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Trabajo fin de grado
Condensación de Bose-Einstein
de partículas sin masa
Autor: Inés Rodríguez Arias
Tutor: Jaime Ferrer Rodríguez
5 de Junio del 2014
Índice general
1. Introducción y Motivación. 1
2. Condensación de Bose-Einstein. 4
2.1. Conceptos Previos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. El Gas de Bosones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3. Conceptos Avanzados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. Estadística del Gas de Fotones. Radiación del Cuerpo Negro. 22
3.1. Radiación del Cuerpo Negro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2. Observaciones sobre el Gas de Fotones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4. Fijar el Potencial Químico de un Gas de Fotones. 30
5. Condensación de Bose-Einstein de Fotones. Detalles Experimentales. 37
5.1. Condensación de Bose-Einstein de Fotones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2. Diferencias con un Láser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3. Posibles Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6. Conclusiones. 48
Bibliografía. 50
Apéndices. 52
Capítulo 1
Introducción y Motivación.
La condensación de Bose-Einstein (BEC) es uno de los fenómenos físicos más impre-
sionantes descubiertos hasta el momento. Se trata de un nuevo estado de la materia que
presenta una ocupación macroscópica del estado fundamental, y es debida a la atracción
estadística entre bosones.
Su predicción se remonta a los años 20 del siglo pasado, cuando el físico indio Sat-
yendra Nath Bose, que estudiaba la estadística de los cuantos de luz, le envió un paper
al por entonces ya muy conocido Albert Einstein. Entre ellos desarrollaron la estadística
cuántica de Bose-Einstein. Sin embargo, pese a ser predicho hace casi un siglo, la evidencia
experimental de este fenómeno no se constató hasta 1995.
Esta estadística estudia el gas de bosones idénticos, un conjunto de partículas indis-
tinguibles que veri�can que su función de onda es simétrica bajo la permutación de dos
cualesquiera de ellas, y por tanto invariante bajo todo tipo de permutaciones, de rango par
y de rango impar. Existe un teorema de Conexión Spin-Estadística [1− 2] que sostiene que
estas partículas que reciben el nombre de bosones tienen spin entero. Asimismo, aquellas
cuya función de onda es antisimétrica bajo el intercambio de dos partículas son fermiones,
y su spin es semientero.
Ψ(1, 2, ..., i, ..., j, ..., N) =
{
Ψ(1, 2, ..., j, ..., i, ..., N) para bosones,
−Ψ(1, 2, ..., j, ..., i, ..., N) para fermiones.
(1.1)
La consecuencia de este hecho es que los bosones no sufren imposición alguna sobre el
número de ellos que pueden encontrarse en un mismo estado cuántico, mientras que los
fermiones sufren una repulsión estadística, que recibe el nombre de Principio de Exclusión
de Pauli: dos fermiones idénticos no pueden ocupar el mismo estado cuántico. Una manera
accesible de demostrarlo es empleando el ejemplo a dos partículas que se encuentran en el
1
Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
mismo estado cuántico. De�nimos el operador permutación P̂ , que intercambia nuestras
dos partículas. Así, encontrándose ambas en el mismo estado cuántico α:
|ϕ(1, 2) >= |α(1), α(2) >; P̂ |ϕ(1, 2) >= |ϕ(2, 1) >= |α(2), α(1) > . (1.2)
Puesto que el estado cuántico α es exactamente el mismo en las dos, concluimos que
P̂ |ϕ(1, 2) >= |ϕ(1, 2) >. Si estas partículas son bosones, la función de onda veri�ca sin
problema la condición de simetría. Por el contrario, si se trata de fermiones, obtendríamos
que a su vez esta igualdad debería veri�car la condición de antisimetría:
P̂ |ϕ(1, 2) >= −|ϕ(2, 1) > . (1.3)
Por tanto, la única manera de que ambas preposiciones se cumplan es que la función de
onda para los fermiones sea idénticamente cero.
Así se ha concluido de una manera sencilla que dos fermiones no pueden encontrarse
en el mismo estado cuántico, pero que para dos bosones no existe tal ligadura.
Empleando ésto, el análisis de la estadística bosónica les llevó a Bose y a Einstein
a predecir teóricamente el fenómeno de la condensación de Bose-Einstein, que consiste
en, por debajo de una temperatura crítica TBE, la ocupación del estado fundamental por
parte de una fracción importante de las partículas del sistema, mientras que el resto de
niveles siguen presentado una ocupación microscópica, típicamente termal. A temperatura
absoluta T = 0 K todos los bosones del sistema se encontrarían en el estado fundamental,
de mínima energía.
Este proceso de condensación al nivel fundamental estaría detrás de muchos de los
fenómenos físicos relevantes hasta el momento, como son la superconductividad [3− 4] y
la super�uidez [5]. La primera consiste en la condensación de pares de Cooper: parejas
de electrones (fermiones) que al juntarse forman un bosón. Su resultado a nivel macros-
cópico es la resistividad cero que ejercería el material al paso de la corriente, así como el
efecto Meissner, repulsión del campo magnético del interior del material. Por su parte, la
super�uidez consiste en la viscosidad nula de un �uido.
Está claro que las aplicaciones de estos dos fenómenos son inmediatas, tanto desde
el punto de vista económico como desde el del desarrollo tecnológico, y es por ello que
el estudio de los efectos cuánticos sobre las propiedades de la materia es de extremada
importancia.
En este trabajo se va a estudiar el fenómeno de la condensación de Bose-Einstein.
Vamos a intentar generalizar los conceptos desarrollados para partículas con masa �nita
Inés Rodríguez Arias 2 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
a partículas con masa nula, como los fotones, fonones y magnones. En concreto, nos cen-
traremos en la condensación de Bose-Einstein de fotones, los cuantos de luz que estudiaba
Bose hace casi cien años. Como veremos, el principal problema que presentan tanto los
fotones como el resto de partículas sin masa es su potencial químico, que en la mayoría
de circunstancias toma el valor cero. Esto implica inmediatamente la no conservación del
número total de partículas, lo que impide la aparición del fenómeno de condensación.
El esquema fundamental de este trabajo es el siguiente:
En primer lugar, en el Capítulo 2, daremos unas nociones introductorias de Física
Estadística, así como de la condensación, junto con algunos conceptos más avanzados con
los que me he encontrado a lo largo de mi estudio, y me parecieron de preciosa importancia.
En el Capítulo 3 daremos un estudio detallado de la estadística del gas de fotones
más extendido: la radiación de cuerpo negro. Ésta consiste en la radiación emitida por el
interior de una cavidad, cuyas paredes son un absorbente perfecto, por el hecho de estar
a una determinada temperatura. En este caso nos encontramos que el número total de
fotones no se puede conservar, sino que va a depender unívocamente de la temperatura a
la que se encuentre (radiación típicamente termal), por lo que nos será imposible establecer
la condensación.
No obstante, no nos damos aún por vencidos, sino que vamos a intentar modi�car la
geometría y propiedades de la cavidad, y vamos a intentar establecer el equilibrio térmico
entre un gas de fotones y su entorno, aunque manteniendo un potencial químico de�nido.
Esto será desarrollado ampliamente en los Capítulos 4 y 5.
Finalmente, en el breve Capítulo 6 nombraré otras partículas sin masa que son suscep-
tibles de sufrir la condensación de Bose-Einstein, y sus posibles consecuencias. También
se recogerán unas conclusiones, los hechos que más relevantes considero del trabajo, y los
conocimientos adquiridos durante las horas dedicadas.
Inés Rodríguez Arias 3 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
Capítulo 2
Condensación de Bose-Einstein.
Como ya he mencionado, la condensación de Bose-Einstein es un fenómeno cuántico
colectivo a nivel macroscópico, que involucra ungran número de partículas, en este caso de
bosones. Por ello, no podemos tratarlos desde punto de vista de partículas independientes,
sino que es necesario realizar un tratamiento estadístico de su conducta.
En este capítulo se pretende estudiar el comportamiento de un gas de bosones por
encima y por debajo de la temperatura crítica. Para ello, vamos a dar, en primer lugar,
unas nociones de Física Estadística a nivel muy general, centrándonos en el Colectivo Gran
Canónico y en las partículas de naturaleza bosónica. Seguidamente, vamos a tratar más
en profundidad el estudio del gas de bosones, �jando sobre todo la atención en el estudio
de bosones libres, que podrá sin mayor problema ser generalizado a otros casos, como el
gas de bosones en un pozo de potencial.
Por último, se recogen otros conceptos que considero relevantes, aunque son sin duda
mucho más complejos. Hablaremos de la introducción de una interacción entre bosones,
que para muchos casos ha de ser tenida en cuenta. Asimismo, un tratamiento más formal
es requerido para el estudio de la condensación de Bose-Einstein en partículas sin masa,
tema central de este trabajo. Así, quedará abierta la puerta al análisis de la magnitud
podría ser conservada, para el estudio de sus consecuencias.
2.1. Conceptos Previos.
En primer lugar, unas ciertas nociones de Física Estadística [6] son necesarias para
comprender la condensación de Bose-Einstein en un gas de un único tipo de bosones. Vamos
a trabajar en el Colectivo Gran Canónico, en el que tenemos el sistema en contacto con un
termostato (la temperatura del sistema se �ja en T ) y con un reservorio de partículas (el
4
2.1 Conceptos Previos. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
número de partículas N no está �jo pero sí el potencial químico µ). Se de�ne el potencial
químico como la energía que aporta una partícula al sistema manteniendo la entropía de
éste constante, es decir:
µ = (EN − EN−1)∆S=0 . (2.1)
Puesto que estamos trabajando con un número no bien de�nido de partículas, no
podemos describir nuestro estado cuántico total a partir de una base de estados cuánticos
a una partícula. Así, es necesario introducir la ocupación de cada estado cuántico.
{|λ >} =⇒ {|nλ >}, (2.2)
donde nλ representa la ocupación o el número de partículas que se encuentran en
el estado cuántico |λ >. Así, para dar un microestado, en el cual toda la información
microscópica del sistema está de�nida, lo que tenemos que dar es el factor de ocupación
de cada estado cuántico accesible.
Esto equivale a pasar de trabajar en un espacio de Hilbert, donde se dan los estados de
cada una de las partículas del sistema, (|λpart1 > ⊗|λpart2 > ⊗...⊗ |λpartN >) a un espacio
de Fock:
|nα, nβ, ..., nλ, ..., nω > . (2.3)
Nos encontramos en un principio con la ligadura para el estado cuántico a N partículas
que supone que la suma a todos los estados |λ > de la ocupación de cada estado ha de ser
igual al número total de partículas.
N =
∑
λ
nλ. (2.4)
Es necesario entender que este número total de partículas no es estrictamente una
constante, pues estamos trabajando en un sistema abierto, en contacto con el reservorio,
pero, al tener todas las partículas el mismo potencial químico, sí que va a serlo en promedio
a tiempos grandes, por lo que se trata de una buena aproximación.
Asímismo, la energía total del sistema no será otra que la suma, a todos los estados
cuánticos accesibles |λ >, del producto de la ocupación de cada uno, nλ, por la energía
que tiene una partícula que se encuentra en ese estado cuántico, ελ:
E =
∑
λ
nλελ. (2.5)
Se puede mostrar que la probabilidad de realización de un microestado de energía total
Inés Rodríguez Arias 5 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
2.1 Conceptos Previos. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
El y de número total de partículas Nl es, en el Colectivo Gran Canónico:
Pl =
1
Ξ
e−β(El−µNl), con β =
1
kBT
. (2.6)
La constante de normalización Ξ recibe el nombre de gran función de partición. Si
tenemos en cuenta las relaciones (2.4), (2.5) y (2.6), ésta puede escribirse como:
Ξ =
∑
l
e−β(El−µNl) =
∏
λ
ξλ, con ξλ =
∑
nλ
e−β(ελ−µ)nλ . (2.7)
De esta manera podemos directamente pasar de las propiedades a un estado cuántico
(ξλ) a las propiedades a todos los estados cuánticos accesibles (Ξ).
Escribimos el Gran Potencial, magnitud generatriz de las propiedades termodinámicas
del sistema1:
J = − 1
β
ln Ξ = − 1
β
∑
λ
ln ξλ. (2.8)
El número de partículas, como hemos observado anteriormente, va a variar, y podemos
calcular su valor promedio a partir de1:
N̄ =
1
β
∂ ln Ξ
∂µ
= −
(
∂J
∂µ
)
T,V
=
∑
λ
1
β
∂ξλ
∂µ
. (2.9)
Podemos igualar este promedio a la suma de la ocupación promedio de cada estado,∑
λ n̄λ, por lo que obtenemos que:
n̄λ =
1
β
∂ ln ξλ
∂µ
. (2.10)
Para obtener la distribución estadística de Bose-Einstein, tenemos que tener en cuenta
que los bosones son partículas sobre las cuales no se ejerce una repulsión estadística, esto
es, el número de bosones en un estado dado puede ser cualquier número entero positivo,
nλ ∈ (0,∞). Esto contrasta con el caso de los fermiones, los cuales sufren el principio de
exclusión de Pauli, que no permite que en un estado cuántico haya dos fermiones idénticos.
1Esto es así puesto que el Gran Potencial es obtenido a partir de una Transformada de Legendre de la
energía; J(T, V, µ) = E(S, V,N)− TS −µN , y, sabiendo que dE = TdS −PdV −µdN , tenemos entonces
que dJ = −SdT − PdV −Ndµ.
Inés Rodríguez Arias 6 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
2.1 Conceptos Previos. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
Así, el cálculo de ξλ es trivial:
ξλ =
∞∑
nλ=0
(
e−β(ελ−µ)
)nλ
=
1
1− e−β(ελ−µ)
. (2.11)
A partir de ahí ya obtenemos el Gran Potencial para bosones, así como la distribución
estadística de Bose-Einstein:
J =
1
β
∑
λ
ln
(
1− e−β(ελ−µ)
)
, (2.12)
n̄λ =
1
eβ(ελ−µ) − 1
. (2.13)
Como se puede obtener de esta última relación, puesto que el factor promedio de
ocupación de cualquier estado cuántico ha de ser un número mayor o igual a cero, el
potencial químico ha de veri�car la relación eβ(ελ−µ) ≥ 1 para todo ελ, lo que implica que:
µ ≤ ε0, (2.14)
siendo ε0 la energía del estado fundamental.
Esta última relación es de gran importancia, y es la base del complejo tratamiento
estadístico que requieren los bosones, en contraste con el de los fermiones.
En la Figura 2.1 podemos observar esta función de ocupación promedio en función de
la energía de cada estado ελ, suponiendo un potencial químico arbitrario µ < 0.
Como vemos, cuando la energía del fundamental toma el mismo valor que el poten-
cial químico µ, la ocupación va a diverger. Estudiaremos con detalle este fenómeno más
adelante, pues en él está la clave de la condensación de Bose-Einstein.
Inés Rodríguez Arias 7 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
2.2 El Gas de Bosones. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
Figura 2.1: Función promedio de llenado frente a la energía de los niveles.
Llegados a este punto, vamos a suponer una aproximación semiclásica; esto es que
nuestros estados están lo su�cientemente juntos en el espacio recíproco, y la variación de
la ocupación es tan lenta que podemos reescribir nuestros sumatorios a los estados |λ >
como integrales en el espacio recíproco, y, en última instancia, e introduciendo el concepto
de densidad de estados2, como una integral en energías.
N = V
∫
d� g(�)
eβ(�−µ)−1 ,
E = V
∫
d� �g(�)
eβ(�−µ)−1 ,
J = V
β
∫
d� g(�) ln
(
1− e−β(�−µ)
)
.
(2.15)
Todas estas nociones nos van a ser de gran utilidad más adelante, y volveremos sobre
ellas.
A continuación, vamos a realizar nuestro estudio del comportamiento del gas de boso-
nes.
2La densidad de estados es un concepto muy utilizado tanto en Física Estadística como en Física de la
Materia Condensada, que mide el número de estados accesibles para cada energía, por unidad de energía
y por unidad de volumen. Con ella, podemos transformar integrales tridimensionales en los estados en
integralesen energía de la forma
∫
d~k
(2π)d
f(~k) =
∫
d�g(�)f(�), siendo g(�) la densidad de estados.
Inés Rodríguez Arias 8 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
2.2 El Gas de Bosones. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
2.2. El Gas de Bosones.
En un primer caso, consideramos la relación de dispersión de una partícula libre �(~k) =
~2k2
2m
, que como vemos es cuadrática con el vector de onda.
Como podemos observar, la energía del estado fundamental es ε0 = 0, aunque bien
podíamos haber tomado �(~k) = ε0 + ~
2k2
2m
, que supondría la existencia de una masa no nula
en el sentido relativista. Esta masa aportaría un gap a la relación de dispersión, lo que
implicaría que no toda partícula podría propagarse en nuestro sistema. Volveremos sobre
este concepto en la sección 2.3, introduciendo también el concepto de masa inercial.
Para obtener a partir de la relación de dispersión, nuestra densidad de estados, podemos
simplemente aplicar su de�nición. Para ello, hay que tener en cuenta que el volumen en el
espacio recíproco que ocupa un estado ~k, si consideramos nuestro gas de bosones encerrado
en un cubo de lado L, y condiciones de contorno periódicas (de Born-von Karman, BvK )[7],
es ∆~k =
(
2π
L
)d
, siendo d la dimensión del espacio en que estamos trabajando. Así, tenemos
que la densidad de estados g(�) veri�ca:
Ldgd(�)d� =
(2s+ 1)(
2π
L
)d Sd(~k)d~k, (2.16)
donde s es el spin, (2s+ 1) es el número de valores de ms a s �jado, número de estados
distintos de spin que caben en un estado (~k, s), y Sd(~k) recibe el nombre de multiplicidad, y
depende de la dimensión en la que nos encontremos. Conceptualmente es, en nuestro caso
simpli�cado de bosones libres, la ecuación que describe una super�cie con k constante,
puesto que la relación de dispersión únicamente depende del módulo de ~k.
Sd(~k) =

2 si d = 1,
2πk si d = 2,
4πk2 si d = 3.
(2.17)
Como vemos, en una dimensión toma el valor 2 por las ramas degeneradas (con una
misma energía) para ~k > 0 y ~k < 0. En dimensión 2 toma la expresión de la longitud de
una circunferencia de radio k, y cuenta a todos los puntos equidistantes del origen, y en
dimensión 3 se trata de la super�cie de una esfera de radio k.
Si ahora derivamos nuestra relación de dispersión, obtenemos, aunque de una mane-
ra no demasiado rigurosa matemáticamente, que d� = ~
2k
m
dk. Empleando esto, podemos
Inés Rodríguez Arias 9 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
2.2 El Gas de Bosones. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
escribir nuestra densidad de estados, de manera compacta para todas las dimensiones:
gd(�) = (2s+ 1)
( m
2~2
) d
2 �
d
2
−1
ad
, con ad =

π si d = 1,
π si d = 2,
π2/2 si d = 3.
(2.18)
En principio, la única modi�cación que requeriría nuestro tratamiento a la hora del
estudio de otras relaciones de dispersión sería la densidad de estados. De esta manera, si
nuestro gas estuviese con�nado en un pozo de potencial armónico, con el hamiltoniano a
un cuerpo:
H =
d∑
i=1
(
~2k2i
2m
+
1
2
mω2i x
2
i
)
, (2.19)
se puede mostrar que la densidad de estados tiene la siguiente forma, para las distintas
dimensiones.
g
′
d(�) =
(2s+ 1)�d−1
bd~dωd
, con bd =

1 si d = 1
1 si d = 2
2 si d = 3
y ωd =
d∏
i=1
ωi. (2.20)
De igual forma, la densidad de estados para la relación de dispersión es la de una
partícula ultrarelativista ε(~k) = ~ck es muy similar a la anterior
g
′′
d (�) =
(2s+ 1)ed−1
cd (~c)d
, con cd =

π si d = 1,
2π si d = 2,
2π2 si d = 3.
(2.21)
De cualquier manera, vamos a seguir con el estudio del gas libre de bosones, aunque
luego veremos las implicaciones de estas dos últimas relaciones.
Ahora, si de�nimos a partir del potencial químico, la fugacidad, ϕ = eβµ, tenemos la
siguiente relación implícita.
n =
N
V
=
∫ ∞
0
d�
g(�)
eβ(�−µ) − 1
=
(2s+ 1)
ad
( m
2~2
) d
2
∫ ∞
0
d�
�
d
2
−1
eβ�/ϕ− 1
. (2.22)
Haciendo el cambio de variable estándar en estos casos, β� = x, que nos vuelve la
integral adimensional, tenemos:
n =
(2s+ 1)
ad
(
m
2~2β
) d
2
∫ ∞
0
dx
x
d
2
−1
ex/ϕ− 1
. (2.23)
Inés Rodríguez Arias 10 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
2.2 El Gas de Bosones. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
Además, podemos de�nir la siguiente familia de integrales, a partir de la función Gam-
ma de Euler, Γ(α). Se puede mostrar que esta función es biyectiva si α > 1, en la cual
z ∈ [0, 1] y Iα(z) ∈ [0, Iα(1)], con Iα(1) = ζ(α) =
∑
n n
−α, la función Zeta de Riemann
[Apéndice A].
Iα(z) :=
1
Γ(α)
∫ ∞
0
dx
xα−1
ex
z
− 1
. (2.24)
Combinando las relaciones (2.23) y (2.24), se obtiene:
n ad
(2s+ 1)
(
2~2
mkbT
) d
2
= Γ (d/2) Id/2(ϕ). (2.25)
Ahora, ya nos vamos a restringir al caso d = 3, sabiendo que Γ(3/2) =
√
π/2.
n
(2s+ 1)
(
2π~2
mkbT
) 3
2
= I3/2(ϕ). (2.26)
Precisamente, la cantidad
(
2π~2
mkbT
) 1
2
= ΛT tiene dimensión de longitud y recibe el
nombre de longitud de onda térmica. Se trata de la longitud de onda del paquete de
onda (más o menos localizado en posición ~r y más o menos localizado en momento ~k)
correspondiente a una partícula con masa m, a temperatura T . Como vemos, cuanto
menor sea la temperatura, mayor va a ser la longitud de onda asociada a las partículas, y
llegará el punto en que todos estos paquetes de onda se solapen espacialmente. Eso ocurre
en d = 3 cuando la densidad n veri�ca que nΛ3T ∼ 1, y se considera la frontera entre los
regímenes clásico y cuántico.
Nuestra relación implícita para determinar el potencial químico queda entonces:
nΛ3T = (2s+ 1) I3/2(ϕ) (2.27)
Así pues, conforme va disminuyendo la temperatura, manteniendo la densidad n cons-
tante, llegará un punto en que I3/2(ϕ) alcance su valor máximo, I3/2(1) = ξ(3/2), cuando
el potencial químico alcanza el valor µ = 0 (ϕ = 1). A la temperatura en la cual llegamos
a ese límite la denominamos temperatura de Bose-Einstein:
TBE = 2π
~2
mkB
(
n/(2s+ 1)
ζ(3/2)
) 2
3
. (2.28)
Además, estudiando el límite cuando ϕ −→ 0+ de la función I3/2(ϕ), que es lineal con
Inés Rodríguez Arias 11 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
2.2 El Gas de Bosones. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
ϕ, se determina implícitamente el potencial químico en función de la temperatura para
valores elevados de ésta.
ϕ = eβµ ∝ T−3/2 =⇒ µ ∝− T lnT (2.29)
De esta manera se recupera el límite clásico que se obtiene empleando la relación de
distribución de Maxwell-Boltzmann[9].
µ(T ) = kBT ln
(
nΛ3T
)
= −3
2
kBT ln
(
mkBT
2π~2n2/3
)
. (2.30)
En la Figura 2.2 se observa la evolución de la función I3/2(ϕ), así como la relación obtenida
para el potencial químico que, como vemos, a la temperatura TBE alcanza el valor cero,
en el cual se mantiene para las temperaturas inferiores.
(a) I3/2 en función de ϕ (b) µ en función de T .
Figura 2.2: Relaciones I3/2 en función de ϕ (a) y µ en función de T (b).
Llegados a este punto, por debajo de la temperatura de Bose-Einstein, en la que el
potencial químico alcanza el cero (o, de una forma más general, la energía del estado
Inés Rodríguez Arias 12 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
2.2 El Gas de Bosones. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
cuántico fundamental, ε0), la ocupación de ese estado va a tender a in�nito.
ĺım
µ−→�0
n̄0 = ĺım
µ−→�0
1
eβ(�0−µ) − 1
=∞ (2.31)
Esto va a suponer un gran problema para nuestra aproximación cuasi clásica, en la que
suponíamos que la ocupación de los niveles variaba lentamente, y, por tanto, podíamos
aproximar el sumatorio en λ a una integral. La Figura 2.3 da cuenta de lo que ocurre por
encima y por debajo de la temperatura de Bose-Einstein.
(a) Por encima de la temperatura TBE . (b) Por debajo de la temperatura TBE .
Figura 2.3: Ocupación de los distintos niveles cuánticos.
Como vemos, el único nivel que se ve afectado es el fundamental, por lo que podemos
reescribir nuestro sumatorio en dos términos: el primero, que contiene la fracción de partí-
culas que se encuentran en el condensado, y el segundo, en el que el sumatorio se extiende
a todos los demásniveles. Ese nuevo sumatorio excluyendo al estado fundamental sí que
va a converger.
N =
∑
λ
n̄λ = n̄0(T ≤ TBE) +
∑
λ>0
n̄λ ≈ n̄0(T ) +
∫ ∞
ε0
d�
g(�)
eβ(�−ε0) − 1
(2.32)
De hecho, este último término ya lo hemos calculado, puesto que la aportación micros-
cópica del estado de mínima energía no va a modi�car en ningún caso de manera relevante
el conjunto de aportaciones del resto de estados.
N = n0(T ) +
V
a3
(2s+ 1)
(
mkBT
2~2
)3/2
Γ (d/2) ζ (d/2) = n0(T ) +N
(
T
TBE
)3/2
(2.33)
Ahora llega el momento de realizar una asunción que más adelante precisaremos. Se
Inés Rodríguez Arias 13 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
2.2 El Gas de Bosones. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
trata de suponer que verdaderamente ese número total de partículas se conserva. Así,
podríamos despejar la ocupación del estado fundamental, en principio divergente, a partir
de la ocupación del resto de estados cuánticos.
n0(T )
N
= 1−
(
T
TBE
)3/2
. (2.34)
Análogamente, en el caso del gas de bosones sometido a un pozo de potencial armónico
o de partículas ultrarelativistas en un espacio de dimensión d = 3, y d = 2, obtenemos
que n0(T )
N
= 1−
(
T
TBE
)d
. En la Figura 2.4 se observan estas tres relaciones.
Figura 2.4: Fracción de bosones que se encuentran en el estado fundamental en función de
la temperatura.
Como podemos observar, la saturación del estado fundamental a la totalidad de partí-
culas es mucho más rápida en el caso del gas de bosones en el potencial armónico que en el
gas libre. También lo es, dentro de los dos casos de gas sometido a un potencial armónico,
en dimensión d = 3 que en d = 2.
Es de vital importancia remarcar un hecho que hasta ahora no se ha mencionado, y
Inés Rodríguez Arias 14 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
2.3 Conceptos Avanzados. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
sobre el cual también volveremos más adelante. Se trata de la posibilidad de condensación
de Bose-Einstein en un espacio de dimensión d. Pues bien, para que pueda tener lugar la
condensación, es necesario que exista una temperatura �nita tal que la integral
∫∞
0
d� g(�)
eβ�−1 ,
que se corresponde con el número total de partículas cuando el potencial químico llega
a cero. Este hecho impone una restricción muy importante en la densidad de estados,
puesto que como se ha desarrollado en el Apéndice A, una integral del tipo
∫∞
0
dxx
α−1
ex−1
únicamente converge si α > 1. De esta manera, quedarían excluidos los casos en los que
d = 1, 2, con respectivamente α = 1
2
, 1, para el gas de bosones libres, así como el caso d = 1
(α = 1) del gas de bosones en un potencial armónico, o de la partícula ultrarelativista.
No obstante, aunque con la física más o menos sencilla estudiada aquí se obtenga que
sí es posible la condensación en d = 2, a la hora de tratar esta dimensión es necesario
tener en cuenta otros fenómenos más complicados, como los introducidos por Kosterlitz y
Thouless[10]. En ellos, se explica cómo una transición de fase tiene lugar entre pares de
vortice y antrivórtice a bajas temperaturas hacia el desapareamiento de éstos a partir de
una temeperatura crítica. Por supuesto, nuestra aspiración aqui es mucho más modesta,
y no se pretende en ningún caso estudiar estos estados topológicos.
2.3. Conceptos Avanzados.
Existen más fenómenos que en nuestro formalismo hasta el momento no han sido
tenidos en cuenta, y que se recogen en esta sección.
En primer lugar, en ningún momento hasta ahora hemos hablado de la interacción
entre bosones. Aunque sólo la vamos a estudiar a grandes rasgos, es un hecho importante
que no puede ser excluido, ni tampoco sus implicaciones.
En segundo lugar, otro fenómeno importante que tampoco hemos tratado es que, a
temperaturas elevadas, se pueden producir procesos de creación y aniquilación de partícu-
las, por lo que resultaría imposible la conservación del número total, hecho del cual hemos
partido para el desarrollo formal de la condensación. Como veremos, esto va a tener unas
implicaciones importantes a la hora de tratar el caso de partículas de masa muy pequeña,
que van a poder condensar a temperaturas elevadas.
Inés Rodríguez Arias 15 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
2.3 Conceptos Avanzados. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
2.3.1 Interacción entre bosones.
Para tener en cuenta la aportación de la interacción entre bosones, a nuestro hamilto-
niano total del gas de bosones le deberíamos sumar:∑
i<j
Vij, (2.35)
el término de interacción que tiene lugar entre cada par de bosones. Su tratamiento
es bastante complejo, puesto que este término hace que nuestro hamiltoniano ya no sea
separable. Así, ya no podemos resolver cada ecuación de Schrödinger a una partícula de
manera independiente a todas las demás, como habíamos supuesto en todo el tratamiento
anterior. No obstante, una posible aproximación es seguir suponiendo una función de onda
factorizada, de variables separables.
Ψ(~r1, ~r2, ..., ~rN) =
N∏
i=1
ϕ0(~ri) = ϕ0(~r1)·ϕ0(~r2)·...·ϕ0(~rN). (2.36)
Hemos considerado el caso de temperatura cero, en el cual todos los bosones que forman
el gas se encuentran en el estado fundamental, que viene descrito por la función de onda
ϕ0(~r).
Se puede realizar un tratamiento variacional del sistema[6, 11], minimizando la energía
total, e imponiendo por el método de los multiplicadores de Lagrange que la función
ϕ0(~r) esté normada. Siguiendo estos pasos llegamos a una ecuación de Schrödinger no
lineal en ϕ0, que recibe el nombre de Ecuación de Gross-Pitaevskii. Su resolución, que
normalmente requiere un proceso iterativo, nos llevaría directamente a la función de onda
total del sistema y a su energía.
Esta introducción al formalismo de las interacciones del sistema es importante por el
hecho de que fenómenos como el de la super�uidez únicamente salen a colación, desde un
punto de vista teórico, si existe interacción entre los bosones[5].
Es destacable que se ha encontrado evidencia experimental de la condensación de
Bose-Einstein[12] para un gas bidimensional de bosones, sometido a un potencial de tipo
armónico. Estos resultados concuerdan con lo esperado para la resolución de la ecuación
de Gross-Pitaevskii.
Inés Rodríguez Arias 16 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
2.3 Conceptos Avanzados. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
2.3.2 Conservación de la carga.
Para poder realizar nuestro tratamiento a altas temperaturas (en comparación con la
masa de la partícula en cuestión), vamos a tener que suponer nuestra relación de dispersión
relativista, que incluye la masa de la partícula. Así, tendríamos que:
ε(~k) =
√
m2 + k2, en unidades ~ = c = 1. (2.37)
En la Figura 2.5 podemos apreciar la relación de dispersión de una partícula relativista.
Dos cosas que podemos observar son: por un lado, el gap de energía que hay a momento
cero, que podemos entender como la masa relativista. Esto contrasta con el caso de masa
cero, que, como vemos pasa por el origen de energía (por supuesto, sin tener en cuenta
la división que se muestra en el eje ε/m puesto que, al tener masa cero, divergería). La
implicación de este hecho es que, en el caso de masa cero, no hay mínima aportación de
energía que se pueda dar al sistema (una partícula con cualquier energía podría propagar-
se). Volveremos en el próximo capítulo sobre la implicación de esto en el caso de un fotón
que no se propaga por el vacío. Separadamente a esta masa, nos encontramos también con
una masa inercial, o masa newtoniana. Aunque en el caso de esta relación de dispersión
ambas masas coincidan, esto no siempre va a ser así. Lo que va a modi�car esta masa es
la curbatura de la relación de dispersión, frente al corte con el origen k = 0 sobre el que
actuaba la masa relativista.
Inés Rodríguez Arias 17 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
2.3 Conceptos Avanzados. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
Figura 2.5: Relación de dispersión de una partícula relativista.
Al igual que antes, el número promedio de partículasviene dado por:
N =
∑
~k
1
eβ(ε(~k)−µ) − 1
. (2.38)
Esta de�nición, como ya hemos visto, entraña el hecho de que el potencial químico
tenga que tener un valor igual o menor que la masa en reposo de la partícula (en unidades
de energía, por supuesto, aunque en este caso ya hemos �jado nuestras unidades ~ = c =
kB = 1), que se correspondería con la energía de la partícula en el estado fundamental
k = 0.
µ ≤ m. (2.39)
Ahora bien, la asunción que hacíamos antes de que este número total de partículas
se conservaba no es del todo cierta, si tenemos en cuenta que pueden darse procesos de
creación y aniquilación de pares de partícula-antipartícula[13].
A partir de ahora, vamos a denotar N al número total de partículas y N̄ al número
total de antipartículas. De este modo, puesto que los procesos de creación y aniquilación
Inés Rodríguez Arias 18 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
2.3 Conceptos Avanzados. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
siempre se producen por pares de partícula y antipartícula (bien en un proceso se crean
una partícula y una antipartícula del mismo tipo, bien una partícula se encuentra con
una antipartícula y ambas se aniquilan), la cantidad N − N̄ sí que será estrictamente una
constante, determinada por las condiciones iniciales, mientras que habrá �uctuaciones con
respecto a los valores promedio de N y N̄ .
Al operador Q̂ = N−N̄ lo vamos a llamar carga. Puesto que se trata de un operador que
conmuta con el Hamiltoniano total del sistema, nuestros estados propios también lo serán
de éste. Por esta razón, Q̂ de�nirá una cantidad conservada, constante del movimiento, y
nos proporcionará un nuevo número cuántico. Para el cálculo de nuestro operador carga,
podemos realizar un procedimiento similar al hecho en el caso de únicamente particulas,
con ayuda del Gran Potencial.
Tenemos nuestra función de partición de�nida como[14]:
Ξ = Tr
(
e−β(Ĥ−µQ̂)
)
, (2.40)
siendo Ĥ = Ĥpart + Ĥantipart y Q̂ = N̂ − ˆ̄N . Finalmente, queda factorizada como:
Ξ =
∏
~k
ξkξ̄k, con: (2.41)
ξk =
∑
nk
e−β(εk−µ)nk = 1
1−e−β(εk−µ)
y ξ̄k =
∑
nk
e−β(εk+µ)nk = 1
1−e−β(εk+µ)
. (2.42)
Así, el Gran Potencial J = −1
β
ln Ξ resulta:
J =
−1
β
∑
~k
(
ln ξk + ln ξ̄k
)
=
1
β
∑
~k
[
ln
(
1− e−β(εk−µ)
)
+ ln
(
1− e−β(εk+µ)
)]
. (2.43)
De esta manera, obtendríamos el valor promedio de Q:
Q = −∂J
∂µ
=
∑
~k
[
1
eβ(εk−µ) − 1
− 1
eβ(εk+µ) − 1
]
=
∑
~k
(nk − n̄k) . (2.44)
Dado que podemos escribirlo como la suma a todos los estados ~k del número promedio
de partículas menos el número promedio de antipartículas, entonces obtenemos que el
potencial químico es idéntico para ambas, pero de signo opuesto. Además, ambos nk y n̄k
han de ser mayores o iguales que cero, por lo que siguiendo un razonamiento similar al
Inés Rodríguez Arias 19 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
2.3 Conceptos Avanzados. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
empleado para obtener (2,39), llegamos a la importante restricción:
|µ| ≤ m. (2.45)
Lo que vamos a hacer a continuación es repetir los pasos realizados en la sección anterior
para el estudio de la condensación de Bose-Einstein, y la determinación de la temperatura
crítica, aunque esta vez suponiendo que la cantidad conservada es Q y no N . Seguiremos
teniendo presente nuestra aproximación semiclásica, que nos permite pasar del sumatorio
a la integral. Para hacerlo, multiplicamos y dividimos por el espacio que ocupa un estado
~k. No obstante, puesto que nuestra relación de dispersión es ahora más complicada, aunque
sigue únicamente dependiendo del módulo de ~k, nos es más fácil trabajar integrando en
~k (ya que su módulo, para un valor de energía constante, sigue siendo una constante) que
hacer el cambio de variable a energías.
Q =
∑
~k
(
n~k − n̄~k
)
× ∆
~k(
2π
L
)d ≈ Ld ∫ d~k(2π)d (n~k − n̄~k) . (2.46)
Así, y teniendo en cuenta que el integrando únicamente depende de k, vamos a integrar
en toda la parte angular, y denotar q = Q/Ld, por lo que tenemos:
qd =

∫ ∞
0
dk
π
(nk − n̄k) si d = 1∫ ∞
0
kdk
2π
(nk − n̄k) si d = 2∫ ∞
0
dk
2π2
(nk − n̄k) si d = 3
(2.47)
Nuevamente, vamos a realizar el estudio más en concreto, en el caso de d = 3, y luego
estudiaremos los resultados para otras dimensiones.
q =
∫ ∞
0
dk
2π2
k2
[
1
eβ(εk−µ) − 1
− 1
eβ(εk+µ) − 1
]
(2.48)
Al igual que antes, se trata de nuestra ecuación implícita para encontrar el potencial
químico, aunque esta vez teniendo como parámetro q en lugar de n. Por encima de una
temperatura crítica, siempre podremos encontrar un potencial químico que veri�que (2.45)
y (2.48). Pero, al igual que antes, cuando |µ| alcanza el valor de la masa de la partícula,
nos encontramos en la temperatura crítica, por encima de la cual |µ| se mantiene constante
en su valor máximo. A partir de esa temperatura (y ese valor del potencial), la ocupación
del estado fundamental nuevamente diverge, como en (2.30), y llegamos a la condensación.
Inés Rodríguez Arias 20 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
2.3 Conceptos Avanzados. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
De igual manera, podemos interpretar
|q| =
∫ ∞
0
dk
2π2
∣∣∣∣ 1eβ(εk−m) − 1 − 1eβ(εk+m) − 1
∣∣∣∣ (2.49)
como el valor absoluto de la densidad de carga de las partículas que no se encuentran
en el estado fundamental, que no pertenecen al condensado. El hecho de escribir el valor
absoluto viene dado a partir de nuestro desconocimiento, en principio, de si el potencial
químico de las partículas es positivo, y el de las antipartículas es negativo, o viceversa, en
cada caso concreto.
Si suponemos el límite ultrarelativista (k � m), y buscamos la temperatura crítica en
la que |µ| = m, podemos hacer un desarrollo en serie a segundo orden de (2.49), con el
que obtenemos.
|q| ≈ m
π2T
∫ ∞
0
dk
k2eβk
(eβk − 1)2
=
m
3
T 2, (con kB = 1). (2.50)
Así, nuevamente despejamos la temperatura de Bose-Einstein y la fracción de densidad
de carga que se encuentra en el condensado.
TBE =
√
3|q|
m
y q0
q
= 1−
(
T
TBE
)2
. (2.51)
Como observamos, existe una dependencia con la masa en nuestra temperatura de
Bose-Einstein. Esto es relevante a la hora de estudiar el límite en que las partículas tienen
masa cero, puesto que (2.45) implica que µ = 0. Teniendo en cuenta la relación (2.44), se
obtiene que Q es idénticamente cero. No obstante, esto no es consistente con la posible
existencia de bosones cargados sin masa, de cuya pasada existencia existen indicios[16].
Sin embargo, puesto que en ese caso la temperatura de Bose-Einstein es TBE = ∞, nos
encontraríamos por debajo de la temperatura crítica y entonces toda la carga del gas de
bosones estaría en el condensado al estado fundamental.
Inés Rodríguez Arias 21 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
Capítulo 3
Estadística del Gas de Fotones.
Radiación del Cuerpo Negro.
En este capítulo se pretende estudiar la estadística y propiedades del gas de bosones
más extendido en la naturaleza. Se trata de la radiación del cuerpo negro.
Éste es un fenómeno que, a �nales del sigo XIX, trajo de cabeza a muchos de los físicos
más importantes de la época. No conseguían dar una explicación teórica a las observa-
ciones experimentales de la radiación emitida por una cavidad de paredes completamente
absorbentes. Sobre todo, fallaban al explicar el espectro de la radiación a altas frecuen-
cias, por lo que a ésto se le llamó Catástrofe Ultravioleta. No fue hasta el año 1900 que
Max Planck hizo sus desarrollos, suponiendo unos incrementos mínimos de energía que
podían ser transferidos, y consiguió dar cuenta de las observaciones. La razón de este fallo
fue el empleo de la Física Clásica, completamente determinista. A partir de ahí hubo un
desarrollo importantísimo de la Física Cuántica, con su carácter probabilístico que parece
ser lo que en verdad describe la naturaleza.
No obstante, no son estos conceptos los que nos interesan en este momento, sino el
estudio estadístico y en parte cuántico de la radiación del cuerpo negro, así como del
gas de fotones. Así, se va a intentaranalizar en profundidad los orígenes de este tipo
de radiación, y se va a concluir que, con ella es imposible la aparición del fenómeno de
Condensación de Bose-Einstein.
22
3.1 Radiación del Cuerpo Negro. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
3.1. Radiación del Cuerpo Negro.
El propósito de esta sección es el estudio de la radiación (el campo electromagnético)
de cuerpo negro, que se encuentra en equilibrio termodinámico con su entorno. Como
veremos, vamos a poder estudiarlo como un gas de fotones, las partículas que cuanti�can
la energía de la radiación.
Puesto que los fotones no interaccionan entre ellos, la única manera que tienen de
llegar al equilibrio termodinámico es mediante la interacción radiación-materia, mediante
procesos de absorción-emisión. Estos procesos van a ser estudiados en profundidad en el
Capítulo 4. Por el momento, basta con decir que, en un proceso de absorción, un fotón,
de energía la de un salto cualquiera entre dos niveles electrónicos, puede ser absorbido por
un átomo o molécula, y su energía empleada para que un electrón en el estado electrónico
inferior se excite al estado electrónico superior. Por su parte, en el proceso de emisión, en
un átomo que posee un electrón en un estado excitado, éste puede desexcitarse a cualquier
nivel de energía inferior emitiendo un fotón de energía la diferencia entre las energías de
los dos niveles.
Podremos de�nir este tipo de radiación como la creada por un absorbente perfecto, lo
que quiere decir que absorbe toda la radiación que le llega, y únicamente emite de acuerdo
con una ley dada, dependiente de su temperatura.
Es importante estudiar este fenómeno puesto que se trata del caso más extendido
que involucra un gas de fotones. Por poner dos ejemplos, las radiaciones emitidas por las
estrellas pueden considerarse de cuerpo negro (evidentemente mucho más complejo, puesto
que van a depender de los espectros atómicos de los elementos que las forman), así como
la radiación de fondo de microondas.
Una vez introducido el concepto de radiación de cuerpo negro, vamos a estudiar la
radiación desde el punto de vista de las ondas electromagnéticas [17]. Vamos a suponer
una cavidad (en principio una caja hueca supuesta cúbica de lado L) en la cual se almacena
la radiación, y cuyas paredes son perfectamente absorbentes. El campo electromagnético en
su interior está descrito por el potencial vector ~A(~r, t), y en el vacío, la ecuación diferencial
proveniente de las Ecuaciones de Maxwell es:(
~∇2 − 1
c2
∂2
∂t2
)
~A(~r, t) = 0, (3.1)
cuyas soluciones son ondas planas, de la forma
~ε~k,σe
i(~k·~r−ωt), siendo ω = ck. (3.2)
Inés Rodríguez Arias 23 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
3.1 Radiación del Cuerpo Negro. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
Notemos que el vector ~ε~k,σ puede tomar dos valores independientes, ortogonales entre
sí (estados de polarización), y siempre (al menos, en el vacío), ortogonales al vector de
onda ~k. Dentro de la cavidad, nuestras ondas han de veri�car las condiciones frontera,
por lo que los vectores de onda tienen que estar cuantizados, de manera que si empleamos
nuevamente condiciones de contorno periódicas, de BvK, entonces ~k = 2π
L
(nx, ny, nz).
Así, diremos que un modo propio de nuestra cavidad está descrito por
(
~k, σ
)
, donde
~k es el vector de onda y σ = ± describe la polarización del modo.
Ahora, pretendemos estudiar la energía del campo electromagnético, que viene dada
por:
HEM =
1
2
∫
V ol
d~r
(
ε0 ~E
2 +
1
µ0
~B2
)
, (3.3)
donde ε0 y µ0 son, respectivamente la constante dieléctrica y la permeabilidad magné-
tica en el vacío. Empleando las relaciones para ~E y ~B en el vacío, donde no hay cargas
~E = ∂
~A
∂t
y ~B = ~∇∧ ~A, (3.4)
tenemos que:
HEM =
1
2
∫
V ol
d~r
ε0(∂ ~A
∂t
)2
+
1
µ0
(
~∇∧ ~A
)2 . (3.5)
Podemos ahora pasar al Espacio Recíproco, o Espacio de Fourier, empleando el Teore-
ma de Parseval-Plancherel [Apéndice B], de manera que tenemos (sabiendo que 1
ε0µ0
= c2,
y empleando que la transformada de Fourier veri�ca que F[~∇∧f(~r)](~k) = i~k F (~k)):
HEM =
ε0
2
∑
~k
∣∣∣∣∣∂ ~A~k∂t
∣∣∣∣∣
2
+ ω2k
∣∣∣ ~A~k∣∣∣2
 . (3.6)
Con esta última relación, vemos que en nuestro Hamiltoniano, las coordenadas ~A~k y
su derivada temporal se encuentra en la misma relación que en el Hamiltoniano corres-
pondiente a un conjunto de osciladores armónicos independientes, uno por cada modo de
la cavidad.
Así, si nuevamente pasamos al espacio de Fock y damos la ocupación de cada modo
(~k, σ), {n~k,σ} y empleamos como espectro de energías el espectro cuántico del oscilador
Inés Rodríguez Arias 24 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
3.1 Radiación del Cuerpo Negro. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
armónico [18], entonces tenemos que la energía total del estado del sistema es:
E{n~k,σ} =
∑
~k,σ
~ωk
(
n~k,σ +
1
2
)
. (3.7)
Diremos que el modo propio de nuestra cavidad (~k, σ) está ocupado por n~k,σ fotones.
A partir de este espectro se puede calcular fácilmente [6] la función de partición de los
osciladores armónicos independientes:
ZEM =
∏
~k,σ
1
2 sinh
(
β~ωk
2
) . (3.8)
Operando con esta última relación podemos calcular la energía libre F (T, V,N) =
− 1
β
lnZ:
F =
∑
~k,σ
~ωk
2
+
∑
~k,σ
ln
(
1− e−β~ωk
)
= Fvacı́o + Fradiación. (3.9)
Podemos ver que existe una contribución del vacío, energía del estado fundamental de
la cavidad.
Un remarque importante que se puede hacer llegados a este punto es que esta energía
libre que acabamos de calcular ha de ser una constante en el equilibrio. No obstante,
aún establecido el equilibrio, el número de fotones puede variar. Esto es así puesto que los
fotones están siendo constantemente absorbidos y reemitidos por las paredes de la cavidad,
de manera que la energía absorbida y la emitida siempre es la misma. No obstante, el
número de fotones emitidos no tiene por qué ser en ningún caso igual al número de fotones
absorbidos, puesto que la emisión por parte de la materia depende de la populación de los
niveles electrónicos, la cual es puramente termal. Así, puesto que la energía libre ha de ser
constante, mientras la temperatura T y el volumen V son constantes, pero un número de
partículas que no lo va a ser, la única solución es que esta energía F (T, V,N) no dependa
explícitamente de N : F (T, V ). De esta manera, podemos deducir que el potencial químico
ha de ser cero, a partir de la relación termodinámica siguiente:
µ =
(
∂F
∂N
)
T,V
= 0. (3.10)
Inés Rodríguez Arias 25 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
3.1 Radiación del Cuerpo Negro. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
Otra manera de verlo es calculando la energía promedio del sistema E = − ∂
∂β
lnZ:
E =
∑
~k,σ
~ωk
2
coth
(
β~ω
2
)
=
∑
~k,σ
~ωk
(
1
2
+
1
eβ~ω − 1
)
≡
∑
~k,σ
~ωk
(
1
2
+ n̄~k
)
. (3.11)
De esta manera, podemos escribir la ocupación promedio de cada modo de la cavidad:
n̄~k,σ =
1
eβ~ωk − 1
. (3.12)
Este factor de ocupación no es otro que el que siguen partículas bosónicas que poseen
µ = 0.
Así, si obviamos la aportación energética del vacío, y continuamos con nuestra aproxi-
mación cuasi clásica, pasando nuestra integral en ~k a una integral en energías, tras haber
nuevamente introducido el concepto de densidad de estados, tenemos que:
Erad =
∫ ∞
0
d� g(�) n̄(�) � =
∫ ∞
0
d� uT (�), (3.13)
y recuperamos la Ley de Planck
uT (�) =
1
π2~3
�3
eβ� − 1
, con nT (�) =
1
π2~3
�2
eβ� − 1
, (3.14)
donde nT (�) es el número de fotones que hay en función de la energía para un valor de
la temperatura dada, y está representado en la Figura 3.1.
Inés Rodríguez Arias 26 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
3.2 Observaciones. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
Figura 3.1: Irradiancia del cuerpo negro para distintas temperaturas dadas.
De esta manera, el número de fotones de los que estaría compuesta nuestra radiación
dependería unívocamente de la temperatura a la que se encuentran las paredes y, por
tanto, la radiación.Así, en el caso de la radiación del cuerpo negro, tenemos dos problemas para lograr la
condensación:
1. El número de fotones que se encuentran en el estado fundamental, de energía cero
es idénticamente cero, si desarrollamos nuestra función número de fotones.
2. El número total de fotones estará enteramente �jado por la temperatura a la que se
encuentre el cuerpo, por lo tanto, nos sería imposible despejar el número de fotones
en el estado fundamental, en el caso de que los hubiera, a partir del número de
fotones en el resto de estados.
Por lo tanto, parece evidente que no puede existir la condensación de Bose-Einstein en el
caso del gas de fotones provenientes de la radiación de cuerpo negro.
Inés Rodríguez Arias 27 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
3.2 Observaciones. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
3.2. Observaciones sobre el Gas de Fotones.
En el apartado anterior hemos estudiado la radiación del cuerpo negro como un gas
de fotones, sobre todo centrándonos en los puntos de visa termodinámicos y estadísticos.
No obstante, parece que el hecho de que el número total de fotones no sea conservado
pueda representar un problema relacionado con el formalismo mecanocuántico a la hora
de realizar el estudio de los fotones, puesto que, como hemos derivado, el espectro de
energías del gas de fotones en la cavidad sería el mismo que el de un conjunto de osciladores
armónicos, de distintas frecuencias.
H =
∑
i
~ωi
(
1
2
+ n̂i
)
, (3.15)
donde n̂i = â
†
i âi es el operador que nos da el número de osciladores en el modo de
frecuencia ωi.
n̂i|n0, n1, ..., ni, ..., nN >= ni|n0, n1, ..., ni, ..., nN > (3.16)
De esta relación parece evidente que el operador número total de partículas,
N̂ =
∑
i
n̂i, (3.17)
conmuta con el hamiltoniano del sistema, [Ĥ, N̂ ] = 0, y, por tanto, sí que debería ser
una cantidad conservada.
Un apunte que podríamos dar a este hecho es que, existe una importantísima degene-
ración para el número de fotones que se encuentran en el estado vibracional de frecuencia
ω0 = 0, puesto que éste sería un estado cuántico que aportaría cero energía al sistema total.
Podemos escribir dos estados completamente equivalentes en cuanto a energías, pero que
di�eren únicamente en el número de fotones que se encuentran en el estado fundamental
(y, por tanto, en el número total de fotones):{
|n0, n1, ..., nN > con energía E y N fotones,
|n0 + n, n1, ..., nN > con energía E y N + n fotones.
(3.18)
De esta manera, ¾cómo seríamos capaces de distinguir ambos estados? Se podría decir
que esos fotones que se encuentran en el estado de energía cero están desapareciendo,
puesto que, al tener masa cero, y portar cero energía, al sistema no le costaría nada
hacerlos desaparecer, desde un punto de vista termodinámico. Sólo esta suposición sería
Inés Rodríguez Arias 28 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
3.2 Observaciones. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
consistente con la derivación obtenida en (3.14), por la que el número de partículas de
energía cero es cero.
En todas las referencias encontradas [13, 19− 21] lo que se argumenta es precisamente
que, puesto que el gas de fotones está en equilibrio termodinámico, como hemos visto, eso
sólo puede hacerse interactuando con la materia. En concreto, con lo que interactúan es
con las paredes de la cavidad, siendo absorbidos y emitidos. Esta emisión es completamente
independiente de la absorción, por lo que los fotones emitidos por las pareces tendrán una
distribución termal de energías, ya que la populación electrónica de un conjunto de átomos
a temperatura T sigue esa misma ley.
De esta manera, con los dos formalismos estamos tratando cosas independientes, puesto
que, en este último desarrollo no hemos tenido en cuenta la interacción del gas de fotones
con la materia.
No obstante, esto nos abre otra puerta para poder llegar a conseguir �jar el número de
partículas dentro de la cavidad, y por tanto su potencial químico. Siempre se puede diseñar
una hipotética cavidad que sea completamente re�ectante, es decir, que no absorba luz
de ninguna longitud de onda, y únicamente re�eje la luz incidente. Esto podría signi�car
un cierto problema a la hora de conseguir llegar al equilibrio térmico, por lo que tenemos
que encontrar otra manera de alcanzarlo. Otro hecho que también es importante es que
las emisiones debido a la excitación termal de los átomos de las paredes sean irrelevantes
o incluso inexistentes, algo que podrá ser impuesto como ligadura externa, como veremos
más adelante.
Éste va a ser el punto de partida para conseguir �jar el potencial químico de nuestros
fotones a un valor distinto de cero, así como para conseguir la desaparición de las �uctua-
ciones termales del número de partículas. Todo ello será estudiado en detalle en los dos
siguientes capítulos.
Inés Rodríguez Arias 29 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
Capítulo 4
Fijar el Potencial Químico de un Gas de
Fotones.
Nos encontramos en el punto en que hemos creado una cavidad con dimensiones y forma
en principio cualesquiera, cuyas paredes son completamente re�ectantes. Como hemos
notado, los fotones por sí solos no pueden alcanzar el equilibrio térmico, enteramente
causado por las colisiones. Tampoco podrán hacerlo interaccionando con la materia que
forma las paredes de la cavidad, puesto que ésta es completamente re�ectante. De esta
forma, lo que necesitamos para poder �jar el potencial químico de nuestra radiación es que
interaccione con otro sistema de materia con el cual pueda intercambiar energía y llegue
a un estado de equilibrio químico que se establece entre unos reactivos y unos productos.
De esta manera, entraría en juego el potencial químico. Aunque en el Capítulo 3 ha-
bíamos concluido, desde un punto de vista estadístico, que su valor absoluto tenía que ser
menor o igual que la masa (por tanto, en el caso de los fotones, cero), aquí va a estar
determinado por la reacción de interacción radiación-materia. Esto es así porque teniendo
en cuenta que para conseguir los productos de reacción, es necesario primero tener unos
reactivos, los cuales nos cuesta una energía no nula obtener. También vamos a intentar
�jar el valor del potencial químico de los fotones independientemente de la temperatura
o volumen de la cavidad, lo que se conseguirá mediante un bombeo inicial o aporte de
energía al sistema.
En este capítulo se pretende estudiar un posible sistema que cumpla tales expectativas
para un gas de fotones, siguiendo un proceso de termalización inducido por �uorescencia.
Este tipo de proceso de termalización de la radiación puede ser realizado de diversas
maneras. En esencia, se trata del establecimiento del equilibrio químico y térmico1, entre
1En contraste, notemos que, para un láser, la radiación no se encuentra en absoluto en equilibrio
30
4 Potencial Químico. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
la radiación (que entenderemos como un gas de fotones) y otro sistema. Este otro sistema
puede ser tanto un conjunto de moléculas[22] con distintos niveles de energía como un
semiconductor en el cual hay electrones en la banda de conducción y huecos en la banda
de valencia[23]. Otras proposiciones teóricas, que no se han llevado a cabo, consistían en
repetidos procesos de scattering Compton, lo cual iría disminuyendo paulatinamente la
energía de los fotones.
Nosotros, en concreto, vamos a estudiar el primero de los sistemas, aunque el otro
resulta muy similar.
Consideraremos, como ya hemos mencionado, nuestro sistema como una cavidad de pa-
redes completamente re�ectantes, en cuyo interior hay una disolución de un determinado
tipo de moléculas (en las referencias, �dye molecules�). Los estados de estas moléculas ven-
drán dados por los niveles de energía electrónicos, para cada uno de los cuales habrá varios
niveles rotacionales y vibracionales. Debido a las colisiones entre moléculas y entre ellas
y el disolvente, estos niveles rovibracionales estarán siendo permanentementealterados.
Los tiempos de alteración de estos niveles, que conducirán a una ocupación típicamente
termal, serán del orden del femtosegundo (10−15s). Este tiempo es muy inferior al tiempo
de vida del estado electrónico excitado. La consecuencia de este hecho es el establecimiento
del equilibrio térmico entre la radiación y la disolución de moléculas, aunque va a estar
sujeto a algunas ligaduras.
Vamos a estudiar nuestro sistema de moléculas modelizado a dos niveles electrónicos,
como se ve en el esquema de la Figura 4.1, en el que tenemos un nivel electrónico funda-
mental S↓, de energía 0, y un nivel electrónico excitado S↑, de energía �0. Aunque se trata
únicamente de un modelo muy simpli�cado, comprobaremos que resulta muy satisfactorio
a la hora de entender el proceso completo y �jar el potencial químico de los fotones, y
se ha conseguido realizar experimentalmente de manera que los resultados estén en buen
acuerdo.
térmico con su entorno. Ésta es, de hecho, la principal diferencia entre un láser, y un condensado de
Bose-Einstein de fotones.
Inés Rodríguez Arias 31 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
4 Potencial Químico. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
Figura 4.1: Esquema de los niveles de energía de la disolución de moléculas en nuestro
recipiente.
Lo que tenemos que estudiar precisamente es la interacción radiación-materia, en nues-
tro sistema concreto. Para ello, acudimos a [24, 25].
Existen tres procesos de interacción radiación-materia, que trataremos en este caso
sencillo a dos niveles electrónicos, de momento sin tener en cuenta los niveles rovibracio-
nales:
1. Emisión espontánea: un electrón que se encuentra en el nivel electrónico excitado
S↑ decae al nivel electrónico fundamental S↓, emitiendo un fotón de energía �0 = ~ω0.
La variación del número de partículas en el estado electrónico excitado N↑ debido a
la emisión espontánea es2:
dN↑
dt
∣∣∣∣
esp
= −A↑,↓N↑, (4.1)
donde A↑,↓ recibe el nombre de coe�ciente de Einstein para la emisión espontánea,
y representa la probabilidad por unidad de tiempo de que el proceso ocurra. Este
coe�ciente va a depender de las funciones de onda que describen los estados S↑ y S↓.
2Nótese que para todos los procesos estudiados se veri�ca: dN↑dt
∣∣∣
i
= − dN↓dt
∣∣∣
i
Inés Rodríguez Arias 32 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
4 Potencial Químico. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
2. Absorción: un electrón que se encuentra en el nivel electrónico fundamental S↓ ab-
sorbe un fotón de energía �0 = ~ω0 y sube al estado electrónico excitado S↑. Nueva-
mente, podemos escribir la variación del número de partículas del estado electrónico
excitado como:
dN↑
dt
∣∣∣∣
abs
= B↓,↑ρ(ω0)N↓, (4.2)
donde B↓,↑ es el coe�ciente de Einstein para la absorción y ρ(ω0) es la intensidad de
la radiación en la frecuencia ω0.
3. Emisión estimulada: por el hecho de encontrarse en presencia de una radiación
de frecuencia ω0, un electrón que en el estado electrónico excitado S↑ tiene una
probabilidad no nula de decaer al estado fundamental S↓, emitiendo un fotón de la
misma energía y dirección de la radiación que lo provocó. Así:
dN↑
dt
∣∣∣∣
est
= −B↑,↓ρ(ω0)N↑, (4.3)
donde B↑,↓ es el coe�ciente de Einstein para la emisión estimulada. Cabe destacar que
este es el proceso primordial en el caso del láser (Light Ampli�cation by Stimulated
Emission of Radiation), aunque en nuestro caso no tendrá demasiada relevancia.
Ahora que hemos explicado los distintos procesos de interacción entre nuestra disolución de
moléculas y la radiación, únicamente teniendo en cuenta los dos niveles electrónicos, vamos
a estudiar las consecuencias de las temporales apariciones de los niveles rovibracionales y,
a partir de ello vamos a determinar la relación entre los coe�cientes de Einstein para la
absorción y para la emisión estimulada, así como el potencial químico de los fotones.
Para realizar el tratamiento de los niveles rovibracionales, es necesario tener presente
la relación de conservación de la energía, que se ve sencillamente a partir de la Figura 4.1,
cuando un electrón del estado rovibracional α ∈ S↓ absorbe un fotón de energía ~ω y sube
al estado rovibracional β ∈ S↑ . En esta situación se tiene que dar:
~ω + �α = ~ω0 + �β. (4.4)
Asímismo, podemos asumir que la populación de los estados {α} y {β} es completa-
mente termal, puesto que la aparición de esos niveles se debe enteramente a las colisiones
entre moléculas y entre ellas y el disolvente. Así, podemos decir que un electrón que se en-
cuentra en el estado electrónico S↓ (S↑) se encuentra en el estado rovibracional de energía
Inés Rodríguez Arias 33 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
4 Potencial Químico. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
�α (�β) con una probabilidad Pα (Pβ):{
Pα =
1
w↓
e−β�α
Pβ =
1
w↑
e−β�β
, con w↓ =
∑
α
e−β�α y w↑ =
∑
β
e−β�β . (4.5)
A partir de esto, podemos relacionar ambas probabilidades con los pesos estadísticos
w↓ y w↑, empleando la relación (4,4).
Pβ
Pα
=
w↓
w↑
e−β(�β−�α) =
w↓
w↑
e−β~(ω−ω0). (4.6)
Ahora, vamos a calcular las relaciones entre los coe�cientes de Einstein, promediando
a todos los estados los posibles estados rovibracionales {α} y {β}.
B↓,↑ =
∑
α<β
PαB(α −→ β)
B↑,↓ =
∑
α<β
PβB(β −→ α) (4.7)
Si dividimos uno entre otro, suponiendo que las probabilidades de transición son iguales
para la emisión estimulada y para la absorción (B(α −→ β) = B(β −→ α)), y además
empleamos la relación (4,6), tenemos
B↑,↓
B↓,↑
=
w↓
w↑
e−β~(ω−ω0)
∑
α<β PαB(β −→ α)∑
α<β PαB(α −→ β)
=
w↓
w↑
e−β~(ω−ω0). (4.8)
Esta relación recibe el nombre de Ley de Kennard-Stepanov, y nos indica que los
coe�cientes de Einstein de emisión y absorción van a estar en una relación típicamente
termal.
Llegados a este punto, tenemos que tener en cuenta que dentro de nuestra cavidad
cerrada vamos a tener nuestra radiación, que consideraremos que es un gas de partículas
bosónicas, junto con nuestra disolución de moléculas.
Así, hay que tener en cuenta que un fotón γ que interacciona con una molécula en
cualquiera de los estados rovibracionales del nivel electrónico fundamental S↓ va a dar
lugar a una molécula en el estado electrónico excitado S↑,
S↓ + γ −→ S↑, (4.9)
Inés Rodríguez Arias 34 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
4 Potencial Químico. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
y que una molécula en el estado electrónico excitado S↑ que se desexcita al estado
electrónico fundamental S↓ lo hace por la emisión de un fotón:
S↑ −→ S↓ + γ (4.10)
Estas dos relaciones implican la existencia de un equilibrio químico entre las moléculas
en los dos estados y las partículas de nuestro gas,
S↓ + γ 
 S↑, (4.11)
lo que se traduce en la igualación de los potenciales químicos de ambos miembros:
µ↓ + µγ = µ↑. (4.12)
De�nimos ahora la fugacidad del fotón:
ϕγ = e
βµγ = eβ(µ↑−µ↓). (4.13)
Vamos a intentar calcularla a partir de la función de partición del sistema de moléculas
que es, puesto que tenemos dos tipos de moléculas (en el estado electrónico fundamental
S↓ y en el estado electrónico excitado S↑), la siguiente:
Ftot = F↓ + F↑ =
∑
α
e−β(Eα−µ↓) +
∑
β
e−β(Eβ−µ↑). (4.14)
Para este cálculo hay que tener en cuenta que la energía de los estados del nivel
ectrónico fundamental veri�can Eα = �α y las del estado electrónico excitado Eβ = ~ω0+�β,
por lo tanto:
Ftot = eβµ↓
∑
α
e−β�α + e−β(~ω0−µ↑)
∑
β
e−β�β = w↓e
βµ↓ + w↑e
−β(~ω0−µ↑). (4.15)
Así, la probabilidad de que una molécula se encuentre en cualquiera de los niveles del
estado electrónico fundamental se puede escribir de dos maneras, a partir de las que po-
demos despejar el potencial químico de una molécula en el estado electrónico fundamental
µ↓:
P↓ =
ρ↓
ρtot
=
w↓e
βµ↓
Ftot
=⇒ eβµ↓ = ρ↓
ρtot
Ftot
w↓
. (4.16)
Análogamente, podemos escribir también la probabilidad de que una molécula se en-
Inés Rodríguez Arias 35 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
4 Potencial Químico. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
cuentre en cualquiera de los niveles del estadoelectrónico excitado, despejando µ↑:
P↑ =
ρ↑
ρtot
=
w↑e
−β(~ω0−µ↓)
Ftot
=⇒ eβµ↑ = ρ↑
ρtot
Ftot
w↑
eβ~ω0 . (4.17)
Así, ya podemos calcular la fugacidad de los fotones, a partir de las de las moléculas
en los dos distintos estados.
ϕγ = e
βµγ =
eβµ↑
eβµ↓
=
ρ↑
ρtot
Ftot
w↑
eβ~ω0
ρ↓
ρtot
Ftot
w↓
=
ρ↑
ρ↓
w↓
w↑
eβ~ω0 . (4.18)
Obtenemos entonces el potencial químico de los fotones:
µγ =
1
β
ln
(
ρ↑
ρ↓
w↓
w↑
eβ~ω0
)
= ~ω0 + kBT ln
(
ρ↑
ρ↓
w↓
w↑
)
. (4.19)
Como vemos, este potencial químico a temperatura cero toma el valor de ~ω0 y confor-
me va aumentando la temperatura o bien crece, o bien decrece, dependiendo de la relación
ρ↑
ρ↓
w↓
w↑
. Típicamente, el cociente w↓
w↑
es del orden de la unidad, puesto que estos pesos esta-
dísticos de ambos niveles son puramente termales. Así, la relación estará determinada por
el cociente entre el número de moléculas excitadas y el número de moléculas en el estado
fundamental ρ↑
ρ↓
, que va a estar determinado por el bombeo inicial de nuestra disolución de
moléculas. Si ρ↑
ρ↓
es mayor que la unidad, el potencial químico de los fotones decrecerá con
la temperatura; si por el contrario es menor que uno, el potencial químico de los fotones
disminuirá con ella.
Inés Rodríguez Arias 36 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
Capítulo 5
Condensación de Bose-Einstein de
Fotones. Detalles Experimentales.
Empleando el método estudiado en el Capítulo 4, con algunos detalles adicionales, en
[22] se han encontrado evidencias experimentales de Condensación de Bose-Einstein en un
gas bidimensional de fotones en una cavidad.
En este capítulo......
5.1. Condensación de Bose-Einstein de Fotones.
Como ya se ha comentado, para que pueda tener lugar el fenómeno de condensación,
es necesaria la existencia de una cantidad conservada, que en el caso de los fotones ha de
ser el número de fotones (puesto que el fotón tiene carga cero y por tanto es su propia
antipartícula). De esta manera, varias características van a tener que ser veri�cadas.
La primera de ellas es el potencial químico, que vamos a conseguir que sea diferente de
cero. Como hemos visto en el Capítulo 4, esto va a estar sujeto a la re�ectividad lo más
grande posible de las paredes de la cavidad, lo que permitirá que los fotones no se escapen
del sistema siendo absorbidos por ellas. La manera de �jar el potencial químico en función
de la temperatura es mediante el establecimiento del equilibrio químico entre el gas de
fotones y una disolución de moléculas, que estarán modelizadas a dos niveles electrónicos.
Además, vamos a tener que �jar la geometría y las dimensiones de la cavidad, con
el �n de librarnos de la radiación típicamente termal emitida por las paredes y por las
moléculas.
37
5.1 BEC de Fotones. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
5.1.1 Geometría de la Cavidad y Relación de Dispersión.
Vamos a comenzar discutiendo esta geometría y las consecuencias que tiene para el
Hamiltoniano del sistema. En la Figura 5.1 se ve la geometría de la cavidad, formada
por dos espejos, lo más re�ectantes posible, cóncavos e iguales, procedentes de una esfera
perfecta, de radio R0 ' 1m. Sin embargo, la distancia entre los extremos de ambos según
el eje z, parámetro que va a poder ser modi�cado, es D0 ' 1µm. Esto va a hacer que la
curvatura sea muy pequeña.
Figura 5.1: Geometría de la cavidad y componentes del vector de onda.
Asimismo, vamos a separar los vectores de onda en las componentes ~kz, en la dirección
perpendicular al plano en que se juntan ambos espejos, y ~kr, en el mismo plano.
~k = ~kx + ~ky + ~kz = ~kr + ~kz. (5.1)
La distancia existente entre las dos cortezas esféricas, medida según el eje z, en función
de la distancia radial r a ese mismo eje, es:
D(r) = D0 − 2
(
R0 −
√
R20 − r2
)
. (5.2)
Inés Rodríguez Arias 38 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
5.1 BEC de Fotones. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
Ahora, vamos a calcular el hamiltoniano de la radiación que se propaga en esta cavidad.
Para ello hemos de imponer condiciones de contorno duras, en las cuales la función de onda
se anula en los espejos. Así, tenemos que la componente kz veri�ca:
D(r) =
qλ
2
=
qπ
kz
=⇒ kz(r) =
qπ
D(r)
, (5.3)
siendo q el orden del modo longitudinal. Como esta distancia entre los espejos va a ser
del orden del micrómetro, los distintos modos longitudinales, en la dirección z, van a tener
vectores de onda muy separados. Entonces, tenemos la energía del modo de oscilación q,
en la que se incluye el índice de refracción del medio n0 [22]:
Eq =
~c|~k|
n0
(5.4)
Haciendo las asunciones siguientes,
kz � kr y R0 � r , (5.5)
se obtiene [Apéndice C] que la energía se puede aproximar por:
Eq ≈
mqeffc
2
n20
+
(~kr)2
2mqeff
+
1
2
mqeffΩ
2r2, (5.6)
siendo
mqeff =
~n0
c
qπ
D0
y Ω = c
n0
(
2
D0R
)1/2
. (5.7)
Nos encontramos con que el fotón que se encuentra en nuestra cavidad tiene la relación
de dispersión de una partícula con masa sometida a un pozo de potencial armónico. Esta
masa efectiva, como habíamos visto en el Capítulo 2, supone que no todo fotón puede
propagarse por la cavidad, sino que es necesario que su energía sea al menos igual que la
masa. Además, aquí tenemos a todos los efectos un gas de fotones bidimensional, puesto
que consideramos que los modos longitudinales q están muy separados unos de otros, y
veremos que vamos a conseguir quedarnos con uno en concreto, deshaciéndonos de ese
grado de libertad. Por úllimo, el hecho de que nuestro gas se encuentre sometido a un
potencial armónico de frecuencia Ω va a cuantizar nuestros niveles de energía, de la forma.
Ei = meffc
2 + ~Ω
(
i+
1
2
)
= ε0 + ~ωi, con i ∈ {0} ∪ N. (5.8)
Inés Rodríguez Arias 39 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
5.1 BEC de Fotones. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
Cada uno de estos niveles podrá estar ocupado por ni = 0, 1, ..., N fotones.
En la Figura 5.2 se muestran las relaciones de dispersión del fotón libre (� = ~ck) y
de un fotón en la cavidad, en la que adquiere una masa efectiva. También se muestran los
primeros modos de oscilador armónico, que estarán ocupados con sus correspondientes ni
fotones.
Figura 5.2: Comparación de las relaciones de dispersión de un fotón libre, un fotón en la
cavidad y los modos armónicos correspondientes.
Como vemos, no hay posibilidad de propagación de un fotón de energía menor que la
masa efectiva. En concreto, esta masa toma un valor de 2,1eV, la cual es ín�ma (simple-
mente se puede comparar con la masa del electrón, que es 0,5MeV, que también tiene un
valor pequeño, por no hablar de las masas del protón o el neutrón alrededor de 940MeV).
No obstante, este hecho que en principio parece sin mucha importancia nos va a llevar a
dos resultados altamente relevantes para llevar a cabo este experimento de condensación:
1. Esta energía mínima (energía de corte) va a estar muy por encima de la energía
termal de emisión de las paredes, cuyo máximo de emisión va a estar alrededor de
los 1/40eV. Por lo tanto, estas emisiones no van a poder propagarse por nuestra
cavidad, lo que va a conducir a que el número total de fotones sea conservado, y
vendrá dado por el bombeo óptico inicial sobre la disolución de moléculas (Capítulo
4).
Inés Rodríguez Arias 40 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
5.1 BEC de Fotones. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
2. La masa efectiva que ha adquirido el fotón en nuestra cavidad tiene un valor muy
pequeño, unos 10 órdenes de magnitud menor que la de los átomos alcalinos para
los que sí se había observado la condensación ya en 1995 [26]. Esto va a tener como
importante consecuencia que, puesto que, como ya habíamos calculado, la tempe-
ratura de Bose-Einstein es inversamente proporcional a la masa de la partícula en
cuestión, en este caso va a tomar un valor del orden de la temperatura ambiente si
conseguimos una densidad de fotones completamente realizable experimentalmente.
Una vez hemos estudiado el espectro de energías accesibles para la radiaciónen nuestra
cavidad, vamos a tratar de explicar el proceso de termalización, empleando el sistema
tratado en el Capítulo 4.
5.1.2 Establecimiento del Equilibrio Térmico entre Rradiación y
Disolución de Moléculas.
Tenemos entonces en nuestra cavidad la disolución de moléculas antes estudiadas. Lo
que vamos a hacer es aplicarle un bombeo inicial, según la dirección del eje z, de manera
que muchas de las moléculas queden en el estado electrónico excitado.
Ahora, puesto que estas moléculas están en una disolución, y colisionando frecuente-
mente, los niveles rovibracionales son enteramente termales. Así, un fotón es absorbido por
una molécula, y ésta se excita, puesto que el electrón en el estado fundamental S↓ sube al
nivel electrónico excitado S↑. Ahora bien, es altamente probable que el electrón se excite
a alguno de los estados rovibracionales de más energía, pero ésta se disipará en la escala
de tiempo típica colisional del orden de los 10−15s, llegando nuevamente a encontrarse en
una distribución termal. Esto es mucho más sencillo de explicar si acudimos a la Figura
5.3. En ella vemos claramente que, a causa de las colisiones, los electrones en los niveles
rovibracionales van pasando de uno a otro adquierendo una distribución termal, al cabo
del tiempo característico.
Inés Rodríguez Arias 41 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
5.1 BEC de Fotones. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
Figura 5.3: Distribución termal de ocupación de los niveles rovibracionales en la disolución
de moléculas.
De esta manera, la radiación acabará teniendo un per�l termal, teniendo siempre en
cuenta que únicamente podrán propagarse por nuestra cavidad aquellos fotones que, en
primer lugar, tengan más energía que la masa efectiva (lo que directamente prohibe las
transiciones entre dos estados rovibracionales del mismo nivel electrónico, por lo que este
exceso de energía se disipa en la disolución) y que, en segundo lugar, tengan la energía de
alguno de los modos del oscilador armónico.
De esta manera, nuestra radiación va a ir sufriendo sucesivos redshift, adquiriendo un
per�l más termal, es decir, estableciendo el equilibrio térmico entre la radiación y las
moléculas, y pudiendo �jar el número de fotones en función del bombeo inicial.
5.1.3 Condensación y Resultados.
En este punto, vamos a tratar la estadística de nuestro gas de fotones, en la práctica
bidimensional. Para ello, vamos a hacer un estudio análogo al realizado en el Capítulo 2,
salvo por que en este caso, la temperatura va a mantenerse constante, y lo que vamos a
hacer es aumentar la densidad de fotones a partir del bombeo, hasta alcanzar la transición
Inés Rodríguez Arias 42 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
5.1 BEC de Fotones. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
de fase.
Tenemos la densidad de estados calculada en el Capítulo 2 para un gas de bosones
sometidos a un potencial armónico, en dimensión d = 2. Si nuevamente pasamos a la
aproximación cuasi clásica, y rede�nimos u = ~ω − ε0 , la energía referida a la energía
mínima del fotón, tenemos:
g(u) =
2u
(~Ω)2
. (5.9)
En este caso únicamente tenemos en cuenta las dos posibles polarizaciones del fotón, y
de ahí el factor 2. Tenemos también la distribución estadística de Bose-Einstein, en función
de los parámetros T y µ:
nT,µ =
1
eβ(u−µ) − 1
. (5.10)
La ocupación macroscópica del modo fundamental ω = 0 tendrá lugar cuando N
alcance el valor NT,µ=0, que, teniendo aún en mente la aproximación cuasi clásica es:
Nc = NT,µ=0 ≈ V
∫ ∞
0
du
2u/ (~Ω)2
eβu − 1
= 2V
(
kBT
~Ω
)2 ∫ ∞
0
dx
x
ex − 1
= V
π2
3
(
kBT
~Ω
)2
.
(5.11)
Así, la densidad crítica de partículas es, con las condiciones experimentales descritas
en [22]:
nc =
Nc
V
=
π2
3
(
kBT
~Ω
)2
≈ 7,7·104m−2. (5.12)
Los resultados obtenidos [22] muestran evidencia de la transición de fase hacia el con-
densado de Bose-Einstein:
La distribución en longitudes de onda transferidas a través de los espejos es la de Bose-
Einstein, junto con un máximo en la longitud de onda de corte. Como puede verse en
la Figura 5.5 (a), este pico se hace cada vez más pronunciado conforme aumentamos la
potencia del bombeo, pues esto equivale a aumentar la densidad de fotones, y, por tanto,
sobrepasamos aún más la densidad crítica, lo que supone aumentar la fracción de fotones
en el condensado.
Sin embargo, para poder entender la distribución espacial hemos de acudir al potencial
armónico con�nador. Esto lo encontramos esquematizado en la Figura 5.4, junto con los
primeros modos de la cavidad.
Inés Rodríguez Arias 43 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
5.1 BEC de Fotones. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
Figura 5.4: Potencial armónico con�nador (azul) y densidad espacial de la radiación láser
que constituye el bombeo.
Como ya sabíamos, y vemos re�ejado en la Figura 5.4, nuestro potencial armónico crece
con la distancia al eje z (distancia radial al centro de la cavidad). Además, podemos ver
los primeros modos permitidos para ese potencial. Se observa que el primer modo normal
va a estar mucho más con�nado al centro de la cavidad que los siguientes modos. Y esto
es precisamente lo que se obtiene en la Figura 5.5 (b), pues al aumentar la potencial de
bombeo aumenta la fracción de fotones en el condensado.
(a) Distribución espectral emitida por la cavi-
dad.
(b) Distribución espacial de la intensidad emitida por
la cavidad, siendo el bombeo láser centrado en el cen-
tro de la cavidad .
Figura 5.5: Distribución espectral y espacial de la radiación emitida a través del espejo de
la cavidad, para distintos valores de la potencia de bombeo.
Inés Rodríguez Arias 44 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
5.2 Diferencias con un Láser. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
En mi opinión, quizá uno de los resultados más sorprendentes del experimento es el de
la Figura 5.6, pues en el hemos desplazado el bombeo del centro radial de la cavidad. En
ella se muestra de nuevo la distribución espacial de la radiación emitida a través del espejo
de la cavidad. Lo que se puede observar es que para bajos valores de la energía de corte
de la cavidad, no se observa redistribución de la concentración de fotones hacia el centro
de la cavidad. No obstante, conforme vamos aumentando la masa efectiva del fotón en la
cavidad, cada vez se parece más a una distribución como la de la Figura 5.5 (b). La razón
de esto es que, cuanto más baja sea la energía de corte (energía mínima de los fotones
en la cavidad), menor es la probabilidad de reabsorción de los fotones emitidos por las
moléculas, que cada vez sufren un mayor redshift. Por el contrario, si esta frecuencia de
corte es muy alta (del orden de la diferencia de energía entre los dos niveles en las moléculas
de la disolución), se van a producir múltiples emisiones y reabsorciones sucesivas, lo que
conduce a una mejor termalización del gas de fotones.
Figura 5.6: Distribución espacial de la radiación emitida a través del espejo de la cavidad,
habiendo desplazado la posición del bombeo (línea a trazos), para distintos valores de la
longitud de onda de corte (masa efectiva del fotón).
Inés Rodríguez Arias 45 UNIVERSIDAD DE OVIEDO
5.2 Diferencias con un Láser. Condensación de Bose-Einstein de Partículas sin Masa.
5.2. Diferencias con un Láser.
Los casos típicos de condensación de Bose-Einstein tienen lugar tras una transición de
fase en el equilibrio. No obstante, una transición muy similar a ésta también se puede llegar
a producir en condiciones fuera de él. Ya en los años 60 [27, 28], se propuso un modelo que
predecía un fenómeno muy similar a la condensación a temperaturas elevadas. El primer
ejemplo de esto fue la realización del haz láser. Con él, se consigue luz extremadamente
coherente, en un rango de frecuencias muy reducido.
Sin embargo, este proceso sólo puede conseguirse con tanto el medio como la radiación
muy alejados del equilibrio termodinámico. Ésta es la primera y principal diferencia entre
un láser y lo obtenido