Clase-1-Limites-(A)1

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Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
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DOCUMENTO DE CLASE 
 
Clase N°: 1 
 
1. Objetivo/s de la clase: 
• Estudiar el concepto central del análisis matemático (límite funcional). 
• Interpretar intuitivamente el concepto de límite. 
• Diferenciar los conceptos de límite y de imagen de un número real. 
• Comprender las propiedades y el álgebra de límite funcional finito. 
• Utilizar correctamente diferentes técnicas algebraicas para resolver 
ejercicios de límite de la indeterminación 
0
0
 . 
• Observar y analizar el comportamiento de la gráfica de una función en las 
cercanías de un número real aprovechando los medios tecnológicos al 
alcance (calculadoras, graficadoras, aplicaciones del celular, softwares) 
• Aplicar conocimientos de la escuela media a la resolución de ejercicios. 
• Realizar la lectura comprensiva del material brindado como así también de 
la bibliografía indicada y links recomendados. 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Mapa conceptual de la clase: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Límite Funcional 
Finito 
Propiedades 
Indeterminación 
0
0
 
Limites de 
cocientes con 
funciones 
irracionales 
Límites de 
cocientes de 
funciones 
polinómicas 
Límites 
trigonométricos 
básicos 
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3. Desarrollo: 
Límite funcional finito: 
Definición coloquial: 
La expresión lim
x → x0
f(x) = L significa que cuando los valores de x se acercan a x0, cada 
vez más, tanto por izquierda como por derecha en el eje horizontal, los valores de la 
imagen de la función f se aproximan a L en el eje vertical. 
Se lee: “límite de f para x tendiendo a x0 es igual a L” 
Gráfico explicativo: 
 
 
 
 
Ejemplo: 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
(𝑥 + 3) = 5 significa que cuando los valores de x se acercan a 2, cada 
vez más, tanto por valores menores a 2 como por valores mayores a 2 en el eje horizontal, 
los valores de la imagen de la función f se aproximan a 5 en el eje vertical. 
 
 f (x) = x + 3; x0 = 2; L = 5 
 
Si en una tabla de valores vamos colocando números menores al dos cada vez más 
próximos a él y en otra vamos colocando números mayores al dos cada vez más cercanos 
a él observamos que en ambas tablas los valores de la imagen de la función se aproximan 
al número 5. 
 
f 
x0 
L 
x 
y 
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 x f(x) x f(x) 
 1,8 4,8 2,2 5,2 
 1,9 4,9 2,1 5,1 
 1,99 4,99 2,01 5,01 
 
 Se aproximan a 5. Se aproximan a 5. 
 Se aproximan a 2 por valores mayores a él 
Se aproximan a 2 por valores menores a él 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
Importante: No confundir el concepto de límite de una función para x tendiendo a x0 con 
el concepto de imagen de una función en x0. 
 No confundir 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑥0
𝑓(𝑥) con f(𝑥0) 
Hay situaciones en las que son iguales y otras en las que no lo son. O peor aún, alguno de 
ellos no existe. 
En el ejemplo anterior son iguales, es decir: 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
(𝑥 + 3) = 𝑓 (2) 
¡Uy! ¡Que no se entere nadie! Podríamos calcular el límite simplemente reemplazando 
por 2 en la función f (x) = x + 3. ¿Será tan fácil? 
f(x)= x +3 
2 
5 
x 
y 
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Noto_Emoji_Oreo_1f914.svg
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Noto_Emoji_Oreo_1f914.svg
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Noto_Emoji_Oreo_1f914.svg
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En estos casos, ¡sí! Pero siempre tenés que tener presente que límite e imagen son 
distintos conceptos. Calcular una imagen es reemplazar en la función por el número real 
pero calcular un límite es, en realidad, reemplazar por valores cada vez más próximos al 
número pero no reemplazar por dicho número, por eso decimos que calculamos la 
tendencia… 
 
En cambio, en la función 𝑓(𝑥) =
𝑥2−4
𝑥−2
 , no existe la imagen de 2 (∄𝑓2), pero tiene límite 
igual a 4 ( lim
𝑥→2
𝑥2−4
𝑥−2
= 4 ), como observarás en las tablas debajo: 
 
𝑓(𝑥) =
𝑥2−4
𝑥−2
 ; x0 = 2; L = 4 
 
 x f(x) x f(x) 
 1,8 3,8 2,2 4,2 
 1,9 3,9 2,1 4,1 
 1,99 3,99 2,01 4,01 
 
 Se aproximan a 4. Se aproximan a 4. 
 Se aproximan a 2 por valores mayores a él 
Se aproximan a 2 por valores menores a él 
En la función f(x) no podríamos calcular el límite “reemplazando” por 2. 
Imaginate lo tedioso que sería si para calcular un límite tuviéramos que hacer estas tablas 
o los gráficos para intuir una respuesta posible. 
Es por ello que surge la necesidad de conocer las propiedades, el álgebra y aplicar técnicas 
para resolver las diferentes situaciones que aparecerán en la práctica. 
 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Twemoji_1f627.svg
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Propiedades de límite funcional finito: 
1) El límite de una función, si existe, es único. (Unicidad del límite) 
 
2) Si dos funciones toman valores iguales de imagen en las proximidades de x0 y una 
de ellas tiene límite cuando x tiende a x0, entonces la otra función tiene ese mismo 
límite para x tendiendo a x0. (propiedad de las funciones equivalentes) 
 
Ejemplo: Nuestras dos funciones serán: 
 f(x) =
x2−4
x−2
 g(x) = x + 2 y el punto x0 =2 
 
 ¿Cómo calcularíamos lim
𝑥→2
𝑥2−4
𝑥−2
 ? 
Esta propiedad nos pide calcular los valores en las cercanías de 2 en ambas funciones y 
compararlas para ver si coinciden. 
 
 x f(x) x g(x) 
 1,8 3,8 1,8 3,8 
 1,9 3,9 1,9 3,9 
 1,99 3,99 1,99 3,99 
 2,01 4,01 2,01 4,01 
 2,1 4,1 2,1 4,1 
 2,2 4,2 2,2 4,2 
 
Ahora, tratemos de calcular los límites siguientes sin mirar las tablas realizadas. 
 lim
𝑥→2
(𝑥 + 2) = 4 Sale “reemplazando” ¡Qué fácil! 
 lim
𝑥→2
𝑥2−4
𝑥−2
= ? ? ? ? , ¡No sale reemplazando! ¿Qué hacemos? 
Como de una de ellas conocemos el valor del límite para x tendiendo a 2 (esto es 4) 
podemos asegurar que la otra función tiene ese mismo límite para x tendiendo a 2, es 
decir: lim
𝑥→2
𝑥2−4
𝑥−2
= 4. 
f y g son funciones equivalentes. 
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¡Esta propiedad es clave! La utilizaremos cada vez que resolvamos un ejercicio de limite 
funcional finito. 
Te adelanto como sería: 
 lim
𝑥→2
𝑥2−4
𝑥−2
= lim
𝑥→2
(𝑥+2)(𝑥−2)
𝑥−2
= lim
𝑥→2
(𝑥+2)(𝑥−2)
𝑥−2
= lim
𝑥→2
(𝑥 + 2) = 4 
 
 
Si te fijás la primera función y la última que obtenemos luego de trabajar la primera con 
artificios algebraicos son las que llamamos funciones equivalentes. 
Te recuerdo que el factor (x-2) lo podemos simplificar pues en el concepto de límite 
𝑥 ≠ 2 
 
3) Si en las proximidades de x0 se cumple que h(x) ≤ f(x ) ≤ g(x), 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑥0
ℎ(𝑥) = 𝐿 
y 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑥0
𝑔(𝑥) = 𝐿 entonces 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝐿 (propiedad del límite de la función 
intermedia o propiedad del “sándwich”) 
 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x0 
L 
x 
y 
g 
f 
h 
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Álgebra de límite funcional finito: 
1) lim
x → x0
k = k , k es una función constante 
2) lim
x → x0
[k ∙ f(x)] = k ∙ lim
 x → x0
f(x), k es un número 
3) lim
x → x0
[ f(x) + g(x)] = lim
x→x0
f(x) + lim
x→x0
g(x) 
4) lim
x → x0
[ f(x) − g(x)] = lim
x→x0
f(x) − lim
x→x0
g(x) 
5) lim
x → x0
[ f(x) ∙ g(x)] = lim
x→x0
f(x) ∙ lim
x→x0
g(x) 
6) lim
x → x0
 
1
g(x)
 = 
1
lim
x→x0
g(x)
 , si lim
x→x0
g(x) ≠ 0 
7) lim
x → x0
[ f(x): g(x)] = lim
x→x0
f(x): lim
x→x0
g(x) , si lim
x→x0
g(x) ≠ 0 
8) lim
x → x0
ln[f(x)] = ln [ lim
x → x0
f(x)] , si lim
x→x0
f(x) > 0 
9) lim
x→x0
[f(x)]k = [ lim
x→x0
f(x)] k , válida bajo ciertas condiciones 
10) lim
x→x0
√f(x)
n = √ lim
x→x0
f(x)] n , si n es par, lim
x→x0
f(x) ≥ 0 
11) lim
x→x0
bg(x) = b
 lim
x→x0
g(x) 
 , si b > 0 
12) lim
x→x0
[f(x)]g(x) = [ lim
x→x0
f(x)] 
 lim
x→x0
g(x) 
 , si lim
x→x0
f(x) > 0 
 
Ejemplos: 
• lim
𝑥→1
(𝑥2 + 7𝑥 + 2) = lim
𝑥→1
𝑥2 + 7 lim
𝑥→1
𝑥 + lim
𝑥→1
2 = 1 + 7 ∙ 1 + 2 = 10 
Utilizamos 3), 2) y 1), y aunque no está detallada 9) 
• lim
𝑥→2
(𝑥 + 1)(𝑥
3−𝑥) = lim
𝑥→2
(𝑥 + 1)
lim
𝑥→2
(𝑥3−𝑥)
= 36 
Utilizamos 12), y aunque no estén detalladas también 3), 4), 1), 9) 
Pudimos resolverla porque cumple la condición lim
𝑥→2
(𝑥 + 1) > 0. 
 
En particular, cuando en el límite de un cociente, el límite del numerador es cero y el 
límite del denominador también es cero, estamos en presencia de una situación 
denominada INDETERMINACIÓN 
0
0
 y para resolverla recurrimos a diferentes 
artificios algebraicos. 
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Analizaremos tres casos de límites indeterminados 
0
0
 : 
➢ Límites de cociente de funciones polinómicas: 
Fundamentalmente consiste en factorizar el polinomio del numerador y el 
polinomio del denominador para luego simplificar algún factor común a ambos 
polinomios si fuera posible. 
Ejemplo: 
 lim
𝑥→4
 
𝑥2−5𝑥+4
𝑥3−7𝑥2+12𝑥
= lim
𝑥→4
(𝑥−4)(𝑥−1)
𝑥(𝑥−4)(𝑥−3)
= lim
𝑥→4
(𝑥−4)(𝑥−1)
𝑥(𝑥−4)(𝑥−3)
=
 = lim
𝑥→4
𝑥−1
𝑥 (𝑥−3)
= 
3
4∙1
= 
3
4
 
 
➢ Límites de cociente con funciones irracionales: 
Trabajaremos con expresiones fraccionarias donde aparecen raíces cuadradas. 
Para resolver este tipo de límites se debe multiplicar al numerador y al 
denominador por el conjugado de la expresión que contiene la raíz cuadrada. 
Se busca lograr un producto de una suma por su diferencia ( (a+b) (a-b) ) para 
formar una diferencia de cuadrados ( a2 - b2 ) que en varias de las situaciones nos 
llevará a una simplificación con lo cual podremos calcular el límite pedido. 
Ejemplo: 
 lim
x→3
 
√x−√3
x−3
= lim
x→3
(√x−√3)(√𝑥+√3)
(x−3)(√𝑥+√3)
= lim
x→3
(√𝑥)
2
−(√3)2
(x−3)(√𝑥+√3)
= lim
x→3
𝑥−3
(x−3)(√𝑥+√3)
=
lim
x→3
𝑥−3
(x−3)(√𝑥+√3)
= lim
x→3
1
√𝑥+√3
=
1
2√3
=
1∙√3
2∙√3∙√3
=
√3
2∙(√3)2
=
√3
2∙3
=
√3
6
 
 
➢ Límites trigonométricos básicos: 
También son llamados límites trigonométricos notables. Son resultados 
fundamentales para tener en cuenta al resolver algunas formas indeterminadas. 
Conviene recordarlos. 
 
 
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• lim
x → 0
sen x
x
= 1 
 
Tiene una demostración formal con desigualdades y propiedades, pero no la veremos en 
la cursada. Quien tenga un espíritu curioso puede encontrarla en diferentes libros de la 
bibliografía propuesta. 
Estudiaremos, con tabla de valores, la tendencia de la función para x tendiendo a 0: 
 
 f(x) =
sen x
x
 ; x0 = 0 
 
 x f(x) x f(x) 
 -0,2 0,993346… 0,2 0,993346… 
 -0,1 0,998334… 0,1 0,998334… 
 -0,01 0,999983… 0,01 0,999983… 
 
 Se aproximan a 1. Se aproximan a 1. 
 Se aproximan a 0 por valores mayores a él 
Se aproximan a 0 por valores menores a él 
Por lo que, observando las tablas, podemos concluir que: lim
x → 0
sen x
x
= 1 
Te comento que, para realizar las cuentas, la calculadora debe colocarse en modo 
“Radián”. 
De manera similar establecemos que: lim
x → 0
 
x
 sen x
= 1 
 
Interpretación: 
Para ángulos muy pequeños (en radianes) el valor del ángulo y del seno de dicho ángulo 
son prácticamente iguales. Es decir 𝑥 ≈ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
Por ejemplo: Si el ángulo en radianes es 𝛼 = 0,01, el sen 𝛼 = 0,0099998 … 
Si comparás verás que 0,01 ≈ 𝑠𝑒𝑛 0,01 
 
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Aplicación: 
 lim
x → x0
sen [f(x)]
f(x)
= 1, si f(x) → 0 cuando x → x0 
 lim
x → x0
f(x)
sen[f(x)]
= 1, si f(x) → 0 cuando x → x0 
 
Ejemplo: 
 lim
x → 0
sen (4x)
x
= lim
x → 0
4∙sen (4x)
4∙x
= lim
x → 0
(
4
1
 ∙ 
sen (4x)
4∙x
) = lim
x → 0
4 ∙ lim
x → 0
sen (4x)
4∙x
=
4 ∙ 1 = 4 
 
• lim
x → 0
cos x−1
x
= 0 
 
Demostración: 
 lim
x → 0
cos x−1
x
= lim
x→0
(cosx−1)(cos x+1)
x(cosx+1)
= lim
x→0
(cos x)2−12
x(cox+1)
=
 lim
x→0
−(senx)2
x(cox+1)
 = lim
x→0
(
senx
x
 ∙ 
−senx
cos x+1
) = lim
x→0
senx
x
 ∙ lim
x→0
 
−sen x
cos x+1
 = 1 ∙ 0 = 0 
Utilizamos la identidad fundamental: (sen x)2 + (cos x)2 = 1 ⟺ (cos x)2 - 1 = - (sen x)2 
 
• lim
x → 0
tan x
x
= 1 
 
Demostración: 
 lim
x → 0
tan x
x
= lim
x→0
senx
cosx
x
= lim
x→0
(
senx
cosx
∙
1
x
) = lim
x→0
(
senx
x
∙
1
cosx
) = 
= lim
x→0
senx
x
∙ lim
x→0
1
cosx
= 1 ∙ 1 = 1 
De manera similar tratá de demostrar que: lim
x → 0
 x
tan x
= 1 
___________________________________________________________ 
Esta fue nuestra primera clase teórica. Volvé a leerla con atención y profundidad. 
Y luego a trabajar con las actividades… 
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Noto_Emoji_Oreo_1f913.svg
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Noto_Emoji_Oreo_1f913.svg
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Noto_Emoji_Oreo_1f913.svg
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4. Bibliografía: 
[1] STEWART, JAMES (1999), Cálculo – Conceptos y Contextos, México – 
Thomson Editions 
[2] RUTENBERG, E., AVERNA, C., GALARDO, O. (2005), Nociones de 
Cálculo, Buenos Aires – Ed. Prometeo, 3ª ed. 
[3] AVERNA, C.; RUTENBERG, E. (2007), Nociones de Cálculo, Tomos 1 y 2, 
Buenos Aires – Ed. Prometeo, 4ª edición 
 
 
5. Actividad pedagógica: 
Pueden trabajar con los siguientes ejercicios del Trabajo Práctico a continuación: 
 2), 4), 5), 6) 
De los cuales son ejercicios obligatorios: 
2) a, j 
4) a, c, e 
5) a, c, f 
6) a, c, d, f 
 
 
Ayuda con el 5) d) : 
Es una indeterminación 
0
0
 . Es un límite de una expresión fraccionaria donde 
aparecen raíces cuadradas. 
 lim
x→√2
 
𝑥−√2
x2−2
= lim
x→√2
(𝑥−√2)(𝑥+√2)
(x2−2)(𝑥+√2)
= lim
x→√2
𝑥2−(√2)2
(x2−2)(𝑥+√2)
= lim
x→√2
𝑥2−2
(x2−2)(x+√2)
=
= lim
 x→√2
𝑥2−2
(x2−2)(x+√2)
= = lim
 x→√2
1
x+√2
=
1
√2+√2
=
1
2∙√2
=
√2
4
 
 
El 4) d), 5) b) y 6) b) los tenés resueltos en la explicación del desarrollo de la teoría. 
 
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TRABAJO PRÁCTICO: LIMITES 
1) Demostrar que el límite indicado es correcto utilizando la definición. 
Hallar  en función de . 
 
a) 142)(3xlim
4x
=+
→
 c) 14x)(9lim
2x
=−
→
 
b) 115)(6xlim
1x
=+
→
 d) 51)2x(lim
3x
−=+−
→
 
 
2) Caso 1: Ausencia de Indeterminación:a) 
5
x 2
3x 8
lim
x 4→
− +
+
 g) ( )
x 2
1-xlim x
→
 
b) 
64xx
1x
lim
2
3
1x −+
−
→
 h) 1)ln(xlim
3x
+
→
 
c) 
22x
125x
lim
3
5
0x +
−
→
 i)
2
x 0
(x 5) (x 1)
lim
2 cosx→
+ +

 
d) 
2x
2
x 3
x 2x 3
lim
x 1→
 − −
 
+ 
 j)
2
x 3
3 x
lim
x 1→
−
+
 
e) 
38x
12x
lim
0x −
−
→
 k)
1t sentcos
5t cos 3tsen
lim
3
2
2
π
t ++
++
→
 
f) 
2
e1
lim
t
0t
+
→
 l)
1x 6
x cos-x 3
0x x cosx-
cos(5x)-sen(4x)
lim
+
→






+ 
 
3) Caso 2: Límites laterales: 
a) 
x
1
lim
0x→
 c)
20x x
1
lim
→
 e)
|5x|
5-x
lim
5x −→
 
b) 
3x
5
lim
3x −→
 d) xlnlim
+→0x
 f)
4x
13x
lim
4x −
−
→
 
 
 g)
2x-
1
lim
-2x +→
 h) 





+→ x
1
ln
0x
lim i) xe
1
-0x
lim
→
 
 
 j) x
3
0x
lim 3
+→
 k)
x
1
0x 5
1
lim
-






→
 l)
x
x
0x
lim
→
 
 
 
 
 
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4) Caso 3: Indeterminación →
→
( 0)
( 0)
: 
a) 
158xx
65xx
lim
2
2
3x +−
+−
→
 f)
2
x
1
2
2
3x 32xx
34xx
lim
+
→ 






−−
+−
 
b) 
2xx
1512x3x
lim
2
2
1x −+
−+
→
 g) 
ax
ax
lim
33
ax −
−
→
 
c) 
8x
4x
lim
3
2
2x −
−
→
 h) 
1x
21x x
1-x
lim
+
→






−1
 
d) 
12x7xx
45xx
lim
23
2
4x +−
+−
→
 i)
t
xt)(x
lim
33
0t
−+
→
 
e) 234
23
2x 8x2xx
812x6xx
lim
−+
−+−
→
 
 
5) Caso 4: Indeterminación →
→
( 0)
( 0)
 (irracionales): 
 a) 
x2
4x
lim
4x −
−
→
 f) 
9x
16x
lim
0x +−
+−
→ 3
4
 
 b)
3x
3x
lim
3x −
−
→
 g)
23 −+→ 21x x
1-x
 lim 
 c) 
2x
3x
lim
0x −+→ 4
 h)
2x
4x
lim
2
2x −
−
+→
 
 d)
2x
2x
lim
2
2x −
−
→
 i) 
1-x
x
lim
2
1x
23 −+
→
 
 e) 
x
x2x2
lim
0x
+−−
→
 j) 
1
2
−
−
+→ x
xx
1x
lim 
 
6) Caso 5: Indeterminación →
→
( 0)
( 0)
(trigonométricos), para utilizar: 
 
 00)(1
f(x)
f(x) sen
→→=
→
xcuandoxfsi lim
0x
 
 
 
0
0)(1
f(x)
f(x) sen
xxcuandoxfsi →→=
→
 lim
0xx
 
 
a) 
x
(4x) sen
 lim
0x→
 f) 
20x x
1- xcos
 lim
→
 
 
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b) 
x
 xtan
 lim
0x→
 g)
x
x sen
2
2
23x-x
32x-x 






+
+
→
 lim
0x
 
c) 
6-x-x
6)-x-(x sen
2
2
 lim
3x→
 h)
x senx
x sen-x
+→
 lim
0x
 
d) 
3x
(5x) sen2
 lim
0x→
 i)
x-
x) -sen(x cos3



 lim
x→
 
e) 
sen(5x)
x) tan(2
 lim
0x→
 j)
x
(x) sen
 lim
0x +→
 
 k) 
( )
( )2
42
−
−
→ xsen
xtg
2x
lim l)
)cos1
2
x
x
−→0x
lim 
 
7) Caso 6: Indeterminación →
→
( )
( )
: 
 a) 
4x
6x3x
lim
2
x +
+
+→
 g) 
14x
23x
lim
2
x −
+
+→
 
b) 
12x
8xx
lim
5
35
x +
+
+→
 h) 
2
2x 1
2 3x 6
2x
5x 10
lim
x 1
+
−
→+
 +
 
− 
 
c) 
52xx
2x
lim
3x −+
−
+→
 i) 
x
x
2x 1
lim
5x 2→+
− 
 
+ 
 
d) 
7x
10xx
lim
35
x +
+
−→
 j) xx
xx
x 44
44
lim
−
−
+→ +
−
 
e) 
x
xx
lim
2
x
+
−→
 k) 
4 82
3 462
x 1x6x
3xx513x
lim
++
−++−
+→
 
f) 
3x25x
5x3x
lim
x −+
+−
+→
 l)
x
x
1
1
37
73
+
−
+→0x
lim 
 
8) Caso 7: Indeterminación  → + + → −( ) ( ) : 
 a) 3
x 1
3 1
lim
x 1x 1→
 
− 
−− 
 e) ( )
x
lim 2x x 4
→+
− + 
b) 2
x 1
3 2
lim
x 1 x 1+→
 
− 
− − 
 f) ( )2
x
lim x 3x x
→+
+ − 
c) 
2 3
2
x 2
x 1 x x 2
lim
x 2 x 2x+→
 + + −
− 
− − 
 g) ( )
x
lim x 1 x
→+
+ − 
d) ( )2
x
lim x x 2
→+
− + 
 
 
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9) Caso 8: Indeterminación ( )
→
→
( )
1 para utilizar: 
 
 +→+→=





+
+→
xcuandoxfsie )(
f(x)
x f(x)
1
1lim 
 ( ) 00)( →→=+
→
xcuandoxfsief(x)
1
0x
f(x)1lim 
 
a) 
x
x x
1
1lim 





−
+→
 e) ( )x
3
0x
2x1lim −
→
 
b) 
x
x 22x
12x
lim 





+
+
+→
 f) x
2
0x
x) sen1(lim +
→
 
c) 
12x
x 5x3
5x1
lim
−
+→






+
+
 g) 
x
1
0x 33x
32x
lim 





+
+
→
 
d) 
2x
x 3x
1x
lim
+
+→






+
−
 h) ( )x
3
2
0x
x1lim +
→
 
 
 i) ( )x
7
0x
sen(5x)1lim +
→
 j) ( ) x+
→
+ 2x
3
0x
senx1lim 
 
 k) ( )sen(x)
2
0x
(x)tg31lim +
→
 l) ( )tg(x)
1
0x
5sen(4x)1lim +
→
 
 
 
10) Caso 9: Indeterminaciones varias: 
a) 





+→ x
1
sinx lim
x
 d)
8x
3x7
lim
3
8x −
−+
→
 
b) xcotx lim
x 0→
 e)  
x
lim x ln(x 1) lnx
→+
 + − 
c) 
x tan-1
x cos -x sen
lim
4

→x
 f)
x
x)ln(1
lim
0x
+
→
 
 
11) Caso 10: Límite de funciones por tramos: 
 
a) Hallar el límite para 𝑥→2 de 




−
=
2xsi,0
2xsi,x3
f(x) 
 
b) Hallar el límite para 𝑥→0 de 




+
=
0xsi,x
0xsi,2x
f(x)
3
 
 
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c) Hallar el límite para 𝑥→9 de 



−
−
=
9xsi,2x18
9xsi,9x
f(x) 
 
d) Hallar el límite para 𝑥→1 de 




=

−
−
=
1xsi,5
1xsi,
1x
33x
f(x) 
 
e) Hallar el límite para 𝑥→ 0 y 𝑥→3 de 





−
−
−
=
3xsi,x4
3x0si,1x
0xsi,12x
f(x) 2 
12) Si 
x5x7
xx3
)x(f
−
+
= , hallar: 
 
a) ( )xflim
x +→
 b) ( )xflim
x −→
 c) ( )xflim
0x →
 
 
13) ¿Existe 
x
xcos1
lim
2
0x
−
→
? 
14) Hallar las ecuaciones de las asíntotas de las siguientes funciones: 
 
a) ( )
3 2
2
3x 9x 12
f x
2x 2x 4
+ −
=
+ −
 g) ( )
x
f x
4x 2
=
+
 
b) ( )
3 2
2
2x 6x 8
f x
3x 9x 6
+ −
=
+ +
 h) ( ) ( )= +f x ln x 3 
c) ( )
2
3 2
2x 4x 6
f x
3x 12x 3x 12
+ −
=
+ − −
 i) 
4x
sen(3x)
(x) f = 
d) ( )
3 2
2
x 2x 5x 20
f x
x 4
+ + +
=
−
 j) ( ) x 5f x e− += 
e) ( ) 2
2x
f x
x 1
=
+
 
f) ( )
22x 4x 6
f x
3x 6
− + +
=
+
 
 
15) Hallar una función que tenga como asíntota horizontal a la recta 𝑦 = 2, 
y como asíntotas verticales a 𝑥 = 5 y a x = 4. 
16) Deducir la ecuación de una función, cuya A.O. sea y 2x 5= + y su A.V. 
sea x 2= 
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APLICACIONES ECONÓMICAS 
 
17) El costo de fabricar una cierta cinta de video es C(x) 20000 5x= + , donde 
x es el número de cintas fabricadas. El Costo promedio por cinta, denotadopor C(x)o 𝐶𝑚𝑒(𝑥) se encuentra dividiendo C(x) entre x. Encontrar: 
 
a) C(1000) 
b) (10000)C 
c) (x)Clim
100000x→
 
d) 
x
lim C(x)
→+
 
 
18) La Demanda de un artículo viene dada por la fórmula 
3000
p
3q 4
=
+
. Si la 
cantidad demandada crece indefinidamente, ¿a cuánto tiende el Ingreso? 
 
19) Los costos variables por unidad de un determinado producto ascienden 
a $35. Los costos fijos anuales ascienden a $125.000. Encontrar a qué valor 
tiende el Costo medio cuando el número de unidades tiende a infinito. 
 
20) La función Costo medio está dada por ( )
q
1206q
 qC
+
= , donde q es la 
cantidad de artículos producidos: 
 a) Determinar el costo fijo y el precio de costo unitario. 
 b) ¿Cuál es el significado de la pendiente del 𝐶𝑇.? 
 c) ¿A cuánto tiende el Costo total cuando 𝑞 se acerca a 5? 
 
21) Un negocio vende un determinado artículo en $40 pesos la unidad y se 
estima un costo fijo en $300. Con estos datos: 
 a) Escribir las funciones de Ingreso y de Costo total sabiendo que 
 ambas coinciden en 𝑞 = 20. 
 b) Encontrar el o los valores de q para que el negocio sea rentable. 
 c) Si q aumenta indefinidamente, ¿en qué valor se estabiliza el Beneficio 
 medio? 
 
 
 
 
 
 
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RESPUESTAS 
1) a)  = 
3
 b)  = 
6
 c)  = 
4
 d)  = 
2
 
2) a) 
3
44
− b) 0 c) -6 d) 0 e) 
3
3
 f) 1 g) 
2
1 h) ln 4 i) 
2
25 j) 0 
 k) 3 l) ∄ 
 
3) a)  b)  c) + d) - e) ∄ f) g)+h) + i) 0 j) + 
 k) + l) 1 
4) a) 
2
1
− b) 6 c) 
3
1 d) 
4
3 e) 0 f) 
3
7
2
1






 g) 3 a2 h)
4
1 i) 3 x2 
 
5) a) -4 b) 
6
3
 c) 12 d) 
4
2
 e) 
2
2
− f) 
4
3 g) 2 h) + i)
2
1 j)0 
 
6)a) 4 b) 1 c) 1 d) 0 e) 
5
2 f) -
2
1 g) 
2
3 h) 0 i) -1 j)0 k) 4
 l) 0 
 
7) a) + b) 
2
1 c) 0 d) + e) -1 f) 
5
3 g) 
4
3
 h) 1 i) 0 j) 1 k) 
7
8
 l) 1 
 
8) a) -1 b) + c) + d) 0 e) + f) 
2
3 g) 0 
9) a) 1−e b) 2
1
−
e c) 5
4
−
e d) 
4−e e) 
6−e f) 2e g) 3
1
−
e h) 1 i)
35e 
j) 3e k) 6e l) 20e 
 
10) a) 1 b) 1 c) 
2
2
− d) 
72
1
e) 1 f) 1 
11) a)  b)  c) 0 d) 3 e) -1 y  
 
12) a) 2 b) 
6
1
 c)  13)  
14) a) A.O.:𝑦 =
3
2
𝑥 + 3 g) A.H.:
1
y
2
= ; A.V.:
2
1
x −= 
 b) A.V.: 𝑥 = −1; A.O.:𝑦 =
2
3
𝑥. h) A.V.:𝑥 = −3 
 c) A.V.: x 1 ; x 4= − = − ; A.H.:𝑦 = 0 i) A.H.:𝑦 = 0 
 d) A.V.:𝑥 = −2; 𝑥 = 2 ; A.O.:𝑦 = 𝑥 + 2 j) A.H.:𝑦 = 0, 𝑠𝑖 𝑥 → +∞ 
 e) A.H.:𝑦 = 0. 
 f) A.V.:𝑥 = −2 ; A.O.:𝑦 = −
2
3
𝑥 +
8
3
 
 
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15) Ejemplo: 
( )( )4x5x
1x2
y
2
−−
+
= 
 
16) Ejemplo: 
1
y 2x 5
x 2
= + +
−
y sacando común denominador resulta:
22x x 9
y
x 2
+ −
=
−
 
 
APLICACIONES ECONOMICAS: 
 
17) a) 25 b) 7 c) 5,2 d) 5 
 
18) 1000 
 
19) 35 
 
20)a) cf: 120 precio de costo unitario: 6 b) Es el precio de costo unitario c) 
150 
 
21) a) I(q) = 40 q C(q) = 300 + 25 q b) q > 20 c) 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. Material complementario de la clase: 
 
Aquí encontrarás ejercicios resueltos que te servirán para trabajar con los del 
trabajo práctico y enriquecerte mucho más: 
 
 LIMITE DE FUNCIONES 
 
INDETERMINACIÓN 
(→0)
(→0)
 
 
Expresiones Fraccionarias donde aparecen Polinomios: 
 
Ejercicio 1: lim
𝑥→0
(1+𝑥)2−1
𝑥
=
(→0)
(→0)
 
Esta indeterminación nos sugiere desarrollar el cuadrado del binomio que está en el 
numerador: 
(1 + 𝑥)2 = 1 + 2𝑥 + 𝑥2 
Resulta: 
lim
𝑥→0
1 + 2𝑥 + 𝑥2 − 1
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑥2 + 2𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑥. (𝑥 + 2)
𝑥
= 
Simplificando resulta: 
= lim
𝑥→0
( 𝑥 + 2) = 2 
 
∴ lim
𝑥→0
(1 + 𝑥)2 − 1
𝑥
= 2 
 
Ejercicio 2: lim
𝑥→5
 
𝑥2−25
𝑥2−3𝑥−10
=
(→0)
(→0)
 
Esta indeterminación nos sugiere trabajar con casos de factoreo. 
Factorizamos el numerador como una diferencia de cuadrados y el denominador como 
polinomio cuadrático. 
Recordar que: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) siempre que las raíces sean reales, 
tenemos 
lim
𝑥→5
(𝑥 + 5). (𝑥 − 5)
(𝑥 − 5). (𝑥 + 2)
= 
Simplificando nos queda: 
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= lim
𝑥→5
 
(𝑥 + 5)
(𝑥 + 2)
=
10
7
 
 
∴ lim
𝑥→5
 
𝑥2 − 25
𝑥2 − 3𝑥 − 10
=
10
7
 
 
Ejercicio 3: lim
𝑥→2
𝑥3 −3𝑥2+4
𝑥3−7𝑥2+16𝑥−12
=
(→0)
(→0)
 
Como 𝑥 = 2 es raíz de ambos polinomios, entonces, aplicando la Regla de Ruffini en el 
polinomio numerador, tenemos: 
𝑥3 − 3𝑥2 + 0𝑥 + 4 = (𝑥 − 2)2. (𝑥 + 1) 
 
 
 
Aplicando la Regla de Ruffini en el polinomio denominador, tenemos: 
 
𝑥3 − 7𝑥2 + 16𝑥 − 12 = (𝑥 − 2)2. (𝑥 − 3) 
 
 
 
Reemplazando, nos queda: 
= lim
𝑥→2
𝑥3 − 3𝑥2 + 4
𝑥3 − 7𝑥2 + 16𝑥 − 12
= lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)2. (𝑥 + 1)
(𝑥 − 2)2. (𝑥 − 3)
 
Simplificando los factores comunes del numerador y del denominador, nos queda: 
 
= lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)2. (𝑥 + 1)
(𝑥 − 2)2. (𝑥 − 3)
 = lim
𝑥→2
𝑥 + 1
𝑥 − 3
= 
 
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Finalmente, evaluamos el límite para, una vez salvada la indeterminación, obtener el valor 
verdadero del mismo: 
lim
𝑥→2
𝑥 + 1
𝑥 − 3
= − 3 
∴ lim
𝑥→2
𝑥3 − 3𝑥2 + 4
𝑥3 − 7𝑥2 + 16𝑥 − 12
= −3 
 
 
Expresiones Fraccionarias donde aparecen Raíces Cuadradas: 
 
Ejercicio 4: lim
𝑥→6
2−√𝑥−2
𝑥2−36
=
(→0)
(→0)
 Indeterminado. 
 
Para hallar el valor verdadero de este tipo de límites, se debe multiplicar al numerador y 
al denominador por el conjugado de la expresión que contiene la raíz cuadrada: 
 
= lim
𝑥→6
2 − √𝑥 − 2
𝑥2 − 36
∙ (
2 + √𝑥 − 2
2 + √𝑥 − 2
) = 
 
El producto de los factores que quedan en el numerador, resultan ser una diferencia de 
cuadrados desarrollada, entonces, sabiendo que: 
 
(𝐴2 − 𝐵2) = (𝐴 − 𝐵) ∙ (𝐴 + 𝐵) 
Nos queda: 
 
= lim
𝑥→6
22 − (√𝑥 − 2
2
)
2
(𝑥2 − 36) ∙ (2 + √𝑥 − 2)
 = 
Simplificando el cuadrado de la raíz con el cuadrado del índice, obtenemos la siguiente 
expresión: 
 
= lim
𝑥→6
22 − (𝑥 − 2)
(𝑥2 − 36) ∙ (2 + √𝑥 − 2)
 = 
 
Desarrollando la diferencia de cuadrados del denominador y operando sobre el 
numerador: 
 
= lim
𝑥→6
4 − 𝑥 + 2
(𝑥 − 6) ∙ (𝑥 + 6) ∙ (2 + √𝑥 − 2)
 = 
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Evaluando nuevamente el límite: 
 
= lim
𝑥→6
−𝑥 + 6
(𝑥 − 6) ∙ (𝑥 + 6) ∙ (2 + √𝑥 − 2)
 =
(→ 0)
(→ 0)
 
Sacando factor común −1 en el numerador: 
= lim
𝑥→6
−(𝑥 − 6)
(𝑥 − 6) ∙ (𝑥 + 6) ∙ (2 + √𝑥 − 2)
 = 
Simplificamos el factor (𝑥 − 6) tanto en el numerador como en el denominador: 
= lim
𝑥→6
−(𝑥 − 6)
(𝑥 − 6). (𝑥 + 6). (2 + √𝑥 − 2
2
)
= lim
𝑥→6
−1
(𝑥 + 6). (2 + √𝑥 − 2
2
)
= 
 
Finalmente, salvada la indeterminación, evaluamos nuevamente el límite y obtenemos el 
valor verdadero del mismo: 
 
lim
𝑥→6
−1
(𝑥 + 6). (2 + √𝑥 − 2
2
)
= −
1
48
 
 
∴ lim
𝑥→6
2 − √𝑥 − 2
𝑥2 − 36
= −
1
48
 
 
 
Expresiones fraccionarias donde aparece la funciónseno. 
 
Para hallar el valor verdadero de este tipo de límites, recordar: 
 
➢ lim
𝑥→𝑥0
𝑠𝑒𝑛[𝑓(𝑥)]
𝑓(𝑥)
= 1 𝑠𝑖 𝑓(𝑥) → 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 𝑥0 
 
Ejercicio 5: lim
𝑥→1
sen(−2𝑥+2)
𝑥2+𝑥−2
 =
(→0)
(→0)
 
 
Puesto que para 𝑥 = 1 se anula también el denominador, entonces factorizamos aplicando 
la Regla de Ruffini: 
 
 
𝑥2 + 𝑥 − 2 = (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 2) 
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= lim
𝑥→1
sen(−2𝑥 + 2)
(𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 2)
= 
Multiplicando numerador y denominador por −2, y distribuyendo convenientemente en 
el denominador, tenemos: 
= lim
𝑥→1
−2 ∙ sen(−2𝑥 + 2)
−2. (𝑥 − 1). (𝑥 + 2)
= 
 
= lim
𝑥→1
−2. sen(−2𝑥 + 2)
(−2𝑥 + 2). (𝑥 + 2)
= 
 
Aplicando propiedades de los límites, tenemos: 
 
= −2. [lim
𝑥→1
sin(−2𝑥 + 2)
(−2𝑥 + 2)
∙ lim
𝑥→1
1
𝑥 + 2
] = −2. (1). (
1
3
) = −
2
3
 
 
∴ lim
𝑥→1
sen(−2𝑥 + 2)
𝑥2 + 𝑥 − 2
 = −
2
3
 
 
Ejercicio 6: lim
𝑥→0
1−cos 𝑥
3𝑥2
=
(→0)
(→0)
 
 
Multiplicando numerador y denominador por el conjugado de (1 − cos 𝑥) tenemos: 
= lim
𝑥→0
1 − cos 𝑥
3𝑥2
∙ (
1 + cos 𝑥
1 + cos 𝑥
) 
 
El producto de los factores que quedan en el numerador, resultan ser una diferencia de 
cuadrados desarrollada, entonces, sabiendo que: 
 
(𝑥2 − 𝑎2) = (𝑥 − 𝑎) ∙ (𝑥 + 𝑎) 
Nos queda: 
 
= lim
𝑥→0
 
1 − (cos 𝑥)2
3𝑥2 ∙ (1 + cos 𝑥)
= 
 
Sabiendo que (sen 𝑥)2 + (cos 𝑥)2 = 1 → (sin 𝑥)2 = 1 − (cos 𝑥)2 y reemplazando, 
nos queda: 
= lim
𝑥→0
(sen 𝑥)2
3𝑥2. (1 + cos 𝑥)
= 
 
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Aplicando propiedades de los límites, reacomodando convenientemente y evaluando 
tenemos: 
=
1
3
∙ [lim
𝑥→0
sen 𝑥
𝑥
∙ lim
𝑥→0
sen 𝑥
𝑥
∙ lim
𝑥→0
1
(1 + cos 𝑥)
] =
1
3
∙ (1 .1 .
1
2
 ) =
1
6
 
 
∴ lim
𝑥→0
1 − cos 𝑥
3𝑥2
=
1
6
 
 
Ejercicio 7: lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 (5𝑥)
𝑡𝑔(6𝑥)
=
(→0)
(→0)
 
 
Esta indeterminación nos sugiere pensar en el límite trigonométrico fundamental: 
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑓(𝑥))
𝑥
= 1 𝑠𝑖 𝑓(𝑥) → 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 0 
Y teniendo en cuenta que: 𝑡𝑔(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos (𝑥)
 
= lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 (5𝑥)
𝑠𝑒𝑛(6𝑥)
cos (6𝑥)
 = lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 (5𝑥). 𝑐𝑜𝑠(6𝑥)
𝑠𝑒𝑛(6𝑥)
= 
Si multiplicamos el numerador por: 
5𝑥
5𝑥
= 1 y el denominador por: 
6𝑥
6𝑥
= 1 el ejercicio 
no altera: 
= lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(5𝑥).
5𝑥
5𝑥
 . 𝑐𝑜𝑠(6𝑥)
𝑠𝑒𝑛(6𝑥).
6𝑥
6𝑥
= 
Entonces podemos obtener la forma fundamental en el numerador y en el denominador: 
= lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
 5𝑥 
 . 5𝑥 cos(6𝑥)
𝑠𝑒𝑛(6𝑥) 
6𝑥 . 6𝑥 
=
lim
𝑥→0
(
𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
 5𝑥 
. 5. cos(6𝑥))
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(6𝑥)
6𝑥 ∙ 6
= 
=
lim
𝑥→0
(
𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
 5𝑥 
) . lim
𝑥→0
5. 𝑐𝑜𝑠(6𝑥)
lim
𝑥→0
(
𝑠𝑒𝑛(6𝑥) 
6𝑥
) . lim
𝑥→0
6
=
1.5.1
1.6
=
5
6
 
 
∴ lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 (5𝑥)
𝑡𝑔(6𝑥)
=
5
6
 
 
 
 
 
 
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No te olvides de consultar fuentes bibliográficas, material de soporte virtual en internet, 
utilizar diferentes aplicaciones del celular y la calculadora. 
 
 En particular te recomendamos los siguientes links: 
• S.Schmidt et al. “Práctica del curso Cálculo Diferencial e Integral. 
Selección de ejercicios”. Revista digital, Matemática, Educación e 
Internet: 
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/practicas/A-
Practicas-CDI-I-2019.pdf 
 
• PERMANENT CITATION Aori Nevo 
“Limits: A Graphical and Numerical Approach” 
Wolfram Demostrations Project Published: December 20 2011 
 
https://demonstrations.wolfram.com/LimitsAGraphicalAndNumericalAp
proach/ 
 
 
 
 
 
 
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/practicas/A-Practicas-CDI-I-2019.pdf
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/practicas/A-Practicas-CDI-I-2019.pdf
https://demonstrations.wolfram.com/LimitsAGraphicalAndNumericalApproach/
https://demonstrations.wolfram.com/LimitsAGraphicalAndNumericalApproach/