UNIVERSIDAD_TECNICA_DE_MACHALA_FACULTAD

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
UNIDAD ACADEMICA DE INGENIERÍA CIVIL
ÁLGEBRA LINEAL
TEMA: VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS
CATEDRÁTICO: ING. MARCO TACURI
ESTUDIANTE: GABRIELA A. ESPINOZA PULLAGUARI
CURSO: SEGUNDO SEMESTRE PARALELO “B”
MACHALA – EL ORO – ECUADOR
INDICE
INTRODUCCIÓN	2
OBJETIVO	5
ORGANIZADOR GRÁFICO	6
MARCO TEÓRICO	7
1.1 Conceptos y propiedades.	7
1.2 Ecuación característica.	7
1.3 Semejanza de matrices.	7
1.4 Matrices diagonales.	7
1.5 Diagonalización de matrices simétricas y hermíticas	7
1.6 Polinomio mínimo de una matriz.	7
1.	TEORÍA	7
1.1.1 DEFINICIÓN	7
1.1.2 DEFINICION	8
1.1.3 DEFINICION	10
APLICACIONES DE LOS VECTORES CARACTERÍSTICOS EN LA CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL	12
BIBLIOGRAFÍA	15
INTRODUCCIÓN
Los valores y vectores propios pertenecen a los temas de mayor utilidad del álgebra lineal. Se usan en varias áreas de las matemáticas, física, mecánica, ingeniería eléctrica y nuclear, hidrodinámica, aerodinámica, etc. De hecho, es raro encontrar un área de la ciencia aplicada donde nunca se hayan usado.
Puede parecer muy extraño, pero los valores propios de las matrices aparecieron publicados antes que las matrices. Esto se debe al hecho insólito de que, parafraseando a Cailey, la teoría de las matrices estaba bien desarrollada (a través de la teoría de los determinantes) antes de que siquiera se definieran las matrices. Según Morris Kline, los valores propios se originaron en el contexto de formas cuadráticas y en la mecánica celeste (el movimiento de los planetas), conociéndose como raíces características de la ecuación escalar. Desde aproximadamente 1740, Euler usaba de manera implícita los valores propios para describir geométricamente las formas cuadráticas en tres variables.
En la década de 1760, Lagrange estudió un sistema de seis ecuaciones diferenciales del movimiento de los planetas (sólo se conocían seis) y de ahí dedujo una ecuación polinomial de sexto grado, cuyas raíces eran los valores propios de una matriz 66. En 1820, Cauchy se dio cuenta de la importancia de los valores propios para determinar los “ejes principales” de una forma cuadrática con n variables. También aplicó sus descubrimientos a la teoría del movimiento planetario. Fue Cauchy quien, en 1840, usó por primera vez los términos valores característicos y ecuación característica para indicar los valores propios y la ecuación polinomial básica que satisfacen.
Los valores y vectores propios pertenecen a los temas de mayor utilidad del álgebra lineal. Se usan en varias áreas de las matemáticas, física, mecánica, ingeniería eléctrica y nuclear, hidrodinámica, aerodinámica,etc. De hecho, es raro encontrar un área de la ciencia aplicada donde nunca se hayan usado.
Puede parecer muy extraño, pero los valores propios de las matrices aparecieron publicados antes que las matrices. Esto se debe al hecho insólito de que, parafraseando a Cailey, la teoría de las matrices estaba bien desarrollada (a través de la teoría de los determinantes) antes de que siquiera se definieran las matrices. Según Morris Kline, los valores propios se originaron en el contexto de formas cuadráticas y en la mecánica celeste (el movimiento de los planetas), conociéndose como raíces características de la ecuación escalar. Desde aproximadamente 1740, Euler usaba de manera implícita los valores propios para describir geométricamente las formas cuadráticas en tres variables.
En la década de 1760, Lagrange estudió un sistema de seis ecuaciones diferenciales del movimiento de los planetas (sólo se conocían seis) y de ahí dedujo una ecuación polinomial de sexto grado, cuyas raíces eran los valores propios de una matriz 66. En 1820, Cauchy se dio cuenta de la importancia de los valores propios para determinar los “ejes principales” de una forma cuadrática con n variables. También aplicó sus descubrimientos a la teoría del movimiento planetario. Fue Cauchy quien, en 1840, usó por primera vez los términos valores característicos y ecuación característica para indicar los valores propios y la ecuación polinomial básica que satisfacen.
Los conceptos básicos estudiados en este tema son útiles en todas las áreas de las matemáticas puras y aplicadas, y aparecen en contextos mucho más generales que los que consideramos aquí.
Una de las principales aplicaciones de la teoría espectral son los sistemas dinámicos discretos (ejemplo introductorio), pero también pueden utilizarse los valores propios para estudiar ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos continuos, además proporcionan información crítica en el diseño de ingeniería y se presentan naturalmente en campos como la física y la química.
OBJETIVO
· Resolver ejercicios, que tienen valores y vectores característicos, mediante la presentación en términos de vectores a sistemas reales propios de la ingeniería.
ORGANIZADOR GRÁFICO
VALOR PROPIO
DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES
INTERPRETACIÓN
ESPECTRO
VECTOR PROPIO
PROPIEDADES
Condiciones de diagonalizabilidad
POLINOMIO CARACTERÍSTICO
Diagonalización de matrices
SUBESPACIO 
PROPIO
Diagonalización ortogonal
RESULTADOS LATERESANTES
Metodología para la obtención de valores y vectores propios.
MARCO TEÓRICO
1.1 Conceptos y propiedades.
1.2 Ecuación característica.
1.3 Semejanza de matrices.
1.4 Matrices diagonales.
1.5 Diagonalización de matrices simétricas y hermíticas
1.6 Polinomio mínimo de una matriz.
1. TEORÍA
Si observamos el vector u y el vector Au, no tiene ninguna relación pero se tiene casos particulares que si existen ciertos vectores u no nulos tales que u y Au sean coliniales. En este mini proyecto estudiaremos como encontrar estos vectores, que va de un espacio vectorial al mismo espacio vectorial.
Este tema estudiara las matrices que representan transformaciones lineales, como antes mencionamos de un espacio vectorial u hacia sí mismo.
f: v u
Se desea conocer aquellos vectores que tienen la misma dirección que su transformada por f.
Por lo tanto f (u) = λu	
1.1.1 DEFINICIÓN
A los vectores no nulos para que los existe un escalar landa que haga cierta la igualdad f(u)= λu se los llama vectores característicos de la transformación f, y los escalares λ se les da el nombre de los valores característicos de la transformación lineal.
La multiplicación por A transforma cada vector característico u de A misma recta que pasa por el origen de u. Dependiendo del signo y la magnitud del valor característico λ correspondiente a u, la transformación f (u) = λu hace que u se comprima o alargue por un factor λ, con un cambio de dirección en caso de que sea λ negativo.
1.1.2 DEFINICION 
Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo K, y sea f un endomorfismo, es decir una transformación lineal de V en sí mismo. Decimos que el escalar es un valor característico de f si existe un vector u tal que f(u) = Au = u, donde A es la matriz del endomorfismo f y u distinto del vector nulo.
Esta definición no garantiza la existencia de valores característicos.
EJEMPLO 1.
 Sea la representación matricial del endomorfismo f : R 2 R 2 , dada por la matriz
 
SOLUCION 
Se tiene que a cada vector u le asocia el vector f(u), no existen valores característicos, ya que f(u) = u equivale a las dos ecuaciones:
b = (2 - )a y 3a = ( - 2)b, de las cuales se deduce que para que sea valor característico de f ha de satisfacer a ( - 2)2 = -3, ecuación ésta que no tiene solución en el cuerpo R de escalares y, por tanto, f no tiene ningún valor característico. 
En este ejemplo, la carencia de soluciones proviene de que en el conjunto de escalares R hay ecuaciones algebraicas sin solución en él; si el endomorfismo f hubiera sido de C 2 en C 2 , la anterior dificultad habría desaparecido, y ello es debido a que toda ecuación algebraica.
a0 + a1z + a2z 2 + ... + an-1z n-1 + anz n = 0
De coeficientes complejos tiene, al menos una raíz compleja. Cuando se quieren evitar situaciones como las de este ejemplo, para las queno hay valores característicos por carecer de soluciones una ecuación algebraica, se considerarán espacios vectoriales complejos o, en general, espacios vectoriales cuyo cuerpo base sea un cuerpo algebraicamente cerrado, designando por tal a un cuerpo K para el que toda ecuación algebraica a0 + a1 + a2 2 + ... + an-1 n-1 + an n = 0
con a0, a1, a2, ..., an K, tiene al menos una raíz en K. Las consideraciones que se hagan acerca de valores característicos de endomorfismos en espacios vectoriales complejos son fácilmente generalizables al caso de espacios vectoriales sobre cuerpos algebraicamente cerrados.
El vector distinto de cero de f(u) = u se dice que es un vector característico de f correspondiente al valor característico .
ECUACION CARACTERISTICA. SUBESPACIOS PROPIOS
En esta sección se verá cómo encontrar una base para un espacio vectorial V integrada por vectores característicos de una matriz de un endomorfismo f. Analizaremos también las multiplicidades aritmética y geométrica. 
Cuando se estudian problemas relativos a valores propios de un endomorfismo f de un espacio vectorial V de dimensión n, sobre un cuerpo K, se presentan situaciones especiales y se dispone de un procedimiento de búsqueda de valores característicos que se analiza a continuación.
En el supuesto de que V es un espacio vectorial de dimensión n, se va a proceder a la búsqueda de los valores característicos del endomorfismo 
f : V V; tomando para ello una base cualquiera S de V, en dicha base, las ecuaciones del endomorfismo f son.
O en forma matricial
	
Al
De una manera más compacta, podemos expresarla como Y = AX. En donde aij K, A = (aij) (n, n) es la matriz asociada, en la base S, al endomorfismo f, (u1, u2, ..., un) T R n es sistema de coordenadas de un vector u, (v1, v2, ..., vn) T R n es el sistema de coordenadas del vector v = f(u) imagen de u, y X, Y (n, 1) son las matrices columna de las coordenadas de u y v, respectivamente.
Un escalar K es un valor característico de f si, y sólo si, f - I no es inyectiva, como en la base adoptada, la transformación f - I tiene por matriz asociada la matriz A - I, donde I es la matriz identidad, resulta que es valor característico de f si, y sólo si, la matriz A - I es singular, es decir, los valores característicos de f son los escalares para los cuales se verifica:
Det(A - I)= 0; por consiguiente, el espectro de f es el conjunto de las soluciones de esta ecuación, la cual, expresada de manera explícita, es
SEMEJANZA DE MATRICES
En esta sección estudiaremos la matriz de un endomorfismo f de U en U que depende de la base elegida para U. Uno de los problemas fundamentales del álgebra lineal es elegir una base para U que simplifique la matriz para f. Enunciaremos y demostraremos sus propiedades más importantes. A continuación consideraremos la cuestión de determinar cuándo dos matrices A y B de orden n x m, son matrices del mismo endomorfismo f: U V relativa a diferentes bases para U y V.
1.1.3 DEFINICION
Las matrices A y B se dicen son equivalentes si y sólo si, existen matrices no singulares P (n x n) y Q (m x m) tales que B = PAQ.
MATRICES DIAGONALIZABLES
En esta sección se verá cómo diagonalizar una matriz de un endomorfismo f, encontrando una base para un espacio vectorial V integrada por vectores característicos. Dado un endomorfismo f : V V, siendo V un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo K, se plantea aquí la siguiente cuestión: ¿existirá alguna base de V en la que la matriz asociada a f sea una matriz diagonal?; cuando la respuesta sea afirmativa, se buscará dicha base, así como la correspondiente matriz diagonal.
En los casos en que esto sea posible, se dirá que f es un endomorfismo diagonalizable. Diagonalizar f es encontrar una base de V respecto de la cual la matriz asociada a f que sea diagonal, determinando también dicha matriz. La importancia que tiene la consecución de este problema, cuando tenga solución, estriba en la gran simplicidad de las ecuaciones de f en la base que se busca. Como quiera que las matrices asociadas a un mismo endomorfismo f, en las distintas bases de V, son semejantes entre sí, utilizando el lenguaje de las matrices, el problema planteado se puede enunciar en los siguientes términos: Dada una matriz A de n x n, se pretende encontrar una condición necesaria y suficiente para que exista una matriz semejante a ella que sea diagonal y, cuando la haya, localizar dicha matriz. Esto es, se desea averiguar si existirá una matriz no singular P de n x n tal que la matriz D = P-1AP, transformada por semejanza de A mediante P, sea diagonal, determinado, en caso afirmativo, las matrices P y D. Para abordar el problema planteado, se comenzará analizando cómo se comportan las matrices diagonales en lo referente a valores y vectores característicos.
DIAGONALIZACION DE MATRICES SIMETRICAS Y HERMITICAS
En esta sección se abordará el problema de determinar una base orto normal para el espacio vectorial V, integrado por vectores característicos de un endomorfismo simétrico f.
En la sección anterior se puso de manifiesto que no todas las matrices cuadradas, de un cierto orden, de elementos complejos son diagonalizables y se ha obtenido una condición necesaria y suficiente para que lo sean; cuando los elementos de una matriz son todos reales, se obtiene un caso particular del anterior para el que son válidas las consecuencias obtenidas para aquél. Obsérvese entonces que no toda matriz real será diagonalizable; caso de serlo, su forma diagonal será, en general, una matriz compleja, pues sus valores característicos no han de ser necesariamente reales, sino que pueden muy bien ser números complejos, ya que la ecuación característica, ecuación algebraica de grado n con coeficientes reales, tiene n raíces en C, las cuales sólo en casos especiales serán todas ellas reales.
Cuando se considere una matriz cuadrada real que además sea simétrica, caso este muy frecuente en los problemas de la física, la simetría de la matriz trae consigo grandes simplificaciones que permiten llegar a conclusiones francamente interesantes. La situación para las matrices reales simétricas, es aún más rica en resultados: si al espacio vectorial Rn se lo considera con su estructura ordinaria de espacio euclídeo, entonces, además de ocurrir que hay n vectores característicos independientes, ocurre que es siempre posible elegir n vectores característico formando un sistema ortonormal; dicho de otra forma, existe siempre una base ortonormal de Rn constituida por vectores propios de una matriz real y simétrica de orden n. Así las cosas, si es A una matriz real simétrica y D su forma diagonal: D = P-1AP, la matriz P cuyos vectores columna son vectores característicos, de A, linealmente independientes, puede elegirse de manera que sea ortogonal; en consecuencia, las cosas ocurren de modo que una matriz real simétrica es semejante a una matriz diagonal, pero con la particularidad de que la matriz de cambio es ortogonal, y se dice entonces que A es ortogonalmente semejante a una matriz diagonal, o que A es ortogonalmente diagonalizable.
El procedimiento que se sigue en esta sección, para llegar a los resultados que se acaban de enunciar, va encaminado a probar la existencia de n vectores característicos ortonormales de una matriz real simétrica, conseguido lo cual, el resto de las cuestiones a demostrar resultan simples. Una matriz cuadrada A de n x n real, considerada como un caso particular de las matrices complejas, tiene n valores característicos que son las raíces de la ecuación, en : 
Det(A - I) = 0, esta ecuación, algebraica de grado n de coeficientes reales, tiene n raíces en C contando cada una tantas veces como indica su orden de multiplicidad
APLICACIONES DE LOS VECTORES CARACTERÍSTICOS EN LA CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL
SISTEMAS DE CONTROL PARA LA PROTECCIÓN DE ESTRUCTURAS CIVILES SOMETIDAS A CARGAS DINÁMICAS
El concepto de control estructural en estructuras civiles tiene sus raíces en el trabajo empírico de John Milne, profesor de ingenieríaen Japón, quien hace más de 100 años construyó una pequeña casa en madera y la colocó sobre cojinetes para demostrar que la estructura podría ser aislada del movimiento sísmico [6]. Se necesitaron los primeros cincuenta años del siglo veinte para el desarrollo de la teoría de sistemas lineales y su aplicación al campo de las vibraciones y en particular a la dinámica estructural. La motivación principal de este desarrollo era el motor de combustión interno, usado tanto en automóviles como en aviones, que producía altos niveles de fuerzas dinámicas. Durante la Segunda Guerra Mundial, conceptos tales como aislamiento, absorción, y amortiguamiento de vibraciones, fueron desarrollados y aplicados efectivamente en estructuras aeronáuticas. Después de la Segunda Guerra Mundial, la carrera armamentista y la conquista del espacio fomentaron el desarrollo de la teoría y aplicación del control estructural en problemas de seguimiento y estabilización (tracking), y problemas relacionados con estructuras flexibles espaciales. Esta tecnología rápidamente fue adaptada a la ingeniería civil en aplicaciones de protección de puentes y edificios a cargas extremas de sismos y vientos [6].
El primer estudio conceptual sobre control estructural en ingeniería civil fue realizado por Yao en 1972 [20] y, desde entonces, un gran número de investigadores ha desarrollado sistemas de control estructural para el control de la respuesta sísmica y eólica, y ha verificado el comportamiento de estos sistemas. En agosto de 1994 se realizó en Los Ángeles, EEUU, el primer Congreso Mundial sobre Control Estructural, al que asistieron 337 participantes de 15 países y fueron presentados 225 artículos técnicos sobre control estructural, conformándose ese mismo año la Asociación Internacional para Control Estructural (IASC). En los últimos años, el interés en el control estructural ha aumentado notablemente en el nivel mundial y se está realizando un gran número de investigaciones con diversos intereses y metodologías con una meta común: la protección de la infraestructura civil y las personas que la usan.
En estructuras civiles, las vibraciones excesivas producidas por sismos fuertes producen daños graves en elementos estructurales y no estructurales, y pérdida de vidas humanas. Controlar la respuesta estructural ante cargas dinámicas (i.e. cargas sísmicas y eólicas) es y ha sido una necesidad para la seguridad de los usuarios y de la edificación. Actualmente, existen alternativas para disminuir la vulnerabilidad estructural, aunque desafortunadamente algunas son poco utilizadas en nuestro país debido al desconocimiento que se tiene sobre la técnica o por los altos costos que genera su implementación. 
Estas investigaciones, junto con el éxito de los edificios y puentes que han sido construidos incorporando sistemas de control estructural, prometen que en el futuro éste sea uno de los campos más importantes de la ingeniería civil.
 
CONTAMINANTES DE AGUAS SUBTERRÁNEAS
Tanto en Física como en la vida cotidiana hay cantidades tales como el tiempo, la temperatura, la masa, la densidad, la cantidad de carga eléctrica, la cantidad de baldosas necesarias para cubrir el piso de un patio, entre otras que quedan completamente definidas por un número real y la unidad correspondiente. Este tipo de magnitudes se denominan magnitudes escalares. Sin embargo, otras cantidades tales como la velocidad, la fuerza necesaria para correr un mueble, tienen una cualidad “direccional”. Por ejemplo, imagine que dos pintores: Carlos y Juan están pintando el living de una casa, por tal motivo deben correr un escritorio que se encuentra en un rincón apoyado sobre dos paredes. Carlos le dice a su compañero que prepare la pintura mientras él lo corre. Entonces, Carlos decide colocar una soga alrededor del mueble, y aplica una fuerza sobre el mismo para desplazarlo. ¿Es suficiente decir que Carlos aplicó una fuerza de F unidades de fuerza para lograr su objetivo?. Es claro, que no alcanza con especificar la fuerza aplicada mediante un número real, ya que resulta importante la dirección y el sentido en que dicha fuerza se aplica con el fin de lograr el objetivo. El modelo matemático para representar estas cantidades en las cuales importa la dirección y el sentido, además de la magnitud, es el concepto de vector y se denominan magnitudes vectoriales.
BIBLIOGRAFÍA
	
matematicos, F. (s.f.). aplicaciones vectores caracteristicos aplicados en ingenieria civil. Obtenido de http://www.ehu.eus/izaskunbayo/page2/page7/page8/files/Tema7.pdf
Goossman, S. (2012). Algebra lineal. Mexico.matematicos, F. (s.f.). aplicaciones vectores caracteristicos aplicados en ingenieria civil. Obtenido de http://www.ehu.eus/izaskunbayo/page2/page7/page8/files/Tema7.pdf