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Aeronáutica

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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA
AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO

MÁSTER UNIVERSITARIO EN SISTEMAS DEL
TRANSPORTE AÉREO

TRABAJO FIN DE MÁSTER

Autor: Juan Diego CABRERA MATEOS
Especialidad: Sistemas Aeroespaciales de Tratamiento de Información
Tutor Académico: Javier CRESPO MORENO

Febrero de 2022
Estudio de estabilidad y control de una aeronave de ala fija

iii

Trabajo Fin de Máster
Máster Universitario en Sistemas del Transporte Aéreo

Estudio de estabilidad y control de una aeronave de
ala fija

Autor:
Juan Diego Cabrera Mateos

Tutor:
Javier Crespo Moreno

Departamento de Sistemas Aeroespaciales, Transporte Aéreo y Aeropuertos
Escuela Técnica Superior de Ingeniería Aeroespacial
Universidad Politécnica de Madrid
Madrid, 2022

A mi familia y mis amigos.

vii

Resumen
Este proyecto aborda el problema del control en aeronaves de ala fija, dando solución mediante la teoría de
control moderno. Se desarrolla las ecuaciones del movimiento que dan lugar a los datos necesarios para
modelizar la aeronave. Se ha partido de datos proporcionados por el fabricante de una aeronave para efectuar un
análisis en lazo abierto. Posteriormente se realiza el análisis, desarrollo, diseño y modelización de controladores
que mejoren las salidas del sistema inicial con el uso de dos métodos de control, el método de asignación de
polos y el control óptimo. La finalidad última es la comparación entre los métodos de control usados y la
demostración de la mejora que proporcionan estos frente al sistema sin el uso de controladores.

Abstract
This project addresses the problem of fixed-wing aircraft control, providing a solution using modern control
theory. The equations of motion are developed which give rise to the data needed to model the aircraft. Data
provided by the aircraft manufacturer is used as the starting point for an open-loop analysis. Subsequently, the
analysis, development, design and modelling of controllers that improve the outputs of the initial system is
conducted with the use of two control methods, the pole assignment method and optimal control. The aim is the
comparison between the control methods used and the demonstration of the improvement provided by these
methods compared to the system without the use of controllers.

Índice
Resumen vii
Abstract ix
Índice xi
Índice de Tablas xiii
Índice de Figuras xiv
Notación xvii
1 Introducción 1
1.1 Motivación, objetivos y alcance 2
1.2 Estructura 2
1.3 Revisión de literatura 3
2 Modelo matemático 4
2.1 Sistemas de referencia 4
2.1.1 Sistema inercial geocéntrico 4
2.1.2 Sistema de ejes tierra 5
2.1.3 Sistema de ejes tierra geocéntrico 5
2.1.4 Sistema de ejes horizonte local 7
2.1.5 Sistema de ejes viento 7
2.1.6 Sistema de ejes cuerpo 10
2.2 Ecuaciones generales del movimiento 11
2.2.1 Superficies primarias de la aeronave. Entradas del sistema. 12
2.2.2 Ecuaciones desacopladas. 14
3 Modelo del espacio de estados 15
3.1 Introducción 15
3.2 Concepto de estado 16
3.3 Propiedades de las variables de estado 18
3.3.1 Unicidad 18
3.3.2 Continuidad 18
3.3.3 Transitividad o propiedad de transición 18
3.4 Ecuaciones del modelo de estado 19
3.4.1 Sistemas dinámicos lineales 20
3.4.2 Sistemas dinámicos invariantes 20
3.5 Ecuaciones del movimiento en el espacio de estados 21
3.5.1 Ecuaciones del movimiento en el Espacio de Estados longitudinal 21
3.5.2 Ecuaciones del movimiento en el Espacio de Estados lateral-direccional 22
4 Boeing 747-400. Solución a las ecuaciones del movimiento. Análisis en lazo abierto. 23
4.1 Boeing 747 23
4.1.1 Desarrollo del Boeing 747 23
4.1.2 La familia Boeing 747-400 23
4.1.3 Cabina de mando y cabina de vuelo del Boeing 747 24
4.1.4 Diseño 24
4.1.5 Configuración de la cabina del Boeing 747-400 25
4.1.6 Motores del Boeing 747 25
4.2 Datos usados para el proyecto 25
4.3 Estabilidad 27

4.3.1 Estabilidad estática 27
4.3.2 Estabilidad dinámica 28
4.4 Estudio de la estabilidad 32
4.4.1 Metodología 32
4.4.2 Cálculo de las derivadas de estabilidad. 32
4.4.3 Cálculo del espacio de estados y modos de vuelo. 38
5 Análisis en lazo cerrado. Diseño de controladores 55
5.1 Justificación 55
5.2 Controlabilidad y observabilidad 55
5.2.1 Controlabilidad 55
5.2.2 Observabilidad 56
5.3 Método de asignación de polos 57
5.3.1 Modo longitudinal 58
5.3.2 Modo lateral-direccional 61
5.4 Controlador óptimo cuadrático 64
5.4.1 Modo longitudinal 66
5.4.2 Modo lateral-direccional 69
5.5 Comparación de resultados 72
5.5.1 Modo longitudinal 72
5.5.2 Modo lateral-direccional 73
6 Conclusiones y líneas futuras. 75
Referencias 77

xiii

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1. Características generales de la aeronave y parámetros caracterizadores. 25
Tabla 2. Derivadas longitudinales y lateral-direccionales de la aeronave. 26
Tabla 3. Valores de las derivadas de estabilidad para el modo longitudinal y el modo lateral-direccional. 37
Tabla 4. Características de estabilidad para el modo longitudinal. 42
Tabla 5. Características de estabilidad para el modo lateral-direccional. 50
Tabla 6. Requisitos de diseño para la aeronave. 58
Tabla 7. Requisitos del modo longitudinal para el método de asignación de polos. 58
Tabla 8. Requisitos del modo lateral-direccional para el método de asignación de polos. 61
Tabla 9. Polos del modo longitudinal con controlador LQR. 66
Tabla 10. Polos del modo lateral-direccional con controlador LQR. 69
Tabla 11. Comparativa de polos del modo periodo corto. 72
Tabla 12. Comparativa de polos del modo fugoide. 72
Tabla 13. Comparativa de polos del modo espiral 73
Tabla 14. Comparativa de polos del modo de convergencia en balance. 73
Tabla 15. Comparativa de polos del modo de balanceo del holandés. 73

ÍNDICE DE FIGURAS

Ilustración 1. Sistema inercial geocéntrico. 4
Ilustración 2. Sistema de ejes tierra. 5
Ilustración 3. Sistema de ejes geográficos. 6
Ilustración 4. Sistema de ejes horizonte local. 7
Ilustración 5. Sistema de ejes viento. 8
Ilustración 6. Orientación de la fuerza aerodinámica. 9
Ilustración 7. Orientación del empuje. 9
Ilustración 8. Sistema de ejes cuerpo. 10
Ilustración 9. Alerones. 13
Ilustración 10. Timón de profundidad. 13
Ilustración 11. Timón de dirección. 13
Ilustración 12. Ejemplo de evolución temporal de las variables de estado. 17
Ilustración 13. Ejemplo de trayectoria del vector de estado en el espacio de estado. 17
Ilustración 14. Transitividad de estado. 18
Ilustración 15. Vistas de planta, alzado y perfil de la aeronave. 27
Ilustración 16. Ejemplo de aeronave estáticamente estable. 27
Ilustración 17. Ejemplode aeronave estáticamente inestable. 28
Ilustración 18. Ejemplo de aeronave estáticamente neutra. 28
Ilustración 19. Ejemplo de aeronave dinámicamente estable. 28
Ilustración 20. Ejemplo de aeronave dinámicamente neutra. 29
Ilustración 21. Ejemplo de aeronave dinámicamente inestable. 29
Ilustración 22. Derivadas de estabilidad longitudinal adimensionales. 33
Ilustración 23. Derivadas de estabilidad lateral-direccional adimensionales. 33
Ilustración 24. Derivadas de estabilidad longitudinal en formato dimensional. 34
Ilustración 25. Derivadas de estabilidad lateral-direccional en formato dimensional. 34
Ilustración 26. Derivadas de estabilidad longitudinal en notación concisa (parte 1). 35
Ilustración 27. Derivadas de estabilidad longitudinal en notación concisa (parte 2). 36
Ilustración 28. Derivadas de estabilidad lateral-direccional en notación concisa (parte 1). 36
Ilustración 29. Derivadas de estabilidad lateral-direccional en notación concisa (parte 2). 37
Ilustración 30. Entradas y salidas del sistema. 39
Ilustración 31. Sistema en lazo abierto. 39
Ilustración 32. Modo de periodo corto. 40
Ilustración 33. Oscilación del modo fugoide. 41
Ilustración 34. Respuesta del sistema ante una entrada escalón unitario para el modo de período corto. 43
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file:///C:/Users/JuanDiegoCabreraMate/Documents/MEGA/TFM/Cabrera_Mateos_TFM.docx%23_Toc97755364
file:///C:/Users/JuanDiegoCabreraMate/Documents/MEGA/TFM/Cabrera_Mateos_TFM.docx%23_Toc97755365
file:///C:/Users/JuanDiegoCabreraMate/Documents/MEGA/TFM/Cabrera_Mateos_TFM.docx%23_Toc97755366
file:///C:/Users/JuanDiegoCabreraMate/Documents/MEGA/TFM/Cabrera_Mateos_TFM.docx%23_Toc97755372
file:///C:/Users/JuanDiegoCabreraMate/Documents/MEGA/TFM/Cabrera_Mateos_TFM.docx%23_Toc97755375

Ilustración 35. Respuesta del sistema ante una entrada escalón unitario para el modo fugoide. 43
Ilustración 36. Diagrama de Bode del modo longitudinal en lazo abierto. 44
Ilustración 37. Respuesta ante una entrada escalón unitario del modo longitudinal en lazo abierto. 45
Ilustración 38. Modo de convergencia en balance. 47
Ilustración 39. Modo espiral. 48
Ilustración 40. Modo del balanceo del holandés. 49
Ilustración 41. Respuesta del sistema ante una entrada escalón unitario para el modo del balanceo del holandés.
51
Ilustración 42. Diagrama de Bode del modo lateral-direccional en lazo abierto. 52
Ilustración 43. Respuesta ante una entrada escalón unitario del modo lateral-direccional en lazo abierto. 53
Ilustración 44. Sistema de control en lazo cerrado para 𝑢 = −𝐾𝑥. 57
Ilustración 45. Diagrama de Bode del modo longitudinal para el método de asignación de polos. 59
Ilustración 46. Respuesta ante entrada escalón del modo longitudinal para el método de asignación de polos.
60
Ilustración 47. Diagrama de Bode del modo lateral-direccional para el método de asignación de polos. 62
Ilustración 48. Respuesta ante entrada escalón del modo lateral-direccional para el método de asignación de
polos. 63
Ilustración 49. Sistema regulador óptimo. 65
Ilustración 50. Diagrama de Bode del modo longitudinal para el método LQR. 67
Ilustración 51. Respuesta ante entrada escalón del modo longitudinal para el método LQR. 68
Ilustración 52. Diagrama de Bode del modo lateral-direccional para el método LQR. 70
Ilustración 53. Respuesta ante entrada escalón del modo lateral-direccional para el método LQR. 71

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file:///C:/Users/JuanDiegoCabreraMate/Documents/MEGA/TFM/Cabrera_Mateos_TFM.docx%23_Toc97755377
file:///C:/Users/JuanDiegoCabreraMate/Documents/MEGA/TFM/Cabrera_Mateos_TFM.docx%23_Toc97755378
file:///C:/Users/JuanDiegoCabreraMate/Documents/MEGA/TFM/Cabrera_Mateos_TFM.docx%23_Toc97755382
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file:///C:/Users/JuanDiegoCabreraMate/Documents/MEGA/TFM/Cabrera_Mateos_TFM.docx%23_Toc97755387
file:///C:/Users/JuanDiegoCabreraMate/Documents/MEGA/TFM/Cabrera_Mateos_TFM.docx%23_Toc97755387
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file:///C:/Users/JuanDiegoCabreraMate/Documents/MEGA/TFM/Cabrera_Mateos_TFM.docx%23_Toc97755389
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file:///C:/Users/JuanDiegoCabreraMate/Documents/MEGA/TFM/Cabrera_Mateos_TFM.docx%23_Toc97755391
file:///C:/Users/JuanDiegoCabreraMate/Documents/MEGA/TFM/Cabrera_Mateos_TFM.docx%23_Toc97755392
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xvii

Notación
𝑋𝑢 Fuerza axial debida a la velocidad
𝑋𝑤 Fuerza axial debida a la “incidencia”
𝑋𝑞 Fuerza axial debida a la velocidad de cabeceo
𝑋�̇� Fuerza axial debida a la inercia de la deflexión del aire.
𝑍𝑢 Fuerza normal debida a la velocidad
𝑍𝑤 Fuerza normal debida a la “incidencia”
𝑍𝑞 Fuerza normal debida a la velocidad de cabeceo
𝑍�̇� Fuerza normal debida a la inercia de la deflexión del aire.
𝑀𝑢 Momento de cabeceo debido a la velocidad
𝑀𝑤 Momento de cabeceo debido a la “incidencia”
𝑀𝑞 Momento de cabeceo debido a la velocidad de cabeceo
𝑀�̇� Momento de cabeceo debido a la inercia de la deflexión del aire.
𝑌𝑣 Fuerza lateral debida al deslizamiento lateral
𝐿𝑣 Momento de alabeo debido al deslizamiento lateral
𝑁𝑣 Momento de guiñada debido al deslizamiento lateral
𝑌𝑝 Fuerza lateral debida a la velocidad de alabeo
𝐿𝑝 Momento de alabeo debido a la fuerza lateral
𝑁𝑝 Momento de guiñada debido a la velocidad de alabeo
𝑌𝑟 Fuerza lateral debida a la velocidad de guiñada
𝐿𝑟 Momento de alabeo debido a la velocidad de guiñada
𝑁𝑟 Momento de guiñada debido a la velocidad de guiñada
𝑋𝛿𝑒 Fuerza axial debida al elevador
𝑍𝛿𝑒 Fuerza normal debida al elevador
𝑀𝛿𝑒 Momento de cabeceo debido al elevador
𝑌𝛿𝑎 Fuerza lateral debida al alerón
𝐿𝛿𝑎 Momento de alabeo debido al alerón
𝑁𝛿𝑎 Momento de guiñada debido al alerón
𝑌𝛿𝑟 Fuerza lateral debida al timón de dirección
𝐿𝛿𝑟 Momento de alabeo debido al timón de dirección
𝑁𝛿𝑟 Momento de guiñada debido al timón de dirección
𝑀 Masa de la aeronave (también 𝑚)
𝑔 Aceleración de la gravedad
𝑈(𝑠) Entrada del sistema con Transformada de Laplace
𝑌(𝑠) Salida del sistema con Transformada de Laplace
𝜔𝑛
𝜁
𝜆
Frecuencia natural
Coeficiente de amortiguamiento
Autovalores del sistema
𝐴
𝐵
Matriz de estados
Matriz de entradas

𝐶 Matriz de salidas
𝐷 Matriz de transmisión directa
𝑥(𝑡) Vector de estados
𝑢(𝑡)
𝑦(t)
Vector de entradas
Respuesta temporal del sistema. Vector de salidas.
�̇�(𝑡)
𝑑𝑥
𝑑𝑡

𝑝 Velocidad angular en torno al eje x, régimen de balanceo
𝑞 Velocidad angular en torno al eje y, régimen de cabeceo
𝑟 Velocidad angular en torno al eje z, régimen de guiñada
𝑢 Velocidad asociada al eje x de la aeronave
𝑣 Velocidad asociada al eje y de la aeronave
𝑤 Velocidad asociada al eje z de la aeronave
𝜙 Ángulo de alabeo
𝜃 Ángulo de cabeceo
𝜓
𝛿𝑒
𝛿𝑎
𝛿𝑟
Q
R
�̅�
dB
Ángulo de guiñada
Ángulo de deflexión del timón de profundidad
Ángulo de deflexión de los alerones
Ángulo de deflexión del timón de dirección
Matriz dediseño de desviación de los estados del controlador LQR
Matriz de factor de peso escalar del controlador LQR
Constante positiva en el diseño del controlador LQR
Decibelios

xix

Estudio de estabilidad y control de una aeronave de ala fija

1 INTRODUCCIÓN
Cuanta mayor es la tendencia por el fly-by-wire, más importancia cobra el diseño de controladores en las
aeronaves modernas. Estos controladores definen el análisis de estabilidad y la respuesta dinámica de la
aeronave, aspecto importante de cara a las certificaciones necesarias. Una aeronave de pasajeros debe cumplir
con unos estándares muy exigentes en cuanto a confort y estabilidad, estos pueden ir desde el grado de eficiencia
de la aeronave hasta la posible perdida en vuelo después de la realización de una maniobra.
La estabilidad de un avión está determinada como la capacidad que tiene la aeronave de retornar a un estado de
equilibrio cuando se perturbe de cierta manera [1]. El equilibrio se establece con base en los momentos
generados alrededor de cada eje de sistema de coordenadas del aeroplano. Se distingue entre dos tipos de
estabilidad: estática y dinámica. La estabilidad estática es la tendencia que tiene un avión a generar momentos
recuperadores cuando se produce una perturbación de vuelo (turbulencia, ráfaga de viento, entre otros) que hace
que el avión vuelva a su estado de equilibrio. Los tres momentos generados alrededor de los ejes 𝑋𝑌𝑍 definen
el movimiento longitudinal, lateral y direccional, respectivamente, que pueden ser controlados por las
respectivas superficies de control, generando la magnitud necesaria de los momentos requeridos para controlar
el avión y garantizar su estabilidad. La estabilidad dinámica estudia la respuesta del avión ante una perturbación,
junto con el tiempo que demora el avión en volver a su condición de equilibrio.

Para cumplir con estas expectativas es importante establecer un sistema de control que asegure el
comportamiento deseado de la aeronave. Este sistema de control se basa en modelos matemáticos y dinámicos
de la aeronave.
La teoría de control automático es una pequeña parte de una teoría más general que estudia el comportamiento
de todos los sistemas dinámicos. En todos los sistemas de control se usan con frecuencia componentes de
distintos tipos: componentes mecánicos, eléctricos, hidráulicos, neumáticos y combinaciones de estos.
El control en una aeronave se basa en manipular las superficies de control, superficies generalmente son
controladas con servomotores -dispositivos, similares a un motor eléctrico, que tiene la capacidad de ubicarse
en cualquier posición dentro de su rango de operación y mantenerse estable en dicha posición-. Los servomotores
reciben señales en tiempo real de la computadora, dentro del procesador se encuentra programado el algoritmo
de control que toma como referencia las señales de los sensores -dispositivos capaces de detectar magnitudes
físicas y transformarlas en señales eléctricas-; estos sensores se encargan de medir los estados, los cuales pueden
ser velocidades, ángulo de ataque, ángulo de cabeceo, presión, temperatura. etc.
Las leyes de control se basan en recibir valores de entrada de los sensores, procesarlos y generar valores de salida
para manipular los servomotores.

La gran desventaja de un avión de geometría ala fija, como el que se trata en este proyecto, es su inestabilidad
en casi cualquier condición de vuelo. En el modo longitudinal de un ala fija se puede apreciar la alta inestabilidad
del sistema por los siguientes puntos:

• La distribución de presiones en un perfil en dos dimensiones provoca que el coeficiente de momentos
orientado cerca del centro aerodinámico sea negativo o, en pocas palabras, cabecea el perfil hacia abajo.
Sin embargo, a la hora de instalar el perfil en un ala con flechado, provoca que el coeficiente de
momentos sea positivo. Si se ilustrara esta obtención de coeficientes de momentos en función del ángulo
de ataque, el comportamiento sería una pendiente positiva, lo que provoca inestabilidad.

Introducción

• La ventaja sobre la estabilidad longitudinal de una aeronave convencional es el brazo de palanca tan
grande que hay entre el extremo del ala y el centro aerodinámico del ala. Este brazo permite que el
margen estático de la aeronave sea nulo, en pocas palabras: orientar el centro de gravedad sobre el centro
aerodinámico.
Sin embargo, en una aeronave de ala fija, el margen estático no puede ser nulo si se desea controlar la
aeronave. Según [2] y [3], para poder tener un brazo de palanca adecuado para controlar la aeronave es
necesario un margen estático positivo o situando el centro de masa por delante de su centro
aerodinámico. La problemática de tener un margen estático muy alto es sobre todo a la hora de modelar
dinámicamente el comportamiento del sistema, ya que la mayoría de los aviones convencionales
consideran el centro de gravedad en la misma posición que el centro aerodinámico y por lo tanto es el
único punto de referencia de todo el sistema en las ecuaciones de movimiento. En el ala fija se
necesitaría considerar dos puntos diferentes al momento de modelar el sistema, y al hacer esto las
ecuaciones de movimiento se vuelven más complejas y el sistema resulta difícil de analizar.

La inestabilidad de la aeronave de ala fija es compleja. Northrop, en [4], asegura que una configuración inestable
puede ser controlada con la potencia de un sistema digital de control de vuelo fly-by-wire.
1.1 Motivación, objetivos y alcance
La motivación de este proyecto es la suma de varios factores: durante la realización del grado de GIA, cursé la
asignatura de Sistemas de Control y Guiado, descubriéndome un mundo que se ha complementado con la
materia recibida durante el MUSTA, Control de Vehículos Aeroespaciales. Esto, unido a las prácticas cursadas
en el departamento de SATAA, realizando un simulador de vuelo de una aeronave comercial, han decantado la
balanza para decidirme a realizar un proyecto orientado al mundo del Control Automático.

El objetivo de este proyecto es el análisis, modelización y diseño de controladores, donde para ello se resolverán
las ecuaciones obtenidas en el desarrollo del modelo mediante el método de espacio de los estados, desacopladas
en el modo longitudinal y el modo lateral-direccional. Posteriormente, se analizará su estabilidad longitudinal y
lateral direccional identificando los modos propios. El estudio de la estabilidad se realizará en lazo abierto,
analizando los polos, diagramas de Bode y respuesta ante entrada escalón. Finalmente, se modelizará y se
diseñará los sistemas de control por los métodos de asignación de polos y control óptimo.

El alcance es el desarrollo de programas mediante MATLAB que permitan mejorar las respuestas obtenidas en
lazo abierto, modificando los parámetros de amortiguamiento y tiempo de establecimiento de la respuesta. Para
ello, al igual que en lazo abierto, se estudiará los polos, diagramas de Bode y respuestas ante entrada escalón. La
versión de MATLAB usada es la R2021b con licencia universitaria UPM.
1.2 Estructura
La estructura del presente trabajo está dividida en los siguientes capítulos:
En el capítulo 2 se detalla el modelo matemático por el que se rige la aeronave, desde los sistemas de referencia
hasta las ecuaciones que dominan el movimiento de la aeronave.
En el capítulo 3 se trata la teoría del espacio de estados, desde su concepto hasta las ecuaciones del movimiento
expresado en este modelo, pasando por la definición de sus características.
En el capítulo 4 se caracteriza la aeronave escogida para este proyecto,el Boeing 747, sus características
generales y sus derivadas de estabilidad. Se desacopla el espacio de estados en el modo longitudinal y lateral-
direccional. Se analiza su respuesta temporal y frecuencial en lazo abierto con la respuesta ante escalón y el
diagrama de Bode.

Estudio de estabilidad y control de una aeronave de ala fija

En el capítulo 5 se diseña los controladores por los dos métodos escogidos, asignación de polos y control óptimo,
comparándolos entre ellos y con el sistema en lazo abierto. El objetivo es desarrollar controladores, haciendo
uso de la herramienta MATLAB, que permitan mejorar las respuestas obtenidas en lazo abierto, modificando
los parámetros necesarios. Al igual que en lazo abierto, se estudia la respuesta ante escalón y el diagrama de
Bode.
En el capítulo 6 se expone las conclusiones del proyecto, donde se comenta los resultados obtenidos y se discute
sobre las bondades y eficiencias de los controladores usados en el proyecto.
1.3 Revisión de literatura
De las referencias [2], [3] y [4] se ha sacado la información relativa a la problemática inicial de este proyecto, el
por qué las aeronaves de ala fija son inestables y como tratar esto.
De la referencia [5] se ha extraído todo lo relacionado con los sistemas de referencia tratado en el apartado 2.1.
También en la referencia [5] y además en las referencias [6] y [7] se desarrollan las ecuaciones generales del
movimiento del apartado 2.2 que ocupan a una aeronave como la tratada en este proyecto.
De la referencia [8] se ha extraído la definición y las imágenes de las superficies primarias de control y entradas
del sistema del apartado 2.2.1.
De la referencia [1] se ha sacado la información relativa el espacio de estados: definición y propiedades, tratado
en el apartado 3.
En lo relativo a la aeronave estudiada, en el capítulo 4, la información general se ha consultado en la referencia
[9] y los datos para la realización del caso de estudio, de las referencias [10] y [11].
Para la definición del concepto de estabilidad se ha consultado en la referencia [12]. El desarrollo teórico de la
estabilidad dinámica de las aeronaves está sacado de la referencia [13]. Esto puede verse en el apartado 4.3.
De la referencia [14] se han extraído las ideas sobre cómo enfocar el problema del control usando MATLAB.
Las definiciones de controlabilidad y observabilidad del apartado 5.2 se han extraído de la referencia [15].
Los requerimientos necesarios para la realización de un controlador en una aeronave de ala fija se extraen de las
referencias [16] y [17]. Véase el apartado 5.3.
Las definiciones de los dos métodos usadas para la realización de controladores se han consultado en las
referencias [18] y [19]. Complementando el método de control óptimo con las referencias [20], [21], [22], [23]
y [24]. Esto se ve en los apartados 5.3 y 5.4.
De [25] se ha extraído información sobre el fenómeno de guiñada adversa que se da en el desarrollo del proyecto
y se comenta en el apartado 5.5.2.
Finalmente, se recomienda la consulta de las referencias [26] [27] [28] [29] [30] para líneas futuras del proyecto
tratado en el capítulo 6.

Modelo matemático

2 MODELO MATEMÁTICO
En este capítulo se trata las ecuaciones que dominan el movimiento de la aeronave. Previamente se define los
sistemas de referencia existentes. La elección de un sistema de referencia [5] adecuado es importante ya que,
dependiendo del sistema elegido, se obtendrá unas ecuaciones con mayor o menor complejidad.

El estudio de un sistema dinámico puede ser realizado por la vía analítica o por medios experimentales. La
aproximación analítica produce un modelo matemático basado en suposiciones y aplicaciones de la teoría del
modelado. La modelización matemática de los sistemas dinámicos es esencial para el análisis, diseño y
simulación del control de sistemas, y para la predicción de su comportamiento.
Este modelo se usa para estudiar las características dinámicas básicas del sistema, para predecir el futuro
comportamiento del sistema, analizar la estabilidad y las características de control del sistema para ayudar a
monitorizar, modificar, regular o controlar el comportamiento del proceso/planta/sistema dinámico y para
simular la respuesta del sistema a varios tipos de entradas. En este caso, el proyecto se centrará en regular o
controlar el comportamiento del sistema.
2.1 Sistemas de referencia
2.1.1 Sistema inercial geocéntrico
El sistema inercial geocéntrico 𝐼(𝑂𝐼 , 𝑥𝐼 , 𝑦𝐼 , 𝑧𝐼) se define como sigue (véase Ilustración 1):
𝑂𝐼 - centro de masas de la Tierra;
𝑥𝐼 - dirigido hacia el primer punto de Aries (𝛶);
𝑧𝐼 - dirigido según el eje de rotación de la Tierra;
𝑦𝐼 - completa un triedro a derechas (está contenido en el plano ecuatorial).

Ilustración 1. Sistema inercial geocéntrico.1

1 [5]

Estudio de estabilidad y control de una aeronave de ala fija

2.1.2 Sistema de ejes tierra
El sistema de ejes tierra 𝐸(𝑂𝐸 , 𝑥𝐸 , 𝑦𝐸 , 𝑧𝐸) se define como sigue (véase Ilustración 2):
𝑂𝐸 - centro de masas de la Tierra;
𝑥𝐸 - dirigido hacia el punto de intersección del ecuador y el meridiano de Greenwich;
𝑧𝐸 - dirigido según el eje de rotación de la Tierra;
𝑦𝐸 - completa un triedro a derechas (está contenido en el plano ecuatorial).

Este sistema está fijo con respecto a la Tierra, y gira con respecto al sistema inercial geocéntrico con la velocidad
angular de la Tierra ( �⃗⃗� ).

Ilustración 2. Sistema de ejes tierra.2

2.1.3 Sistema de ejes tierra geocéntrico
El sistema de ejes geográficos 𝐺(𝑂𝐺 , 𝑥𝐺 , 𝑦𝐺 , 𝑧𝐺) se define como sigue (véase Ilustración 3):
𝑂𝐺 - centro de masas de la Tierra;
𝑥𝐺 - en la dirección y sentido del vector de posición 𝑟 ;
𝑦𝐺 - contenido en el plano ecuatorial, ortogonal a 𝑥𝐺, y dirigido hacia el este;
𝑧𝐺 - completa un triedro a derechas.

Plano horizontal local: plano que pasa por el punto M donde se encuentra el vehículo y que es ortogonal al vector
de posición 𝑟 (esto es, ortogonal al eje 𝑥𝐺).

2 [5]
Modelo matemático

Ilustración 3. Sistema de ejes geográficos.3

Orientación de los ejes geográficos (G) respecto de los ejes tierra (E)

Latitud (en inglés, latitude) 𝜑: ángulo formado por el vector 𝑟 con el plano ecuatorial; positivo hacia el norte.
Longitud (en inglés, longitude) 𝜆: ángulo formado por la proyección del vector 𝑟 sobre el plano ecuatorial con
el eje 𝑥𝐸; positivo hacia el este.
En este sistema de referencia, la posición del vehículo queda determinada por sus coordenadas geodésicas
(𝜑, 𝜆, 𝑟).
Transformación E → G: los ejes geográficos se obtienen a partir de los ejes tierra mediante dos rotaciones:
primero, una rotación de ángulo λ alrededor del eje 𝑧𝐸 (lo que da lugar a un sistema de ejes intermedios 𝑋), y,
segundo, una rotación de ángulo − 𝜑 alrededor del eje 𝑦𝑋 ≡ 𝑦𝐺 . La matriz de transformación es la mostrada
en la Ecuación (1).

[𝑇]𝐺𝐸 = [𝑇]𝐺𝑋[𝑇]𝑋𝐸 = [
cos𝜑 0 𝜑
0 1 0
− sin𝜑 0 cos𝜑
] [
cos 𝜆 sin 𝜆 0
− sin 𝜆 cos 𝜆 0
0 0 1
]
= [
cos𝜑 cos 𝜆 cos𝜑 sin 𝜆 sin 𝜆
− sin𝜆 cos 𝜆 0
− sin𝜑 cos 𝜆 − sin𝜑 sin𝜆 cos𝜑
]
(1)

3 [5]

Estudio de estabilidad y control de una aeronave de ala fija

2.1.4 Sistema de ejes horizonte local

El sistema de ejes horizonte local 𝐻(𝑂ℎ , 𝑥ℎ , 𝑦ℎ , 𝑧ℎ) se define como sigue (véase Ilustración
4):
𝑂ℎ - centro de masas de la aeronave;
𝑦ℎ - paralelo al eje geográfico 𝑦𝐺;
𝑧ℎ - en la dirección del vector de posición 𝑟 y en sentido contrario (esto es, según −𝑥𝐺);
𝑥ℎ - completa un triedro a derechas.

El plano 𝑥ℎ𝑦ℎ es el plano horizontal local.Ilustración 4. Sistema de ejes horizonte local.4

2.1.5 Sistema de ejes viento
El sistema de ejes viento 𝑊(𝑂𝑤 , 𝑥𝑤 , 𝑦𝑤 , 𝑧𝑤) se define como sigue (véase Ilustración 5):
𝑂𝑤 - centro de masas de la aeronave;
𝑥𝑤 - dirigido según el vector velocidad aerodinámica �⃗� y en su mismo sentido;
𝑧𝑤 - contenido en el plano de simetría de la aeronave, y dirigido hacia abajo en la actitud normal de
vuelo;
𝑦𝑤 - completa un triedro a derechas (dirigido según el ala derecha de la aeronave).

4 [5]
Modelo matemático

Ilustración 5. Sistema de ejes viento.5

Orientación de los ejes viento (𝑾) respecto de los ejes horizonte local (𝑯).
Ángulo de asiento de velocidad 𝛾 (en inglés, aerodynamic flight-path angle): ángulo formado por el vector
velocidad aerodinámica �⃗� con el plano horizontal local; positivo cuando la aeronave sube.
Ángulo de guiñada de velocidad 𝜒 (en inglés, aerodynamic heading angle): ángulo formado por la proyección
del vector velocidad �⃗� sobre el plano horizontal local con la dirección norte; positivo hacia el este.
Ángulo de balance de velocidad 𝜇 o ángulo de alabeo (en inglés, bank angle): ángulo formado por el eje 𝑦𝑤 con
la intersección del plano 𝑦𝑤𝑧𝑤 con el plano horizontal; positivo en el sentido de bajar el ala derecha.
Transformación 𝐻 → 𝑊: los ejes viento se obtienen a partir de los ejes horizonte local mediante tres rotaciones:
primero, una rotación de ángulo 𝜒 alrededor del eje 𝑧ℎ (lo que da lugar a un sistema de ejes intermedios 𝑋′),
segundo, una rotación de ángulo 𝛾 alrededor del eje 𝑦𝑋′ (lo que da lugar a un sistema de ejes intermedios 𝑋′′),
y, tercero, una rotación de ángulo 𝜇 alrededor del eje 𝑥𝑋′′ ≡ 𝑥𝑤 (véase Ilustración 5). La matriz de
transformación es la mostrada en la Ecuación (2).

[𝑇]𝑊𝐻 = [𝑇]𝑊𝑋
′′
[𝑇]𝑋
′′𝑋[𝑇]𝑋
′𝐻
= [
1 0 0
0 cos 𝜇 sin𝜇
0 − sin𝜇 cos𝜇
] [
cos 𝛾 0 − sin𝛾
0 1 0
sin𝛾 0 cos 𝛾
] [
cos 𝜒 sin𝜒 0
− sin𝜒 cos 𝜒 0
0 0 1
]
= [
cos 𝛾 cos 𝜒 cos 𝛾 sin𝜒 − sin 𝛾
sin𝜇 sin 𝛾 cos𝜒 − cos𝜇 sin 𝜒 sin 𝜇 sin𝛾 sin𝜒 + cos𝜇 cos 𝜒 sin 𝜇 cos𝛾
cos 𝜇 sin𝛾 cos 𝜒 + sin𝜇 sin 𝜒 cos𝜇 sin 𝛾 sin 𝜒 − sin𝜇 cos 𝜒 cos 𝜇 cos 𝛾
]
(2)

5 [5]

Estudio de estabilidad y control de una aeronave de ala fija

Este sistema de ejes permite orientar de forma natural la fuerza aerodinámica (véase Ilustración 6), siendo, por
definición, la resistencia (D) la componente según −𝑥𝑤, la fuerza lateral (Q) la componente según −𝑦𝑤 y la
sustentación (L) la componente según −𝑧𝑤. Nótese que en general la velocidad �⃗� no está contenida en el plano
de simetría del avión (en el caso de vuelo simétrico sí lo está); se llama ángulo de resbalamiento (en inglés,
sideslip angle) 𝛽 al ángulo formado por el vector �⃗� con el plano de simetría.

Ilustración 6. Orientación de la fuerza aerodinámica.6

Para orientar el empuje respecto de los ejes viento, se define el ángulo de ataque del empuje (𝜀) y el ángulo de
resbalamiento del empuje (𝜈), tal y como se indica en la Ilustración 7.

Ilustración 7. Orientación del empuje.7

6 [5]
7 [5]
Modelo matemático

2.1.6 Sistema de ejes cuerpo
El sistema de ejes viento 𝐵(𝑂𝑏 , 𝑥𝑏 , 𝑦𝑏 , 𝑧𝑏) se define como sigue (véase Ilustración 8):
𝑂𝑏 - centro de masas de la aeronave;
𝑥𝑏 - contenido en el plano de simetría de la aeronave, según una línea de referencia longitudinal, y dirigido
hacia el morro;
𝑧𝑏 - contenido en el plano de simetría de la aeronave, ortogonal a 𝑥𝑏, y dirigido hacia abajo en la actitud
normal de vuelo;
𝑦𝑏 - completa un triedro a derechas (es ortogonal al plano de simetría, dirigido según el ala derecha de la
aeronave).

Ilustración 8. Sistema de ejes cuerpo.8

Orientación de los ejes cuerpo (𝑩) respecto de los ejes viento (𝑾)
Angulo de resbalamiento (en inglés, sideslip angle) 𝛽: ángulo formado por el vector �⃗� con el plano de simetría;
positivo cuando el aire le entra a la aeronave por la derecha.
Angulo de ataque (en inglés, angle of attack) 𝛼: ángulo formado por el eje 𝑥𝑏 con la proyección del vector �⃗�
sobre el plano de simetría; positivo cuando el aire le entra a la aeronave por abajo.
Transformación 𝑊 → 𝐵: los ejes cuerpo se obtienen a partir de los ejes viento mediante dos rotaciones:
primero, una rotación de ángulo −𝛽 alrededor del eje 𝑧𝑤 (lo que da lugar a un sistema de ejes intermedios X),
y, segundo, una rotación de ángulo α alrededor del eje 𝑦𝑋 ≡ 𝑦𝑏. La matriz de transformación es la mostrada
en la Ecuación (3).

8 [5]

Estudio de estabilidad y control de una aeronave de ala fija

[𝑇]𝐺𝐸 = [𝑇]𝐺𝑋[𝑇]𝑋𝐸 = [
cos 𝛼 0 − sin𝛼
0 1 0
sin𝛼 0 cos𝛼
] [
cos𝛽 − sin𝛽 0
sin𝛽 cos𝛽 0
0 0 1
]
= [
cos 𝛼 cos𝛽 − cos𝛼 sin𝛽 − sin𝛼
sin𝛽 cos𝛽 0
sin𝛼 cos𝛽 − sin𝛼 sin𝛽 cos𝛼
]
(3)

Orientación de los ejes cuerpo (𝑩) respecto de los ejes horizonte local (𝑯). Ángulos de Euler.
Ángulo de asiento (en inglés, pitch angle) 𝜃: ángulo formado por el eje 𝑥𝑏 con el plano horizontal local; positivo
hacia arriba.
Ángulo de guiñada (en inglés, yaw angle) 𝜓: ángulo formado por la proyección del eje 𝑥𝑏 sobre el plano
horizontal local con la dirección del meridiano local; positivo hacia el este.
Ángulo de balance (en inglés, roll angle) 𝜙: ángulo formado por el eje 𝑦𝑏 con la intersección del plano 𝑦𝑏𝑧𝑏
con el plano horizontal; positivo en el sentido de bajar el ala derecha.
Cuando 𝜙 = 0 se dice que la aeronave vuela con las alas a nivel.
Transformación 𝐻 → 𝐵: los ejes cuerpo se obtienen a partir de los ejes horizonte local mediante tres rotaciones:
primero, una rotación de ángulo 𝜓 alrededor del eje 𝑧ℎ (lo que da lugar a un sistema de ejes intermedios 𝑋
′),
segundo, una rotación de ángulo 𝜃 alrededor del eje 𝑦𝑋′ (lo que da lugar a un sistema de ejes intermedios 𝑋
′′),
y, tercero, una rotación de ángulo 𝜙 alrededor del eje 𝑥𝑋′′ ≡ 𝑥𝑏. La matriz de transformación es la mostrada
en la Ecuación (4).
[𝑇]𝐵𝐻 = [𝑇]𝐵𝑋
′′
[𝑇]𝑋
′′𝑋[𝑇]𝑋
′𝐻
= [
1 0 0
0 cos𝜙 sin𝜙
0 − sin𝜙 cos𝜙
] [
cos 𝜃 0 − sin𝜃
0 1 0
sin 𝜃 0 cos 𝜃
] [
cos𝜓 sin𝜓 0
− sin𝜓 cos𝜓 0
0 0 1
]
= [
cos 𝜃 cos𝜓 cos 𝜃 sin𝜓 − sin𝜃
sin𝜙 sin𝜃 cos𝜓 − cos𝜙 sin𝜓 sin𝜙 sin𝜃 sin𝜓 + cos𝜙 cos𝜓 sin𝜙 cos 𝜃
cos𝜙 sin𝜃 cos𝜓 + sin𝜙 sin𝜓 cos𝜙 sin 𝜃 sin𝜓 − sin𝜙 cos𝜓 cos𝜙 cos𝜃
]
(4)

2.2 Ecuaciones generales del movimiento
Puesto que en este proyecto no se va a desarrollar un modelo matemático de la aeronave, ya que se dispone de
los datos suficientes para la construcción del sistema en el espacio de estados, no se hará un desarrollo completo
y pormenorizado de las ecuaciones del movimiento. Se presenta las ecuaciones finales con las que se trabaja, no
obstante, para ver el desarrollo de estas ecuaciones se recomienda consultar [5], [6] y [7].
Cabe destacar que para este caso se ha particularizado para una condición de referencia de vuelo estacionario
rectilíneo simétrico con alas a nivel. En esta condición todas las variables de la perturbación y sus derivadas son,
por definición, nulas [5].

Modelo matemático

Las ecuaciones de movimiento para pequeñas perturbaciones son las mostradas en la Ecuaciones (5) .

𝑚(�̇� + 𝑞𝑊𝑒) = 𝑋𝛼𝑒 + 𝑋𝑢𝑢 + 𝑋𝑣𝑣 + 𝑋𝑤𝑤 + 𝑋𝑝𝑝 + 𝑋𝑞𝑞 + 𝑋𝑟𝑟 +
𝑋�̇��̇� − 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛(𝜃𝑒) − 𝑚𝑔𝜃𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑒) + 𝑋𝛿𝑒𝛿𝑒 + 𝑋𝛿𝑎𝛿𝑎 + 𝑋𝛿𝑟𝛿𝑟

𝑚(�̇� − 𝑝𝑊𝑒 + 𝑟𝑈𝑒) = 𝑌𝛼𝑒 + 𝑌𝑢𝑢 + 𝑌𝑣𝑣 + 𝑌𝑤𝑤 + 𝑌𝑝𝑝 + 𝑌𝑞𝑞 + 𝑌𝑟𝑟 +
𝑌�̇� + 𝑚𝑔𝜓𝑠𝑖𝑛(𝜃𝑒) + 𝑚𝑔𝜙𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑒) + 𝑌𝛿𝑒𝛿𝑒 + 𝑌𝛿𝑎𝛿𝑎 + 𝑌𝛿𝑟𝛿𝑟

𝑚(�̇� − 𝑞𝑈𝑒) = 𝑍𝛼𝑒 + 𝑍𝑢𝑢 + 𝑍𝑣𝑣 + 𝑍𝑤𝑤 + 𝑍𝑝𝑝 + 𝑍𝑞𝑞 + 𝑍𝑟𝑟 +
𝑍�̇��̇� + 𝑚𝑔𝑠𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑒)− 𝑚𝑔𝜃𝑠𝑖𝑛(𝜃𝑒) + 𝑍𝛿𝑒 𝛿𝑒 + 𝑍𝛿𝑎𝛿𝑎 + 𝑍𝛿𝑟𝛿𝑟

𝐼𝑥�̇� − 𝐼𝑥𝑧�̇� = 𝐿𝛼𝑒 + 𝐿𝑢𝑢 + 𝐿𝑣𝑣 + 𝐿𝑤𝑤 + 𝐿𝑝𝑝 + 𝐿𝑞𝑞 + 𝐿𝑟𝑟 +
𝐿�̇��̇� + 𝐿𝛿𝑒𝛿𝑒 + 𝐿𝛿𝑎𝛿𝑎 + 𝐿𝛿𝑟𝛿𝑟

𝐼𝑦�̇� = 𝑀𝛼𝑒 + 𝑀𝑢𝑢 + 𝑀𝑣𝑣 + 𝑀𝑤𝑤 + 𝑀𝑝𝑝 + 𝑀𝑞𝑞 + 𝑀𝑟𝑟 +
𝑀�̇��̇� + 𝑀𝛿𝑒𝛿𝑒 + 𝑀𝛿𝑎𝛿𝑎 + 𝑀𝛿𝑟𝛿𝑟

𝐼𝑧�̇� − 𝐼𝑥𝑧�̇� = 𝑁𝛼𝑒 + 𝑁𝑢𝑢 + 𝑁𝑣𝑣 + 𝑁𝑤𝑤 + 𝑁𝑝𝑝 + 𝑁𝑞𝑞 + 𝑁𝑟𝑟 +
𝑁�̇��̇� + 𝑁𝛿𝑒𝛿𝑒 + 𝑁𝛿𝑎𝛿𝑎 + 𝑁𝛿𝑟𝛿𝑟
(5)

donde, en ejes cuerpo:
(𝑢, 𝑣, 𝑤) son las componentes de las componentes locales de la velocidad.
(𝑈𝑒 , 𝑉𝑒 ,𝑊𝑒) son las componentes de la velocidad lineal
(𝑝, 𝑞, 𝑟) son las componentes de la velocidad angular.
(𝐿,𝑀,𝑁) son las componentes del momento angular.
(𝑋, 𝑌, 𝑍) son las componentes resultantes de la fuerza.
(𝐼𝑥, 𝐼𝑦, 𝐼𝑧) son los momentos de inercia alrededor de los tres ejes del sistema de referencia considerado.
𝐼𝑥𝑧 es el producto de inercia, proporciona una indicación de la simetría de la sección respecto los ejes "𝑥" y "𝑧".

2.2.1 Superficies primarias de la aeronave. Entradas del sistema.
Por otro lado, las superficies primarias de la aeronave son superficies aerodinámicas móviles que son accionadas
a través de los mandos de la cabina, modifican la aerodinámica del avión provocando el desplazamiento de este
sobre sus ejes y de esta manera el seguimiento de la trayectoria de vuelo deseada [8].
Las superficies de control son tres: alerones, timón de profundidad y timón de dirección. El movimiento en torno
a cada eje se controla mediante una de estas tres superficies.

Estudio de estabilidad y control de una aeronave de ala fija

Alerones, 𝛿𝑎: Son unas superficies móviles, situadas en la parte posterior del extremo de cada ala, cuyo
accionamiento provoca el movimiento de alabeo del avión sobre su eje longitudinal. Su ubicación en el extremo
del ala se debe a que en esta parte es mayor el par de fuerza ejercido. Los alerones tienen un movimiento
asimétrico. Al girar el volante hacia un lado, el alerón del ala de ese lado sube y el del ala contraria baja, ambos
en un ángulo de deflexión proporcional a la cantidad de giro dado al volante. Véase la Ilustración 9.
Ilustración 9. Alerones.9
Timón de profundidad, 𝛿𝑒: Es la superficie o superficies móviles situadas en la parte posterior del timón
horizontal de la cola del avión. Su accionamiento provoca el movimiento de cabeceo del avión (nariz arriba o
nariz abajo). Véase la Ilustración 10.
Ilustración 10. Timón de profundidad.10

Timón de dirección, 𝛿𝑟: El timón de dirección está formado por unas pequeñas alas o timones, colocadas de
forma vertical y horizontal. Permiten controlar el rumbo, además de proporcionar estabilidad al avión.
Habitualmente consta de partes fijas y móviles, aunque existen diseños en donde toda la superficie es móvil.
Véase la Ilustración 11.
Ilustración 11. Timón de dirección.11

Al accionar los mandos 𝛿𝑒 , 𝛿𝑎 , 𝛿𝑟 se desestabiliza la aeronave y se hace cambiar su actitud. Al cambio de
actitud le sigue un cambio de las fuerzas aerodinámicas y de la trayectoria.

9 [8]
10 [8]
11 [8]
Modelo matemático

2.2.2 Ecuaciones desacopladas.
Las Ecuaciones (5), referidas a los ejes cuerpo, describen el movimiento de una aeronave en vuelo equilibrado
con una pequeña perturbación. Las ecuaciones engloban un sistema de 6 ecuaciones diferenciales, son generales
y describen el movimiento donde la dinámica longitudinal y lateral puede estar completamente acoplada.
2.2.2.1 Ecuaciones desacopladas del movimiento longitudinal.
El movimiento desacoplado longitudinal es el movimiento en respuesta a una perturbación restringida al plano
de simetría longitudinal. El movimiento está descrito por la fuerza axial, 𝑋, la fuerza normal, 𝑍 y el momento
de cabeceo, 𝑀. El movimiento lateral está desacoplado, por lo que sus derivadas de estabilidad y variables son
nulas. Además, las derivadas de estabilidad referidas a los parámetros lateral-direccionales son despreciables.
De igual forma, el timón de dirección y los alerones no generan movimiento longitudinalmente, por lo que las
derivadas aerodinámicas de control son nulas. De esta forma, las ecuaciones del movimiento longitudinal
simétrico, en ejes cuerpo, se presenta en las Ecuaciones (6).

𝑚(�̇� + 𝑊𝑒𝑞) − 𝑋𝑢𝑢 − 𝑋𝑤𝑤 − 𝑋�̇��̇� + 𝑚𝑔𝜃𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑒) − 𝑋𝑞𝑞 = 𝑋𝛿𝑒 𝛿𝑒

𝑚(�̇� − 𝑞𝑈𝑒) − 𝑍𝑢𝑢 − 𝑍𝑞𝑞 − 𝑍𝑤𝑤 − 𝑍�̇��̇� + 𝑚𝑔𝜃𝑠𝑖𝑛(𝜃𝑒) = 𝑍𝛿𝑒 𝛿𝑒

𝐼𝑦�̇� − 𝑀𝑢𝑢 − 𝑀𝑤𝑤 − 𝑀𝑞𝑞 − 𝑀�̇��̇� = 𝑀𝛿𝑒 𝛿𝑒
(6)

2.2.2.2 Ecuaciones desacopladas del movimiento lateral-direccional.
De forma análoga al movimiento longitudinal, las ecuaciones del movimiento lateral-direccional incluyen el
balanceo, la guiñada y la velocidad lateral. El movimiento está descrito por la fuerza lateral, 𝑌, el momento de
balance, 𝐿 y el momento de guiñada. 𝑁. El movimiento longitudinal está desacoplado, por lo que sus derivadas
de estabilidad y variables son nulas. Además, las derivadas de estabilidad referidas a los parámetros
longitudinales son despreciables. La variación de la deflexión del timón de profundidad no genera movimiento
lateral-direccional y sus derivadas de control aerodinámicas son nulas. De esta forma, las ecuaciones del
movimiento lateral-direccional simétrico, en ejes cuerpo, se presenta en la Ecuaciones (7).

𝑚(�̇� − 𝑝𝑊𝑒 + 𝑟𝑈𝑒) − 𝑌𝑣𝑣 − 𝑌𝑝𝑝 − 𝑌𝑟𝑟 − 𝑚𝑔𝜙𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑒) = 𝑌𝛿𝑎𝛿𝑎 + 𝑌𝛿𝑟𝛿𝑟

𝐼𝑥�̇� − 𝐼𝑥𝑧�̇� − 𝐿𝑣𝑣 − 𝐿𝑝𝑝 − 𝐿𝑟𝑟 = 𝐿𝛿𝑎𝛿𝑎 + 𝐿𝛿𝑟𝛿𝑟

𝐼𝑧�̇� − 𝐼𝑥𝑧�̇� − 𝑁𝑣𝑣 − 𝑁𝑝𝑝 − 𝑁𝑟𝑟 = 𝑁𝛿𝑎𝛿𝑎 + 𝑁𝛿𝑟𝛿𝑟

(7)

Estudio de estabilidad y control de una aeronave de ala fija

3 MODELO DEL ESPACIO DE ESTADOS
3.1 Introducción
La teoría moderna de control está basada en el conocimiento del comportamiento interno de los sistemas,
reflejado en las variables que influyen en su dinámica. Estas variables constituyen el concepto de estado del
sistema, que será definido en este capítulo, y establecen la piedra angular de dicha teoría. El conocimiento de la
evolución de todas las variables que influyen en la dinámica del sistema permite efectuar un control más potente
de ésta y abordar el control de sistemas más complejos [1].
Esta teoría se desarrolla para solventar algunos de los problemas en los que presenta fuertes limitaciones la
denominada teoría clásica, basada en el modelado de la relación entre una entrada y una salida de los sistemas
dinámicos lineales de parámetros constantes. Las ventajas de la teoría moderna de control, en contraposición a
la teoría clásica, son fundamentalmente las siguientes:
• Es aplicable a sistemas multivariables en los que existe un elevado grado de interacción entre las variables
del sistema, no pudiendo establecerse bucles de control entre una salida y una entrada concreta que se
puedan ajustar de forma independiente según se aborda en la teoría clásica.
• Es aplicable a sistemas con relaciones no-lineales entre las variables involucradas en su dinámica y cuyo
comportamiento no puede ser aproximado por un modelo lineal, dentro del rango de valores que van a
tomar sus variables.
• Es aplicable a sistemas cuyos parámetros varían en el tiempo a velocidades comparables con la evolución
de sus variables, para los que no se puede obtener, en consecuencia, un modelo de parámetros constantes
válido en el rango temporal necesario para efectuar el control.
• Es aplicable a sistemas complejos de control, con un gran número de variables internas que condicionan
el comportamiento futuro de la salida. La utilización de la realimentación solo de salida, según el modelo
clásico, empobrece la información disponible por el regulador para controlar la planta, lo que llega a
impedir un control de la salida del sistema con mejores prestaciones.• Es aplicable a la optimización del comportamiento de sistemas, entendida ésta como la minimización de
una función objetivo que describe un índice de costo que a su vez refleja la calidad en la consecución de
los objetivos de control.
Las mencionadas ventajas diferenciadoras de la teoría son abordadas por distintas ramas del control,
denominadas respectivamente: control multivariable, control no-lineal, control adaptativo, control por
asignación de polos y control óptimo. Aunque cada una de estas ramas del control automático utiliza técnicas
que le son propias, todas ellas confluyen en la necesidad de un modelo del comportamiento de sistemas
dinámicos que incluya la evolución de sus variables internas, que pueda aplicarse a sistemas multivariables y
que pueda ser no-lineal y/o de parámetros no constantes. Este modelo del sistema es el denominado modelo de
estado del sistema, que es el utilizado en este proyecto.
Si los sistemas multivariables a los que se aplica la teoría moderna de control presentan un comportamiento
dinámico que puede aproximarse por modelos lineales de parámetros constantes, se simplifica mucho su análisis
y el diseño de los reguladores multivariables.

Modelo del espacio de estados

3.2 Concepto de estado
La teoría moderna de control se basa en la representación matemática de los sistemas dinámicos por medio del
concepto de estado, en contraposición con la teoría clásica de control, que utiliza únicamente la relación entre
su entrada y su salida.
Se define estado de un sistema como la mínima cantidad de información necesaria en un instante para que,
conociendo la entrada a partir de ese instante, se pueda determinar cualquier variable del sistema en cualquier
instante posterior.
Es común emplear la nomenclatura de representación interna, cuando se utiliza el estado para representar un
sistema, y representación externa, cuando se emplea la relación entrada-salida. Se diferencia entre ambas
nomenclaturas para recalcar los distintos enfoques.
La cantidad mínima de información que define el estado viene representada por un conjunto de variables 𝑥𝑖(𝑡)
cuyos valores dependen del instante 𝑡 considerado, denominadas variables de estado del sistema. Este conjunto
de variables, 𝒙(𝑡), recibe el nombre de vector de estado. En la gran mayoría de los sistemas físicos reales se
podrá obtener un modelo suficientemente aproximado donde el vector de estado sea de dimensión finita, 𝑛,
siendo éste el único caso estudiado a lo largo de todo este texto.
Si además se representa el conjunto de variables de entrada mediante el vector 𝒖(𝑡), la anterior definición puede
expresarse de forma matemática como se muestra en la Ecuación (8).
𝒙(𝑡) = Ψ(t, t0, 𝒙(𝑡0), 𝒖(𝜏)), 𝑡0 < 𝜏 ≤ 𝑡 (8)
Si bien el modelo de estado tal como se formula es válido para establecer la representación de sistemas
tanto lineales como no lineales, para este proyecto se va a centrar en los primeros.
En principio, para la formulación del modelo de estado de la Ecuación (8) se va a establecer dos hipótesis
ya conocidas, y que también aparecen en la teoría clásica de control; en primer lugar, el estudio se centra
en los sistemas físicos, sistemas que por propia naturaleza cumplen con el principio de causalidad, por
lo que siempre se parte del supuesto de que se ha de cumplir con esta propiedad. Dentro de los sistemas
causales, el análisis se centra en los sistemas deterministas, para los que dada una entrada se puede
encontrar una salida de forma unívoca; en contraposición a los sistemas estocásticos, para los que la salida
ante una determinada entrada se modeliza como una cierta función de densidad de probabilidad. El
vector de estado se define sobre el denominado espacio de estado:
Espacio de estado es el espacio vectorial en el cual el vector de estado toma valores, teniendo por tanto
la misma dimensión que el número de elementos de dicho vector.
Al ser el espacio de estado un espacio vectorial admite infinitas bases relacionadas entre sí mediante
transformaciones lineales. La representación del estado depende de la base elegida, por lo que también
existen infinitas posibilidades, igualmente relacionadas entre sí por transformaciones lineales. Esta
dependencia no afecta a cualquier variable externa, como las entradas y las salidas, que no modifican su
expresión sea cual sea la representación del estado elegida.
El valor del estado en distintos instantes varía en función de las condiciones iniciales con las que empieza
a evolucionar el proceso y de la entrada que recibe el sistema, según se refleja en la Ecuación (8). El
comportamiento descrito por esta ecuación se traduce en que cada una de las variables de estado modifica
su valor a lo largo del tiempo, tal como se observa en la Ilustración 12 para el caso de un modelo con tres
variables de estado; la combinación de estas evoluciones, por eliminación del tiempo entre todas ellas, se
concreta en una trayectoria que el vector de estado sigue dentro del espacio de estado, como puede verse
en la Ilustración 13.

Estudio de estabilidad y control de una aeronave de ala fija

Ilustración 12. Ejemplo de evolución temporal de las variables de estado.12

Ilustración 13. Ejemplo de trayectoria del vector de estado en el espacio de estado. 13

12 [1]
13 [1]
Modelo del espacio de estados

3.3 Propiedades de las variables de estado
Las trayectorias que describe el vector de estado de un sistema causal y determinista dentro del espacio de estado
están sujetas a las siguientes condiciones ligadas a la definición de estado del sistema:
3.3.1 Unicidad
∀𝑡 ≥ 𝑡0, 𝒙0 = 𝑥(𝑡0), 𝑢(𝜏) 𝑡0 < 𝜏 ≤ 𝑡 → 𝒙(𝑡) es única (9)
3.3.2 Continuidad
Las trayectorias en el espacio de estado son funciones continuas:
lim
𝑡→𝑡0
𝒙(𝑡) = 𝒙(𝑡0) ∀𝑡, 𝑡0 (10)
3.3.3 Transitividad o propiedad de transición
Si se considera en una trayectoria en el espacio de estado tres tiempos, 𝑡0, 𝑡1 y 𝑡2, tal como se muestra en la
Ilustración 14, el valor del estado en estos tiempos está relacionado por esta propiedad de transición:

Ilustración 14. Transitividad de estado.14

𝒙(𝑡2) = Ψ(t2, t0, 𝒙(𝑡0), 𝒖(𝜏)) 𝑐𝑜𝑛 𝑡0 < 𝜏 ≤ 𝑡2 (11)
𝒙(𝑡2) = Ψ(t2, t1, 𝒙(𝑡1), 𝒖(𝜏)) 𝑐𝑜𝑛 𝑡1 < 𝜏 ≤ 𝑡2 (12)

donde:
𝒙(𝑡1) = Ψ(t1, t0, 𝒙(𝑡0), 𝒖(𝜏)) 𝑐𝑜𝑛 𝑡0 < 𝜏 ≤ 𝑡1 (13)

14 [1]

Estudio de estabilidad y control de una aeronave de ala fija

Esto significa que para conocer el estado en el instante 𝑡2 da lo mismo:
• Conocer el estado en 𝑡0 y la entrada entre 𝑡0 y 𝑡2.
• Conocer el estado en 𝑡1 y la entrada entre 𝑡1 y 𝑡2.
3.4 Ecuaciones del modelo de estado
Como se ha establecido con anterioridad, la teoría de estado representa un formalismo para el tratamiento y
resolución de sistemas dinámicos deterministas. Una definición amplia de dichos sistemas es la siguiente:
Un modelo de sistema dinámico determinista es una relación matemática entre dos conjuntos de variables, las
de entrada y las de salida:
𝐮(t) → 𝐲(t)
donde 𝐮(t) es un vector de dimensión m e 𝐲(t) es un vector de dimensión p.
En la teoría moderna se añade otro conjunto de variables, a las que se llama estados. Entradas y estados se
encuentran relacionados como ya se vio en la Ecuación (8). De otra parte, como el estado recoge toda la
información del sistema en un determinado instante, es posible definir una relación de la salida con éste y con la
entrada. Dicha relación se establece mediante la Ecuación (14).
𝒚(𝑡) = 𝜂(𝑦, 𝒙(𝑡), 𝒖(𝑡)) (14)
donde se puede observar que la salida en el instante 𝑡 solo depende del tiempo, del estado y de la entrada en ese
instante, no del estado y de la entrada en instantes anteriores.
Esto se debe a que toda esta información, por propia definición, ya está recogidaen el estado.
Los sistemas dinámicos diferenciales se caracterizan porque pueden ser representados por una ecuación que
incluya información del estado de la forma:
�̇�(𝑡) = 𝑓(𝑡, 𝒙(𝑡), 𝒖(𝑡)) (15)
𝒚(𝑡) = 𝜂(𝑡, 𝒙(𝑡), 𝒖(𝑡)) (16)
donde a la Ecuación (15) se le llama ecuación de estado, que representa la dinámica de la evolución del estado
del sistema, y a la Ecuación (16) se le llama ecuación de salida. La resolución de la Ecuación (15) con unas
determinadas condiciones iniciales da lugar a la Ecuación (8), que describe la trayectoria seguida por el estado
dentro del espacio de estado.
A la representación de estado descrita en las Ecuaciones (15) y (16) se le llama realización en el espacio de
estado del sistema. Asimismo, se llama orden del modelo al número de variables de estado con el que se
construye.
De estas ecuaciones se intuye la continuidad de las trayectorias descritas por las variables de estado, que la
dimensión del vector de estado coincide con el número mínimo de condiciones iniciales necesarias para resolver
la ecuación de estado y que pueden considerarse como variables de estado las salidas de los integradores.
Como el estado es la representación suficiente del sistema, para determinar su dinámica también basta el
conocimiento de las variables de estado y de la ecuación de estado.
De esta forma, aspectos como la estabilidad del sistema y sus posibles estados de equilibrio, entendiendo por
tales valores del estado en los que el sistema funciona por tiempo indefinido sin que se produzca variación
alguna, se estudian a partir de la Ecuación (15); el estudio de estabilidad requerirá de métodos específicos según
la naturaleza lineal o no lineal de esta ecuación, mientras que la determinación de los estados de equilibrio se
lleva a cabo encontrando las soluciones de la Ecuación (17).
𝑓(𝑡, 𝒙(𝑡), 𝒖(𝑡)) = 0 (17)
Modelo del espacio de estados

3.4.1 Sistemas dinámicos lineales
En primer lugar, es necesario conocer si un sistema dinámico dado es o no lineal. Para ello se le aplica el principio
de superposición:
Se tiene un sistema que partiendo de un estado inicial cualquiera 𝐱𝟏(t0), con una entrada cualquiera 𝐮𝟏(τ), t0 <
τ ≤ t, responde con una salida 𝐲𝟏(t) y a partir de cualquier otro estado inicial 𝐱𝟐(t0) con cualquier otra entrada
𝐮𝟐(τ), t0 < τ ≤ t, responde con otra salida 𝐲𝟐(t). Se dice que dicho sistema es lineal si para todo a y b reales,
partiendo del estado inicial 𝐱𝟑(t0) = a𝐱𝟏(t0) + b𝐱𝟐(t0) con una entrada 𝐮𝟑(τ) = a𝐮𝟏(τ) + b𝐮𝟐(τ), t0 <
τ ≤ t, la salida es 𝐲𝟑(t) = a𝐲𝟏(t) + b𝐲𝟐(t).
Esta propiedad de linealidad en sistemas diferenciales se traduce en que las funciones 𝑓 y 𝜂 son lineales con
respecto a 𝒙 y a 𝒖:
𝑓(𝑡, 𝛼𝒙𝟏(𝑡) + 𝛽𝒙𝟐(𝑡), 𝛼𝒖𝟏(𝑡) + 𝛽𝒖𝟐(𝑡)) = 𝛼𝑓(𝑡, 𝒙𝟏(𝑡), 𝒖𝟏(𝑡)) + 𝛽𝑓(𝑡, 𝒙𝟐(𝑡), 𝒖𝟐(𝑡)) (18)
𝜂(𝑡, 𝛼𝒙𝟏(𝑡) + 𝛽𝒙𝟐(𝑡), 𝛼𝒖𝟏(𝑡) + 𝛽𝒖𝟐(𝑡)) = 𝛼𝜂(𝑡, 𝒙𝟏(𝑡), 𝒖𝟏(𝑡)) + 𝛽𝜂(𝑡, 𝒙𝟐(𝑡), 𝒖𝟐(𝑡)) (19)

donde 𝑓 y 𝜏 son funciones vectoriales, por lo que la propiedad de linealidad se verifica sí y solo si las ecuaciones
del modelo de estado se pueden expresar en forma matricial como:
�̇�(𝑡) = 𝑨(𝑡)𝒙(𝑡) + 𝑩(𝑡)𝒖(𝑡) (20)
𝒚(𝑡) = 𝑪(𝑡)𝒙(𝑡) + 𝑫(𝑡)𝒖(𝑡) (21)
Ésta es la forma en la que se representa el modelo de estado de un sistema dinámico lineal, donde:
𝒙(𝑡) es el vector de estado, de dimensión n.
𝒖(𝑡) es el vector de entradas, de dimensión m.
𝒚(𝑡) es el vector de salida, de dimensión p.
𝑨(𝑡) es la matriz de estados, de dimensiones n x n.
𝑩(𝑡) es la matriz de entradas, de dimensiones n x m.
𝑪(𝑡) es la matriz de salida, de dimensiones p x n.
𝑫(𝑡) tiene dimensiones p x n (en la mayoría de los sistemas es nula).

Las expresiones de las matrices 𝑨(𝑡), 𝑩(𝑡) y 𝑪(𝑡) dependen de la representación del estado elegida.
3.4.2 Sistemas dinámicos invariantes
Un sistema, con un estado inicial dado por 𝐱𝟎 = 𝐱(t0), sometido a una entrada 𝐮𝟏(τ), t0 < τ ≤ t, y que
produce como salida la señal 𝐲𝟏(t), se dice que es invariante si ∀T, partiendo del mismo estado 𝐱𝟎 , pero en el
instante t0 + T, excitado con una entrada 𝐮𝟐(τ + T) = 𝐮𝟏(τ) , t0 < τ ≤ t, responde con una salida que es
𝐲𝟐(t + T) = 𝐲𝟏(t).
Esta propiedad de invarianza significa que, en los sistemas lineales, las matrices 𝑨, 𝑩, 𝑪 y 𝑫 tienen sus elementos
constantes, no son funciones del tiempo [1].
Para la mayora de aeronaves es conveniente elegir las variables de salida para que sean las variables de estado,
obteniendo:
𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡); 𝑚 = 𝑛 (22)

Estudio de estabilidad y control de una aeronave de ala fija

Por lo que queda:
𝐶 = 𝐼 (𝑛𝑥𝑛)
𝐷 = 0 (𝑛𝑥𝑝)

De esta manera la ecuación de la salida se simplifica en la Ecuación (23).
𝑦(𝑡) = 𝐼𝑥(𝑡) ≡ 𝑥(𝑡) (23)
El sistema estudiado en este proyecto se considera un sistema dinámico invariante.
3.5 Ecuaciones del movimiento en el espacio de estados
3.5.1 Ecuaciones del movimiento en el Espacio de Estados longitudinal
De las Ecuaciones (6) y la Ecuación (24) adicional, proveniente de las ecuaciones cinemáticas angulares, [5],
[6] y [7], el sistema puede escribirse como se ve en la Ecuación (25).

�̇� = 𝑞 (24)
𝑀�̇�(𝑡) = 𝐴′𝑥(𝑡) + 𝐵′𝑢(𝑡) (25)
𝐴 = 𝑀−1 𝐴′ (26)
𝐵 = 𝑀−1𝐵′ (27)
donde:
𝑥𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑇 = [𝑢 𝑤 𝑞 𝜃]; 𝑢𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑇 = [𝛿𝑒 ] (28)
𝑀𝑙𝑜𝑛𝑔 =
[

𝑚
−𝑋�̇�
° 0
0

0
(𝑚−𝑍�̇�)
° 0
0

0
−𝑀�̇�
° 𝐼𝑦
0

0
0
0
1
]

(29)
𝐴𝑙𝑜𝑛𝑔
′ =
[

𝑋𝑢
° 𝑋𝑤
° (𝑋𝑞−𝑚𝑊𝑒)
° −𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑒)

𝑍𝑢
° 𝑍𝑤
° (𝑍𝑞−𝑚𝑈𝑒)
° −𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛(𝜃𝑒)

𝑀𝑢
° 𝑀𝑤
° 𝑀𝑞
° 0

0
0
1
0
]

(30)
𝐵𝑙𝑜𝑛𝑔
′ =
[

𝑋𝛿𝑒
°
𝑍𝛿𝑒
°
𝑀𝛿𝑒
°
0
]

(31)

Modelo del espacio de estados

La ecuación de estado, despejada de la Ecuación (25), la Ecuación (26) y la Ecuación (27), se refleja en la
Ecuación (32).
�̇�𝑙𝑜𝑛𝑔(𝑡) = 𝐴𝑙𝑜𝑛𝑔𝑥𝑙𝑜𝑛𝑔(𝑡) + 𝐵𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑛𝑔(𝑡) (32)
3.5.2 Ecuaciones del movimiento en el Espacio de Estados lateral-direccional
De las Ecuaciones (6) y la Ecuación (33) adicional, proveniente de las ecuaciones cinemáticas angulares, [5],
[6] y [7], el sistema puede escribirse como se ve en la Ecuación (25).

�̇� = 𝑝 + tan(𝜃𝑒) 𝑟 (33)
donde:
𝑥𝑙𝑎𝑡
𝑇 = [𝑣 𝑝 𝑟 𝜙]; 𝑢𝑙𝑎𝑡
𝑇 = [𝛿𝑎 𝛿𝑟]

(34)
𝑀𝑙𝑎𝑡 = [
𝑚
0
0
0

0
𝐼𝑥
−𝐼𝑥𝑧
0

0
−𝐼𝑥𝑧
𝐼𝑦
0

0
0
0
1

] (35)
𝐴𝑙𝑎𝑡
′ =
[

𝑌𝑣
° (𝑌𝑝+𝑚𝑊𝑒)
° (𝑌𝑟−𝑚𝑈𝑒)
° −𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑒)

𝐿𝑣
° 𝐿𝑝
° 𝐿𝑟
° 0

𝑁𝑣
° 𝑁𝑝
° 𝑁𝑟
° 0

0
1
0
0
]

(36)
𝐵𝑙𝑎𝑡
′ =
[

𝑌𝛿𝑎
° 𝑌𝛿𝑟
°
𝐿𝛿𝑎
° 𝐿𝛿𝑟
°
𝑁𝛿𝑎
° 𝑁𝛿𝑟
°
0
0
]

(37)

La ecuación de estado lateral-direccional, despejada de la Ecuación (25), la Ecuación (26) y la Ecuación (27),
se refleja, de nuevo, en la Ecuación (38), en este caso particularizada para el modo lateral-direccional.

�̇�𝑙𝑎𝑡(𝑡) = 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑥𝑙𝑎𝑡(𝑡) + 𝐵𝑙𝑎𝑡𝑢𝑙𝑎𝑡(𝑡) (38)

Estudio de estabilidad y control de una aeronave de ala fija

4 BOEING 747-400. SOLUCIÓN A LAS
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO. ANÁLISIS EN
LAZO ABIERTO.
Boeing diseñó originalmente el 747 en la década de 1960 para el programa de transporte de carga a gran escala
de las Fuerzas Aéreas estadounidenses. El contrato recayó en el C5-A Galaxy de Lockheed, por lo que Boeing
decidió dedicarse al mercado de la aviación comercial con su nuevo "jumbo" 747 [9].
El programa de desarrollo comercial del 747 se inició en 1966cuando Boeing recibió un pedido de Pan
American World Airways de 25 aeronaves.
4.1 Boeing 747
4.1.1 Desarrollo del Boeing 747
El pliego de condiciones establecido era el de un avión de pasajeros intercontinental rentable, capaz de
transportar un gran volumen de pasajeros y mantener un nivel superior de ahorro de combustible.
El 9 de febrero de 1969, el piloto jefe de pruebas Jack Wadell y su tripulación pusieron en el aire el primer 747
(matrícula N7470).
El primer modelo (747-100) entró en servicio comercial con Pan Am en 1970 y realizó su vuelo inaugural de
Nueva York a Londres. El 747 supuso una sorprendente reducción de los costes de los viajes aéreos gracias a su
combinación aún insuperable de velocidad, alcance y capacidad. Se han entregado 1.341 aviones Boeing 747.
La entrega del último 747-400, el último de 694, finalizó en diciembre de 2009. Este avión será sustituido por
el nuevo Boeing 747-8 intercontinental.
4.1.2 La familia Boeing 747-400
La serie básica 747-400 cuenta con cinco modelos. El modelo de pasajeros tiene un alcance máximo de 8.430
millas (13.570 km) en su configuración de tres clases con 416 asientos y tiene la mayor capacidad de pasajeros
de larga distancia con 524 asientos en su configuración de dos clases.
El modelo de carga puede transportar 124t (113.000kg) de carga a 4.400nm. El modelo doméstico tiene 568
asientos para pasajeros y un alcance de 1.805nm. El modelo combi, diseñado para transportar tanto pasajeros
como carga, tiene 266 asientos, siete paletas de carga y un alcance de 8.300 millas.
El primer modelo 747-400 salió de Everett en enero de 1988 y entró en servicio comercial en febrero de 1989
con Northwest Airlines. Boeing canceló los planes para una versión extendida, el 747X, en abril de 2001.
El primero de los dos modelos 747-400ER de alcance extendido realizó su vuelo inaugural en julio de 2002 y
fue entregado al cliente de lanzamiento Qantas Airways en octubre de 2002. El 747-400ER está disponible en
versión de pasajeros o de carga con mayor alcance o capacidad de carga. Con un peso bruto de despegue de
412.770 kg, la versión de pasajeros puede volar 805 km adicionales o transportar 6.800 kg adicionales de carga
útil.
La primera versión de carga se entregó a Air France en noviembre de 2002. Otros pedidos de la versión de carga
incluyen KLM, Korean Air, Cargolux, Cathay Pacific Airways y, en febrero de 2004, Nippon Cargo Airlines.
En noviembre de 2005, Boeing lanzó el avión 747-8, con versiones de pasajeros y de carga. El 747-8, que utiliza
el motor GEnx desarrollado para el 787 Dreamliner, tiene una mayor carga útil, un mayor alcance de 14.816 km
(8.000 nm) y vuela a Mach 0,86.
La versión de pasajeros se ampliará en 3,6 m y llevará 34 asientos adicionales en una configuración de tres clases
Boeing 747-400. Solución a las ecuaciones del movimiento. Análisis en lazo abierto.

y 450 plazas. La versión de carga se ha ampliado en 5,6 m con respecto al 747-400 de carga y tiene una capacidad
de carga útil de 140 t.
Se han recibido pedidos iniciales de Cargolux (diez más diez opciones para el 747-8F de carga) y Nippon Cargo
(ocho cargueros). El primer 747-8 de carga se entregó a Cargolux en octubre de 2011. Inicialmente estaba
prevista su entrega en septiembre de 2009. La primera entrega del 747-8 Intercontinental, el avión en versión de
pasajeros, se retrasó hasta el primer trimestre de 2012.
4.1.3 Cabina de mando y cabina de vuelo del Boeing 747
La cabina de vuelo analógica de tres tripulantes de la serie "clásica" ha sido sustituida por una cabina de vuelo
de dos tripulantes totalmente digitalizada. Seis pantallas de tubo de rayos catódicos (CRT) de 8 x 8 pulgadas
(200 mm x 200 mm) sustituyen a las anteriores pantallas electromecánicas.
Las pantallas CRT muestran los sistemas de control de vuelo de la aeronave, los sistemas de navegación y los
sistemas de indicación de motores y de alerta a la tripulación (EICAS). Las pantallas CRT llevan incorporada la
redundancia en caso de fallo con sistemas de conmutación de pantallas de respaldo automáticos y manuales.

El piloto automático, el sistema de dirección de vuelo y el conjunto de navegación del 747-400 son suministrados
por Rockwell Collins, y Honeywell proporciona el sistema de referencia inercial GPS del futuro sistema de
navegación aérea (FANS 1). Honeywell también proporcionó el ordenador de gestión de vuelo y el ordenador
digital de datos aéreos. Los sistemas de aviónica también fueron suministrados por Smith Industries (ordenador
de alerta de altitud e indicadores de cantidad de combustible), Parker Aerospace (módulo de control de
autofreno) y Labinal (sistema de indicación de la presión de los neumáticos).
Los sistemas digitales de aviónica integrados permitieron a los diseñadores de Boeing reducir las luces,
indicadores e interruptores de la cabina de vuelo de 971 en el 747-300 a 365 en el modelo 747-400. La cabina
de vuelo digitalizada reduce significativamente la carga de trabajo de la tripulación de vuelo, con un ahorro
estimado del 33%-50%.
4.1.4 Diseño
Para mejorar la eficiencia del combustible, las alas del 747-400 fueron rediseñadas, aumentando la envergadura
de 195 pies 8 pulgadas (59,6 m) a 211 pies 5 pulgadas (64,4 m). Se añadieron winglets de material compuesto
de 6 pies de altura, en ángulo hacia arriba y marginalmente hacia fuera desde las puntas de las alas. Las
características aerodinámicas de estos winglets proporcionan un efecto de elevación de la superficie del ala
desproporcionadamente superior al conjunto del ala sin aumentar la envergadura o la resistencia global. El peso
del ala se redujo incluso después del aumento de la envergadura gracias al uso de aleaciones de aluminio de alta
resistencia y materiales compuestos. Los winglets proporcionan al 747-400 una mejora en el consumo de
combustible del 3% y su ángulo ascendente significa que la envergadura total se mantiene dentro del espacio
estándar de la plataforma del aeropuerto.
Se han introducido mejoras aerodinámicas en los carenados de las alas, las góndolas de los motores y los puntales
de los motores para reducir la resistencia. Los proveedores de Boeing, como GKN, Daewoo, Fuji Heavy
Industries, Parker Aerospace y Yokohama Rubber, han permitido reducir el peso del fuselaje en varias áreas
mediante el uso de materiales compuestos como el grafito-epoxi, aleaciones especiales de aluminio y materiales
de panal.
La logística y los costes de mantenimiento durante la vida útil se han mejorado en varios sistemas y
componentes. Las alas y el fuselaje incorporan pieles de aluminio de alta resistencia con una vida útil mejorada
a la fatiga. Los frenos estructurales de carbono de Goodrich han mejorado las propiedades de absorción de
energía y la resistencia al desgaste y también proporcionan un ahorro de peso en las 16 ruedas del tren de
aterrizaje principal de 1.800 libras (816 kg).

Estudio de estabilidad y control de una aeronave de ala fija

4.1.5 Configuración de la cabina del Boeing 747-400
El interior se ha diseñado pensando en la flexibilidad. Los operadores pueden hacer uso de las "características
de cambio rápido" para permitirles reorganizar los asientos, reubicar los divisores de clase, las posiciones de los
módulos de aseo y de la cocina según sea necesario.
Los paneles del techo y de las paredes laterales se han perfilado para maximizar el espacio interior. Los paneles
interiores están fabricados con nuevos materiales laminados ligeros con propiedades termoplásticas que
proporcionan una mayor resistencia al fuego y menores niveles de humo y toxicidad.
La capacidad de estiba de los pasajeros en el 747-400 se ha aumentado a 0,082 𝑚³ por pasajero. El sistema de
distribución de aire tiene cinco zonas en lugar de tres, lo que ofrece un mayor control del suministro de aire y
del aire acondicionado en función de la densidad depasajeros.
La calefacción, la ventilación, el aire acondicionado, la iluminación y otros sistemas eléctricos del avión se
alimentan de la nueva unidad de potencia auxiliar (APU) de 1.450 CV de Pratt & Whitney Canadá, que supone
un ahorro de combustible del 40 %.
4.1.6 Motores del Boeing 747
El 747-400 cuenta con cuatro motores bajo el ala. Se ofrecen tres sistemas de motores: Los operadores pueden
elegir entre cuatro motores turbofán Pratt & Whitney PW4062, con 63.300 libras de empuje máximo, cuatro
motores turbofán Rolls-Royce RB211-524H, con 59.500 libras de empuje máximo o cuatro motores turbofán
General Electric CF6-80C2B5F, con 62.100 libras de empuje máximo.
La capacidad interna de combustible tiene una estiba máxima de 216.840 litros, lo que proporciona una
autonomía máxima de 8.430 millas terrestres y una velocidad de crucero típica de 910 km/h a 35.000 pies.
4.2 Datos usados para el proyecto
Para este proyecto se ha tomado datos de [10] y [11], de donde se ha obtenido los datos expresados en la Tabla
1 y Tabla 2. Se plantea el punto de operación alrededor del punto de equilibrio para 𝛼𝑒 = 0 y 𝜃𝑒 = 0.

Tabla 1. Características generales de la aeronave y parámetros caracterizadores.

Longitud [m] 70.6 𝜏 [°] 0 𝑆 [𝑚2] 511
Envergadura [m] 19.4 𝑚 [𝑘𝑔] 255843.23 𝑏 [𝑚] 59.64
ℎ [𝑓𝑡] 40000 𝐼𝑥 [
𝑘𝑔
𝑚2
] 19388196.86 𝐶𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 [𝑚] 8.32
𝑀 [] 0.7 𝐼𝑦 [
𝑘𝑔
𝑚2
] 43792920.17 𝐿𝑇 [𝑚] 10
𝛼 [°] 7.3 𝐼𝑧 [
𝑘𝑔
𝑚2
] 61418553.67 𝑆𝑇 [𝑚] 77.1
𝛾 [°] 0 𝐼𝑥𝑧 [
𝑘𝑔
𝑚2
] −3023474.06
Boeing 747-400. Solución a las ecuaciones del movimiento. Análisis en lazo abierto.

Tabla 2. Derivadas longitudinales y lateral-direccionales de la aeronave.
Derivadas longitudinales Derivadas lateral-direccionales
𝐶𝐿 1.108 𝐶𝛾𝛽 [𝑟𝑎𝑑
−1] −0.96
𝐶𝐷 0.102 𝐶𝑙𝛽 [𝑟𝑎𝑑
−1] −0.221
𝐶𝐿𝛼 [𝑟𝑎𝑑
−1] 5.7 𝐶𝑛𝛽 [𝑟𝑎𝑑
−1] 0.15
𝐶𝐷𝛼 [𝑟𝑎𝑑
−1] 0.66 𝐶𝑙𝑝 [𝑟𝑎𝑑
−1] −0.45
𝐶𝑚𝛼 [𝑟𝑎𝑑
−1] −1.26 𝐶𝑛𝑝 [𝑟𝑎𝑑
−1] −0.121
𝐶𝐿�̇� [𝑟𝑎𝑑
−1] −6.7 𝐶𝑙𝑟 [𝑟𝑎𝑑
−1] 0.101
𝐶𝑚�̇� [𝑟𝑎𝑑
−1] −3.2 𝐶𝑛𝑟 [𝑟𝑎𝑑
−1] −0.3
𝐶𝐿𝑞 [𝑟𝑎𝑑
−1] 5.4 𝐶𝑙𝛿𝑎 [𝑟𝑎𝑑
−1] 0.0461
𝐶𝑚𝑞 [𝑟𝑎𝑑
−1] −20.8 𝐶𝑦𝛿𝑎 [𝑟𝑎𝑑
−1] 0
𝐶𝐿𝑀 [𝑟𝑎𝑑
−1] 0 𝐶𝑛𝛿𝑎 [𝑟𝑎𝑑
−1] −0.0064
𝐶𝐷𝑀 [𝑟𝑎𝑑
−1] 0 𝐶𝑦𝛿𝑟 [𝑟𝑎𝑑
−1] 0.175
𝐶𝑚𝑀 [𝑟𝑎𝑑
−1] 0 𝐶𝑙𝛿𝑟 [𝑟𝑎𝑑
−1] 0.007
𝐶𝐿𝛿𝑒 [𝑟𝑎𝑑
−1] 0.338 𝐶𝑛𝛿𝑟 [𝑟𝑎𝑑
−1] −0.109
𝐶𝑚𝛿𝑒 [𝑟𝑎𝑑
−1] −1.34

Estudio de estabilidad y control de una aeronave de ala fija

Ilustración 15. Vistas de planta, alzado y perfil de la aeronave.15
4.3 Estabilidad
Para analizar el comportamiento de cualquier sistema es necesario estudiar su estabilidad en sus dos tipos:
estática y dinámica.
4.3.1 Estabilidad estática
Para el análisis de la estabilidad estática de un sistema se estudia la tendencia en el comportamiento de este ante
una pequeña perturbación.
Cuando un sistema se ve perturbado de su posición de equilibrio y su tendencia es volver a dicha posición se
habla de un sistema estáticamente estable. Véase la Ilustración 16.
Ilustración 16. Ejemplo de aeronave estáticamente estable.16

15 [10]
16 [12]
Boeing 747-400. Solución a las ecuaciones del movimiento. Análisis en lazo abierto.

Cuando un sistema se ve perturbado de su posición de equilibrio y su tendencia es alejarse de dicha posición se
habla de un sistema inestable estáticamente. Véase la Ilustración 17.
Ilustración 17. Ejemplo de aeronave estáticamente inestable. 17

Cuando un sistema se ve perturbado de su posición de equilibrio y su tendencia es quedarse en equilibrio en
una nueva posición, se habla de un sistema estáticamente neutro o indiferente. Véase la Ilustración 18.
Ilustración 18. Ejemplo de aeronave estáticamente neutra.18
4.3.2 Estabilidad dinámica
Para el análisis de la estabilidad dinámica se estudia el comportamiento del sistema en función del tiempo. Por
lo general, dicho comportamiento será oscilatorio en torno a la posición de equilibrio inicial.
Para poder hablar de la estabilidad dinámica de un sistema se asume que dicho sistema será estable
estáticamente. No tiene sentido analizar cómo se comportará un sistema a lo largo del tiempo si la tendencia del
sistema es divergir la posición de equilibrio.
Cuando un sistema se ve perturbado de su posición de equilibrio y su comportamiento se traduce en una
oscilación con una amplitud decreciente hasta converger en la posición inicial, se habla de un sistema
dinámicamente estable. Véase la Ilustración 19.

Ilustración 19. Ejemplo de aeronave dinámicamente estable.19

17 [12]
18 [12]
19 [12]

Estudio de estabilidad y control de una aeronave de ala fija

Cuando un sistema se ve perturbado de su posición de equilibrio y su comportamiento es oscilar con amplitud
constante, se hablan de un sistema dinámicamente neutro o indiferente. Véase la Ilustración 20.
Ilustración 20. Ejemplo de aeronave dinámicamente neutra.20

Cuando un sistema se ve perturbado de su posición de equilibrio y su comportamiento es oscilar con amplitud
creciente, se habla hablando de un sistema dinámicamente inestable [12]. Véase la Ilustración 21.
Ilustración 21. Ejemplo de aeronave dinámicamente inestable.21

Se dice que un avión es dinámicamente estable si ante cualquier perturbación respecto a la condición de vuelo
de referencia, la amplitud de las variables de perturbación tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito [13].
Nótese la diferencia con el concepto de estabilidad estática de aviones, el cual está relacionado con la generación
de fuerzas y momentos recuperadores ante una perturbación de la condición de equilibrio (sin analizar si
efectivamente se acaba recuperando dicha condición de vuelo de referencia).
Para realizar el análisis de estabilidad dinámica, se parte de las ecuaciones linealizadas longitudinales y lateral-
direccionales (ambos problemas están desacoplados). De manera genérica, cada uno de estos sistemas de
ecuaciones diferenciales lineales puede escribirse como se hace en la Ecuación (20).
Se va a analizar el movimiento libre del avión (con los controles fijos en la posición correspondiente al vuelo de
referencia, esto es, u = 0). Además, para una condición de vuelo de referencia, la matriz de estados, A, es
constante, por lo que la Ecuación (20) se convierte en un sistema autónomo, lineal e invariante en el tiempo.
De este modo, la solución de la Ecuación (20) será de la forma que se expresa en la Ecuación (39) .
𝒙(𝑡) = 𝒙𝟎𝑒
𝜆𝑡 (39)
y sustituyendo en la Ecuación (20), se obtiene
𝜆𝒙𝟎𝑒
𝜆𝑡 = 𝑨𝜆𝒙𝟎𝑒
𝜆𝑡 ⇒ (𝑨 − 𝐼)𝒙𝟎 = 0 (40)

20 [12]
21 [12]
Boeing 747-400. Solución a las ecuaciones del movimiento. Análisis en lazo abierto.

Para que la ecuación anterior tenga solución distinta de la trivial, tiene que cumplirse la Ecuación (41).
|𝑨 − 𝜆𝑰| = 0 (41)
esto es un problema de cálculo de autovalores de la matriz A.
Teniendo en cuenta que la ecuación característica que se obtiene la Ecuación (41) tendrá distintas raíces, se
puede escribir de forma genérica la solución del sistema como se ve en la Ecuación (42).
𝒙(𝑡) = ∑𝒙𝟎𝒊𝑒
𝜆𝑖𝑡
𝑖
(42)
donde 𝒙𝟎𝒊 denota el autovector asociado al autovalor 𝜆𝑖. Cada sumando 𝒙𝟎𝒊𝑒
𝜆𝑖𝑡 constituye un modo del sistema.
Además, por ser A real, los autovalores serán reales o complejos conjugados, de manera que el autovector
asociado a un autovalor real será también real, y si se tienen dos autovalores complejos conjugados, los
autovectores asociados también serán complejos conjugados.
El carácter de cada modo vendrá fijado por su autovalor asociado, teniéndose las siguientes posibilidades:
Autovalor real:
• negativo: convergencia pura,
• positivo: divergencia pura.
Autovalor complejo:
• parte real negativa: oscilación