeros más pesados con may-
or extensión espacial fluctúan con menos “violencia”, aśı que menos enerǵıa puede
escapar. Alternativamente, entre mayor el agujero negro, mayor es la duración de la
“deuda” de enerǵıa cuántica, y por tanto menor su valor permitido. Incidentalmente,
esto es también un indicador de por qué el estimado es tan alto: la enerǵıa debeŕıa
tunelar a una distancia bien por fuera del radio de Schwarzschild,