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3 Polinomios
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Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
 E l Álgebra tiene una gran presencia como contenido matemático en la Educación Secundaria. En particular, en este curso se trabajan diversos aspectos del lenguaje algebraico: las letras con significado algebraico (variables), las expresiones algebraicas y sus operaciones, las ecuaciones lineales y cuadráticas, los procesos de pensamiento algebraico y la resolución de problemas. Así como ciertos aspectos del 
conocimiento numérico que constituyen la base para la aritmética generalizada, es decir, aquellos conocimientos que facilitan la transición del 
pensamiento numérico al algebraico. Las aproximaciones que se tratan en esta unidad son: la generalización de patrones numéricos y geomé-
tricos, el paralelismo entre las leyes que gobiernan las relaciones numéricas y las propiedades de las operaciones con expresiones algebraicas 
y la modelización de fenómenos físicos y matemáticos. Es importante para la comprensión progresiva del álgebra la destreza aritmética, ya 
que las primeras experiencias con el razonamiento algebraico se corresponden con la aritmética generalizada. Por ello parte de los contenidos 
expuestos en la unidad irán acompañados de ejemplos numéricos con el fin de que el estudiante infiera la similitud entre ambos procesos.
Un paso clave en la modelización matemática es la identificación y designación de las variables seguido del establecimiento de las relaciones 
formales entre las mismas, para lo que resulta imprescindible la manipulación de las expresiones simbólicas que muestra las propiedades del 
sistema modelizado y permite obtener nuevos conocimientos sobre el mismo. Finalmente se requiere la interpretación y aplicación de los 
resultados obtenidos con el modelo algebraico. A lo largo de la unidad aparecen ejemplos que parten de problemas extraídos de situaciones 
cotidianas, de otras ciencias y de contextos sociales, y cuya resolución pasa por la traducción y modelización algebraica.
En la mayoría de las actividades propuestas el alumnado trabajará varias competencias al mismo tiempo. 
Comunicación lingüística (CL) 
El razonamiento algebraico implica representar, generalizar y formalizar patrones y regularidades. A medida que se desarrolla este razonamien-
to, se va progresando en el uso del lenguaje y el simbolismo necesario para apoyar y comunicar el pensamiento algebraico. 
Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)
En los problemas incluidos en la unidad encontramos elementos teóricos que suponen el inicio de una reflexión sobre la estructura algebraica 
de los conjuntos y de las operaciones con sus elementos. Todo ello contribuye al desarrollo de la competencia matemática.
Competencia digital (CD)
El uso de las nuevas tecnologías proporciona una alternativa que suaviza el paso del pensamiento numérico al pensamiento algebraico a través 
de una propuesta de aula que permita al alumnado, mediante situaciones problemáticas pre-algebraicas, poner en práctica el conocimiento 
aritmético que posee a la vez que se familiariza con el leguaje algebraico.
Competencias sociales y cívicas (CSC)
Propiciar experiencias con procesos de generalización y búsqueda de patrones ayuda a adquirir conocimientos que permitan comprender y 
analizar de manera crítica modelos y pautas comunes que se presentan en la vida diaria. En la sección de Matemáticas vivas se modelizan los 
procesos de selección de personal mediante modelos algebraicos.
Competencia aprender a aprender (CAA)
El estudio del álgebra va más lejos del carácter puramente operativo. Ayuda a pensar, inducir, deducir, analizar, generalizar y abstraer. Contri-
buye a desarrollar una amplia gama de aptitudes y competencias que constituyen pilares fundamentales para futuros aprendizajes.
Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)
La mayoría de las ciencias recurren con frecuencia al lenguaje algebraico para expresar sus resultados. Sin embargo, la función informativa de 
las matemáticas no es la única útil para el hombre que vive en sociedad. El uso de operaciones sencillas y la aplicación de algunos algoritmos 
se hace necesario a menudo en situaciones laborales, sociales y comerciales.
Competencia conciencia y expresiones culturales (CCEC)
El reconocimiento de la presencia de identidades algebraicas en figuras geométricas aporta un nuevo punto de vista a la hora apreciar y dis-
frutar de diversas manifestaciones artísticas.
El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de 3 semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.
POLINOMIOS3
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3Polinomios
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Objetivos
Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:
❚❚ Emplear las expresiones algebraicas, así como sus operaciones, en distintos contextos.
❚❚ Realizar operaciones con polinomios.
❚❚ Relacionar las raíces de un polinomio con aquellos números para los cuales el valor numérico del polinomio se anula.
❚❚ Factorizar polinomios empleando, entre otras, identidades notables y teorema del resto.
❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el uso de polinomios.
❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando los polinomios y sus operaciones.
Atención a la diversidad
Para atender las diversas necesidades que presenta el grupo el docente podrá diseñar una organización flexible de los contenidos de la unidad 
con la inclusión de actividades de refuerzo y de ampliación con distintos niveles de dificultad.
Material complementario
En el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de 
problemas relacionadas con el estudio de los polinomios. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los 
contenidos y procedimientos estudiados sobre polinomios, y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.
Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con polinomios pueden acceder a la lección 1151 de la 
web www.mismates.es.
P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D
Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables
Relación de 
actividades del 
libro del alumno
Competencias 
clave
Expresiones 
algebraicas. 
Monomios
1. Representar y analizar situaciones 
matemáticas y estructuras usando símbolos 
algebraicos.
2. Reconocer el grado y el coeficiente de un 
monomio.
1.1. Modeliza situaciones empleando el lenguaje 
algebraico. 
2.1. Reconoce monomios semejantes. 
2.2. Opera con monomios.
1, 28, 35
75, 85-88, 96 
2, 3, 79
4-8, 76-78, 80-84
CL
CMCT
CAA
CSIEE
CCEC
Polinomios. Valor 
numérico
3. Identificar los coeficientes y el grado de un 
polinomio. 
4. Interpretar el valor numérico de un 
polinomio para un valor de la variable.
3.1. Determina los coeficientes y el grado de 
polinomios. 
4.1. Halla el valor numérico de un polinomio para 
un número. 
4.2 Detecta si un número dado es raíz de un 
cierto polinomio.
10-12 
Matemáticas vivas 
1c, 3a
13, 16-18, 89, 91 
Matemáticas vivas
1a, 3b
14, 15, 19-21, 23
90, 92-94, 100 
Matemáticas vivas 1b
CL
CMCT
CAA
CSIEE
Suma, resta y 
multiplicación de 
polinomios
5. Realizar sumas, restas y multiplicaciones de 
polinomios.
5.1. Efectúa las operaciones básicas con 
polinomios.
24-28, 30-34, 36
95, 97-99 
Trabajo cooperativo
CMCT
CD
CSC
Identidades 
notables
6. Deducir algebraica y geométricamente 
algunas identidades notables sencillas.
6.1. Desarrolla el cuadrado de una suma, de una 
diferencia y el producto de una suma por una 
diferencia. Realiza el proceso inverso.
39-43
53
101-104 
CM1
CL
CMCT
CAA
CCEC
División de 
polinomios
7. Realizar la división euclídea de polinomios. 7.1. Conoce y aplica la relación entre el divisor, el 
dividendo, el cociente y el resto en una división 
de polinomios.
7.2. Aplica el algoritmo de la división euclídea.50-52, 54, 55 
106, 107 
111, 113
48, 49, 56, 57, 105
CMCT
CD
CAA
Regla de Ruffini 8. Emplear la regla de Ruffini en las divisiones 
en las que el divisor es un polinomio de 
grado uno.
8.1. Aplica la regla de Ruffini. 59-64
108-110, 112
CL
CMCT
CAA
Teorema del resto. 
Factorización
9. Factorizar polinomios con raíces enteras. 
 
 
10. Identificar el resto de la división de un 
polinomio entre un monomio como el valor 
numérico correspondiente.
9.1. Factoriza polinomios sacando factor común y 
empleando las identidades notables.
9.2. Reconoce los factores que proporcionan en 
la factorización de un polinomio sus raíces. 
10.1. Aplica el teorema del resto en la 
factorización de polinomios y en la detección de 
raíces de un polinomio.
37, 38 , 44-47, 58
70, 74, 119-123 
72, 73 
124-126
65-69, 71
114-118
127, 128 
CL
CMCT
CSC
CAA
CSIEE
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MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD
2. Polinomios. Valor numérico
4. Identidades notables
¿Qué tienes que saber?
 • Monomios
 • Polinomios
 • División de polinomios
 • Regla de Ruffini. Teorema del resto
Matemáticas vivas
Recursos humanos
 • Utilización de las expresiones 
algebraica para realizar procesos de 
selección
Avanza
Fracciones algebraicas
Cálculo mental
Estrategia para multiplicar números 
que equidistan de una potencia 
de 10
PARA EL PROFESOR
MATERIAL COMPLEMENTARIO
PARA EL ALUMNO
Actividades de Refuerzo
Actividades de Ampliación
Propuesta de Evaluación A
Propuesta de Evaluación B
Presentación de la unidad
Ideas previas
Repasa lo que sabes
Matemáticas en el día a día
Contenido WEB. Paolo Ruffini
1. Expresiones algebraicas. 
Monomios
Vídeos. Operaciones con polinomios 1 
Operaciones con polinomios 2
3. Suma, resta y multiplicación de 
polinomios
5. División de polinomios
Vídeo. División de polinomios
6. Regla de Ruffini
7. Teorema del resto. Factorización
Actividades finales Actividades interactivas
MisMates.es
Lección 1151 de la web 
www.mismates.es
Practica+
Comprende y resuelve 
problemas
3 Polinomios
Trabajo cooperativo
Tarea cuya estrategia es Lápices al 
centro, de Nadia Aguiar y María Jesús 
Talión
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3Polinomios
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sugerencias didácticas
Los alumnos conocen el lenguaje algebraico que les permi-
te expresar enunciados o propiedades matemáticas senci-
llas. En esta unidad repasarán los procedimientos para rea-
lizar operaciones con polinomios, hallar el valor numérico 
que toman al dar valores a la parte literal de los mismos o 
desarrollar expresiones a partir de las identidades notables.
Para iniciar la unidad se proponen unos ejercicios sencillos 
sobre la traducción al lenguaje algebraico y las propiedades 
de las potencias.
Con los ejemplos desarrollados y los numerosos ejercicios 
de la unidad los alumnos lograrán la familiaridad necesaria 
para realizar con soltura todo tipo de operaciones con po-
linomios.
Contenido WEB. PAOLO RUFFINI
En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso 
TIC para complementar la página de inicio con información rela-
tiva a la unidad. En este caso se trata de una breve biografía de P. 
Ruffini, matemático italiano que dio nombre al método que utili-
zamos actualmente para dividir polinomios y factorizarlos. Puede 
utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar 
la unidad, situándola en un contexto histórico, o como amplia-
ción para aquellos alumnos que muestren un interés especial.
REPASA LO QUE SABES
1. Traduce a lenguaje algebraico estos enunciados.
a) El doble de un número menos 5.
b) Un número más su cuadrado.
c) El cubo de un número más su doble.
2. Expresa en lenguaje algebraico el perímetro y el área de un 
cuadrado cuyo lado mide x unidades.
3. Reduce a una única potencia.
a) x2 ⋅ x3 b) x5 : x3 c) x5 ⋅ x5 d) x4 : x4 e) x2( )
3
4. Extrae factor común en estas operaciones.
a) 25 + 23 − 22 
b) 1+ 22( )
5
+ 1+ 22( )
3
− 1+ 22( )
2
En el estudio de las matemáticas, la física y otras ciencias 
se utilizan expresiones que incluyen letras para generalizar 
resultados o para indicar valores desconocidos y hacer cálculos 
con ellas como si fueran números. El lenguaje algebraico 
permite a los científicos plantear problemas o formular hipótesis 
que se puedan demostrar con independencia de unos datos 
numéricos concretos.
Por ejemplo, para indicar cualquier número par, podemos 
escribir 2n, donde n es la representación de un número 
natural. La expresión 2n es un monomio determinado por la 
multiplicación de un número y una letra.
La suma de varios monomios recibe el nombre de polinomio, 
una expresión con la que es posible describir elementos o 
fenómenos tanto de la naturaleza como del ámbito social.
POLINOMIOS
Paolo Ruffini (1765-1822) fue un matemático, profesor 
y médico italiano que descubrió una regla de cálculo que 
permite descomponer en factores y hallar algunas raíces de 
los polinomios.
Matemáticas en el día a día ][
43
3
En el estudio de las matemáticas, la física y otras ciencias 
se utilizan expresiones que incluyen letras para generalizar 
resultados o para indicar valores desconocidos y hacer cálculos 
con ellas como si fueran números. El lenguaje algebraico 
permite a los científicos plantear problemas o formular hipótesis 
que se puedan demostrar con independencia de unos datos 
numéricos concretos.
Por ejemplo, para indicar cualquier número par, podemos 
escribir 2
natural. La expresión 2
multiplicación de un número y una letra.
La suma de varios monomios recibe el nombre de polinomio, 
una expresión con la que es posible describir elementos o 
fenómenos tanto de la naturaleza como del ámbito social.
IDEAS PREVIAS
 ❚ Traducción a le
nguaje 
algebraico de enu
nciados, 
propiedades o re
laciones 
matemáticas.
 ❚ Propiedades de
 las 
potencias.
 ❚ Propiedad distr
ibutiva para 
transformar produ
ctos 
en sumas y extra
er factor 
común.
mac3e8
Repasa lo que sabes
Soluciones de las actividades
1. Traduce a lenguaje algebraico estos enunciados.
a) El doble de un número menos 5.
b) Un número más su cuadrado.
c) El cubo de un número más su doble.
a) 2x − 5 b) x + x2 c) x3 + 2x
2. Expresa en lenguaje algebraico el perímetro y el área de un cuadrado cuyo lado mide x unidades.
 Perímetro: 4x
 Área: x2
3. Reduce a una única potencia.
a) x2 ⋅ x3 b) x5 : x3 c) x5 ⋅ x5 d) x4 : x4 e) x2( )
3
a) x5 b) x2 c) x10 d) x0 = 1 e) x6 
4. Extrae factor común en estas operaciones.
a) 25 + 23 − 22 
b) 1+ 22( )
5
+ 1+ 22( )
3
− 1+ 22( )
2
a) 22 ⋅ (23 + 2 − 1)
b) 1+ 22( )
2
⋅ 1+ 22( )
3
+ 1+ 22( )−1( )
3 Polinomios
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Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
1. Expresiones algebraicas. Monomios
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3Actividades3 Polinomios
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1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. MONOMIOS
Algunas de las fórmulas que ya conoces las escribimos mediante expresiones 
algebraicas.
Una expresión en la que aparecen números y letras relacionados entre sí por 
operaciones aritméticas recibe el nombre de expresión algebraica.
Las letras se denominan variables o indeterminadas.
Monomios
Observa las expresiones algebraicas que corresponden al perímetro de un triángulo 
equilátero y al área de un rectángulo:
3a b ⋅ h
En ellas solo aparece una operación, el producto, y las variables se agrupan en un 
único término. Estas expresiones se llaman monomios.
3a → monomio de coeficiente 3 (número que acompaña a la variable) y grado 1 
(exponente de la variable)
b ⋅ h → monomio de coeficiente 1 y grado 2, ya que cada una de sus variables está 
elevada a 1 y, al multiplicarlas, sumamos sus exponentes.
 ❚ Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un 
número, llamado coeficiente, por una o más variables con exponente natural, 
que forman la parte literal.
 ❚ El grado de un monomio es la suma de losexponentes de las variables de la 
parte literal.
 ❚ Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
Para realizar operaciones con monomios, debemos tener en cuenta las propiedades 
de las operaciones con los números reales y las de las potencias.
Aprenderás a…
 ● Identificar expresiones 
algebraicas y sus elementos.
 ● Calcular el grado de un 
monomio.
 ● Reconocer monomios 
semejantes y realizar 
operaciones con monomios.
Presta atención
El prefijo mono- proviene del 
griego y significa único, solo. 
Observa que los monomios tienen 
un único término.
Presta atención
Los monomios de grado 0 son 
números porque a0 = 1.
 } Escribe la expresión algebraica que corresponda en cada caso.
a) El perímetro de un triángulo equilátero cuyo lado es a. 
b) El área de un cuadrado de lado l.
c) La longitud de la circunferencia que tiene por radio r. 
d) El área de un rombo que tiene por diagonales D y d.
Solución
a) 3a b) l2 c) 2πr d) D ⋅d
2
EJERCICIO RESUELTO
Halla las expresiones algebraicas que permiten 
calcular el perímetro y el área de la figura.
a
b
Indica cuáles de estas expresiones algebraicas son 
monomios.
a) x3y2 d) 2xy − z
b) x3 + 2y2 e) πx3 
c) 7x1/2 f) 8xy2 
Halla el grado de estos monomios.
a) 5x7 c) 2x 
b) 
x3
18
 d) −9x7 
1
2
3 Efectúa las divisiones de estos monomios e indica el 
grado del monomio resultante.
a) 6 x7( ) : 4 x( ) c) −6 x3 y 4( ) : −3xy2( )
b) x
3
2
: −12x3( ) d) 
ab2 x4
4
: 8abx2( )
6
Calcula el producto de los siguientes monomios.
a) 6x7 ⋅ 4x c) −2xy( ) ⋅ −3x3 y 4( )
b) x
3
2
⋅ −12x3( ) d) 
ax4
4
⋅8abx2
Resuelve las operaciones.
a) 6 x7( )
2
 c) −2x( )
4
⋅ −3x3( )
2
b) 
x3
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
3
 d) 
a2b4
5
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
4
 
4
5
 } Efectúa este producto: 5x3( ) ⋅ −3x4( )
Solución
El coeficiente del monomio resultante es el producto 
de los coeficientes de los factores. 
5 x3 ⋅ −3x4( ) = 5 ⋅ −3( ) ⋅ x3+4 = −15 x7
El grado del monomio resultante es la suma de los 
grados de los monomios multiplicados.
EJERCICIO RESUELTO
 } Realiza estas divisiones. Si el resultado es un 
monomio, indica su grado.
a) 6 x7( ) : −6 x( ) b) 2x5( ) : 3x5( ) c) 12x2( ) : 2x5( )
Solución
a) 6 x7( ) : (−6 x ) =
6 x7
−6 x
= −x6 → grado 6
b) 2x5( ) : 3x5( ) =
2x5
3x5
=
2
3
 → grado 0
c) 12x2( ) : 2x5( ) =
12x2
2x5
=
6
x3
= 6 x−3
El resultado no es un monomio, porque el exponente 
no es natural.
EJERCICIO RESUELTO
 } ¿Cuáles de estas sumas de monomios tienen 
como resultado un monomio?
a) 42x3 + 53x3 b) 2x5 + 3x6 c) 3x7 − 6x7
Solución
La suma de monomios solo se puede realizar si los 
monomios son semejantes.
a) 42x3 + 53x3 = (42 + 53)x3 = 95x3
b) No son monomios semejantes.
c) 3x7 − 6x7 = (3 − 6) x7 = −3x7
EJERCICIO RESUELTO
Simplifica estas expresiones.
a) 3x + 11x − 5x c) −2x4( )− −3x4( )
b) −2x5 − x5 − −3x5( ) d) 
x3
2
−
x3
5
Indica cuáles de los resultados de las siguientes 
operaciones son monomios.
a) 
3x
x6
 b) 
6 x7
2x5
+
x4
x2
 c) 
x4
x
+
x8
x7
7
8
Busca las acepciones de la palabra algebrista en el diccionario. ¿A cuál de ellas se refiere Cervantes en el capítulo XV 
del tomo II del Quijote al escribir: Donde fue ventura hallar un algebrista con quien se curó?
9
Investiga
Soluciones de las actividades
1 Halla las expresiones algebraicas que permiten calcular el perímetro y el área de la figura.
 
a
b
La hipotenusa de este triángulo rectángulo mide a2 + b2 , luego el perímetro es: a + b + a2 + b2
El área del triángulo es: 
ab
2
Sugerencias didácticas
Las expresiones algebraicas cuentan con la resistencia psi-
cológica del alumno a manipular letras como si de números 
se tratara. Los ejercicios que más ayudan a progresar en 
esta dirección son aquellos en los que se pide al alumno 
que proponga fórmulas que describan un cierto fenómeno. 
A tal fin ayuda que en los pasos iniciales las constantes que 
rigen el proceso sean números concretos, para pasar des-
pués al caso general.
En este epígrafe conviene disponer de ciertos conocimien-
tos elementales de la geometría de los cuadriláteros o de los 
polígonos regulares.
Las operaciones con monomios ya son conocidas de cursos 
anteriores. Se debe poner especial énfasis en cómo se reali-
zan y en distinguir en las expresiones si son monomios, cuál 
es su parte literal o su grado. De este modo, los alumnos 
serán capaces de traducir al lenguaje algebraico las expre-
siones del lenguaje habitual y viceversa.
67
3Polinomios
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
2 Indica cuáles de estas expresiones algebraicas son monomios.
a) x3y2 c) 7x1/2 e) px3 
b) x3 + 2y2 d) 2xy − z f) 8xy2 
Son monomios las expresiones de los apartados a), d), e) y f).
La expresión del apartado b) no es un monomio porque es una suma de dos monomios, y la del apartado c) porque tiene 
un exponente que no es un número natural.
3 Halla el grado de estos monomios.
a) 5x7 b) 
x3
18
 c) 2x d) −9x7 
a) 7 b) 3 c) 1 d) 7
4 Calcula el producto de los siguientes monomios.
a) 6x7 ⋅ 4x b) 
x3
2
⋅ −12x3( ) c) −2xy( ) ⋅ −3x3 y 4( ) d) ax
4
4
⋅8abx2
a) 24x8 b) −6x6 c) 6x4y5 d) 2a2bx6
5 Resuelve las operaciones.
a) 6 x7( )
2
 b) 
x3
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
3
 c) −2x( )
4
⋅ −3x3( )
2
 d) 
a2b4
5
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
4
 
a) 36x14 b) 
x9
8
 c) 144x10 d) 
a8b16
625
6 Efectúa las divisiones de estos monomios e indica el grado del monomio resultante.
a) 6 x7( ) : 4 x( ) b) 
x3
2
: −12x3( ) c) −6 x
3 y 4( ) : −3xy2( ) d) ab
2 x4
4
: 8abx2( )
a) 
3x6
2
→ Grado 6 b) −
1
24
→ Grado 0 c) 2x2y2 → Grado 4 d) 
bx2
32
→ Grado 2
7 Simplifica estas expresiones.
a) 3x + 11x − 5x b) −2x5 − x5 − −3x5( ) c) −2x4( )− −3x4( ) d) x
3
2
−
x3
5
a) 9x b) x5 c) x4 d) 0
8 Indica cuáles de los resultados de las siguientes operaciones son monomios.
a) 
3x
x6
 b) 
6 x7
2x5
+
x4
x2
 c) 
x4
x
+
x8
x7
a) 3x−5 → No es un monomio.
b) 4x2 → Es un monomio de grado 2.
c) x3 + x → No es un monomio.
Investiga
9 Busca las acepciones de la palabra algebrista en el diccionario. ¿A cuál de ellas se refiere Cervantes en el capítulo del 
tomo del Quijote al escribir: Donde fue ventura hallar un algebrista con quien se curó?
La acepción más comúnmente empleada de la palabra algebrista es la que hace referencia al especialista en álgebra, que 
es una rama de la Matemática. El álgebra nació de la mano del árabe Al-Jwarizmi, quien vivió en el siglo , y cobró un gran 
impulso con el trabajo de los matemáticos italianos Ferro, Ferrari, Cardano y Tartaglia dedicados al cálculo de las raíces de 
los polinomios de grado menor o igual que 4.
Sin embargo, Cervantes llama algebristas en El Quijote a los recomponedores de huesos, los actuales traumatólogos.
La tercera acepción de esta palabra es la de alcahuete, esto es, persona que concierta una relación amorosa, y que sin 
duda no es a la que se refiere Cervantes.
3 Polinomios
68
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
2. Polinomios. Valor numérico
47
3Actividades3 Polinomios
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Indica el grado de los siguientes polinomios escribiendo sus monomios ordenados 
según sus grados de mayor a menor.
a) P(x) = 13x5 − 4x3 + x4 
b) Q(x) = 9 + 3x18 − 2x14 
c) R(x) = 19x + 13x6 + 12x3 
d) S(x) = 10x4 − 5x5 + x7
¿Cuál es el coeficiente principal de estos polinomios? ¿Cuál es su grado?
a) P(x) = x5 − 4x4 
b) Q(x) = x12 − 13x13 + 18 
c) R(x) = −x − 8x7 + 2x4
d) S(x) = x − 9x4 + 3x2
Agrupa los monomios de igual grado para expresar de forma simplificada el 
polinomio P(x) = x7 + 12 + 3x4 + x6 − x4 − 3x7 + 11.
Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = 5x2 − 2x + 11, para x = 2, x = −1 
y x = 3.
 Comprueba que 1 es una raíz del polinomio P(x) = −6x17 + 3x6 + 3.
Considera el polinomio Q(x) = 2x4 − 16x3 − 132x2 + 1 296x − 2 430. ¿Cuál de estos 
números no es raíz del polinomio Q(x)? ¿Cuál se repite?
5 3 21 9
Calcula el término independiente del polinomio:P(x) = −4x9 − 3x3 + 5x + a0
sabiendo que P(0) = 1.
Determina los valores de a y de n para que el siguiente polinomio sea un monomio 
de grado 7.
P(x) = 2x14 − ax12+n + x7
Con los valores hallados, calcula y ordena de menor a mayor estos números.
P (−1) P(−3) P(4) P(7) P(1)
Si P(−2) = 5, halla el valor de a en el siguiente polinomio:
P(x) = x4 − x3 + ax + 1
Halla el valor de a sabiendo que coincide con una raíz del polinomio propuesto:
P(x) = x6 − ax5 + 3a − 6
¿Tiene alguna raíz entera el polinomio P(x) = x3 − x2 + 12x − 6?
Si P(x) = x3 − 7x − 6, calcula el valor numérico para x = 1, x = 2, x = −1 y x = −2. 
¿Cuáles son sus raíces?
¿Existen valores de a y de b de modo que el polinomio P(x) = −bx4 + ax2 + 3 
verifique que P(2) = 1 y P(−2) = 5? 
Justifica tu respuesta.
10
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22
2. POLINOMIOS. VALOR NUMÉRICO
Vanesa quiere realizar un estudio sobre el volumen de tinta que puede contener un 
cartucho como el de la figura según el valor que elija para x.
La figura está formada por un cubo y un ortoedro. Su volumen, en centímetros 
cúbicos, viene dado por la expresión:
P(x) = x3 + 2 ⋅ 3 ⋅ x = x3 + 6x
No se trata de un monomio, ya que la suma de monomios que no son semejantes 
no puede simplificarse. Decimos que son polinomios.
Un polinomio es la suma de dos o más monomios de distinto grado. Estos 
monomios se llaman términos.
 ❚ El término de grado 0 es el término independiente del polinomio.
 ❚ El grado del polinomio es el mayor de los grados de sus términos.
Valor numérico
A la hora de medir el volumen contenido en el depósito, Vanesa solo tiene que 
decidir el valor por el que sustituir la x en el polinomio P(x), por ejemplo x = 2 o x = 3:
P(2) = 23 + 6 ⋅ 2 = 20 P(3) = 33 + 6 ⋅ 3 = 45
En el primer caso contendrá 20 cm3, y en el segundo, 45 cm3.
El número que se obtiene al sustituir un valor, a, en un polinomio, P(x), se llama 
valor numérico y se escribe P(a).
Si el valor numérico de P(x) para x = a es igual a 0, es decir, si P(a) = 0, se dice que 
a es una raíz del polinomio.
Las raíces enteras de un polinomio, si existen, son divisores de su término 
independiente.
Aprenderás a…
 ● Reconocer los coeficientes y 
el grado de un polinomio.
 ● Hallar el valor numérico 
de un polinomio para un 
número.
 ● Comprobar que un número 
es raíz de un polinomio.
Presta atención
El valor numérico de un 
polinomio, P(x), para x = 0, 
coincide con su término 
independiente.
P(0) = a0
 } Halla el valor numérico del polinomio P(x) = x2 − 6x + 8, para x = 2, x = 3 
y x = 4. ¿Qué relación puedes observar?
Solución
P(2) = 22 − 6 ⋅ 2 + 8 = 4 − 12 + 8 = 0
P(3) = 32 − 6 ⋅ 3 + 8 = 9 − 18 + 8 = −1
P(4) = 42 − 6 ⋅ 4 + 8 = 16 − 24 + 8 = 0
Los números 2 y 4 tienen valor numérico nulo. Ambos son divisores del término 
independiente, 8.
EJERCICIO RESUELTO
DESAFÍO
Los números r y s son enteros y primos entre sí, con s ≠ 0 y tales que 
r
s
 es una raíz del polinomio:
P(x) = anx
n + … + a1x + a0
Además, sus coeficientes son también números enteros, con a0 y an no nulos. Demuestra que r es un divisor 
de a0 y que s es un divisor de an.
23
Un polinomio de dos 
términos se denomina 
binomio, y si tiene tres, se 
llama trinomio.
Lenguaje matemático
Si escribimos un polinomio 
de la forma:
P(x) = anx
n + … + a1x + a0 
❚ Los números an, …, a1, a0 
son los coeficientes del 
polinomio.
❚ an es el coeficiente 
principal del polinomio.
Lenguaje matemático
Soluciones de las actividades
10 Indica el grado de los siguientes polinomios escribiendo sus monomios ordenados según sus grados de mayor a menor.
a) P(x) = 13x5 − 4x3 + x4 b) Q(x) = 9 + 3x18 − 2x14 c) R(x) = 19x + 13x6 + 12x3 d) S(x) = 10x4 − 5x5 + x7 
a) P(x) = 13x5 + x4 − 4x3 → Grado 5 c) R(x) = 13x6 + 12x3 + 19x → Grado 6
b) Q(x) = 3x18 − 2x14 + 9 → Grado 18 d) S(x) = x7 − 5x5 + 10x4 → Grado 7
11 ¿Cuál es el coeficiente principal de estos polinomios? ¿Cuál es su grado?
a) P(x) = x5 − 4x4 b) Q(x) = x12 − 13x13 + 18 c) R(x) = −x − 8x7 + 2x4 d) S(x) = x − 9x4 + 3x2
a) Coeficiente principal 1 y grado 5 c) Coeficiente principal −8 y grado 7
b) Coeficiente principal −13 y grado 13 d) Coeficiente principal −9 y grado 4
12 Agrupa los monomios de igual grado para expresar de forma simplificada el polinomio 
 P(x) = x7 + 12 + 3x4 + x6 − x4 − 3x7 + 11. P(x) = −2x7 + x6 + 2x4 + 23
Sugerencias didácticas
Tras repasar los conceptos sobre monomios, en estas pági-
nas se recuerdan la definición de polinomio y los elementos 
que lo caracterizan: coeficientes y grado.
Es importante que los alumnos entiendan el concepto de 
valor numérico. Para lo cual resulta conveniente repasar la 
jerarquía de las operaciones vista en las unidades anteriores.
Cuando el valor numérico es nulo encontramos una raíz 
del polinomio. Surge de modo natural la pregunta de cómo 
hallar todas las raíces de un polinomio, y hay que tener pre-
paradas algunas respuestas. En primer lugar, es fácil probar 
que si el polinomio tiene coeficientes enteros sus raíces en-
teras, si existen, se encuentran entre los divisores del térmi-
no independiente. También se puede comentar que desde 
el siglo se conocen fórmulas para determinar las raíces de 
un polinomio de grado 2, y aunque un poco más complica-
das, también para los polinomios de grados 3 y 4, y que en 
el siglo se probó que nunca se encontrarán fórmulas de 
esta naturaleza para todos los polinomios de grado mayor 
o igual que 5.
69
3Polinomios
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
13 Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = 5x2 − 2x + 11, para x = 2, x = −1 y x = 3.
P(2) = 27 P(−1) = 18 P(3) = 50
14 Comprueba que 1 es una raíz del polinomio P(x) = −6x17 + 3x6 + 3.
P(1) = 0 → 1 es una raíz del polinomio.
15 Considera el polinomio Q(x) = 2x4 − 16x3 − 132x2 + 1 296x − 2 430. ¿Cuál de estos números no es raíz del polinomio 
Q(x)? 5 3 21 9
Q(5) = 0 Q(3) = 0 Q(21) = 207 360 Q(9) = 0 El número 21 no es una raíz de Q(x).
16 Calcula el término independiente del polinomio: P(x) = −4x9 − 3x3 + 5x + a0 sabiendo que P(0) = 1.
P(0) = 1 → a0 = 1
17 Determina los valores de a y de n para que el siguiente polinomio sea un monomio de grado 7.
 P(x) = 2x14 − ax12 + n + x7
 Con los valores hallados, calcula y ordena de menor a mayor estos números.
 P(−1) P(−3) P(4) P(7) P(1)
Si a = 2 y n = 2 → P(x) = 2x14 − 2x14 + x7 = x7 
P(−1) = −1 P(−3) = −2 187 P(4) = 16 384 P(7) = 823 543 P(1) = 1
Entonces: P(−3) < P(−1) < P(1) < P(4) < P(7)
18 Si P(−2) = 5, halla el valor de a en el siguiente polinomio: P(x) = x4 − x3 + ax + 1
P(−2) = 5 → (−2)4 − (−2)3 + a ⋅ (−2) + 1 = 5 → 25 − 2a = 5 → a = 10
19 Halla el valor de a sabiendo que coincide con una raíz del polinomio propuesto: P(x) = x6 − ax5 + 3a − 6
Si a es una raíz del polinomio, entonces P(a) = 0 → a6 − a6 + 3a − 6 = 0 → 3a = 6 → a = 2
20 ¿Tiene alguna raíz entera el polinomio P(x) = x3 − x2 + 12x − 6?
Las raíces enteras son divisores de su término independiente, −6, luego las posibles raíces de P(x) son ±1, ±2, ±3 y ±6.
P(1) = 6 P(−1) = −20 P(2) = 22 P(−2) = −42
P(3) = 48 P(−3) = −78 P(6) = 246 P(−6) = −330
Ninguno de estos números es raíz del polinomio, por tanto, P(x) no tiene ninguna raíz entera.
21 Si P(x) = x3 − 7x − 6, calcula el valor numérico para x = 1, x = 2, x = −1 y x = −2. ¿Cuáles son sus raíces?
P(1) = −12 P(2) = −12 P(−1) = 0 P(−2) = 0 P(3) = 0
Así, las raíces enteras de P(x) son: −2, −1 y 3.
22 ¿Existen valores de a y de b de modo que el polinomio P(x) = −bx4 + ax2 + 3 verifique que P(2) = 1 y P(−2) = 5?
 Justifica tu respuesta.
P(2) = 1 → −16b + 4a + 3 = 1 P(−2) = 5 → −16b + 4a + 3 = 5
No existen tales valores porque P(2) resulta igual que P(−2) pero 1 ≠ 5.
Desafío
23 Los números r y s son enteros y primos entre sí, con s ≠ 0 y tales que 
r
s
 es una raíz del polinomio:
 P(x) = anx
n + … + a1x + a0
 Además, sus coeficientes son también números enteros, con a0 y an nonulos. Demuestra que r es un divisor de a0 y que 
s es un divisor de an.
Si P
r
s
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ = 0 → an
r
s
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
n
+ ... + a1
r
s
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ + a0 = 0 Multiplicando ambos miembros por s
n: anr
n + … + a1rs
n − 1 + a0s
n = 0
Entonces: an r
n +…+ a1rs
n−1 = −a0 s
n → r an r
n−1 +…+ a1rs
n−1( ) = −a0 sn
Como r y s son primos entre sí, se deduce que r es un divisor de a0.
Por otro lado: −an r
n = s an−1r
n−1 +…+ a1rs
n−2 + a0 s
n−1( )
Del mismo modo, como r y s son primos entre sí, s es un divisor de an.
3 Polinomios
70
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
3. Suma, resta y multiplicación de polinomios
49
3Actividades3 Polinomios
48
3. SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN 
DE POLINOMIOS
Las operaciones con polinomios se realizan teniendo en cuenta las propiedades de 
las operaciones con los números reales y las de las potencias.
Aprenderás a…
 ● Realizar sumas, restas 
y multiplicaciones de 
polinomios.
Presta atención
El grado del polinomio producto 
de dos polinomios es la suma de 
los grados de ambos.
 } Realiza las operaciones propuestas con los siguientes polinomios.
P(x) = x4 + 2x2 + 4x + 6 Q(x) = x2 + 2x + 4
a) P(x) + Q(x) c) P(x) − Q(x) 
b) 4P(x) d) P(x) ⋅ Q(x) 
Solución
Para operar con polinomios realizamos dichas operaciones con los monomios 
semejantes.
EJERCICIO RESUELTO
Considera los polinomios:
 P(x) = 13x5 + x4 − 4x3 
 Q(x) = 3x6 − 2x4 + 9
 R(x) = 13x6 − x3 + 1
Calcula:
a) P(x) + Q(x) d) P(x) + R(x) 
b) P(x) − R(x) e) Q(x) − P(x) 
c) Q(x) + R(x) f) R(x) − Q(x) 
Halla 3P(x) − 2Q(x), donde:
P(x) = 3x7 − 2x5 + 4x
Q(x) = x7 + x5 + 2x + 1
Calcula el valor de a para que la suma de los 
polinomios:
P(x) = x3 − 4x − 1
Q(x) = ax3 − ax2 + 3
sea un polinomio de grado 2. En ese caso, ¿cuál es el 
grado de P(x) − Q(x)?
Resuelve esta operación con polinomios: aP(x) − bQ(x), 
sabiendo que:
a = 2, b = 3, P(x) = x3 + 2x + 6 y Q(x) = 2x5 − 3x4 + 1
Halla los valores de a, b, c y d para que los polinomios:
 P(x) = −x4 + ax3 + bx + 1
 Q(x) = cx4 + dx2 + x − 5
satisfagan la igualdad:
2P(x) − 3Q(x) = 7x4 + 4x3 − 12x2 − 7x + 17
Expresa como polinomios el perímetro y el área de 
este rectángulo.
5 x + 2
2 x 2 – 1
Fíjate en los polinomios:
 P(x) = 3x3 − 2x2 − 1
 Q(x) = −x2 + 5
Calcula:
a) 5P(x) − 3Q(x) c) 2P(x) + Q(x) 
b) P(x) ⋅ Q(x) d) Q(x) ⋅ Q(x) + P(x) 
24
25
26
27
28
29
30
Multiplica los polinomios:
 P(x) = x2 + x + 1
 Q(x) = x2 − x4 + 1
Desarrolla estas expresiones y simplifica.
a) 2x + 1( ) 3x − 2( )− 4 x −5( ) x2 + 2( )
b) 3x2 −1( ) 2x + 1( )− 5 x − 3( ) 4 x + 3( )
Realiza estas operaciones.
a) x3 −5 x( ) x2 −1( ) + 3x2 − x −1
b) x x −1( ) x2 + 1( )− x2 −1( )
2⎡⎣ ⎤⎦
Reduce a común denominador y simplifica.
a) 
x ( x − 2)
9
−
3x2 − x
12
−
( x −1)(2x −7)
36
b) 
( x + 2)( x −1)
5
−
6 x2 − 3
4
−
x2 ( x − 4)
10
c) 
( x − 2)( x −1)
2
+
x + 3
4
−
x2 −1
16
d) 
( x + 1)( x −1)
18
−
x ( x + 2)
3
+
x2 + 4
6
Al llegar a casa, Raúl se ha encontrado con un grifo 
estropeado. Consulta a una empresa de fontanería y 
le presentan este presupuesto.
Halla dos polinomios que permitan calcular el 
subtotal y el total, respectivamente, expresando 
el coste de la mano de obra y el importe total en 
función del número, x, de horas de trabajo. Calcula a 
cuánto asciende el coste de la reparación si el técnico 
emplea en ella un total de 3 horas.
31
32
33
34
35
DESAFÍO
¿Es un monomio la expresión algebraica 1+ x −1( ) x2 + x + 1( )? En caso afirmativo, ¿de qué grado?
¿Puedes simplificar la expresión 1+ x −1( ) xn + xn−1 +…+ x + 1( ) para cualquier número natural, n?
36
mac3e9
mac3e10
Soluciones de las actividades
24 Considera los polinomios:
 P(x) = 13x5 + x4 − 4x3 Q(x) = 3x6 − 2x4 + 9 R(x) = 13x6 − x3 + 1
 Calcula: 
a) P(x) + Q(x) c) Q(x) + R(x) e) Q(x) − P(x)
b) P(x) − R(x) d) P(x) + R(x) f) R(x) − Q(x)
a) 3x6 + 13x5 − x4 − 4x3 + 9 c) 16x6 − 2x4 − x3 + 10 e) 3x6 − 13x5 − 3x4 + 4x3 + 9
b) −13x6 + 13x5 + x4 − 3x3 − 1 d) 13x6 + 13x5 + x4 − 5x3 + 1 f) 10x6 + 2x4 − x3 − 8
Sugerencias didácticas
La suma, resta y multiplicación de polinomios se introdu-
cen agrupando potencias con el mismo exponente, y esto 
proporciona una ocasión estupenda para señalar que así lo 
viene haciendo el alumno desde los cursos anteriores cuan-
do opera con números naturales o enteros si considera la 
variable con valor 10, representando así cada polinomio la 
descomposición de un número en unidades, decenas, cen-
tenas, etc.
Por ello se puede aprovechar para que alumnos más aven-
tajados aprendan a expresar los enteros positivos en bases 
distintas de 10 y a sumarlos y multiplicarlos: los cálculos son 
los mismos que los efectuados con polinomios cambiando 
la variable por la base.
Además de la familiaridad con los cálculos, es convenien-
te que el alumno observe el comportamiento del grado 
respecto de la suma y el producto, es decir, que el grado 
del producto de dos polinomios es la suma de los grados 
mientras que el grado de la suma es menor o igual que el 
máximo de los grados.
Vídeos. OPERACIONES CON POLINOMIOS
En el ejercicio resuelto se resuelven las operaciones de suma, mul-
tiplicación por un número, resta y multiplicación de polinomios en 
sendos vídeos en los que se muestra a los alumnos cómo realizar 
estas operaciones paso a paso.
Pueden reproducirse en clase explicando el proceso que se sigue 
en cada caso o como recurso para que los alumnos repasen las 
operaciones con polinomios.
71
3Polinomios
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
25 Halla 3P(x) − 2Q(x), donde:
 P(x) = 3x7 − 2x5 + 4x Q(x) = x7 + x5 + 2x + 1
3P(x) − 2Q(x) = 7x7 − 8x5 + 8x − 2
26 Calcula el valor de a para que la suma de los polinomios:
 P(x) = x3 − 4x − 1 Q(x) = ax3 − ax2 + 3
 sea un polinomio de grado 2. En ese caso, ¿cuál es el grado de P(x) − Q(x)?
❚❚ Si a = −1 → P(x) + Q(x) = x3 − 4x − 1 − x3 + x2 + 3 = x2 − 4x + 2 
❚❚ Si a = −1 → P(x) − Q(x) = x3 − 4x − 1 + x3 − x2 − 3 = 2x3 − x2 − 4x − 4 → Grado 3
27 Resuelve esta operación con polinomios: aP(x) − bQ(x), sabiendo que: 
 a = 2, b = 3, P(x) = x3 + 2x + 6 y Q(x) = 2x5 − 3x4 + 1
aP(x) − bQ(x) = 2x3 + 4x + 12 − 6x5 + 9x4 − 3 = −6x5 + 9x4 + 2x3 + 4x + 9
28 Halla los valores de a, b, c y d para que los polinomios:
 P(x) = −x4 + ax3 + bx + 1 Q(x) = cx4 + dx2 + x − 5
 satisfagan la igualdad: 
 2P(x) − 3Q(x) = 7x4 + 4x3 − 12x2 − 7x + 17
2P(x) − 3Q(x) = −(2 + 3c)x4 + 2ax3 − 3dx2 + (2b − 3)x + 17 
Entonces: −(2 + 3c) = 7 → c = −3
 2a = 4 → a = 2
 −3d = −12 → d = 4
 2b − 3 = −7 → b = −2
29 Expresa como polinomios el perímetro y el área de este rectángulo.
 
5 x + 2
2 x 2 – 1
El perímetro mide: P(x) = 2(2x2 − 1) + 2(5x + 2) = 4x2 + 10x + 2
El área es: Q(x) = (2x2 − 1) ⋅ (5x + 2) = 10x3 + 4x2 − 5x − 2
30 Fíjate en los polinomios:
 P(x) = 3x3 − 2x2 − 1 Q(x) = −x2 + 5
 Calcula: 
a) 5P(x) − 3Q(x) b) P(x) ⋅ Q(x) c) 2P(x) + Q(x) d) Q(x) ⋅ Q(x) + P(x) 
a) 15x3 − 7x2 − 20 c) 6x3 − 5x2 + 3
b) −3x5 + 2x4 + 15x3 − 9x2 − 5 d) x4 + 3x3 − 12x2 + 24
31 Multiplica los polinomios:
 P(x) = x2 + x + 1 Q(x) = x2 − x4 + 1
P(x) ⋅ Q(x) = −x6 − x5 + x3 + 2x2 + x + 1
32 Desarrolla estas expresiones y simplifica.
a) 2x + 1( ) 3x − 2( )− 4 x −5( ) x2 + 2( ) b) 3x2 −1( ) 2x + 1( )− 5 x − 3( ) 4 x + 3( )
a) −4x3 + 11x2 − 9x + 8 b) 6x3 − 17x2 − 5x + 8
3 Polinomios
72
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
33 Realiza estas operaciones.
a) x3 −5 x( ) x2 −1( ) + 3x2 − x −1 b) x x −1( ) x2 + 1( )− x2 −1( )
2⎡⎣ ⎤⎦
a) x5 − 6x3 + 3x2 + 4x − 1 b) −x5 + x4 + x3 + x2 − 2x
34 Reduce a común denominador y simplifica.
a) 
x ( x − 2)
9
−
3x2 − x
12
−
( x −1)(2x −7)
36
 c) 
( x − 2)( x −1)
2
+
x + 3
4
−
x2 −1
16
b) 
( x + 2)( x −1)
5
−
6 x2 − 3
4
−
x2 ( x − 4)
10
 d) 
( x + 1)( x −1)
18
−
x ( x + 2)
3
+
x2 + 4
6
a) 
−7 x2 + 4 x −7
36
 c) 
7 x2 − 20 x + 29
16
b) 
−2x3 −18 x2 + 4 x + 7
20
 d)−8 x2 −12x −13
18
35 Al llegar a casa, Raúl se ha encontrado con un grifo estropeado. Consulta a una empresa de fontanería y le presentan este 
presupuesto.
 
 Halla dos polinomios que permitan calcular el subtotal y el total, respectivamente, expresando el coste de la mano de obra 
y el importe total en función del número, x, de horas de trabajo. Calcula a cuánto asciende el coste de la reparación si el 
técnico emplea en ella un total de 3 horas.
El subtotal se puede expresar con el polinomio: P(x) = 64,80x + 54
El importe total de la factura viene dado por el polinomio: Q(x) = 106,20 + P(x) = 64,80x + 160,20
Si el técnico emplea x = 3 h, el importe de la reparación es: Q(3) = 64,80 ⋅ 3 + 160,20 = 354,60 €
Desafío
36 ¿Es un monomio la expresión algebraica 1+ x −1( ) x2 + x + 1( )? En caso afirmativo, ¿de qué grado?
 ¿Puedes simplificar la expresión 1+ x −1( ) xn + xn−1 +…+ x + 1( ) para cualquier número natural, n?
1+ x −1( ) x2 + x + 1( ) = 1 + x3 + x2 + x − x2 − x − 1 = x3 → Es un monomio de grado 3.
Si repetimos el procedimiento para n = 4:
1+ x −1( ) x3 + x2 + x + 1( ) = 1 + x4 + x3 + x2 + x − x3 − x2 − x − 1 = x4 → Es un monomio de grado 4.
Observamos que al multiplicar los polinomios y sumar podemos simplificar todos los monomios salvo el de mayor grado, 
por tanto, la expresión del enunciado resulta el monomio: xn + 1
73
3Polinomios
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
4. Identidades notables
51
3Actividades3 Polinomios
50
Efectúa los productos, aplicando la propiedad distributiva.
a) 3xy2 4 x2 − 3 y5( ) b) −2x2 yz3 5 xy2 −7 x2z − 3 yz2( )
Saca factor común en estas expresiones.
a) 6x5y2 − 3x2y5 b) 5x2y4z3 − 35x2yz2 − 20x2yz3 
Desarrolla estas expresiones.
a) x + 6 y( )
2
 c) 5 x − 4 y( ) 5 x + 4 y( )
b) 4 x − 3 y( )
2
 d) 2x2 − y( )
2
 
Halla el resultado e indica el grado del polinomio obtenido en cada caso.
a) 3 x −1( )
2
− x + 1( )
2
 c) 3x + 1( ) 3x −1( )− 3x + 4( )
2
b) x + 3( )
2
− x + 2( ) x − 2( ) d) 2x − 3( )
2
− 2x + 3( ) 2x − 3( ) 
Completa en tu cuaderno los cuadrados.
a) x2 + 6x + 9 = ( )2§ + §( )2 d) 4x2 + 20x + 25 = ( )2§ + §( )2
b) x2 − 14x + 49 = ( )2§ + §( )2 e) 16x2 − 8x + 1 = ( )2§ + §( )2 
c) § + 40x + § = ( )22x + §( )2 f) § − 36x + § = ( )2§ − 6( )2 
Desarrolla estos cubos. 
a) x + 2 y( )
3
 b) x − y( )
3
Efectúa las operaciones propuestas.
a) 3 + x( )
2
− x2 c) 1+ 3x( )
2
−1 
b) 1+ x( )
3
− x3 d) 1+ 2x( )
3
−1
37
38
39
40
41
42
43
4. IDENTIDADES NOTABLES
Cuadrado de la suma
a + b( )
2
=
 = a + b( ) a + b( ) =
 = a2 + ab + ab + b2 =
 = a2 + 2ab + b2 
a + b( )
2
= a2 + 2ab + b2
b2
a2
ab
ab
b
a
a b
Cuadrado de la diferencia
a− b( )
2
=
 = a− b( ) a− b( ) =
 = a2 − ab − ab + b2 =
 = a2 − 2ab + b2 
a− b( )
2
= a2 − 2ab + b2
b2
(a – b)2
b
a
ab
b
b
a – b
ab
a – b
a
Suma por diferencia
a + b( ) a− b( ) = 
 = a2 − ab + ab − b2
 = a2 − b2 
a + b( ) a− b( ) = a2 − b2
b2
a2
b
a
a – b
a + b
b
a
Aprenderás a…
 ● Reconocer las identidades 
notables.
 ● Factorizar polinomios 
sacando factor común y 
utilizando las identidades 
notables.
 } Halla la expresión desarrollada de:
a) El cuadrado de un trinomio: a + b + c( )
2
Solución
a) 
b2
a2
b
a
a b
c2c
ac
c
ab
ab
ac bc
bc
 a + b + c( )
2
= a + b + c( ) a + b + c( ) =
 = a2 + ab + ac + ab + b2 + bc + ac + bc + c2 =
 = a2 + b2+ c2 + 2ab + 2ac + 2bc
b) El cubo de un binomio: a + b( )
3
b) 
a2b a2b
b3
ab2
ab2 ab
2
a2b
a
b
 a + b( )
3
= a + b( )
2
a + b( ) = a2 + 2ab + b2( ) a + b( ) = 
 = a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 =
 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
EJERCICIO RESUELTO
 } Factoriza este polinomio: −16x5 + 16x4 − 4x3 
Solución
1 Extraemos factor común.
 −16 x
5 + 16 x4 − 4 x3 = −4 x3 4 x2 − 4 x + 1( ) 
2 Identificamos la identidad notable.
 −4 x3 4 x2 − 4 x + 1( ) = −4 x3 2x −1( )
2
 
3 Reescribimos el polinomio.
 −16 x5 + 16 x4 − 4 x3 = −4 x3 2x −1( )
2
 
EJERCICIO RESUELTO
Factoriza los polinomios.
a) x2 + 14x + 49 d) x4 − 16y2 
b) x2 + 6xy + 9y2 e) x4 − y4 
c) x2 − 25y2 f) x2 − y6 
Extrae factor común e identifica las identidades notables para factorizar.
a) 5x3 − 30x2 + 45x b) 45x4 − 60x3 + 20x2 
Comprueba que: x3 − y3 = x − y( ) x2 + xy + y2( ) . ¿Cómo se factoriza x3 − 1? 
¿Puedes afirmar que 7 0323 − 1 es múltiplo de 7 031?
44
45
46
DESAFÍO
Factoriza la expresión x + y( )
3
− x − y( )
3
. Demuestra que, para cualesquiera números enteros, x e y, esta 
expresión es un número par.
47
Soluciones de las actividades
37 Efectúa los productos, aplicando la propiedad distributiva.
a) 3xy2 4 x2 − 3 y5( ) b) −2x2 yz3 5 xy2 −7 x2z − 3 yz2( )
a) 12x3y2 − 9xy7 b) −10x3y3z3 + 14x4yz4 + 6x2y2z5
38 Saca factor común en estas expresiones.
a) 6x5y2 − 3x2y5 b) 5x2y4z3 − 35x2yz2 − 20x2yz3
a) 3x2 y2 2x3 − y3( ) b) 5 x2 yz2 y3z −7− 4 z( )
39 Desarrolla estas expresiones.
a) x + 6 y( )
2
 c) 5 x − 4 y( ) 5 x + 4 y( )
b) 4 x − 3 y( )
2
 d) 2x2 − y( )
2
 
a) x2 + 12xy + 36y2 c) 25x2 − 16y2
b) 16x2 − 24xy + 9y2 d) 4x4 − 4x2y + y2
Sugerencias didácticas
Dos son los aspectos que podemos resaltar en estas pági-
nas. El primero es el carácter universal de las identidades 
notables: son verdades que se cumplen siempre, es decir, 
son ciertas cuando sustituimos las variables que aparecen 
en ellas por cualesquiera números reales. El segundo as-
pecto que queremos señalar es la existencia de muchas
identidades de las que las expuestas en el texto son casos 
particulares. Especial atención merece 
xn − yn = x − y( ) xn−1 + yxn−2 +…+ yn−2 + yn−1( )
La representación geométrica de las identidades notables 
puede ayudar a los alumnos a recordar sus expresiones y a 
utilizarlas correctamente.
3 Polinomios
74
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
40 Halla el resultado e indica el grado del polinomio obtenido en cada caso.
a) 3 x −1( )
2
− x + 1( )
2
 c) 3x + 1( ) 3x −1( )− 3x + 4( )
2
b) x + 3( )
2
− x + 2( ) x − 2( ) d) 2x − 3( )
2
− 2x + 3( ) 2x − 3( ) 
a) 2x2 − 8x + 2 → Grado 2 c) −24x − 17 → Grado 1
b) 6x + 13 → Grado 1 d) −12x + 18 → Grado 1
41 Completa en tu cuaderno los cuadrados.
a) x2 + 6x + 9 = (§ + §)2 d) 4x2 + 20x + 25 = (§ + §)2
b) x2 − 14x + 49 = (§ − §)2 e) 16x2 − 8x + 1 = (§ + §)2
c) § + 40x + § = (2x + §)2 f) § − 36x + § = (§ − 6)2
a) x2 + 6 x + 9 = x + 3( )
2
 d) 4 x2 + 20 x + 25 = 2x + 5( )
2
b) x2 −14 x + 49 = x −7( )
2
 e) 16 x2 − 8 x + 1 = 4 x + −1( )( )
2
c) 4 x2 + 40 x + 100 = 2x + 10( )
2
 f) 9 x2 − 36 x + 36 = 3x − 6( )
2
42 Desarrolla estos cubos.
a) x + 2 y( )
3
 b) x − y( )
3
a) x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 b) x3 − 3x2y + 3xy2 − y3 
43 Efectúa las operaciones propuestas.
a) 3 + x( )
2
− x2 b) 1+ x( )
3
− x3 c) 1+ 3x( )
2
−1 d) 1+ 2x( )
3
−1
a) 6x + 9 b) 3x2 + 3x + 1 c) 9x2 + 6x d) 8x3 + 12x2 + 6x 
44 Factoriza los polinomios.
a) x2 + 14x + 49 c) x2 − 25y2 e) x4 − y4
b) x2 + 6xy + 9y2 d) x4 − 16y2 f) x2 − y6
a) x + 7( )
2
 c) x + 5 y( ) x −5 y( ) e) x2 + y2( ) x + y( ) x − y( )
b) x + 3 y( )
2
 d) x2 + 4 y( ) x2 − 4 y( ) f) x + y3( ) x − y3( )
45 Extrae factor común e identifica las identidades notables para factorizar.
a) 5x3 − 30x2 + 45x b) 45x4 − 60x3 + 20x2 
a) 5 x x2 − 6 x + 9( ) = 5 x x − 3( )
2
 b) 5 x2 9 x2 −12x + 4( ) = 5 x2 3x − 2( )
2
46 Comprueba que x3 − y3 = x − y( ) x2 + xy + y2( ) . ¿Cómo se factoriza x3 − 1? ¿Puedes afirmar que 7 0323 − 1 es múl-
tiplo de 7 031?
x − y( ) x2 + xy + y2( ) = x3 + x2 y + xy2 − x2 y − xy2 − y3 = x3 − y3
Aplicando lo anterior: x3 −1 = x −1( ) x2 + x + 1( )
Del mismo modo: 7 0323 −1 = 7 032−1( ) 7 0322 + 7 032 + 1( ) = 7 032 ⋅ 7 0322 + 7 032 + 1( )
Por tanto, 7 0323 − 1 es múltiplo de 7 031.
Desafío
47 Factoriza la expresión: x + y( )
3
− x − y( )
3
. Demuestra que, para cualesquiera números enteros, x e y, esta expresión es 
un número par.
x + y( )
3
− x − y( )
3
= x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3− x3 − 3x2 y + 3xy2 − y3( ) = 6 x2 y + 2 y3 = 2 y 3x2 + y2( )
Esta expresión es múltiplo de 2, por tanto, es un número par.
75
3Polinomios
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
5. División de polinomios
53
3Actividades3 Polinomios
52
5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Para dividir un polinomio por un monomio, dividimos cada término del polinomio 
(dividendo) por el monomio (divisor).
8 x4 + 2x3 + 4 x2( ) : 2x( ) = 4 x3 + x2 + 2x
En la división de polinomios seguimos el mismo procedimiento que en la división de 
números naturales.
Para comprobar que la división es correcta, procedemos del mismo modo que con 
los números naturales:
 Dividendo = divisor ⋅ cociente + resto
x4 + 2x2 + 4 x + 6 = x2 + 2x + 4( ) x2 − 2x + 2( ) + 8 x − 2( )
Para cada par de polinomios, P(x) y Q(x), en los que Q(x) no es el polinomio nulo, 
existen dos polinomios, C(x) y R(x), tales que:
P(x) = Q(x) ⋅ C(x) + R(x)
 ❚ El grado del polinomio cociente, C(x), es igual a la diferencia entre el grado del 
polinomio dividendo, P(x), y el del polinomio divisor, Q(x).
 ❚ El grado del polinomio resto, R(x), es menor que el grado del polinomio divisor.
 ❚ Si R(x) = 0, entonces la división es exacta, es decir, Q(x) es divisor de P(x).
Aprenderás a…
 ● Realizar la división de 
polinomios.
 ● Conocer la relación existente 
entre el dividendo, el divisor, 
el cociente y el resto de la 
división de polinomios.
Presta atención
 P(10) = Q(10) ⋅ C(10) + R(10)
10246 124
− 992 82
326
− 248
78
 10 246 = 124 ⋅ 82 + 78
 } Efectúa las siguientes divisiones.
a) x5 + 3x4 + 5x3 − 7x2 −17x −16( ) : x2 − 4( ) b) x
3 + 3x2 + x −1( ) : 2x2 −1( )
Solución
a) b) 
 
−x5 + 3x4 + 5 x3 −17 x2 −17 x −16 x2 − 4
−x5 + 3x4 + 4 x3 x3 + 3x2 + 9 x + 5
−x5 + 3x4 + 9 x3 −17 x2 −17 x −16
−x5 − 3x4 + 9 x3 + 12x2 −17 x −16
−x5 − 3x4 + 9 x3 + 15 x2 −17 x −16
−x5 − 3x4− 9 x3 + 12x2 − 36 x −16
−x5 − 3x4 + 9 x3 + 15 x2 + 19 x −16
−x5 − 3x4 − 9 x3−15 x2 − 26 x − 20
−x5 − 3x4 + 9 x3 + 15 x2 + 19 x + 4 
−x3 + 3x2 + x −1 2x2 −1
−x3 + 3x2 +
1
2
x
1
2
x +
3
2
+ 3x2 +
3
2
x −1
− 3x2 +
3
2
3
2
x +
1
2
EJERCICIO RESUELTO
Comprueba que el resto de estas divisiones es el 
polinomio nulo y calcula el cociente de cada una de 
ellas.
a) x3 − x2 −17 x + 20( ) : x − 4( )
b) 6 x3 + x2 + x + 2( ) : 3x + 2( ) 
c) x5 − x2 + 2x − 2( ) : x2 − x + 1( ) 
Calcula el cociente y el resto de las divisiones.
a) x2 −17 x + 18( ) : x −1( ) 
b) 2x3 − x2 − 6 x + 9( ) : 2x + 3( )
c) x3 −7 x2 + 6( ) : x2 −5 x + 1( )
¿Cuál es el grado del cociente de la división de un 
polinomio de grado 8 por un polinomio de grado 5?
Halla el dividendo de la división de polinomios en 
cada caso.
a) Divisor: x2 + 3 
Cociente: x2 + 2x − 3 
Resto: −10x − 10 
b) Divisor: 3x2 − 1 
Cociente: x2 − 3 
Resto: −6x − 1 
c) Divisor: 4x3 − 2x 
Cociente: x2 − 1 
Resto: 1
Calcula el divisor de la división de polinomios en cada 
caso.
a) Dividendo: 2x3 − 6x + 5 
Cociente: 2x 
Resto: −14x + 5 
b) Dividendo: 8x3 − 12x2 − x 
Cociente: 2x − 3 
Resto: x − 3 
c) Dividendo: x3 − 5x2
Cociente: x2 − 1 
Resto: x − 5
Halla el cociente de estas divisiones sin efectuarlas.
a) x2 − 6 x + 9( ) : x − 3( ) 
b) x2 − 25( ) : x + 5( ) 
c) x4 − 64( ) : x2 + 8( ) 
Completa en tu cuaderno los recuadros para que el 
resto de la división del polinomio x3 − 4x2 + §x + § 
por x2 + x + 1 sea 12x + 5.
48
49
50
51
52
53
54
Escribe un polinomio de grado 3 que sea:
a) Divisible por x + 5, por x − 2 y por 2x + 7.
b) Divisible por x + 2, por 7x2 − 28 y por 3x + 5.
c) Divisible por x − 3, por 4x2 − 36 y por x − 1.
Calcula el cociente y el resto de las divisiones.
a) x3 + 2x2 + 2( ) : 4 x − 2( )
b) 4 x3 + 2x2 −10 x + 1( ) : 3x2 + 6 x − 2( )
c) x3 + x2 − x + 2( ) : 2x2 + 7 x −1( ) 
d) x5 + 5 x3 −5 x2 + 2x − 4( ) : x3 + 3x −5( ) 
55
56
Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones.
a) 
5
2
x2 −
16
3
x +
17
12
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ : 5 x −
2
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
b) 1
2
x4 −
3
4
x3 −
1
2
x + 2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ :
1
2
x −
3
4
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
c) 
1
3
x3 −
1
6
x2 +
1
3
x −
5
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ :
1
6
x −
1
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
d) 
1
10
x3 −
2
5
x2 −
3
10
x +
1
5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ :
1
10
x −
3
10
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
57
DESAFÍO
Comprueba que todo número natural, n, cumple que su cubo menos 1 más su cuadrado menos él mismo es 
múltiplo tanto del número anterior como del posterior a n.
58
 } Calcula el cociente y el resto de la división.
2
15
x2 −
17
30
x +
1
10
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ :
1
5
x −1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
Solución
Hallamos: m.c.m. (15, 30, 10, 5) = 30
Multiplicamos el dividendo y el divisor por 30 para 
efectuar la división de polinomios con coeficientes 
enteros:
4 x2 −17 x + 3( ) : 6 x − 30( )
El cociente coincide con el cociente de la división 
original, pero el resto también queda multiplicado 
por 30.
−4 x2 −17 x + 3 6 x − 30
−4 x2 + 20 x
3x + 3
−3x + 15
18
El resto de la división original es: 
18
30
=
3
5
2
3
x +
1
2
EJERCICIO RESUELTO
mac3e11
Soluciones de las actividades
48 Comprueba que el resto de estas divisiones es el polinomio nulo y calcula el cociente de cada una de ellas.
a) x3 − x2 −17 x + 20( ) : x − 4( ) b) 6 x3 + x2 + x + 2( ) : 3x + 2( ) c) x5 − x2 + 2x − 2( ) : x2 − x + 1( )
a) x3 − x2 −17 x + 20( ) = x − 4( ) ⋅ x2 + 3x −5( )
b) 6 x3 + x2 + x + 2( ) = 3x + 2( ) ⋅ 2x2 − x + 1( )
c) x5 − x2 + 2x − 2( ) = x2 − x + 1( ) ⋅ x3 + x2 − 2( )
Sugerencias didácticas
Conviene señalar que no toda escritura de la forma: 
P(x) = Q(x) . C(x) + R(x)
es una división del polinomio P(x) entre el polinomio Q(x). 
Para que lo sea hace falta que R(x) sea nulo o que su grado 
sea menor que el de Q(x).
Otro hecho a señalar es que no siempre la división de poli-
nomios cuyos coeficientes son números enteros proporcio-
na un cociente y un resto con coeficientes enteros; a veces 
dichos coeficientes son números racionales. Esto sucede 
por ejemplo, en el apartado b) del primer ejercicio resuelto.
Por último, conviene advertir que para dividir P(x) entre Q(x) 
si ambos polinomios tienen coeficientes racionales no ente-
ros, podemos multiplicar dividendo y divisor por el mínimo
común múltiplo de los denominadores de todas las fraccio-
nes involucradas. El cociente coincide con el cociente de la 
división planteada pero no sucede lo mismo con el resto. 
El último ejercicio resuelto es un ejemplo de este procedi-
miento.
Vídeo. DIVISIÓN DE POLINOMIOS
En el vídeo se muestra el procedimiento para calcular la división 
de dos polinomios paso a paso. Para determinar el cociente se 
marcan los monomios de mayor grado de cada polinomio en los 
que debemos fijarnos. A continuación se multiplica cada término 
y por último, se restan los polinomios obtenidos.
El vídeo puede reproducirse en clase explicando el procedimiento 
realizado o como recurso para que los alumnos repasen la división 
de polinomios.
3 Polinomios
76
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
49 Calcula el cociente y el resto de las divisiones.
a) x2 −17 x + 18( ) : x −1( ) b) 2x3 − x2 − 6 x + 9( ) : 2x + 3( ) c) x3 −7 x2 + 6( ) : x2 −5 x + 1( )
a) Cociente: x − 16 Resto: 2
b) Cociente: x2 − 2x Resto: 9
c) Cociente: x − 2 Resto: −11x + 8
50 ¿Cuál es el grado del cociente de la división de un polinomio de grado 8 por un polinomio de grado 5?
El grado del cociente es: 8 − 5 = 3
51 Halla el dividendo de la división de polinomios en cada caso.
a) Divisor: x2 + 3 b) Divisor: 3x2 − 1 c) Divisor: 4x3 − 2x 
 Cociente: x2 + 2x − 3 Cociente: x2 − 3 Cociente: x2 − 1 
 Resto: −10x − 10 Resto: −6x − 1 Resto: 1
a) x2 + 3( ) x2 + 2x − 3( ) + −10 x −10( ) = x4 + 2x3 − 4 x −19
b) 3x2 −1( ) x2 − 3( ) + −6 x −1( ) = 3x4 −10 x2 − 6 x + 2 
c) 4 x3 − 2x( ) x2 −1( ) + 1 = 4 x5 − 6 x3 + 2x + 1 
52 Calcula el divisor de la división de polinomios en cada caso.
a) Dividendo: 2x3 − 6x + 5 b) Dividendo: 8x3 − 12x2 − x c) Dividendo:x3 − 5x2 
e) Cociente: 2x Cociente: 2x − 3 Cociente: x2 − 1 
f) Resto: −14x + 5 Resto: x − 3 Resto: x − 5
a) 2x3 − 6 x + 5( )− −14 x + 5( )[ ] : 2x = x2 + 4
b) 8 x3 −12x2 − x( )− x − 3( )[ ] : 2x − 3( ) = 4 x2 −1
c) x3 −5 x2( )− x −5( )[ ] : x2 −1( ) = x −5
53 Halla el cociente de estas divisiones sin efectuarlas.
a) x2 − 6 x + 9( ) : x − 3( ) b) x2 − 25( ) : x + 5( ) c) x4 − 64( ) : x2 + 8( ) 
a) x − 3( )
2
: x − 3( ) = x − 3
b) x −5( ) x + 5( ) : x + 5( ) = x −5
c) x2 − 8( ) x2 + 8( ) : x2 + 8( ) = x2 − 8
54 Completa en tu cuaderno los recuadros para que el resto de la división del polinomio x3 − 4x2 + §x + § por x2 + x + 1 sea 
12x + 5.
Como el dividendo es un polinomio de grado 3 y el divisor tiene grado 2, el cociente ha de ser un polinomio de grado 1 
de la forma x + c para cierto número c.
Entonces: x3 − 4 x2 +§x + §= x2 + x + 1( ) ⋅ x + c( ) + 12x + 5
 x3 − 4 x2 +§x + §= x3 + c + 1( ) x2 + ⋅ c + 13( ) x + c + 5
Igualando los coeficientes: c + 1 = −4 → c = −5
Luego: x3 − 4x2 + §x + § = x3 − 4x2 + 8x 
55 Escribe un polinomio de grado 3 que sea:
a) Divisible por x + 5, por x − 2 y por 2x + 7. 
b) Divisible por x + 2, por 7x2 − 28 y por 3x + 5.
c) Divisible por x − 3, por 4x2 − 36 y por x − 1.
a) Respuesta abierta, por ejemplo: P(x) = x + 5( ) ⋅ x − 2( ) ⋅ 2x + 7( ) = 2x3 + 13x2 + x −70 
b) Respuesta abierta, pero como 7 x2 − 28 = 7 x2 − 4( ) = 7 x + 2( ) x − 2( ), el polinomio puede ser: 
 P(x) = 7 x2 − 28( ) ⋅ 3x + 5( ) = 21x3 + 35 x2 − 84 x −140 
c) Respuesta abierta, pero como 4 x2 − 36 = 4 x2 − 9( ) = 4 x + 3( ) x − 3( ), el polinomio puede ser: 
 P(x) = 4 x2 − 36( ) ⋅ x −1( ) = 4 x3 − 4 x2 − 36 x + 36 
77
3Polinomios
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
56 Calcula el cociente y el resto de las divisiones.
a) x3 + 2x2 + 2( ) : 4 x − 2( ) c) x3 + x2 − x + 2( ) : 2x2 + 7 x −1( ) 
b) 4 x3 + 2x2 −10 x + 1( ) : 3x2 + 6 x − 2( ) d) x5 + 5 x3 −5 x2 + 2x − 4( ) : x3 + 3x −5( )
a) Cociente: 
1
4
x2 +
5
8
x +
5
16
 Resto: 
21
8
 c) Cociente: 
1
2
x −
5
4
 Resto: 
33
4
x +
3
4
b) Cociente: 
4
3
x − 2 Resto: 
14
3
x − 3 d) Cociente: x2 + 2 Resto: −4x + 6
57 Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones.
a) 
5
2
x2 −
16
3
x +
17
12
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
: 5 x −
2
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ c) 
1
3
x3 −
1
6
x2 +
1
3
x −
5
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ :
1
6
x −
1
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
b) 
1
2
x4 −
3
4
x3 −
1
2
x + 2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ :
1
2
x −
3
4
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ d) 
1
10
x3 −
2
5
x2 −
3
10
x +
1
5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ :
1
10
x −
3
10
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
a) Cociente: 
1
2
x −1 Resto: 
3
4
 c) Cociente: 2x2 + 3x + 8 Resto: 
1
6
b) Cociente: x3 − 1 Resto: 
5
4
 d) Cociente: x2 − x − 6 Resto: −
8
5
Desafío
58 Comprueba que todo número natural, n, cumple que su cubo menos 1 más su cuadrado menos él mismo es múltiplo 
tanto del número anterior como del posterior a n.
n3 −1+ n2 − n = n3 + n2( )− n+1( ) = n2 n + 1( )− n + 1( ) = n2 −1( ) n + 1( ) = n−1( ) n + 1( )
2
Por tanto, la relación de n con su cubo y su cuadrado es múltiplo de n − 1 y de n + 1.
3 Polinomios
78
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
6. Regla de Ruffini
55
3Actividades3 Polinomios
54
Indica los polinomios dividendo, divisor, cociente y resto de estas divisiones 
realizadas con la regla de Ruffini.
a) b) c) 
Calcula el cociente y el resto de la división P(x) : Q(x) utilizando dos métodos 
diferentes.
a) P(x) = 3x4 − 5x2 + x − 2 Q(x) = x − 1 
b) P(x) = x5 − x2 + x − 1 Q(x) = x + 2 
c) P(x) = x4 − 2x3 − 1 Q(x) = x − 4 
Aplica la regla de Ruffini para dividir por Q (x) = x −
4
3
 los polinomios:
a) P(x) = 3x3 − x2 − 5 b) P(x) = 6x4 + 4x3 − 7x2 − 11x − 1 
59
2 3 −1 7 11
1 2 5 4 11
2 5 4 11 22
5 10 −8 17
−3 −15 15 −21
5 −5 7 −4
5 0 0 −20
3 15 45 135
5 15 45 115
60
61
Calcula el cociente y el resto de la división P(x) : Q(x) en cada caso.
a) P(x) = 4x4 − 8x2 + 2x − 6 Q(x) = 2x + 1 
b) P(x) = x3 − 3x2 + 2 Q(x) = 3x − 4 
c) P(x) = 32x5 − 20 Q(x) = 4x + 2 
Determina el valor de m para que, al dividir 5x4 − 3x3 − 8x2 + x + m por x − 2, el 
resto sea 20.
62
63
6. REGLA DE RUFFINI
Dividimos el polinomio x4 − 4x2 + 5x − 3 por el binomio x − 2:
−x4 + 2x3 − 4 x2 + 5 x −13 x − 2
−x4 + 2x3 x3 + 2x2 + 5
−x4 + 2x3 − 4 x2 + 5 x −13
− 2x3 + 4 x2 + 5 x −13
−x4 + 2x3 − 4 x2 + 5 x −13
−5 x + 10
−x4 + 2x3 − 4 x2 + 5 x −17
Observamos que el resto es un número, porque el grado del divisor es 1 y el resto 
siempre tiene un grado menor que el del divisor.
El cociente es el polinomio: C(x) = x3 + 2x2 + 5. Tiene grado 3, es decir, la diferencia 
entre los grados del dividendo y el divisor.
A continuación, vamos a dividir los polinomios empleando la regla de Ruffini, un 
algoritmo que sirve para dividir polinomios en el caso particular en que el divisor es 
un binomio de la forma x − a.
Como en el ejemplo anterior el divisor, x − 2, es un binomio de la forma x − a 
podemos utilizar la regla de Ruffini. Para ello, seguimos estos pasos:
1 Trazamos dos líneas perpendiculares y 
escribimos los coeficientes del dividendo 
ordenados según el grado, sin omitir los 
términos nulos.
1 0 −4 5 −3
2 Escribimos el valor de a junto a la línea 
vertical.
1 0 −4 5 −3
2
3 Bajo la línea inferior situamos el coeficiente 
principal, lo multiplicamos por el valor de a 
y colocamos el resultado debajo del 
coeficiente del término siguiente.
1 0 −4 5 −3
2 2
1
4 Sumamos y multiplicamos el resultado de 
nuevo por el valor de a.
1 0 −4 5 −3
2 2 4
1 2
5 Repetimos el proceso hasta completar 
todos los términos.
1 0 −4 5 −3
2 2 4 0
1 2 0 5
 ❚ Observamos que el último número es 
el resto de la división. 
 ❚ Los demás números son los coeficientes 
del polinomio cociente ordenados según 
el grado de los términos.
Cociente: C(x) = x3 + 2x2 + 5
Resto: R = 7
1 0 −4 5 −3
2 2 4 0 10
1 2 0 5 7
x3 + 2x2 + 5
Aprenderás a…
 ● Aplicar la regla de Ruffini 
para dividir un polinomio por 
el binomio x − a.
Presta atención
Al efectuar la división por la regla 
de Ruffini, siempre obtenemos 
que el grado del polinomio 
cociente es una unidad menor que 
el grado del polinomio dividendo.
 } Calcula, aplicando la regla de Ruffini, el cociente y el resto de la división:
2x3 + x2 − 2x + 3( ) : 2x −1( )
Solución
Dividimos los polinomios por 2 para que el divisor sea de la forma x − a:
x3 +
1
2
x2 − x +
3
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ : x −
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
Aplicamos la regla de Ruffini:
 
1
1
2
−1
3
2
1
2
1
2 
1
2
−
1
4
1 1 −
1
2 
5
4
El cociente es el polinomio: C(x) = x2 + x −
1
2
El resto de la división original es: R (x) = 2 ⋅
5
4
=
5
2
EJERCICIO RESUELTO
Presta atención
 ❚ Para dividir aplicando la regla 
de Ruffini, el divisor debe ser un 
binomio de la forma x − a.
 ❚ Al utilizar la regla de Ruffini 
obtenemos el mismo cociente y 
el mismo resto que al realizar la 
división de polinomios.
DESAFÍO
Determina el valor de m para que el polinomio x3 + mx − 25 sea múltiplo del polinomio x − 5.64
Soluciones de las actividades
59 Indica los polinomios dividendo, divisor, cociente y resto de estas divisiones realizadas con la regla de Ruffini.
a) b) c) 
 
2 3 −1 7 11
1 2 5 4 11
2 5 4 11 22 
5 10 −8 17
−3 −15 15 −21
5 −5 7 −4 
5 0 0 −20
3 15 45 135
5 15 45 115
a) Dividendo: 2x4 + 3x3 − x2 + 7x + 11 b) Dividendo: 5x3 + 10x2 − 8x + 17 c) Dividendo: 5x3 − 20
 Divisor: x − 1 Divisor: x + 3 Divisor: x − 3
 Cociente: 2x3 + 5x2 + 4x + 11 Cociente: 5x2 − 5x + 7 Cociente: 5x2 + 15x + 45
 Resto: 22 Resto: −4 Resto: 115
Sugerencias didácticas
La regla de Ruffini es un sencillo algoritmo que permite cal-
cular con rapidez y sencillez el cociente y el resto de la divi-
sión de un polinomio cualquiera por uno de la forma x − a. 
Un recurso didáctico esclarecedor consiste en efectuar a la 
vez, en dos zonas distintas de la pizarra, la divisiónde un 
polinomio por x − 1, por ejemplo, mediante el método ge-
neral y mediante la regla de Ruffini, comprobando así cómo 
los coeficientes del cociente y el valor del resto son idénticos 
en ambos procedimientos.
Conviene incidir en la expresión del cociente, tras aplicar 
la regla, como un polinomio de un grado menos que el 
dividendo.
79
3Polinomios
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
60 Calcula el cociente y el resto de la división P(x) : Q(x) utilizando dos métodos diferentes.
a) P(x) = 3x4 − 5x2 + x − 2 Q(x) = x − 1 
b) P(x) = x5 − x2 + x − 1 Q(x) = x + 2 
c) P(x) = x4 − 2x3 − 1 Q(x) = x − 4 
Si aplicamos la regla de Ruffini o realizamos la división euclídea de polinomios, obtenemos:
a) Cociente: 3x3 + 3x2 − 2x − 1 Resto: −3
b) Cociente: x4 − 2x3 +4x2 − 9x + 19 Resto: −39
c) Cociente: x3 + 2x2 + 8x + 32 Resto: 127
61 Aplica la regla de Ruffini para dividir por Q (x) = x −
4
3
 los polinomios:
a) P(x) = 3x3 − x2 − 5 
b) P(x) = 6x4 + 4x3 − 7x2 − 11x − 1 
a) Cociente: 3x2 + 3x + 4 Resto: 
1
3
b) Cociente: 6x3 + 12x2 + 9x + 1 Resto: 
1
3
62 Calcula el cociente y el resto de la división P(x) : Q(x) en cada caso.
a) P(x) = 4x4 − 8x2 + 2x − 6 Q(x) = 2x + 1 
b) P(x) = x3 − 3x2 + 2 Q(x) = 3x − 4 
c) P(x) = 3x5 − 5 Q(x) = 4x + 2 
a) Cociente: 2x3 − x2 −
7
2
x +
11
4
 Resto: −
35
4
b) Cociente: 
1
3
x2 −
5
9
x −
20
27
 Resto: −
26
27
c) Cociente: 
3
4
x4 −
3
8
x3 +
3
16
x2 −
3
32
x +
3
64
 Resto: −
163
32
63 Determina el valor de m para que, al dividir 5x4 − 3x3 − 8x2 + x + m por x − 2, el resto sea 20.
5 −3 −8 1 m
2 10 14 12 26
5 7 6 13 20
Entonces: m + 26 = 20 → m = −6
Desafío
64 Determina el valor de m para que el polinomio x3 + mx − 25 sea múltiplo del polinomio x − 5.
Para que el polinomio x3 + mx − 25 sea múltiplo del polinomio x − 5, la división debe ser exacta.
1 0 m m
5 5 25 5m + 250
1 5 m + 25 5m + 100
Entonces: 5m + 100 = 0 → m = −20
3 Polinomios
80
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
7. Teorema del resto. Factorización
57
3Actividades3 Polinomios
56
Comprueba que el resto de la división P(x) : Q(x) coincide con el valor numérico de 
P(x) para el opuesto del término independiente de Q(x) en cada caso.
a) P(x) = x3 − 5x2 − 1 Q(x) = x − 5 
b) P(x) = x5 − 5x2 + 4 Q(x) = x + 3 
Calcula el resto de la división del polinomio x39 − 5x20 − 12 por x − 1.
Halla el valor del número entero a, sabiendo que el resto de la división del polinomio 
P(x) = x3 − 4ax2 + 9 por x − 2 es igual a 1.
Calcula el resto de la división del polinomio P(x) = 3x3 − 9x2 + 13x − 7 por x − 1. 
¿Cuál es el resto de la división de P(x) por x(x − 1)?
Aplica la regla de Ruffini para factorizar el polinomio x4 − 16 como producto de 
polinomios de grados 1 y 2 con coeficientes enteros.
Copia en tu cuaderno y completa los recuadros.
a) 5x2 + 4x − 1 = (x + §)(5x − §) 
b) 5x2 − §x + 1 = (§x − §)(x − 1) 
c) 12x2 − 7x + 1 = (§x − 1)(§x − 1)
d) 6x2 + §x + 1 = (2x + §)(§x + 1)
Comprueba que 5
2
 es una raíz del polinomio 2x3 − 9x2 + 12x − 5.
Halla su descomposición factorial como producto de polinomios de grado 1 con 
coeficientes enteros.
Halla las raíces y factoriza los siguientes polinomios como producto de polinomios 
de grado 1 con coeficientes enteros.
a) x4 + 2x3 − 3x2 − 4x + 4
b) x5 − x4 − 17x3 + 53x2 − 56x + 20
65
66
67
68
69
70
71
72
7. TEOREMA DEL RESTO. FACTORIZACIÓN
El valor numérico del polinomio P(x) = x3 − 3x + 2, para x = −1, es 4, porque:
P (−1) = −1( )
3
− 3 ⋅ (−1) + 2 = −1+ 3 + 2 = 4
Si dividimos el polinomio P(x) por x + 1: 1 0 −3 2
−1 −1 1 2
1 −1 −2 4
podemos observar que el resto de la división (R = 4) coincide con el valor numérico 
del polinomio para x = −1.
Teorema del resto. El valor numérico de un polinomio, P(x), para x = a, coincide 
con el resto de la división del polinomio P(x) por el binomio x − a, es decir:
R = P(a)
Al dividir un polinomio, P(x), por el binomio x − a, obtenemos un polinomio cociente, 
C(x), y un resto, R, que es un número.
Aplicando la prueba de la división: P(x) = (x − a) ⋅ C(x) + R
Si sustituimos x por a resulta: P(a) = (a − a) ⋅ C(a) + R = 0 + R = R
Factorización de polinomios
El valor numérico del polinomio P(x) = x3 − 3x + 2, para x = 1, es 0, porque:
P(1) = 13 − 3 ⋅ 1 + 2 = 1 − 3 + 2 = 0 
Por tanto, x = 1 es una raíz de P(x). Por el teorema del resto sabemos que la división 
de P(x) por x − 1 es exacta, es decir, x − 1 es un divisor de P(x).
Para factorizar un polinomio, P(x), se pueden buscar sus raíces: a, b, c, …, de 
modo que los binomios de la forma x − a, x − b, x − c, …, sean factores de su 
descomposición factorial.
P(x) = (x − a)(x − b)(x − c)…
Aprenderás a…
 ● Identificar el resto de la 
división de un polinomio por 
un binomio de la forma x − a 
como el valor numérico para 
x = a.
 ● Aplicar la regla de Ruffini 
para factorizar un polinomio.
Las raíces enteras de un 
polinomio son divisores de su 
término independiente.
Recuerda
 } Factoriza y halla las raíces de los polinomios:
a) P(x) = x3 + 2x2 − 5x − 62
Solución
a) Las posibles raíces enteras son los divisores de 6:
±1, ±2, ±3 y ±6
Podemos aplicar la regla de Ruffini para hallar la 
descomposición factorial.
1 2 −5 −6
1 1 3 −2
1 3 −2 −8 ≠ 0
1 no es una raíz
1 2 −5 −6
−1 −1 −1 6
1 1 −6 0
−2 2 6
1 3 0
Las raíces de P(x) son: −1, 2 y −3
Entonces: x3 + 2x2 − 5x − 6 = (x + 1)(x − 2)(x + 3)
b) Q(x) = x4 − x3 + 2x2 − 2x
b) Extraemos factor común: x x3 − x2 + 2x − 2( )
Así, x = 0 es una raíz de Q(x).
Como los divisores de 2 son ±1 y ±2, aplicamos la regla 
de Ruffini para hallar otras raíces.
1 −1 2 −2
1 1 0 2
1 0 2 0 x = 1 es una raíz de Q(x).
Por tanto, x4 − x3 + 2x2 − 2x = x x −1( ) x2 + 2( ) es 
la factorización de Q(x), porque x2 + 2 no tiene raíces, 
(ten en cuenta que cualquier número real elevado al 
cuadrado es positivo y al sumarle 2 también).
EJERCICIO RESUELTO
Prueba que si a un número natural le sumamos su cubo y le restamos 2, el resultado 
es múltiplo del número que le antecede.
73
 } Prueba que todo número entero verifica que su cubo más el doble de su 
cuadrado más su cuádruple más 3 es múltiplo del número siguiente.
Solución
Designamos por x un número entero cualquiera.
Así, x + 1 es el siguiente.
Definimos el polinomio con las condiciones del enunciado: P(x) = x3 + 2x2 + 4x + 3
Comprobamos que x + 1 es un divisor de P(x).
1 2 4 3
−1 −1 −1 −3
1 1 3 0
Entonces: x3 + 2x2 + 4 x + 3 = x + 1( ) x2 + x + 3( )
EJERCICIO RESUELTO
DESAFÍO
Prueba que, si x e y son dos números enteros consecutivos, entonces x2 + y2 + (xy)2 es un cuadrado perfecto.74
Si al factorizar un polinomio 
obtenemos un factor de la 
forma (x − a)2, diremos que a 
es una raíz doble del 
polinomio; si nos aparece 
(x − a)3, se trata de una raíz 
triple, y así sucesivamente.
Lenguaje matemático
Soluciones de las actividades
65 Comprueba que el resto de la división P(x) : Q(x) coincide con el valor numérico de P(x) para el opuesto del término inde-
pendiente de Q(x) en cada caso.
a) P(x) = x3 − 5x2 − 1 Q(x) = x − 5 
b) P(x) = x5 − 5x2 + 4 Q(x) = x + 3 
a) Efectuando la división por la regla de Ruffini resulta:
 Cociente: x2 y resto: −1
 P(1) = 53 − 5 ⋅ 52 − 1 = −1
b) Efectuando la división por la regla de Ruffini resulta:
 Cociente: x4 − 3x3 + 9x2 − 32x + 96 y resto: −284
 P −3( ) = −3( )
5
−5 ⋅ −3( )
2
+ 4 = −284
66 Calcula el resto de la división del polinomio x39 − 5x20 − 12 por x − 1.
R = P(1) = 139 − 5 ⋅ 120 − 12 = −16
Sugerencias didácticas
Es conveniente dedicar algo de tiempo a comprender la de-
mostración del teorema del resto para facilitar su uso pos-
terior en los ejemplos y ejercicios. Y tiene una consecuencia 
muy importante: si P(a) = 0, el teorema proporciona una 
factorización del polinomio P(x). Además, para proseguir 
factorizando, solo debemos repetir el mismo proceso.
Así, cuando el ejercicio propuesto consista en hallar las raí-
ces enteras de un polinomioP(x), el alumno podrá calcular 
el valor numérico de este para los valores de la variable que
son candidatos a ser sus raíces, es decir, de los divisores del 
término independiente de P(x), seleccionando aquellos en 
los cuales dicho valor numérico es nulo.
Puede ser interesante también proponer a los alumnos que 
calculen el resto de una división de un polinomio de grado 
muy alto por x − 1 o por x + 1, para que observen que en 
estos casos no conviene aplicar la regla de Ruffini, sino que 
es más conveniente el teorema del resto.
81
3Polinomios
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
67 Halla el valor del número entero a, sabiendo que el resto de la división del polinomio P(x) = x3 − 4ax2 + 9 por x − 2 es igual 
a 1.
Aplicando el teorema del resto: P(2) = 1 → 23 − 4a ⋅ 22 + 9 = 1 → 8 − 16a + 9 = 1 → a = 1
68 Calcula el resto de la división del polinomio P(x) = 3x3 − 9x2 + 13x − 7 por x − 1. ¿Cuál es el resto de la división de P(x) 
por x(x − 1)?
Aplicando el teorema del resto: R = P(1) = 3 − 9 + 13 − 7 = 0
Por tanto, x − 1 es un divisor de P(x).
3 −9 13 −7
1 3 −6 7
3 −6 7 0
Entonces: 
P(x) = x −1( ) 3x2 − 6 x + 7( ) = x −1( ) x 3x − 6( ) + 7( )= x x −1( ) 3x − 6 + 7( ) = x x −1( ) 3x − 6( ) + 7 x −1( )
Luego el resto de la división de P(x) por x(x − 1) es: 7(x − 1)
69 Aplica la regla de Ruffini para factorizar el polinomio x4 − 16 como producto de polinomios de grados 1 y 2 con coefi-
cientes enteros.
x4 −16 = x − 2( ) x + 2( ) x2 + 4( )
70 Copia en tu cuaderno y completa los recuadros.
a) 5x2 + 4x − 1 = (x + §)(5x − §) c) 12x2 − 7x + 1 = (§x − 1)(§x − 1) 
b) 5x2 − §x + 1 = (§x − §)(x − 1) d) 6x2 + §x + 1 = (2x + §)(§x + 1)
a) 5x2 + 4x − 1 = (x + 1)(5x − 1) c) 12x2 − 7x + 1 = (4x − 1)(3x − 1) 
b) 5x2 − 6x + 1 = (5x − 1)(x − 1) d) 6x2 + 5x + 1 = (2x + 1)(3x + 1)
71 Comprueba que 5
2
 es una raíz del polinomio 2x3 − 9x2 + 12x − 5.
 Halla su descomposición factorial como producto de polinomios de grado 1 con coeficientes enteros.
P
5
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ = 2 ⋅
5
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
3
− 9 ⋅
5
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
2
+ 12 ⋅
5
2
−5 =
125
4
−
225
4
+ 30−5 = 0
Dividimos aplicando la regla de Ruffini: 2x3 − 9 x2 + 12x −5 = 2x −5( ) x −1( )
2
72 Halla las raíces y factoriza los polinomios como producto de polinomios de grado 1 con coeficientes enteros.
a) x4 + 2x3 − 3x2 − 4x + 4 b) x5 − x4 − 17x3 + 53x2 − 56x + 20 
a) Las raíces del polinomio son: 1 y −2 (ambas son dobles)
 x4 + 2x3 − 3x2 − 4 x + 4 = x −1( )
2
x + 2( )
2
b) Las raíces del polinomio son: 1 (doble), 2 (doble) y −5
 x5 − x4 −17 x3 + 53x2 −56 x + 20 = x −1( )
2
x − 2( )
2
x + 5( )
73 Prueba que si a un número natural le sumamos su cubo y le restamos 2, el resultado es múltiplo del número que le ante-
cede.
Designamos por x un número natural cualquiera.
El polinomio que describe las condiciones del enunciado es: P(x) = x3 + x − 2
P(1) = 13 + 1 − 2 = 0 → P(x) es múltiplo del binomio x − 1, es decir, que el resultado es múltiplo del número natural an-
terior.
Desafío
74 Prueba que, si x e y son dos números enteros consecutivos, entonces x2 + y2 + (xy)2 es un cuadrado perfecto.
Si consideramos y = x + 1 y sustituimos:
x2 + x + 1( )
2
+ x2 x + 1( )
2
= x2 + x2 + 2x + 1+ x2 x2 + 2x + 1( ) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
Factorizando este polinomio: x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 = x2 + x + 1( )
2
Lo que prueba que x2 + y2 + (xy)2 es un cuadrado perfecto.
3 Polinomios
82
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sugerencias didácticas
En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta 
unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:
❚❚ Identificar los elementos que caracterizan los monomios y polinomios.
❚❚ Realizar operaciones con monomios y polinomios.
❚❚ Utilizar la regla de Ruffini y aplicar el teorema el resto para factorizar polinomios.
Actividades finales
Soluciones de las actividades
75 Escribe cinco enunciados y halla las expresiones algebraicas correspondientes, indicando cuáles son sus variables.
Respuesta abierta, por ejemplo:
❚❚ El área de un rectángulo cuyos lados miden x e y es xy. Las variables son x e y.
❚❚ El perímetro de un cuadrado de lado x es 4x. La variable es x.
❚❚ El área de un rombo cuyas diagonales miden 2x y 2y es 2xy. Las variables son x e y.
❚❚ El perímetro un romboide cuyos lados miden x e y es 2x + 2y. Las variables son x e y.
❚❚ El área de un triángulo cuya base mide 2x y cuya altura mide y es xy. Las variables son x e y.
76 Halla dos monomios cuya suma sea 3x11.
Respuesta abierta, por ejemplo: los monomios x11 y 2x11 suman 3x11.
77 Encuentra dos monomios tales que la suma de uno con el cuadrado del otro sea un monomio.
Respuesta abierta, por ejemplo: si los monomios son x2 y x entonces la suma del primero con el cuadrado del otro es 2x2.
¿Qué tienes que saber?
58
¿QUÉ3 tienes que saber?
59
Razona si es posible expresar en forma de monomio 
la longitud del lado del cubo cuyo volumen es el 
doble del volumen del cubo de arista x. ¿Lo es su 
cuadrado?
Estudia si pueden expresarse mediante monomios el 
perímetro y el área de estas figuras.
x
x
2x
x2
Responde a estas cuestiones:
a) ¿Es un monomio la expresión algebraica del 
perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 
6x y 8x? ¿De qué grado?
b) ¿Y la expresión de su área? ¿De qué grado?
c) Si las diagonales midiesen 6x y 8x2, ¿serían 
monomios las expresiones de su perímetro y de 
su área?
Polinomios. Valor numérico
Calcula el valor numérico del siguiente polinomio: 
P(x) = x3 − x2 + x − 1, para x = 1 y para x = 2.
Comprueba si −1 es una raíz de los polinomios:
a) P(x) = −2x40 − x9 + 1
b) Q(x) = 3x4 − 2x + 1
c) R(x) = x2 − 3x + 7
d) S(x) = −3x4 − 6x2 + 9
Halla el valor de a sabiendo que el valor numérico del 
polinomio x2 − ax + a, para x = a, es igual a 1.
Calcula el valor de a y de b si x = 0 y x = 2 son dos 
raíces del polinomio:
P(x) = 3x5 − x3 + ax + b
Determina el valor de a y de b en la expresión del 
polinomio P(x) = x4 − 9x2 + ax + b, sabiendo que dos 
de sus raíces son x = 1 y x = 3.
Estudia si puede ocurrir que 8a0 sea una raíz del 
polinomio P(x) = anx
n + … + a1x + a0 con coeficientes 
enteros y grado n ≥ 1.
Halla dos polinomios, P(x) y Q(x), tales que el grado 
del polinomio suma, P(x) + Q(x), sea menor que los 
grados de P(x) y de Q(x).
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Expresiones algebraicas. 
Monomios
Escribe cinco enunciados y halla las expresiones 
algebraicas correspondientes, indicando cuáles son 
sus variables.
Halla dos monomios cuya suma sea 3x11.
Encuentra dos monomios tales que la suma de uno 
con el cuadrado del otro sea un monomio.
Indica razonadamente cuál de estas afirmaciones es 
cierta.
a) La suma de dos monomios es siempre otro 
monomio.
b) La suma de dos monomios nunca es otro 
monomio.
c) La suma de dos monomios a veces es otro 
monomio.
¿Para qué valores de a y n se verifica la igualdad 
3x4−n + ax n = x n ?
Halla dos monomios cuyo producto sea x7 y cuyo 
cociente sea x3.
Calcula el valor del número entero, n, sabiendo que 
el producto 5x3 ⋅ 2xn es un monomio de grado 7.
Copia y simplifica las siguientes expresiones 
algebraicas e indica cuáles de ellas son monomios.
9x4
3x2
7x8
x4
+
2x9
x5
5x2
x11
x2
x6
+
x6
x4 
Determina un monomio cuyo cuadrado sea:
a) x8 c) 1
2
x4
b) 2x2 d) 
4 x6
9
¿Existe algún monomio cuyo cuadrado sea x5?
En las siguientes operaciones, m y n son números 
naturales. 
5 xn
x2
⋅
4 x2 n+3
xn−1
 
15 xm
x2
:
3xm−1
x2m+3
Comprueba que sus resultados son monomios de 
grado par. ¿Para qué valores de n y de m tienen 
grado 4?
Sea x la longitud del lado de un cubo. ¿Es un monomio 
la expresión con la que calculamos su volumen? ¿De 
qué grado?
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79
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83
84
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Resuelve las operaciones:
a) 5x3 + 12x3 b) 7x5 ⋅ −23( ) 
a) La suma se puede realizar porque los 
monomios son semejantes.