Clase-111

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Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
 
1 
 
DOCUMENTO DE CLASE 
Clase N ° 11 
1. Objetivos de la clase: 
• Análisis y aplicación de las propiedades de la integral definida. 
• Reconocimiento y aplicación de los distintos teoremas al cálculo de integrales. 
• Aplicación de la integral definida al cálculo de áreas. 
 
2. Mapa conceptual de la clase: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTEGRALES DEFINIDAS 
Definición -Justificación 
Aplicaciones: cálculo de áreas 
Propiedades 
Teoremas 
Fundamental del 
cálculo integral 
“Regla” de Barrow 
Del valor medio del 
cálculo integral 
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3. Desarrollo: 
La Integral Definida 
 
Sea f(x) una función continua en un intervalo  ba ; . Vamos a dividir a este intervalo  ba ; 
en un número finito n ( n ≥ 1 ) de subintervalos consecutivos eligiendo en forma arbitraria 
(n - 1) puntos interiores al intervalo  ba ; : x1 , x2 , x3 , … , xn-1. 
Tenemos entonces n subintervalos  ii xx ;1− (siendo i = 1, 2, 3, …., n) a los que 
denominaremos Ii y donde hemos asignado x0 = a y xn = b. 
La longitud de cada subintervalo estará dada por ∆xi = xi – xi-1 . 
Ahora, vamos a elegir dentro de cada subintervalo  ii xx ;1− un punto arbitrario εi y 
calcularemos f(εi). Con este último elemento vamos a formar la suma: 
( )
=
=
n
i
iin xf
1
 
A esta suma la llamaremos suma integral. 
El gráfico siguiente muestra el procedimiento: 
 
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Designaremos con máx ∆xi a la mayor longitud de los Ii , si exigimos que máx ∆xi  0 es 
obvio que en este proceso de subdivisión n   . 
Si para toda subdivisión del intervalo  ba ; que elijamos, el ( )
=→

n
i
ii
xmáx
xfLím
i 10
 es finito y 
su resultado es el mismo para toda subdivisión propuesta, diremos que f(x) es integrable en 
el intervalo  ba ; . 
Llamaremos integral definida entre a y b de f (x) a: 
( ) ( )
=→
=
n
i
ii
xmáx
b
a
xfdxxf Lím
i 10
 (1) 
El intervalo se denomina intervalo de integración, a es el límite de integración inferior, b es 
el límite de integración superior y x es la variable de integración. 
La variable de integración puede ser sustituida por cualquier otra letra sin que cambie el valor 
de la integral definida: 
( ) ( ) ( )  ==
b
a
b
a
b
a
dttfdzzfdxxf 
 
Propiedades de la Integral Definida 
 
1) Si f(x) es continua en  ba ; , entonces f(x) es integrable en  ba ; 
 
2) Si f(x) ≥ 0 para todo x є  ba ; , la integral definida ( )
b
a
dxxf es numéricamente igual al 
área del trapecio curvilíneo determinado por la gráfica de f(x), las rectas verticales x = a, 
x = b y el eje x (y = 0). 
En consecuencia: 
( )=
b
a
dxxfRA )( 
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El cálculo corresponde al Área de la región rayada en el siguiente gráfico: 
 
 
3) Si f(x) ≤ 0 para todo x є  ba ; , f(εi) será negativa para todo εi. En consecuencia todos los 
productos f(εi).∆xi de la expresión (1) serán negativos. Finalmente: 
( )=
b
a
dxxfRA )( 
 
 
 
 
 
 
 
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El cálculo corresponde al Área de la región rayada en el siguiente gráfico: 
 
También podemos plantear, en este caso: 
 ( )−=
b
a
dxxfRA )( 
 
4) Si f(x) no conserva el signo dentro del intervalo  ba ; , para determinar el Área se deben 
utilizar las propiedades 1) y 2): 
( ) ( )

)()( 21 RA
b
c
RA
c
a
T dxxfdxxfA  += 
 
 
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El cálculo corresponde al Área Total de la región rayada en el siguiente gráfico: 
 
 
5) 
( ) ( ) −=
b
a
a
b
dxxfdxxf (2) 
Si analizamos la integral definida del segundo miembro de la igualdad (2), vemos que al 
identificar a los puntos (xi) del intervalo  ba ; desde el punto b al a, los ∆xi serán negativos. 
En consecuencia los productos f(εi).∆xi de la expresión (1) también serán negativos. 
Finalmente, para que sea igual a la integral definida del primer miembro debemos 
multiplicarla por un signo (−), como indica la expresión (2). 
 
 
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6) 
( ) =
a
a
dxxf 0 (3) 
La longitud del intervalo de integración  ba ; es cero absoluto (no un valor que tiende a 
cero). Por lo tanto, la longitud de los supuestos subintervalos Ii en los que se divide el 
intervalo de integración es también cero. En consecuencia, los productos f(εi).∆xi de la 
expresión (1) valdrán cero y la sumatoria de todos los productos también. Esto justifica el 
resultado de integral definida (3). 
Gráficamente: 
 
 
7) Si f(x) es continua en  ba ; , entonces: 
( ) ( ) ( )abMdxxfabm
b
a
−−  
Siendo m mínimo absoluto de f(x) en  ba ; y M máximo absoluto de f(x) en  ba ; 
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Justificación: 
Como la función f(x) es continua en el intervalo cerrado  ba ; , por el teorema de 
Weierstrass para funciones continuas (ya visto anteriormente), f(x) tiene un valor Máximo 
(M) y un valor Mínimo (m) en el intervalo  ba ; . 
Como f(x) es continua, por la propiedad (1), es integrable. Entonces el resultado de ( )
b
a
dxxf 
será un valor real finito. Finalmente, este valor podrá encerrarse entre el área de dos 
rectángulos. Ambos tendrán la misma base (b - a), que es la longitud del intervalo  ba ; , y 
como altura, uno de ellos M y el otro m. En consecuencia: 
( ) ( ) ( )abMdxxfabm
b
a
−−  
Esto puede ver en el siguiente gráfico: 
 
 
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8) Propiedad de aditividad: Si f(x) es continúa en  ba ; y ( )bac , , entonces: 
( ) ( ) ( ) +=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf 
Observar cuales son los límites de integración que deben ser iguales en esta propiedad: 
 
En el gráfico se puede observar que toda la región bajo la curva entre 𝑎 y 𝑏, fue dividida en 
dos subregiones. Las áreas de cada una de estas subregiones son: ( )
c
a
dxxf y ( )
b
c
dxxf . El 
área de toda la región es: ( )
b
a
dxxf . Y el área de toda la región es la suma de las áreas de las 
dos subregiones, que es lo que expresa la propiedad. 
 
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Teorema del Valor Medio para Integrales 
 
Si f(x) es continua en un intervalo [𝑎; 𝑏] entonces existe un número 
c perteneciente a dicho intervalo tal que ( ) ( ) ( )cfabdxxf
b
a
−= 
 
Interpretación geométrica 
Dada la función f(x), continua en el intervalo  ba ; y siempre positiva dentro del intervalo. 
El área de la región encerrada por la gráfica de f(x), el eje X y las rectas x = a y x = b (que es 
igual a ( )
b
a
dxxf ) se puede calcular como el área del rectángulo de base (b – a) y altura f(c) 
para algún punto  bac ; ; como lo muestra el gráfico siguiente: 
 
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Ejemplo: 
a) Calcular ∫ 𝑥2𝑑𝑥
4
1
 
b) Verificar que se cumple la hipótesis del Teorema del Valor Medio en el intervalo [1 , 4] y 
hallar un valor de 𝑐 que verifica la tesis. Graficar. 
Resolución: 
Primero debemos calcular una primitiva 𝐹(𝑥) de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2. Resolvemos, para 
ello la integral indefinida 
∫ 𝑥2𝑑𝑥 =
𝑥3
3
+ 𝐶 
Elegimos 𝐶 = 0 y obtenemos una primitiva 𝐹(𝑥) =
𝑥3
3
 
Entonces 
∫ 𝑥2𝑑𝑥
4
1
=
𝑥3
3
|
1
4
=
(4)3
3
−
(1)3
3
=
64
3
−
1
3
= 21Observación: una integral definida puede dar como resultado un número positivo, 
negativo o cero. 
b) La función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 es continua en ℝ por ser polinómica, entonces es continua en [1 , 4]. 
Por lo tanto cumple la hipótesis del Teorema de Valor Medio. 
Luego, se debe cumplir la tesis. Es decir, existe al menos un 𝑐 ∈ [1 , 4] tal que 
∫ 𝑥2𝑑𝑥
4
1
= (4 − 1) ⋅ 𝑓(𝑐) 
21 = 3 ⋅ 𝑓(𝑐) 
𝑓(𝑐) =
21
3
 
𝑓(𝑐) = 7 
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Como 𝑓(𝑥) = 𝑥2, entonces 𝑓(𝑐) = 𝑐2. Entonces 
𝑐2 = 7 
|𝑐| = √7 
Entonces 𝑐 = √7 o 𝑐 = −√7. Como √7 ∈ [1 , 4], el valor que verifica la tesis es 𝑐 = √7 
Realizamos el gráfico: 
 
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Función Integral 
 
La integral definida es un número que depende solamente de la función integrando y de los 
límites de integración. Podemos entonces definir: 
Sea f(x) una función continua en un intervalo I y a un punto de este 
intervalo I, llamamos Función integral F(x) a: 
( ) ( )dttfxF
x
a= 
La variable t es la variable de integración y podría tener cualquier otra denominación. La 
Función Integral depende de la variable x que es límite superior de la integral definida. 
 
Teorema Fundamental del Cálculo Integral 
 
Si f(x) es una función continua en un intervalo [𝑎; 𝑏] y 𝑥0 un punto del 
intervalo, entonces la Función Integral ( ) ( )dttfxF
x
a= es derivable en 𝑥0 
y F´(𝑥0) = f(𝑥0) (es decir, F(x) es una primitiva de f(x)) 
 
Demostración 
Sea la Función Integral: ( ) ( )dtxfxF
x
a= 
Aplicando la definición de derivada, resulta: 
( )
( ) ( )
h
dttfdttf
Lím
h
xFhxF
LimxF
hx
a
x
a
hh
 
+
→→
−
=
−+
=
0 0
0
00
0
0
)()(
 
Utilizando la propiedad de aditividad (Propiedad 8): 
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( )
( ) ( ) ( )
h
dttfdttfdttf
LímxF
x
a
x
a
hx
x
h
  −




+
=
+
→
00 0
0
0
0 
( )
( ) ( ) ( )
h
dttfdttfdttf
LímxF
x
a
x
a
hx
x
h
  −+
=
+
→
00 0
0
0
0 
 
( )
( )
h
dttf
LímxF
hx
x
h

+
→
=
0
0
0
0 
Aplicando el Teorema del valor Medio para Integrales: 
( )
( ) ( )
h
cfxhx
LímxF
h
−+
=
→
00
0
0 con  hxxc + 00 ; 
 
( )
( )
h
cfh
LímxF
h

=
→0
0
 
 
( ) ( )cfLímxF
h 0
0
→
= 
Como  hxxc + 00 ; , al calcular el límite para ℎ → 0, resulta que (𝑥0 + ℎ) → 𝑥0. En 
consecuencia: 𝑐 → 𝑥0. Entonces: 
( ) ( ) ( )0
0
0 xfcfLímxF
h
==
→
 
Por lo tanto: ( ) ( )00 xfxF = que es lo que queríamos demostrar 
 
 
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Regla de Barrow 
 
Si f(x) es continua en [𝑎; 𝑏] y F(x) es una primitiva de f(x), entonces: 
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂)
𝒃
𝒂
 
Demostración 
Sean F(x) y G(x) dos primitivas f(x). 
Sabemos que la diferencia entre dos primitivas de una función es una constante, entonces: 
( ) ( ) CxGxF =− siendo 𝐶 ∈ ℝ 
Entonces ( ) ( ) CxGxF += 
Como G(x) es una primitiva f(x), por el Teorema Fundamental del Cálculo Integral tenemos 
que: ( ) ( )=
x
a
dttfxG . Sustituyendo en ( ) ( ) CxGxF += tenemos: 
( ) ( ) CdttfxF
x
a
+=  
Si evaluamos la función F(x) en x = a, tenemos: 
( ) ( ) +=
a
a
CdttfaF 
Sabemos, por la propiedad 6, que: ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 0
𝑎
𝑎
. Resulta entonces que ( ) CaF = 
Si reemplazamos ( ) CaF = en ( ) ( ) CdttfxF
x
a
+=  , obtenemos: 
( ) ( ) ( )aFdttfxF
x
a
+=  
Si ahora evaluamos esta última expresión en x = b, nos queda: 
( ) ( ) ( )aFdttfbF
b
a
+=  
Despejando tenemos ( ) ( ) ( )aFbFdttf
b
a
−= 
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En base a lo visto, podemos reemplazar a la variable t por la variable x, que es la variable de 
uso más frecuente: 
( ) )()( aFbFdxxf
b
a
−= 
 
Observación: El Teorema Fundamental del Cálculo Integral nos asegura que toda 
función continua en un intervalo cerrado posee una primitiva. La Regla de Barrow 
(corolario del Teorema Fundamental) nos da un método para calcular una integral 
definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [𝒂; 𝒃], que consiste en: (i) 
calcular una primitiva F(x) de nuestra función f(x), (ii) evaluar dicha primitiva en los 
extremos y (iii) restar. 
 
En la práctica cuando calculamos una integral definida, como primero debemos obtener una 
primitiva de la función y luego evaluarla en los extremos para finalmente restar, escribimos: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝐹(𝑥)|𝑎
𝑏 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
 
Cálculo de Áreas 
 
Vamos a aplicar todo lo aprendido para calcular áreas de regiones acotadas 𝑨(𝑹), por graficas 
de funciones. 
 
Ejemplo: Calcular el área de la región acotada 𝐴(𝑅), encerrada por el gráfico de la función 
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥, el eje 𝑋, y las rectas verticales 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2. 
Resolución: 
Como se ve en el gráfico, 𝑓(𝑥) ≥ 0 para todo 𝑥 ∈ [0; 2] 
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Luego: 𝐴(𝑅) = ∫ (−𝑥2 + 2𝑥) 𝑑𝑥
2
0
 
Aplicando la regla de Barrow 
𝐴(𝑅) = ∫ (−𝑥2 + 2𝑥) 𝑑𝑥
2
0
= −
𝑥3
3
+ 𝑥2|
0
2
= (−
1
3
(2)3 + (2)2) − (−
1
3
(0)3 + (0)2) 
𝐴(𝑅) = ∫ (−𝑥2 + 2𝑥) 𝑑𝑥
2
0
= −
8
3
+ 4 =
4
3
 
o sea: 𝐀(𝐑) =
𝟒
𝟑
 𝐮. 𝐚. (unidades de área) 
 
 
 
Área de una región encerrada entre dos funciones 
 
Queremos calcular el área de una región acotada 𝑨(𝑹), comprendida entre los gráficos de 
dos funciones integrables. 
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Sean 𝑓: [𝑎; 𝑏] → ℝ, 𝑔: [𝑎; 𝑏] → ℝ continuas en  ba ; y 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para todo 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏]. El 
gráfico de la región R podría ser: 
 
Se observa en el grafico que el área total 𝑨, es la diferencia entre dos áreas: el área 𝐴1 de la 
región comprendida entre el gráfico de 𝑓(𝑥) y el eje 𝑋, para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 (A(𝑅1)), y el área 𝐴2 
de la región comprendida entre el grafico de 𝑔(𝑥) y el eje 𝑋, para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 (A(𝑅2)) 
 
Como 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) toman valores positivos en el intervalo [𝑎; 𝑏], tenemos: 
𝐴(𝑅1) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 y 𝐴(𝑅2) = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Por lo tanto el área buscada es: 
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𝐴 = 𝐴(𝑅1) − 𝐴(𝑅2) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
− ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
( ) ( )  −=
b
a
dxxgxfA 
Pero solo hemos consideramos el caso en que las funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) son no negativas en 
el intervalo  ba ; , sin embargo la formula anterior vale siempre que se cumpla que: 
( ) ( )xgxf  para todo  bax ; , aunque tomen valores negativos. 
A la fórmula se la suele recordar con la regla nemotécnica “techo – piso”, f(x) es la función 
que oficia de techo y g(x) la función que oficia de piso de la región cuya área se pretende 
calcular. 
𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥)⏟
𝑡𝑒𝑐ℎ𝑜
− 𝑔(𝑥)⏟
𝑝𝑖𝑠𝑜
] 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
Ejemplo 
Calcular el área encerrada por las siguientes funciones: 
( )



+=
+−=
32
31
2
xy
xy
 
Resolución: 
Primero graficamos las funciones para conocer cuál es el recinto que queda encerrado por 
estas funciones. 
Para graficar la función ( ) 31 2 +−= xy utilizamos los conocimientos de función cuadrática, 
y en el mismo gráfico, graficamos la función 32 += xy , lo que realizamos con los 
conocimientos de función lineal. 
Así queda determinado el recinto del cual debemos calcular su área: 
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Necesitamos determinar los puntos de intersección entre las dos funciones. Realizamos esta 
búsqueda mirando a las dos funciones como ecuaciones y resolviendo el sistema de 
ecuaciones formado por estas funciones. 
( )



+=
+−=
32
31
2
xy
xy
 
Utilizamos el método de igualación( ) 3231 2 +=+− xx 
( ) ( ) 323112 22 +=+−+−+ xxx 
0323122 =−−++− xxx 
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0142 =+− xx 
Utilizamos la fórmula de Bhaskara para hallar las raíces de la ecuación. 
𝑥1, 𝑥2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
Sabemos que 𝑎 = 1, 𝑏 = −4 y 𝑐 = 1. Entonces 
𝑥1, 𝑥2 =
−(−4) ± √(−4)2 − 4 ∙ 1 ∙ 1
2 ∙ 1
=
4 ± √12
2
=
4 ± 2√3
2
=
4
2
±
2√3
2
= 2 ± √3 
𝑥1 = 2 − √3 ≅ 0,27 
𝑥2 = 2 + √3 ≅ 3,73 
Si reemplazamos los valores obtenidos en la ecuación 32 += xy , obtenemos los valores de 𝑦 
𝑦1 ≅ 2 ∙ 0,27 + 3 = 3,54 
𝑦2 ≅ 2 ∙ 3,73 + 3 = 10,46 
Ubicamos los puntos de intersección en el gráfico: 
 
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Finalmente calculamos el área utilizando integrales definidas, armando la integral con la 
regla: “techo – piso”. 
( ) ( )  dxxxRÁrea  +−−+
73,3
27,0
2
3132 
( ) ( ) ( )  dxxxxRÁrea  +−+−+−+
73,3
27,0
22 311232 
( ) ( ) dxxxxRÁrea  ++−−+
73,3
27,0
2 31232 
 
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( ) ( )dxxxxRÁrea 31232 2
73,3
27,0
−−+−+  
( ) ( ) −+−
73,3
27,0
2 14 dxxxRÁrea 
La integral indefinida es inmediata. Determinamos su primitiva y aplicamos la Regla de 
Barrow. 
( ) ( )
73,3
27,0
2
3
73,3
27,0
2 )
2
4
3
1
(14 x
x
xdxxxRÁrea −+−=−+−  
( )
73,3
27,0
23 )2
3
1
( xxxRÁrea −+− 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )





−+−−





−+− 27,027,0227,0
3
1
73,373,3273,3
3
1 2323
RÁrea 
( ) ( ) ( ) 93,613,08,6 =−−RÁrea 
( ) ..93,6 auRÁrea  
 
OPCIONAL 
La fórmula para calcular el área de una región acotada comprendida entre los gráficos de dos 
funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥): 
𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
vale siempre que se cumpla que: ( ) ( )xgxf  para todo  bax ; , aunque tomen valores 
negativos. En este caso, ambas funciones toman valores positivos y negativos en el intervalo 
 ba ; , como lo muestra el gráfico siguiente. Se observa que el área de la región no cambia 
si la trasladamos (manteniendo su forma y dimensiones). Como la región es acotada, 
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haciendo una traslación en sentido vertical, podemos conseguir que toda la región quede por 
encima del eje 𝑋, y en consecuencia volvemos al caso ya analizado. 
 
Para hacer esta traslación basta con sumarles la misma constante a ambas funciones. 
Por ser funciones continuas en un intervalo cerrado, resulta que son acotadas en dicho 
intervalo (Teorema de Weierstrass). Luego, debe existir 𝐾 ∈ ℝ de manera que: 
( ) 0+Kxg para todo  bax ; 
y entonces se cumplirá que: 
( ) ( ) 0++ KxgKxf para todo  bax ; 
Claramente estas nuevas funciones son continuas, y por lo tanto, integrables. 
 
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Luego, el área de la región encerrada entre las dos funciones es: 
( )( ) ( )( )  ( ) ( )  ( ) ( )  −=−−+=+−+=
b
a
b
a
b
a
dxxgxfdxKxgKxfdxKxgKxfA 
Es decir: ( ) ( )  −=
b
a
xx dxgfA 
 
 
4. Bibliografía: 
• LEITHOLD, LOUIS (1998). EC7 - El Cálculo. México. Oxford University Press; 7ª 
ed. Cap. 4. 
 
• PURCELL, E; VARBERG, D (1993). Cálculo con Geometría Analítica. 
México. Prentice-Hall; 6ª ed. Cap. 5. 
 
 
• RUTENBERG, E., AVERNA, C., GALARDO, O. (2005), Nociones de 
Cálculo, Buenos Aires – Ed. Prometeo, 3ª ed. Cap. 13. 
 
• AVERNA, C.; RUTENBERG, E. (2007), Nociones de Cálculo, Tomos 1 y 2, 
Buenos Aires – Ed. Prometeo, 4ª edición. Cap. 13. 
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26 
 
 
5. Actividad Pedagógica: 
Los siguientes ejercicios de la Guía de Trabajos prácticos de Matemática I corresponden a 
Integral Indefinida. 
A continuación se detallan los ejercicios que son de carácter obligatorios: 
1) a, b, c, d, f, g, i, q, s 2) a, b, c, d, k, m, n, r 
 
TRABAJOPRÁCTICO: INTEGRALES DEFINIDAS 
1) Calcular las siguientes integrales definidas: 
 
 a)∫ 4√𝑥
38
1
𝑑𝑥 b) ∫
𝑥+1
√𝑥
4
1
𝑑𝑥 
 
a) ∫
1
2
𝜋/2
0
 (cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑑𝑥 d)∫
𝑥 cos 𝑥+1
𝑥
𝜋
𝜋/2
𝑑𝑥 
 
e) ∫
3
1+𝑥2
1
√3/3
𝑑𝑥 f)∫
1
(1−2𝑥)3
0
−2
𝑑𝑥 
 
g)∫
1
√(8−𝑥)2
3
7
0
𝑑𝑥 h)∫ cos (
𝜋
3
− 𝑥)
𝜋/3
𝜋/6
𝑑𝑥 
 
i)∫
𝑥
2.√1+𝑥2
√3
0
𝑑𝑥 j)∫
𝑠𝑒𝑛𝑥
(1−cos 𝑥)2
𝜋
𝜋/2
𝑑𝑥 
 
k) ∫
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠4𝑥
𝜋/3
0
𝑑𝑥 l) ∫ 4 𝑠𝑒𝑛3𝑥 cos 𝑥
𝜋/3
𝜋/4
𝑑𝑥 
 
m) ∫
1
√𝑎2−𝑥2
√𝑎
0
𝑑𝑥 n) ∫ 𝑥.
5
1
√𝑥 − 1 𝑑𝑥 
 
o) ∫ √cos 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠3𝑥
𝜋/2
0
𝑑𝑥 p) ∫
1
𝑒𝑥+𝑒−𝑥
1
0
𝑑𝑥 
 
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27 
 
q) ∫ 𝑥𝑒𝑥
1
0
𝑑𝑥 r) ∫ 𝑙𝑛𝑥
𝑒
1
𝑑𝑥 
 
s) ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥
𝜋/2
0
𝑑𝑥 
 
2) Calcular el área de las regiones encerradas por las curvas : 
 
a) 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 0, 𝑥 = 3 
 
b) 𝑦 = 𝑥3, 𝑦 = 0, − 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 
 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2, 𝑔(𝑥) = 𝑥 
 
d) 𝑦 = 4𝑥 − 5, 𝑦 = 0, − 3 ≤ 𝑥 ≤ −2 
 
e) 𝑦 = 2𝑥2, 𝑦 = 0, 𝑥 = 2, 𝑥 = 4 
 
f)𝑦2 = 9𝑥, 𝑥 = 1, 𝑥 = 9 
 
g)𝑦 = 𝑥2 − 𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = 2 
 
h) 𝑦 = 2𝑥2 − 𝑥 + 2, 𝑦 = 0 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 
 
i)𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝜋 
 
 j) 𝑦1 = 𝑥
2, 𝑦2 = 1 − 𝑥
2 
 
k) 4𝑥2 − 9𝑦1 + 18 = 0, 2𝑥
2 − 9𝑦2 + 36 = 0 
 
l) 𝑦 = 2𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3, 𝑦 = 0, −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 
 
m) 𝑥 + 2𝑦1 = 2, 𝑦2 − 𝑥 = 1 , 2𝑥 + 𝑦3 = 7 
 
n) 𝑓(𝑥) = 𝑥3, 𝑥 = 0, 𝑔(𝑥) = 8 
 
o) 𝑓(𝑥) = 𝑥3, 𝑔(𝑥) = 2𝑥, ℎ(𝑥) = 𝑥 
 
p) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1, 𝑔(𝑥) = −𝑥2 + 9 
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q) 𝑦1 = 2
𝑥 , 𝑦2 = 2
−𝑥, 𝑥 = −2, 𝑥 = 2, 𝑦 = 0 
 
r) 𝑦1 = 2
𝑥 , 𝑦2 = 2
−𝑥, 𝑦3 = 4 
 
s) 𝑓(𝑥) =
2
𝑥
− 1, 𝑦 = 0, 
1
2
≤ 𝑥 ≤ 4 
 
RESPUESTAS: 
1) a) 45 b) 
20
3
 c) 1 d) -1+𝑙𝑛2 e) 
𝜋
4
 f) 0,24 g) 3 h) 0,5 
i) 0,5 j) 0,5 k) 
7
3
 l) 
5
16
 m) 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
√𝑎
𝑎
 n) 18 
2
15
o) 
2
3
 
p) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑒 −
𝜋
4
 q) 1 r) 1 s) 1 
 
 2) a) 9 b) 4
1
4
 c) 
1
6
 d) 15 e) 37
1
3
 f) 104 g) 5/6 h) 19,5 i) 2 
 j) 
2
3
√2 k) 8 l)
3
2
 m) 6 n) 12 o)
3
2
 p)
64
3
 
 q) 2,16 r) 7,4 s) 1,88 
 
 
6. Material complementario: 
En este ítem encontraran ejercicios resueltos y links para profundizar sobre el tema. 
1) Calcular el Área encerrada por debajo de la función: ( ) ( )4xLnxxf = hasta el eje X y 
dentro del intervalo  e;1 . 
Resolución: 
Primero debemos obtener una gráfica de ( ) ( )4xLnxxf = , aunque más no sea aproximada y 
por lo menos dentro del intervalo  e;1 . Para ello utilizamos los conocimientos de Estudio 
de Funciones, ya adquiridos. 
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29 
 
La grafica de la función es: 
 
Agregamos al gráfico, la región cuya área se pide calcular: 
 
 
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La función ( ) ( )4xLnxxf = es mayor o igual a 0 en el intervalo  e;1 , en consecuencia el 
cálculo del área la podremos hacer utilizando la propiedad 2: 
dxxLnxA
e
 = 1
4
 
Primero es necesario obtener una primitiva de la función: ( ) 4xLnxxf = . Usamos el método 
de integración por partes. 
Llamamos: 4xLnu = . Entonces: dxx
x
du 3
4
4
1
= . Es decir: dx
x
du
4
= 
Llamamos: dxxdv = . Entonces: 
2
2x
v = 
Sustituyendo en la fórmula del método:  −= duvvudvu , Tenemos 
dx
x
x
xLn
x
dxxLnx  −=
4
22
2
4
2
4 
dxxxLn
x
dxxLnx  −= 242
2
4 
CxxLnxdxxLnx +−=
224 2 
( ) CxLnxdxxLnx +−= 12
24 
Finalmente, elegimos la primitiva con 𝐶 = 0 y aplicamosla Regla de Barrow 
( )
e
xLnxdxxLnx
1
24 12 −= 
( ) ( )( )  ( ) ( )( ) 112112 224 −−−= LneLnedxxLnx 
( )   10211224 −−−= edxxLnx 
124 += edxxLnx 
Es decir: ( ) ..12 aueA += 
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31 
 
En particular te recomendamos los siguientes links 
➢ Integral definida: concepto 
− https://www.youtube.com/watch?v=XqnqEuHl-GM 
 
➢ Integral definida: ejemplos 
− https://www.youtube.com/watch?v=K15rvmw2WwI 
− https://www.youtube.com/watch?v=t5lm4pRUk1A 
− https://www.youtube.com/watch?v=mb3GhfFfo_0 
− https://www.youtube.com/watch?v=hFGRELe3hrw 
− https://www.youtube.com/watch?v=KeSpySemRvI 
− https://www.youtube.com/watch?v=Q5Vzr76ch8Y&t=93s 
 
➢ Integral definida: Cálculo de áreas 
− https://www.youtube.com/watch?v=sDDosuOX-
08&list=PLJFDELHMHVjmw5azIupLVG5qi2FArpTMg&index=2 
− https://www.youtube.com/watch?v=6XbEumR4cDI&list=PLJFDELHMHVjmw5azIup
LVG5qi2FArpTMg&index=3 
− https://www.youtube.com/watch?v=gjy_Xm1YcDs&list=PLJFDELHMHVjmw5azIupL
VG5qi2FArpTMg&index=4 
− https://www.youtube.com/watch?v=GRWHL6JeLCg&list=PLJFDELHMHVjmw5azIup
LVG5qi2FArpTMg&index=6 
 
https://www.youtube.com/watch?v=XqnqEuHl-GM
https://www.youtube.com/watch?v=K15rvmw2WwI
https://www.youtube.com/watch?v=t5lm4pRUk1A
https://www.youtube.com/watch?v=mb3GhfFfo_0
https://www.youtube.com/watch?v=hFGRELe3hrw
https://www.youtube.com/watch?v=KeSpySemRvI
https://www.youtube.com/watch?v=Q5Vzr76ch8Y&t=93s
https://www.youtube.com/watch?v=sDDosuOX-08&list=PLJFDELHMHVjmw5azIupLVG5qi2FArpTMg&index=2
https://www.youtube.com/watch?v=sDDosuOX-08&list=PLJFDELHMHVjmw5azIupLVG5qi2FArpTMg&index=2
https://www.youtube.com/watch?v=6XbEumR4cDI&list=PLJFDELHMHVjmw5azIupLVG5qi2FArpTMg&index=3
https://www.youtube.com/watch?v=6XbEumR4cDI&list=PLJFDELHMHVjmw5azIupLVG5qi2FArpTMg&index=3
https://www.youtube.com/watch?v=gjy_Xm1YcDs&list=PLJFDELHMHVjmw5azIupLVG5qi2FArpTMg&index=4
https://www.youtube.com/watch?v=gjy_Xm1YcDs&list=PLJFDELHMHVjmw5azIupLVG5qi2FArpTMg&index=4
https://www.youtube.com/watch?v=GRWHL6JeLCg&list=PLJFDELHMHVjmw5azIupLVG5qi2FArpTMg&index=6
https://www.youtube.com/watch?v=GRWHL6JeLCg&list=PLJFDELHMHVjmw5azIupLVG5qi2FArpTMg&index=6