Datos - Tema 6

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TEMA 6: NOCIONES 
BÁSICAS DE PROBALIDAD
1. INTRODUCCIÓN
 En cualquier investigación es 
importante poder generalizar o 
inferir nuestros resultados a un 
colectivo mucho más amplio al que 
hemos denominado población. Por 
esta razón estudiamos la 
probabilidad.
 Seguiremos los ejemplos del 
libro
CONCEPTOS PREVIOS
 Experimento aleatorio (3 características):
- Todos los resultados posibles son conocidos 
con anterioridad a su realización
- No se puede predecir con certeza el 
resultado que vamos a obtener
- El experimento puede repetirse todas las 
veces que se desee en idénticas 
condiciones. Ejemplo 6.1 pag 252
 Espacio muestral: Es el conjunto de todos 
los resultados posibles de un experimento 
aleatorio. Se representa por la letra E. En el 
ejemplo de tirar un dado, E serían todos los 
valores del 1 al 6.
CONCEPTOS PREVIOS
 Suceso: Son los resultados de un experimento aleatorio o 
subconjuntos del espacio muestral. Pueden ser:
- Elementales: Un solo resultado del espacio muestral (un 
cuatro en el dado)
- Compuestos: Dos o más resultados del espacio muestral 
(número par en el dado)
 Las siguientes tres letras muestran 3 sucesos distintos. A es 
elemental y B y C son compuestos. Este ejemplo va a ayuda 
para comprender los conceptos siguientes.
A=4
B=2,4,6 (número par)
C=3,6 (múltiplo de 3)
 Suceso seguro: Es sinónimo de E, siempre ocurre.
 Suceso imposible: No puede ocurrir, se representa por Ø 
(conjunto vacío)
Ejemplo 6.2 pag 255
Operaciones con sucesos
 Unión: Unión de dos sucesos A y B es el subconjunto de E 
formado por los sucesos elementales que pertenecen a A, a B o a 
ambos a la vez.
A∪B = 2,4,6
 Intersección: La intersección de dos sucesos A y B es el 
subconjunto de E formado solamente por los sucesos elementales 
que pertenecen a A y a B a la vez.
A∩B = 4
 Si la intersección no contiene elementos comunes diremos que los 
sucesos son incompatibles o excluyentes: A∩B = { } = Ø
 complementario: De un suceso A es el subconjunto de E formado 
por todos los sucesos que no pertenecen a A. Se representa por
Ā = 1,2,3,5,6
Ejemplo 6.3, pag 257
DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD
 Definición clásica: La probabilidad de un suceso es igual al cociente 
entre el número de casos favorables de que ocurra ese suceso y el 
número de casos posibles en el supuesto de que todos los casos tengan 
la misma oportunidad de ocurrir.
Probabilidad de un suceso = Número de casos favorables/número 
de casos posibles (Regla de Laplace)
Probabilidad de conseguir un 2 en el dado = 1/6
Probabilidad de conseguir un número par = 3/6
 Definición estadística: La probabilidad de un suceso es el límite al que 
tiende la frecuencia relativa de aparición de un suceso A cuando el 
número de ensayos, n, tiende a infinito:
 Definición axiomática: La probabilidad de un suceso A, definido en el 
espacio muestral E y que designamos por P(A), a un número real que 
asignamos al suceso A, tal que cumple las siguientes propiedades:
0 ≤ P(A) ≤1
P(E) =1
P(A) =1− (Ā)
Ejemplo 6.4 pag 261
Teorema de la suma
 La probabilidad de que ocurra el suceso A 
o el suceso B es igual a la probabilidad de 
que ocurra A más la probabilidad de que 
ocurra B, menos la probabilidad de que 
ocurran ambos, A y B:
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
Ejemplo 6.5 pag 265
 Si A y B son incompatibles o mutuamente 
excluyentes, la regla queda así: 
P(A∪B) = P(A) + P(B)
PROBABILIDAD CONDICIONADA
 Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la 
probabilidad de A está condicionada al suceso B.
P(A/B)= Probabilidad de A condicionada a B.
 Definición: Para dos sucesos cualesquiera A y B, la 
probabilidad de A condicionado a B es igual a la 
probabilidad de la intersección dividido por la 
probabilidad de la condición B:
P(A/B) = P(A∩B)/P(B) (siempre que P(B) no sea 0)
P(B/A) = P(B∩A)/P(A) (siempre que P(A) no sea 0)
 Si los sucesos A y B son independientes: P(A/B) = P(A) 
y P(B/A)=P(B)
Ejemplo 6.6, pag 267; ejemplo 6.7, pag 268
LA REGLA DEL PRODUCTO Y EL 
TEOREMA DE BAYES
 P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B/A) esto se conoce 
como la regla o teorema del producto 
P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B) cuando los sucesos A 
y B son independientes
Ejemplos 6.8 y 6.9 pags 270-1
 el Teorema de Bayes:
P(A/B) = P(A) − P(B/A)/P(B)
Ejemplo 6.11, pag 278
Teorema de la probabilidad total
Sean los sucesos A1,A2,...,Ak una partición del espacio muestral, es decir, 
son incompatibles dos a dos
Ai Aj= Ø y A1U A2U...U Ak=E=1 y sea B un suceso cualquiera, entonces:
ejemplo 6.10, pag 275
Para calcular P(B) es de gran ayuda la representación de un diagrama
de árbol como su muestra en el ejemplo.
Tenemos tres urnas, la primera contiene 4 bolas blancas y 2 negras,
la segunda 3 blancas y 3 negra y la tercera 3 blancas y 6 negras. 
Se elige una urna al azar (se supone que la elección de urnas es 
equiprobable) y se extrae una bola. Calcula la probabilidad de que la 
bola extraída sea negra. 
P(N) = P( N / U1 )·P(U1)+P( N / U2 )·P(U2)+P( N / U3 )·P(U3)
Algunas aplicaciones de la probabilidad 
condicionada a la psicología de la salud
 - Prevalencia: proporción de casos 
existentes de una enfermedad en un 
momento determinado
 Incidencia: proporción de casos nuevos 
de una enfermedad en una población 
durante un periodo determinado.
 Existe una relación entre incidencia y 
prevalencia. Si los casos nuevos, 
incidentes, no se resuelven, se hacen 
crónicos, prevalentes
Otras aplicaciones
 Análisis de factores de riesgo de o probabilidad de que 
aumente un problema o enfermedad Ejemplo 6.12, pag
282
 Valoración de la calidad de las pruebas diagnósticas
 Sensibilidad o probabilidad de discriminar a los 
verdaderos positivos. Probabilidad de que los que 
tengan un trastorno den positivo en la prueba P(+/T)
 Especificidad o probabilidad de detectar a los 
verdaderos negativos. Probabilidad de que los que no 
tienen el trastorno den negativo en la prueba p(-/NT)
 Valor predictivo positivo P(T/+). [Falsos positivos 
P(NT/+)]
 Valor predicitivo negativo P(NT/-). [Falsos negativos 
P(+/N)]
Ejemplo 6.13, pag 285