Ingeniería Ambiental Capitulo 3

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Universidad Tecnológica de Panamá
Sede Regional de Chiriquí
Facultad de Sistemas Computacionales
Lic. Ingeniería de Sistemas y Computación
Materia:
Ingeniería Ambiental
Profesor:
David Vega
Estudiante:
Gareth Vivas 4-784-662
Grupo:
2IL151
Año:
2019
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Introducción 
Veremos como son las matemáticas del crecimiento y en como estas matemáticas nos ayudan a predecir eventos
futuros, no de una manera tan exacta como se esperaría, pero sí la más próxima para conocer lo que podría suceder
próximamente en nuestro entorno. Y así mismo tomar medidas dependiendo de la situación, para mantener y llevar
de la mejor manera la calidad de vida de cada ser humano en este hermoso Planeta Tierra. Son cálculos que en un
principio parecen complejos, pero en su mayoría son bastante simples, que hasta se pueden resolver sin calculadora. 
Esta simple y sencilla matemática, ayuda a diversas empresas y organismos hacia donde va la situación en nuestro
planeta de acuerdo a como nosotros mismos la vamos manejando y de esa manera reducir graves impactos. 
Espero que las Matemáticas del Crecimiento sea del agrado de todos y aprendamos algo nuevo, que en un futuro
quizás podamos poner en práctica y quien sabe que este conocimiento brindado, salve a nuestro mundo por medio
de esta lectura. 
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Capítulo 3 
Las Matemáticas del Crec imiento 
En temas medioambientales el uso de las matemáticas es esencial para la toma de decisiones midiendo 
eventos futuros. Claramente nada será preciso, pero sí será lo suficiente para medir los impactos a largo 
plazo y tomar correctas decisiones. Reduciendo o evitando un gran impacto medio ambiental. Un 
ejemplo, una planta de tratamiento de aguas residuales puede necesitar predecir la velocidad de 
crecimiento de una bacteria en una cuba de fermentación por un periodo de horas o días. El diseñador 
de la planta, por otra parte, necesitará probablemente estimar la tasa de crecimiento de la población 
local para la siguiente o las dos próximas décadas, con el objetivo de dimensionar la instalación. En el 
extremo opuesto, para hacer las estimaciones más desfavorables de las emisiones de dióxido de carbono
y su efecto en el calentamiento global, los científicos necesitan predecir las tasas de crecimiento 
económico y de la población, anticipar las mejoras en el uso eficiente de la energía, la base de recursos 
de combustibles fósiles y la tasa de consumo de combustibles diversos, la tasa de deforestación o 
reforestación que se podría anticipar, etc. Estas estimaciones han de hacerse para periodos de tiempo 
que se miden a menudo en siglos.
Claramente como se a dicho anteriormente, hacer una predicción exacta es imposible, pero sí se puede 
hacer estimaciones sencillas que son lo suficiente viables. Mediante el empleo de simples operaciones 
matemáticas, para un << ¿Qué pasaría sí? >>: si el crecimiento de la población continúa a cierta tasa, y si
la demanda es proporcional a la actividad económica, y así sucesivamente, entonces sucedería esto y 
aquello.
En este capítulo se conocerán esas herramientas simples pero poderosas, que nos darán información de 
esos problemas futuros medioambientales. 
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Crecimiento exponencial 
El crecimiento exponencial se da en cualquier situación que implique un incremento de alguna cantidad 
en proporción a la cantidad presente. Aunque es algo bastante común y la matemática para 
representarlo, simple, no es menos importante. Es un caso particular de proceso de primer orden, tal 
como se introdujo en el Capítulo 1. En principio, aproximaremos este tipo de crecimiento a un 
incremento discreto anual, para después pasar a una función de crecimiento continuo.
Ejemplo: 
Si imaginamos que nuestros ahorros en un banco producen un 5% de interés anual, abonados a final de 
año, entonces el incremento de los ahorros en cualquier año dado es el 5% de la cantidad disponible en 
la cuenta a principios del año en cuestión. Si comenzamos con 1.000 dólares, a finales de año 
tendríamos 1.050 dólares (1.000.0 + 05 x 1.000); al final del segundo año tendríamos 1.102,50 dólares 
(1.050 + 0,05 x 1.050); y así sucesivamente.
 Esto puede representarse matemáticamente como sigue:
Seguido, 
Por ejemplo, 
Y, en general 
Pongamos otro ejemplo. 
Crecimiento de la demanda de energía eléctrica en los EE.UU. (Compuesto anual)
 En 2005, los Estados Unidos produjeron 4 x 1012 kWh/año de electricidad. El promedio anual de 
crecimiento para la demanda en los 15 años anteriores fue de alrededor del 1,8%. (En comparación, 
había sido cercano al 7% anual durante varias décadas antes del embargo de 1973.) Estimar el consumo 
de electricidad en 2050 si se mantiene constante ese crecimiento del 1,8% anual durante los próximos 
45 años.
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Solución 
Del problema tenemos, 
No es tan complicado simplemente usamos la representación matemática y seguimos el orden de la 
ecuación. 
Donde N 0 = 4 x 1012 .
Y r = 0,018 (1,8%).
Compuesto continuo 
Para varias situaciones de interés en el medioambiente, se comprende normalmente que la curva de 
crecimiento es una función suave y continua, sin los saltos anuales en que se basa la Fórmula (Observe el
ejemplo anterior). 
En cálculos financieros, un sistema de interés compuesto en el que la capitalización se produce 
continuamente. Es decir, en el primer instante de tiempo se obtiene interés sobre el principal. Durante el
siguiente instante se obtienen intereses sobre el principal incrementado en los intereses que se han 
ganado durante el instante anterior. Cuando los tipos de interés o los cambios de porcentaje de valor se 
miden de esta manera, poseen útiles propiedades matemáticas de las que carecen los tipos establecidos 
con cualquier otra frecuencia compuesta. Por esta razón, los cambios de porcentaje en los trabajos 
analíticos más avanzados se miden como intereses compuestos continuos.
Usando un poco el cálculo infinitesimal, la curva de crecimiento se convierte en la verdadera función 
exponencial que usaremos más frecuentemente.
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 Un modo de establecer la premisa que conduce al crecimiento exponencial es afirmar que la cantidad 
crece en proporción a ella misma; esto es, la velocidad de cambio de la cantidad N es proporcional a N. 
La proporcionalidad constante r se denomina velocidad de crecimiento y tiene unidades de ( tiempo1
).
Otra ecuación a usar es: 
 Representación de la función exponencial.
Ejemplo: 
Crecimiento de la demanda de energía eléctrica en los EE.UU. (Compuesto continuo) Considerando que 
el crecimiento del 1,8% es continuo. Comenzando con el consumo de electricidad de 2005,
4 x 1012kWh año/ , ¿cuál será el consumo en 2050 si la tasa de crecimiento se mantiene constante?
Solución: 
Usando la ecuación: 
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En el ejemplo de Crecimiento de la demanda de energía eléctrica en los EE.UU. (Compuesto anual), el 
incremento lo calculábamos cada año, y en éste, en el que se calcula de forma continua, hemos obtenido
casi el mismo resultado. Cuanto más aumenta, bien el periodo de cálculo o bien la tasa de crecimiento, 
más se separan los resultados. A un 12% de crecimiento, por ejemplo, las respuestas diferirían en cerca 
del 50%. En general, es mejor considerar las tasas de crecimiento en forma de crecimiento compuesto, 
de modo que ( ) será la expresión adecuada para hacerlo. 
Tiempo de duplicación
El crecimiento expresado en porcentajes no es un concepto descriptivo aplicable a muchos fines. ¿Es una
tasa de crecimientodel 3 por ciento lenta o acelerada? Una manera más clara de ilustrar el crecimiento 
de la población es calcular cuánto tiempo le tomaría a dicha población duplicarse, a la tasa actual de 
crecimiento. Un país que tiene una tasa de crecimiento constante del 1 por ciento duplicaría el tamaño 
de su población en aproximadamente 70 años; al 2 por ciento, en 35 años; al 3 por ciento, en 23 años.
Una manera rápida de aproximar el período de duplicación es dividir 70 por la tasa de crecimiento 
expresada como un porcentaje.
El tiempo de duplicación no puede utilizarse para proyectar el tamaño futuro de una población porque el
mismo supone una tasa de crecimiento constante a través de las décadas, mientras que las tasas de 
crecimiento cambian. No obstante, calcular el tiempo de duplicación ayuda a ilustrar cuán rápidamente 
está creciendo una población actualmente.
La mayoría de estos cálculos se pueden hacer sin calculadora. 
 Ilustrando el concepto de duplicación.
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El tiempo de duplicación ( t d ) de una cantidad que crece a una tasa exponencial r se averigua 
fácilmente. A partir de la ecuación ( ) podemos encontrar dicha cantidad igualando
N=2 N0 para t = td.
Puesto que N 0 aparece en ambos lados de la ecuación, puede eliminarse, y vemos que el periodo de 
tiempo requerido para duplicar la cantidad no depende de cuánto hace que comenzó. Así, eliminando
N 0 y tomando logaritmos neperianos en ambos miembros:
Si la tasa de crecimiento r se expresa como un porcentaje en lugar de como una fracción, obtenemos el 
siguiente importante resultado:
Esta ecuación que se presentó es importante aprenderla, ya que es: 
El periodo de tiempo requerido para duplicar una cantidad que crece en r por ciento es 
aproximadamente igual a 70 dividido por r por ciento. Es de lo que se mencionó al inicio del tema. 
Si tus ahorros producen el 7% de interés anual, llevará aproximadamente 10 años duplicar la cantidad 
inicial que haya en la cuenta. Si la población de un país crece continuamente al 2%, en 35 años será del 
doble que ahora, etc.
A continuación, veamos un ejemplo. 
Tasa de crecimiento histórica de la población mundial.
A la población mundial le costó cerca de 300 años aumentar de 500 millones de personas a 4.000 
millones. Si suponemos un crecimiento exponencial a una tasa constante durante ese periodo, ¿cuál 
sería esta tasa de crecimiento?
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Solución 
A partir de la ecuación 
Y tomando algunos algoritmos neperianos: 
Para usar la regla aproximada dada, hay que tener en cuenta que necesitamos tres duplicaciones para 
pasar de 500 millones a 4.000 millones. Tres duplicaciones en 300 años; es decir, una duplicación cada 
100 años.
Seguido
Las cantidades que crecen exponencialmente incrementan su tamaño de una manera engañosamente 
rápida. Como sugiere la tabla de la siguiente página, incluso las cantidades que crecen en un pequeño 
porcentaje anual aumentan con increíble rapidez al cabo de unas pocas duplicaciones.
Pongamos otro ejemplo, en 1995 la tasa de crecimiento era del 1,5% y el periodo de duplicación de, 
aproximadamente, 46 años. Si esa tasa fuera a continuar durante sólo 4 periodos de duplicación, o 184 
años, la población mundial se multiplicaría por un factor de 16, de 5.700 millones a 91.000 millones. En 
20 periodos, habría 6.000 billones de personas, unas 10 por cada metro cuadrado de superficie del 
planeta. Lo absurdo de estas cifras apunta la imposibilidad de que el crecimiento exponencial, incluso a 
una tasa aparentemente baja, se prolongue por periodos de tiempo largos.
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Factor de crecimiento exponencial según el número de duplicaciones.
Vida media
Cuando la tasa de disminución de una cantidad es proporcional a la cantidad presente, el crecimiento 
exponencial se convierte en un decrecimiento exponencial. Para describir el decrecimiento exponencial, 
se hace por medio del coeficiente de velocidad de reacción (k) o con el concepto (de la vida media
t1 /2 ¿ , algo a agregar, ambos son fácilmente relacionables. El coeficiente de la tasa de reacción en el 
decrecimiento exponencial juega el mismo papel que r en el crecimiento exponencial. 
El decrecimiento exponencial se puede expresar como
donde k es el coeficiente de la tasa de reacción ( tiempo1 ), N 0 es la cantidad inicial y N la cantidad
al cabo del tiempo t.
Una gráfica de ( N=N 0e
−kt
) se muestra en la Figura de la siguiente página, donde se puede ver 
representado el concepto de vida media. Para relacionar vida media con tasa de reacción, damos a N el 
valor N 0/2 para t igual a t1 /2 , lo que nos proporciona
Como N 0 puede eliminarse, tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros y obtenemos la 
expresión deseada
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