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REPUBLICABOLIVARIANA DE VENEZUELA 
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION 
U.E “NUESTRA SENORA DE LOURDES” 
 
PROFESORA: VERUSKA LARA 1 
 
 
AREA DE FORMACION: MATEMÁTICA DE 5TO AÑO 
GUIA DE ESTUDIO. II LAPSO 
 
 
 
 UNIDAD DEAPRENDIZAJE 1: Coordenadas espaciales, vectores en el espacio, componentes, 
operaciones básicas y combinación lineal. 
 
1) Coordenadas espaciales: es un conjunto de ternas ordenadas (x,y,z) de 
números reales es decir: 
 
 R3 = [ (X, Y, Z) X€R, Y€R, Z€R 
 
 Grafica de coordenadas en el espacio 
 
 
 Coordenadas por punto: se representa por un conjunto de terna de números 
reales (x,y,z) de notadas con la letra (P),se anota de la siguiente manera: 
P= (X, Y, Z) 
 Representación grafica 
Para graficar, el proceso es el siguiente: 
I. Ubicar el valor del eje X correspondiente y a partir de el trazar una 
paralela al eje Y 
II. Colocar en el eje Y el valor correspondiente, luego trazar una paralela 
al eje X 
III. En el corte de estas dos paralelas subimos o bajamos al eje Z de 
acuerdo al signo, trazamos en línea paralela al eje Z. 
IV. Por último, ubicamos el punto sobre la línea trazada del eje Z. 
Ejemplo 1 
Graficar los siguientes puntos en el plano R3 
P1= (3, 3,-2) 
P2= (2, -5,3) 
P3 = (-2, 5,4) 
P4= (1, 6,0) 
 
 
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U.E “NUESTRA SENORA DE LOURDES” 
 
PROFESORA: VERUSKA LARA 1 
Actividad 1.- Representa los puntos en un sistemas de coordenadas 
tridimensionales 
a) P= (5,3,8) 
b) P= (10,12,4) 
c) P= (-5,4,9) 
d) P= (6,-7,1) 
e) P= (8,9,-10) 
f) P= (-9,-5,-10) 
 
Actividad 2.- Ubicar los siguientes puntos en el grafico de coordenadas 
 
 
 
1.2) Vectores en el espacio 
 
 Vectores: es un segmento de recta orientado si posee magnitud, dirección y 
sentido. El sentido lo proporciona la punta de la flecha que contiene el vector, 
la dirección viene dada por la recta y la magnitud es su medida. 
 Modulo: se calcula mediante la siguiente expresión : 
 
Donde: Xi, Yj, Zk, son componentes 
 Componentes de un vector: existe una componente por cada eje y se 
calcula con la resta de las coordenadas del punto de salida u origen. Para 
calcular los componente se expresa lo siguiente: 
 
Xcomp= X2 - X1 
Ycomp= Y2 – Y1 
Zcomp= Z2 - Z1 
 
Vcomp= (Xcomp, Ycomp, Zcomp ) 
 
 Representación grafica por componente 
 
 
Fig1.- Representación de un vector 0P Fig 2.- Representación de un vector SR 
 
Ejemplo 2 
Graficar el siguiente vector CA z C 
C= (10, 9,10) 
A= (3,8.7) A 
 y 
 
 x 
Actividad 3.- 
Sean: 
B=(-5,-6,1) ; C= ( 10,9,10) ; D=( 10,9,10) Graficar: AB, BC, AC 
Hallar sus componentes 
 
 
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2. Operaciones básicas de vectores en el espacio 
 Suma de vectores 
a= (a1, a2, a3) y b= (b1, b2, b3) 
Tenemos: 
a+b= (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) 
 Resta de vectores 
a= (a1, a2, a3) y b= (b1, b2, b3) 
Tenemos: 
a-b = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3) 
Ejemplo3 
1. Para a = (1, −2, 3) y b = (3, −1, 4), halla: a) a + b b) 2 a+ b c) –a + 3 b 
a) a+b == (1, −2, 3) + (3, −1, 4) = (4, –3, 7) 
b) 2 a+ b == 2 · (1, −2, 3) + (3, −1, 4) = (2 + 3, –4 – 1, 6 + 4) = (5, –5, 10). 
c) –a + 3 b= – (1, −2, 3) + 3 · (3, −1, 4) = (–1 + 9, 2 – 3, –3 + 12) = (8, –1, 9) 
 Multiplicación de vectores 
a) Multiplicación Escalar. 
b) a= (a1, a2, a3) y b= (b1, b2, b3) 
Tenemos: 
a.b= (a1. b1, a2. b2, a3. b3) 
Ejemplo4 
 Para a = (1, −2, 3) y b = (3, −1, 4), halla: a) a. b 
 a.b= (1.3, -2.-1, 3.4) = (3, 2, 12) 
 
c) MULTIPLICACIÓN VECTORIAL 
 
Hallar: 
 
Tenemos: 
 
d) Combinación lineal. 
 Se dice que un vector es combinación lineal de otras cuando exista valores numéricas 
que multiplicados por ello el resultado se suma algebraicamente y al final se obtenga el 
vector inicial. 
Sea los vectores a , b, c , d , expresa: 
1. a combinación lineal de resto 
a = X.b +Y.c +Zd 
ejemplo 5 
Sea a=(-1,2,1) b= (3,2,-4) c= (1,-1,1) d= ( 2, -3, 3) 
Expresa d como combinación lineal del resto. 
d= X.a +Y.b +Z.c 
(2,-3,3)=X(-1,2,1) +Y(3,2,-4) +Z(1,-1,1) 
(2,-3,3)=(-X, 2X, X) +(3Y,2Y, -4Y) +(Z, -Z ,Z) 
(2,-3,3)=( -X , 3Y, Z) +(2X, 2Y, -Z) + (X, -4Y, Z) 
 
Tenemos las siguientes ecuaciones: 
1) 2= -X +3Y Z 
2) -3= 2X +2Y –Z 
3) 3= X -4Y +Z 
Tomamos ecuación 1 y 2 
2= -X +3Y Z 
-3= 2X +2Y –Z 
-1=X +5Y 
Trabajando con las ecuaciones 2 y 3 
-3= 2X +2Y –Z 
 3= X -4Y +Z 
0= 3X -2Y 
Tenemos las dos ecuaciones resultantes 
 2 -1=X +5Y 
 5 0= 3X -2Y 
 
 
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 Nos queda 
-5= 2X +10Y PARA HALLAR Y PARA OBTENER Z 
0= 15X -10Y 0= 3X -2Y 2= -X +3Y +Z 
-5= 17X 0= 3 (-17/5) -2Y 2= - (-17/5) +3 ( 51/10) + Z 
X= -17/5 0= -51/5 -2Y 2= -17/5 + 153/10 +Z 
 51/5= - 2Y 2+17/5 – 153/10= Z 
 Y= 51/10 Z= -99/10 
 
ACTIVIDAD 4.- 
Sea a= ( -5, 4 ,7) b= ( 1, -3 , -5) c ( 4/3, -5/7 , 2/11) 
Hallar: 
1. a +b +c 
2. 2c - 3a + 3/2 b 
3. 3( c-a) +5b 
4. bc – ab +cb 
5. ac. bc 
6. ax b 
Actividad 5. 
1. Sea a=(-1,2,1) b= (3,2,-4) c= (1,-1,1) d= ( 2, -3, 3) 
Expresa c como combinación lineal del resto. 
2. Sea a=(-1,2,1) b= (3,2,-4) c= (1,-1,1) d= ( 2, -3, 3) 
Expresa b como combinación lineal del resto. 
 
Unidad de aprendizaje 2.-Operaciones básicas de matrices. Determinantes de 
2do y 3er orden. 
 Matrices: son agrupaciones matemáticas en las cuales intervienen 
elementos ordenados en filas y columnas .Se denotan con paréntesis de 
tamaño adecuado al número de fila. 
Ejemplo 
A= a b c 
 1 2 3 
 Orden de una matriz: se refiere al dato ubicado en la parte inferior 
derecha de la matriz en el cual se coloca el numero de filas por el numero 
de columnas. 
M = a b c 
 d e f fxc 
Cada elemento dentro de la matriz tiene una ubicación específica dada 
por 2 subíndices que indican la fila y la columna. 
 Matriz cuadrada: es aquella que posee el mismo número de fila y 
columna. 
 a b 
 A= c d 2x2 
 
 
 Operaciones básicas de matrices 
a) Suma y resta de matrices: Para efectuar la suma y resta de matrices 
es estrictamente necesario que posean el mismo orden. Una vez 
verificado este se agruparan los términos que se correspondan en 
posiciones similares efectuándose luego la operación. 
Ejemplo 1 
 
Ejemplo 2 
 
 
 Multiplicación de Matrices: es condición estricta que el numero de columnas 
de la primera sea igual al número de filas de la segunda. La operaciónse 
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efectuara sumando algebraicamente los productos de cada fila por cada 
columna generando un elemento a su vez y así sucesivamente hasta terminar 
con las columnas, luego se continua con la siguiente fila hasta concluir. 
Ejemplo 3 
 
 Multiplicación escalar de matrices: se define la multipl icación de 
un número real por una matriz. 
Ejemplo 4 
 
 Determinante de 2do y 3er orden: 
a) Determinante de 2do orden: 
 
 = a 11 a 2 2 - a 12 a 2 1 
Ejemplo 5 
 
 
 
 
 
 
b) Determinante de 3er orden: 
 
 
 
 
= a1 1 a2 2 a33 + a12 a23 a 3 1 + a1 3 a21 a3 2 - a 1 3 a2 2 a31 - 
a12 a21 a 3 3 - a1 1 a2 3 a32. 
 
Ejemplo 6 
 
 
3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 - 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 
1 = 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63 
La regla de Sarrus : es una uti l idad para calcular determinantes de 
orden3 . Los términos con signo + están formados por los elementos de 
la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su 
correspondiente vértice opuesto . 
 
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Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal 
secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente 
correspondiente vértice opuesto . 
 
Ejemplo 7 
 
Actividad1 
a) Calcula el valor del determinante de 3er orden 
 
1. 2x -6x x/2 2. -5/3 4 10 3. 2√2 -8√2 √2/3 
 -8 1 3 6p 5p – 3 3-2p 5 -7 10 
 6 8 2 8 -7 -5 6 4 -7 
b) Calcular el valor del determinante de 2do orden 
 
 
1. 5 -3 2. -3/7 -9/11 3. 5x -6x 
 2a 11/4 -2/5 8/3 4/3 -7/4 
 
 
 
 
 
c) Sea 
 
 -3 -1 5 3 -5 4 -3 11 
 A= 8 2 4 B= 8 9 C = -3 8 6 
 1 0 7 -2 10 7 -12 5 
 
 
 3 -5/8 
D= -1/2 4/3 
 -10 -9 
Hallar 
1) 5/2 A +4/3 C 
2) C -A 
3) D+B 
4) A.B 
5) 3C.B 
6) B .C