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Ideología y Matemáticas: El infinito.. 
XIII Jornadas de ASEPUMA 1 
IDEOLOGÍA Y MATEMATICAS: EL INFINITO 
Costa Reparaz, E. 
Otto López, B. de 
Universidad de Oviedo 
RESUMEN 
 
El infinito es un concepto que todos utilizamos y nunca nos paramos a pensar sobre él. Existen 
numerosas acepciones, algunas no solo contrarias, sino contradictorias entre si, y es preciso, por lo menos 
señalar su existencia y su significado. 
Desde Euclides, que no quería y evitaba utilizar la palabra infinito y la sustituía por “lo que no 
tiene fin” y frases parecidas, hasta Cantor, con la “creación” de la aritmética de los números transfinitos. 
Son numerosas las ideas relacionadas con el infinito, actualidad y potencialidad, existencia del 
continuo, distintos tamaños de infinito, lo muy grande y lo muy pequeño, Dios, el todo... 
Y, en la ciencia Económica, ¿podemos utilizar el infinito?. ¿Tiene sentido hablar del infinito en 
un mundo (el económico) cambiante. 
 
Palabras clave: Infinito, continuo, infinito actual y potencial, transfinitos. 
Costa Reparaz, E; Otto López, B. de 
2 XIII Jornadas de ASEPUMA 
 
 
1. INTRODUCCIÓN 
El infinito puede entenderse según varias acepciones que muchas veces son 
incompatibles entre sí, involucran juicios de valor o hipótesis no explicitadas ni deseadas. 
Para introducirnos en su definición, podemos distinguir varios aspectos, unos 
teleológicos, otros finalistas, algunos potenciales, otros actuales. En algún momento 
histórico se dio al infinito una interpretación teológica. Otra interpretación le atribuye 
una característica real, o de la realidad. 
En ciertas expresiones se utiliza la palabra todo o cualquiera como sinónimos de 
infinito. Por ejemplo: todo hombre, todo triangulo... Sin embargo, existe una diferencia entre 
estos vocablos. En el primero todo hace referencia al numero de hombres (aunque consideremos 
los que han existido y existirán) que es finito mientras que en el segundo, el numero de 
triángulos no es finito. 
Otro aspecto relacionado con la idea que estamos tratando de matizar y especificar es el 
concepto de lo muy pequeño. Decimos que lo muy pequeño esta relacionado con lo muy grande 
por razones evidentes. Si lo grande surge por un proceso de acumulación de uno más, 
invirtiendo esta “acumulación”, invirtiendo el proceso en el sentido de retirar una parte 
podemos realizar este proceso inverso infinitas veces y el resultado puede hacerse cada vez más 
pequeño, pero manteniendo sus características. En términos económicos se podría equiparar esta 
característica con la propiedad exigida por los economistas de la escuela de Laussanne, de la 
fina divisibilidad. 
En su aspecto negativo tendríamos el cero, no el infinito negativo que tiene una 
interpretación de tendencia y de camino inverso al crecimiento. 
Habría que distinguir dos aspectos. Uno es el infinito negativo, esto es, en el sentido 
negativo que representa la carencia de algo de manera que esa ausencia se hace cada vez más 
palmaria, exigente y dolorosa. Otro aspecto, sería el cero que es la ausencia absoluta de todo ser 
(entendido en su acepción más amplia, como modo de existir) o toda cualidad. Estos 
“conceptos” muchas veces se confunden ya que la carencia absoluta de la bondad se puede 
equiparar con la maldad total, aunque son conceptos diferentes, no tener algo no significa tener 
lo contrario, no ser bello no implica ser feo, aunque su belleza no exista. 
Euclides evitaba utilizar la palabra infinito y, en sus Elementos, para no decir “existe 
una cantidad infinita de... ” prefiere utilizar la expresión “una cantidad mayor que cualquier 
dada”. 
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Los socráticos asociaban a la idea de infinito a algo malo, perverso. El infinito no solo 
era lo descomunal, enormemente grande, lo indefinido, sino que estaba asociado a idea negativa 
de desorden de caos, lo imperfecto. 
En la Grecia clásica se utilizaba la expresión apeiron que significa sin fin, sin limite, lo 
infinito, lo ilimitado o lo carente de definición, sin medida. Por tanto, se podía interpretar que en 
el apeiron destacan connotaciones éticas como el caos. 
Algunos autores veían en el concepto de infinito la idea aniquilación o absorción, ya 
que trabajando con el infinito como si fuese un numero muy grande, perteneciente a un álgebra, 
se podía pensar en la validez de las expresiones 
, , ,...a a a∞±∞ = ±∞ ⋅∞ = ∞ = ∞ 
en las que el infinito engulle al numero a . 
Algunas de estas consideraciones éticas de asociar el infinito con lo malo o, por lo 
menos, con lo perturbador (aspecto que todavía sigue vigente) se superaron al distinguir entre el 
infinito actual y potencial. 
El infinito potencial se caracteriza por la idea de uno más. Representa un proceso 
acumulativo, tan querido y utilizado en Economía. La idea fundamental de “este infinito” es que 
siempre hay uno más (menos), uno posterior (anterior). 
Es preciso destacar que esta concepción del infinito indica una tendencia, un 
comportamiento que nunca llega a su fin. El infinito potencial se puede considerar como 
perteneciente a una concepción teleológica. Obsérvese que esta idea no esta lejos de ciertos 
postulados éticos de perfección. 
El infinito potencial es la idea utilizada en el calculo infinitesimal. 
Si destacamos la “totalidad” del concepto de infinito como una unidad, como uno, 
tendremos la versión actual del infinito. Esta idea corresponde a “aquello cuyo mayor no puede 
ser pensado”
1
 
El infinito actual se considera en su totalidad, como por ejemplo el conjunto de los 
números naturales, todos, no algunos, sino la totalidad de ellos. 
Aunque se ha intentado separar, o no vincular, el infinito con ciertas ideas éticas, no se 
ha conseguido totalmente y aparecen nuevamente de una manera cíclica. Valga como ejemplo la 
consideración de S. Agustín o de Sto. Tomas, para quienes el infinito era un reto a lo único, que 
se podía considerar infinito, que es Dios. 
El concepto de infinito desde la perspectiva filosófica ha sido ampliamente discutido 
pues induce a contradicciones y paradojas, desde Euclides, (el todo no es mayor que las partes), 
la paradoja de Zenon (¿cómo recorrer una infinidad de mitades en un tiempo finito?) o la 
Russell (el conjunto de conjuntos que no pertenecen a si mismo). O el Hotel de Hilbert. 
Costa Reparaz, E; Otto López, B. de 
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Fue en el siglo XVII cuando se introdujo lo que se podría llamar la concepción moderna 
al considerar que el mundo finito y el infinito están regidos por leyes y preceptos diferentes. 
Wallis, introdujo en el siglo XVII el símbolo de infinito. No está claro si le inspiro la 
idea de m (mil) como un numero muy grande y de este símbolo se paso a la lemniscata, que se 
pueden recorrer sus puntos sin llegar al final. “Casualmente” este símbolo se utiliza, en el Tarot, 
para designar al Mago. Esta carta esta asociada al símbolo ℵ , que mas tarde utilizará Cantor, 
quien también relacionará la idea de infinito con Dios. 
 
2. INFINITO ACTUAL 
Esta concepción del infinito surge al considerarlo como una unidad. Esto es, 
tenemos una (en el sentido de unidad) “cosa” que es infinitamente grande o numerosa, 
como los números naturales o los números múltiplos de 27. Lo tratamos como si fuese 
un elemento que surge al superar el paso al limite. Aparece cuando ya hemos llegado , 
cuando tenemos el total. 
Esta idea nos crea dificultades pues no tenemos un infinito, sino muchos, lo que supone 
dificultades para la comparación y en definitiva para la medición. En efecto, admitiendo la 
existencia del infinito actual, pues muchos matemáticos la negaron -como por ejemplo Cauchy, 
Gauss-, es fácil demostrar que tenemos varios infinitos, lo que implica que unos son diferentes 
de otros y, por tanto, de distintos tamaño. Esto es, tendremos unos infinitos mayores que otros. 
De manera intuitiva, si consideramoslos números múltiplos de 27 y los números naturales, 
ambos son infinitos, aunque “parece” que el primero es 27 veces más pequeño que el segundo, 
sin embargo, ambos son infinitamente grandes. 
En términos lógicos podríamos decir que el segundo esta contenido en el primero y, 
teniendo en cuenta el postulado de Euclides, que establece que el todo es mayor que las partes, 
ambos infinitos deberían ser distintos, pero no lo son, pues tienen el mismo tamaño. Llamamos 
tamaño de un conjunto a su cardinal, y el cardinal de ambos conjuntos es el mismo, como 
demostró Cantor. 
El razonamiento de Cantor es simple. Basta con comprobar que se puede establecer una 
correspondencia biunívoca entre el conjunto de los números naturales y el conjunto de los 
múltiplos de 27, de manera que estos conjuntos son equipolentes (tienen el mismo numero 
cardinal). De la misma forma se pueden numerar los puntos de una semicircunferencia o los 
puntos de una recta. 
 
1
 Esta es la definición que S. Anselmo utiliza para la idea de Dios. 
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¿Se podría establecer una correspondencia biyectiva entre los números reales y los 
racionales? Es evidente que no pues el conjunto de los reales no es numerable, mientras que el 
conjunto de los racionales si lo es, por lo que los cardinales de ambos conjuntos son diferentes, 
esto es no son equipolentes. 
Sin embargo, cuando hablamos de los naturales o de los puntos de una recta, o 
de un plano, o de los números racionales o de un conjunto de Cantor estamos 
considerando que cada conjunto es infinito, aunque sus “tamaños” sean distintos. 
Necesitamos una definición para el tamaño de estos conjuntos, pues la apelación a su 
numero no sirve, ya que, según hemos señalado, el mismo “numero” (nombre) sirve para 
designar diferentes tamaños y por tanto distintos conjuntos. 
Para evitar estas dificultades definiremos el infinito diciendo que un conjunto es infinito 
cuando se pueda establecer una correspondencia biunívoca entre él y una parte propia de él. 
Esta definición es compatible con la existencia de distintos infinitos. Para demostrarlo 
basta con aplicar la regla de la diagonal. 
Aceptar esta definición de infinito implica la necesidad de introducir y matizar un 
nuevo aspecto del infinito que es el que se conoce con el nombre de infinito potencial. 
 
3. INFINITO POTENCIAL 
Esta concepción del infinito corresponde a una interpretación teleológica del infinito. 
En efecto, la teleología estudia las causas finales y el infinito potencial trata de alcanzar su final, 
sabiendo que nunca llegará, pues siempre hay más, ya sean números, pasos, intervalos... 
El infinito potencial esta vinculado a la reiteración de un proceso que nunca finaliza, 
dando lugar a numerosos problemas y paradojas, desde la de Aquiles y la tortuga a la de Zenon, 
sobre la imposibilidad del movimiento (¿cómo dar infinitos pasos en un tiempo limitado?). 
Esta concepción del infinito potencial es la que se liga con la idea de limite, o mejor con 
la operación de paso al limite. Obsérvese que ambos conceptos sólo existen como tendencia, en 
potencia, ya que los dos son inaccesibles, lo que implica que no deben considerarse como 
sinónimos las expresiones infinito e ilimitado. 
De manera análoga no debe concluirse que cuando un conjunto está contenido en otro el 
primero es menor. Piense en el conjunto de los números naturales y el de los números pares. En 
principio podría parecer que hay el doble de números naturales que de pares. Sin embargo, 
ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos. 
Esta idea queda aclarada si por tamaño de un conjunto entendemos su cardinal, de 
manera que un conjunto contenido en otro puede tener el mismo tamaño que el primero. En este 
sentido se rompe el postulado de que el todo es mayor que las partes. La solución a esta 
aparente antinomia es aceptar que estar contenido no supone ser más pequeño, tener menor 
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tamaño. En términos “euclideos” se podría ampliar su postulado diciendo que el todo es mayor 
o igual que las partes. 
 
4. TRANSFINITOS DE CANTOR 
Las concepciones actual y potencial del infinito, como hemos dicho, surgieron para 
evitar problemas (en parte teológicos) y paradojas que imposibilitasen el avance del 
conocimiento. 
Ciertos matemáticos, como Gauss, negaron la existencia del infinito actual, admitiendo 
solo la posibilidad del infinito potencial. Para este autor no se podía admitir el hablar del infinito 
completo, “ya que en matematicas no esta permitido”. 
Cantor observó que se podía establecer una correspondencia biyectiva entre los puntos 
de un segmento y los de un rectángulo, lo que comunico a su maestro Kronecker, quien 
respondió con la famosa frase “lo veo pero no lo creo”. Kronecker, defensor de las teorías 
constructivista, sostenía la idea de que “Dios creó el numero natural, el resto es obra de los 
hombres”. 
Este trabajo de Cantor fue el origen de la separación entre el maestro y el discípulo, ya 
que Kronecker “perdió” el trabajo que Cantor había mandado para que se publicase en el 
Journal de Crelle y tardo mucho tiempo en ver la luz (¿intervino Dedekind, en la aparición?). 
Este enfrentamiento entre maestro y discípulo llegó a unos limites no deseados. Se dijo de 
Cantor que era un charlatán científico, renegado, corruptor de la juventud. Poincaré, ante las 
ideas de Cantor de poder hablar de una aritmética de los números transfinitos, llegó a decir que 
era una enfermedad y que ya se curaría (las matematicas y Cantor, que tuvo varias crisis 
maniaco depresivas, y esta enfermedad le llevo a pensar que Dios le había revelado la existencia 
de los números transfinitos, por lo que debían ser tratados no sólo desde la perspectiva 
matemática, sino en un ámbito más amplio, como el teológico). 
Las ideas de Cantor de que había unos infinitos más infinitos que otros, además de 
llevar al escándalo, condujo a la formalización y ampliacion de ciertos conceptos como el de 
cardinalidad y ordinalidad. No voy a profundizar en estos conceptos pues son de sobra 
conocidos. 
Permítaseme señalar que los cardinales nos indican el tamaño del conjunto sin ordenar. 
Esto es, sin prestar atención al orden. Al conjunto de los números naturales lo designó Cantor 
con el nombre de 
0ℵ . 
Los ordinales nos informarán sobre el tamaño del conjunto cuando los elementos de éste 
están bien ordenados. Esto es, toda parte no vacía tiene un elemento mínimo. El primer ordinal 
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transfinito lo designo Cantor por ω 2. Una vez obtenido el primer transfinito podemos obtener 
los siguientes sin mas que añadir 1 al anterior, de esta manera tendremos 
ωωωωω 2,...,2,1 =+++ ,... ,..., ωω ω ω⋅ . 
Cantor planteo y no resolvió el llamado problema del continuo. Entre 
0ℵ , cardinal de 
los enteros y 
0
2ℵ , el cardinal de los reales ¿existe algún cardinal intermedio? Gödel y Cohen 
demostraron que la teoría del continuo se puede tomar como cierta o no sin que afecte a la teoría 
de conjuntos. 
El infinito actual no sólo no es paradójico, sino que es coherente, lo que nos obligará 
realizar una reconsideración de la formulación, utilización y revisión del concepto de infinito. 
 
5. INFINITO Y ECONOMÍA 
En el Análisis Económico el infinito se utiliza fundamentalmente en dos tipos de 
problemas, el la Teoría de los Multiplicadores y en la Teoría de la Estabilidad. 
La concepción, unas veces ocultada y, casi siempre, implícita del infinito en la teoría de 
multiplicador es claramente un infinito actual, pues se esta pensando el proceso cuando ya ha 
terminado, cuando ha acabado el efecto y el proceso se haconvertido en la suma de una serie. 
Se podría argüir que en el proceso de multiplicador keynesiano, por ejemplo, se piensa en que el 
proceso se realiza “una vez más”, por tanto se trataría de un infinito potencial. En cuanto al 
proceso, el razonamiento es cierto, pero, sin embargo, es falaz, pues esta argumentación sirve 
para explicarlo o describirlo, pero su resultado es la inversión dividida por la propensión 
marginal al ahorro, es decir, cuando ha terminado y se toma el proceso en su totalidad. 
Este efecto económico lo podemos complicar más. Consideremos, por ejemplo, que 
tenemos diferentes inversiones autónomas, esto es, distintos valores iniciales. Podemos tener 
entonces distintos ordinales. En efecto, si comparamos 1000+
i
∑
∞






⋅
1 2
1
1000 con 
1000+
1
1 2
1
1000
+∞
∑ 





⋅
i
 tendríamos ω diferentes, pues hemos cambiado el periodo de 
vencimiento o capitalización pasando de un periodo a dos. Si considerásemos todos los posibles 
momentos de capitalización o de vencimiento del proceso, tendríamos un 
0ℵ . 
En la teoría de la estabilidad asintótica también aparece el infinito, pero en este caso es 
potencial, pues, por la definición de estabilidad asintótica, tenemos un proceso en el que el 
 
2
 No deja de ser curioso que el jesuita y paleontólogo, Teilhard de Chardin, también hable en sus obras 
del punto ω , aunque con un sentido distinto: teológico. 
Costa Reparaz, E; Otto López, B. de 
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tiempo va aumentando, añadiéndose una unidad, admitiendo su discrecionalidad, que hace que 
el tiempo crezca cada vez más. 
No vamos a entrar en la polémica sobre si existe el infinito, ya sea actual o potencial: 
Sin embargo, permítaseme indicar que en la naturaleza entendida como realidad no existen ni el 
infinito actual ni el potencial. Si en el mundo de la realidad no podemos afirmar que algo es 
infinito o que lo puede ser, en el mundo social, y la Economía es una ciencia que tiene su 
desarrollo y razón de ser en la sociedad, tampoco podemos afirmar su existencia, lo que implica 
que podemos estar induciendo o cometiendo errores al utilizarlo. 
¿Qué sentido tiene en la realidad económica que un proceso dura eternamente? 
Piénsese, por ejemplo, en la creación de dinero bancario. Este proceso ¿será eterno? Y limpio, 
esto es, no desencadenará nuevos procesos acumulativos, lo que dificultaría (quizá impediría) la 
convergencia del proceso. 
El infinito potencial de la teoría de la estabilidad supone encerrar el proceso evolutivo 
del fenómeno económico en un mundo impermeable y ajeno a toda influencia exterior para, de 
una manera iterativa y repetitiva, ir generando puntos o datos de una magnitud económica, que 
nunca responderá a la realidad de cada momento temporal, pues en las ciencias sociales no se 
puede aislar un fenómeno ni de la influencia del fenómeno en sí mismo ni de la evolución que él 
mismo genera en su propia evolución, esto es, en su retroalimentación. 
¿En que condiciones podemos equiparar la duración de un fenómeno económico con el 
infinito, ya sea actual, potencial o simplemente infinito? 
Como se ha dicho en la introducción, estos problemas no se limitan sólo al infinito, sino 
que habría que ampliarlos a la teoría de limites y al cero. 
 
 
 
6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
• DAUBEN J. W (1995) “Georg Cantor”. Investigación y Ciencia, temas, 1. pp.94-105 
• DELAHAYE, J-P (2001) “El carácter paradójico del infinito” Investigación y 
Ciencia, temas, 23.pp. 36-44 
• LORENZO, J(2001) “El infinito matemático”. Investigación y Ciencia, temas, 23.pp4-9 
• ORTIZ, J. R. (1994) “El concepto de in finito” Asociación Matemática 
Venezolana. Boletín Vol.I, Nº2. 
Ideología y Matemáticas: El infinito.. 
XIII Jornadas de ASEPUMA 9 
• SOLAECHE, M.C. (1995) « La controversia entre L. Kronecker y G. Cantor 
acerca del infinito” Divulgaciones Matematicas. pp. 115-120