Apuntes_Fisica2_Arquitectura_18_19_1Ed

Vista previa del material en texto

Apuntes de FÍSICA 2
(grado en Estudios en Arquitectura)
Volumen 2 de la serie:
MANUALES DE FISICA GENERAL
por
B. VILLACAMPA & A. BADIA
Departamento de Física de la Materia Condensada,
Universidad de Zaragoza (España)
Imagen de portada
Grado en Estudios en Arquitectura: Física 2
Colección de Manuales de Física General
Vol. 2
Esta colección recoge una serie de textos de Física General
desarrollados como material de apoyo para nuestros alumnos
de varias titulaciones científico-técnicas en la Universidad de
Zaragoza.
Apuntes de la asignatura Física 2
Primera edición
Zaragoza, 2019
Autores:
Belén Villacampa Naverac y Antonio Badía Majós
VILLACAMPA NAVERAC, M Belén & BADÍA MAJÓS, Antonio
“Apuntes Física 2’
Primera edición Zaragoza, 2019
Este trabajo está licenciado bajo Creative Commons Attribution-
NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.
El documento electrónico y las condiciones de uso pueden obtenerse en
http://personal.unizar.es/bvillaca/docencia/libros_docentes.html
Acerca de los autores
http://personal.unizar.es/bvillaca/index.html
http://personal.unizar.es/anabadia/index.html
© 2019, M. Belén Villacampa Naverac
© 2019, Antonio Badía Majós
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
Índice
Prólogo xiii
I Calor y temperatura. Termodinámica 1
Introducción 3
1. Calor y Temperatura 5
1.1. Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Temperatura y equilibrio térmico . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Medida de temperatura y escalas de temperatura . . . 6
1.1.3. Expansión térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4. Esfuerzo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1. Intercambios de calor. Capacidad calorífica y calor es-
pecífico. Calor latente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Mecanismos de transferencia de calor . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1. Transferencia de calor por conducción . . . . . . . . . 12
1.3.2. Transferencia de calor por convección . . . . . . . . . 15
1.3.3. Transferencia de calor por radiación . . . . . . . . . . 16
2. Principios de termodinámica 19
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1. Representación de los estados y procesos termodinámicos 20
2.2. Gas ideal. Ecuación de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1. Energía de un gas ideal. Capacidades caloríficas. . . . 21
2.3. Primer principio de la termodinámica . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.1. Procesos a volumen constante o isocoros . . . . . . . . 24
2.3.2. Procesos a presión constante o isobaros . . . . . . . . 25
2.3.3. Procesos a temperatura constante o isotermos . . . . . 25
2.3.4. Procesos adiabáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4. Segundo principio de la termodinámica. Máquinas térmicas . 27
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
x ÍNDICE
Conclusiones I 33
II Electrostática 35
Introducción 37
3. Campo electrostático 39
3.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2. Campo electrostático. Líneas de campo . . . . . . . . . . . . 41
3.3. Campo creado por distribuciones de carga. Principio de su-
perposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.1. Distribuciones de carga continua . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.2. Ejemplos de cálculo de ~E por superposición. . . . . . . . 47
4. Teorema de Gauss 53
4.1. Flujo del campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1.1. Vector superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1.2. Flujo del campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3. Cálculo del campo eléctrico aplicando el Teorema de Gauss . 58
4.3.1. Esfera de radio a cargada uniformemente con densidad
volúmica de carga ρo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.2. Cilindro de radio a y longitud infinita, uniformemente
cargado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3.3. Lámina plana infinita cargada con densidad σ . . . . . . 62
5. Potencial electrostático 65
5.1. Definición de potencial electrostático . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2. Ejemplos de cálculo del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2.1. Mediante el principio de superposición . . . . . . . . . . 68
5.2.2. Cálculo del potencial V a partir del campo ~E . . . . . . 69
5.3. Superficies equipotenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4. Relación entre ~E y V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4.1. Gradiente del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4.2. Cálculo de ~E a partir del potencial . . . . . . . . . . . . 72
5.5. Energía electrostática de una distribución . . . . . . . . . . . 73
5.5.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6. Electrostática en materiales conductores 77
6.1. Condiciones de equilibrio electrostático . . . . . . . . . . . . 77
6.1.1. Ejemplo: Campo electrostático y potencial en presencia
de una esfera conductora. . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
ÍNDICE xi
6.1.2. Ejemplo: Conductores con cavidades . . . . . . . . . . . 80
6.2. Apantallamiento y conexión a tierra . . . . . . . . . . . . . . 82
6.2.1. Apantallamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.2.2. Conductor conectado a tierra . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.3. Capacidad. Concepto de condensador . . . . . . . . . . . . . 84
6.4. Densidad de energía electrostática . . . . . . . . . . . . . . . 88
7. Electrostática en materiales dieléctricos 91
7.1. Descripción básica de un dieléctrico . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2. Condensadores con dieléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Conclusiones II 97
III Corriente eléctrica 99
Introducción 101
8. Corriente eléctrica. Ley de Ohm 103
8.1. Corriente y densidad de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.2. Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.3. Ley de Ohm. Resistencia. Resistividad . . . . . . . . . . . . . 106
8.3.1. Forma microscópica de la Ley de Ohm . . . . . . . . . 108
8.4. Potencia disipada. Calor Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.5. Deducción de la ley de Ohm. Modelo microscópico . . . . . . 111
9. Introducción
a la teoría de circuitos 115
9.1. Generadores de tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9.1.1. Fuerza electromotriz. Generadores reales. . . . . . . . . 117
9.2. Potencia en un circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9.3. Leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9.4. Transitorios en circuitos RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9.4.1. Procesos de carga y descarga en circuitos RC . . . . . . 122
Conclusiones III 167
IV Ondas 127
Introducción 129
10. Naturaleza de las ondas 131
10.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
xii Contents
10.2. Descripción matemática de una onda . . . . . . . . . . . . . . 132
10.2.1. Ecuación diferencial de ondas. Velocidad de onda . . . 133
10.3. Ondas armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
10.4. Energía transmitida por las ondas armónicas . . . . . . . . . 136
10.5. Ondas en dos y tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.6. Fenómenos de superposición de ondas . . . . . . . . . . . . . 143
10.6.1. Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.6.2. Superposición de ondas coherentes: interferencias . . . . 148
10.6.3. Batidos: superposición de ondas de frecuencias ligera-
mente diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
11. Ondas sonoras. Intensidad del sonido. Tono y timbre.155
11.1. Naturaleza del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
11.2. Características del sonido: intensidad, tono y timbre . . . . . 158
11.3. Interferencia de ondas sonoras. Ejemplo. . . . . . . . . . . . . 161
11.4. Absorción y atenuación del sonido . . . . . . . . . . . . . . . 162
Conclusiones III 167
V Naturaleza y propagación de la luz. Óptica. 169
Introducción 171
12. Naturaleza y propagación de la luz. Óptica 173
12.1. Naturaleza de la luz. Ondas electromagnéticas. . . . . . . . . 173
12.2. Principio de Huygens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
12.3. Óptica Geométrica. Reflexión y refracción. . . . . . . . . . . . 175
12.3.1. Leyes de reflexión y refracción . . . . . . . . . . . . . . . 177
12.3.2. Reflexión interna total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
12.4. Índice de refracción y aspectos ondulatorios. Dispersión. . . . 179
12.5. Polarización de la luz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
12.6. Interferencia de ondas luminosas. . . . . . . . . . . . . . . . . 185
VI Addenda 187
Glosario 189
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
Prólogo
Al igual que los apuntes de la asignatura Física 1, este manual forma parte
de una serie de textos concebidos como una herramienta de apoyo para los
estudiantes de las asignaturas de Física de primer curso de universidad impar-
tidas por los autores, haciéndose hincapié en aquellos capítulos y apartados que
recojan los aspectos más relevantes para la formación de un futuro arquitecto.
El texto se ha estructurado en 4 partes, cada una con varios capítulos,
dedicados al estudio (a nivel introductorio) de termodinámica, electricidad
(electrostática y corriente eléctrica), movimiento ondulatorio y óptica. Al final
se ha incluido igualmente un anexo que contiene un glosario con la notación
utilizada en el manual así como el alfabeto griego, con el que el lector deberá
familiarizarse.
El trabajo personal de los alumnos es una necesidad incuestionable. A lo
largo del texto se encontrarán algunos ejercicios propuestos y sugerencias; así,
cuando en un apartado se lee que un resultado dado “se puede comprobar”,
es muy recomendable intentar completar el desarrollo. Dichas comprobaciones
deben considerarse como ejercicios adicionales a los problemas propiamente di-
chos que se proponen en los distintos temas. Los problemas ayudan a asimilar
los conocimientos previamente adquiridos: es indispensable asimilar los con-
ceptos físicos expuestos en la parte teórica para desenvolverse en la realización
de problemas prácticos. Las tutorías con el profesor son un gran aliado para
aclarar las dudas que puedar surgir al revisar la materia explicada en clase.
Debe destacarse que, a pesar de que este manual pretende ser autoconsis-
tente, en el sentido de que los contenidos se van apoyando en los que ya han
sido introducidos, la idea básica en la redacción ha sido recopilar las notas co-
rrespondientes al curso para el que se ha destinado. Por tanto, no se trata tanto
de material de estudio autodidacta como de material de apoyo para facilitar el
seguimiento de la asignatura.
Los autores agradecen los comentarios y aportaciones de A. Fiasconaro en
la revisión de esta edición.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
xiv Prólogo
Se desea hacer notar que a lo largo del texto se ha utilizado el género
masculino para aligerar la lectura. Debe sobreentenderse “lector o lectora”,
“alumno o alumna” cada vez que se lea “lector’ ’, “alumno”.
Siendo conscientes de que un texto de estas características nunca puede
darse por acabado, serán por supuesto bienvenidos los comentarios que ayuden
a mejorarlo y corregir cualquier error.
Febrero 2019, Zaragoza - España.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
Parte I
Calor y temperatura.
Termodinámica
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
Introducción
No es raro que, en el lenguaje común, se usen indistintamente los términos
temperatura y calor; sin embargo, en física tienen un significado muy distin-
to. En el primer capítulo de este bloque veremos cómo definir la temperatura
y cómo los cambios de temperatura afectan las dimensiones de los objetos. Así
mismo, se verá cómo el calor es una de las formas en que se puede transfe-
rir energía entre dos sistemas, causada por la diferencia de temperatura entre
ambos, y estudiaremos diferentes mecanismos de transferencia de calor.
Una vez aclarados esos conceptos básicos, en el segundo capítulo nos centra-
remos en la termodinámica, que estudia las transformaciones de energía donde
intervienen calor, trabajo mecánico y otros aspectos de la energía, así como la
relación entre estas transformaciones y las propiedades de la materia. La ter-
modinámica es una parte fundamental y sus aplicaciones aparecen en sistemas
de los más variado, desde los motores y refrigeradores de uso cotidiano hasta la
estructura de las estrellas, pasando por procesos bioquímicos fundamentales.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
Capítulo 1
Calor y Temperatura
En este bloque de la asignatura nos vamos a ocupar en general de los
intercambios de energía entre sistemas físicos macroscópicos. Estos están for-
mados por muchas partículas y no pueden estudiarse a partir del análisis del
comportamiento individual de cada una de ellas. Comenzaremos en este pri-
mer capítulo por profundizar en los conceptos decalor y temperatura, para
continuar en el siguiente con el estudio de las leyes de la termodinámica.
1.1. Temperatura
Aunque relacionados, los conceptos de calor y temperatura no deben con-
fundirse; digamos de momento que el calor, Q, es una de las formas en que un
sistema puede intercambiar energía con el exterior. En cuanto a la tempera-
tura, aunque más adelante veremos que está directamente relacionada con la
energía interna de los sistemas, nos centraremos de momento en su relación con
las “sensaciones” de calor y frío, diciendo que nos proporciona una descripción
cuantitativa de “como de caliente” está un sistema.
1.1.1. Temperatura y equilibrio térmico
Cuando dos sistemas, A y B, inicialmente a distinta temperatura, entran
en contacto, la temperatura más alta tiende a descender y la baja a subir, en
un proceso que finaliza cuando se igualan, diciendo entonces que los sistemas
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
6 Medida de temperatura y escalas de temperatura
han alcanzado el equilibrio térmico; así, diremos que dos sistemas están en
equilibrio térmico si y solo si están a la misma temperatura.
La considerada como Ley cero de la termodinámica postula que si dos cuer-
pos A y B, separados entre sí, están en equilibrio térmico con un tercero, C,
también lo están entre sí. Esto hace posible que se pueda medir la temperatura
de un cuerpo aprovechando su situación de equilibrio térmico con otros. 1
1.1.2. Medida de temperatura y escalas de temperatura
Los diferentes sistemas de medición de la temperatura se basan en las va-
riaciones de determinadas magnitudes físicas con la temperatura. Por ejemplo,
los tradicionales termómetros de mercurio se basan en la dilatación térmica
de este metal; hay otros sistemas basados en la dependencia de la resistencia
eléctrica o de alguna propiedad óptica del material con la temperatura.
Termómetro para uso personal, 
flexible, basado en cristales 
líquidos.	
Termómetro para uso alimentario, que 
se basa en la variación de la resistencia 
eléctrica con la temperatura.	
Figura 1.1: Ejemplos de medidores de temperatura.
En el termometro de la derecha de la figura 1.1 se muestra la temperatura
de la persona, pudiéndose leer 38 oC y 100.4 oF. Esas medidas corresponden a
1Por ejemplo, cuando medimos nuestra temperatura corporal con un termómetro de mer-
curio, lo que se determina realmente es la temperatura del mercurio, que está en contacto
con el vidrio que a su vez está en contacto con nuestro cuerpo.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
Expansión térmica 7
dos escalas termométricas distintas: la escala Celsius (en grados centigrados) y
la escala Farenheit. Ambas se definen en función de dos puntos de referencia,
la fusión del hielo y la ebullición del agua. La escala Celsius asigna el 0 a la
temperatura de fusión y el 100 a la de ebullición, y establece 100 divisiones
(grados centrigados o oC) entre esos dos valores. 1
Por otra parte, es evidente el interés de poder definir una escala de tempe-
ratura independiente de las propiedades de una sustancia determinada (como
el agua en el caso anterior). Ese requisito lo satisface la escala absoluta o escala
Kelvin, basada en la dependencia de la presión (p) de los gases con la tempe-
ratura en procesos en que se mantiene el volumen (V) constante. 2 El cero de
esta escala se sitúa en la temperatura más baja que puede alcanzarse: 0 K=
-273,15 oC y las divisiones son iguales que en la escala Celsius, de forma que
para obtener el valor de la temperatura absoluta T (K) =T (oC)+273,15.
1.1.3. Expansión térmica
En general, los materiales se expanden al aumentar la temperatura. Experi-
mentalmente se ha comprobado que la variación de longitud ∆L experimentada
por un objeto de longitud L0 es proporcional a la variación de temperatura
∆T así como a la longitud inicial. Se tiene por lo tanto:
∆L = α∆T L0
donde la constante de proporcionalidad α es el coeficiente de expansión térmica
lineal, que se expresa en K−1. Teniendo eso en cuenta, la longitud del objeto
en función de la temperatura puede expresarse como:
L(T ) = L0(1 + α∆T ) (1.1)
Realmente, cuando se tiene un objeto tridimensional todas sus dimensiones
(y por tanto su volumen) cambian con las variaciones de temperatura. 3 Si se
tiene un cuerpo de volumen V0 como el de la figura 1.2, la variación de volumen
que experimentará será:
∆V = β∆T V0 (1.2)
1Aunque no se vaya a utilizar en este curso, no está de más recordar que la escala Farenheit
asigna 32ºF a la temperatura de fusión del hielo y 212 ºF a la de ebullición del agua. Por
tanto, la relación entre la temperatura en oF y en oC es: T (oC)= (T (oF) -32)x100/180
2Al disminuir la temperatura de un gas se observa una disminución lineal de la presión.
Extrapolando para diferentes gases las rectas correspondientes (p frente a T), se vio que el
punto de corte con el eje horizontal (correspondiente al valor nulo de presión absoluta p=0)
coincidía: ese valor de temperatura es el 0 absoluto o 0 K.
3Nótese que cuando se tiene un objeto con un agujero y se aumenta su temperatura,
aumenta el tamaño del agujero.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
8 Expansión térmica.
T	
T+ΔT	
L0	

 V0	
L0+ΔL	
V	
ΔL=αL0ΔT	
ΔV=βV0ΔT	
	
	
L0	
L0+ΔL	
ΔL	
Figura 1.2: Expansión térmica de objetos lineales (unidimensionales) y tridimensio-
nales. Nótese que no está representado a escala, siendo ∆L muy pequeño comparado
con L0.
siendo β el coeficiente de expansión térmica de volumen.
Material α(K−1) β(K−1)
Vidrio 0,4-0,9×10−5 1,2-2,7 ×10−5
Latón 2,0×10−5 6,0 ×10−5
Cuarzo4 0,04 ×10−5 -
Glicerina - 49 ×10−5
Cuadro 1.1: Valores de los coeficientes de expansión térmica lineal y de volumen de
algunos materiales.
Para ver la relación entre α y β vamos a pensar en un cubo, de lado
L0 y volumen V0 = L30 a la temperatura T, como el de la figura 1.2. Si su
temperatura varía en un ∆T , su volumen pasará a ser V = L3 = (L0 + ∆L)3.
Desarrollando esta expresión, es fácil ver que la variación de volumen ∆V
puede expresarse como:2
∆V = 3L2∆L = 3L2αL0∆T (1.3)
donde se ha sustituido ∆L por su expresión. Dado que las variaciones de
2Despreciando los términos que contengan (∆L)2 y (∆L)3 por ser ∆L una cantidad
pequeña.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
Esfuerzo térmico 9
longitud son pequeñas, L y L0 no son muy diferentes, por lo que se puede
escribir:
∆V = 3αL30∆T = 3αV0∆T (1.4)
y de la comparación con 1.2 se tiene β = 3α. En la tabla anterior se dan
algunos valores que ponen de manifiesto esta relación.
Se ha dicho al principio del apartado que en general los materiales se ex-
panden al aumentar la temperatura. Hay una excepción muy importante: el
agua, que cuando disminuye su temperatura por debajo de 4 oC hasta 0 oC se
expande (el hielo es menos denso que el agua).
1.1.4. Esfuerzo térmico
Se definen como esfuerzos térmicos (de tracción o compresión) aquellos a
los que se ven sometidos los materiales cuando se impide que se expandan o
contraigan libremente al varíar su temperatura. Imaginemos una barra firme-
mente sujeta, de forma que sus extremos están totalmentefijos. Al aumentar
(disminuir) su temperatura, tiende a aumentar (disminuir) su longitud. Al no
estar permitido el cambio de tamaño, la barra queda sometida a un esfuerzo
de compresión (tracción). Para evaluar el esfuerzo térmico cuando la tempera-
tura de la barra varía ∆T , vamos a considerar en primer lugar la deformación
relativa que experimentaría si estuviera libre, teniendo en cuenta su coeficiente
de expansión lineal α.
(
∆L
L0
)térmico = α∆T (1.5)
Por otra parte vamos a expresar, de acuerdo con la teoría de la elasticidad
estudiada, cual sería el esfuerzo de tracción o compresión, τ, necesario para
producir una deformación de esa magnitud, teniendo en cuenta que el módulo
de Young del material es Y:
F
A
= τtensión = Y
∆L
L0
(1.6)
y por tanto
(
∆L
L0
)tensión =
τ
Y
(1.7)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
10 Intercambios de calor. Capacidad calorífica y calor específico.
Como la barra no puede realmente variar de longitud, las deformaciones
dadas por las expresiones 1.5 y 1.7 deben compensarse, de forma que:
(
∆L
L0
)térmico + (
∆L
L0
)tensión = 0⇒ α∆T +
τ
Y
= 0 (1.8)
Y por tanto
τtérmico = −αY∆T (1.9)
Si ∆T es positivo se tendrá un esfuerzo de compresión mientras que si
es negativo el esfuerzo será de tracción. Se propone como ejercicio evaluar el
esfuerzo sobre una barra de latón de 1 m, encastrada entre dos paredes fijas,
cuando su temperatura aumenta 100 ºC.
1.2. Calor
Ya se ha dicho que el calor es una forma de intercambio de energía. Para
medirlo es necesario servirse de algún proceso que refleje esa cantidad de energía
intercambiada. Históricamente el calor mereció un tratamiento especial, incluso
se consideraron unidades específicas, distintas de las utilizadas para la energía
mecánica. Así, la caloría se definió como la cantidad de calor necesaria para
elevar en un grado (de 14,5 ºC a 15,5 ºC, más concretamente) la temperatura
de 1 gramo de agua. No obstante, es importante recordar que estamos hablando
de energía, y que por tanto el calor puede expresarse indistintamente en calorías
o en cualquier otra unidad de energía, siendo la equivalencia: 1 julio= 1 J=
0,239 cal.
1.2.1. Intercambios de calor. Capacidad calorífica y calor
específico. Calor latente
La variación de temperatura que experimenta un sistema cuando se le apor-
ta (o cuando cede) una cierta cantidad de calor, Q, depende de su capacidad
calorífica, C. La capacidad calorífica se define como el calor intercambiado por
unidad de cambio de temperatura y depende de la naturaleza y de la cantidad
de la sustancia que constituye el sistema.
C =
Q
∆T
⇒ Q = C∆T (1.10)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
Intercambios de calor. Capacidad calorífica y calor específico. 11
Es habitual utilizar una magnitud independiente de la cantidad de sustancia
para expresar la relación entre Q y la variación de temperatura. Así, se habla
de calor específico másico, cm, que se mide en cal.g−1.K−1 o, en el SI, en
J.kg−1.K−1. También suele utilizarse el calor específico molar, cn, expresado
en cal.mol−1.K−1 o, en el SI, en J.mol−1.K−1. De acuerdo con esto, la relación
anterior se puede expresar como:
Q = mcm∆T = ncn∆T (1.11)
donde m y n representan la masa y el número de moles de la sustancia
respectivamente.3 Cuando se evalúa el calor intercambiado en procesos que
afectan a gases utilizaremos, con carácter general, el calor específico molar
(y no se utilizarán los superíndices para simplificar la notación). Para esos
sistemas, dependiendo de las condiciones en que se realiza el intercambio de
calor, hablaremos de calor específico a volumen constante cnV = cV o de calor
específico a presión constante cnp = cp, siendo este mayor que el primero. Como
se verá en el siguiente tema, el cociente cp/cV es el denominado coeficiente
adiabático de los gases, γ.
Conviene incidir en un aspecto relacionado con la expresión 1.11, válida solo
si el calor específico es independiente de la temperatura en el rango de interés,
determinado por el ∆T experimentado por la sustancia. En caso contrario, las
expresiones correctas serían:
dQ = mcm(T )dT = ncn(T )dT ⇒ Q = m
∫
cm(T )dT = n
∫
cn(T )dT (1.12)
siendo c(T ) el calor específico dependiente de T.
Es importante recordar en este punto que no siempre un intercambio de calor
se traduce en una variación de temperatura de los sistemas involucrados. Un
ejemplo bien conocido lo constituyen los cambios de estado: así, la transición
experimentada por el agua de su fase líquida a su fase vapor se realiza a la
temperatura de 100 oC. Igualmente, la fusión del hielo para dar agua líquida
tiene lugar a 0 oC. Si se tiene un recipiente con agua+hielo al que aportamos
calor, se mantendrá a 0o mientras exista hielo por fundir. En este contexto se
define el calor latente de una sustancia, denotado como L = cL, como el calor
que hay que aportar a un sistema (o que es cedido por el mismo) para que la
unidad de masa experimente el cambio de estado. Así, el calor involucrado en
3El mol es la cantidad de materia que contiene un número de Avogadro NA = 6, 022×1023
de partículas de la sustancia.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
12 Transferencia de calor por conducción
el cambio de estado de una cantidad de materia de masa m será: Q = mL.
Evidentemente, L depende de la transición en concreto y así se tienen, por
ejemplo, Lfusión = 3, 34× 105 J/kg o Lvaporización = 2, 26× 106 J/kg.
1.3. Mecanismos de transferencia de calor
El calor intercambiado entre dos sistemas puede transferirse mediante di-
versos mecanismos. Algunos de ellos requieren de la existencia de un medio
material por el que “fluye” la energía. Dentro de estos, la transmisión de calor
puede conllevar o no movimiento de materia. Pero la energía también puede
transmitirse por el vacío. En general se consideran tres mecanismos fundamen-
tales de transmisión de calor, que describiremos a continuación: conducción,
convección y radiación. Mientras que en los dos primeros el calor fluye por un
medio material, la radiación (ondas electromagnéticas) se propaga por el vacío.
1.3.1. Transferencia de calor por conducción
Dado un sistema en el que existen zonas a distintas temperaturas, se pro-
duce un transporte de energía en el sentido que va desde la zona a mayor
temperatura a la de menor. Ese flujo de energía está relacionado con la propa-
gación de la agitación molecular (en gases o líquidos) o de las vibraciones de
la red cristalina en un sólido. En el caso de los metales, los electrones juegan
un papel fundamental en la conducción térmica.
En la figura 1.3 a) se muestra una lámina, de sección A y grosor ∆X,
que separa dos zonas a distinta temperatura, Ti y Tf . El calor transmitido
por unidad de tiempo a través de la lámina, también denominado corriente
de calor H (dQ/dt = H), será proporcional a la sección y a la diferencia
de temperatura por unidad de longitud (dT/dx=gradiente de temperatura).
La constante de proporcionalidad es un coeficiente que depende del material:
se trata de la conductividad térmica κ, que en el sistema internacional se
expresa en W.m−1.K−1. La expresión de corriente de calor en función de los
parámetros mencionados se conoce como la ley de Fourier:
dQ
dt
= H = −κAdT
dx
⇒ 4H = −κA∆T
∆X
(1.13)
4Cuando la temperatura varía linealmente a lo largo del espesor del elemento es posible
sustituir el gradientedT
dx
por ∆T
∆X
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
Transferencia de calor por conducción 13
Ti	
   Tf	
  
ΔX	
  
A	
  
dQ/dt	
  
κ
a)	
   b)	
  
Tf	
  
Ti	
  
x	
  
dQ/dt	
  
T(x)	
  
Figura 1.3: a) Representación esquemática de la conducción de calor a través de un
elemento simple (lámina planoparalela), que separa dos zonas a temperaturas Ti y
Tf . b)Esquema de la variación de temperatura a lo largo del espesor de una lámina.
Siendo ∆T = Tf − Ti. El signo menos hace referencia a que el flujo de energía
lleva el sentido en que decrece la temperatura.
A la corriente de calor por unidad de superficie se la denomina densidad de
corriente de calor:
j =
1
A
dQ
dt
= −κ ∆T
∆X
(1.14)
Para dar una idea del orden de magnitud de la conductividad, indicamos a
continuación la de algunos materiales, ordenados de mayor (buenos conductores
térmicos) a menor (aislantes térmicos):
Material κ(W.m−1.K−1)
Aluminio 208
Vidrio 0,6
Madera 0,13
Aire 0,024
Espuma de poliuretano 0,02
Cuadro 1.2: Valores de conductividad térmica.
A partir de la expresión de la densidad de corriente de calor 1.14, es in-
mediato determinar cuál será la temperatura en un punto del interior de la
lámina, a una distancia x del borde que está a Ti (ver figura 1.3 b):
T (x) = T i −
j
κ
x (1.15)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
14 Transferencia de calor por conducción
Para caracterizar el comportamiento como aislante de la lámina es habitual
utilizar el valor de su resistencia térmica, definida como el cociente entre su
espesor y la conductividad térmica del material: RT = ∆X/κ. Las unidades en
que se expresa la resistencia térmica son W−1.m2.K. La ley de Fourier puede
expresarte por tanto como:
dQ
dt
= −A∆T
RT
(1.16)
Pensando en problemas “reales”, la situación de la figura 1.3 a) correspon-
de a una idealización simple. Rara vez nos vamos a encontrar con elementos
aislantes absolutamente homogéneos, caracterizados por un único valor de con-
ductividad. En la figura 1.4 a) se muestra un esquema de una situación más
realista, en la que la transferencia de calor se realiza a través de diversos ele-
mentos, cada uno de los cuales tiene sus propias dimensiones, conductividad,
etc. Pensad por ejemplo en un recinto, a temperatura Tint, separado por pa-
redes, ventanas, puertas de madera..., del exterior que está a una temperatura
Text; el calor que fluye entre el interior del recinto y el exterior se calcularía
como la suma del que se transmite por las paredes, por las ventanas, por la
puerta...
(
dQ
dt
)Total = (
dQ
dt
)1 + (
dQ
dt
)2 + ... (1.17)
dQ/dt	
  
Ti	
   Tf	
  
ΔX1	
  
κ1
A	
  
κ2
κΝ
ΔX2	
  …	
  ΔXN	
  
(dQ/dt)1	
  
(dQ/dt)2	
  
Ti	
   Tf	
  
A2	
  
κ2
ΔX2	
  
A1	
  
κ1
ΔX1	
  
+	
  
a)	
   b)	
  
Figura 1.4: a) Representación esquemática de la conducción de calor cuando se tie-
ne una asociación de elementos “en paralelo”. b) Representación esquemática de la
conducción de calor a través de una serie de láminas apiladas.
Otra situación que nos encontraremos habitualmente se corresponde al api-
lamiento de varias láminas, cada una de ellas similares a la vista en 1.3 a), y
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
Transferencia de calor por convección 15
cuyo esquema se muestra en la figura 1.4 b). En este caso se puede definir una
resistencia térmica total, característica del sistema “en serie”, igual a la suma
de la resistencia de cada una de las láminas:
dQ
dt
= −A ∆T
RtotalT
; RtotalT =
∑
RiT (1.18)
Por otra parte, a la hora de evaluar la energía transferida a través de cual-
quier elemento, hay que considerar algunos efectos adicionales. Uno de los más
importantes es el relacionado con las capas de aire en contacto con las superfi-
cies de los elementos, que tienen un efecto aislante. Son las denominadas capas
de “aire muerto”. En el caso de una pared vertical, por ejemplo, la resistencia
térmica de esas capas es de unos 0,7 W−1.m2.K.
1.3.2. Transferencia de calor por convección
En un proceso de convección la transferencia de calor se produce por mo-
vimiento de una masa de fluido de una región del espacio a otra. Puede distin-
guirse entre dos tipos de procesos:
Convección libre. El movimiento de materia se debe a diferencias de
densidad causadas por la expansión térmica (pensad por ejemplo en lo
que ocurre con el aire caliente, que asciende, pasando a ocupar su lugar
una masa de aire frio, que desciende)
Convección forzada. El fluido circula impulsado por un ventilador o una
bomba.
Los procesos de convección son en general complejos; nos fijaremos solo en
unos cuantos hechos experimentales:
La corriente de calor por convección es proporcional a la superfice de
contacto (típicamente entre un objeto a elevada temperatura y el flui-
do circundante; pensad por ejemplo en los llamados “radiadores” de los
sistemas tradicionales de calefacción, por los que circula agua caliente,
y cuya forma garantiza que la superficie de contacto con el medio sea
grande)
La viscosidad de los fluidos frena la convección natural cerca de una
superficie estacionaria. Ya hemos visto al hablar de conducción del efecto
aislante de las capas de aire “pegadas”, por ejemplo, a una pared. En la
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
16 Transferencia de calor por radiación
convección forzada esa capa es eliminada y aumenta la transferencia de
calor. Eso permite entender por qué se siente más frio en un día ventoso
que cuando el aire está en calma, siendo igual la temperatura.
La corriente de calor por conveción aumenta con la diferencia de tempe-
ratura entre la superficie y el fluido.
Sin entrar en más detalles, para evaluar la transferencia de calor por con-
vección se utiliza por el momento la ecuación:
dQ
dt
= −Ah(Ts − Tf ) (1.19)
donde h es el coeficiente de transferencia de calor por convección, A es
el valor del área de contacto con el fluido, Ts la temperatura de la superficie y
Tf la del fluido.5
1.3.3. Transferencia de calor por radiación
En este caso, la transferencia de calor se produce mediante la radiación
electromagnética (EM). Cuando nos acercamos a una brasa, o “sentimos” el
calor del sol, esa energía nos llega por radiación; aunque hubiera vacío entre
los objetos radiantes y nosotros, la recibiríamos. Es interesante hacer hincapié
en que no hay que confundir la luz reflejada por un objeto con la radiación que
ese mismo objeto pueda emitir. Cuando la radiación incide sobre un objeto
opaco, parte se refleja. Eso es lo que permite que lo veamos, debido a que
percibimos la luz ambiental que se refleja en su superficie. Los objetos claros
reflejan la mayor parte de la radiación y los oscuros absorben la mayor parte.
Imaginemos un cuerpo que absorbiera toda la radiación que recibiera (y por
tanto que no reflejase nada). Un sistema de esas características recibe el nombre
de cuerpo negro y constituye un radiador ideal: aquel que absorbe toda la
energía y emite la radiación característica de la temperatura a la que está.
Es importante tener en cuenta que todos los cuerpos (no solo los cuerpos
negros) emiten radiación EM. A la temperatura a la que estánla mayoría
de los objetos que nos rodean (temperatura ambiente o unas pocas decenas de
grados por encima), la radiación emitida corresponde a la parte infrarroja (IR)
del espectro, y no lo vemos.6
5Es complicado evaluar h ya que depende de la geometría de la superficie, de las con-
diciones termodinámicas del fluido, etc.; en general puede variar de punto a punto de la
superficie. En los problemas que puedan plantearse en este curso, la utilización de valores
promedio para este coeficiente (tabulados) nos permitirá un tratamiento aproximado.
6Evidentemente hay excepciones, como son el filamento de una bombilla encendida o la
resistencia de un calefactor, por poner algún ejemplo cercano.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
Transferencia de calor por radiación 17
Ley	
  de	
  Wien:	
  λmaxT=	
  cte	
  
cte	
  =	
  2.9	
  x	
  10-­‐3	
  m.K	
  
	
  d
I/
dλ
 (W
/m
2 .n
m
)	
  
Figura 1.5: Representación de la intensidad radiada por un emisor a diferentes tempe-
raturas. Puede observarse el desplazamiento del máximo de la emisión hacia longitudes
de onda del rango visible al aumentar la temperatura del emisor.
Cuando la temperatura alcanza unos 600°C, aunque el máximo de radia-
ción corresponde al infrarrojo, una pequeña cantidad de radiación se emite
en la zona visible y el objeto se ve de color rojo. Si la temperatura sigue
subiendo, el máximo de radiación continúa desplazándose hacia menores lon-
gitudes de onda, emitiéndose más luz visible. Al llegar a los 1.000° C vemos
que la luz radiada es naranja. Si la temperatura alcanza los 2500 o 3000ºC
se tiene un objeto incandescente, que emite en todo el espectro pero con una
parte muy importante en al rango visible. Cuando aumenta la temperatura
del cuerpo radiante se tiene por tanto un desplazamiento del máximo de la
radiación emitida hacia longitudes de onda más pequeñas. Por otra parte, la
potencia radiada aumenta rápidamente con la temperatura, tal y como expre-
sa la Ley de Stefan−Boltzmann, que relaciona la potencia radiada por el
emisor con la temperatura absoluta elevada a la cuarta:
dQ
dt
= AeσT 4 (1.20)
En esa expresión:
- A es el área del cuerpo radiante y T la temperatura, expresada en K.
- e es la emisividad del objeto radiante, coeficiente numérico entre 0 y 1 que
representa el cociente entre al radiación emitida por el cuerpo y la que emiti-
ría una superficie igual de un radiante perfecto (cuerpo negro, con e=1)). La
emisividad depende del material, de su acabado (más o menos pulido), de la
temperatura, de la longitud de onda...
- σ es la constante de Stefan-Boltzmann, con un valor σ =5,67 x 10−8W.m−2.K−4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
18 Transferencia de calor por radiación
En una situación real, a la hora de calcular el flujo neto de energía debido
a este mecanismo, hay que tener en cuenta que los cuerpos emisores también
absorben energía de la que están emitiendo los objetos de su entorno, de modo
que para un radiador situado en un medio a temperatura T0, se tendrá:
(
dQ
dt
)neto = Aeσ(T
4 − T 40 ) (1.21)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
Capítulo 2
Principios de termodinámica
Tras haber revisado en el tema anterior los conceptos de calor y temperatu-
ra vamos a comenzar este, con la vista puesta en el estudio de los dos primeros
principios de la termodinámica. Comenzaremos por introducir algunos concep-
tos y presentar algunas definiciones.
2.1. Introducción
En este tema se van a estudiar los intercambios de energía de sistemas
termodinámicos. Un sistema termodinámico, formado por un número muy
elevado de partículas (pero que se tratan como “un todo”), se caracterizará
por una serie de propiedades macroscópicas que definirán el estado en que se
encuentra. Las magnitudes que se utilizan para describir esas propiedades son
las variables termodinámicas: (presión, p; volumen, V; temperatura, T).
Las funciones de estado se definen como combinaciones de las variables de
estado y parámetros del sistema. Reciben ese nombre porque su valor queda
determinado por el estado en que se encuentra el sistema, independientemente
de cómo ha llegado hasta él. Son funciones de estado la energía interna, U, la
entalpía, H o la entropía, S.
Dependiendo de la naturaleza del sistema, es posible establecer relaciones sen-
cillas entre las variables termodinámicas, que se expresan mediante las denomi-
nadas ecuaciones de estado, que caracterizan la situación de equilibrio del
sistema.
Un sistema termodinámico, inicialmente en un estado “i”, puede pasar a otro
estado final “f” mediante intercambios de energía con el exterior. Hablaremos
de procesos cuasiestáticos cuando la transformación del sistema desde su es-
tado inicial al final se realiza a través de una sucesión de estados intermedios
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
20 Representación de los estados y procesos termodinámicos
de equilibrio (en cada uno de los cuales es válida la ecuación de estado). Las
condiciones en que se realizan las cesiones y absorciones de energía determinan
el tipo de procesos termodinámicos a los que se ve sometido el gas, algunos
de los cuales estudiaremos con detalle en la sección 2.3.
2.1.1. Representación de los estados y procesos termodiná-
micos
Hemos visto que el estado de un sistema termodinámico se define mediante
los valores de las variables termodinámicas, que a su vez se relacionan por las
ecuaciones de estado. Es muy común utilizar gráficas (diagramas termodi-
námicos), para representar los estados del sistema y los procesos mediante
los que pasa de su estado inicial a otro. Existen distintos tipos de diagramas,
dependiendo de las variables o funciones elegidas para la representación, siendo
muy habituales los diagramas pV. En la figura 2.1 se muestran varios ejem-
plos, correspondientes a algunos de los procesos que estudiaremos más adelante.
Pensemos que cada punto representa un estado, mientras que las líneas corres-
ponden a procesos: se trazan a partir de la sucesión de puntos (=estados de
equilibrio) por los que pasa el gas entre dos situaciónes extremas. Así, en la
figura se muestran dos procesos a T constante o isotermos, otro a volumen
constante o isocoro y finalmente otro a presión constante o isobaro)
0,5	
0,7	
0,9	
1,1	
1,3	
1,5	
1,7	
1,9	
2,1	
2,3	
2,5	
0 5 10 15 20 25 30 35 40 
PR
ES
IÓ
N
	
  
	
  
VOLUMEN	
  
pV=cte	
  
pV=cte	
  
V=cte	
  
p=cte	
  
Figura 2.1: Diagrama pV donde se muestran difererentes tipos de procesos termodi-
námicos.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
2.2. Gas ideal. Ecuación de estado 21
Se denominan procesos cíclicos a los definidos por una serie de transforma-
ciones tras las que el gas vuelve al estado de partida. En un diagrama pV, un
proceso cíclico se identifica como una línea cerrada.
2.2. Gas ideal. Ecuación de estado
Los sistemas termodinámicos pueden obedecer a distintasecuaciones de es-
tado. No obstante, el comportamiento de la mayoría de los gases en condiciones
de baja presión y temperaturas no muy bajas, existiendo poca interacción en-
tre sus moléculas, se ajusta al modelo de gas ideal. Vamos a centrarnos por
el momento en los gases ideales, cuya ecuación característica es:
pV = nRT (2.1)
que expresa la relación existente entre las variables p, V y T, y donde n repre-
senta el número de moles de gas y R es la constante de los gases (=número de
Avogadro por la constante de Boltzmann):
R = NAkB = 0, 08206 atm.l.mol
−1.K−1 = 8, 3145 J.mol−1.K−1 (2.2)
2.2.1. Energía de un gas ideal. Capacidades caloríficas.
Se ha visto en el tema anterior que el calor es energía que se transfiere de
un sistema a otro. Si se tiene un gas ideal en un estado de equilibrio, carac-
terizado por una cierta energía interna U1 , es posible modificar esa energía
aportando (o retirando) calor al (del) sistema. De acuerdo con la teoría ciné-
tica de los gases, la energía del gas viene determinada por su temperatura,
siendo la expresión que relaciona ambas magnitudes dependiente del número
de átomos por molécula de gas. Para un gas ideal monoatómico (con 1 átomo
por molécula), la energía es:
U = n
3
2
RT (2.3)
1La energía interna de un sistema sería la suma de las energías cinéticas de las partículas
respecto al CM más la energía potencial asociada a las interacciones entre esas partículas.
En general, la contribución de las interacciones entre partículas es importante en líquidos y
sólidos, no en gases.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
22 Energía de un gas ideal. Capacidades caloríficas.
siendo análoga la expresión para los gases diatómicos (dos átomos por molécula,
por ejemplo, el O2 o el N2), cambiando el factor 3/2 por 5/2.
También se ha visto que el calor cedido o absorbido por un sistema se
relacionaba con la variación de su temperatura mediante el calor específico.
dQ = ncn(T )dT 2 (2.4)
Si el calor específico c(T), que en general depende de la temperatura, es cons-
tante en el intervalo de temperatura considerado, integrando la expresión an-
terior se tiene:
Q = nc∆T (2.5)
Para un gas el valor de c va a depender de las condiciones en que se realizan
los intercambios de energía con el exterior. No es lo mismo considerar procesos
en los que el volumen de gas se mantiene constante que aquellos en los que no
varía la presión. En lo qeu sigue, vamos a evaluar cV , calor específico del gas
ideal correspondiente a procesos en que la absorción o cesión de calor se realiza
manteniendo el volumen constante.
Consideremos n moles de un gas ideal monoatómico, encerrado en un recipien-
te de volumen fijo. Cualquier aporte de calor al sistema se traducirá en un
aumento de su energía interna, de forma que:
dQ = dU = n
3
2
RdT (2.6)
A partir de esta expresión es inmediato obtener el valor de cV :
cV =
1
n
dQ
dT
=
1
n
dU
dT
=
3
2
R (2.7)
Análogamente, se tiene que el valor del calor específico a volumen constante
es cV=5R/2 para gases diatómicos.3
Si el aporte de calor a un sistema se realiza permitiendo que su volumen
varíe, hay que tener en cuenta el trabajo mecánico que puede desarrollar el gas
en su expansión, por lo que como se demostrará en la sección siguiente el calor
específico será distinto (mayor) que el correspondiente a procesos realizados a
volumen constante.
2En este tema, al mencionar los calores específicos de los gases nos referiremos siempre
a las magnitudes molares, por lo que prescindiremos del superíndice “n”, para simplificar la
notación.
3En general, el calor específico puede escribirse en términos del número (f) de los lla-
mados “grados de libertad” del sistema cV =(f/2)R. Los grados de libertad de una molécula
representan los posibles movimientos independientes de la misma. Para un gas monoatómi-
co, el único movimiento posible para cada una de las partículas (puntuales) es la traslación,
con tres posibles direcciones independientes (x, y, x). Por tanto, f=3. Para una molécula
diatómica, se tienen dos grados de libertad más, correspondientes a su rotación en torno a
los dos ejes para los que el momento de inercia no despreciable. En ese caso f= 5.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
2.3. Primer principio de la termodinámica 23
2.3. Primer principio de la termodinámica
Vamos a considerar como sistema termodinámico un gas ideal, que puede
intercambiar energía con el exterior de dos formas: absorbiendo o cediendo
calor (Q) y mediante la realización de trabajo (W). El primer principio de la
termodinámica es básicamente una expresión de la conservación de la energía:
∆U = Q−W (2.8)
Para evaluar correctamente los flujos de energía entre el sistema y el exte-
rior, es fundamental respetar el convenio de signos acordado. En el esquema
de la figura 2.2 se ilustra el criterio seguido en estos apuntes.
Q>0	
  
Q<0	
  
ABSORBIDO	
  
CEDIDO	
  
W>0	
  
REALIZADO	
  SOBRE	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  EL	
  SISTEMA	
  
REALIZADO	
  
POR	
  EL	
  SISTEMA	
  
W<0	
  
dx	
  
dW=pdV<0	
  
Trabajo	
  realizado	
  sobre	
  
el	
  gas	
  al	
  comprimirlo	
  	
  
dV<0	
  
a)	
   b)	
  
Figura 2.2: a) Esquema de un sistema termodinámico, cuya energía interna es función
de la temperatura; puede intercambiar energía con el exterior en forma de calor o
trabajo. b) Trabajo infinitesimal asociado a una compresión infinitesimal de un gas a
presión p.
De acuerdo con este convenio, el trabajo mecánico realizado por el gas,
correspondiente a una variación infinitesimal de volumen dV, será (ver figura
2.2 b):
dW = pdV (2.9)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
24 Procesos a volumen constante o isocoros
y para calcular el trabajo sobre el gas cuando el gas sufre una transformación
desde un estado i a un estado f:
W =
∫ Vf
Vi
pdV (2.10)
Cuando se trata de describir variaciones infinitesimales, una forma que se usa
habitualmente para la primera ley de la termodinámica es: dU = dQ− pdV .
De acuerdo con lo anterior, y si pensamos en la representación de los pro-
cesos termodinámicos en un diagrama pV, es inmediato ver que el trabajo se
identifica con el área bajo la curva entre los puntos correspondientes a Vi e Vf .
Un sistema termodinámico puede ir, en general, de un estado inicial a otro
final siguiendo distintos procesos (diferentes caminos en un diagrama pV). Para
cada uno de esos caminos de i→f, tanto Q como W serán en general distintos
(ambos dependen de la “trayectoria”, es decir del proceso seguido para ir de
Vi a Vf ) pero la variación de energía interna será la misma. Al tratarse de
una función de estado, el valor de U queda determinado por el estado del
gas, independientemente del camino seguido para llegar a él. En los siguientes
apartados vamos a evaluar los intercambios de energía de un gas ideal a través
de diferentes procesos termodinámicos. Al tratarse de un gas ideal el sistema
satisfará la ecuación de estado, de forma que en todos los casos se cumple la
relación 2.1 entre las variables p, V y T. Además, cada uno de los procesos se
definirá por la existencia de una relación adicional entre dos de esas variables.
2.3.1. Procesos a volumen constante o isocoros
Si el proceso al que se ve sometido el gas ideal tiene lugar sin que haya
variación de volumen, no se realiza ningún trabajo. En esas condiciones lavariación de energía interna es igual al calor absorbido (aumenta U y por tanto
la temperatura del gas) o cedido (disminuye U así como la temperatura). El
calor intercambiado se expresa en función de la variación de temperatura y del
calor específico (molar) a volumen constante.
∆U = Q = ncV ∆T (2.11)
En un proceso isocoro el cociente entre p y T se mantiene constante en
todo el proceso, verificándose p/T=constante.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
Procesos a presión constante o isobaros 25
2.3.2. Procesos a presión constante o isobaros
Si el proceso al que se ve sometido el gas desde su estado inicial al final
tiene lugar a presión constante, el cálculo del trabajo realizado es muy sencillo.
W =
∫ Vf
Vi
pdV = p∆V = p(Vf − Vi) (2.12)
Por su parte, el calor intercambiado será, expresado en función del calor
específico a presión constante:
Q = ncp∆T = ncp(Tf − Ti) (2.13)
Por tanto, la variación de energía interna en este proceso puede expresars,
atendiendo al primer principo de la termodinámica como:
∆U = ncp∆T − p∆V = ncp∆T − nR∆T (2.14)
Ahora bien, la variación de energía interna del gas entre dos estados (inde-
pendientemente del proceso seguido) viene determinada por el producto de la
variación de la temperatura por el calor específico a volumen constante:
∆U = ncV ∆T (2.15)
A partir de las dos expresiones anteriores se deduce la relación entre los
valores del calor específico a volumen y a presión constante:
ncV ∆T = ncp∆T − nR∆T → cV = cp −R (2.16)
Como hemos comentado antes, se tiene que cp es mayor que cv.
En un proceso isobaro el cociente entre V y T se mantiene constante en
todo el proceso, verificándose V/T=constante.
2.3.3. Procesos a temperatura constante o isotermos
En cualquier proceso en el que se mantenga constante la temperatura del
gas ideal no se produce variación de su energía interna. En esas condiciones,
el calor intercambiado es igual al trabajo, Q=W, por lo que la evaluación de
este último permite determinar por completo los intercambios de energía del
sistema.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
26 Procesos adiabáticos
Q = W =
∫ Vf
Vi
pdV =
∫ Vf
Vi
nRT
V
dV = nRTln
Vf
Vi
(2.17)
En un proceso isotermo el producto de presión y volumen se mantiene
constante en todo el proceso, verificándose pV=constante.
2.3.4. Procesos adiabáticos
Los procesos adiabáticos son aquellos en los que no se produce transferencia
de calor, para lo que el sistema debe permanecer aislado. En esas condiciones,
la variación de energía interna es igual al valor del trabajo, cambiado de signo:
∆U = −W = −
∫ Vf
Vi
pdV (2.18)
Para calcular W es por tanto necesario encontrar una relación entre p y V,
que permita expresar el integrando en función de una sola variable. Para ello,
tendremos en cuenta que U solo depende de la temperatura, y la ecuación de
estado de los gases ideales.
dU = ncV dT = −pdV ⇒ cV dT = −
RT
V
dV ⇒ cV
dT
T
= −RdV
V
(2.19)
Integrando la última expresión entre los estados inicial y final del gas, se
tiene:
cV ln
Tf
Ti
= Rln
Vi
Vf
(2.20)
y como cp = cV +R, sustituyendo R y dividiendo por cV en la ecuación anterior
podemos escribir:
ln
Tf
Ti
= (
cp
cV
− 1)ln Vi
Vf
(2.21)
El cociente cp/cV = γ es el denominado coeficiente adiabático del gas ideal.
Teniendo en cuenta las propiedades de los logaritmos, se tiene:
Tf
Ti
= (
Vi
Vf
)(γ−1) ⇒ TfV
(γ−1)
f = TiV
(γ−1)
i (2.22)
Despejando T en la ecuación del gas ideal (T=pV/nR) y sustituyendo en
la expresión anterior, se tiene:
pfV
γ
f = piV
γ
i ⇒ pV
γ = constante (2.23)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
2.4. Segundo principio de la termodinámica. Máquinas térmicas 27
que establece una relación entre p y V, válida a lo largo del proceso adiabá-
tico.4 Esta última relación pemite calcular el trabajo, a partir de la resolución
de la integral de dW entre los estados inicial y final:
W =
∫ Vf
Vi
pdV =
∫ Vf
Vi
cte
V γ
dV =
1
γ − 1
(piVi − pfVf ) (2.24)
Se propone como ejercicio la resolución de la integral para obtener esta
expresión final del trabajo en un proceso adiabático. Se propone asimismo
llegar a este resultado por un camino alternativo, a partir de la variación de
la energía interna del gas: ∆U = ncV (Tf − Ti) y sustituyendo la temperatura
por su expresión a partir de la ecuación de estado del gas ideal.
2.4. Segundo principio de la termodinámica. Má-
quinas térmicas
Acabamos de ver que el primer principio de la termodinámica es una expre-
sión de la conservación de la energía. Pero hay muchos procesos que, aunque
respetarían el primer principio (conservación de la energía), no ocurren nunca
de forma espontánea.5 Se va a ver que el segundo principio de la termodiná-
mica no se expresa mediante una ecuación, sino que establece la imposibilidad
de que ocurran determinadas cosas. En concreto, la posibilidad o imposibili-
dad de conseguir energía que esté en condiciones de ser utilizada para algo
es el punto central del segundo principio. Por ejemplo, es fácil convertir ener-
gía mecánica en calor pero, en sentido inverso, es imposible absorber calor de
un sistema y convertirlo completamente en energía mecanica, sin ningún otro
cambio adicional. La respuesta a por qué ocurre esto la da la segunda ley de
la termodinámica. Tiene que ver con el sentido de los procesos termodinámi-
cos. Esta ley impone restricciones al funcionamiento de sistemas reales (como
un motor o una planta de producción de electricidad), por lo que se aplica a
muchos problemas prácticos.
Se conocen varias maneras de enunciar el segundo principio de la termodi-
námica, algunas de las cuales - en las que nos vamos a centrar- se refieren
justamente a esas restricciones. Para poder entender sus enunciados comenza-
remos presentando los sistemas termodinámicos con los que se va a trabajar,
que en general serán gases que experimentan transformaciones cíclicas.
4De forma análoga a pV = cte para un proceso isotermo.
5Por ejemplo, el calor siempre fluye de un cuerpo caliente a uno más frio; lo contrario no
violaría la primera ley de la termodinámica, pero no se da en la naturaleza.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
28 Segundo principio de la termodinámica. Máquinas térmicas
En uno de los dos casos que se estudian, el sistema transforma en trabajo
parte del calor que absorbe de un foco que está a temperatura elevada
(foco caliente). Constituye lo que denominaremos máquina térmica o
máquina de calor.
En el otro, el sistema absorbe calor de un foco frío y lo cede a uno caliente,
siendo en este caso necesario que se realice trabajo sobre gas. Estaremos
entonces considerando un refrigerador.
En este contexto, se entiende por foco caliente (o frío) un sistema ideali-
zado cuya capacidad calorífica es tan grande que puede absorber o ceder
calor sin que varíe su temperatura.
FOCO	
  “CALIENTE”	
  
a	
  temperatura	
  
	
  Tcal	
  
Qcal	
  
Qfrio	
  
FOCO	
  “FRÍO”	
  
a	
  temperatura	
  Tfrio	
  
a)	
  
FOCO	
  “CALIENTE”	
  
a	
  temperatura	
  Tcal	
  
Qfrio	
  
FOCO	
  “FRÍO”	
  
a	
  temperatura	
  
	
  Tfrio	
  
b)	
  
Qcal	
  
W	
   W	
  
Figura 2.3: a) Esquema deuna máquina térmica y b) de un refrigerador, mostrando el
sentido de los flujos de energía en cada ciclo. En a) Qcal representa el calor absorbido
por el gas y Qfrio el calor cedido por el gas al foco frío, mientras que en el refrigerador
b) Qcal es el calor cedido por el gas al foco caliente y Qfrio el calor absorbido del foco
frío por el gas.
Los dos enunciados del segundo principio a los que se ha hecho referencia
en el parrafo anterior son:
1. Enunciado de la máquina térmica: No existe ninguna transformación
termodinámica cíclica cuyo único efecto sea extraer calor de un foco y
convertirlo íntegramente en trabajo; siempre existe una cesión energía al
foco frío. (Es decir, no hay máquinas térmicas perfectas.)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
Segundo principio de la termodinámica. Máquinas térmicas 29
2. Enunciado del refrigerador: No existe ninguna transformación termo-
dinámica cíclica cuyo único efecto sea extraer calor de un foco a una
temperatura menor y cederlo a otro foco a mayor temperatura. Es nece-
sario realizar un trabajo sobre el gas para que pueda producirse flujo de
calor del foco frio al foco caliente (No hay refrigeradores perfectos.)
Centrémonos de momento en la máquina térmica esquematizado en la
figura 2.3 a). Al trabajar cíclicamente es evidente que el gas tiene que
volver a su estado inicial al terminar cada ciclo, por lo que ∆U es cero.
Si escribimos la expresión del primer principio de la termodinámica para
ese ciclo, se tiene:
∆U = 0 = Q−W = Qcal +Qfrio −W (2.25)
Teniendo en cuenta los signos de los flujos de energía, tal y como se
muestran en la figura 2.3 a), podemos escribir la expresión anterior en
términos de sus valores absolutos:
|Qcal| − |Qfrio| − |W | = 0⇒ |W | = |Qcal| − |Qfrio| (2.26)
Dado que la finalidad de este sistema es producir trabajo mecánico a
partir del calor absorbido, se define su eficiencia como el cociente entre
el trabajo neto realizado por el sistema y el calor absorbido (del foco
caliente).
� =
|W |
|Qcal|
=
|Qcal| − |Qfrio|
|Qcal|
= 1−
|Qfrio|
|Qcal|
(2.27)
Su valor, menor que la unidad, refleja el primero de los dos enunciados del
segundo principio de la termodinámica expuestos. Es habitual expresar la
eficiencia en porcentaje y, de acuerdo con lo visto es imposible construir
un motor térmico con una eficiencia del 100%.
Se puede hacer una descripción análoga para un refrigerador, en el que
el sistema absorbe calor del foco frio y lo cede a uno que está a mayor
temperatura. En este caso, el balance energético en cada ciclo se expre-
sará:
∆U = 0 = Qcal +Qfrio −W = −|Qcal|+ |Qfrio|+ |W | ⇒
⇒ |W | = |Qcal| − |Qfrio|
(2.28)
Para un refrigerador, en el que lo que interesa es extraer calor del foco
que está a temperatura baja, se define el coeficiente de rendimiento
como el cociente entre el calor (Qfrio > 0) absorbido del foco frío y el
trabajo (W<0) que hay que realizar sobre el sistema:
η =
|Qfrio|
|W |
=
|Qfrio|
|Qcal| − |Qfrio|
(2.29)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
30 Segundo principio de la termodinámica. Máquinas térmicas
El principio de funcionamiento de los sistemas acondicionadores de aire es
igual al que se acaba de describir. Si pensamos por ejemplo en una bomba
de calor, es fácil ver que hace exactamente lo mismo que un refrigerador,
lo único que cambia es el objetivo. En un refrigerador el objetivo es
enfriar (y mantener frío) un espacio que ya está a baja temperatura.
La bomba de calor, sin embargo, tiene como objetivo aportar calor y
mantener caliente el espacio caliente.
Las máquinas térmicas y los refrigeradores pueden funcionar siguiendo
distintos tipos de procesos ciclicos, pero hay uno que tiene un interés
particular. Se trata del llamado ciclo de Carnot, que consiste en 4 pro-
cesos: una expansión isoterma, una expansión adiabática, una compre-
sión isotérma y por último una compresión adiabática. En la figura 2.4
se representa un ciclo de Carnot (en un diagrama pV), en el que se han
marcado los sentidos de los flujos de energía, manteniendo la notación de
la figura 2.3. La particularidad de este ciclo es que, dados dos focos, el
foco caliente a temperatura Tcal y el frío a temperatura Tfrio, la máquina
térmica con mayor rendimiento que puede diseñarse es la que se basa en
un ciclo de Carnot. No se puede diseñar ningún otro sistema que supere
el límite teórico máximo que proporcionan las máquinas de Carnot.
200	
  
1200	
  
2200	
  
3200	
  
4200	
  
5200	
  
6200	
  
7200	
  
0	
   0,5	
   1	
   1,5	
   2	
   2,5	
  
Compresión	
  
isoterma	
  a	
  Tfrio	
  
Expansión	
  adiabá>ca	
  
Qcal	
  
	
  (ABS)	
  
Qfrio	
  
	
  (CESIÓN)	
  
Presión	
  
Volumen	
  
Expansión	
  isoterma	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  a	
  Tcal	
  
Compresión	
  	
  
adiabá>ca	
  
Figura 2.4: a) Diagrama pV de un ciclo de Carnot, en el que se ilustra los flujos de
energía para el caso de un motor térmico.
Teniendo en cuenta las características de los procesos que constituyen
el ciclo de Carnot, puede demostrarse que la eficiencia de los motores
térmicos y el rendimiento de los refrigeradores de Carnot dependen ex-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
Segundo principio de la termodinámica. Máquinas térmicas 31
clusivamente de las temperaturas (en K) de los focos frío y caliente:
� = 1−
Tfrio
Tcal
y η =
Tfrio
Tcal − Tfrio
(2.30)
En el caso de la bomba de calor, como el objetivo es aportar calor al foco
caliente, el rendimiento será:
η =
Tcal
Tcal − Tfrio
(2.31)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
Conclusiones I
Conclusiones de la primera parte . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
Parte II
Electrostática
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
Introducción
En gran medida, los conceptos básicos de la Mecánica Clásica, de los
cuales nos ocupamos en el volumen primero de estaserie (Física 1), se
van a extrapolar al caso de la Electricidad, en cuyo ámbito se centra
la Parte II de este manual. Así pues, refiriéndonos a las cargas eléctri-
cas, frecuentemente hablaremos en el sentido habitual de fuerza, trabajo,
energía potencial . . . Comenzaremos por los aspectos relativos a la in-
teracción electrostática, es decir, lo que se refiere a campos de fuerzas
(sobre cargas) producidos por otras cargas, que se encuentran en reposo.
Se aprenderá a utilizar algunos métodos de cálculo del campo eléctrico
en el vacío, basados en diferentes conceptos (principio de superposición y
ley de Gauss ) mediante ejemplos sencillos, como distribuciones de cargas
puntuales o distribuciones continuas de elevada simetría.
Las cargas eléctricas están presentes en toda la materia, por lo que tam-
bién se estudiarán las propiedades básicas de los materiales conductores
(metales) y dieléctricos, dentro de los cuales las cargas muestran com-
portamientos característicos.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
Capítulo 3
Campo electrostático
Aunque la descripción cuantitativa de los fenómenos que se derivan de
la interacción electrostática es mucho más reciente (siglo XVIII), la exis-
tencia de la misma ya fue observada por los griegos, que descubrieron
que una varilla de ámbar frotada con el pelo era capaz de atraer peque-
ños fragmentos de paja. Observaron asimismo que dos varillas de ámbar
frotadas se repelen, mientras que una de ámbar y otra de vidrio se atraen.
Del mismo modo que ocurre con el ámbar y el vidrio, se observó que mul-
titud de sustancias se atraen o repelen al ser frotadas, lo que se describe
diciendo que al frotar se induce una propiedad: la adquisición de carga
eléctrica, que puede ser “positiva” o “negativa”.
De acuerdo con el convenio propuesto por B. Franklin, se denomina carga
eléctrica positiva a la que adquiere la varilla de vidrio al ser frotada.
Diremos que cualquier sustancia que repela al vidrio frotado posee carga
positiva, mientras que las que sean atraídas poseen carga negativa.
3.1. Ley de Coulomb
Los resultados de los experimentos mencionados pueden explicarse hoy
en día en función de la estructura de la materia, constituida por átomos
o moléculas que son eléctricamente neutros. Lo que ocurre, por ejemplo,
cuando frotamos el vidrio con un paño de seda, es que esta queda carga-
da negativamente porque arranca electrones de los átomos de vidrio,
dejándolo con balance de carga positivo.
Para llegar a una descripción cuantitativa de la interacción electrostática,
vamos a estudiar el experimento pensado planteado en la figura 3.1.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
40 Ley de Coulomb
1q 
2q 
2m g 1
m g 
T 1 T 2
Fe1
Fe2
d 
Figura 3.1: Repulsión electrostática entre dos esferas con cargas eléctricas del mismo
signo.
El estudio de la situación de equilibrio del sistema conduciría a las si-
guientes conclusiones:
• La fuerza que surge entre las esferas lleva la dirección de la línea
que las une; se trata de una fuerza central.
• Su magnitud es inversamente proporcional a d 2.
• Su magnitud es proporcional a la carga de cada esfera.
• Su magnitud es independiente del signo de las cargas, pero no su
sentido.
Figura 3.2: Representación vectorial de la fuerza electrostática entre cargas puntuales.
Se ha representado la situación en que ambas cargas tienen el mismo signo; si fueran
de distinto signo las fuerzas tendrían el sentido opuesto al dibujado.
En términos cuantitativos, la fuerza sobre una carga puntual q2 debida
a la presencia de otra carga puntual q1 se puede expresar mediante la
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
3.2. Campo electrostático. Líneas de campo 41
fórmula (Ley de Coulomb):
~F21 = k
q1 q2
r321
~r21 (3.1)
donde ~r21 = ~r2−~r1, y k es una constante de proporcionalidad que depende
del sistema de unidades utilizado. Así, en el sistema M.K.S.A. (esto es, en
el Sistema Internacional de unidades), la unidad de carga es el Coulomb
(C), y el valor de k es:
k =
1
4 π �0
= 8.9875× 109 N m
2
C2
donde �0 es la permitividad dieléctrica del vacío, constante cuyo valor
es �0 = 8.85 · 10−12 C2/Nm2. Si se tiene un conjunto de partículas, se
encuentra que la fuerza sobre cualquiera de ellas (qi en este caso) cumple
el principio de superposición:
~Fi =
∑
i 6=j
~Fij =
∑
i 6=j
1
4 π �0
qi qj
r3ij
~rij
Aquí, ~rij debe ser interpretado de acuerdo con el esquema de la figura
3.2, pero aplicado a las cargas genéricas qi y qj .
3.2. Campo electrostático. Líneas de campo
La expresión anterior nos permite evaluar las fuerzas que se ejercen las
cargas eléctricas entre sí, pero no es operativa en problemas reales, donde,
por ejemplo, no conocemos a priori las cargas presentes. Resulta útil
desvincular el efecto que un conjunto de cargas tendría sobre otra carga,
del valor concreto de esta última carga. La noción de campo eléctrico,
~E nos proporciona esa posibilidad. Veremos que un sistema de cargas
creará un campo eléctrico en todos los puntos del espacio; sobre una
carga puntual (que llamaremos de prueba) colocada en un determinado
punto, se ejercerá una fuerza que vendrá dada por el producto del valor
del campo en ese punto por el valor de la carga de prueba.
En este capítulo se hace hincapié en el cálculo del campo eléctrico ~E
creado por un sistema de cargas:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
42 Campo electrostático. Líneas de campo
2q 
1q 
r i
r N
r 2
iq 
Nq 
0q 
r 1
F 
Figura 3.3: Fuerza realizada por un sistema de cargas sobre una carga puntual de
prueba q0 colocada a una cierta distancia de ellas.
De acuerdo con la descripción anterior, el campo eléctrico será:
~E =
~F
q0
Entendemos por ~F la fuerza que el sistema ejerce sobre una carga pun-
tual de prueba. La consideramos muy pequeña para que su presencia no
distorsione la configuración de la distribución original.1 Tendremos:
~F = q0 ~E
Como veremos en lo que sigue, desarrollaremos métodos para calcular el
campo, en ocasiones incluso sin conocer el detalle de las cargas que lo
producen, lo que introduce importantes ventajas.
Una forma útil de poner de manifiesto la estructura de un campo es la
representación gráfica de líneas de campo: en cada punto del espacio
dichas líneas tienen por dirección tangente la del campo eléctrico en ese
punto.
ε 2
P 2
P 1
ε 1
Figura 3.4: En cada punto del espacio, el vector campo eléctrico es tangente a sus
líneas de campo.
1Pensemos que las cargas de la distribución podrían ser móviles y sus posiciones variarían
por la presencia de la carga de prueba
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b∨
∧b
Física 2 c 2019
Campo electrostático.