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INTRODUCCIÓN A LAS 
COMUNICACIONES 
 
 Photo: ESA; Photo: ESA/Cluster; Image: Neosat mission 
 
 Photo: ESA; Photo: ESA/Cluster; 
 Image: European Data Relay System (EDRS) 
 
Juan A. Fernández Rubio 
junio 2019 
INTRODUCCIÓN A LAS COMUNICACIONES
Juan A Fernández Rubio
junio 2019
PRÓLOGO
Las presentes notas han sido elaboradas en el marco de la asignatura: Introducció a les Telecomunica-
cions del Grado en Enginyeria de Tecnologies i Serveis de Telecomunicació de la Escola Tècnica Supe-
rior d‘Enginyeria de Telecomunicació de Barcelona. Esta asignatura es la consecuencia de la evolución
de otras previas para adaptarse a los diferentes planes de estudio.
Las razones de su edición son varias y de distinta índole. La más importante es que el material pueda
ser de gran ayuda a los estudiantes que cursan esta asignatura. Por otra parte, la asignatura es impartida
por diversos profesores y profesoras y estas notas tratan de reunir el máximo material posible, suma
de las diferentes aportaciones, pero con la impronta del autor de las mismas, profesor de las diferentes
asignaturas durante más de tres décadas.
Por diversas razones, algunos estudiantes tienen dificultades para tomar notas en clase. Si bien se dispone
de algunos apuntes tomados de manera detallada por estudiantes muy concienzudos, esto también es
algo insuficiente. Así pues, un objetivo era también recolectar de manera amplia todos los conceptos y
disponer del máximo número de figuras explicativas posibles.
Las notas están ordenadas en relación al temario de la asignatura arriba mencionada, aunque la organiza-
ción de las notas es algo diferente del programa expresado en la guía docente. Contienen toda la temática,
pero están más ampliadas con algunos conceptos de procesado de señal y procesos estocásticos, concep-
tos que ya han sido estudiados, en gran parte, en cursos anteriores y que son imprescindibles para seguir
la asignatura.
Hay algunas innovaciones importantes en la presentación de la temática con respecto a la de los libros
tradicionales. Es de destacar el estudio detallado del sistema analógico de transmisión, tanto para trans-
misión banda base como para transmisión paso banda. También se hace un estudio exhaustivo de las
señales paso banda sustituyendo o complementando el estudio tradicional a base de funciones trigono-
métricas. Esto es muy importante en el estudio de los sistemas de transmisión paso banda analógicos,
dando como resultado una descripción lineal de dichos sistemas en términos de los equivalentes paso
bajo.
Finalmente, las notas se pueden complementar con una extensa colección de problemas, la mayoría de
ellos resueltos detalladamente. La colección es una compilación de los ejercicios propuestos en exáme-
nes, por los distintos profesores, durante muchos cursos y está a disposición de los estudiantes.
I
II
Índice general
Página
PRÓLOGO I
1. INTRODUCCIÓN 1
2. SEÑALES Y SISTEMAS 7
2.1. SEÑALES DETERMINISTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1. Señales de energía finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2. Señales de potencia media finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. SISTEMAS LINEALES. RESPUESTA IMPULSIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1. Propiedades de la convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3. TRANSORMADA DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1. Algunas propiedades importantes de la transformada de Fourier . . . . . . . . . 11
2.3.2. Transformada de Fourier de señales periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4. CORRELACIÓN Y DENSIDAD ESPECTRAL DE SEÑALES DE ENERGÍA FINITA . 12
2.4.1. Correlación de señales de energía finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Distancia entre dos señales de energía finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Propiedades de la autocorrelación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.2. Densidad espectral de señales de energía finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Correlación y densidad espectral de los ejemplos de señal expuestos en la sección
2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
III
Densidad espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5. CORRELACIÓN Y DENSIDAD ESPECTRAL DE SEÑALES DE POTENCIA MEDIA
FINITA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.1. Correlación de señales de potencia media finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Distancia entre dos señales de potencia media finita . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Propiedades de la autocorrelación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.2. Correlación de señales periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.3. Densidad espectral de señales de potencia media finita . . . . . . . . . . . . . . 21
Densidad espectral de la función escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Densidad espectral de señales periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6. SEÑALES DE ENERGÍA FINITA Y SISTEMAS LINEALES . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6.1. Señal filtrada con dos filtros en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7. SEÑALES DE POTENCIA MEDIA FINITA Y SISTEMAS LINEALES . . . . . . . . . 26
2.7.1. Señal de potencia media finita filtrada con dos filtros en paralelo . . . . . . . . . 28
2.8. SEÑALES ALEATORIAS (PROCESOS ESTOCÁSTICOS) . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.8.1. Función de densidad de probabilidad de un proceso aleatorio . . . . . . . . . . . 30
2.8.2. Valor medio, potencia y varianza de un proceso aleatorio . . . . . . . . . . . . . 30
2.8.3. Autocorrelación de un proceso aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.8.4. Autocovarianza de un proceso aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Variable aleatoria Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
EJEMPLO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.9. PROCESOS ESTACIONARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.9.1. Procesos estacionarios en sentido estricto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.9.2. Procesos estacionarios en sentido amplio o débilmente estacionarios . . . . . . . 35
2.10. PROCESOS ESTOCÁSTICOS CONJUNTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.11. PROCESOS COMPLEJOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.11.1. Correlación cruzada de dos procesos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
IV
2.11.2. Correlación circular cruzada de dos procesos complejos . . . . . . . . . . . . . 37
2.11.3. Procesos conjuntamente circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.11.4. Procesos circularmente simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
EJEMPLO DE PROCESO COMPLEJO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.12. PROPIEDADES DE LA AUTOCORRELACIÓN DE UN PROCESO ESTACIONARIO 39
2.13. PROPIEDADES DE LA CORRELACIÓN CRUZADA DE DOS PROCESOS ESTA-
CIONARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.14. ESPECTRO DE POTENCIA DE PROCESOS ESTACIONARIOS . . . . . . . . . . . . 40
2.14.1. Propiedades de la densidad espectral de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.14.2. Espectro cruzado de potencia de dos señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.14.3. Propiedades de las densidades espectrales cruzadas . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.15. PROCESOS NO ESTACIONARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.15.1. Ejemplos de densidades espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 42
2.16. PROCESOS CICLOESTACIONARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.17. PROCESOS ERGÓDICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.17.1. Valor medio y autocorrelación usando las realizaciones de un proceso . . . . . . 44
2.17.2. Ergodicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.18. PROCESOS ESTACIONARIOS Y SISTEMAS LINEALES . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.19. PROCESOS NO ESTACIONARIOS Y SISTEMAS LINEALES . . . . . . . . . . . . . 48
2.19.1. Valor medio promedio de la salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.19.2. Correlación y densidad espectral promedio salida-entrada . . . . . . . . . . . . 48
2.19.3. Autocorrelación y densidad espectral promedio del proceso de salida . . . . . . 49
3. SEÑALES Y SISTEMAS PASO BANDA 51
3.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2. SEÑALES DETERMINISTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.1. Señal analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.2. Transformada de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
V
3.2.3. Procesado de señales mediante el uso de señales analíticas . . . . . . . . . . . . 55
3.2.4. Envolvente y frecuencia instantánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3. SEÑALES PASO BANDA DETERMINISTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.1. Equivalente paso bajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.2. Componentes fase y cuadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.3. Filtrado equivalente paso bajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4. PROCESOS PASO BANDA. CORRELACIÓN Y DENSIDAD ESPECTRAL . . . . . . 60
3.4.1. Análisis a partir de las señales paso bajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Correlación y densidad espectral de las señales paso bajo . . . . . . . . . . . . . 61
Correlación circular del equivalente paso bajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Correlación y densidad espectral de la señal analítica . . . . . . . . . . . . . . . 63
Correlación y densidad espectral de la señal paso banda . . . . . . . . . . . . . 64
3.4.2. Análisis a partir de la señal paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Proceso paso banda estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Autoespectro de los procesos fase y cuadratura de procesos paso banda estacio-
narios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Espectro cruzado de los procesos fase y cuadratura de procesos paso banda esta-
cionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.3. Procesos paso banda no estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.4. Potencia de la señal paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5. PROCESOS ESTACIONARIOS PASO BANDA Y SISTEMAS LINEALES . . . . . . . 72
4. RUIDO EN SISTEMAS DE COMUNICACIONES 73
4.1. RUIDO TÉRMICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2. RUIDO BLANCO GAUSSIANO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3. RUIDO BLANCO FILTRADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.1. Ancho de banda equivalente de ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4. RUIDO BLANCO EN SISTEMAS DE TRANSMISIÓN BANDA BASE . . . . . . . . 78
VI
4.5. RUIDO EN SISTEMAS PASO BANDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5.1. Ruido blanco paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5. SISTEMAS ANALÓGICOS DE TRANSMISIÓN 83
5.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2. SISTEMA DE TRANSMISIÓN ANALÓGICO BANDA BASE . . . . . . . . . . . . . 83
5.2.1. Filtros transmisor y receptor banda base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.3. SISTEMA ANALÓGICO PASO BANDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3.1. Transmisor paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Modulador I&Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Modulador I&Q ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Filtro transmisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Filtro transmisor ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Transmisor ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Potencia transmitida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3.2. Canal de comunicaciones paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Canal Multicamino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Señal recibida con canal y sistemas de transmisión ideales . . . . . . . . . . . . 92
5.3.3. Receptores paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Demodulador I&Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Análisis mediante funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Análisis mediante funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3.4. Filtros receptor y demodulador ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3.5. Salida del sistema analógico ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3.6. Ruido en sistemas analógicos paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.4. SISTEMA PASO BANDA ANALÓGICO COMPLETO . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4.1. Señal de salida compleja del sistema paso banda con transmisor y receptor ideales 101
VII
Filtros ideales y canal multicamino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Filtros ideales y sólo camino directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.5. INTERFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.6. SISTEMAS FDMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.7. TRANSLACIÓN (CONVERSIÓN) DE FRECUENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.8. MODULACIONES ANALÓGICAS TRADICIONALES . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.8.1. Modulación doble banda lateral (DBL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.8.2. Modulación banda lateral única (BLU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.8.3. Modulación banda lateral vestigial (BLV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.8.4. Modulación bandas laterales independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.9. ECUALIZACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6. SISTEMA DE TRANSMISIÓN DIGITAL 119
6.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2. MODULADOR DIGITAL BANDA BASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3. MODULACIONES DIGITALES BANDA BASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.3.1. Señal Binaria Unipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.3.2. Señal binaria polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.3.3. Señal M-aria polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.4. MODULACIONES DIGITALES PASO BANDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.4.1. Señal ON-OFF keying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.4.2. Señal BPSK(Binary Phase Shift Keying) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.4.3. Modulaciones M-PSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.4.4. Modulación BPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.4.5. Modulación 4-PSK o QPSK ( Quadrature Phase Shift Keying) . . .. . . . . . . 129
6.4.6. Modulación 8-PSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.4.7. Modulación M-PSK general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
VIII
6.4.8. Modulaciones ASK-PSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.5. DENSIDAD ESPECTRAL DE LA SEÑAL DIGITAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.5.1. Potencia de la señal PAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.5.2. Densidad espectral de la señal unipolar con símbolos independientes . . . . . . . 137
6.5.3. Densidad espectral de la señal polar con símbolos independientes . . . . . . . . 137
6.5.4. Espectro de la señal digital modulada paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Símbolos no independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.6. CARACTERÍSTICAS ESPECTRALES DE LOS PULSOS DE LA SEÑAL DIGITAL . 142
6.6.1. Pulsos limitados en tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.6.2. Pulsos limitados en frecuencia. Pulsos de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.7. DEMODULADOR DIGITAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.7.1. Filtro adaptado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.7.2. Respuesta del filtro adaptado a la señal de salida del sistema analógico . . . . . . 154
Sistema digital paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Sistema digital banda base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.7.3. Muestreo. Sistema digital discreto equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Sistema digital paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Sistema digital banda base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.7.4. Canal equivalente discreto para canal multicamino . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Sistema digital paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Sistema digital banda base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.7.5. Ruido a la salida del filtro adaptado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Sistemas paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Sistemas banda base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.8. FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD (PDF) . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.8.1. Transmisión digital paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
IX
6.8.2. Transmisión digital banda base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.9. ESTIMACIÓN MAP (Máximo a Posteriori) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.9.1. Estimación MAP en variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.9.2. PDF y criterio MAP en coordendas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.10. REGIONES DE DECISIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.10.1. Constelaciones unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.10.2. Constelaciones bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Constelaciones QPSK o 4-QAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Constelación 16-QAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Constelación 8-start óptima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Constelación 8 cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Constelación 8-PSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Constelación 9-QAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Constelación 32-QAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.11. PROBABILIDAD DE DETECCIÓN Y PROBABILIDAD ERROR . . . . . . . . . . . . 174
Modulaciones paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Modulaciones banda base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.11.1. Probabilidad de error de las modulaciones banda base . . . . . . . . . . . . . . 179
Probabilidad de error de la señal polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Probabilidad de error de la señal unipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Probabilidad de error de la señal polar M-aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.11.2. Probabilidad de error de las modulaciones paso banda . . . . . . . . . . . . . . 189
Modulaciones BPSK y On-Off keing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Modulaciones paso banda complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Modulación QPSK o 4QAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Modulación MQAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
X
6.12. COTA SUPERIOR DE LA PROBABILIDAD DE ERROR . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.13. INTERFERENCIA INTERSÍMBOLO. ECUALIZACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.13.1. Forzador de ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.13.2. Ruido de salida del forzador de ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.13.3. Ejemplos de forzador de ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7. APÉNDICES 207
A. VARIABLE COMPLEJA 209
A.1. REPRESENTACIÓN DE VARIABLES COMPLEJAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
A.1.1. Forma binómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
A.1.2. Forma módulo-argumental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
A.1.3. Representación gráfica de una variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
A.1.4. Suma de complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
A.1.5. Producto de complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
A.1.6. Fasor exp( jφ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
A.1.7. Complejo conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
A.1.8. Algunas relaciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
B. TRANSFORMADA DE FOURIER DE UN TREN DE IMPULSOS 213
C. TRANSFORMADA INVERSA DE LA FUNCIÓN SIGNO 215
D. PDF FUNCIÓN COSENO 217
D.1. PDF DE PRIMER ORDEN DE LA FUNCIÓN COSENO . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
E. TEOREMA DE WIENER-KHINCHIN 219
E.1. DEFINICIÓN DE LA DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA DE UN PROCESO . 219
E.1.1. Demostración del Teorema de Wiener-Khinchin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
F. RETARDOS DE FASE Y DE GRUPO 221
XI
G. CORRELACIÓN Y DENSIDAD ESPECTRAL DE UNA SEÑAL DIGITAL PAM 225
G.1. DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
H. FILTRO ADAPTADO 229
Bibliografía 230
XII
Índice de figuras
1.1. Modelo de un sistema de comunicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Sistema paso banda analógico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1. Pulso rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Pulso triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3. Pulso de Manchester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4. Función escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5. Correlación del pulso rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6. Densidad espectral del pulso rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.7. Correlación del pulso de Manchester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.8. Densidad espectral del pulso de Manchester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.9. Cálculo de la correlación de la función escalón . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.10. Correlación de la función escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.11. Sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.12. Correlaciones entrada salida deterministas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.13. Señal determinista filtrada por dos filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.14. Sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.15. Correlaciones entrada salida potencia media finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.16. Señal de potencia media finita filtrada por dos filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.17. Realizaciones de un proceso estocástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.18. PDF normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
XIII
2.19. Función de distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.20. Densidad espectral para una sinusoide con frecuencia aleatoria . . . . . . . . . . . . . . 44
2.21. Sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.22. Correlaciones entrada salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1. Senyal analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2. Transformador de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3. Transformador de Hilbert temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4. Respuesta impulsional real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5. Respuesta impulsional con funciones analiticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6. Envolvente y fase instantánea de la señal analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.7. Transformada de Fourier de una señal paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.8. Transformada de Fourier de la señal analítica paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.9. Transformada de Fourier de la señal paso bajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.10. Sistema paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.11. Transformador de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.12. Espectro de la señal paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.13. Espectro de la señal analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.14. Espectro de la señal paso bajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.15. Autoespectros de las componentes fase y cuadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.16. Espectro cruzado fase cuadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1. Densidad espectral del ruido térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2. Circuito equivalente del ruido térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3. Circuito equivalente adaptado del ruido térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4. Filtro paso bajo ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.5. Filtro arbitrario simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.6. Ruido paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
XIV
4.7. Espectro del ruido analítico paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.8. Espectro del ruido paso bajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.9. Espectro del ruido de las componentes en fase y cuadratura . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.10. Espectro cruzado del ruido de las componentes en fase y cuadratura . . . . . . . . . . . 81
5.1. Sistema analíco banda base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2. Filtros transmisor y receptor ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3. Sistema pasobanda analogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.4. Transmisor paso banda analógico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5. Modulador I&Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.6. Equivalente complejo del Modulador I&Q ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.7. Transmisor paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.8. Transmisor paso banda ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.9. Equivalente complejo respuesta de la respuesta del canal paso banda . . . . . . . . . . . 91
5.10. Receptor paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.11. Demodulador paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.12. Demodulador paso banda complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.13. Demodulador pasobanda complejo con recuperación de portadora . . . . . . . . . . . . 97
5.14. Receptor paso banda ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.15. Sistema Paso Banda real completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.16. Sistema equivalente paso bajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.17. Sistema equivalente paso bajo coherente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.18. Sistema equivalente paso banda con filtros ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.19. Sistema equivalente paso banda coherente con filtros y canal ideales . . . . . . . . . . . 104
5.20. Sistema FDMA paso banda complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.21. Conversión de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.22. Transformada de Fourier del mensaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
XV
5.23. Transformada de Fourier de la señal DBL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.24. Transformada de Fourier del paso bajo de la señal BLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.25. Transformada de Fourier de la señal BLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.26. Componente cuadratura en BLV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.27. Filtro vestigial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.28. Transformada de Fourier de la señal paso bajo BLV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.29. Transformada de Fourier de la señal paso banda BLV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.1. Sistema de transmisión digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2. Modulador digital banda base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3. Codificador de símbolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.4. Constelacion Unipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.5. Señal Unipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.6. Constelación señal polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.7. Señal polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.8. Constelación Cuaternaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.9. Señal cuaternaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.10. Señal ON-OFF keying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.11. Señal BPSK. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.12. Constelación BPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.13. Señal QPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.14. Constelación 8-PSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.15. Constelaciones ASK-PSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.16. Constelación 8 ASK-PSK óptima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.17. Dendidad espectral de la señal unipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.18. Densidad espectral del pulso rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.19. Pulso rectangular y su correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
XVI
6.20. Pulso de Manchester y su correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.21. Dendidad espectral del Pulso de Manchester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.22. Convolución del pulso rectangular en frecuencia con el pulso de Nyquist . . . . . . . . . 146
6.23. Densidad espectral de los pulsos roll-off . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.24. Pulsos coseno roll-off en el dominio temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.25. Correlación de los pulsos coseno roll-off . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.26. Señal binaria polar con pulso roll-off . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.27. Condición frecuencial para la densidad espectral rectangular . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.28. Condición frecuencial para la densidad espectral coseno alzado . . . . . . . . . . . . . . 150
6.29. Demodulador digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.30. Salida deseada del equivalente complejo paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.31. Señal de salida del equivalente complejo paso banda y filtro adaptado . . . . . . . . . . 154
6.32. Señal de salida del equivalente analógico banda base y filtro adaptado . . . . . . . . . . 155
6.33. Salida deseada del equivalente complejo paso banda más filtro adaptado y muestreo . . . 156
6.34. Sistema Digital discreto equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.35. Salida deseada del equivalente complejo banda base más filtro adaptado y muestreo . . . 157
6.36. Sistema digital discreto equivalente banda base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.37. Constelación BPSK girada 30ž . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.38. Constelación QPSK girada 30ž . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.39. Señal polar con ruido blanco a la entrada del filtro adaptado . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.40. Señal polar con ruido a la salida del filtro adaptado y ruido blanco . . . . . . . . . . . . 162
6.41. Salida deseada equivalente complejo paso banda más filtro adaptado y muestreo . . . . . 162
6.42. Diagrama del detector MAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.43. Regiones de decisión de una señal QPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.44. Regiones señal polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.45. QPSK con símbolos equiprobables y símbolos no equiprobables . . . . . . . . . . . . . 172
XVII
6.46. Regiones y contornos de la constelación 16QAM con símbolos equiprobables . . . . . . 173
6.47. Regiones y contornos constelación 8-start óptima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.48. Regiones y contornos constelación 8-cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.49. Regiones y contornos de la constelación 8-PSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.50. Regiones y contornos de la constelación 9-QAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.51. Contornos y regiones 32QAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.52. Umbral para una senyal polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.53. funcion Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.54. Área de la cola derecha de la gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.55. Área de la cola izquierda de la gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.56. Umbral para una señal unipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.57. Comparación entre las BERs de la polar y unipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.58. Regiones de la señal cuaternaria polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.59. Umbrales señal cuaternaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.60. Probabilidad de error para símbolos externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.61. Probabilidad de error para símbolos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.62. QPSK con símbolos equiprobables y símbolos no equiprobables . . . . . . . . . . . . . 190
6.63. Regiones y contornos de la constelación 16QAM con símbolos equiprobables . . . . . . 191
6.64. Integral de la gaussiana entre limite finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.65. Cota superior señal QPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.66. Cota superior de la región R21 de una señal QPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.67. Cota superior de la región R31 de una señal QPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.68. Cota superior de la región Rji de una señal QPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.69. Ecualizador óptimol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.70. PDFs de una señal polar con ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6.71. Constelación para una señal QPSK con ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
XVIII
A.1. Representación de una variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
D.1. Proceso coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
E.1. Transformación del recinto de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
F.1. Señal pasobanda real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
F.2. Señal pasobanda real filtrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
G.1. Intervalos de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
XIX
XX
1 INTRODUCCIÓN
La mente intuitiva es un regalo sagrado y la mente
racional una sirviente fiel. Hemos creado una
sociedad que honra a los sirvientes y que ha
olvidado los regalos
Albert Einstein.
1879−1955
El mundo de las Telecomunicaciones es realmente apasionante. Está en permanente cambio y tiene una
rápida evolución y crecimiento. Afecta a casi todas las actividades cotidianas, tanto en el trabajo como
en los ratos de ocio.
Las comunicaciones a distancia existen desde las más remota antigüedad, pero es en el siglo XIX cuando
comienza el uso de señales eléctricas. Ahora puede decirse que la distancia no es un impedimento para
la comunicación y ésta se puede llevar a cabo en tiempo real, tanto para la voz como para los datos y las
imágenes.
Las primeras comunicaciones mediante señales eléctricas pertenecen al mundo de la Telegrafía. Los
primeros servicios de telegrafía por cable aparecieron en Inglaterra y EE. UU. a partir de 1837. Los men-
sajes de telegrafía eran enviados inicialmente por operadores de telégrafo que usaban código Morse y
eran conocidos como telegramas, marconigramas o cablegramas. Más adelante, los telegramas serían en-
viados a travésde redes de Télex similares a la red de teléfono, compuesta por teletipos. Un telegrama es
un mensaje de texto breve que se envía rápidamente mediante una codificación. Se utilizó para transmitir
información importante con pocas palabras y de forma rápida con respecto a una carta. Actualmente
este servicio fue sustituido por los SMS y más recientemente por aplicaciones de mensajería instantánea
como por ejemplo Whatsapp y otras similares.
Actualmente los servicios de telegrafía están prácticamente en extinción, debido a la existencia de otros
medios como el correo electrónico. Western Union, la compañía de telégrafos dominante en los Estados
Unidos desde su fundación en 1856, se reorganizó en 1988 como Western Union Corporation y se enfocó
en las transferencias de dinero y servicios conexos. En el año 2006, dicha empresa cerró sus servicios
telegráficos. En julio de 2013 la empresa de telecomunicaciones Bharat Sanchar Nigam Ltd. (BSNL) de
la India anunció el cierre de sus servicios de telegrafía; sólo algunos países como Suecia, Reino Unido,
Canadá, México, Países Bajos, Eslovaquia y Baréin mantienen el servicio sobre una base más tradicional
que económica. En 1851 se instaló el primer cable submarino entre Inglaterra y Francia.
1
En 1899 nace la Telegrafía sin hilos, esto es, la transmisión telegráfica mediante radiación electromagné-
tica, debido al trabajo de algunos científicos como Maxwell, Hertz y otros, y gracias también a Marconi
que sintetizó los trabajos de sus predecesores.
La telefonía fija, o transmisión de voz, nació en 1876, con el invento del teléfono por A.G. Bell. Después
se han ido sucediendo una serie de inventos y desarrollos que han mejorado notablemente el servicio
telefónico. En la actualidad, este servicio está completamente automatizado y alcanza a más de 1000
millones de personas a lo largo de todo el mundo y la red está prácticamente digitalizada. La telefonía
ha sido hasta hace poco transmitida por cable, hasta la aparición de la telefonía móvil.
La Telefonía móvil surge con los primeros experimentos de Marconi en 1901, en los que instalaron los
primeros sistemas de radio móvil sobre algunos vehículos. El primer servicio de telefonía móvil fue
utilizado por la policia de Detroit en los años 20 del siglo XX.
En este proceso se han ido produciendo muchos avances, tanto teóricos como tecnológicos, que han
sentado las base de la situación actual.
El desarrollo del concepto celular (esto es, un sistema compuesto por un conjunto de estaciones base
coordinadas, donde se reutilizan las frecuencias disponibles), permite que un sólo sistema tenga una
extensión y capacidad prácticamente ilimitadas, haciendo las células cada vez más pequeñas. De forma
complementaria, las funciones de ’roaming’ (itinerancia) y ’handover’ (traspaso) permite que los usuarios
puedan moverse libremente a través del sistema sin percibir el cambio de estación base. En los sistemas
GSM, ya periclitado, y su evolución hacia los sistemas 3G,4G y más recientemente 5G, la itinerancia
hace que se puedan cursar comunicaciones incluso cambiando de país.
En un principio, el servicio de telefonía móvil se asemejó al fijo y permitía solamente llamadas de voz,
pero poco a poco se fueron introduciendo mejoras y extendiendo las aplicaciones a transmisión de datos
e imágenes. En la actualidad el número de servicios que ofrecen los distintos operadores es muy grande:
internet, redes sociales,etc.
La radiocomunicación no se reduce sólo a la telefonía móvil; servicios, entre otros, como las comunica-
ciones vía satélite, los sistemas de navegación, que permiten determinar con mucha precisión la posición
del receptor, la radio-afición y los servicios de radiodifusión.
Una particularidad de los sistemas de radiocomunicación es que la transmisión es inherentemente paso
banda, esto es, el mensaje se ha de trasladar a una cierta frecuencia para que la transmisión sea eficiente.
En las tablas 1.1 y 1.2 se describe el espectro según la ITU y la utilización del mismo por los diversos
servicios.
Los sistemas de transmisión analógico por cable son fundamentalmente paso bajo, es decir, el mensaje se
transmite en su misma banda de frecuencias, con o sin previo procesado. En algunos casos la transmisión
puede ser paso banda.
Para entender los conceptos que se presentan en este trabajo, el estudiante debe tener unos conocimientos
básicos de variable compleja y de Señales y Sistemas. En el apéndice A se describen algunos conceptos
fundamentales de variable compleja. En el capítulo 2 se presentan los conceptos necesarios de señales y
sistemas para el estudio de esta Introducción a los Sistemas de Comunicaciones. Muchos de los estudian-
tes podrían saltarse gran parte de este capítulo ya que la temática la han cursado en asignaturas previas.
No obstante, es conveniente hacer una primera lectura de los mismos para identificar qué conceptos se
han trabajado y qué conceptos no. Además, el capítulo puede servir como referencia para los capítulos
posteriores. En cualquier caso la temática de procesos estocásticos está bastante ampliada.
2
Cuadro 1.1: Espectro Radioeléctrico(1)
DESCRIPCIÓN DEL ESPECTRO
Banda Abreviatura ITU Frequencia y
longitud de onda
(aire)
Ejemplos de uso
Frecuencia
tremendamente
baja
TLF <3 Hz
>100.000 km
Frecuencia en la que trabaja
la actividad neuronal
Frecuencia ex-
tremadamente
baja
ELF 1 3-30 Hz
100.000-10.000 km
Actividad neuronal, Comuni-
cación con submarinos
Super baja
frecuencia
SLF 2 30-300 Hz
10.000-1.000 km
Comunicación con submari-
nos
Ultra baja
frecuencia
ELF 3 300-3000 Hz
1.000-100 Km
Comunicación con submari-
nos, Comunicaciones en mi-
nas a través de la tierra
Muy baja
frecuencia
VLF 4 3-30 kHz
100-10 km
Radioayuda, señales de tiem-
po, comunicación submari-
na, pulsómetros inalámbri-
cos, Geofísica
Baja frecuencia LF 5 30-300 kHz
10-1 km
Radioayuda, señales de tiem-
po, radiodifusión en AM (on-
da larga) (Europa y partes de
Asia), RFID, Radioafición
Frecuencia
media
MF 6 300-3000 kHz
1.000-100 m
Radiodifusión en AM (onda
media), Radioafición, Baliza-
miento de Aludes
Alta frecuencia HF 7 3-30 MHz
100-10 m
Radiodifusión en Onda cor-
ta, Banda ciudadana y radio-
afición, Comunicaciones de
aviación sobre el horizon-
te, RFID, Radar, Comunica-
ciones ALE, Comunicación
cuasi-vertical (NVIS), Telefo-
nía móvil y marina
Para acabar esta introducción, en la figura 1.1 se ilustra el modelo de un sistema de comunicaciones. Este
modelo es general y sirve para cualquier tipo de transmisión, eléctrica o no.
El mensaje puede ser una señal eléctrica o de cualquier otra naturaleza. En el segundo caso, el transductor
la convierte en una señal eléctrica. A la salida del sistema de transmisión, si es preciso, el transductor la
convierte a su naturaleza original.
Los sistemas de transmisión eléctrica, digitales o analógicos, (banda base o paso banda) se pueden dividir
en tres partes: modulador digital o analógico banda base, sistema analógico de transmisión (banda base
3
Cuadro 1.2: Espectro Radioeléctrico(2)
DESCRIPCIÓN DEL ESPECTRO
Banda Abreviatura ITU Frequencia y
longitud de onda
(aire)
Ejemplos de uso
Muy alta
frecuencia
VHF 8 30-300 MHz
10-1 m
FM, Televisión, Comunica-
ciones con aviones a la vis-
ta entre tierra-avión y avión-
avión, Telefonía móvil maríti-
ma y terrestre, Radioaficiona-
dos, Radio meteorológica
Ultra alta
frecuencia
UHF 9 300-3000 MHz
1.000-100 mm
Televisión, Hornos micro-
ondas, Comunicaciones por
microondas, Radioastrono-
mía, Telefonía móvil, Redes
inalámbricas, Bluetooth,
ZigBee, GPS, Comunicacio-
nes uno a uno como FRS y
GMRS, Radioafición
Super alta
frecuencia
SHF 10 3-30 GHz
100-10 mm
Radioastronomía, Comunica-
ciones por microondas, Redes
inalámbricas, radares moder-
nos, Comunicaciones por sa-
télite, Televisión por satélite,
DBS, Radioafición
Frecuencia ex-
tremadamente
alta
EHF 11 30-300 GHz
10-1 mm
Radioastronomía, Transmi-
sión por microondas de alta
frecuencia, Teledetección,
Radioafición, armas de mi-
croondas,Escaner de ondas
milimétricas
Terahercios o
Frecuencia
tremendamente
alta
THz ó THF 12 300-3.000 GHz
1-0,1 mm
Radiografía de terahercios
un posible substituto para
los rayos X en algunas apli-
caciones médicas, Dinámica
molecular ultrarápida, Físi-
ca de la materia condensa-
da, Espectroscopía median-
te terahercios, Comunicacio-
nes/computación mediante te-
rahercios, Teledetección sub-
milimétrica
o paso banda) y demodulador digital o analógico banda base.
4
MENSAJE TRANSDUCTOR SISTEMA DECOMUNICACIONES TRANSDUCTOR DESTINO
Figura 1.1: Modelo de un sistema de comunicaciones
En la figura 1.2 se presenta el diagrama de bloques del sistema paso banda analógico.
TRANSMISOR
PASO BANDA
RECEPTOR
PASO BANDA
CANAL( )i t ( )Rs t( )Ts t
cf cθ
( )ch t
( )e t
olf olθ
( )yi t
SISTEMA DE TRANSMISIÓN ANALÓGICO PASO BANDA
( )q t ( )yq t
Figura 1.2: Sistema paso banda analógico
i(t) y q(t) son las señales paso bajo, relacionadas con el mensaje, que se desean transmitir e iy(t) y qy(t)
las señales entregadas por sistema de transmisión, que en general están distorsionadas por el canal y
contaminadas por el ruido y posibles interferencias.
Un sistema de transmisión banda base tiene la misma estructura que el de paso banda y donde se puede
considerar que la frecuencia y fase de la portadora son nulas, esto es, fc = 0, θc = 0, q(t) = 0, s(t)≡
is(t), la señal de entrada e y(t)≡ ys(t) la señal de salida. La señales, el transmisor, el canal y el receptor
son todos paso bajo.
Ambos sistemas serán estudiados con detalle en el capítulo 5.
A continuación se describe brevemente la estructura de los capítulos de estas notas:
En el capítulo 2 se presentan los conceptos fundamentales de señales y sistemas, tanto para las señales
deterministas como para las aleatorias. Parte de esta materia ya ha sido estudiada en cursos anteriores,
pero como ha sido mencionado, en este capítulo se repasan y se amplían algunos conceptos. En especial,
se hace hincapié en los conceptos de autocorrelación y densidad espectral, así como en la correlación
cruzada y densidad espectral cruzada, tanto de señales de energía finita como de potencia media finita y
procesos estocásticos. También se estudia la autocorrelación y las correlaciones cruzadas de las señales
de entrada y las de salida a través de sistemas lineales.
En el capítulo 3, se estudian los conceptos y herramientas para entender las señales y los sistemas paso
banda. Se estudian tanto las señales deterministas como las señales aleatorias paso banda.
Los dos capítulos anteriores también incluyen la caracterización de sistemas simples, tanto de manera
general, como paso banda en particular.
En el capítulo 4 se describen las distintas fuentes de ruido en los sistemas de comunicaciones, pero el
estudio se circunscribe prácticamente al ruido generado por el propio receptor de comunicaciones. El
5
ruido será caracterizado como un proceso aleatorio.
En el capítulo 5 se estudian los sistemas analógicos completos, tanto los paso banda como el de la figura
1.2 como los sistemas banda base, utilizando todas las herramientas descritas en los capítulos 2 y 3.
Finalmente, en el capítulo 6 se describen los sistemas de transmisión digital, tanto banda base, como
paso banda. Las modulaciones digitales más elementales son introducidas con todo lujo de detalle y
la modulación y demodulación digital banda base son estudiadas, así como su interconexión con los
sistemas analógicos descritos en el capítulo 5. Por último, se introducen los estimadores MAP y ML y
se calcula la probabilidad de error del sistema.
Además del apéndices de Variable Compleja, se han incluidos otros en los que se realizan algunos desa-
rrollos y demostraciones que podría romper el hilo de la descripción teórica.
6
2 SEÑALES Y SISTEMAS
El estudio profundo de la naturaleza es la fuente
más fértil de descubrimientos matemáticos. Las
matemáticas parecen constituir una facultad de la
mente humana destinada a compensar la brevedad
de la vida y la imperfección de los sentidos
Joseph Fourier.
1768−1830
Una señal es cualquier magnitud asociada a un fenómeno físico, función de una o más variables indepen-
dientes, que puede ser revelada por un instrumento o percibida por el hombre y que contiene información
sobre el fenómeno.
Ejemplos:
1. señal de voz
2. fotografía
3. velocidad del viento en función de la altura, etc.
Matemáticamente se puede expresar, para una sola variable, como x(t); −∞ < t < ∞, siendo t la varia-
ble tiempo.
En este capítulo se estudiarán tanto las señales deterministas como las aleatorias ( procesos estocásticos).
Asímismo, se describirán las características más importantes de los sistemas lineales e invariantes.
2.1 SEÑALES DETERMINISTAS
Las señales deterministas se caracterizan por ser absolutamente predecibles a partir de su expresión
matemática. Se pueden dividir en dos clases: Señales de energía finita y Señales de potencia media finita
7
2.1.1 Señales de energía finita
Las señales de energía finita son aquellas cuya energía
Ex =
∫
∞
−∞
|x(t)|2dt < ∞
está acotada, donde se ha considerado que la señal x(t) puede ser compleja.
Los ejemplos más utilizados en comunicaciones son:
1. Pulso rectangular
 2
 
/( ) t Tx t A
T
Π
−
=
 
 
 
 
A 
0 T t 
Figura 2.1: Pulso rectangular
∏
( t
T
)
=

1 0 < t < T
0 resto
2. Pulso triangular
 )( )(
T
tAtx Λ=
-T T
A
t
Figura 2.2: Pulso triangular
Λ
( t
T
)
=
1−
|t|
T −T < t < T
0 resto
3. Pulso de Manchester
x(t) = ∏
(
t −T/4
T/2
)
−∏
(
t −3T/4
T/2
)
8
T
1
t
( )x t
/ 2T
Figura 2.3: Pulso de Manchester
4. Pulsos de Nyquist
Estos pulsos serán estudiados con todo detalle en el capítulo 6
Obsérvese la diferencia de notación entre el pulso rectangular y el pulso triangular. El denominador T
de la función es el mismo, en tanto que la duración es diferente: T para el pulso rectangular y 2T para el
triangular.
2.1.2 Señales de potencia media finita
Las señales de potencia media finita son aquellas cuya energía es infinita, pero la potencia definida como:
Px = lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl
2
− Tl2
|x(t)|2dt (2.1)
es finita. Tl es un parámetro arbitrario, habitualmente denominado como T en la mayoría de los libros de
texto. Aquí se ha cambiado dicha denominación para evitar que se confunda con el periodo de pulso T
reservado para las comunicaciones digitales.
Las señales de potencia media finita más comunes son el escalón y todas las funciones periódicas.
1. Función escalón
u(t) =

1 t > 0
0 t < 0
Aplicando la definición, es fácil demostrar que la potencia del escalón es Pu = 1/2
2. Señales periódicas
Se dice que una señal es periódica, con periodo T0 si verifica que x(t +T0) = x(t); ∀t
Una señal periódica se puede escribir como:
x(t) =
∞
∑
n=−∞
xb(t −nT0) = xb(t)∗
∞
∑
n=−∞
δ (t −nT0) (2.2)
9
1
0
( )u t
t
Figura 2.4: Función escalón
Es decir, es la repetición periódica, con periodo T0, de una función base xb(t) de energía finita.
Esta señal no tiene porqué estar limitada al periodo y puede tener cualquier duración. Para estas
señales la expresión general de la potencia 2.1 se reduce a:
Px =
1
T0
∫ T0
2
− T02
|xb(t)|2dt
Dentro de las funciones periódicas, las más usadas son las funciones trigonométricas
x1(t) = Acos(2π f0t +φ)
y
x2(t) = Asin(2π f0t +φ)
El periodo es T0 = 1/ f0.
Aplicando cualquiera de las dos fórmulas de la potencia y haciendo uso de las relaciones trigono-
métricas pertinentes se obtiene:
Px1(t) = Px2(t) = A
2/2
2.2 SISTEMAS LINEALES. RESPUESTA IMPUL-
SIONAL
La salida de un sistema lineal invariante viene dada por la convolución de la señal de entrada con la
respuesta impulsional del sistema:
y(t) = x(t)∗h(t) (2.3)
2.2.1 Propiedades de la convolución
1. La convolución es conmutativa
x(t)∗h(t) =
∫
∞
−∞
x(t)h(t −α)dα =
∫
∞
−∞
h(t)x(t −α)dα = h(t)∗ x(t)
2. La convolución es asociativa
[x(t)∗h1(t)]∗h2(t) = x(t)∗ [h1(t)∗h2(t)] = x(t)∗h1(t)∗h2(t)
10
Combinando ambas propiedades,se puede concluir que las dos convoluciones se pueden realizar en
cualquier orden. Así,
x(t)∗h1(t)∗h2(t) = x(t)∗h2(t)∗h1(t)
2.3 TRANSORMADA DE FOURIER
La transformada de Fourier de una señal de energía finita (o de un sistema LTI) se definen como:
X( f ) = F [x(t)] =
∫
∞
−∞
x(t)e− j2π f tdt
H( f ) = F [h(t)] =
∫
∞
−∞
h(t)e− j2π f tdt
y la transformada inversa
x(t) = F−1[X( f )] =
∫
∞
−∞
X( f )e j2π f tdt
h(t) = F−1[H( f )] =
∫
∞
−∞
H( f )e j2π f tdt
La transformada de Fourier así definida, no tiene existencia para las funciones de potencia media finita
en el dominio C2. No obstante, el concepto se puede generalizar para dichas señales mediante el uso
de la función delta de Dirac: δ (t) en el dominio del tiempo y δ ( f ) en el dominio de la frecuencia. En
cualquiera de las referencias bibliográficas y en concreto en la referencia [4], se pueden estudiar las
propiedades de la función delta de Dirac. Esta función se trata en una rama de las matemáticas llamada
funciones generalizadas y en la teoría de las distribuciones. Las dos propiedades más importantes son:∫
∞
−∞
δ (t)dt = 1
∫
∞
−∞
δ (t − t0)x(t)dt = x(t0)
Usando ambas propiedades se pueden obtener fácilmente las transformadas de Fourier de las señales de
potencia media finita.
2.3.1 Algunas propiedades importantes de la transformada de Fourier
1. Si la señal es real se cumple que
X(− f ) = X∗( f )
2. Desplazamiento temporal
F [x(t − τ)] = X( f )e− j2π f τ
3. Desplazamiento frecuencial
F−1[X( f − f0) = x(t)e j2π f0t
Obsérvese la dualidad de ambas propiedades. Sólo cambia el signo de la exponencial compleja.
Las relaciones inversas son las mismas.
4. La transformada de Fourier de una función delta en el dominio temporal es una constante.
F [δ (t)] = 1
11
5. Análogamente la transformada inversa de Fourier de una delta en el dominio frecuencial también
es la unidad
F−1[δ ( f )] = 1
6. La transformada de Fourier de la derivada de una señal es
F
[
dx(t)
dt
]
= j2πX( f )
7. Análogamente la transformada inversa de Fourier de la derivada frecuencial es
F−1
[
dX( f )
d f
]
=− j2πx(t)
Obsérvese de nuevo el cambio de signo respecto a la transformada en el dominio temporal.
2.3.2 Transformada de Fourier de señales periódicas
La transformada de Fourier se puede calcular de dos maneras:
1. mediante la transformada de la expresión 2.2
X( f ) = Xb( f )F
[
∞
∑
n=−∞
δ (t −nT0)
]
= Xb( f )
1
T0
∞
∑
m=−∞
δ ( f −m f0) =
∞
∑
m=−∞
Xb(m f0)
T0
δ ( f −m f0)
La transforma del tren de impulsos se desarrolla en el apéndice B.
2. Mediante el desarrollo en serie de la función:
x(t) =
∞
∑
n=−∞
cnxe j2πn f0t
con
cnx =
∫
T0
x(t)e− j2πn f0tdt
y la transformada de Fourier
X( f ) =
∞
∑
n=−∞
cnxδ ( f −n f0)
Ambos resultados deben ser idénticos y por tanto, se debe cumplir que:
cnx =
Xb(n f0)
T0
2.4 CORRELACIÓN Y DENSIDAD ESPECTRAL DE
SEÑALES DE ENERGÍA FINITA
2.4.1 Correlación de señales de energía finita
Distancia entre dos señales de energía finita
La distancia entre dos señales de energía finita se puede definir como:
Dxy(τ) =
∫
∞
−∞
|x(t + τ)− y(t)|2dt
12
Esta distancia es siempre positiva y mide el parecido entre ambas señales desde el punto de vista cuadrá-
tico integral. El valor de la misma depende del desplazamiento relativo entre señales.
Desarrollando el integrando se obtiene:
Dxy(τ) = Ex +Ey −2Re[Rxy(τ)]
siendo:
Ex =
∫
∞
−∞
|x(t)|2dt
y
Ey =
∫
∞
−∞
|y(t)|2dt
las denominadas energías de las señales x(t) e y(t), y
Rxy(τ) =
∫
∞
−∞
x(t + τ)y∗(t)dt (2.4)
es lo que se conoce como la correlación cruzada de dos señales de energía finita x(t) e y(t). Esta correla-
ción se puede escribir también como:
Rxy(τ) = x(τ)∗ y∗(−τ)
Al ser la distancia positiva se cumple que:
Re[Rxy(τ)]≤
Ex +Ey
2
Si las señales son de duración finita dx y dy, respectivamente, la correlación tendrá una duración dx +dy,
de acuerdo con las propiedades de la convolución.
Si las señales son reales, la correlación también será real y puede escribirse:
Rxy(τ)≤
Ex +Ey
2
De ahí la denominación de correlación. Cuanto mayor es la correlación, menor es la distancia entre las
señales, es decir mayor es el parecido entre ambas.
Si ambas señales son la misma, se tiene la autocorrelación:
Dx(τ) = 2Ex −2Re[Rx(τ)]
y
Rx(τ) =
∫
∞
−∞
x(t + τ)x∗(t)dt = x(τ)∗ x∗(−τ) (2.5)
Igual que la correlación cruzada se ha de cumplir que:
Re[Rx(τ)]≤ Ex
Si la señal es de duración finita dx, la autocorrelación tendrá una duración 2dx
Esta autocorrelación mide el parecido de una señal consigo misma cuando se desplaza un tiempo τ .
La energía cruzada de las señales es:
Exy =
∫
∞
−∞
x(t)y∗(t)dt = Rxy(0)
Esta energía es en general compleja. Y la energía de la señal es:
Ex =
∫
∞
−∞
|x(t)|2(t)dt = Rx(0)
Siempre es real y positiva, como debe ser por razones físicas.
13
Propiedades de la autocorrelación
1. Rx(0) = Ex
2. |Rx(τ)| ≤ Rx(0) = Ex
La primera es evidente por definición, y la segunda se demuestra utilizando la desigualdad de Cauchy∣∣∣∣∫ ∞−∞ u(t)v∗(t)dt
∣∣∣∣2 ≤ ∫ ∞−∞ |u(t)|2dt
∫
∞
−∞
|v(t)|2dt
Identificando u(t)≡ x(t + τ) y v(t)≡ x(t), se obtiene dicha propiedad.
Identificando u(t)≡ x(t + τ) y v(t)≡ y(t), se obtiene otra propiedad de la correlación cruzada.
|Exy| ≤
√
ExEy
2.4.2 Densidad espectral de señales de energía finita
La densidad espectral de energía de una señal de energía finita se puede definir como:
Sx( f ) = |X( f )|2
De esta manera, la energía de la señal será:
Ex =
∫
∞
−∞
Sx( f )d f
Lo que puede interpretarse cómo se distribuye la energía en el espectro.
Es fácil comprobar que esta densidad es la transformada de Fourier de la autocorrelación. Utilizando la
expresión 2.5 se tiene:
F [Rx(τ)] = F [x(τ)∗ x∗(−τ)] = X( f )X∗( f ) = |X( f )|2 = Sx( f )
Donde se ha tenido en cuenta que F [x∗(−τ)] = X∗( f )
Correlación y densidad espectral de los ejemplos de señal expuestos en la sección 2.1.1
1. Pulso rectangular
Correlación
Rp(τ) = p(τ)∗ p(−τ)
Esta correlación se puede realizar gráficamente y da como resultado:
Rp(τ) = T Λ
(
τ
T
)
ilustrada en la figura 2.5
14
T− T
T
τT
1
t
( )p t ( )pR τ
Figura 2.5: Correlación del pulso rectangular de duración T
Densidad espectral
P( f ) = F
[
∏
(
τ −T/2
T
)]
= T sinc( f T )e− j2π f T/2
Sp( f ) = |P( f )|2 = T 2 sinc2( f T )
Esta densidad se representa en la figura 2.6.
donde r = 1/T .
2. Pulso triangular
La correlación y la densidad espectral de este pulso tiene poco interés en comunicaciones.
3. Pulso de Manchester
p(t) = ∏
(
t −T/4
T/2
)
−∏
(
t −3T/4
T/2
)
La expresión matemática de la correlación de este pulso se puede escribir como:
Rp(τ) = T Λ
(
τ
T/2
)
− T
2
Λ
(
τ +T/2
T/2
)
− T
2
Λ
(
τ −T/2
T/2
)
El pulso y su correlación se ilustran en la figura 2.7
P( f ) =
T
2
sinc( f T/2)e− j2π f T/4 − T
2
sinc( f T/2)e− j2π f 3T/4 =
= jTe− jπ f T sinc( f T/2)sinπ f T/2
Sp( f ) = |P( f )|2 = T 2 sinc2( f T/2)sin2 π f T/2
La densidad espectral de este pulso es la de la figura 2.8
4. Pulsos de Nyquist
La correlación y la densidad de estos pulsos se ilustran en la sección 6.6.2
15
-3 -2 -1 0 1 2 3
frecuencia normalizada
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
de
ns
id
ad
 e
sp
ec
tra
l
/f r
2 ( )pr S f
Figura 2.6: Densidad espectral del pulso rectangular
T− T
T
τ
T
1
t
( )p t ( )pR τ
/ 2T
/ 2T− / 2T−
Figura 2.7: Correlación del pulso de Manchester
2.5 CORRELACIÓN Y DENSIDAD ESPECTRAL DE
SEÑALES DE POTENCIA MEDIA FINITA
2.5.1 Correlación de señales de potencia media finita
Distancia entre dos señales de potencia media finita
La distancia entre dos señales de potencia media finita se puede definir como:
Dxy(τ) = lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl
2
− Tl2
|x(t + τ)− y(t)|2dt
16
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
frecuencia normalizada
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
de
ns
id
ad
 e
sp
ec
tr
al
Figura 2.8: Densidad espectral del pulso de Manchester
Esta distancia es siempre positiva y mide el parecido entre ambas señales desde el punto de vista del
promedio temporal cuadrático integral.El valor de la misma depende del desplazamiento relativo entre
señales:
Desarrollando el integrando y promediando se obtiene:
Dxy(τ) = Px +Py −2Re[Rxy(τ)]
siendo:
Px = lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl
2
− Tl2
|x(t)|2dt (2.6)
y
Py = lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl
2
− Tl2
|y(t)|2dt
las denominadas potencias de las señales x(t) e y(t), y
Rxy(τ) = lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl
2
− Tl2
x(t + τ)y∗(t)dt (2.7)
la denominada correlación cruzada de dos señales de potencia finita x(t) e y(t).
Al ser la distancia positiva se cumple que:
Re[Rxy(τ)]≤
Px +Py
2
Si las señales son reales, la correlación también será real y puede escribirse:
Rxy(τ)≤
Px +Py
2
17
de ahí la denominación de correlación. Cuanto mayor es la correlación, menor es la distancia entre las
señales, es decir mayor es el parecido entre ambas.
Si ambas señales son la misma, se tiene la autocorrelación:
Dx(τ) = 2Px −2Re[Rx(τ)]
y
Rx(τ) = lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl
2
− Tl2
x(t + τ)x∗(t)dt (2.8)
Igual que la correlación cruzada se ha de cumplir que:
Re[Rx(τ)]≤ Px
Esta autocorrelación mide el parecido de una señal consigo misma cuando se desplaza un tiempo τ .
La potencia cruzada de las señales es:
Pxy = lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl
2
− Tl2
x(t)y∗(t)dt = Rxy(0)
esta potencia es en general compleja y la potencia de la señal es:
Px = lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl
2
− Tl2
|x(t)|2(t)dt = Rx(0)
siempre es real y positiva, como debe ser por razones físicas.
Propiedades de la autocorrelación
1. Rx(0) = Px
2. |Rx(τ)| ≤ Rx(0) = Px
La primera es evidente por definición, y la segunda se demuestra utilizando la desigualdad de Cauchy∣∣∣∣∣ lı́mTl→∞ 1Tl
∫ Tl
2
− Tl2
u(t)v∗(t)dt
∣∣∣∣∣
2
≤ lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl
2
− Tl2
|u(t)|2dt lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl
2
− Tl2
|v(t)|2dt
Identificando u(t)≡ x(t +τ) y v(t)≡ x(t), se obtiene otra propiedad de la correlación cruzada. Análoga-
mente se puede demostrar que:
|Pxy| ≤
√
PxPy
Obsérvese que la potencia de la señal es:
Px = Rx(0)
que coincide con la expresión 2.1 y, que en forma, tiene la misma expresión que la de las señales de
energía finita.
Un ejercicio interesante es el cálculo de la correlación de la función escalón. Utilizando la expresión
general, dicha correlación, de acuerdo con la figura 2.9
18
 
2/lT− 2/lT t 
( )u t 1 
τ− 
( )u t τ+ 
Figura 2.9: Cálculo de la correlación de la función escalón
Figura 2.10: Correlación de la función escalón
es:
Ru(τ) = lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl
2
− Tl2
u(t + τ)u(t)dt = lı́m
Tl→∞
1
Tl
(
Tl
2
)
=
1
2
Esta correlación se representa en la figura 2.10.
La potencia es Px = 1/2.
2.5.2 Correlación de señales periódicas
La correlación de las señales periódicas puede obtenerse vía su desarrollo en serie de Fourier.
x(t) =
∞
∑
n=−∞
cnxe j2πn f0xt
Siendo f0x = 1T0x y T0x el periodo de la señal x(t).
19
Análogamente:
y(t) =
∞
∑
m=−∞
cmye j2πm f0yt
con f0y = 1T0y y T0y el periodo de la señal y(t).
Sustituyendo estos desarrollos en la expresión 2.7, cambiando el orden de los sumatorios y la integral se
obtiene:
Rxy(τ) =
∞
∑
n=−∞
∞
∑
m=−∞
cnxcmye j2πn f0xτ lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl
2
− Tl2
e j2π(m f0y−n f0x)t
Resolviendo la integral se tiene finalmente:
Rxy(τ) =
∞
∑
n=−∞
∞
∑
m=−∞
cnxc∗mye
j2πn f0xτ lı́m
Tl→∞
sin2π(m f0y −n f0x)Tl
2πTl(m f0y −n f0x)
El límite será distinto de cero para aquellas parejas de valores n y m tales que:
m f0y = n f0x = f0
En este caso caso, se anulan numerador y denominador y el límite es la unidad.
Para que se cumpla la igualdad anterior se ha de verificar que f0yf0x =
T0x
T0y
sea un número racional. En caso
contrario la integral sólo sería distinta de cero para m = n = 0, quedando la correlación como:
Rxy = c0xc∗0y
Sea (m0,n0) la pareja de números más pequeños tales que:
m0 f0y = n0 f0x = f0
f0 es el mínimo común múltiplo y por tanto T0 = 1/ f0, el periodo común, el máximo común divisor. la
correlación cruzada será una función periódica con periodo T0
Rxy(τ) =
∞
∑
k=−∞
ckn0xc
∗
km0ye
j2πk f0τ
ya que el resto de términos de los dos sumatorios serían nulos.
Si las señales tienen el mismo periodo T0, n0 = m0 = 1, la correlación cruzada será también periódica
con el mismo periodo:
Rxy(τ) =
∞
∑
k=−∞
ckxc∗kye
j2πk f0τ
La potencia media cruzada es:
Pxy = Rxy(0) =
∞
∑
k=−∞
ckxc∗ky
Si ambas señales son iguales y(t)≡ x(t), Se obtiene la autocorrelación:
Rx(τ) =
∞
∑
k=−∞
|ckx|2e j2πk f0τ (2.9)
y la potencia:
Px = Rx(0) =
∞
∑
k=−∞
|ckx|2
20
Un caso particular es la correlación cruzada de dos sinusoides complejas x(t) = A1e j2π f1t e y(t) =
A2e j2π f2t . En este caso el desarrollo en serie de Fourier sólo existe para n = 1 y m = 1 y la igualdad
m f2 = n f1
sólo se cumple si f1 = f2, lo que significa que la correlación cruzada será nula si las frecuencias son
diferentes. Si ambas frecuencias son iguales la correlación es:
Rxy(τ) = A1A2e j2π f1τ
Sean ahora las funciones:
cos(2π f0x+φ) =
1
2
[
e j(2π f0t+φ)+ e− j(2π f0t+φ)
]
sin(2π f0x+φ) =
1
2 j
[
e j(2π f0t+φ)− e− j(2π f0t+φ)
]
Los coeficientes en la serie son, respectivamente:
c1x = c(−1)x =
1
2
e jφ ; 0 resto
c1x =
1
2 j
e jφ ;c(−1)x =−
1
2 j
e jφ ; 0 resto
Por tanto las correlaciones serán:
Rx(τ) =
1
4
[e j2π f0τ + e− j2π f0τ ] =
1
2
cos2π f0τ
idénticas para ambas funciones.
Obsérvese que la correlación no depende de la fase. Todas estas correlaciones se pueden calcular fácil-
mente utilizando directamente la expresión general para la correlación de una señal de potencia media
finita.
2.5.3 Densidad espectral de señales de potencia media finita
La expresión 2.6 se puede escribir como
Px = lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫
∞
−∞
|xTl (t)|
2(t)dt = lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫
∞
−∞
|XTl ( f )|
2d f
donde se ha aplicado el teorema de Parseval.
Introduciendo el límite dentro de la integral, la densidad espectral de potencia media se puede escribir
como
Sx( f ) = lı́m
Tl→∞
|XTl ( f )|2
Tl
De esta manera, la potencia de la señal será:
Px =
∫
∞
−∞
Sx( f )d f
lo que puede interpretarse cómo se distribuye la potencia en el espectro.
21
Es fácil comprobar que esta densidad es la transformada de Fourier de la autocorrelación. Utilizando la
expresión 2.8 se tiene:
Rx(τ) = lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl
2
− Tl2
x(t + τ)x∗(t)dt = lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫
∞
−∞
xTl (t + τ)x
∗
Tl (t)dt
Tomando la trasformada de Fourier respecto de la variable τ e inercambiando las integrales:
F [Rx(τ)] = lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫
∞
−∞
x∗Tl (t)
[∫
∞
−∞
xTl (t + τ)e
− j2π f τd f
]
dt =
= lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫
∞
−∞
x∗Tl (t)XTl ( f )e
j2π f tdt = lı́m
Tl→∞
|XTl ( f )|2
Tl
= Sx( f )
En conclusión:
Sx( f ) = F [Rx(τ)] (2.10)
De manera análoga se puede demostrar:
Sxy( f ) = F [Rxy(τ)] (2.11)
Densidad espectral de la función escalón
Sx( f ) =
1
2
δ ( f )
Densidad espectral de señales periódicas
Tomando la transformada de Fourier en la expresión 2.9
Sx( f ) =
∞
∑
k=−∞
|ckx|2δ ( f − k f0)
En particular para las funciones:
cos(2π f0x+φ) =
1
2
[
e j2π f0t+φ + e(− j2π f0t+φ)
]
sin(2π f0x+φ) =
1
2 j
[
e j2π f0t+φ − e(− j2π f0t+φ)
]
los coeficientes en la serie son, respectivamente:
c1x = c(−1)x =
1
2
e jφ ; 0 resto
c1x =
1
2 j
e jφ ;c(−1)x =−
1
2 j
e jφ ; 0 resto
Por tanto la densidad espectral
Sx( f ) =
1
4
[δ ( f − f0)+δ ( f + f0)]
Idéntica para ambas funciones. Obsérvese que la densidad espectral no depende de la fase.
22
2.6 SEÑALES DE ENERGÍA FINITA Y SISTEMAS
LINEALES
El valor medio de una señal de energía finita se define como:
µx =
∫
∞
−∞
x(t)dt
Sea x(t) una señal de energía finita, de media µx y autocorrelación Rx(τ), de entrada a un sistema lineal
e invariante como el de la figura 2.11
( )h t( )x t ( )y t
Figura 2.11: Sistema lineal
La relación entrada-salida en el dominio temporal para estas señales ya ha sido definida por la expresión
2.3,
y(t) =
∫
∞
−∞
x(t −α)h(α)dα =
∫
∞
−∞
x(α)h(t −α)dα
El valor medio de la señal de salida y(t) será
µy =
∫
∞
−∞
y(t)dt =
∫
∞
−∞
dt
∫
∞
−∞
x(t −α)h(α)dα
Intercambiando las integrales
µy =
∫
∞
−∞
h(α)dα
∫
∞
−∞
x(t −α)dt = µx
∫
∞
−∞
h(α)dα = µxH(0)
La segunda integral es el valor mediode x(t) y no depende de t∫
∞
−∞
x(t −α)dα =
∫
∞
−∞
x(β )dβ
Por tanto
µY =
∫
∞
−∞
µX h(α)dα = µX H(0) (2.12)
Siendo H(0) la transformada de Fourier de h(t) en el origen ( f = 0)
Correlación de la señal de salida
La correlación de la señal de salida se puede calcular directamente:
Ry(τ) =
∫
∞
−∞
y(t + τ)y∗(t)dt =
∫
∞
−∞
[∫
∞
−∞
x(t + τ −α)h(α)dα
∫
∞
−∞
x∗(t −β )h∗(β )dβ
]
dt
Cambiando el orden de las integrales:
Ry(τ) =
∫
∞
−∞
∫
∞
−∞
[∫
∞
−∞
x(t + τ −α)x∗(t −β )dt
]
h(α)h∗(β )dαdβ =
=
∫
∞
−∞
∫
∞
−∞
Rx(τ −α +β )h(α)h∗(β )dαdβ
23
Realizando primero la integral respecto de α
Ry(τ) = h(τ)∗
∫
∞
−∞
Rx(τ +β )h∗(β )dβ = Rx(τ)∗h(τ)∗h∗(−τ)
La integral se resuelve haciendo el cambio de variable β =−λ y teniendo en cuenta que:∫
∞
−∞
Rx(τ −λ )h∗(−λ )dλ = Rx(τ)∗h∗(−τ)
Otra manera equivalente de calcular la correlación de la salida es calcular primero la correlación cruzada
salida-entrada:
Correlación cruzada salida-entrada
Ryx(τ) =
∫
∞
−∞
y(t + τ)x∗(t)dt =
∫
∞
−∞
[
x∗(t)
∫
∞
−∞
x(t + τ −α)h(α)dα
]
dt
Introduciendo x∗(t) dentro de la integral e intercambiando las integrales
Ryx(τ) =
∫
∞
−∞
[∫
∞
−∞
x(t + τ −α)x∗(t)dt
]
h(α)dα =
∫
∞
−∞
Rx(τ −α)h(α)dα
La última integral es la convolución
Ryx(τ) = Rx(τ)∗h(τ) (2.13)
El espectro cruzado es la transformada de Fourier de la correlación cruzada
Syx( f ) = Sx( f )H( f ) (2.14)
La correlación y el espectro cruzados de las señales entrada-salida x(t) e y(t) pueden obtenerse de manera
análoga a los de salida-entrada o bien a partir de las propiedades
Rxy(τ) = R∗yx(−τ) = Rx(τ)∗h∗(−τ)
ya que R∗x(−τ) = Rx(τ) y por consiguiente
Sxy = Sx( f )H∗( f )
Autocorrelación de la señal de salida
Ry(τ) =
∫
∞
−∞
y(t + τ)y∗(t)dt =
∫
∞
−∞
y(t + τ)
[∫
∞
−∞
x∗(t −α)h∗(α)dα
]
dt
Intercambiando las integrales
Ry(τ) =
∫
∞
−∞
Ryx(τ +α)h∗(α)dα =
∫
∞
−∞
Ryx(τ −β )h∗(−β )dβ
que es la convolución
Ry(τ) = Ryx(τ)∗h∗(−τ)
Sustituyendo la correlación cruzada salida-entrada
Ry(τ) = Rx(τ)∗h(τ)∗h∗(−τ) (2.15)
La transformada de Fourier de la correlación es el espectro de la señal de salida
Sy( f ) = Sx( f )|H( f )|2 (2.16)
que son las mismas que las calculadas directamente. Sin embargo, de esta manera, los resultados pueden
resumirse en el diagrama de la figura 2.12.
Otro problema interesante es el siguiente:
24
( )yS f( )yxS f
( )h τ
( )yxR τ ( )yR τ
( )xS f
*( )h τ−
( )xR τ
Figura 2.12: Correlaciones entrada salida deterministas
2.6.1 Señal filtrada con dos filtros en paralelo
Sean ahora dos señales y1(t) e y2(t) que se obtienen al filtrar una señal x(t) con dos filtros h1(t) y h2(t),
respectivamente. Ver figura 2.13 Como han sido calculadas en la subsección anterior:
Figura 2.13: Señal determinista filtrada por dos filtros
Ry1x(τ) = Rx(τ)∗h1(τ)
Ry2x(τ) = Rx(τ)∗h2(τ)
La correlación cruzada de las señales de salida se puede calcular de la siguiente manera:
Ry1y2(τ) =
∫
∞
−∞
y1(t + τ)y∗2(t)dt =
∫
∞
−∞
y∗2(t)
[∫
∞
−∞
x(t + τ −α)h1(α)dα
]
dt =
=
∫
∞
−∞
Rxy2(τ −α)h1(α)dα = Rxy2(τ)∗h1(τ)
ya que
Rxy2(τ) = R
∗
y2x(−τ)
Ry1y2(τ) = Rx(τ)∗h1(τ)∗h∗2(−τ)
Puesto que Ry2y1(τ) = R
∗
y1y2(−τ) y Rx(−τ) = R
∗
x(τ)
Ry2y1(τ) = Rx(τ)∗h2(τ)∗h∗1(−τ)
La densidad espectral cruzada
Sy1y2( f ) = Sx( f )H1( f )H
∗
2 ( f )
Si las respuestas frecuenciales de los filtros no se solapan, la densidad espectral cruzada y por tanto la
correlación cruzada serán nulas. Lo que significa que las señales y1(t) e y2(t) estarán incorreladas.
25
2.7 SEÑALES DE POTENCIA MEDIA FINITA Y
SISTEMAS LINEALES
El valor medio de una señal de potencia media finita se define como:
µx = lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl/2
−Tl/2
x(t)dt
Sea x(t) una señal de potencia media finita, de media µx y autocorrelación Rx(τ), de entrada a un sistema
lineal e invariante como el de la figura 2.14,
( )h t( )x t ( )y t
Figura 2.14: Sistema lineal
La relación entrada-salida en el dominio temporal para estas señales es la misma que para las señales de
energía finita, 2.3,
y(t) =
∫
∞
−∞
x(t −α)h(α)dα =
∫
∞
−∞
x(α)h(t −α)dα
El valor medio de la señal de salida y(t) será
µy = lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl/2
−Tl/2
y(t)dt = lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl/2
−Tl/2
dt
∫
∞
−∞
x(t −α)h(α)dα
Intercambiando las integrales
µy =
∫
∞
−∞
h(α)
[
lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl/2
−Tl/2
x(t −α)dt
]
dα = µx
∫
∞
−∞
h(α)dα = µxH(0)
La segunda integral es el valor medio de x(t) y no depende de t
lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl/2
−Tl/2
x(t −α)dα = lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl/2
−Tl/2
x(β )dβ
por tanto
µy =
∫
∞
−∞
µxh(α)dα = µX H(0) (2.17)
Siendo H(0) la transformada de Fourier de h(t) en el origen ( f = 0)
Correlación de la señal de salida
La correlación de la señal de salida se puede calcular directamente:
Ry(τ)= lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl/2
−Tl/2
y(t+τ)y∗(t)dt = lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl/2
−Tl/2
[∫
∞
−∞
x(t + τ −α)h(α)dα
∫
∞
−∞
x∗(t −β )h∗(β )dβ
]
dt
Cambiando el orden de las integrales:
Ry(τ) =
∫
∞
−∞
∫
∞
−∞
[
lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl/2
−Tl/2
x(t + τ −α)x∗(t −β )dt
]
h(α)h∗(β )dαdβ =
=
∫
∞
−∞
∫
∞
−∞
Rx(τ −α +β )h(α)h∗(β )dαdβ
26
realizando primero la integral respecto de α
Ry(τ) = h(τ)∗
∫
∞
−∞
Rx(τ +β )h∗(β )dβ = Rx(τ)∗h(τ)∗h∗(−τ)
donde la integral se resuelve haciendo el cambio de variable β =−λ y teniendo en cuenta que:∫
∞
−∞
Rx(τ −λ )h∗(−λ )dλ = Rx(τ)∗h∗(−τ)
Otra manera equivalente de calcular la correlación de la salida es calcular primero la correlación cruzada
salida-entrada:
Correlación cruzada salida-entrada
Ryx(τ) = lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl/2
−Tl/2
y(t + τ)x∗(t)dt =
∫
∞
−∞
x∗(t)
[
lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl/2
−Tl/2
x(t + τ −α)h(α)
]
dt
Introduciendo x∗(t) dentro de la integral e intercambiando las integrales
Ryx(τ) =
∫
∞
−∞
[
lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl/2
−Tl/2
x(t + τ −α)x∗(t)dt
]
h(α)dα =
∫
∞
−∞
Rx(τ −α)h(α)dα
La última integral es la convolución
Ryx(τ) = Rx(τ)∗h(τ) (2.18)
El espectro cruzado es la transformada de Fourier de la correlación cruzada
Syx( f ) = Sx( f )H( f ) (2.19)
La correlación y el espectro cruzados de las señales entrada-salida x(t) e y(t) pueden obtenerse de manera
análoga a los de salida-entrada o bien a partir de las propiedades
Rxy(τ) = R∗yx(−τ) = Rx(τ)∗h∗(−τ)
Ya que R∗x(−τ) = Rx(τ) y por consiguiente
Sxy = Sx( f )H∗( f )
Autocorrelación de la señal de salida
Ry(τ) = lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl/2
−Tl/2
y(t + τ)y∗(t)dt = lı́m
Tl→∞
1
Tl
∫ Tl/2
−Tl/2
y(t + τ)
[∫
∞
−∞
x∗(t −α)h∗(α)dα
]
dt
intercambiando las integrales
Ry(τ) =
∫
∞
−∞
Ryx(τ +α)h∗(α)dα =
∫
∞
−∞
Ryx(τ −β )h∗(−β )dβ
que es la convolución
Ry(τ) = Ryx(τ)∗h∗(−τ)
Sustituyendo la correlación cruzada salida-entrada
Ry(τ) = Rx(τ)∗h(τ)∗h∗(−τ) (2.20)
La transformada de Fourier de la correlación es el espectro de la señal de salida
Sy( f ) = Sx( f )|H( f )|2 (2.21)
Que son las mismas que las calculadas directamente y que en forma son las mismas que para las señales
de energía finita. Estos resultados se resumen la figura 2.15.
Otro problema interesante es el siguiente:
27
( )yS f( )yxS f
( )h τ
( )yxR τ ( )yR τ
( )xS f
*( )h τ−
( )xR τ
Figura 2.15: Correlaciones entrada-salida potencia media finita
2.7.1 Señal de potencia media finita filtrada con dos filtros en paralelo
Sean ahora dos señales de potencia media finita y1(t) e y2(t) que se obtienen al filtrar una señal x(t) con
dos filtros h1(t) y h2(t), respectivamente. Ver figura 2.16 Como han sido calculadas en la subsección
Figura 2.16: Señal de potencia media finita filtrada por dos filtros
anterior:
Ry1x(τ) = Rx(τ)∗h1(τ)
Ry2x(τ) = Rx(τ)∗h2(τ)
Las diferentes correlaciones se pueden calcular utilizando el mismo procedimiento que para señales
finitas.
Ry1y2(τ) = lı́mTl→∞
1
Tl
∫ Tl/2
−Tl/2
y1(t + τ)y∗2(t)dt = lı́mTl→∞
1
Tl
∫ Tl/2
−Tl/2
y∗2(t)
[∫
∞
−∞
x(t + τ −α)h1(α)dα
]
dt =
=
∫
∞
−∞
Rxy2(τ −α)h1(α)dα = Rxy2(τ)∗h1(τ)
Puesto que
Rxy2(τ) = R
∗
y2x(−τ)
Ry1y2(τ) = Rx(τ)∗h1(τ)∗h∗2(−τ)
Y dado que Ry2y1(τ) = R
∗
y1y2(−τ) y Rx(−τ) = R
∗
x(τ)
Ry2y1(τ) = Rx(τ)∗h2(τ)∗h∗1(−τ)
La densidad espectral cruzada
Sy1y2( f ) = Sx( f )H1( f )H
∗
2 ( f )
28
Si las respuestas frecuenciales de los filtros