METODO_DE_RIGIDEZ-Porticos_Planos

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CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS 
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PRATO, MASSA -1- 
 
Capítulo 10 
 
 
Método de rigidez - Pórticos Planos 
 
10.1- Pórticos con nudos rígidos 
 
En este capítulo se presenta el análisis de pórticos planos, que a diferencia de los 
reticulados vistos en los capítulos precedentes, presentan continuidad de giros en los nudos. Por 
tal motivo, resulta necesario considerar al giro de cada nudo como un grado de libertad adicional 
al vector de los desplazamientos nodales. En la Figura 10.1.a se ilustra un nudo articulado 
correspondiente a un reticulado ideal. El caso (b) es un nudo rígido en el sentido que el giro de 
los extremos de todas las barras que concurren al nudo es el mismo. El caso (c) es un nudo 
combinado y finalmente el (d) representa esquemáticamente un nudo semirígido en el que la 
articulación tiene cierta restricción elástica incorporada que vincula a las dos partes que conecta. 
 
Figura 10.1 
Por ahora se centrará la atención en el estudio del caso (b) para el cual las rotaciones de 
todos los extremos de barra que concurren al nudo son iguales entre sí, e iguales a la rotación del 
nudo. 
CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS 
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PRATO, MASSA -2- 
 
También se supondrá por ahora que las cargas (fuerzas y momentos) actúan sólo en los 
nudos. El caso de cargas actuando en el interior de los tramos es la situación más habitual que 
será estudiara en detalle en el próximo capitulo. 
Este capítulo está dedicado a pórticos planos constituidos por barras 
prismáticas de eje recto y nudos rígidos sometidos a cargas contenidas en el plano. 
Una barra prismática consiste en una barra recta de sección transversal constante. Se 
desarrolla a continuación un procedimiento análogo al del Capítulo 8 referido al reticulado ideal. 
En este caso el número de G.L. por nudo es 3; 2 desplazamientos o corrimientos, y un giro. Se 
utilizará la convención de signos indicada en la Figura 10.2 en la que son positivos los momentos 
y giros antihorarios. 
Las rigideces de los elementos no sólo resultan funciones de E y A , sino también del 
momento de inercia I (además de la longitud y la orientación de la barra). 
 
Figura 10.2 
10.2- Matriz de rigidez de una barra prismática 
 
Para el caso de una barra prismática de un pórtico plano (tres incógnitas por nudo) el 
sistema de equilibrio puede escribirse en notación matricial de la siguiente manera: 
11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
31 32 33 34 35 36
41 42 43 44 45 46
51 52 53 54 55 56
61 62 63 64 65 66
.
x x
i i
y y
i i
i i
x x
j j
y y
j j
j j
K K K K K K U P
K K K K K K U P
K K K K K K M
K K K K K K U P
K K K K K K U P
K K K K K K M
φ
φ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎥
⎥
 (Ec. 10.1) 
La ecuación (Ec. 10.1) se conoce como ecuación fuerza-desplazamiento de la barra. Para 
deducir los elementos por el razonamiento físico empleado en la sección 8.2 se procede a aplicar 
un desplazamiento unitario dejando los restantes nulos: 
jφ
x
jU
y
jU
CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS 
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PRATO, MASSA -3- 
 
1
0
x
i
y x y
i i j j j
U
U U Uφ φ
=
= = = = =
 
En el problema hiperestático de la Figura 10.3 el nudo "j" constituye un empotramiento y 
el nudo "i" sufre tres desplazamientos prefijados, uno unitario y los otros dos nulos. 
 
 
Figura 10.3 
La distribución de esfuerzos y reacciones de este caso genérico puede ser calculada por el 
método de las fuerzas considerando tres incógnitas hiperestáticas: 11 21,K K y 31K , y luego se 
calculan 41 51,K K y 61K como reacciones de apoyo necesarias para el equilibrio. 
Para obtener por este procedimiento la matriz de una barra dada es necesario plantear y 
resolver numéricamente 6 sistemas hiperestáticos de tres incógnitas cada uno. Cada uno de esos 
sistemas hiperestáticos de tres incógnitas corresponde a un desplazamiento unitario y todos los 
restantes desplazamientos iguales a cero. 
Una alternativa para simplificar el cálculo de la matriz de rigidez sería tratar el problema 
en forma genérica una única vez y obtener una forma explícita de la matriz. Si bien este 
procedimiento general es totalmente lógico y viable, resulta conveniente formular el problema en 
un sistema de coordenadas locales. El caso general indicado en la Figura 10.3 surge de aplicar el 
proceso de rotación de coordenadas desde la matriz expresada en el sistema local uno de cuyos 
ejes coincide con el eje longitudinal de la barra al sistema global de coordenadas. 
Matriz de rigidez en coordenadas locales 
El sistema local de coordenadas que se adopta es tal que el eje lx coincide con el eje de la 
barra y el sentido positivo es del nudo "i" hacia el nudo "j". 
11K
21K
31K
41K
51K
61K
CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS 
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PRATO, MASSA -4- 
 
Para el caso de la Figura 10.4.b la deducción de la matriz K del sistema de la (Ec. 10.1) 
en forma genérica es relativamente simple y se desarrolla a continuación. 
 
Figura 10.4 
 
La primera columna de la matriz en el sistema local se obtiene imponiendo los siguientes 
desplazamientos: 
1
0
x
i
y x y
i i j j j
U
U U Uφ φ
=
= = = = =
 
 
Figura 10.5 
La solución se logra a través de la ley de Hooke. 
11 21 31 41 51 61
. .; 0; 0; ; 0; 0A E A EK K K K K K
l l
= = = = − = = (Ec. 10.2) 
La segunda columna se obtiene imponiendo: 
1
0
y
i
x x y
i i j j j
U
U U Uφ φ
=
= = = = =
 
 
Figura 10.6 
12K
22K
32K
42K
52K
62K
11K
21K
31K
41K
51K
61K
i
j
lxly l
y
lxi j
CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS 
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PRATO, MASSA -5- 
 
Las fuerzas en los extremos se calculan por el método de las fuerzas. Las ecuaciones de 
compatibilidad deben establecer que el desplazamiento verticaldel nudo "i" es la unidad y el giro 
es nulo. El nudo "j" se considera empotrado. 
 
Figura 10.7 
11 1 12 2
21 1 22 2
. . 1
. . 0
X X
X X
δ δ
δ δ
+ =⎧
⎨ + =⎩
 
El efecto axial está desacoplado del efecto transversal por lo que se puede anticipar que la 
fuerza axial es nula. 
12 22 1 32 2 42 52 623 2 3 2
. . . .0; 12. ; 6. ; 0; 12. ; 6.E I E I E I E IK K X K X K K K
l l l l
= = = = = = = − = (Ec. 10.3) 
De manera similar se puede obtener la tercera columna imponiendo: 
1
0
i
x y x y
i i j j jU U U U
φ
φ
=
= = = = =
 
 
Figura 10.8 
Y resolviendo el problema de desplazamiento prefijado de la Figura 10.8. Las dos 
incógnitas pueden determinarse por alguna de las distintas formas del método de las fuerzas 
(trabajo virtual, Castigliano, etc.) en la forma: 
13 23 1 33 2 43 53 632 2
. . . .0; 6. ; 4. ; 0; 6. ; 2.E I E I E I E IK K X K X K K K
l l l l
= = = = = = = − = (Ec. 10.4) 
Debe notarse que por el teorema de reciprocidad se puede anticipar que la fuerza vertical 
en "i" ( )23K cuando 1iφ = resulta igual al momento en "i" ( )32K cuando 1yiU = . Está 
propiedad es general y permite afirmar que la matriz de rigidez es siempre simétrica. 
Repitiendo el procedimiento se pueden deducir las restantes columnas y dar la forma 
explícita (genérica) del sistema de la (Ec. 10.1) introduciendo la siguiente notación: 
2X
1X
1θ =
2X
1X
CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS 
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PRATO, MASSA -6- 
 
1 2 1 2
3
2 3 2
1 2 1 2
3
2 2 3
0 0 0 0
0 0
0 0
2 .
0 0 0 0
0 0
0 0
2
x x
i i
y y
i i
i i
x x
j j
y y
j j
j jl l
l
K K
U PK K K K
U PKK K K M
U PK K
U PK K K K
MKK K K
φ
φ
−⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦−⎢ ⎥⎣ ⎦
 (Ec. 10.5) 
1 2 33 2
. . . .; 12. ; 6. ; 4.A E E I E I E IK K K K
l l l l
= = = = 
Importante: 
La (Ec. 10.5) define la matriz de una barra que coincide con el eje “x”. 
Se puede observar que la cuarta fila es la primera cambiada de signo, la quinta es la 
segunda cambiada de signo y la sexta es igual a la segunda multiplicada por " l " menos la 
tercera. Esto significa que la matriz de rigidez es singular y que el sistema de la (Ec. 10.5) sólo 
podrá ser resuelto imponiendo por lo menos tres condiciones de vínculo para evitar 
desplazamientos de cuerpo rígido. 
Nótese que la matriz de rigidez de la (Ec. 10.5) ha sido obtenida despreciando las 
deformaciones por corte. 
Matriz de una barra en una dirección genérica 
En primer lugar se analiza cómo se transforman los desplazamientos y las fuerzas al 
introducir la rotación del sistema local de coordenadas (x1, y1) al sistema global (x, y). 
 
( ) ( )
( ) ( )
.cos .
. .cos
x y
x l l
x y
y l l
P P P sen
P P sen P
α α
α α
⎫= − ⎪
⎬
= − ⎪⎭
 (Ec. 10.6) 
Matricialmente: 
yP
xP
x
lP
lx
ly
y
lP
α
2γ
1γ
CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS 
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PRATO, MASSA -7- 
 
1 2
2 1
.
x
xl
y
yl
PP
PP
γ γ
γ γ
− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
 (Ec. 10.7) 
Más abreviadamente: 
. lR P P= (Ec. 10.8) 
Similarmente, para los desplazamientos se tiene: 
. lRU U= (Ec. 10.9) 
Notación: El índice " l " se refiere a vectores de matrices en un sistema local. Los mismos 
elementos en el sistema global no llevan subíndice. 
Los desplazamientos generalizados se transforman según (Ec. 10.9) teniendo presente que 
R es (3 x 3). Si se tiene en cuenta que los valores de los giros son independientes de la 
orientación de los ejes “x” e “y”, es obvio que el equivalente de (Ec. 10.7) resulta: 
1 2
2 1
0
0 .
0 0 1
x x
l
y y
l
l
U U
U U
γ γ
γ γ
φ φ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 (Ec. 10.10) 
:R Es una matriz “ortonormal” para la cual la matriz inversa es igual a su transpuesta: 
1 TR R− = . Premultiplicando ambos miembros de (Ec. 10.8) y (Ec. 10.9) por TR resulta: 
.TlP R P= (Ec. 10.11) 
.TlU R U= 
(Ec. 10.12) 
Particionando el sistema de ecuaciones de equilibrio en coordenadas locales, la (Ec. 10.5) 
puede escribirse: 
. .
. .
l l l l l
ii i ij j i
l l l l l
ji i jj j j
K U K U P
K U K U P
⎫+ = ⎪
⎬
+ = ⎪⎭
 (Ec. 10.13) 
Las submatrices de igual índice ( ),ii jjK K se conocen como rigidez directa mientras que 
las de índice diferente ( ),ij jiK K son las matrices de rigidez cruzada. 
Para pasar a coordenadas globales basta reemplazar según las expresiones: 
. . . . .
. . . . .
l T l T T
ii i ij j i
l T l T T
ji i jj j j
K R U K R U R P
K R U K R U R P
⎫+ = ⎪
⎬
+ = ⎪⎭
 
Premultiplicando ambos miembros por R y recordando que . TR R I= resulta: 
CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS 
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PRATO, MASSA -8- 
 
( ) ( )
( ) ( )
. . . . . .
. . . . . .
l T l T
ii i ij j i
l T l T
ji i jj j j
R K R U R K R U P
R K R U R K R U P
⎫+ = ⎪
⎬
+ = ⎪⎭
 (Ec. 10.14) 
. . . .
.
. . . .
l T l T
i iii ij
l T l T
j jji jj
U PR K R R K R
U PR K R R K R
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
 
(Ec. 10.15) 
 
 Las (Ec. 10.14) y (Ec. 10.15) proveen las expresiones para obtener la matriz de rigidez 
en el sistema global: Se debe premultiplicar cada submatriz por R y al resultado 
postmultiplicarlo por TR . A manera de ejemplo, la matriz iiK resulta de la siguiente forma 
explícita: 
( )
( )
1 2
1 2 2 1
2 3
2 2
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2
2 2
2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2
2 3 2 2 1 2 3
0 0 0
0 0
0 0 0 1
0 . . . . . . . .
0 . . . . . . . .
0 0 1 0 . .
K
K K
K K
K K K K K K K K
K K K K K K K K
K K K K K
γ γ
γ γ
γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ
γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ
γ γ
−
− − − + − −
− +
−
 
Operando sobre lijK y 
l
jjK de manera similar se llega finalmente a la matriz de rigidez 
para el caso general: 
 
(Ec. 10.16) 
 
2 2
1 2 1. .A K Kγ γ= + ; ( )1 2 1. .B K Kγ γ= − ; 2 2.C Kγ= 
2 2
2 1 1. .D K Kγ γ= + ; 1 2.E Kγ= 
 
2γ
1γ
3
3
3
.2
x x
i i
y y
i i
i i
x x
j j
y y
j j
j j
A B C A B C U P
D E B D E U P
K MK C E
U PA B C
U PD E
MK
φ
φ
− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥− − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
simétrica
CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS 
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PRATO, MASSA -9- 
 
La barra orientada según el eje "y" puedeconsiderarse un caso particular de (Ec. 10.16) 
para el cual 1 0γ = . Como es una situación muy común es conveniente contar con su forma 
explícita para evitar el cambio de coordenadas del caso general: 
1 2 1 2
3
2 3 2
1 2 1 2
3
2 2 3
0 0
0 0 0 0
0 0
2 .
0 0
0 0 0 0
0 0
2
x x
i i
y y
i i
i i
x x
j j
y y
j j
j j
K K K K
U PK K
U PKK K K M
U PK K K K
U PK K
MKK K K
φ
φ
− − −⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦−⎢ ⎥⎣ ⎦
 (Ec. 10.17) 
1 2 33 2
. . . .; 12. ; 6. ; 4.A E E I E I E IK K K K
l l l l
= = = = 
 
Es importante recordar que las matrices de rigidez de las (Ec. 10.5), (Ec. 10.16) y (Ec. 
10.17) corresponden a la convención de signos de la Figura 10.2 referida al sentido positivo para 
los desplazamientos y los giros. Dicha convención también rige para las fuerzas y los momentos. 
 
Ejercicio: 
Se sugiere al lector deducir la matriz de rigidez en coordenadas locales para una barra de 
reticulado, luego llegar a la matriz de la (Ec.8.10) por un cambio de coordenadas. 
10.3- Matriz de rigidez de la estructura 
 
Para ensamblar la matriz del conjunto se utiliza el mismo procedimiento visto para el 
reticulado: 
 
 
CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS 
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PRATO, MASSA -10- 
 
 
 
Para la estructura de la Figura 10.9, después de introducir las condiciones de vínculo 
queda una matriz (3 x 3) pues existe un único nudo libre de desplazarse y girar: 
 
Figura 10.9 
1 2 2
1 2 2
2 2 3 3 2
0 0
0 .
b a a x
b a b y
a b b a
K K K U
K K K U P
K K K K Mφ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
+ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 (Ec. 10.18) 
En casos como el de la Figura 10.9 es posible hacer una hipótesis simplificativa que 
facilita notablemente los cálculos; despreciar la deformación axial de las barras. Esta hipótesis 
conduce a: 
2 20 ; 0
x yU U= = (Ec. 10.19) 
Se dice entonces que la estructura es a "nudos fijos". La (Ec. 10.18) se reduce a: 
( )3 3 2.a bK K Mφ+ = 
( )2 3 3a b
M
K K
φ =
+ (Ec. 10.20) 
Para calcular las fuerzas en los extremos de barras se utilizan las ecuaciones fuerza-
desplazamiento de cada barra (Ec. 10.17) para la barra vertical y (Ec. 10.15) para la horizontal. 
iiK
jjK
ijK
jiK
ii ij
ji jj
K K
K K
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS 
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PRATO, MASSA -11- 
 
2 1
1
3 1
2 2
2
23 2
0
00
02
. 0
00
a a
x
a
y
a a
a a
x
a
y
a a
K P
P
K M
K P
P
K Mφ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
2
2 2
3 2 2
3
2 3
3 3
0 0
0
.0 0
0
2 0
b
x
b b
y
b b
b
x
b b
y
b b
P
K P
K M
P
K P
K M
φ
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
Nótese que debido a la hipótesis de la (Ec. 10.19) no aparecen las fuerzas axiales. Sin 
embargo, la fuerza de corte HR en la barra vertical es provista como fuerza axial (tracción) en la 
barra horizontal. 
Similarmente la fuerza de corte VR en la barra horizontal es provista como fuerza axial 
(compresión) en la barra vertical. 
 
Figura 10.10 
Utilizando la (Ec. 10.20) puede expresarse: 
3
2
3 3
.
a
a
a b
KM M
K K
=
+
 ; 32
3 3
.
b
b
a b
KM M
K K
=
+
 (Ec. 10.21) 
Se puede constatar que por consideraciones estáticas las fuerzas de corte pueden 
calcularse en función de los momentos en los extremos según: 
VR P+
1
a
xP
1
aM
2
a H
xP R=
2
aM
VR P+
HR HR
2
bM 3
bM
2
b V
yP R=
3
b
yP
CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS 
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_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -12- 
 
2 3
2
b b
b V
y
b
M MP R
l
+
= = ; 1 22
a a
a H
x
a
M MP R
l
+
= = (Ec. 10.22) 
Este caso particular de "nudos fijos" será analizado nuevamente más adelante al presentar 
el método iterativo denominado como “Método de Cross” o “Método de distribución de 
Momentos”. 
Para estructuras de configuración más general no es posible (ni conveniente) eliminar los 
desplazamientos nodales como incógnitas. En el caso que se ilustra en la Figura 10.11, es posible 
aproximar la solución del problema suponiendo que el nudo 2 se desplaza horizontalmente al 
despreciar la deformación axial de la barra a. Debe tenerse presente que esta aproximación no es 
estrictamente necesaria, y que el problema se puede resolver en forma “exacta” con sólo incluir 
el desplazamiento vertical del nudo “2” como grado de libertad. 
 
Figura 10.11 
1
1 13 2 3
22 1 2
2 1 2 2
3 2 2 3 3 3
3
2 3 3
0 2 0 0
0 0
0 0 0
.
2 0 2
0 0 0 0
0 0 2 0
a a a
xa b a a b
b a b
a a b b a
b b
b b b
K K K
UK K K K K
K K K K
K K K K K K
K K
K K K
φ⎡ ⎤
⎢ ⎥+ −⎢ ⎥
⎢ ⎥+
⎢ ⎥
+⎢ ⎥
⎢ ⎥−
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
2 3 
2
2
3
3
0
0
0
0
0
y
x
P
U
U
φ
φ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 (Ec. 10.23) 
Se dice que el sistema es de "nudos desplazables" y para su resolución debe emplearse el 
sistema completo de ecuaciones correspondiente a los seis grados de libertad. 
10.4- Determinación de los esfuerzos 
 
El planteo de la matriz de rigidez del conjunto y la solución del sistema de ecuaciones de 
equilibrio constituyen la parte laboriosa desde el punto de vista computacional del método de 
rigidez. 
CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS 
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PRATO, MASSA -13- 
 
El cálculo de los esfuerzos se reduce a efectuar unas multiplicaciones y sumas utilizando 
las ecuaciones fuerza-desplazamiento de cada barra. 
Una vez calculados los desplazamientos nodales en el sistema global se pueden calcular 
las fuerzas en los extremos de una barra horizontal (coincide con el eje “x”) efectuando el 
producto indicado en (Ec. 10.5). 
 
Figura 10.12 
Si la barra es vertical (orientada en la dirección “y”) se aplica la (Ec. 10.17): 
 
Figura 10.13 
En ambos casos el trazado de los diagramas resulta muy simple porque las fuerzas en los 
extremos coinciden con los esfuerzos de corte y normal. 
En el caso de una barra que no es paralela a ninguno de los ejes del sistema de referencia 
global, se puede emplear la (Ec. 10.16) pero en este caso las fuerzasen los extremos no 
coinciden con los esfuerzos de corte y normal por lo que deben transformarse a coordenadas 
locales empleando la (Ec. 10.11). 
 
 
 
x
iP
y
iP
iM
jM
y
jP
x
jP
x
iP
y
iP
iM jM
y
jP
x
jP
CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS 
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PRATO, MASSA -14- 
 
 
 
Figura 10.14 
Una alternativa consiste en utilizar la matriz de rigidez en coordenadas locales efectuando 
el producto indicado en (Ec. 10.5), si previamente se expresan los desplazamientos en 
coordenadas locales de la barra a través de la (Ec. 10.12). 
 
Figura 10.15 
En la Figura 10.15 se puede apreciar que el trazado de los diagramas de esfuerzos, barra 
por barra, es trivial cuando se conocen las fuerzas de extremo de cada barra en su sistema local 
de coordenadas 
10.5- Cálculo de las reacciones de apoyo 
 
Cuando una única barra concurre a un apoyo, resulta evidente que las fuerzas del extremo 
de esa barra están provistas por el apoyo. Por lo tanto, en esos casos las reacciones de apoyo son 
simplemente las fuerzas que actúan sobre el extremo de la barra que concurren al nudo. 
iM
jM
lx
iP
lx
jP
ly
iP
ly
jP
x
iP
y
iP
iM
jM
y
jP
x
jP
jM
iMN
lx
ly
Q
Q
N
.TlP R P=
l
l
x
i
y
i
P N
P Q
=
=
CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS 
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PRATO, MASSA -15- 
 
En el caso de la Figura 10.9 las reacciones en el nudo 1 coinciden con las fuerzas en el 
extremo 1 de la barra (a) y las reacciones en el nudo 3 coinciden con las fuerzas en el extremo 3 
de la barra (b). 
En apoyos donde concurren dos o más barras, las reacciones deben obtenerse 
considerando el equilibrio del nudo. Para ello, debe cargarse el nudo del apoyo con las fuerzas de 
los extremos de las barras que concurren a él, pero cambiadas de signo. Esto es equivalente a 
decir que las reacciones de apoyo se obtienen sumando las fuerzas de los extremos de las barras 
que concurren al apoyo. 
Esta forma de operar se ilustra en las Figura 10.16 y Figura 10.17. 
 
Figura 10.16 
(1)
jM
(2)
iM
(1)
y
jP (2)
y
iP
2 (1) (2)
y y y
j iR P P= +
CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS 
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PRATO, MASSA -16- 
 
 
Figura 10.17 
 
Se encara ahora un tratamiento "formal" de las condiciones de vínculo y el cálculo de las 
reacciones de apoyo. El sistema global de ecuaciones de equilibrio de toda la estructura al cual 
todavía no se le introdujo las condiciones de vínculo, puede escribirse reacomodado 
(“particionado”) de la siguiente manera: 
11 12
21 22
.
0
K K U P
RK K
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
 (Ec. 10.24) 
:U Contiene todos los desplazamientos incógnitas. 
:R Son las reacciones de apoyo. En este momento se supondrá que todos los apoyos 
tienen desplazamiento nulo. El reacomodo (o partición) se logra simplemente cambiando de 
lugar las filas y columnas de esta manera que la (Ec. 10.24) da origen a: 
11 12 11. .0 .K U K P K U P+ = ⇒ = (Ec. 10.25) 
21 22 21. .0 .K U K R K U R+ = ⇒ = (Ec. 10.26) 
Primero se resuelve la (Ec. 10.25) y una vez conocidos los desplazamientos, se pueden 
calcular las reacciones de apoyo efectuando el producto indicado en la (Ec. 10.26). 
Nótese que las reacciones se obtienen a partir de los desplazamientos, empleando las 
ecuaciones que no se utilizaron para calcular los desplazamientos. 
 
y
jR
x
jR
CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS 
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PRATO, MASSA -17- 
 
Ejercicio Nº 1: 
Analizar el pórtico de la figura. 
 
1 2
2 2 6
1 2 2
4 4
1 2
200 400 5000
45,5 67,5 2,1 10
1534 3856
l cm l cm P Kg
KgA cm A cm E
cm
I cm I cm
= = =
= = = ×
= =
 ; ; 
 ; ; 
 ; 
 
Barra 1: 
Matriz de rigidez: 
2 2
1 33
. .477750 ; 6. 483210
. .12. 4832,1 ; 4. 64428000
A E E IK K
l l
E I E IK K
l l
= = = =
= = = =
 
 
 
1
1
2
4832,1 0 483210 4832,1 0 483210
0 477750 0 0 477750 0
483210 0 64428000 483210 0 32214000
4832,1 0 483210 4832,1 0 483210
0 477750 0 0 477750 0
− − −
−
−
−
−
−
 2 
483210 0 32214000 483210 0 64428000
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
 
Barra 2: 
Matriz de rigidez: 
2 2
1 33
. .354375 ; 6. 303660
. .12. 1518,3 ; 4. 80976000
A E E IK K
l l
E I E IK K
l l
= = = =
= = = =
 
 
 
CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -18- 
 
2 3
2
3
354375 0 0 354375 0 0
0 1518,3 303660 0 1518,3 303600
0 303660 80976000 0 303600 40488000
354375 0 0 354375 0 0
0 1518,3 303660 0 1518,3 303660
0
−
−
−
−
− − −
 
303660 40488000 0 303660 80976000
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
 
Matriz de rigidez general: 
1 2 3
1
2
3
/ / / / / / / / / / / / / / / / / /
/ / / / / / / / / / / / / / / / / /
/ / / / / / / / / / / / / / / / / /
/ / / / / / 359207,1 0 483210 354375 / / 0
/ / / / / / 0 479268,3 3036
−
 
1
1
1
2
2
2
3
3
3
0
0
0
60 0 / / 303660 .
/ / / / / / 483210 303660 145404000 0 / / 40488000
/ / / / / / 354375 0 0 354375 / / 0
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / 0
/ / / / / / 0 303660 40488000 0 / / 80976000
x
y
x
y
x
y
U
U
U
U
U
U
φ
φ
φ
⎡ ⎤=⎡ ⎤
⎢⎢ ⎥ =⎢⎢ ⎥
⎢⎢ ⎥ =
⎢⎢ ⎥
⎢⎢ ⎥
⎢⎢ ⎥
⎢⎢ ⎥
⎢⎢ ⎥
⎢⎢ ⎥− ⎢⎢ ⎥
⎢ =⎢ ⎥
⎢⎢ ⎥
⎢⎣ ⎦ ⎣
1
1
1
3
5000
0
0
0
0
x
y
y
R
R
M
R
⎡ ⎤
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥=⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣ ⎦
 
1
1
1
2
2
2
3
3
3
0
0
0
1,685866578
0,0020676302
0,006511978
1,685866578
0
0,0032478453
x
y
x
y
x
y
U
U
U
U
U
U
φ
φ
φ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
 
Cálculo de las fuerzas en los extremos de barra: 
Barra 1: 
1 2
1
2
/ / / / / / 4832,1 0 483210
/ / / / / / 0 477750 0
/ / / / / / 483210 0 32214000
/ / / / / / 4832,1 0 483210
/ / / / / / 0 477750 0
/ / / / / / 483210 0 64428000
− −⎡ ⎤
⎢ −⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
 
0 5000
0 987,81
0 604875
. 1,6851 5000
0,0020651 987,81
0,006503 395124
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
=⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -19- 
 
Barra 2: 
2 3
2
3
354375 0 0 354375 0 0
0 1518,3 303660 0 1518,3 303600
0 303660 80976000 0 303600 40488000
354375 0 0 354375 0 0
0 1518,3 303660 0 1518,3 303660
0
−
−
−
−
− − −
 
1,68510 0
0,002065 987,81
0,006503 395124
. 1,685106 0
0 987,81
303660 40488000 0 303660 80976000 0,0032488 0
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
 
Ejercicio Nº 2: 
Resolver por el método de los desplazamientos el pórtico de la figura. 
2 4 6
222,8 935 2,1 10 800
KgA cm I cm E P Kg
cm
= = = × = ; ; ; 
CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -20- 
 
 
Para disminuir el número de incógnitas se puede resolver el siguiente sistema: 
 
El desplazamiento del nudo 4 se obtiene superponiendo el desplazamiento y giro del 
extremo de una viga en voladizo al desplazamiento como cuerpo rígido del empotramiento. 
Matrices de rigidez: 
Barra 1: 
2 2
1 33
. .159600 ; 6. 130900
. .12. 872,66 ; 4. 26180000
A E E IK K
l l
E I E IK K
l l
= = = =
= = = =
 
 
 
1 2
1
2
159600 0 0 159600 0 0
0 872,66 130900 0 872,66 130900
0 130900 26180000 0 130900 13090000
159600 0 0 159600 0 0
0 872,66 130900 0 872,66 130900
0
−
−
−
−
− − −
 
130900 13090000 0 130900 26180000
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
 
 
150 120000M P= × =
300 150
200
CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -21- 
 
Barra 2: 
2 2
1 33
1 2
. .191520 ; 6. 188496
. .12. 1507,96 ; 4. 31416000
0,6 0,8
A E E IK K
l l
E I E IK K
l l
γ γ
= = = =
= = = =
= = −
 
 
 ; 
 
 
2 3
2
3
69912,3 91205,77 150796,8 69912,3 91205,77 150796,8
91205,77 123115,67 113097,6 91205,77 123115,67 113097,
− −
− −
 
6
150796,8 113097,6 31416000 150796,8 113097,6 15708000
69912,3 91205,77 150796,8 69912,3 91205,77 150796,8
91205,77 123115,67 113097,6 91205,77 123115,67 113097,6
150796,8 113097,6 15708000 150796,8 113097,6 3141
− −
− − − −
− − −
− − 6000
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
 
( )
2 2
1 2 1
1 2 1
2 2
2 2
2 1 1
1 2
. . 69912,3
. . 91205,78
. 150796,8
. . 123115,67
. 113097,6
A K K
B K K
C K
D K K
E K
γ γ
γ γ
γ
γ γ
γ
= + =
= − = −
= = −
= + =
= =
 
 
Sistema de ecuaciones de equilibrio: 
1
2
2
2
2
3
229512,3 91205,775 150796,8 150796,8 0
91205,775 123988,33 17802, 4 113097,6 800
.150796,8 17802, 4 57596000 15708000 120000
150796,8 113097,6 15708000 31416000 0
U
U
φ
φ
− ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
 
1
2
2
2
2
3
0,003391
0,01044
0,0024229
0,00126536
U
U
φ
φ
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
 
Cálculo de las fuerzas en los extremos de barras: 
Barra 1: 
2γ
1γ
CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -22- 
 
159600 0 0 159600 0 0 0
0 872,66 130900 0 872,66 130900 0
0 130900 26180000 0 130900 13090000 0
.159600 0 0 159600 0 0 0,0033
0 872,66 130900 0 872,66 130900 0,0104
0 130900 13090000 0 130900 26180000 0,0024
−⎡ ⎤ ⎡
⎢ ⎥ ⎢−⎢ ⎥
⎢ ⎥−
⎢ ⎥− −⎢ ⎥
⎢ ⎥− − − −
⎢ ⎥
− −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣
541,35
308,04
30348,3
541,35
308,04
62064,4
⎤ ⎡ ⎤
⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥−
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣ ⎦
 
Barra 2: 
Se utilizan los desplazamientos y la matriz de rigidez en coordenadas locales. 
3
1 2
3
2 1
0 0,6 0,8 0 0,0033 6,324 10
0 . 0,8 0,6 0 . 0,0104 8,9832 10
0 0 1 0 0 1 0,0024 0,0024229
x x
l
y y
l
l
U U
U U
γ γ
γ γ
φ φ
−
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = ⇒ − = − ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
3
3
191520 0 0 191520 0 0 6,324 10
0 1507,96 188496 0 1507,96 188496 8,983 10
0 188496 31416000 0 188496 15708000 0
.191520 0 0 191520 0 0
0 1507,96 188496 0 1507,96 188496
0 188496 15708000 0 188496 31416000
−
−
− ×⎡ ⎤
⎢ ⎥− − ×⎢ ⎥
⎢ ⎥− −
⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎢ ⎥− − −
⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
1211,24
231,74
57935,6,002423
1211, 240
231,740
00,00126536
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥−
⎢ ⎥ = ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
 
Diagramas de barras: 
 
CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
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PRATO, MASSA -23- 
 
Desplazamiento del nudo 4: 
 
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