Mecanica_Avanzada_Estructuras

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Mecánica Avanzada de Estructuras 
 
 
 
Mecánica Avanzada de Estructuras 
 
 
 
 
 
Miguel Cervera Ruiz 
José M. González López 
 
Universidad Politécnica de Cataluña 
Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería 
 
 
 
 
 
Publicado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecánica Avanzada de Estructuras 
 
Miguel Cervera Ruiz 
José M. González López 
 
 
2020 
 
 
 
© Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería (CIMNE) 
Gran Capitán s/n, 08034 Barcelona, España 
www.cimne.com 
 
 
 
ISBN: 978-84-121101-3-5 
 
 
A nuestros estudiantes
I
II
Prólogo
“Mecánica Avanzada de Estructuras” tiene el objetivo de proporcionar a los estudiantes
de grado de ingenieŕıa una visión y una comprensión extendida del análisis estructural
y de sus aplicaciones, más allá del comportamiento estático y lineal de estructuras de
barras. El planteamiento del texto coincide con el de asignaturas de Mecánica de Es-
tructuras que, con diferentes nombres, desarrollan la materia de Teoŕıa de Estructuras
en las diversas titulaciones de grado y master en ingenieŕıa. La obra recoge la experien-
cia docente de los autores en asignaturas relacionadas con el Análisis de Estructuras en
la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Barcelona.
El libro se presenta como una extensión del cálculo estático de estructuras de barras
desarrollado en el libro “Mecánica de Estructuras”, por lo que se suponen conocimien-
tos previos de elasticidad lineal y teoŕıa de estructuras, aśı como de algebra matricial y
ecuaciones diferenciales. Los desarrollos teóricos se acompañan con abundantes ejem-
plos y figuras explicativas.
En el Caṕıtulo 1 se establecen las bases de cálculo para el proyecto y diseño de estruc-
turas, introduciendo el concepto incertidumbre y su tratamiento, el tipo de acciones
sobre una estructura, los distintos escenarios y la combinación de acciones a considerar
en el cálculo. Se presenta el cálculo de ĺıneas de influencia y su aplicación directa en
la determinación de las envolventes de esfuerzos, que permiten determinar las acciones
de cálculo en proyecto.
En el Caṕıtulo 2 se estudian las estructuras funiculares, arcos y cables. Se desarrolla
la metodoloǵıa de cálculo en cada tipoloǵıa.
En el Caṕıtulo 3 se aborda el pandeo y la inestabilidad estructural. Se desarrolla el
análisis de segundo orden, partiendo del análisis de la respuesta estructural de vigas
cuando el equilibrio se plantea en la configuración deformada. Esto permite introducir
el concepto de carga cŕıtica de pandeo, bifurcación y divergencia de equilibrio. Final-
mente, se extiende el análisis de segundo orden al estudio de estructuras complejas
mediante el cálculo matricial.
En el Caṕıtulo 4 se afronta análisis estructural más allá del ĺımite elástico del material,
hasta el colapso de la estructura. El objetivo de este Caṕıtulo es determinar tanto la
III
carga última de la estructura como el mecanismo de colapso. Esto implica introducir
conceptos como el momento plástico de la sección y el de rótula plástica. Se presentan
los teoremas fundamentales del análisis ĺımite aśı como las metodoloǵıas derivadas de
los mismos.
En el Caṕıtulo 5 se desarrolla la formulación de placas delgadas. Las placas son ele-
mentos estructurales en los que existen dos dimensiones predominantes, por lo que el
problema asociado es bidimensional. La formulación desarrollada se aplica a los dos
casos de mayor interés: placas rectangulares y placas circulares.
El Caṕıtulo 6 está dedicado al cálculo dinámico. Se estudia un sistema dinámico de un
grado de libertad para introducir y estudiar las caracteŕısticas diferenciadoras del prob-
lema dinámico en relación al problema estático. Los métodos se extienden a sistemas
de múltiples grados de libertad, lo que lleva a la formulación matricial del problema
dinámico.
Los autores agradecen la contribución de los profesores Prof. Benjamı́n Suárez, cuyos
años de docencia son el origen de esta obra, Prof. Ramon Codina, por su ayuda,
comentarios y sugerencias en varios de los caṕıtulos, y al Prof. Gabriel Bugeda, por
acometer la revisión del manuscrito. Asimismo, agradecemos a Raúl Giménez por la
delineación de las figuras que complementan el texto y a Irene Cervera por la realización
de la portada.
Agradecemos igualmente a la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos,
Canales y Puertos de Barcelona y al Centro Internacional de Métodos Numéricos en
Ingenieŕıa (CIMNE) por el apoyo recibido a través de sus programas de innovación
docente que han permitido la elaboración de este material.
Finalmente, agradecemos a nuestras familias el apoyo y comprensión recibidos, sin los
cuales no hubiera sido posible este trabajo.
Miguel Cervera Ruiz y José Manuel González López
Barcelona, Julio de 2020
IV
Índice
1 Análisis estructural y seguridad 1
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Vida útil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Incertidumbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Criterios de seguridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Métodos deterministas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 Métodos probabilistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.3 Métodos semiprobabilistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Acciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.1 Normativas aplicables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.2 Tipos de acciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.2.1 Acciones variables: Sobrecarga de uso . . . . . . . . . . 6
1.4.2.2 Acciones variables: Acción del viento . . . . . . . . . . 7
1.4.2.3 Acciones variables: Carga de nieve . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2.4 Acciones variables: Cargas térmicas . . . . . . . . . . . 9
1.4.2.5 Acciones accidentales: Acciones śısmicas . . . . . . . . 9
1.4.2.6 Acciones accidentales: Incendio . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.2.7 Acciones accidentales: Impacto . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.3 Valores de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Método de los estados ĺımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.1 Definición y categoŕıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.2 Combinaciones de acciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Ĺıneas de influencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6.1 Definición de ĺınea de influencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6.2 Ĺıneas de influencia de estructuras articuladas . . . . . . . . . . 21
1.6.3 Ĺıneas de influencia de vigas de plano medio . . . . . . . . . . . 24
1.6.4 Aplicación de las ĺıneas de influencia . . . . . . . . . . . . . . . . 30
V
1.6.4.1 Sistemas de cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.4.2 Cargas distribuidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.7 Envolventes de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Cables y arcos 49
2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.1 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.2 Hipótesis de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.3 Cable sometido a cargas concentradas . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.4 Cable sometido a cargas distribuidas . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3 Arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3.1 Antecedentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3.2 Arco indeformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3.3 Arco deformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.4 Arco triarticulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3 Inestabilidad 83
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2 Niveles de aproximación geométrica. Análisis de segundo orden . . . . . 84
3.3 Teoŕıa de Euler para columnas esbeltas. Piezas ideales . . . . . . . . . . 85
3.3.1 Carga cŕıtica en piezas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3.1.1 Viga articulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3.1.2 Viga empotrado-articulada . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3.1.3 Viga biempotrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3.1.4 Viga en ménsula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3.1.5 Viga biarticulada con apoyo elástico . . . . . . . . . . . 92
3.3.2 Longitud efectiva de pandeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.3.3 Verificación estructural a pandeo. Concepto de esbeltez . . . . . 96
3.4 Piezas no ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4.1 Axil excéntrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.4.2 Deformación inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.4.3 Pieza con carga transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.5 Enerǵıa potencial total estacionaria. Método de Rayleigh-Ritz . . . . . . 110
3.5.1 Pieza biarticulada con carga axial de compresión . . . . . . . . . 110
3.5.2 Pieza con carga transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.5.3 Método de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.5.4 Comportamiento real de las estructuras . . . . . . . . . . . . . . 116
VI
3.6 Formulación matricial del problema de inestabilidad . . . . . . . . . . . 117
3.6.1 Estructuras reticuladas de plano medio . . . . . . . . . . . . . . 118
3.6.1.1 Matriz elemental de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.6.1.2 Matriz de rigidez aproximada. Matriz geométrica . . . 121
3.6.2 Estructuras articuladas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.6.3 Transformación de coordenadas y ensamblaje de la matriz global 124
3.6.4 Resolución del problema no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.6.4.1 Método de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.6.4.2 Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.6.4.3 Criterios de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.6.4.4 Esquema de resolución del problema no lineal . . . . . . 126
3.6.5 Análisis lineal de bifurcación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4 Análisis plástico 139
4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.2 Relación tenso-deformacional. Comportamiento plástico . . . . . . . . . 140
4.3 Plastificación en estructuras articuladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.3.1 Estructura articulada de tres barras . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.3.2 Estructura articulada de cinco barras . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.4 Plastificación en estructuras reticuladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.4.1 Plastificación en sección: Momentos elástico y plástico . . . . . . 152
4.4.1.1 Sección rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.4.1.2 Sección romboidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.4.1.3 Sección corona y circular . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.4.1.4 Sección doble T simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.4.1.5 Sección doble T asimétrica . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.4.2 Efecto del esfuerzo axil en el momento plástico . . . . . . . . . . 160
4.4.3 Análisis elasto-plástico en vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.4.3.1 Viga biarticulada con carga puntual . . . . . . . . . . . 164
4.4.3.2 Viga biarticulada con carga distribuida . . . . . . . . . 165
4.4.3.3 Viga biapoyada con voladizo bajo carga distribuida . . 167
4.4.3.4 Viga empotrado-articulada bajo carga distribuida . . . 169
4.4.3.5 Viga biempotrada con cargas puntuales simétricas . . . 171
4.4.3.6 Viga biempotrada con cargas puntuales asimétricas . . 173
4.4.3.7 Viga continua de dos vanos . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.5 Implementación computacional del análisis elasto-plástico . . . . . . . . 177
4.6 Análisis ĺımite plástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.6.1 Teoremas del análisis ĺımite plástico . . . . . . . . . . . . . . . . 184
VII
4.6.1.1 Teorema de unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.6.1.2 Teorema estático o del ĺımite inferior . . . . . . . . . . 185
4.6.1.3 Teorema cinemático o del ĺımite superior . . . . . . . . 185
4.6.2 Método cinemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.6.2.1 Viga biarticulada bajo carga puntual . . . . . . . . . . 188
4.6.2.2 Viga biarticulada bajo carga distribuida . . . . . . . . . 188
4.6.2.3 Viga biarticulada con voladizo con carga distribuida . . 189
4.6.2.4 Viga biempotrada bajo cargas puntuales asimétricas . . 191
4.6.2.5 Viga continua de dos vanos . . . . . . . . . . . . . . . . 194
4.6.3 Combinación de mecanismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
4.6.3.1 Pórtico pilar-dintel con carga de viento . . . . . . . . . 197
4.6.3.2 Pórtico hiperestático asimétrico . . . . . . . . . . . . . 200
5 Flexión de placas delgadas 205
5.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.2 Hipótesis estructurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.3 Placas rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.3.1 Desplazamientos y deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.3.2 Tensiones y esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.3.3 Ecuaciones de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.3.4 Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.3.5 Solución de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.3.5.1 Carga distribuida uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.3.5.2 Carga distribuida lineal creciente en x . . . . . . . . . . 221
5.3.5.3 Carga distribuida en banda . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.3.5.4 Carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.3.6 Otras soluciones para placas rectangulares delgadas . . . . . . . 226
5.4 Placas circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.4.1 Ecuación de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.4.2 Soluciones para placas circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.4.2.1 Carga distribuida uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.4.2.2 Carga distribuida lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
5.4.2.3 Carga puntual en el centro de la placa . . . . . . . . . . 238
5.4.2.4 Momento distribuido en el borde . . . . . . . . . . . . . 241
6 Dinámica de estructuras 245
6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.2 Sistemas con un grado de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
VIII
6.2.1 Vibración libre no amortiguada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.2.2 Vibración libre amortiguada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.2.2.1 Sobreamortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.2.2.2 Amortiguamiento cŕıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.2.2.3 Inframortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.2.3 Vibración forzada armónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.2.4 Vibración forzada no armónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.2.4.1 Respuesta dinámica frente a funcionesde excitación sim-
ples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.2.4.2 Respuesta dinámica para una excitación general.
Integral de Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.2.5 Espectros de respuesta para cargas impulsivas . . . . . . . . . . . 273
6.2.6 Espectros de respuesta para cargas rampa-escalón con tiempo
finito de incremento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
6.2.7 Espectros śısmicos de respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
6.2.7.1 Espectro de respuesta para una aceleración en la base . 279
6.2.7.2 Pseudo-espectros de respuesta śısmica . . . . . . . . . . 281
6.2.7.3 Pseudo-espectros sintéticos y espectros de diseño . . . . 282
6.3 Sistemas con múltiples grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
6.3.1 Vibración libre. Frecuencias y modos propios de vibración . . . . 284
6.3.2 Vibración libre amortiguada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
6.3.3 Vibración forzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
6.4 Trabajos virtuales y minimización de la enerǵıa potencial . . . . . . . . 287
6.4.1 Principio de Hamilton o de Mı́nima Acción . . . . . . . . . . . . 287
6.4.2 Conservación de la enerǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
6.5 Solución numérica de la ecuación de equilibrio dinámico.
Método de Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
6.5.1 Sistema dinámico con un grado de libertad . . . . . . . . . . . . 291
6.5.2 Sistema dinámico con múltiples grados de libertad . . . . . . . . 297
6.6 Solución modal de la ecuación de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . 297
6.6.1 Frecuencias y modos propios de vibración . . . . . . . . . . . . . 298
6.6.2 Descomposición y superposición modal . . . . . . . . . . . . . . . 299
6.7 Análisis śısmico de edificios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
6.7.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
6.7.2 Idealización estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
6.7.3 Análisis modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
IX
6.7.3.1 Componentes modales de fuerzas dinámicas, esfuerzos
cortantes y momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
6.7.3.2 Valores de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
A Fórmulas y desarrollos matemáticos 315
A.1 Análisis estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
A.1.1 Distribución más desfavorable de cargas para momentos flectores
positivo y negativo en una viga continua de dos vanos . . . . . . 315
A.1.2 Distribución más desfavorable de cargas para flecha en una viga
continua de dos vanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
A.2 Estructuras funiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
A.2.1 Funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
A.2.2 Aproximación de una función mediante un desarrollo en serie de
Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
A.3 Inestabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
A.3.1 Constantes propias de la formulación del problema de inestabilidad319
A.3.2 Solución de una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden 319
A.3.3 Matriz de rigidez aproximada por el método de Rayleigh-Ritz . . 319
A.4 Cálculo de placas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
A.4.1 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
A.4.2 Fórmulas trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
A.4.3 Integrales polinomio-trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . 324
A.4.4 Integrales polinomio-logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
A.4.5 Transformación de coordenadas cartesianas a polares . . . . . . . 325
A.5 Cálculo dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
A.5.1 Función exponencial imaginaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
A.5.2 Relaciones entre constantes de integración . . . . . . . . . . . . . 326
A.5.3 Método de reducción de orden para EDO’s de segundo orden . . 327
A.5.4 Cálculo de la rigidez de un pórtico para un desplazamiento hori-
zontal del dintel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
B Tablas 331
X
XI
XII
1 Análisis estructural y seguridad
1.1 Introducción
La ingenieŕıa estructural es la rama de la ingenieŕıa que trata la concepción, el diseño y
la construcción de las estructuras necesarias para desarrollar las actividades humanas.
Como tal, la ingenieŕıa estructural contempla cuatro criterios básicos que las estruc-
turas, como cualquier otro ingenio humano, deben satisfacer; éstos son:
• funcionalidad: toda estructura debe servir para aquello para lo que ha sido con-
cebida.
• seguridad: toda estructura debe soportar las cargas a las que se ve sometida
durante su vida útil.
• economı́a: toda estructura debe construirse aprovechando los recursos materiales
disponibles.
• estética: toda estructura debe tener una apariencia exterior adecuada.
El Análisis de Estructuras tiene como objetivo fundamental determinar la respuesta
de las estructuras cuando éstas se ven sometidas a las diferentes acciones que deben
soportar durante su construcción y vida útil. Por“respuesta estructural” se entiende
la determinación de los estados de tensión y deformación a los que la estructura va
a estar sometida por efecto de los diferentes estados de carga que se consideran. La
determinación de los estados de tensión es necesaria de cara a satisfacer los criterios de
resistencia que establecen las correspondientes normativas y los usos de buena práctica
para garantizar la seguridad de las estructuras. Por su parte, la determinación de los
estados de deformación suele ser necesaria para satisfacer los criterios de rigidez, que
están a menudo ligados a requisitos de funcionalidad. Por tanto, el Análisis de Es-
tructuras pretende establecer las condiciones de resistencia y rigidez de las estructuras
1
2 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y SEGURIDAD
analizadas.
En este primer caṕıtulo se presentan algunos conceptos generales a tener en cuenta en
el diseño y comprobación de estructuras como son la vida útil de diseño, las normativas
que en cada caso ha de cumplir el proyecto, los tipos de acciones o las incertidumbres y
cómo se afrontan. Se describe la metodoloǵıa de los estados ĺımite empleada habitual-
mente en el Análisis Estructural, incluyendo el concepto de combinación de acciones.
Las acciones de proyecto se calculan a partir del concepto de envolvente de esfuerzos.
Se presenta la metodoloǵıa para la determinación de dichas envolventes de esfuerzos
mediante el uso de ĺıneas de influencia. El caṕıtulo se completa con diversos ejemplos
ilustrativos de la aplicación de los conceptos desarrollados.
1.2 Conceptos generales
Una estructura debe ser proyectada, construida y mantenida para soportar las acciones
que le afectan tanto durante el periodo de construcción como durante la vida útil
prevista en el proyecto, manteniendo su funcionalidad.
1.2.1 Vida útil
Se define la vida útil de una estructura como el periodo de tiempo a partir del final de su
ejecución durante el cual debe garantizar unos requisitos de seguridad y funcionalidad
de proyecto, además de unas condiciones estéticas aceptables. Esto requiere un plan
de seguimiento y mantenimiento durante ese periodo.
La vida útil nominal es un parámetro que debe ser fijado por la propiedad de la es-
tructura al inicio del proyecto. Este valor nunca será inferior a lo indicado en las
reglamentaciones aplicables en cada caso. En la Tabla 1.1 se detallan las vidas útiles
para algunos tipos de estructura según la Instrucción de Hormigón Estructural (EHE-
08) en su caṕıtulo I “Principiosgenerales”, art́ıculo 5◦.
1.2.2 Incertidumbres
No es posible garantizar la seguridad absoluta en la respuesta de una estructura, por lo
que es necesario disponer de métodos para evaluar la incertidumbre de las variables que
intervienen en las acciones sobre las estructuras y en la respuesta de éstas. Se puede
distinguir:
- Incertidumbre f́ısica: El valor de las acciones aśı como de la resistencia y rigidez de
la estructura no son variables deterministas, sino variables aleatorias que siguen
1.3. CRITERIOS DE SEGURIDAD 3
Tipo de estructura Vida útil nominal
- Estructuras de carácter temporal. 3-10 años
- Elementos estructurales reemplazables, que no forman parte 10-25 años
de la estructura principal (barandillas, apoyos de tubeŕıas)
- Edificios o instalaciones agŕıcolas o industriales, 15-50 años
y obras maŕıtimas.
- Edificios de viviendas u oficinas, puentes u obras de paso de 50 años
longitud inferior a 10 m y estructuras de ingeneŕıa civil
(salvo las maŕıtimas) de repercusión económica baja o media
- Edificios públicos de salud y educación. 75 años
- Edificios de carácter monumental o de importancia especial. 100 años
- Puentes de longitud total superior a 10 m y 100 años
obras de ingenieŕıa civil de repercusión económica alta.
Tabla 1.1: Vida útil nominal para diversos tipos de estructura (EHE-08)
una determinada distribución de probabilidad con un valor promedio y una varia-
bilidad asociada. Estos valores son desconocidos y aunque pueden ser estimados,
el valor de cálculo está sometido a la incertidumbre derivada del empleo de un
número necesariamente finito de muestras.
- Incertidumbre sobre modelo: El diseño de estructuras hace uso de modelos de
cálculo que aproximan la realidad f́ısica pero introducen hipótesis simplificativas
que es necesario verificar. La mayor o menor adecuación de las mismas a la
realidad condicionará la bondad de los resultados obtenidos.
1.3 Criterios de seguridad
La seguridad de una estructura se basa en garantizar que la solicitación actuante (S)
es menor que la respuesta estructural (R) en todos los supuestos de comportamiento
de la estructura tanto durante su ejecución como durante su vida útil.
Para evaluar la seguridad de un diseño se emplean distintos métodos que pueden agru-
parse en tres categoŕıas: métodos deterministas, métodos semiprobabilistas y métodos
probabilistas.
1.3.1 Métodos deterministas
Los métodos deterministas determinan la solicitación (S) y la respuesta (R) a par-
tir de valores nominales, tratados como si fueran ciertos. Se introducen coeficientes
4 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y SEGURIDAD
de seguridad (de mayoración y minoración) con valores convencionales basados en la
experiencia.
1.3.2 Métodos probabilistas
En los métodos probabilistas se trata la solicitación (S) y la respuesta (R) como varia-
bles aleatorias, de naturaleza incierta, asignándoles distribuciones de probabilidad. Los
coeficientes de seguridad se introducen de manera objetiva para cuantificar la proba-
bilidad de fallo.
1.3.3 Métodos semiprobabilistas
La mayoŕıa de las normativas modernas, como la instrucción de hormigón estructural
(EHE-08) o la instrucción de acero estructural (EAE-11), siguen el planteamiento pro-
babilista pero con un tratamiento simplificado en el que únicamente se tiene en cuenta
la aleatoriedad de las variables más significativas: las acciones en el cálculo de la solic-
itación y las resitencias en el cálculo de la respuesta. Este planteamiento identifica a
los métodos semiprobabilistas.
En los métodos semiprobabilistas se definen unos valores de referencia a los cuales se
aplican coeficientes de mayoración (o minoración) para definir los denominados valores
caracteŕısticos ligados a una baja probabilidad, t́ıpicamente el 5%, de ser excedidos, o
contrariamente, de no ser alcanzados. Los valores de los coeficientes son fijados por la
normativa, aunque la norma no detalla el desarrollo de la obtención de los mismos.
En el diseño y comprobación de estructuras se emplea el método de los estados ĺımites
últimos enmarcados en esta categoŕıa. Este método tiene en cuenta de forma sencilla
el carácter aleatorio tanto de la solicitación sobre la estructura como de la respuesta de
ésta. El valor de cálculo de una variable se obtiene a partir de un valor representativo,
ponderado mediante un coeficiente parcial de seguridad.
Dichos coeficientes parciales de seguridad no tienen en cuenta los posibles errores hu-
manos; éstos deben ser evitados mediante mecanismos de control de calidad sobre el
proyecto, la ejecución, el uso y el mantenimiento de la estructura.
1.4 Acciones
1.4.1 Normativas aplicables
En España, las acciones de diseño de una estructura están definidas en los siguientes
reglamentos vigentes:
1.4. ACCIONES 5
- EHE-08 Instrucción de Hormigón Estructural (Ministerio de Fomento. BOE
22/08/08. https://www.fomento.gob.es).
- EAE-11 Instrucción de acero estructural (Ministerio de fomento BOE 27/05/11.
https://www.fomento.gob.es).
- CTE Código Técnico de Edificación (Ministerio de Vivienda. BOE 28/03/06.
https://www.codigotecnico.org).
- IAP-11 Instrucción sobre las acciones a considerar en el proyecto de puentes de
carretera (Ministerio de Fomento. BOE 29/09/11. https://www.fomento.gob.es).
- IAPF-07 Instrucción relativa a las acciones a considerar en el proyecto de puentes
de ferrocarril (Ministerio de Fomento. BOE 17/12/07. https://www.fomento.gob.es).
Todas estas normativas están adaptadas a las normas desarrolladas en el ámbito europeo
(Eurocódigos).
1.4.2 Tipos de acciones
En las normativas vigentes las acciones se clasifican de diversos modos, con especial
relevancia a su variación en el tiempo:
- Permanentes (G): Son las acciones que actúan en todo momento y son constantes
en posición y magnitud. Habitualmente comprenden el peso propio y las cargas
muertas.
- Permanentes de valor no constante (G*): Son las acciones que actúan en todo
momento pero cuya magnitud no es constante. Se consideran en esta categoŕıa
fuerzas de pretensado, asientos, acciones reológicas, etc.
- Variables (Q): Son las acciones externas que pueden actuar o no sobre la estruc-
tura. T́ıpicamente, se consideran como acciones variables las sobrecargas de uso,
las acciones climáticas como viento, nieve, etc.
- Accidentales (A): Son las acciones cuya probabilidad de actuación durante un
periodo de referencia establecido es pequeña, pero cuya importancia puede ser
considerable en ciertas estructuras, como es el caso del sismo, de explosiones,
impactos, etc.
A continuación se describen con detalle las diferentes acciones de tipo variable o acci-
dental junto con las consideraciones necesarias para su aplicación.
6 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y SEGURIDAD
1.4.2.1 Acciones variables: Sobrecarga de uso
La sobrecarga de uso es el peso de todo lo que puede gravitar sobre la estructura por
razón de su utilización.
En edificios, la sobrecarga de uso puede simularse con una carga uniformemente repar-
tida. El CTE define dicha carga distribúıda según el uso del edificio a proyectar. Para
comprobaciones locales de capacidad portante se define una carga concentrada actuando
sobre cualquier punto de la zona. La Figura 1.1 muestra algunos valores caracteŕısticos
de sobrecarga de uso definidos por el CTE.
En puentes de carretera, la IAP define las sobrecargas de uso a tener en cuenta como
un tren de cargas que consta de: a) componentes verticales (fuerzas gravitatorias) y b)
componentes horizontales (fuerzas de frenado, arranque y fuerza centŕıfuga).
Las componentes verticales del tren de cargas son:
• Una sobrecarga uniforme de 4 kN/m2 extendida en toda la plataforma del tablero
o en parte de ella, según sea más desfavorable para el elemento en estudio.
• Uno o dos veh́ıculos de 600 kN repartidos en 6 cargas puntuales de 100 kN en
número y posicióndeterminados por la propia instrucción.
Figura 1.1: Valores caracteŕısticos de la sobrecarga de uso (CTE)
1.4. ACCIONES 7
• Una sobrecarga uniforme de 4 kN/m2 extendida en toda la superficie o en parte
de ella, según sea más desfavorable para el elemento en estudio de aceras, pistas
de ciclistas o ciclomotores, medianas que estén separadas de la plataforma del
tablero.
1.4.2.2 Acciones variables: Acción del viento
La distribución y el valor de las presiones que ejerce el viento sobre una estructura
y las fuerzas resultantes dependen de varios factores: la geometŕıa y las dimensiones
de la estructura, las caracteŕısticas y permeabilidad de sus superficie y la dirección,
intensidad y racheo del viento.
En edificios, la acción del viento qe es una presión perpendicular a la superficie en cada
punto expuesto y puede expresarse como (CTE):
qe = qb · ce · cp (1.1)
donde qb es la presión dinámica del viento, que de forma simplificada puede adop-
tarse igual a 0,5 kN/m2, ce es el coeficiente de exposición, variable con la altura del
punto considerado, y cp es el coeficiente eólico o de presión, dependiente de la forma y
orientación de la superficie respecto al viento (Figura 1.2).
Figura 1.2: Coeficientes de exposición y eólicos (CTE)
En puentes, la acción del viento puede asimilarse a una carga estática, salvo en estruc-
turas muy flexibles en las que puede originarse fenómenos vibratorios importantes. El
8 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y SEGURIDAD
empuje producido por el viento se calcula por separado para cada elemento del puente,
según la expresión (IAP):
F = CD ·A ·
(
1
2
ρ V 2C
)
(1.2)
donde F es el empuje horizontal del viento, CD es el coeficiente de arrastre del elemento
considerado (Figura 1.3), A es el área neta total del elemento expuesta al viento y
proyectada sobre un plano normal a éste, y el término entre paréntesis es la presión
básica de cálculo, en la que ρ es la masa espećıfica del aire y VC es la velocidad de
cálculo del viento.
Figura 1.3: Coeficientes de arrastre CD para las secciones más usuales (IAP)
1.4.2.3 Acciones variables: Carga de nieve
La intensidad y distribución de la carga de nieve depende del clima del lugar, del tipo
de precipitación y del relieve del entorno. En el caso de edificios depende de la forma
del edificio o de la cubierta, de los efectos del viento y de los intercambios térmicos en
los paramentos exteriores.
Según el CTE, en cubiertas planas de edificios de pisos situados en localidades de altitud
inferior a 1.000 metros, es suficiente considerar una carga de nieve de 1 kN/m2. Para
otros casos, el código especifica los pasos a seguir para calcular la carga de nieve; por
ejemplo, en estructuras ligeras sensibles a la carga vertical, o cuando el viento origina
un depósito irregular de nieve sobre las cubiertas, etc.
1.4. ACCIONES 9
En puentes, la IAP calcula el valor de la sobrecarga de nieve según la zona climática
donde se sitúa la estructura.
1.4.2.4 Acciones variables: Cargas térmicas
Las variaciones de temperatura producen deformaciones en los elementos estructurales,
que en caso de estar impedidas dan lugar a tensiones que deben tenerse en cuenta en el
proyecto de una estructura. En edificios, los efectos de la acción térmica pueden obte-
nerse a partir de la variación de la temperatura media de los elementos estructurales,
separadamente para el verano (dilatación) y el invierno (contracción). En el CTE se
dan tablas que proporcionan los valores de las temperaturas ambiente extremas, en
verano y en invierno, según la situación geográfica de la estructura.
En puentes, la IAP tiene en cuenta: la componente de variación uniforme de tempe-
ratura del elemento estructural y el gradiente térmico en las secciones transversales
del mismo. La componente de variación uniforme de temperatura depende de la tem-
peratura efectiva mı́nima y máxima que puede alcanzar el elemento en un periodo de
tiempo determinado. Su valor depende de la tipoloǵıa estructural del elemento, de sus
dimensiones, de los materiales que lo constituyen y de los valores de la temperatura en
el lugar donde se ubique el puente. El gradiente térmico se define como la diferencia
de temperatura positiva entre la fibra superior y la inferior del tablero, dividida por la
distancia entre ambas fibras. Esta variación se supone lineal entre ambas fibras.
1.4.2.5 Acciones accidentales: Acciones śısmicas
Las diversas normativas existentes - puentes, edificación,etc - exigen en caso de peli-
grosidad śısmica, incluir en el proyecto de una estructura el estudio śısmico de la misma,
realizado según la Norma de Construcción Sismorresistente: Parte General y Edificación
(NCSE). En la Figura 1.4 puede verse el mapa de peligrosidad śısmica del territorio na-
cional de la citada norma, que proporciona el valor máximo de aceleración que sufriŕıa
el terreno frente a un terremoto, denominado aceleración śısmica básica (ab), que es
un valor caracteŕıstico de la aceleración horizontal de la superficie del terreno que di-
vide generalmente un territorio nacional en zonas de igual aceleración, y expresado en
relación al valor de gravedad (g), teniendo en cuenta las caracteŕısticas geotécnicas del
terreno de cimentación.
En la misma figura se muestra el coeficiente de contribución k, que tiene en cuenta
la influencia de los distintos tipos de terremotos esperados en la peligrosidad śısmica
de cada punto. Estos valores del terreno se obtienen del análisis instrumental de los
registros śısmicos en sismógrafos o acelerógrafos.
10 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y SEGURIDAD
Figura 1.4: Mapa de peligrosidad śısmica en España
La construcción debe resistir la acción horizontal del sismo en todas las direcciones, lo
que obliga a analizarlo en más de una dirección. Por lo general, basta hacerlo en dos
direcciones ortogonales en planta.
1.4.2.6 Acciones accidentales: Incendio
El Documento Básico de Seguridad en caso de Incendios (DB-SI) del CTE fija los
criterios a seguir en caso de incendio en edificios. El aumento de temperatura que se
produce en el incendio de un edificio afecta a su estructura de dos formas diferentes.
Por un lado, los materiales sufren una modificación importante de sus propiedades
mecánicas. Por otro, las deformaciones que sufren los elementos estructurales debido
al incremento de temperatura dan lugar, en general, a tensiones que se suman a las
debidas a otras acciones.
En caso de incendio, las acciones a considerar son las mismas acciones permanentes y
variables que en el cálculo de situación persistente, si es probable que actúen durante el
incendio. Además, si para el cálculo de la resistencia al fuego se emplean los métodos
indicados en el DB-SI, puede tomarse como efecto de la acción del incendio únicamente
el derivado del efecto de la temperatura en la resistencia del elemento estructural.
1.4. ACCIONES 11
1.4.2.7 Acciones accidentales: Impacto
El impacto de un cuerpo sobre la estructura o uno de los elementos estructurales de la
misma provoca acciones que dependen de la masa, de la geometŕıa y de la velocidad
del cuerpo impactante, aśı como de la capacidad de deformación y el amortiguamiento
tanto del cuerpo como del elemento sobre el que impacta.
El impacto de un cuerpo puede representarse mediante una fuerza estática equivalente
que tenga en cuenta los parámetros que intervienen.
En edificios, según el CTE, los valores de cálculo de las fuerzas estáticas equivalentes
debidas al impacto de veh́ıculos de hasta 30 kN de peso total son de 50 kN en la
dirección paralela a la v́ıa y de 25 kN en la dirección perpendicular, no actuando
simultáneamente.
En puentes, según la IAP, el impacto de un veh́ıculo contra un elemento estructural
se asimila a una carga estática cuya resultante se encuentre situada a 1, 2 m sobre la
superficie del pavimento, de valor igual a1000 kN en la dirección del tráfico y a 500 kN
en sentido perpendicular a dicha dirección.
En el caso de puentes que crucen cursos de agua navegables, es necesario tener en cuenta
la posibilidad de la colisión de una embarcación contra los elementos de la estructura.
1.4.3 Valores de cálculo
Las normativas vigentes proporcionan el valor caracteŕıstico (Sk) de una acción, que
es su valor de referencia a efectos de proyecto. El valor caracteŕıstico puede venir
determinado por un valor medio, un valor nominal o, en los casos en que se fije mediante
criterios estad́ısticos, por un valor correspondiente a una determinada probabilidad de
no ser superado durante un peŕıodo de referencia, que tiene en cuenta la vida útil de
la estructura y la duración de la acción.
El valor caracteŕıstico viene afectado por un coeficiente de simultaneidad (ψ) que da
lugar al valor representativo de dicha acción.
Las acciones permanentes (Fk) vienen afectadas por un coeficiente de simultaneidad
(ψiFk). En cambio, las acciones variables (Qk) pueden presentar diversos valores rep-
resentativos:
- Valor de combinación (ψ0Qk): es el valor representativo de las acciones variables
que actúan simultáneamente con otra acción variable, considerada ésta como
determinante, en las combinaciones poco probables.
12 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y SEGURIDAD
- Valor frecuente (ψ1Qk): es el valor representativo de la acción variable que sólo
es sobrepasado durante periodos de corta duración respecto de la vida útil de la
estructura.
- Valor cuasipermanente (ψ2Qk): es el valor representativo de la acción variable
que es sobrepasado durante una gran parte de la vida útil de la estructura.
Para las acciones accidentales el valor representativo es el propio valor caracteŕıstico.
En las Tablas 1.2 y 1.3 se muestran respectivamente algunos ejemplos de coeficiente
de simultaneidad para sobrecargas en edificios y para diversas cargas variables como
nieve, viento o acción térmica.
Uso del elemento ψ0 ψ1 ψ2
Zonas residenciales y domésticas 0,7 0,5 0,3
Zonas de oficinas 0,7 0,5 0,3
Zonas de reunión 0,7 0,7 0,6
Zonas comerciales 0,7 0,7 0,6
Zonas de almacenamiento 1,0 0,9 0,8
Zonas de tráfico (peso ≤ 30 kN) 0,7 0,7 0,6
Zonas de tráfico (30 kN ≤ peso ≤ 160 kN) 0,7 0,7 0,6
Cubiertas no accesibles 0,0 0,0 0,0
Tabla 1.2: Coeficientes de simultaneidad para sobrecargas de uso en edificios
Uso del elemento ψ0 ψ1 ψ2
Nieve en edificios situados a más de 1000 m sobre el mar 0,7 0,5 0,2
Nieve en edificios situados a menos de 1000 m sobre el mar 0,5 0,2 0,0
Viento 0,6 0,2 0,0
Acción térmica 0,6 0,5 0,0
Tabla 1.3: Coeficientes de simultaneidad para acciones variables
El valor de cálculo (Sd) de la acción se obtiene a partir del valor representativo modi-
ficado por un coeficiente de ponderación (γi) en función de la naturaleza de la acción
y de su condición de favorable o desfavorable para el estado ĺımite en estudio.
1.5. MÉTODO DE LOS ESTADOS LÍMITE 13
Estados ĺımite últimos
Tipo de acción
Persistente o transitoria Accidental
Efecto Efecto Efecto Efecto
favorable desfavorable favorable desfavorable
Permanente γG = 1, 0 γG = 1, 35 γG = 1 γG = 1
Permanente no constante γG∗ = 1, 0 γG∗ = 1, 50 γG∗ = 1 γG∗ = 1
Variables γQ = 0, 0 γQ = 1, 50 γQ = 0 γQ = 1
Accidentales - - γA = 1 γA = 1
Tabla 1.4: Coeficientes de ponderación para estados ĺımite últimos
Estados ĺımite de servicio
Tipo de acción
Efecto Efecto
favorable desfavorable
Permanente γG = 1 γG = 1
Permanente de valor no constante γG∗ = 1 γG∗ = 1
Variable γQ = 0 γQ = 1
Tabla 1.5: Coeficientes de ponderación para estados ĺımite de servicio
1.5 Método de los estados ĺımite
1.5.1 Definición y categoŕıas
Se denominan estados ĺımite de una estructura a aquellos estados o situaciones de ésta
tales que, si se rebasan los mismos, la estructura queda fuera de servicio o deja de
satisfacer la función para la que fue diseñada.
Debe comprobarse que la estructura no supere ninguno de los estados ĺımite en cualquiera
de las situaciones de proyecto indicadas, considerando los valores de cálculo de las accio-
nes, de las caracteŕısticas de los materiales y de los datos geométricos.
Los estados ĺımite se clasifican en dos categoŕıas:
- Estados ĺımite últimos: se relacionan con la seguridad.
Bajo la combinación más desfavorable de las acciones ponderadas, la estructura
y cada elemento que la forma debe ser estáticamente estable y las tensiones no
deben sobrepasar la capacidad resistente en cada escenario.
14 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y SEGURIDAD
Son estados ĺımite últimos los referentes al equilibrio, la rotura, el pandeo, la
fatiga, la rotura frágil, y en general todas aquellas situaciones que comprometan
la seguridad de la estructura.
- Estados ĺımite de servicio: se relacionan con la funcionalidad.
Bajo la combinación más desfavorable de las acciones caracteŕısticas, las defor-
maciones calculadas no deben sobrepasar en ningún punto los valores ĺımite pre-
scritos.
Son estados ĺımite de servicio los referentes a deformaciones o desplazamientos ex-
cesivos, agrietamientos, durabilidad, vibraciones, corrosión y aquellas situaciones
que, no comprometiendo la seguridad estructural, śı afectan a la funcionalidad de
la estructura.
Para cada estado ĺımite se define un valor de cálculo teniendo en cuenta las diferentes
combinaciones de acciones actuantes sobre la estructura.
1.5.2 Combinaciones de acciones
Una combinación de acciones es en un conjunto de acciones compatibles actuando
simultáneamente para una comprobación determinada. Cada combinación está formada
por las acciones permanentes, una acción variable determinante y una o varias acciones
variables concomitantes. Cualquiera de las acciones variables puede ser determinante.
Situaciones persistentes o transitorias
∑
j≥1 γG,jGk,j + γQ,1Qk,1 +
∑
i>1 γQ,iψ0,iQk,i
Situaciones accidentales
∑
j≥1 γG,jGk,j + γaAk + γQ,1ψ1,1Qk,1 +
∑
i>1 γQ,iψ2,iQk,i
Situaciones con sismo
∑
j≥1 γG,jGk,j + γaAE,k +
∑
i≥1 γQ,iψ2,iQk,i
Tabla 1.6: Combinaciones de acciones para Estado Ĺımite Último
Las normativas establecen las combinaciones de cargas que han de considerarse para
1.5. MÉTODO DE LOS ESTADOS LÍMITE 15
los estados ĺımite último y de servicio. En el caso de los estados ĺımite últimos las
combinaciones a considerar se muestran en la Tabla 1.6:
Las combinaciones a considerar en la verificación de los estados ĺımite de servicio se
muestran en la Tabla 1.7:
Situaciones poco probables
∑
j≥1 γG,jGk,j + γQ,1Qk,1 +
∑
i>1 γQ,iψ0,iQk,i
Situaciones frecuentes
∑
j≥1 γG,jGk,j + γQ,1ψ1,1Qk,1 +
∑
i>1 γQ,iψ2,iQk,i
Situaciones cuasipermanentes
∑
j≥1 γG,jGk,j +
∑
i≥1 γQ,iψ2,iQk,i
Tabla 1.7: Combinaciones de acciones para Estado Ĺımite de Servicio
En éstas, los valores G, Q, ψ y γ se definen
• Gk,j : Valor caracteŕıstico de las acciones permanentes.
• Qk,1: Valor caracteŕıstico de la acción variable determinante.
• Qk,i>1: Valor caracteŕıstico de la acción variable no determinante.
• ψm,i: Coeficiente de simultaneidad para la carga variable i-ésima, con m =
0, 1, 2 . . .
• γ∗: Coeficientes de ponderación de las acciones.
Ejemplo: Distribución de cargas para estado ĺımite de equilibrio al vuelco
Sea una viga continua formada por un vano de longitud l y dos voladizos de distinta
longitud li, ld. Supóngase por simplicidad que ld > li.
La viga está sometida a una carga permanente g y dos cargas variables, una sobrecarga
de uso distribuida qsc y una sobrecarga de uso puntual Q, que pueden actuar o no en
cualquier parte de la estructura.
16 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y SEGURIDAD
Determinar la combinación de cargas más desfavorable para verificar el estado ĺımite
de equilibrio al vuelco.
Datos: g (kN/m), qsc (kN/m), Q (kN)
ELU equilibrio: γGfav = 0, 95,γGdes = 1, 10,γQ = 1, 50
Figura 1.5: Viga continua con dos voladizos
Para verificarla estabilidad al vuelco de la estructura se supone que éste se produce
cuando falla alguno de los apoyos, lo que permite el vuelco de la viga girando alrededor
del otro.
La verificación a vuelco requiere identificar los momentos estabilizadores (Mest) y deses-
tabilizadores o volcadores (Mdes) en todos los escenarios posibles. Puesto que el punto
de giro para el vuelco puede ser cualquiera de los dos apoyos es necesario identificar la
situación más desfavorable. Los momentos desestabilizadores son los producidos por
las cargas situadas en el voladizo, mientras que los estabilizadores son los producidos
por las cargas situadas en el resto de la viga. En estas condiciones la situación más
desfavorable será aquella en la que las cargas variables se aplican en el voladizo más
largo (ld) maximizando los momentos volcadores y minimizando los estabilizadores.
La relación de momentos estabilizadores y desestabilizadores es la siguiente:
Mest = γGfavg
(li + l)
2
2
Mdes = γGdesg
l2d
2
+ γQqsc
l2d
2
+ γQQld
Figura 1.6: Distribución de cargas para ELU equilibrio al vuelco
1.5. MÉTODO DE LOS ESTADOS LÍMITE 17
Nótese que la ponderación de la carga permanente g no es la misma en toda la viga
sino que se diferencia su condición de favorable o desfavorable.
Si Mest > Mdes la estructura cumple el estado ĺımite de equilibrio. En caso contrario,
se deben proyectar soluciones estructurales para verificar su cumplimiento.
Ejemplo: Distribución de cargas para estados ĺımite de rotura y deformación
Sea una viga contnua formada por dos vanos iguales de longitud l, sometida a una
carga distribuida permanente g y una carga distribuida variable q que puede actuar o
no en cualquier parte de la viga.
Determinar las combinaciones de carga más desfavorables para los estados ĺımite últimos
de rotura a momentos flector positivo y negativo, y para el estado ĺımite de servicio de
deformación.
Datos: g (kN/m), q (kN/m)
ELU rotura: γGfav = 1, 0, γGdes = 1, 35, γQ = 1, 50
Figura 1.7: Viga continua de dos vanos
Para determinar la situación más desfavorable se notan como q1 y q2 las cargas actuantes
en cada uno de los vanos.
Comprobación a Estado ĺımite Último de rotura
La distribución de las cargas más desfavorable para los máximos momentos flectores
positivo y negativo no es la misma, por lo que es necesario identificar dicha distribución
para cada caso.
La ley de momentos flectores en el primer vano en función de q1 y q2 es
M12(x) = [q1 (7l − x)− q2l]
x
16
0 ≤ x ≤ l
La distribución de momentos flectores en el segundo vano se comporta de forma simétrica
al primero, al ser de la misma longitud, intercambiando las cargas y la coordenada x
18 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y SEGURIDAD
Figura 1.8: Distribución de cargas para máximo flector positivo
por su complementaria 2l−x. Por ello, las conclusiones extráıdas analizando el primer
vano son generales.
El máximo momento flector positivo en el primer vano es M
max,(+)
12 y se da en la
coordenada xmax,(+).
M
max,(+)
12 =
q1l
2
512
(
7− q2
q1
)2
xmax,(+) =
(
7− q2
q1
)
l
16
Analizando la expresión anterior, se observa que el máximo flector positivo en un vano
es creciente con la carga aplicada sobre el propio vano (q1) y decreciente con la carga
aplicada en el vano contiguo (q2). En consecuencia, el máximo momento flector positivo
se obtiene maximizando la carga en uno de los vanos y minimizando la carga en el
contiguo. Particularizando para las cargas actuantes sobre la viga, la distribución de
cargas para el máximo momento flector positivo es
q1 = γGdesg + γQq q2 = γG∗g
En definitiva, la distribución de cargas más desfavorable para momentos flectores po-
sitivos se muestra en la Figura 1.8.
El máximo momento flector negativo Mmax,(−) se produce en el apoyo intermedio y su
valor es
Mmax,(−) = (q1 + q2)
l2
16
El máximo flector negativo es creciente con la carga de los vanos adyacentes por lo que
la situación más desfavorable es aquella en la que la carga es máxima en ambos vanos,
Figura 1.9: Distribución de cargas para máximo flector negativo
1.5. MÉTODO DE LOS ESTADOS LÍMITE 19
es decir
q1 = q2 = γGdesg + γQqsc
La distribución de cargas más desfavorable para el momento flector negativo es, por
tanto, la mostrada en la Figura 1.9.
Comprobación a Estado Ĺımite de Servicio de deformación
Suponiendo la misma notación que la empleada en el cálculo anterior, la flecha en el
primer vano es
f12(x) =
1
96EI
[
q1x
(
4x3 − 9lx2 + 3l3
)
− q2lx
(
l2 − x2
)]
0 ≤ x ≤ l
La flecha máxima en función de q1 y q2 se localiza en las cercańıas del punto medio del
vano 12. El cálculo de esta flecha y su ubicación exacta es complejo. Pos simplicidad
de cálculo, se considera la flecha en el centro luz (CL) del vano
fmax,CL12 =
l4
764EI
(7q1 − 3q2)
A la vista de la expresión anterior, la fecha es creciente con la carga en el propio
vano (q1) y decreciente con la carga en el vano contiguo (q2). Por tanto, la situación
más desfavorable para la flecha se da en un vano con la máxima carga mientras con
carga mı́nima en el vano contiguo. Atendiendo a las cargas actuantes sobre la viga, tal
distribución es
q1 = γGdesg + γQq q2 = γGdesg
Ls distribución de cargas para la máxima flecha en el vano (12) se muestra en la Figura
1.10
Los valores máximos de momentos y flechas obtenidas a partir de las combinaciones
más desfavorables deben ser inferiores a las correspondientes capacidades de respuesta
estructural y deformación máxima.
Figura 1.10: Distribución de cargas para máxima flecha en el vano 1
20 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y SEGURIDAD
1.6 Ĺıneas de influencia
1.6.1 Definición de ĺınea de influencia
Muchas estructuras se proyectan para resistir cargas móviles además de cargas fijas
tales como el peso propio. En el caso de puentes, por ejemplo, se considera la carga
de un tren o de un camión desplazándose a lo largo de toda la longitud del tablero,
Figuras 1.11a y b.
En estos casos, los efectos estructurales (reacciones, esfuerzos flector y cortante) de-
penden del punto de aplicación de la carga. El análisis de la variación de estos efectos
estructurales en función de la posición de las cargas móviles, aśı como la determinación
de sus valores máximos se hace mediante las ĺıneas de influencia.
Figura 1.11: Cargas móviles (a) ferrocarril (b) veh́ıculos de carretera
Se define como ĺınea de influencia de un efecto estructural (reacción, esfuerzo, defor-
mación. . . ) a la curva y(x) que representa la variación de dicho efecto en una sección,
cuando una carga unitaria recorre la estructura, siendo x la abscisa del punto de inci-
dencia de la carga, s la abscisa de la sección sobre que la que se calcula dicho efecto e
y(x) el valor del efecto en la sección considerada (Figura 1.12).
Figura 1.12: Ĺınea de influencia del momento flector en la sección S
1.6. LÍNEAS DE INFLUENCIA 21
Figura 1.13: Ley del momento flector y ĺınea de influencia del mismo en la sección S
Debe señalarse la diferencia con la definición de ley que es la variación a través de la
estructura de un cierto efecto (esfuerzos, flechas, giros), para una carga o sistema de
cargas fijos (Figura 1.13).
A continuación, se desarrollan algunos ejemplos para estructuras articuladas y vigas
rectas de plano medio isostáticas.
1.6.2 Ĺıneas de influencia de estructuras articuladas
En las estructuras articuladas como la mostrada en la Figura 1.14, las ĺıneas de in-
fluencia para los axiles en las barras de interés se obtienen considerando una carga
unitaria que se mueve a lo largo de un cordón de la estructura determinando, para
cada posición, el correspondiente valor del axil en dicha barra. Es habitual considerar
sólo cargas aplicadas en los nudos o e interpolar linealmente los valores de influencia
obtenidos.
Figura 1.14: Puente articulado bajo carga móvil
22 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS ESTRUCTURALY SEGURIDAD
Ejemplo: Articulada triangular
Para la cercha de la Figura 1.15, determinar las ĺıneas de influencia del axil en las
barras 1, 2 y 3 cuando la carga se supone aplicada en los nudos del cordón inferior.
Figura 1.15: Cercha articulada triangular
Ĺınea de influencia de las reacciones
Por equilibrio, se calculan las reacciones para una carga unitaria P = 1 situada a una
distancia x cuyo origen se sitúa en el extremo izquierdo:
V1 =
30− x
30
V2 =
x
30
Su representación gráfica son las ĺıneas de influencia para las reacciones V1 y V2 según
se muestra en la Figura 1.16:
Figura 1.16: Ĺıneas de influencia de las reacciones V1 y V2
Para hallar las ĺıneas de influencia de los axiles se emplea el método de las secciones
cortante la estructura por un plano vertical que incluye a las barras en estudio. La
Figura 1.17 muestra el esquema de cálculo:
1.6. LÍNEAS DE INFLUENCIA 23
Figura 1.17: Resolución de la estructura articulada por el método de las secciones
Ĺıneas de influencia de los axiles en las barras 1,2,3
En el caso de la barra (1) los axiles se pueden obtener planteando el equilibrio de
momentos respecto al nudo A de cada una de las partes de la estructura.
Cuando la carga unitaria está en la parte izquierda del plano de corte, se tiene:
2 · 0, 93N1 + 25V2 = 0⇒ N1 = −13, 44V2 0 ≤ x < 5
Mientras que cuando la carga unitaria actúa a la derecha de A, puede escribirse:
2 · 0, 93N1 + 5V1 = 0⇒ N2 = −2, 69V1 5 ≤ x ≤ 30
El signo negativo indica que el axil en la barra (1) es de compresión. En la Figura 1.18
puede verse la ĺınea de influencia correspondiente al esfuerzo axil en dicha barra.
Figura 1.18: Ĺınea de influencia del axil en la barra 1
En la barra (2) vertical, sólo hay axil cuando la carga está aplicada en el nudo A en
cuyo caso el valor del axil coincide con el de la carga aplicada (Figura 1.19).
24 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y SEGURIDAD
Figura 1.19: Ĺınea de influencia del axil en la barra 2
En el caso de la barra (3) el axil se obtiene por equilibrio de momentos respecto de F .
Cuando la carga está a la izquierda del nudo (A) el axil se obtiene como
2N3 = 25V2 ⇒ N3 = 12, 5V2 0 ≤ x ≤ 5
Cuando la carga unitaria actúa a la derecha de A, puede escribirse:
2N3 = 5V1 ⇒ N3 = 2, 5V2 0 < x ≤ 30
El axil en la barra (3) es positivo lo que significa que la barra está traccionada. En la
Figura 1.20 se representa la ĺınea de influencia del axil de dicha barra.
Figura 1.20: Ĺınea de influencia del axil en la barra 3
1.6.3 Ĺıneas de influencia de vigas de plano medio
La determinación de las ĺıneas de influencia en un vigas reticuladas de plano medio
es conceptualmente análogo al desarrollado para las estructuras articuladas. La carga
unitaria puede actuar en cualquier sección y por tanto no se requiere interpolación.
A continuación, se desarrollan algunos ejemplos para piezas rectas de plano medio
isostáticas. Se mantendrá la convención de signos h habitual para los momentos flec-
tores.
Ejemplo: Viga con voladizo
Sea un viga continua en voladizo con las dimensiones indicadas en la Figura 1.21.
Determinar las ĺıneas de influencia de las reacciones, del momento flector y del esfuerzo
cortante, en la sección A y en la sección B a la izquierda del apoyo 1.
1.6. LÍNEAS DE INFLUENCIA 25
Figura 1.21: Viga con voladizo
Ĺıneas de influencia de las reacciones
Las ĺıneas de influencia de las reacciones en los apoyos se determinan estableciendo el
equilibrio para una carga unitaria P situada a una distancia x del extremo izquierdo.
Las expresiones para dichas reacciones son:
V1 =
30− x
20
V2 =
x− 10
20
Gráficamente las ĺıneas de influencia de las reacciones se muestran en la Figura 1.22:
Figura 1.22: Ĺıneas de influencia de las reacciones V1 y V2
Ĺıneas de influencia del momento flector y esfuerzo cortante en A
Conocidas las ĺıneas de influencia de las reacciones en los apoyos de la viga pueden
obtenerse las correspondientes ĺıneas de influencia del momento flector y del esfuerzo
cortante escribiendo las ecuaciones que relacionan dichos esfuerzos con V1 y V2. Cuando
la carga está a la izquierda de A los esfuerzos se calculan en función de V2 y si dicha
carga está a la derecha de A los esfuerzos se calculan en función de V1.
26 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y SEGURIDAD
Por tanto, el momento flector y el esfuerzo cortante en la sección A se expresan como
MA = 15V2 = 0, 75 (30− x) TA = −V2 =
x− 30
20
0 < x ≤ 15
MA = 5V1 = 0, 25 (x− 10) TA = V1 =
x− 10
20
15 < x ≤ 30
Las ĺıneas de influencia del momento flector y del cortante en la sección A se representan
en la Figura 1.23.
Figura 1.23: Ĺıneas de influencia del momento flector y del cortante en A
Ĺıneas de influencia del momento flector y esfuerzo cortante en B
Cuando la carga está aplicada en el voladizo el esfuerzo cortante en B es igual a la
carga, es decir a la unidad mientras que el momento flector es igual a la distancia entre
la carga y la sección de referencia B:
MB = 10− x TB = 1 0 < x ≤ 15
Cuando la carga está aplicada en el vano tanto el momento flector como el esfuerzo
cortante en la sección B son nulos.
MB = 0 TB = 0 15 < x ≤ 30
Las ĺıneas de influencia del momento flector y del esfuerzo cortante en la sección B
situada a la izquierda del apoyo 1 se muestran en la 1.24.
1.6. LÍNEAS DE INFLUENCIA 27
Figura 1.24: Ĺıneas de influencia del momento flector y del cortante en B
Ejemplo: Viga con dos vanos
Sea un viga continua de dos vanos con las dimensiones indicadas en la Figura 1.25.
Determinar las ĺıneas de influencia de las reacciones en los tres apoyos, del del momento
flector en el apoyo 2 y del cortante en la sección O donde se encuentra la rótula.
Figura 1.25: Viga continua de dos vanos y rótula
Ĺıneas de influencia de las reacciones
Para determinar las ĺıneas de influencia de las reacciones en los tres apoyos se plantean
las condiciones de equilibrio considerando la fuerza unitaria P aplicada a la izquierda
y a la derecha de la rótula O.
De esta manera, para la reacción V1 se obtiene
V1 =
1
10
(10− x) 0 ≤ x ≤ 12
V1 =
1
30
(x− 18) 12 < x ≤ 18
28 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y SEGURIDAD
Para la reacción V2 se tiene:
V2 =
1
10
x 0 ≤ x ≤ 12
V2 =
1
5
(18− x) 12 < x ≤ 18
Y, finalmente, para la reacción V3:
V3 = 0 0 ≤ x ≤ 12
V3 =
1
6
(x− 12) 12 < x ≤ 18
En la Figura 1.26 se representan las ĺıneas de influencia de las reacciones V1, V2 y V3.
Figura 1.26: Ĺıneas de influencia de las reacciones
Ĺınea de influencia del momento flector en 2
Para determinar la ĺınea de influencia del momento flector en el apoyo 2 se consideran
dos situaciones:
En primer lugar, cuando la carga actúa a la izquierda de la rótula. En ese caso, la
reacción V3 es nula. Por tanto, el momento flector M2 es nulo cuando la carga actúa
1.6. LÍNEAS DE INFLUENCIA 29
en el primer vano, entre los apoyos 1 y 2 mientras que cuando la carga actúa entre
el apoyo 2 y la rótula dicho momento es igual a la carga unitaria multiplicada por su
distancia a 2.
La segunda situación a considerar es cuando la carga actúa a la derecha de la rótula;
en ese caso, el momento flector en el apoyo 2 puede calcularse exclusivamente mediante
la reacción V1.
Por tanto, la ĺınea de influencia del momento flector en 2 es:
M2 = 0 0 ≤ x ≤ 10
M2 = 10− x 10 < x ≤ 12
M2 = 10V1 =
1
3
(x− 18) 12 < x ≤ 18
La Figura 1.27 muestra la ĺınea de influencia del momento flector en la sección 2.
Figura 1.27: Ĺınea de influencia del momento flector el apoyo 2
Ĺınea de influencia del esfuerzo cortante en O
Para la ĺınea de influencia del cortante en la sección de la rótula O el razonamiento es
similar al presentado anteriormente.
En el caso de que carga actúe a la izquierda de la rótula, al ser nula la reacción V3
también lo es el cortante en O. En el segundo supuesto la reacción V3 vaŕıa entre V3 = 0
(carga encima de la rótula) y V3 = 1 (cargaencima del apoyo 3). En consecuencia, la
ĺınea de influencia del esfuerzo cortante en O es: TO = 0 0 ≤ x ≤ 12TO = 1
6
(18− x) 12 ≤ x ≤ 18
La Figura 1.28 muestra la ĺınea de influencia del esfuerzo cortante en la sección 2.
30 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y SEGURIDAD
Figura 1.28: Ĺınea de influencia del cortante en O
1.6.4 Aplicación de las ĺıneas de influencia
1.6.4.1 Sistemas de cargas puntuales
Si se conoce la ĺınea de influencia de una carga puntual, puede conocerse el efecto que
produce un sistema de varias cargas puntuales por aplicación directa del principio de
superposición (Figura 1.29) mediante la expresión:
Y S =
∑
i
Pi y
S
i (xi) (1.3)
donde Pi es el valor de cada una de las cargas puntuales que conforman el sistema de
cargas, y ySi es el valor de la ĺınea de influencia para un determinado efecto sobre la
sección S en el punto de aplicación de la carga Pi.
Figura 1.29: Estructura sometida a un sistema de cargas
Ejemplo: Tren de cargas puntuales
Sea un viga barticulada de 15 m de longitud, sometida a un tren de cargas formado
por tres cargas, una central de 30 kN y dos adyacentes de 20 kN con una separación
de 2 m entre todas ellas.
Se supone conocida la ĺınea de influencia del momento flector en la sección A situada
a 5 metros a la derecha del apoyo 1. Determinar el momento flector en la sección A
debido al tren de cargas.
1.6. LÍNEAS DE INFLUENCIA 31
Figura 1.30: Viga biarticulada sometida a un tren de cargas
A partir de la ĺınea de influencia del momento flector en A representada en la Figura
1.31, se identifica la posición más desfavorable del tren de cargas que maximiza la
influencia sobre la sección A.
Es habitual que la posición más desfavorable sea la de colocar las tres cargas de manera
que la carga central se sitúe en la sección de influencia máxima mientras las dos cargas
adyacentes se sitúan a ambos lados de la central. Sin embargo, la influencia de las
cargas adyacentes depende de las pendientes de la ĺınea de influencia a ambos lados
del valor máximo. Cuando una de las dos pendientes es mayor del doble de la otra, la
disposición de cargas que maximiza la influencia del tren de cargas es la consistente en
las tres cargas situadas en el tramo de viga con mayor pendiente en la ĺınea de influencia,
con una de las cargas adyacentes coincidente con el valor de máxima influencia. Esta
relación de pendientes se da cuando la sección está situada entre el apoyo y un tercio
de la luz de la viga.
Figura 1.31: Disposición del tren de cargas
32 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y SEGURIDAD
Conocida la disposición de las cargas, la expresión (1.3) permite calcular el máximo
momento flector sobre A como
MA = 20 (2, 0) + 30 (3, 33) + 20 (2, 67) = 193, 3 kNm
1.6.4.2 Cargas distribuidas
Si se conoce la ĺınea de influencia y(x) debida a una carga puntual unitaria, es posible
conocer el efecto de una carga repartida q (x) que actúa sobre una cierta longitud de la
viga. Aśı por ejemplo, para la viga de la Figura 1.32 bajo carga repartida q(x) entre A
y B, el momento flector en la sección S puede calcularse utilizando la ĺınea de influencia
del momento flector en S, mediante la expresión:
Figura 1.32: Viga bajo carga repartida
Y S =
∫ B
A
q (x) y (x) dx (1.4)
o bien, en el caso particular de que la carga repartida q sea uniforme:
Y S = q
∫ B
A
y (x) dx = q SAB (1.5)
donde SAB es el área sombreada de la ĺınea de influencia comprendida entre las secciones
A y B.
Ejemplo: Viga con dos voladizos bajo carga distribuida
La viga continua en voladizo de la Figura 1.33 está sometida a una carga uniformemente
distribuida q = 4 kN/m y dos cargas puntuales de 20 kN cada una, separadas 2 m.
Las cargas pueden actuar sobre cualquier parte de la viga.
1.6. LÍNEAS DE INFLUENCIA 33
Determinar la disposición de las cargas para los valores extremos del momento flector
sobre la sección A. En cada caso, determinar las reacciones y los momentos flectores
máximos positivo y negativo en A.
Figura 1.33: Viga biarticulada con voladizo
En primer lugar, se determinan las ĺıneas de influencia de las reacciones V1 y V2 repre-
sentadas en la Figura 1.34
V1 =
1
16
(x− 4) V2 =
1
16
(20− x)
Figura 1.34: Ĺıneas de influencia de las reacciones V1 y V2
A partir de las ĺıneas de influencia de las reacciones, se calcula la ĺınea de influencia del
momento flector en A como
MA = 6V2 =
3
8
(20− x) 0 < x ≤ 10
MA = 10V1 =
5
8
(x− 4) 10 < x ≤ 20
34 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y SEGURIDAD
La ĺınea de influencia del momento flector en la sección A se muestra en la Figura 1.35.
Figura 1.35: Ĺınea de influencia del momento flector en A
Las áreas de influencia positiva y negativa en la ĺınea de influencia del momento flector
son
A+ = 0, 5 · 16 · 3, 75 = 30 A− = 0, 5 · 4 · (−2, 5) = −5
Analizando la ĺınea de influencia, se puede inducir la disposición de las cargas para ma-
ximizar los momentos flectores positivos y negativos suponiendo que las cargas pueden
actuar en cualquier parte de la estructura. Este planteamiento lleva a dos disposiciones
para ambos escenarios que se muestran en la Figura 1.36
Figura 1.36: Disposición de las cargas para máximos momentos flectores en la sección A
(a) flectores positivos (b) flectores negativos
En el escenario de máximo flector positivo (posición I) la carga distribuida actúa en la
fracción de viga con influencia positiva mientras que las cargas puntuales se sitúan de
1.7. ENVOLVENTES DE ESFUERZOS 35
forma que una de ellas se aplica encima de la sección A donde se observa la máxima
influencia mientras que la segunda carga se aplica al lado de la anterior con mayor
influencia, en esta caso a su izquierda. Aśı, las reacciones para este escenario se calculan
como
V1 = 4 · 0, 5 · 16 · 1 + 20
(
6
16 +
8
16
)
= 49, 5 kN
V2 = 4 · 0, 5 · 16 · 1 + 20
(
10
16 +
8
16
)
= 54, 5 kN
mientras que el máximo momento flector positivo en A es
M
max,(+)
A = 4 · 0, 5 · 16 · 3, 75 + 20 (3, 75 + 3, 0) = 255 kNm
En el escenario de máximo momento negativo (posición II) todas las cargas actúan
en la parte negativa de la ĺınea de influencia. La carga distribuida actúa en todo el
voladizo mientras que las cargas puntuales se colocan en el extremo, maximizando su
influencia. En este caso, las reacciones en los apoyos son
V1 = 4 · 0, 5 · 4 · (−0, 25) + 20 (−0, 25− 0, 125) = −9, 5 kN
V2 = 4 · 0, 5 · 4 · (2, 25) + 20 (1, 25 + 1, 125) = 65, 5 kN
mientras que el máximo momento flector negativo en A se calcula como
M
max,(−)
A = 4 · 0, 5 · 4 · (−2, 5) + 20 (−2, 5− 1, 25) = −95 kNm
1.7 Envolventes de esfuerzos
Si se conoce un número suficiente de ĺıneas de influencia de un esfuerzo en diferentes
secciones y, por tanto, los correspondientes valores máximos (positivos y negativos),
se pueden dibujar las ĺıneas envolventes que indican los valores extremos que puede
alcanzar dicho esfuerzo, en las distintas secciones de una viga para cualquier posición
de la carga.
Aśı, la Figura 1.37 muestra la envolvente del momento flector en una viga biarticulada
para cargas puntuales. La envolvente lo es de las ĺıneas de influencia del momento
flector en las distintas secciones de la viga.
36 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y SEGURIDAD
Figura 1.37: Envolvente del momento flector de una viga biarticulada
Ejemplo: Envolvente de momentos flectores en viga biarticulada
Sea una viga biarticulada de longitud l = 30 m sometida a un tren de cargas formado
por tres cargas de 20 kN separadas 1, 5 m.
Determinar la envolvente de momentos flectores, considerando secciones de cálculo
definidas a intervalos de 1, 5 m a lo largo de la longitud de la viga.
Figura 1.38: Viga biarticulada sometida a un tren de cargas
En primer lugar, se calculan las reacciones, que únicamente dependen de la posición de
la carga. En este caso son:
V1 =
l − a
l
V2 =
a
l
Las expresiones halladas para las reacciones dan lugar a lascorrespondientes ĺıneas de
influencia cuya representación es trivial.
Envolvente de momento flector para carga unitaria
En primer lugar, se determinan las ĺıneas de influencia del momento flector en las seccio-
nes situadas a intervalos de 1, 5 m siguiendo el procedimiento explicado anteriormente.
1.7. ENVOLVENTES DE ESFUERZOS 37
Estas ĺıneas de influencia son bilineales, según la Figura 1.39, con un valor máximo que
corresponde a la carga unitaria aplicada en x = a.
Figura 1.39: Ĺınea de influencia del momento flector en la sección A
El valor máximo de la influencia para cada sección dada por s = a se calcula como
y(x)max = y(x)|x=a = aV1 =
a(l − a)
l
Aplicando la expresión obtenida para secciones situadas a intervalos de 1, 5 m pueden
dibujarse las respectivas ĺıneas de influencia del momento flector. Puede observarse que
la expresión obtenida para la influencia máxima en x = a representa una parábola que
es la envolvente de las ĺıneas de influencia del momento flector según muestra en la
Figura 1.40.
Figura 1.40: Envolvente de las ĺıneas de influencia del momento flector
38 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y SEGURIDAD
Envolvente del momento flector para un tren de cargas
El valor del momento flector en la sección s = a para el tren de cargas dado puede
calcularse utilizando la ĺınea de influencia del momento flector en dicha sección situando
el tren de cargas en la posición más desfavorable según muestra la Figura 1.41.
Figura 1.41: Valores de influencia para el tren de cargas
El máximo momento flector positivo se calcula en función de la posición de la sección
de cálculo como
Mmax = 200
a(l − a)
l
+ 200
a(l − a)
l
(l − a)− 1, 5
l − a
+ 200
a(l − a)
l
a− 1, 5
a
= 200
[
3a
l − a
l
− 1, 5
]
Los valores del máximo momento flector para las diferentes posiciones del tren de cargas
(Figura 1.41) se indican en la Tabla 1.8.
La Figura 1.42 muestra la envolvente de esfuerzos flectores en la viga para el tren de
cargas dado. El máximo momento flector absoluto se obtiene en el centro de la viga
(a = 15 m) y su valor es de 4200 kNm.
1.7. ENVOLVENTES DE ESFUERZOS 39
a l − a a(1− a)/l Mmax
(m) (m) (m) (kNm)
1,5 28,5 1,425 555
3,0 27,0 2,700 1320
4,5 25,5 3,825 1995
6,0 24,0 4,800 2580
7,5 22,5 5,625 3075
9,0 21,0 6,300 3480
10,5 19,5 6,825 3795
12,0 18,0 7,200 4020
13,5 16,5 7,425 4155
15,0 15,0 7,500 4200
Tabla 1.8: Momentos flectores máximos para el tren de cargas
Figura 1.42: Envolvente de los máximos momentos flectores
Ejemplo: Envolvente de momentos flectores en viga con voladizo
Sea una viga continua en voladizo cuyo vano apoyado tiene una longitud l = 12 m con
un voladizo de longitud lv = 4 m. La viga está sometida a la acción de su peso propio,
g = 8 kN/m, y una sobrecarga de uso uniformemente distriuda qsc = 12 kN/m.
Determinar la envolvente de momentos flectores considerando secciones de cálculo a
intervalos de 2 m.
40 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y SEGURIDAD
Figura 1.43: Viga en voladizo
Se denomina x a la posición de la carga unitaria P móvil a lo largo de toda la viga,
mientras que la variable s nota la posición de la sección de referencia. Primeramente,
se determinan las reacciones sobre la viga que no dependen de la sección de referencia
sino únicamente de la posición de la carga móvil unitaria P .
V1 =
l − x
l
V2 =
x
l
Sea s = a la posición de la sección donde se calcula el momento flector, definida a
intervalos de 1, 5 m según la Figura 1.44.
Figura 1.44: Definición de los intervalos de cálculo
Se determinan las ĺıneas de influencia del momento flector en una sección genérica
situada a una distancia s = a al apoyo izquierdo, para lo cual se distinguen dos casos
en función de la situación de la sección de referencia.
Ĺıneas de influencia del momento flector en una sección situada en el vano
En primer lugar, se considera una sección situada en el vano, es decir, 0 ≤ a ≤ 12. En
este caso el cálculo de la influencia depende de la posición de la carga unitaria, a la
izquierda, 0 ≤ x ≤ 12, o a la derecha de la sección, 12 ≤ x ≤ 16.
1.7. ENVOLVENTES DE ESFUERZOS 41
Aśı, la ĺınea de influencia para la sección s = a es y(x) = (l − a)V2 = (12− a)
x
12
0 ≤ x ≤ a
y(x) = aV1 =
a(12− x)
12
a ≤ x ≤ 16
Los valores relevantes de esta ĺınea de influencia con 0 ≤ a ≤ 12, se dan en la propia
sección de referencia y en el extremo del voladizo
y(x)max,(+)x=a =
a(12− a)
12
y(x)
max,(−)
x=l+lv
= −a
3
La ĺınea de influencia del momento flector para una sección genérica situada en el vano
de la viga se representa en la Figura 1.45.
Figura 1.45: Ĺınea de influencia del momento flector para una sección en el vano
En consecuencia, las áreas de influencia positiva y negativa en función de la posición
de la sección de referencia s = a se calculan como
A+ =
1
2
a(l − a)
12
12 =
a(l − a)
2
A− =
1
2
(
−1
3
a
)
4 = −2
3
a
Ĺıneas de influencia del momento flector en una sección situada en el voladizo
En segundo lugar, se considera una sección situada en el voladizo, es decir, 12 ≤ a ≤ 16.
La influencia en este caso se calcula como{
M(x) = 0 x ≤ a
M(x) = − (x− a) x ≥ a
La ĺınea de influencia del momento flector se representa en la Figura 1.46.
42 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y SEGURIDAD
Figura 1.46: Ĺınea de influencia del momento flector para una sección en el voladizo
La ĺınea de influencia calculada para 12 ≤ a ≤ 16 presenta únicamente área de influencia
negativa, que para s = a se calcula como
A− = −1
2
(16− a)2
Envolventes de flectores positivos y negativos
Para dibujar las envolventes de los momentos flectores positivos y negativos se calcula
la integral de la ĺınea de influencia del momento flector para cada sección. Las áreas
de influencia de la Tabla 1.9 se obtienen integrando las partes, positiva y negativa, de
la ĺınea de influencia del momento flector para cada sección.
Se calcula el valor del momento flector debido al peso propio, g = 8 kN/m, multipli-
cando dicho peso propio por el área (positiva+negativa) de la ĺınea de influencia del
momento flector en cada sección.
Figura 1.47: Envolventes de momentos flectores
Para cada sección, se obtiene el valor del máximo momento positivo y negativo debido a
la sobrecarga qsc = 12 kN/m, multiplicando dicha carga por el área positiva y negativa,
1.7. ENVOLVENTES DE ESFUERZOS 43
áreas influencia (kNm2/kN) Momento = p·área (kNm) Extremos
a (m) Positivo Negativo Suma Mpp M
(+)
s M
(−)
s Mmax Mmin
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 2 10 -1,33 8,67 69,4 120 -16 189,4 53,4
3 4 16 -2,67 13,33 106,6 192 -32 298,6 74,6
4 6 18 -4,00 14,00 112,0 216 -48 328,0 64,0
5 8 16 -5,33 10,67 85,4 192 -64 277,4 21,4
6 10 10 -6,67 3,33 26,6 120 -80 146,6 53,4
7 12 0 -8,00 -8,00 -64,0 0 -96 -64,0 -160,0
8 14 0 -2,00 -2,00 -16,0 0 -24 -16,0 -40,0
9 16 0 0 0 0 0 0 0 0
Tabla 1.9: Determinación de los momentos flectores máximos en las secciones de cálculo
respectivamente, de la ĺınea de influencia. Téngase en cuenta que la sobrecarga puede
ser una carga móvil y, por tanto, hay que considerar la posición más desfavorable.
Finalmente, por combinación de los valores debidos al peso propio más la sobrecarga
(positivo y negativo), se obtienen los valores extremos, Mmax = Mpp + M
(+)
sc y el
valor Mmin = Mpp +M
(−)
sc que permiten dibujar las envolventes del máximo y mı́nimo
momento flector.
En la Tabla 1.9 se reúnen todos los pasos realizados. La Figura 1.47 representa las
envolventes de flectores positivos y negativos. La zona sombreada de la figura indica el
rango de los momentos flectores posibles.
Ejemplo: Viga con dos voladizos no simétrica
Sea una viga continua con un tramo central de longitud l y dos voladizos de longitudes
li y ld con las dimensiones que se indican en la Figura 1.48. Las cargas que actúan
sobre la estructura son:
- El peso propio de la viga g (γG∗ ,γG∗∗)
- Una sobrecarga de uso uniforme q (γQ) que puede