SOLUCIONARIO_DE_INGENIERIA_MECANICA_DINA

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INGENIERÍA CIVIL 
 
 
 27 
 Ahora para el tramo 2, 22 2 /a m s= − 
 
2 0
0 22.2
2 2 2
2
2
1 2
22.2 .....( 2 / )
2 22.2
11.1
33.3
t
adt dv adt dv
a t a m s
t
t s
t t s
= ⇒ =
→ = − = −
→ − = −
→ =
∴ + =
∫ ∫
 
PROBLEMA 17(13.72) 
En la figura, el torno T esta devanando cable a la razón constante de 2 m/s. Determinar la velocidad 
del contrapeso C relativa al ascensor. 
 
 
SOLUCIÓN: 
 Tenemos dos cuerdas 1 2L y L 
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 28 
1 1 1 1
1 1
1 1
2 1 2 2 2
2 1 2
2 2
) 2 ( )
2
2 2 1 / ( )
) 2 ( )
2
2 2 / ( )
i L s c L seva devanando
L s
s s m s
ii L s s c L constante
L s s
s s m s
= +
=
= → = ↓
= + +
= +
= − → = ↑
 
 
  
 
 
PROBLEMA 18(13.120) 
Dos aviones vuelan en línea recta horizontalmente a la misma altitud , según se indica en la figura. 
En t=0 s, las distancias AC y BC son 20 km y 30 km, respectivamente .Los aviones llevan celeridades 
constantes; VA=300km/h y VB=400km/h. Determinar 
a. La posición relativa 𝑟𝑟B/A de los aviones en t=3min 
b. La velocidad relativa �⃗�𝑣B/A de los aviones en t=3min 
c. La distancia d que separa los aviones en t=3min 
d. El tiempo T en que será mínima la separación 
 
 
SOLUCION: 
 
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 29 
 
 
 Hallando 𝑟𝑟B/A de los aviones en t=3min=1/20 h 
 


/ /
/
/
3min
120 300 20 300( ) 5
20
130 400 30 400( ) 10
20
10(cos60 60 ) ( 5 )
(10 8.66 )
B A B A B A B A
B A
B A
Paratiempo
AC t km
BC t km
r r r r r r
r i sen j i
r i j km
=
• = − = − =
• = − = − =
= + → = −
→ = + − −
→ = +
     

 


 
 
 
 
 
 
• Hallando �⃗�𝑣B/A de los aviones en t=3min=1/20 h 
 


/ /
/
/
400( cos60 60 ) (300 )
( 500 346.4 ) /
B A B A B A B A
B A
B A
v v v v v v
v i sen j i
v i j km h
= + → = −
= − − −
= − −
     

 


 
 
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 30 
• Hallando la distancia d que separa los aviones en t=3min 
 
2 22
2 2 2
2
2 cos120
5 10 2(5)(10)cos120
175 13.23
d AC BC AC BC
d
d d km
= + − ×
= + −
= → =
 
 
• Hallando el tiempo T en que será mínima la separación 
 
[ ]
2 22
2 2 2
22
2 cos120
(20 300 ) (30 400 ) 2(20 300 )(30 400 )cos120
(20 300 ) (30 400 ) (20 300 )(30 400 )
min, (20 300 ) (30 400 ) 0
50 700
4.28min
d AC BC AC BC
d t t t t
d t t t t
d t t
t
t
= + − ×
= − + − − − −
= − + − − − −
= → − + − =
→ =
∴ =
 
PROBLEMA 19(13.121) 
Los rodillos A y B están unidos a los extremos de una barra rígida de 1.5m de longitud. El rodillo B 
se mueve por una guía horizontal con una celeridad constante de 0.3 m/s y hacia la derecha, mientras 
que el rodillo A se mueve por una guía vertical. 
 
a. Determinar la posición 𝒓𝒓�⃗ A, la velocidad 𝒗𝒗��⃗ A y la aceleración 𝒂𝒂��⃗ A del rodillo A en función de s, 
0 ≤ 𝑠𝑠 ≤ 1.5𝑚𝑚 
b. Para 𝑠𝑠 = 0.9 𝑚𝑚 , determinar la posición relativa 𝒓𝒓�⃗ A/B , 𝒗𝒗��⃗ A/B ,𝒂𝒂��⃗ A/B 
c. Demostrar que la posición relativa y la velocidad relativa del apartado b son perpendiculares. 
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 31 
 
 Determinando la posición 𝒓𝒓�⃗ A, 𝒗𝒗��⃗ A y la 𝒂𝒂��⃗ A : 
 
 
2 2 2
2 2
2 2
2
2
2
: 0.3 / , 1.5
:
) ) 0 2 2
0.31.5
2.25
0.32.25 /
2.25
B
DERIVANDO
A A
Por dato tenemos v s m s L m
Por pitagoras
i L s y ii s s y y
s sy L s y
y
sy s y
s
sr s j m v j m s
s
•
• •
•
•
•
= = =
= + → = +
 
 = − = −
 
 
 
= − = − 
− 
 
∴ = − ∴ = − 
− 
 
 
 
 Posición relativa 𝒓𝒓�⃗ A/B , 𝒗𝒗��⃗ A/B ,𝒂𝒂��⃗ A/B 
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 32 
 
 
/ /
/ /
2
/ /
2
/ /
/
/
/
0.9
) )
0.32.25 0.9 0.3
2.25
(1.2 0.9 ) ( 0.225 0.3 ) /
)
A B A B A B A B
A B A B A B A B
A B A B
A B A B
A B A B
A B A B
A
para s
i r r r ii v v v
r r r v v v
sr s j i v j i
s
r j i m v j i m s
iii a a a
a a a
a
=
= + = +
= − = −
 
• = − − • = − − 
− 
∴ = − ∴ = − −
= +
→ = −
→
     
     
 
 
 
 
  
  



3
2
2
/
0.2 0
2.25
0.115 /
B
A B
j
s
a j m s
= − −
−
∴ = −

 
 
 Para demostrar que la 𝒓𝒓�⃗ A/B , 𝒗𝒗��⃗ A/B son perpendiculares: 
 
 
/ // /. 0
(1.2 0.9 ).( 0.225 0.3 ) 0
0.27 0.27 0
0 0
A B A BA B A Br v r v
j i j i
• ⊥ → =
→ − − − =
→ − + =
=
   
 
 

2 2
22 2
2
2 2
3
2 2
3
2
2
3
2
) :
0 ( ) ( ) ; 0
( ) /
0.3 1.5
2.25
0.2 /
2.25
A
A
iii Se derivauna vez mas
s s s y y y s
s y ssy s y
y y
s Ly
y
a
s
a j m s
s
• •• • ••
= + + + =
  +
= − = − +  
   
 ×
= −  
 
×
= −
−
∴ = −
−

  
 




 
 
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PROBLEMA 20(13.142) 
La grúa de la figura gira en toro al eje AD a la razón constante de 3 rad/min .Al mismo tiempo , el 
aguilón AB de 20 m de largo va descendiendo a la razón constante de 5 rad/min . Calcular la velocidad 
y la aceleración del punto B cuando 30ºφ = . 
 
 
SOLUCIÓN: 
 
 
 Como datos tenemos: 
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20 , 0, 0 ; 30º
1 13 / min / 5 / min /
20 12
0 0
r m r r
rad rad s rad rad s
φ
θ φ
θ φ
• = = = • =
• = = • = =
→ = → =
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2 2 2
2 2 2
2
2
2
2
:
1 10 20( ) 20( ) 30
12 20
0.15 /
2 cos
1 120 0 2 0 20( ) 30cos30
12 20
0.022 /
2
r
r
r
r
La aceleraciónencoordenadasesfericas
a a a a
a r r r sen
a sen
a m s
a r r r sen
a sen
a m s
a r sen
φ θ
φ
φ
φ
θ
φ θ φ
φ φ θ φ φ
θ φ
= + +
→ = − −
= − −
= −
→ = + −
= × + × × −
= −
→ =
   
 

  



2
2 2 2
2 2 2
2
2 cos
1 10 2 20 cos30 0
20 12
0.144 /
( 0.15) ( 0.022) 0.144
0.21 /
r
r r sen
a
a m s
a a a a
a
a m s
θ
θ
φ θ
θφ φ θ φ+ +
= + × × × +
=
= + +
= − + − +
∴ =
  
 
2 2 2
2
2
1 5 10 , 20 / , 20 30º 0.5 /
12 3 20
5 0.5
3
1.74 /
r
r
r
v r e r e r sen e
v r v r m s v sen m s
v v v v
v
v m s
φ θ
φ θ
φ θ
φ θ φ
φ
= + +
= = = = × = = × × =
→ = + +
→ = +
∴ =
  
 

  
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PROBLEMA 21(13.27) 
: Una bola que cae en el aire tiene una aceleración 
2
2( ) (9.81 0.003 ) ma a v v s= = − 
Donde la velocidad del punto se expresa en metros por segundo y el sentido positivo es hacia abajo. 
Determinar la velocidad de la bola en función de la altura si se lleva una velocidad hacia debajo de 
3m s cuando 0 0y = . Determinar también la velocidad de régimen de la bola. 
a
 
 
SOLUCIÓN: 
• Piden hallar la velocidad en función de la altura cuando la 
0 3mv s= y 0 0y = 
• Como la aceleración está en función de la velocidad 
2
2( ) (9.81 0.003 ) ma a v v s= = − 
• Utilizamos la segunda derivada de la posición para obtener la aceleración en función del 
tiempo 
dv dv dx dva v
dt dx dt dx
dvdx v
a
= = =
→ =
 
• Multiplicamos y dividimos por dx; luego obtenemos la dx en función de v y a 
Para poder integrar necesitamos que la aceleración este en función de la velocidad 
 
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