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6 Sucesiones
158
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
 En esta unidad se introducen las sucesiones numéricas desde diversos puntos de vista. En ocasiones, como una serie de números que siguen un determinado patrón, en otras a través de figuras geométricas y a veces según una ley de formación que puede ser directa o de recurrencia. Se estudian dos casos particulares de sucesiones: las progresiones aritméticas y las geométricas. Para ambas obtendremos 
tanto su término general como la suma de una cantidad finita de términos consecutivos de ellas. La unidad finaliza con la sección avanza en 
la que se muestra cómo se aplican las progresiones geométricas al cálculo del interés compuesto.
La formación matemática enseña a sobrepasar la realidad concreta para traducirla a una nueva lengua depurada, más abstracta, que permite 
vislumbrar semejanzas entre situaciones aparentemente alejadas unas de otras. Esta aproximación de situaciones, aporta al individuo un enrique-
cimiento conceptual y racional. Ayuda a adquirir hábitos de razonamiento correctos. Esta unidad contribuye al descubrimiento de regularidades 
y patrones que se presentan en el arte, las ciencias naturales y en la vida cotidiana, de un modo geométrico y también aritmético o algebraico.
En la mayoría de las actividades propuestas el alumnado trabajará varias competencias al mismo tiempo. 
Comunicación lingüística (CL) 
A lo largo de la unidad será necesario representar, generalizar y formalizar patrones y regularidades numéricas, así como verbalizar los razona-
mientos que nos abocan a la construcción de la ley general que sigue una secuencia geométrica y/o numérica. De este modo se contribuye al 
progreso en el uso del lenguaje y el simbolismo necesario para apoyar y comunicar patrones y pautas comunes a situaciones diversas.
Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)
Esta competencia cobra realidad y sentido cuando los elementos y razonamientos matemáticos son utilizados para enfrentarse a aquellas 
situaciones cotidianas que los precisan. Por ello, su desarrollo se alcanzará en la medida en que los conocimientos matemáticos se apliquen de 
manera espontánea a situaciones, provenientes de otros campos de conocimiento y de la vida cotidiana. A lo largo de la unidad se presentan 
problemas sobre sucesiones cuyo contexto ha sido extraído de la realidad que nos rodea, de otras ciencias y del mundo empresarial.
Competencia digital (CD)
El uso de las nuevas tecnologías proporciona una alternativa que suaviza el paso del pensamiento numérico al pensamiento algebraico a través 
de una propuesta de aula que permita al alumnado, poner en práctica el conocimiento aritmético que posee a la vez que se familiariza con el 
leguaje algebraico. La utilización de GeoGebra también nos permite acompañar la deducción del resultado de la suma de infinitos términos 
de una progresión geométrica con una representación gráfica que permite visualizar el procedimiento.
Competencias sociales y cívicas (CSC)
En la sección avanza se estudian cómo se aplican las progresiones geométricas en la determinación de los intereses que genera un determi-
nado capital o que se incluyen en las cuotas de devolución de un préstamo. Esto contribuye a la adquisición de conocimientos que permiten 
comprender y analizar de manera crítica modelos que se presentan en la sociedad. 
Competencia aprender a aprender (CAA)
La unidad está planteada con una línea metodológica general que combina un enfoque heurístico con uno deductivo. Se formulan conjeturas 
(apoyándonos en el comportamiento de casos particulares), que se intentan refutar mediante contraejemplos concretos, que nos permitan 
rechazarlas o nos dan la clave para justificarlas y posteriormente demostrarlas. Este método favorece la adquisición de unos conceptos que se 
irán conformando paulatinamente, mediante ensayos, refutaciones y demostraciones.
Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)
Desde esta unidad se contribuye al desarrollo de habilidades para desenvolverse adecuadamente, con autonomía e iniciativa personal, en 
diversos ámbitos de la vida y para interpretar el mundo que nos rodea. Muestra de ello son las actividades de la sección Matemáticas vivas.
Competencia conciencia y expresiones culturales (CCEC)
El reconocimiento de la presencia de patrones o regularidades en esculturas, pinturas y construcciones arquitectónicas contribuye a apreciar y 
disfrutar de diversas manifestaciones artísticas desde una nueva óptica.
El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de 2 semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.
SUCESIONES6
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6Sucesiones
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Objetivos
Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:
❚❚ Descubrir pautas y regularidades en las sucesiones numéricas.
❚❚ Obtener e interpretar los términos generales de una sucesión.
❚❚ Reconocer si una sucesión es una progresión aritmética o geométrica.
❚❚ Aplicar las fórmulas del término general de las progresiones aritméticas y geométricas y la suma de los n primeros términos de la progresión. 
❚❚ Elaborar estrategias propias en la resolución de problemas relacionados con sucesiones y progresiones numéricas.
❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando sucesiones.
Atención a la diversidad
Para atender las diversas necesidades que presenta el grupo el docente podrá diseñar una organización flexible de los contenidos de la unidad 
con la inclusión de actividades de refuerzo y de ampliación con distintos niveles de dificultad.
Material complementario
En el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de 
problemas mediante sucesiones. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimien-
tos estudiados sobre las sucesiones, y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.
Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar los problemas de sucesiones pueden acceder a las lecciones 1349, 1165 y 1173 
de la web www.mismates.es.
P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D
Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables
Relación de 
actividades del 
libro del alumno
Competencias 
clave
Sucesiones 1. Encontrar regularidades en secuencias 
numéricas y geométricas. 
 
2. Obtener e interpretar en el contexto de 
la resolución de problemas los términos 
generales representativos de una sucesión.
1.1. Obtiene términos de una sucesión conocido 
su término general o su ley de recurrencia.
1.2. Encuentra el término general de sucesiones 
de las que se conocen los primeros términos.
2.1. Emplea las sucesiones para describir 
patrones numéricos y geométricos, así como para 
la resolución de problemas.
1, 3, 5, 7 
66-69, 76 
2, 4, 6 
70, 71
8, 9 
39, 72-75
Matemáticas vivas 1
CL
CMCT
CSC
CAA
CSIEE
CCEC
Progresiones 
aritméticas
3. Calcular el término general o un término 
determinado de una progresión aritmética. 
 
 
4. Reconocer las progresiones aritméticas 
tomando conciencia de las situaciones 
problemáticas a las que se pueden aplicar.
3.1. Identifica aquellas sucesiones que son 
progresiones aritméticas y calcula su diferencia y 
su término general.
3.2. Interpola aritméticamente n términos entre 
dos números dados.
4.1. Reconoce la presencia de las progresiones 
aritméticas en contextos reales y se sirve de ellas 
para la resolución de problemas.
10-12, 14, 15
17-21, 24, 25
77-80, 82, 84-87
22, 23, 83 
13, 16, 81
Matemáticas vivas 
2, 3 
CM1, CM2
CL
CMCT
CD
CSC
CAA
CSIEE
Suma de una 
progresión 
aritmética
5. Calcular la suma de los primeros términos 
de una progresión aritmética.
5.1. Aplica la fórmula de la suma de los n 
primeros términos de una progresión aritmética.
5.2 Resuelve problemas en los que interviene 
la suma de los nprimeros términos de una 
progresión aritmética.
26-36 
88-90 
37, 38 
91-95 
CL
CMCT
CSC
CAA
CSIEE
Progresiones 
geométricas
6. Calcular el término general de una 
progresión geométrica conocidos dos de sus 
términos. 
 
 
7. Reconocer las progresiones geométricas 
tomando conciencia de las situaciones 
problemáticas a las que se pueden aplicar.
6.1. Identifica aquellas sucesiones que son 
progresiones geométricas, y calcula su razón y su 
término general. 
6.2. Interpola geométricamente n términos entre 
dos números dados.
7.1 Reconoce la presencia de las progresiones 
geométricas en contextos reales y se sirve de 
ellas para la resolución de problemas.
40-42, 45, 46 
50-53, 96-99 
102, 103, 105 
107, 108, 116
54-56, 106 
43, 44, 47-49
57, 104 
Trabajo cooperativo
CL
CMCT
CD
CSC
CAA
CSIEE
Suma de una 
progresión 
geométrica
8. Calcular la suma de los primeros términos 
de una progresión geométrica y de todos 
cuando el valor absoluto de la razón es 
menor que uno.
8.1. Deduce y aplica la fórmula de la suma 
de los n primeros términos de una progresión 
geométrica y de todos cuando es posible.
8.2 Resuelve problemas en los que interviene 
la suma de los n primeros términos de una 
progresión geométrica y de todos si es posible.
58-62, 64 
100, 101
109-114 
63, 65, 115
CL
CMCT
CD
CSC
CAA
CSIEE
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD
2. Progresiones aritméticas
4. Progresiones geométricas
¿Qué tienes que saber?
 • Sucesiones
 • Progresiones aritméticas
 • Progresiones geométricas
Matemáticas vivas
Logística
 • Estudio del suministro de agua y 
contratos utilizando sucesiones
Avanza
Interés compuesto
Cálculo mental
Estrategia para sumar los cubos de 
los primeros números naturales
PARA EL PROFESOR
MATERIAL COMPLEMENTARIO
PARA EL ALUMNO
Actividades de Refuerzo
Actividades de Ampliación
Propuesta de Evaluación A
Propuesta de Evaluación B
Presentación de la unidad
Ideas previas
Repasa lo que sabes
Matemáticas en el día a día
Contenido WEB. Johann Carl Friedrich 
Gauss
1. Sucesiones
Vídeo. Progresiones aritméticas
Vídeo. Progresiones geométricas
GeoGebra. Suma de una progresión 
geométrica
3. Suma de una progresión 
aritmética
5. Suma de una progresión 
geométrica
Actividades finales Actividades interactivas
MisMates.es
Lecciones 1349, 1165 y 1173 
de la web www.mismates.es
Practica+
Comprende y resuelve 
problemas
6 Sucesiones
Trabajo cooperativo
Tarea cuya estrategia es Uno para todos 
de Pere Pujolàs
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
160
161
6Sucesiones
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sugerencias didácticas
Las sucesiones de números reales están presentes no sólo 
en la matemática, sino en todas las ciencias aplicadas. Es 
motivador para quienes las estudian por primera vez cono-
cer cómo participan de nuestro día a día: en el cálculo de los 
intereses que nos piden los bancos por sus préstamos, en la 
determinación de las tasas de crecimiento de poblaciones 
animales o en el cálculo de la distribución de las hojas de 
ciertas plantas. Entre ellas desempeñan un papel relevante 
las progresiones aritméticas y las geométricas, a cuyo estu-
dio se dedica, esencialmente, esta unidad. Todo lo anterior 
se explica fácilmente. Sin embargo no es tan sencillo, y por 
ello requiere especial cuidado, introducir, aunque sea in-
formalmente, la noción de recurrencia. Para ello, resulta 
de gran utilidad presentar muchos ejemplos, en los que se 
muestren leyes de recurrencia que involucren dos o más 
términos de la sucesión.
Contenido WEB. JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS
En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recur-
so TIC para complementar la página de inicio con información 
relativa a la unidad. En este caso se dedica a la figura de Gauss 
aportando algunos datos biográficos sobre él y su obra. Puede 
utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar 
la unidad o como ampliación para aquellos alumnos que mues-
tren un interés especial.
99
6 SUCESIONES
Las ramas de ciertas especies de árboles y las hojas de algunas 
plantas se disponen de forma natural siguiendo un patrón 
en espiral que permite que su exposición a la luz solar sea 
máxima. De este modo realizan la fotosíntesis de una forma 
más eficaz. La cantidad de ramas o de hojas en cada etapa de 
la espiral viene dada por una colección de números:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…
Esta sucesión de números recibe el nombre de sucesión de 
Fibonacci, ya que fue este matemático italiano el que descubrió 
la presencia en la naturaleza de este fenómeno. Se trata de un 
conjunto de números generado por un patrón determinado: 
cada valor es la suma de los dos anteriores.
Las ramas de ciertas especies de árboles y las hojas de algunas 
plantas se disponen de forma natural siguiendo un patrón 
en espiral que permite que su exposición a la luz solar sea 
máxima. De este modo realizan la fotosíntesis de una forma 
más eficaz. La cantidad de ramas o de hojas en cada etapa de 
la espiral viene dada por una colección de números:
Esta sucesión de números recibe el nombre de sucesión de 
Fibonacci, ya que fue este matemático italiano el que descubrió 
la presencia en la naturaleza de este fenómeno. Se trata de un 
conjunto de números generado por un patrón determinado: 
cada valor es la suma de los dos anteriores.
IDEAS PREVIAS
 ❚ Propiedades de
 las 
potencias.
 ❚ Operaciones co
n 
polinomios.
 ❚ Valor numérico 
de una 
expresión algebra
ica.
 ❚ Resolución de e
cuaciones 
y sistemas de 
ecuaciones.
REPASA LO QUE SABES
Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), matemático, 
astrónomo y físico alemán, considerado el príncipe de 
los matemáticos, es una de las figuras más importantes 
de la historia de la ciencia. Afirmaba que las matemáticas 
son la reina de las ciencias, y la aritmética, la reina de las 
matemáticas.
Matemáticas en el día a día ][
1. Calcula las potencias.
a) −3( )
2
 3−2 −3( )
−2
b) −
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
4
 −
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−4
 
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−4
2. ¿Cuál es el valor numérico para x = 3 de estas expresiones?
a) x2 − 4x + 2 b) 
x
x + 1
 c) 
x2 + 3
x −5
3. Resuelve:
a) 14 = 5 + 3x b) 4x2 − 4x + 1 = 0 c) x + 3y = 9
x + 5y = 13
⎫
⎬
⎪⎪
⎭⎪⎪
mac3e19
Repasa lo que sabes
Soluciones de las actividades
1. Calcula las potencias.
a) −3( )
2
 3−2 −3( )
−2
b) −
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
4
 −
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−4
 
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−4
a) 9 
1
9
 
1
9
b) 
1
16
 16 16
2. ¿Cuál es el valor numérico para x = 3 de estas expresiones?
a) x2 − 4x + 2 b) 
x
x + 1
 c) 
x2 + 3
x −5
a) −1 b) 
3
4
 b) −6 
3. Resuelve:
a) 14 = 5 + 3x b) 4x2 − 4x + 1 = 0 c) 
x + 3 y = 9
x + 5 y = 13
⎫
⎬
⎪⎪
⎭⎪⎪
a) x = 3 b) x =
1
2
 c) x = 3, y = 2 
6 Sucesiones
162
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
1. Sucesiones
101
6Actividades6 Sucesiones
100
Escribe los nueve primeros términos de estas sucesiones y halla su término general.
a) 2, 4, 6, 8,… c) 1, −1, 1, −1,…
b) 1, 4, 9, 16,… d) 1, 8, 27, 64,…
Los tres primeros términos de una sucesión son: 
1
3
,
2
4
,
3
5
a) Halla los términos cuarto, quinto y sexto.
b) Calcula el término 50 de esta sucesión.
c) ¿Cuál es su término general?
Copia en tu cuaderno las siguientes sucesiones y completa los términos que faltan.
a) 2, 3, 5, §, 11, §, 17, 19, §,… b) 2, 5, 10, §, 26, 37, §, 65, §,…
Encuentra el término general de estas sucesiones.
a) 1; 0,1; 0,01; 0,001;… b) 1, −2, 4, −8,…
Escribe los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones.
a) an = 3n + 5 c) an = 3n
2 − 2
b) an = n
2 − n d) an = 2
n − 1
¿Son iguales todos los términos de las sucesiones cuyos términos generales son 
an = −2( )
n
 y bn = −2
n? Razona tu respuesta.
Escribe los cinco primeros términos de estas sucesiones recurrentes.
a) a1 = 1, a2= 1, an = 2an−1 − an−2 d) a1 = 3, a2 = 2, an = an−1 ⋅ an−2
b) a1 = 1, a2 = 1, an =
an−1 + an−2
2
 e) a1 = 1, a2 = 2, an =
an−1
2an−2
c) a1 = 0, an = 2
an−1 f) a1 = 2, an = an−1( )
2
1
2
3
4
5
6
7
Determina si existe algún término en la sucesión que tiene por término general 
an = n
2 − 11n + 30 que valga 6. ¿Hay más de uno?
8
1. SUCESIONES
Almudena ha colocado unas piedras formando montones y, al contarlas, ha obtenido 
los primeros números triangulares. ¿Cuál es el siguiente?
Nos fijamos en el número de piedras de cada montón:
1
1
2
1 + 2 = 3
3
3 + 3 = 6
 4
6 + 4 = 10
5
10 + 5 = 15
6
15 + 6 = 21
Deducimos que el siguiente, el que ocupa el séptimo lugar, es: 21 + 7 = 28
Así, podemos continuar calculando la sucesión de los números triangulares:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,…
Una sucesión es un conjunto ordenado de números reales. Cada uno de sus 
elementos se llama término y se escribe:
a1, a2, a3, a4,…, an,…
a1 es el primer término, a2 es el segundo término, y así sucesivamente.
Si queremos calcular el término 50, no resulta práctico el proceso anterior, pero 
podemos fijarnos en otra relación existente entre los términos y su posición:
a1 a2 a3 a4 a5 a6
1⋅2
2
= 1
2 ⋅3
2
= 3
3 ⋅ 4
2
= 6
4 ⋅5
2
= 10
5 ⋅6
2
= 15
6 ⋅7
2
= 21
Para obtener un término cualquiera, deducimos que: an =
n ⋅ (n + 1)
2
Entonces: a50 =
50 ⋅ (50 + 1)
2
= 1275
El término general, an, de una sucesión es la expresión algebraica que 
corresponde a un término cualquiera de la misma y que permite calcularlo a 
partir del lugar que ocupa.
Hay sucesiones para las que no es posible encontrar un término general, por ejemplo 
la sucesión de los números primos.
La sucesión de Fibonacci no tiene una expresión sencilla para su término general, 
pero podemos obtener cada término a partir de los anteriores. Decimos que es una 
sucesión recurrente.
a1 a2 a3 a4 a5 a6
1 1 2 = 1 + 1
a3 = a1 + a2 
3 = 1 + 2
a4 = a2 + a3 
5 = 2 + 3
a5 = a3 + a4 
8 = 3 + 5
a6 = a4 + a5 
Para obtener un término cualquiera: a1 = 1, a2 = 1, an = an−2 + an−1
Una ley de recurrencia es una expresión algebraica que relaciona cada término 
de una sucesión recurrente con los anteriores y permite calcularlo.
Presta atención
a1 se lee a sub-uno, 
a2, a sub-dos…, 
y an se lee a sub-ene.
El subíndice de cada término 
indica su lugar en la sucesión.
DESAFÍO
En la figura aparecen los primeros términos de la sucesión 
de los números pentagonales. 
a) Halla el valor del cuarto término.
b) Calcula el término general de la sucesión. 
Para ello, ten en cuenta que el número pentagonal enésimo 
es la suma del número triangular enésimo y el doble del 
número triangular anterior.
9
 } ¿Cuáles son los términos que valen 9 en la sucesión cuyo término general es 
an = n
2 − n + 3?
Solución
Debemos averiguar para qué números naturales, n, se cumple que:
n2 − n + 3 = 9 → n2 − n − 6 = 0
Resolvemos la ecuación de segundo grado: n =
1± 1+ 24
2
→
n1 = 3
n2 = −2
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
Como n2 no es un número natural, la única solución válida es n1: a3 = 9
EJERCICIO RESUELTO
Aprenderás a…
 ● Identificar una sucesión y 
expresarla algebraicamente, 
cuando sea posible, mediante 
su término general o por una 
ley de recurrencia.
 ● Obtener un término 
cualquiera de una sucesión, 
conocido su término general.
 ● Hallar un término cualquiera 
de una sucesión, conocidos 
los primeros y su ley de 
recurrencia.
Soluciones de las actividades
1 Escribe los nueve primeros términos de estas sucesiones y halla su término general.
a) 2, 4, 6, 8,… c) 1, −1, 1, −1,…
b) 1, 4, 9, 16,… d) 1, 8, 27, 64,…
a) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. El término general es: an = 2n
b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81. El término general es: an = n
2
c) 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1. El término general es: an = −1( )
n+1
d) 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729. El término general es: an = n
3
2 Los tres primeros términos de una sucesión son: 
1
3
,
2
4
,
3
5
a) Halla los términos cuarto, quinto y sexto.
b) Calcula el término 50 de esta sucesión.
c) ¿Cuál es su término general?
a) 
4
6
,
5
7
,
6
8
=
3
4
 b) 
50
52
=
25
26
 c) an =
n
n + 2
Sugerencias didácticas
En cursos previos los alumnos han realizado ejercicios con-
sistentes en completar series de números. Así que, se pue-
den introducir las definiciones formales de sucesión o tér-
mino general empezando por alguna sencilla como: 1, 3, 
5, 7,…, después alguna más complicada: 1, 4, 7, 10,…, y 
luego se puede pasar a otras: 2, 5, 10, 17, 26,…
La necesidad de encontrar el término general se pone de 
manifiesto en cuanto se empieza a trabajar con las sucesio-
nes y se quiere calcular el término 50.
Es conveniente indicar que no todas las sucesiones tienen 
un término general sencillo y que algunas no cuentan con 
él.
163
6Sucesiones
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
3 Copia en tu cuaderno las siguientes sucesiones y completa los términos que faltan.
a) 2, 3, 5, §, 11, §, 17, 19, §,… b) 2, 5, 10, §, 26, 37, §, 65, §,…
a) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,… b) 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82,…
4 Encuentra el término general de estas sucesiones.
a) 1; 0,1; 0,01; 0,001;… b) 1, −2, 4, −8,…
a) an = 10
1 − n b) an = −2( )
n−1
5 Escribe los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones.
a) an = 3n + 5 c) an = 3n
2 − 2
b) an = n
2 − n d) an = 2
n − 1
a) 8, 11, 14, 17, 20 c) 1, 10, 25, 46, 73
b) 0, 2, 6, 12, 20 d) 1, 3, 7, 15, 31
6 ¿Son iguales todos los términos de las sucesiones cuyos términos generales son an = −2( )
n
 y bn = −2
n? Razona tu res-
puesta.
No, porque los términos de la primera tienen signos distintos según se trate de un término par o impar, pero los de la 
segunda son todos negativos.
7 Escribe los cinco primeros términos de estas sucesiones recurrentes.
a) a1 = 1, a2 = 1, an = 2an − 1 − an − 2 d) a1 = 3, a2 = 2, an = an − 1 ⋅ an − 2
b) a1 = 1, a2 = 1, an =
an−1 + an−2
2
 e) a1 = 1, a2 = 2, an =
an−1
2an−2
c) a1 = 0, an = 2
an−1 f) a1 = 2, an = an−1( )
2
a) 1, 1, 1, 1, 1 d) 3, 2, 6, 12, 72
b) 1, 1, 1, 1, 1 e) 1, 2, 1, 
1
4
,
1
8
c) 0, 1, 2, 4, 16 f) 2, 4, 16, 256, 65 536
8 Determina si existe algún término en la sucesión que tiene por término general an = n
2 − 11n + 30 que valga 6. ¿Hay más 
de uno?
n2 − 11n + 30 = 6 → n2 − 11n + 24 = 0 → n =
11± 5
2
→
n1 = 8
n2 = 3
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
Hay dos términos que valen 6, el tercero y el octavo.
Desafío
9 En la figura aparecen los primeros términos de la sucesión de los núme-
ros pentagonales. 
a) Halla el valor del cuarto término.
b) Calcula el término general de la sucesión. 
 Para ello, ten en cuenta que el número pentagonal enésimo es la suma 
del número triangular enésimo y el doble del número triangular ante-
rior.
a) 22
b) pn = tn + 2tn−1 =
n ⋅ (n + 1)
2
+ 2
(n−1) ⋅ n
2
=
n2 + n + 2n2 − 2n
2
=
3n2 − n
2
6 Sucesiones
164
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
2. Progresiones aritméticas
103
6Actividades6 Sucesiones
102
 } Si el quinto término de una progresión 
aritmética es 10, y el décimo vale 45, ¿cuál es 
el término que ocupa la posición 50?
Solución
Para hallar a50 vamos a calcular la diferencia de la 
progresión y a1.
EJERCICIO RESUELTO
Indica si las siguientes sucesiones son progresiones 
aritméticas y, en caso afirmativo, halla la diferencia y 
calcula el término general.
a) 2, 7, 12, 17, 22,… d) 12, 9, 6, 3, 0,…
b) 1, 2, 4, 8, 16,… e) 4, −1, −6, −11, −16,…
c) 1,
5
3
,
7
3
, 3,
11
3
,… f) 1,
1
2
,
3
2
, 2,
7
2
,…
Escribe los diez primeros términos de las sucesiones 
que se indican y, si son progresiones aritméticas, 
determina su término general.
a) Los números naturales.
b) Los números enteros mayores que 4.
c) Los números pares positivos.
d) Las potencias de 3 a partir del 1.
e) Los múltiplos positivos de 5.
Calcula el término general de la progresión aritmética 
que tiene por diferencia d = 3 y cuyo primer términovale 5. Halla a15.
El primer piso de un edificio se encuentra a 8,2 m de 
altura, y la distancia entre dos pisos consecutivos es 
de 3,6 m. ¿A qué altura está el décimo piso?
Halla el término a30 de la progresión aritmética cuyos 
dos primeros términos son 1 y 6.
Calcula la diferencia de una progresión aritmética si 
su primer término es 3 y el quinto vale 19. Determina 
el término general.
Fernando se propone 
entrenar todos los días 
para una carrera solidaria 
que se celebrará el 18 de 
septiembre. Si el día 1 de 
dicho mes corrió durante 
12 min y cada día entrena 
2 min más que el anterior, 
¿cuánto tiempo entrenará 
el día previo a la carrera? 
Halla el primer término y el término general de una 
progresión aritmética cuya diferencia es 5 si su octavo 
término es 47.
10
11
12
13
14
15
16
17
¿Cuál es la diferencia de una progresión aritmética 
sabiendo que el cuarto término es 21 y el undécimo 
vale 56?
Calcula el término general de una progresión 
aritmética si el segundo término es 18 y el séptimo 
vale −12.
¿Qué lugar ocupa un término que vale −33 en una 
progresión aritmética cuyo primer término es −3 si 
su diferencia es −5?
Averigua cuál es el término a11 de una progresión 
aritmética si los términos cuarto y séptimo se 
diferencian en 18 unidades y a1 = 4.
18
19
20
21
2. PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Pedro está construyendo una escalera 
sencilla de madera.
Ha situado el primer peldaño a 22 cm de los 
extremos que se apoyan en el suelo.
Si coloca cada uno de los siguientes 
peldaños a 20 cm del anterior, ¿cuánto 
medirá la escalera cuando termine de poner 
5 peldaños?
Podemos expresar la longitud de la escalera, 
según el número de peldaños colocados, 
con los términos de una sucesión:
a1 = 22
a2 = 22 + 20 = 42 a4 = 62 + 20 = 82
 a3 = 42 + 20 = 62 a5 = 82 + 20 = 102
La escalera medirá 102 cm, es decir, 1,02 m. Este es el valor del quinto término de 
la sucesión que forman estos números. Observa que cada uno se obtiene sumando 
20 al anterior, se trata de una progresión aritmética.
Una vez que Pedro ha terminado, la escalera mide 2,62 m. ¿Cuántos peldaños tiene?
Debemos averiguar cuál es el término de la progresión que vale 262. Para ello, 
observamos la relación existente entre los términos:
a1 a1 a1 = 22
a2 = a1 + d a2 = a1 + d a2 = 22 + 1 ⋅ 20 = 42
a3 = a2 + d a3 = a1 + d + d = a1 + 2d a3 = 22 + 2 ⋅ 20 = 62
a4 = a3 + d a4 = a1 + 2d + d = a1 + 3d a4 = 22 + 3 ⋅ 20 = 82
a5 = a4 + d a5 = a1 + 3d + d = a1 + 4d a5 = 22 + 4 ⋅ 20 = 102
Así, para calcular un término cualquiera podemos utilizar la expresión:
an = a1 + (n − 1)d
Así: 262 = 22 + (n − 1) ⋅ 20 → 240 = (n − 1) ⋅ 20 → 12 = n − 1 → n = 13
Luego, la escalera tiene 13 peldaños.
Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término, excepto 
el primero, se obtiene sumándole al anterior un mismo número, llamado 
diferencia, d.
El término general de las progresiones aritméticas es: an = a1 + (n − 1)d
Decimos que n números 
están en progresión 
aritmética si son términos 
consecutivos de una 
progresión aritmética.
Lenguaje matemático
Aprenderás a…
 ● Reconocer una progresión 
aritmética e identificar su 
diferencia.
 ● Calcular el término general 
de una progresión aritmética.
 ● Interpolar términos 
aritméticos.
Presta atención
Una progresión aritmética es una 
sucesión recurrente, porque: 
an = an−1 + d
DESAFÍO
¿Cuántos cuadrados azules y cuántos naranjas 
tiene el término a75 de la sucesión de la figura?
25
 } Interpola cuatro términos aritméticos entre los 
números −1 y 9.
Solución
Interpolar aritméticamente cuatro términos entre los 
números −1 y 9 equivale a hallar los términos a2, a3, a4 
y a5 de una progresión aritmética, sabiendo que:
a1 = −1 y a6 = 9
Como a6 = a1 + 5d:
 9 = −1 + 5d → 5d = 10 → d = 2
Entonces: a2 = −1 + 2 = 1
 a3 = 1 + 2 = 3
 a4 = 3 + 2 = 5
 a5 = 5 + 2 = 7
EJERCICIO RESUELTO
Interpola cuatro términos aritméticos entre:
a) 5 y 25 c) −2 y 28
b) −40 y −60 d) −
3
2
 y 
7
2
Interpola cinco términos aritméticos entre:
a) 5 y 31 5 b) 
2
3
2 y 
7
3
2
¿Cuánto miden los lados de un triángulo rectángulo 
si sus longitudes están en progresión aritmética con 
diferencia 3 cm?
22
23
24
mac3e20
Soluciones de las actividades
10 Indica si las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas y, en caso afirmativo, halla la diferencia y calcula el término 
general.
a) 2, 7, 12, 17, 22,… c) 1,
5
3
,
7
3
, 3,
11
3
,... e) 4, −1, −6, −11, −16,…
b) 1, 2, 4, 8, 16,… d) 12, 9, 6, 3, 0,… f) 1,
1
2
,
3
2
, 2,
7
2
,...
a) Es una progresión aritmética: d = 5 y an = 2 + 5(n − 1) = 5n − 3 
b) No es una progresión aritmética.
c) Es una progresión aritmética: d = 
2
3
 y an = 1+
2
3
⋅ (n−1) =
2n + 1
3
d) Es una progresión aritmética: d = −3 y an = 12 − 3(n − 1) = −3n + 15 
e) Es una progresión aritmética: d = −5 y an = 4 − 5(n − 1) = −5n + 9 
f) No es una progresión aritmética.
Sugerencias didácticas
Las progresiones aritméticas son un tipo sencillo de suce-
siones que aparecen cuando los términos se relacionan por 
una diferencia constante. Esta propiedad de las progresio-
nes nos permite obtener una expresión de su término ge-
neral de forma sencilla.
Además de poder calcular cualquier término de la sucesión, 
la expresión del término general de una progresión aritmé-
tica también nos permite interpolar n términos aritméticos 
entre dos dados.
Vídeo. PROGRESIONES ARITMÉTICAS
En el vídeo se resuelve, paso a paso, el ejercicio en el que se bus-
ca el término que ocupa una posición determinada mediante la 
resolución de un sistema de ecuaciones lineales.
Pueden reproducirse en clase como apoyo a la explicación del 
procedimiento a seguir para resolver este tipo de ejercicios o 
como recurso para que los alumnos lo repasen.
165
6Sucesiones
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
11 Escribe los diez primeros términos de las sucesiones que se indican y, si son progresiones aritméticas, determina su térmi-
no general.
a) Los números naturales.
b) Los números enteros mayores que 4.
c) Los números pares positivos.
d) Las potencias de 3 a partir del 1.
e) Los múltiplos positivos de 5.
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Es una progresión aritmética: an = n 
b) 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Es una progresión aritmética: an = n + 4 
c) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Es una progresión aritmética: an = 2n 
d) 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2 187, 6 561, 19 683. No es progresión aritmética.
e) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50. Es una progresión aritmética: an = 5n
12 Calcula el término general de la progresión aritmética que tiene por diferencia d = 3 y cuyo primer término vale 5. Halla 
a15.
an = 5 + 3(n − 1) = 3n + 2 
a15 = 47
13 El primer piso de un edificio se encuentra a 8,2 m de altura, y la distancia entre dos pisos consecutivos es de 3,6 m. ¿A 
qué altura está el décimo piso?
an = 8,2 + 3,6(n − 1) = 3,6n + 4,6 → a10 = 40,6 m
14 Halla el término a30 de la progresión aritmética cuyos dos primeros términos son 1 y 6.
d = 6 − 1 = 5 → a30 = 1 + 29 ⋅ 5 = 146
15 Calcula la diferencia de una progresión aritmética si su primer término es 3 y el quinto vale 19. Determina el término 
general.
19 = 3 + 4d → d = 4 
an = 3 + 4(n − 1) = 4n − 1 
16 Fernando se propone entrenar todos los días para una carrera solidaria que se celebrará el 18 de septiembre. Si el día 1 
de dicho mes corrió durante 12 min y cada día entrena 2 min más que el anterior, ¿cuánto tiempo entrenará el día previo 
a la carrera?
a17 = 12 + 16 ⋅ 2 = 44 min 
17 Halla el primer término y el término general de una progresión aritmética cuya diferencia es 5 si su octavo término es 47.
47 = a1 + 7 ⋅ 5 → a1 = 12 
an = 12 + 5(n − 1) = 5n + 7 
18 ¿Cuál es la diferencia de una progresión aritmética sabiendo que el cuarto término es 21 y el undécimo vale 56?
a1 + 13d = 21
a1 + 10d = 56
⎫
⎬
⎪⎪
⎭⎪⎪
→ 7d = 35 → d = 5
19 Calcula el término general de una progresión aritmética si el segundo término es 18 y el séptimovale −12.
a1 + 6d = 18
a1 + 6d = −12
⎫
⎬
⎪⎪
⎭⎪⎪
→ 5d = −30 → d = −6 → a1 − 6 = 18 → a1 = 24 → an = 24− 6(n−1) = −6n + 30
20 ¿Qué lugar ocupa un término que vale −33 en una progresión aritmética cuyo primer término es −3 si su diferencia es 
−5?
−33 = −3 − 5(n − 1) → −30 = − 5(n − 1) → 6 = n − 1 → n = 7 
El término −33 ocupa el séptimo lugar.
6 Sucesiones
166
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
21 Averigua cuál es el término a11 de una progresión aritmética si los términos cuarto y séptimo se diferencian en 18 unidades 
y a1 = 4.
a4 = a1 + 3d
a7 = a1 + 6d
⎫
⎬
⎪⎪
⎭⎪⎪
→ a7 − a4 = 3d = 18 → d = 6
a11 = 4 + 10 ⋅ 6 = 64 
22 Interpola cuatro términos aritméticos entre:
a) 5 y 25 b) −40 y −60 c) −2 y 28 d) 
3
2
 y 
7
2
a) 25 = 5 + 5d → d = 4 → 5, 9, 13, 17, 21, 25
b) −60 = −40 + 5d → d = −4 → −40, −44, −48, −52, −56, −60
c) 28 = −2 + 5d → d = 6 → −2, 4, 10, 16, 22, 28
d) 
7
2
=
3
2
+ 5d → d =
2
5
→
3
2
,
19
10
,
23
10
,
27
10
,
31
10
,
7
2
23 Interpola cinco términos aritméticos entre:
a) 5 y 31 5 b) 
2
3
2 y 
7
3
2
a) 31 5 = 5 + 6d → d = 5 5 → 5 ,6 5 ,11 5 ,16 5 ,21 5 ,26 5 ,31 5
b) 
7
3
2 =
2
3
2 + 6d → d =
5
18
2 →
2
3
2,
17
18
2,
11
9
2,
3
2
2,
16
9
2,
37
18
2,
7
3
2
24 ¿Cuánto miden los lados de un triángulo rectángulo si sus longitudes están en progresión aritmética con diferencia 3 cm?
Sean a la longitud del cateto menor, a + 3 la del cateto mayor y, a + 6 la de la hipotenusa.
Aplicando el teorema de Pitágoras: (a + 6)2 = a2 + (a + 3)2 → a2 + 12a + 36 = 2a2 + 6a + 9 → a2 − 6a − 27 = 0
Esta ecuación tiene dos soluciones: 9 y − 3, pero como las longitudes de los lados han de ser números positivos, la única 
válida es: a = 9
Así, los lados del triángulo miden 9 cm, 12 cm y 15 cm.
Desafío
25 ¿Cuántos cuadrados azules y cuántos naranjas tiene el término a75 de la sucesión de la figura?
 
La sucesión xn de cuadrados naranjas la de los cuadrados de los números naturales: x1 = 1, x2 = 4, x3 = 9
Por tanto: xn = n
2 → x75 = 75
2 = 5 625 cuadrados
Para determinar el término general de la sucesión de los cuadrados azules restamos el de los cuadrados naranjas al núme-
ro total de cuadrados: yn = (n + 2)
2 − xn = (n + 2)
2 − n2 = 4n + 4 
Entonces: y75 = 4 ⋅ 75 + 4 = 304 cuadrados
167
6Sucesiones
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
3. Suma de una progresión aritmética
105
6Actividades6 Sucesiones
104
Halla la suma de los 20 primeros términos de estas progresiones aritméticas:
a) 3, 9, 15, 21, 27,… c) 1,25; 1,75; 2,25; 2,75; 3,25…
b) 8, 5, 2, −1, −4,… d) −13, −17, −21, −25, −29,…
Calcula la suma de los 12 primeros términos de una progresión aritmética que 
tiene por diferencia 6 si su primer término es 3.
En la progresión aritmética de diferencia 3 y a1 = 4, ¿cuántos términos consecutivos, 
partiendo desde a1, son necesarios para que su suma valga 209?
¿Cuál es la diferencia de una progresión aritmética cuyo primer término es 9 si la 
suma de los 16 primeros términos vale 384?
Halla el primer término de una progresión aritmética que tiene por diferencia 5, 
sabiendo que la suma de los 13 primeros términos es 481. Halla, también, su 
término general.
Determina cuántos términos consecutivos de la progresión aritmética cuyo primer 
término vale 6 y que tiene por diferencia −3 suman −306.
La suma de n números naturales consecutivos es 1 085. ¿Cuántos términos se han 
sumado si el primero es 14?
26
27
28
29
30
31
32
Determina la suma de los 15 primeros múltiplos positivos de 6.
Halla el valor de la suma de los 120 primeros números naturales cuya última cifra 
sea el número 7.
Calcula la suma de los 22 primeros números pares mayores que 17.
¿Cuál es el valor de la suma de todos los múltiplos de 59 comprendidos entre 
1 000 y 2 000?
Eduardo comienza el día 1 de mayo a estudiar en la biblioteca durante una hora. 
Decide incrementar el tiempo de estudio 5 min cada día. 
a) ¿Cuánto durará su estudio el día 15 de mayo?
b) ¿Cuánto tiempo habrá dedicado a estudiar durante todo el mes?
¿Cuál es la profundidad de un pozo que ha costado 14 000 € si por la perforación 
del primer metro cobraron 200 €, y por cada uno de los restantes, 600 € más que 
el anterior?
33
34
35
36
37
38
3. SUMA DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Cuando el matemático Gauss tenía 10 años, su maestro propuso como ejercicio a 
sus alumnos calcular la suma de los 100 primeros números naturales.
S100 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 97 + 98 + 99 + 100
Gauss observó que:
1 + 100 = 101 2 + 99 = 101 3 + 98 = 101 … 50 + 51 = 101
Así, se dio cuenta de que el resultado es la suma de las 50 parejas de números que 
valen 101, es decir: 50 ⋅ 101 = 5 050
Por lo tanto, para hallar la suma de los 100 primeros números naturales, podemos 
proceder de esta forma:
 S100 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 97 + 98 + 99 + 100
 S100 = 100 + 99 + 98 + 97 + … + 4 + 3 + 2 + 1
2S100 = 101 + 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101 + 101 + 101
2S100 = 101 ⋅ 100 → 2S100 = 10 100 → S100 = 5 050
En cualquier progresión aritmética se verifica que la suma de términos equidistantes 
al primero y al último coincide con la suma de estos:
 a2 + an−1 = a1 + d + an − d = a1 + an
 a3 + an−2 = a1 + 2d + an − 2d = a1 + an
 ak + 1 + an−k = a1 + kd + an − kd = a1 + an
Así, si llamamos Sn a la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética:
 Sn = a1 + a2 + a3 + … + an − 2 + an−1 + an 
 Sn = an + an−1 + an−2 + … + a3 + a2 + a1 
2Sn = a1 + an( ) + a1 + an( ) + a1 + an( ) +…+ a1 + an( ) + a1 + an( ) + a1 + an( )
2Sn = a1 + an( ) ⋅ n → Sn =
a1 + an( ) ⋅ n
2
La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:
Sn =
a1 + an( ) ⋅n
2
Aprenderás a…
 ● Calcular la suma de los n 
primeros términos de una 
progresión aritmética.
 } ¿Cuántos términos de la progresión aritmética 3, 1, −1,… es necesario sumar para que el resultado sea −140?
Solución
Calculamos la diferencia de la progresión: d = 1 − 3 = −1 − 1 = −2
La expresión del término general 
nos permite calcular un término cualquiera: an = a1 + (n − 1)d = 3 + (n − 1) ⋅ (−2) = 3 − 2n + 2 = 5 − 2n
Así, la suma del primer y el último término es: a1 + an = 3 + 5 − 2n = 8 − 2n
Entonces: Sn =
a1 + an( ) ⋅ n
2
→ −140 =
8− 2n( ) ⋅ n
2
Simplificamos: −280 = 8n − 2n2 → 2n2 − 8n − 280 = 0 → n2 − 4n − 140 = 0
Resolvemos la ecuación de segundo grado: n =
4 ± 16 + 560
2
=
4 ± 24
2
→
n1 = 14
n2 = −10
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
Como −10 no es un número natural, la única solución válida es 14, es decir, es necesario sumar los 14 primeros términos.
EJERCICIO RESUELTO
 } ¿Cuál es la suma de los 40 primeros múltiplos positivos de 5?
Solución
Los múltiplos de 5 (5, 10, 15, 20,…) forman una progresión aritmética cuya 
diferencia es 5.
Conocemos el primer término de la progresión: a1 = 5 
Podemos calcular: a40 = 5 + 39 ⋅ 5 = 200
Así, la suma de los 40 primeros términos es:
S40 =
a1 + a40( ) ⋅ 40
2
=
(5 + 200) ⋅ 40
2
= 205 ⋅20 = 4100
EJERCICIO RESUELTO
DESAFÍO
Encuentra cuatro números en progresión aritmética que sumen 22 y cuyos cuadrados sumen 166.39
Sugerencias didácticas
En este epígrafe los alumnos deben aprender a calcular la 
suma de términos consecutivos de una progresión aritmé-
tica.
La anécdota sobre la forma en la que Gauss calculó rápida-
mente la suma de los 100 primeros números naturales pue-
de ayudar a los alumnos a comprender la fórmula para una
progresión aritmética cualquiera. Es conveniente recalcar 
que los términos equidistantes de una progresión aritmética 
suman lo mismo.
En los ejercicios resueltos se plantea cómo hallar el número 
de términos que debe considerarse para obtener una cierta 
suma.
Soluciones de las actividades
26 Halla la suma de los 20 primeros términos de estas progresiones aritméticas:
a) 3, 9, 15, 21, 27,… c) 1,25; 1,75; 2,25; 2,75; 3,25…
b) 8, 5, 2, −1, −4,… d) −13, −17, −21, −25, −29,…
a) a20 = 3 + 19 ⋅6 = 117 → S20 =
a1 + a20( ) ⋅20
2
=
3+117( ) ⋅20
2
= 1 200
b) a20= 8 + 19 ⋅ (−3) = −49 → S20 =
a1 + a20( ) ⋅20
2
=
8− 49( ) ⋅20
2
= −410
c) a20 = 1,25 + 19 ⋅0,5 = 10,75 → S20 =
a1 + a20( ) ⋅20
2
=
1,25 + 10,75( ) ⋅20
2
= 120
d) a20 = −13 + 19 ⋅ (−4) = −89 → S20 =
a1 + a20( ) ⋅20
2
=
−13− 89( ) ⋅20
2
= −1 020
6 Sucesiones
168
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
27 Calcula la suma de los 12 primeros términos de una progresión aritmética que tiene por diferencia 6 si su primer término 
es 3.
a12 = 3 + 11⋅6 = 69 → S12 =
a1 + a12( ) ⋅12
2
=
3 + 69( ) ⋅12
2
= 432
28 En la progresión aritmética de diferencia 3 y a1 = 4, ¿cuántos términos consecutivos, partiendo desde a1, son necesarios 
para que su suma valga 209?
a1 + an( ) ⋅ n
2
= 209 →
4 + 4 + 3(n−1)( ) ⋅ n
2
= 209 → 3n + 5( ) ⋅ n = 418 → 3n2 + 5n− 418 = 0 →
n1 = 11
n2 = −
38
3
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
Como el número de términos debe ser un número natural la única solución válida es n = 11, es decir, es necesario sumar 
11 términos para obtener esta suma.
29 ¿Cuál es la diferencia de una progresión aritmética cuyo primer término es 9 si la suma de los 16 primeros términos vale 
384?
a1 + a16( ) ⋅16
2
= 384 → 9 + 9 + 15d( ) ⋅8 = 384 → 18 + 15d = 48 → 15d = 30 → d = 2
30 Halla el primer término de una progresión aritmética que tiene por diferencia 5, sabiendo que la suma de los 13 primeros 
términos es 481. Halla, también, su término general.
a1 + a13( ) ⋅13
2
= 481→ a1 + a1 + 12 ⋅5( ) ⋅13 = 962 → 2a1 + 60 = 74 → 2a1 = 14 → a1 = 7
an = 7 + 5(n−1) = 5n + 2
31 Determina cuántos términos consecutivos de la progresión aritmética cuyo primer término vale 6 y que tiene por diferen-
cia −3 suman −306.
a1 + an( ) ⋅ n
2
= −306 →
6 + 6− 3(n−1)( ) ⋅ n
2
= −306 → −3n + 15( ) ⋅ n = −612 → 3n2 −15n− 612 = 0
n2 −5n− 204 = 0 →
n1 = 17
n2 = −12
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
Como el número de términos debe ser un número natural la única solución válida es n = 17, es decir, hay que sumar 
17 términos consecutivos.
32 La suma de n números naturales consecutivos es 1 085. ¿Cuántos términos se han sumado si el primero es 14?
a1 + an( ) ⋅ n
2
= 1085 →
14 + 14 + n−1( ) ⋅ n
2
= 1085 → n + 27( ) ⋅ n = 2170 → n2 + 27n− 2170 = 0 →
n1 = 35
n2 = −62
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
Como el número de términos debe ser un número natural la única solución válida es n = 35, es decir, se han sumado 
35 números naturales.
33 Determina la suma de los 15 primeros múltiplos positivos de 6.
a15 = 6+14 ⋅6 = 90
S15 =
a1 + a15( ) ⋅15
2
=
6 + 90( ) ⋅15
2
= 720
34 Halla el valor de la suma de los 120 primeros números naturales cuya última cifra sea el número 7.
a120 = 7 + 119 ⋅10 = 1197
S120 =
a1 + a120( ) ⋅120
2
=
7 + 1197( ) ⋅120
2
= 72240
169
6Sucesiones
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
35 Calcula la suma de los 22 primeros números pares mayores que 17.
a22 = 18 + 21⋅2 = 60
S22 =
a1 + a22( ) ⋅22
2
=
18 + 60( ) ⋅22
2
= 858
36 ¿Cuál es el valor de la suma de todos los múltiplos de 59 comprendidos entre 1 000 y 2 000?
a1 = 59 ⋅17 = 1003
an = 59 ⋅33 = 1947
⎫
⎬
⎪⎪
⎭⎪⎪
→ 1947 = 1003 + 59(n−1) → 59(n−1) = 944 → n−1 = 16 → n = 17
S17 =
1003 + 1947( ) ⋅17
2
= 25075
37 Eduardo comienza el día 1 de mayo a estudiar en la biblioteca durante una hora. Decide incrementar el tiempo de estudio 
5 min cada día.
a) ¿Cuánto durará su estudio el día 15 de mayo?
b) ¿Cuánto tiempo habrá dedicado a estudiar durante todo el mes?
a) a15 = 60 + 14 ⋅ 5 = 130 min = 2 h y 10 min
b) a31 = 60 + 30 ⋅ 5 = 210 min = 3 h y 30 min
 S31 =
a1 + a31( ) ⋅31
2
=
60 + 210( ) ⋅31
2
= 4185 min = 2 d 21 h y 45 min
38 ¿Cuál es la profundidad de un pozo que ha costado 14 000 € si por la perforación del primer metro cobraron 200 €, y 
por cada uno de los restantes, 600 € más que el anterior?
a1 + an( ) ⋅ n
2
= 14 000 → 200 + 200 + 600(n−1)( ) ⋅ n = 28000 → 600n− 200( ) ⋅ n = 28000
600n2 − 200n− 28000 = 0 → 3n2 − n−140 = 0 →
n1 = 7
n2 = −
20
3
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
Como el número de términos debe ser un número natural la única solución válida es: n = 7
El pozo tiene una profundidad de 7 m.
Desafío
39 Encuentra cuatro números en progresión aritmética que sumen 22 y cuyos cuadrados sumen 166.
Sean a el primero de los cuatro números y d la diferencia de la progresión aritmética, entonces:
a + (a+ d ) + (a + 2d ) + (a + 3d ) = 22
a2 + (a+ d )2 + (a + 2d )2 + (a + 3d )2 = 166
⎫
⎬
⎪⎪
⎭⎪⎪
→ 4a + 6d = 22
4a2 + 12ad + 14d2 = 166
⎫
⎬
⎪⎪
⎭⎪⎪
→ 2a + 3d = 11
2a2 + 6ad + 7d2 = 83
⎫
⎬
⎪⎪
⎭⎪⎪
a =
11− 3d
2
→
121− 66d + 9d2
2
+ 3d (11− 3d ) + 7d2 = 83 → 5d2 = 45 → d = ±3
❚❚ Si d = 3 entonces a = 1 y los números buscados son: 1, 4, 7 y 10
❚❚ Si d = −3 entonces a = 10 y los números buscados son los mismos.
6 Sucesiones
170
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
4. Progresiones geométricas
107
6Actividades6 Sucesiones
106
Indica si las siguientes sucesiones son progresiones 
geométricas y, en caso afirmativo, halla la razón y 
calcula el término general.
a) 3, 6, 12, 24, 48,… d) 12, 9, 6, 3, 0,…
b) 1, 2, 4, 8, 16,… e) 5, −10, 20, −40, 80,…
c) 9, 3,1,
1
3
,
1
9
,… f) 1,
1
2
,
3
2
, 2,
7
2
,…
Si el primer término de una progresión geométrica es 
a1 = 7 y la razón es r = 3, halla:
a) a4 c) a11
b) a7 d) an
Calcula el término general de la progresión 
geométrica de razón r =
1
4
, cuyo primer término 
vale 7. Halla a5.
Eva envía una copia de una carta a dos de sus parientes 
y les pide que cada uno de ellos envíe, a su vez, una 
copia a otros dos parientes, y así sucesivamente. 
¿Cuántos parientes habrán recibido copia de la carta 
en el quinto envío?
En el árbol genealógico de una persona, ¿cuántos 
tatarabuelos hay?
Halla el octavo término de la progresión geométrica 
cuyos dos primeros términos son 1 y 2.
Calcula la razón de una progresión geométrica si su 
tercer término es 31 y el quinto vale 1 519. Determina 
el término general.
Una pelota de goma 
cae desde una altura 
de 40 m, rebota contra 
el suelo y asciende 
hasta alcanzar dos 
quintos de la altura 
anterior. Vuelve a caer 
y a rebotar de la misma 
forma sucesivamente. 
Determina la altura 
desde la que cae tras 
el octavo bote.
Se retira la mitad del contenido de un vaso lleno de 
café y se reemplaza por leche. A continuación, se 
retira la mitad de esta mezcla y se vuelve a rellenar 
con leche.
a) ¿Qué proporción de leche contiene el vaso tras 
efectuar 5 veces esta operación?
b) Halla el término general.
40
41
42
43
44
45
46
47
48
Una tableta cuesta 199 € y cada año que pasa pierde 
un 20 % de su valor. Escribe la progresión geométrica 
que indica los precios de la tableta en los años 
sucesivos.
¿Qué lugar ocupa el término que vale 2 187 en la 
progresión 3, 9, 27, 81,…?
Calcula la razón de una progresión geométrica si 
a4 = 6 y a7 = 750.
¿Cuál es la razón de una progresión geométrica cuyo 
primer término es 12 si el cuarto vale 324? Halla a2.
En una progresión geométrica, el tercer término es 
12 y el sexto vale 96. Averigua cuál es el décimo 
término y calcula el término general de la progresión.
49
50
51
52
53
Interpola cuatro términos geométricos entre:
a) −6 y 192 b) 80 y 0,0008
Interpola seis términos geométricos entre:
a) 80 y 0,625 c) 3 2 y 48
b) 8 y
1
16
 d) 
24
5
y −600 5
¿Cuántos términos geométricos se pueden interpolar 
entre 3 y 384 si la razón de la progresión es igual a 2?
54
55
56
4. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Sara deja caer una pelota desde una altura 
de un edificio de 200 m.
La pelota rebota contra el suelo y alcanza 
una altura de 100 m.
Vuelve a caer desde ahí y rebotar hasta 
la mitad de la altura alcanzada en el bote 
anterior, y así sucesivamente.
¿A qué altura llegará la pelota tras el quinto 
rebote?
Podemos expresar la altura que alcanza la 
pelota, según el número de botes, con los 
términos de una sucesión:
a1 = 100
a2 = 100 ⋅ 
1
2
 = 50 a4 = 25 ⋅ 
1
2
 = 12,5
 a3 = 50 ⋅ 
1
2
 = 25 a5 = 12,5 ⋅ 
1
2
 = 6,25
Después del quinto bote, la pelota alcanzará6,25 m de altura. Este es el valor del 
quinto término de la sucesión que forman estos números. Como cada uno se obtiene 
multiplicando por 1
2
 al anterior, decimos que es una progresión geométrica.
Podemos observar la relación que existe entre los términos de una progresión 
geométrica de forma análoga a como vimos en las progresiones aritméticas:
a1 a1 
a2 = a1 ⋅ r a2 = a1 ⋅ r
a3 = a2 ⋅ r a3 = a1 ⋅ r ⋅ r = a1 ⋅ r
2
a4 = a3 ⋅ r a4 = a1 ⋅ r
2 ⋅ r = a1 ⋅ r
3
a5 = a4 ⋅ r a5 = a1 ⋅ r
3 ⋅ r = a1 ⋅ r
4
Para calcular un término cualquiera de la progresión, podemos utilizar la expresión:
an = a1 ⋅ r
n−1
Una progresión geométrica es una sucesión cuyos términos, excepto el primero, 
se obtienen multiplicando el anterior por un mismo número, llamado razón, r.
El término general de las progresiones geométricas es: an = a1 ⋅ r
n−1
Aprenderás a…
 ● Reconocer una progresión 
geométrica e identificar su 
razón.
 ● Calcular el término 
general de una progresión 
geométrica.
 ● Interpolar términos 
geométricos.
Presta atención
Una progresión geométrica es una 
sucesión recurrente, porque: 
an = an−1 ⋅ r
 } Si el segundo término de una progresión 
geométrica es 21 y el sexto vale 1 701, ¿cuál 
es el término que ocupa la posición 20?
Solución
A partir de los términos a2 y a6 calculamos la razón 
de la progresión y a1.
EJERCICIO RESUELTO
 } Interpola dos términos geométricos entre los 
números −1 y −
1
8
.
Solución
Interpolar geométricamente dos términos entre los 
números −1 y −
1
8
 es hallar los términos a2 y a3 de una 
progresión geométrica sabiendo que:
a1 = −1 y a4 = −
1
8
 
Como a4 = a1 ⋅ r
3:
 −
1
8
= −1⋅ r3 → r3 =
1
8
→ r =
1
8
3 =
1
2
Entonces: a2 = −1⋅
1
2
= −
1
2
 a3 = −
1
2
⋅
1
2
= −
1
4
EJERCICIO RESUELTO
DESAFÍO
Averigua para qué valores de x están en progresión geométrica los siguientes números.
x + 3 6x + 3 20x + 5
57
Lenguaje matemático
Decimos que n números 
están en progresión 
geométrica si son términos 
consecutivos de una 
progresión geométrica.
mac3e21
Soluciones de las actividades
40 Indica si las siguientes sucesiones son progresiones geométricas y, en caso afirmativo, halla la razón y calcula el término 
general.
a) 3, 6, 12, 24, 48,… d) 12, 9, 6, 3, 0,…
b) 1, 2, 4, 8, 16,… e) 5, −10, 20, −40, 80,…
c) 9, 3, 1,
1
3
,
1
9
,... f) 1,
1
2
,
3
2
, 2,
7
2
,...
a) Es una progresión geométrica: r = 2 y an = 3 ⋅ 2
n−1 
b) Es una progresión geométrica: r = 2 y an = 2
n−1 
Sugerencias didácticas
Se puede proponer a los alumnos que utilicen la calculado-
ra para que hallen las potencias sucesivas de números ma-
yores que 1 y que comprueben lo rápido que crecen. Análo-
gamente se puede comprobar cómo decrecen las potencias 
de números menores que 1. De esta forma, podemos intro-
ducir a los alumnos al comportamiento de las progresiones 
geométricas según la razón sea mayor o menor que 1.
Las progresiones geométricas son otro tipo de progresio-
nes que aparecen cuando los términos se relacionan por 
una razón constante. Esta propiedad de las progresiones 
geométricas nos permite obtener una expresión de su tér-
mino general de forma sencilla.
Además de poder calcular cualquier término de la progre-
sión, la expresión del término general también nos permite 
interpolar n términos geométricos entre dos dados.
Vídeo. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
En el vídeo se resuelve, paso a paso, el ejercicio en el que se bus-
ca el término que ocupa una posición determinada mediante la 
resolución de un sistema de ecuaciones no lineales, empleando el 
método de sustitución, que simplifica los cálculos.
Pueden reproducirse en clase como apoyo a la explicación del 
procedimiento a seguir para resolver este tipo de ejercicios o 
como recurso para que los alumnos lo repasen.
171
6Sucesiones
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
c) Es una progresión aritmética: r = 
1
3
 y an = 9 ⋅
1
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
n−1
= 33−n
d) No es una progresión geométrica.
e) Es una progresión geométrica.: r = −2 y an = 5 ⋅ (−2)
n−1 
f) No es una progresión geométrica.
41 Si el primer término de una progresión geométrica es a1 = 7 y la razón es r = 3, halla:
a) a4 b) a7 c) a11 d) an
a) 189 b) 5 103 c) 413 343 d) an = 7 ⋅ 3
n−1 
42 Calcula el término general de la progresión geométrica de razón r = 
1
4
, cuyo primer término vale 7. Halla a5.
an = 7 ⋅
1
4
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
n−1
a5 = 7 ⋅
1
4
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
4
=
7
256
43 Eva envía una copia de una carta a dos de sus parientes y les pide que cada uno de ellos envíe, a su vez, una copia a otros 
dos parientes, y así sucesivamente. ¿Cuántos parientes habrán recibido copia de la carta en el quinto envío?
a5 = 2 ⋅ 2
4 = 32 parientes
44 En el árbol genealógico de una persona, ¿cuántos tatarabuelos hay?
a4 = 2 ⋅ 2
3 = 16 tatarabuelos
45 Halla el octavo término de la progresión geométrica cuyos dos primeros términos son 1 y 2.
r =
2
1
= 2 → a8 = 1⋅2
7 = 128
46 Calcula la razón de una progresión geométrica si su tercer término es 31 y el quinto vale 1 519. Determina el término 
general.
a1 ⋅ r
2 = 31
a1 ⋅ r
4 = 1519
⎫
⎬
⎪⎪
⎭⎪⎪
→ a1 =
31
r2
→
31
r2
⋅ r4 = 1519 → r2 = 49 → r = ±7
❚❚ Si r = 7 → a1 =
31
49
→ an =
31
49
⋅7n−3
❚❚ Si r = −7 → a1 =
31
49
→ an =
31
49
⋅ (−7)n−3
47 Una pelota de goma cae desde una altura de 40 m, rebota contra el suelo y asciende hasta alcanzar dos quintos de la 
altura anterior. Vuelve a caer y a rebotar de la misma forma sucesivamente. Determina la altura desde la que cae tras el 
octavo bote.
a1 =
2
5
⋅ 40 = 16 m
a8 = 16 ⋅
2
5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
7
= 0,026 m
48 Se retira la mitad del contenido de un vaso lleno de café y se reemplaza por leche. A continuación, se retira la mitad de 
esta mezcla y se vuelve a rellenar con leche.
a) ¿Qué proporción de leche contiene el vaso tras efectuar 5 veces esta operación?
b) Halla el término general.
a) a5 = 1−
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
5
=
31
32
 b) an = 1−
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
n
6 Sucesiones
172
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
49 Una tableta cuesta 199 € y cada año que pasa pierde un 20 % de su valor. Escribe la progresión geométrica que indica los 
precios de la tableta en los años sucesivos.
an = 199 ⋅ 0,8
n−1 
50 ¿Qué lugar ocupa el término que vale 2 187 en la progresión 3, 9, 27, 81,…?
2 187 = 3 ⋅ 3n − 1 → 37 = 3n → n = 7
51 Calcula la razón de una progresión geométrica si a4 = 6 y a7 = 750.
a1 ⋅ r
3 = 6
a1 ⋅ r
6 = 750
⎫
⎬
⎪⎪
⎭⎪⎪
→ a1 =
6
r3
→
6
r3
⋅ r6 = 750 → r3 = 125 → r = 5
52 ¿Cuál es la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 12 si el cuarto vale 324? Halla a2.
324 = 12r3 → 27 = r3 → r = 3
a2 = 12 ⋅ 3 = 36
53 En una progresión geométrica, el tercer término es 12 y el sexto vale 96. Averigua cuál es el décimo término y calcula el 
término general de la progresión.
a1 ⋅ r
2 = 12
a1 ⋅ r
5 = 96
⎫
⎬
⎪⎪
⎭⎪⎪
→ a1 =
12
r2
→
12
r2
⋅ r5 = 96 → r3 = 8 → r = 2 → a1 = 3
a10 = 3 ⋅ 2
9 = 1 536
an = 3 ⋅ 2
n − 1
54 Interpola cuatro términos geométricos entre:
a) −6 y 192 b) 80 y 0,0008 
a) 192 = (−6)r5 → r5 = −32 → r = −2 → −6, 12, −24, 48, −96, 192 
b) 0,0008 = 80r5 → r5 = 0,00001 → r = 0,1 → 80, 8; 0,8; 0,08; 0,008; 0,0008 
55 Interpola seis términos geométricos entre:
a) 80 y 0,625 b) 8 y 
1
16
 c) 3 2 y 48 d) 
24
5
 y − 600 5
a) 0,625 = 80r7 → r7 = 
1
128
 → r = 
1
2
 = 0,5 → 80, 40, 20, 10, 5; 2,5, 1,25; 0,625 
b) 
1
16
 = 8r7 → r7 = 
1
128
 → r = 
1
2
 → 8, 4, 2, 1, 
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
c) 48 = 3 2 r7 → r7 = 
16
2
= 27/2 → r = 2 →3 2 , 6, 6 2 , 12, 12 2 , 24, 24 2 , 48 
d) −600 5 =
24
5
r7 → r7 = −125 5 = −57/2 → r = − 5 →
24
5
,−
24
5
5 ,24,−24 5 ,120,−120 5 ,600,−600 5
56 ¿Cuántos términos geométricos se pueden interpolar entre 3 y 384 si la razón de la progresión es igual a 2?
384 = 3 ⋅ 2n−1 → 2n−1 = 128 = 27 → n − 1 = 7 → n = 8 
Si 3 es el primer término y 384 es el octavoentonces se pueden interpolar 6 términos.
Desafío
57 Averigua para qué valores de x están en progresión geométrica los siguientes números.
x + 3 6x + 3 20x + 5
6 x + 3
x + 3
=
20 x + 5
6 x + 3
→ 36 x2 + 36 x + 9 = 20 x2 + 65 x + 15 → 16 x2 − 29 x − 6 = 0 →
x1 = 2
x2 = −
3
16
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
173
6Sucesiones
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
5. Suma de una progresión geométrica
109
6Actividades6 Sucesiones
108
Halla la suma de los 10 primeros términos de estas progresiones geométricas:
a) 32, 16, 8, 4,… c) 64, 16, 4, 1,…
b) 54, −18, 6, −2,… d) 2; −3; 4,5; −6,75;…
Calcula la suma de los 12 primeros términos de una progresión geométrica cuya 
razón es 2,5 si su primer término es 3.
Halla la suma de las 8 primeras potencias de 2 mayores que 1.
58
59
60
5. SUMA DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Cuenta una leyenda que el inventor del ajedrez mostró su juego a un príncipe de la 
India, y este quedó tan impresionado que quiso premiarlo y le dijo: Pídeme lo que 
quieras, que te será concedido.
El inventor formuló su petición: Deseo que me entregues un grano de trigo por la 
primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la 
cuarta, y así sucesivamente hasta la casilla 64.
El príncipe quedó sorprendido cuando se le comunicó que el trigo sembrado en su 
reino no era suficiente para entregarle el trigo que había solicitado.
Y es que el inventor del ajedrez había pedido nada menos que:
S64 = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 9 223 372 036 854 775 808
Para calcular el número de granos de trigo, hallamos la suma de los 64 primeros 
términos de una progresión geométrica cuya razón es r = 2.
 S64 = 1 + 2 + 2
2 + 23 + … + 262 + 263
1 Multiplicamos por la razón: 
2 Restamos:
3 Obtenemos:
2S64 = −1+ 2 + 2
2 + 23 +…+ 263 + 264
− S64 = −1+ 2 + 2
2 + 23 +…+ 263( )
S64 = −1+ 0 + 0
2 + 02 +…+ 063 + 264
Entonces: S64 = 2
64 − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 granos de trigo
Si llamamos Sn a la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica:
 r ⋅ Sn = − a1 − a2 + a3 + a4 + … + an + an ⋅ r
 − Sn = − a1 − a2 − a3 − a4 − … − an
 (r − 1)Sn = − a1 + 0 + 0 + 0 + … + 0 + an ⋅ r
( r −1)Sn = an ⋅ r − a1 → Sn =
an ⋅ r − a1
r −1
Sn =
a1 ⋅ r
n−1 ⋅ r − a1
r −1
=
a1 ⋅ r
n −1( )
r −1
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:
Sn =
an ⋅ r − a1
r −1
=
a1 r
n −1( )
r −1
Observa esta progresión geométrica: 1,
1
2
,
1
4
,
1
8
,…
Su razón es 1
2
, y los términos decrecen aproximándose a 0. En este caso podemos 
calcular la suma de todos los términos de la progresión, ya que el valor de 
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
n
 se 
aproxima a 0 a medida que aumenta el valor de n.
S = 1+
1
2
+
1
4
+
1
8
+ ... =
1⋅ (−1)
1
2
−1
=
−1
−
1
2
= 2
Si la razón de una progresión geométrica cumple que −1 < r < 1, entonces las 
potencias de r son prácticamente nulas cuando n es muy grande. Así: 
S =
a1 ⋅ (−1)
r −1
=
a1
1− r
Si la razón de una progresión geométrica cumple que −1 < r < 1, la suma de 
todos sus términos es:
S =
a1
1− r
Aprenderás a…
 ● Calcular la suma de los n 
primeros términos de una 
progresión geométrica.
 ● Hallar la suma de una 
progresión geométrica si 
| r | < 1.
 } La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica vale 11 718. 
Si el primero y último son 3 y 9 375, respectivamente, ¿cuántos términos se 
han sumado?
Solución
La suma de los n primeros términos es: 11 718 =
9 375 ⋅ r − 3
r −1
Resolvemos la ecuación para hallar la razón de la progresión:
11 718(r − 1) = 9 375r − 3 → 11 718r − 11 718 = 9 375r − 3 → r = 5
Así, el último término es: 9 375 = 3 ⋅ 5n−1 → 5n−1 = 3 125
Para calcular n, expresamos 3 125 como potencia de 5:
5n−1 = 55 → n − 1 = 5 → n = 6
Luego, se han sumado 6 términos de la progresión.
EJERCICIO RESUELTO
DESAFÍO
Observa estos cuadrados. Teniendo en cuenta que cada uno de ellos 
se ha obtenido uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado 
anterior, responde a las siguientes preguntas.
a) ¿Cuál es el término general de la sucesión formada por las áreas de 
los cuadrados?
b) ¿Y la suma de los 5, 10 y 15 primeros términos de la sucesión?
c) Si se repitiese el proceso para obtener los cuadrados indefinidamente, 
¿cuál sería el valor de la suma?
65
1
1
¿Cuántos términos consecutivos se han sumado de una progresión geométrica 
para obtener 22 960 si el primero es 7, y el último, 15 309?
¿Cuál es la suma de los 6 primeros términos de una progresión geométrica cuyo 
primer término es 18, si el último vale 2
27
?
Los padres de Felipe deciden guardar 1 € el día en que su hijo cumple su primer 
año. A partir de entonces tienen previsto duplicar la cantidad que van a ahorrar 
para el niño en cada uno de sus cumpleaños. ¿Cuánto dinero habrán reunido el 
día en que Felipe cumpla 15 años?
Calcula el término general y la suma de todos los términos siendo:
a) a1 = 6 y r = 
1
3
 c) a1 = 3 y r = −
1
5
b) a1 = 4 y r = 0,25 d) a1 = 10 y r = −0,1
61
62
63
64
mac3e22
Soluciones de las actividades
58 Halla la suma de los 10 primeros términos de estas progresiones geométricas:
a) 32, 16, 8, 4,… b) 54, −18, 6, −2,… c) 64, 16, 4, 1,… d) 2, −3, 4,5; −6,75,…
a) S10 =
1
16
⋅
1
2
− 32
1
2
−1
=
−
1023
32
−
1
2
=
1023
16
 c) S10 =
1
4 096
⋅
1
4
− 64
1
4
−1
=
−65535
16384
−
3
4
=
349525
4 096
b) S10 =
−
2
729
⋅ −
1
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟−54
−
1
3
−1
=
−
118096
2187
−
4
3
=
29524
729
 d) S10 =
−
19683
256
⋅ −
3
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟− 2
−
3
2
−1
=
58025
512
−
5
2
= −
11605
256
Sugerencias didácticas
En este epígrafe los alumnos aprenderán a calcular la suma 
de n términos consecutivos de una progresión geométrica.
La anécdota sobre el inventor del ajedrez puede ayudar a 
los alumnos a comprender la fórmula para una progresión 
geométrica cualquiera. Es conveniente recalcar que al multi-
plicar cada término de la progresión por la razón se obtiene 
el siguiente, y por eso la suma se reduce a la diferencia del 
último término por la razón menos el primero. Por último, 
se explica que los términos de una progresión geométrica 
cuya razón, en valor absoluto, es menor que 1, decrecen 
tan deprisa que se pueden sumar infinitos de ellos.
GeoGebra. SUMA DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
En este recurso aparece la representación gráfica de la suma de 
los términos de la progresión geométrica cuyo primer término es 
1 y de razón 1
2
. Pulsando sobre los botones del reproductor o 
ejecutando la reproducción automática, se puede observar como 
los cuadriláteros rellenan los dos cuadrados iniciales.
Este recurso puede utilizarse en clase como apoyo a la explicación 
de la suma de infinitos términos de una progresión geométrica 
o para proponer a los alumnos que deduzcan el resultado sin 
realizar cálculos.
6 Sucesiones
174
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
59 Calcula la suma de los 12 primeros términos de una progresión geométrica cuya razón es 2,5 si su primer término es 3.
a12 = 3 ⋅2,5
11 → S12 =
3 ⋅2,511 ⋅2,5− 3
2,5−1
= 119207,29
60 Halla la suma de las 8 primeras potencias de 2 mayores que 1.
a8 = 2 ⋅2
7 = 256 → S8 =
256 ⋅2− 2
2−1
= 510
61 ¿Cuántos términos consecutivos se han sumado de una progresión geométrica para obtener 22 960 si el primero es 7, y 
el último, 15 309?
22960 =
15309 ⋅ r −7
r −1
→ 22960 r − 22960 = 15309r −7 → 7651r = 22953 → r = 3
15309 = 7 ⋅3n−1 → 3n−1 = 2187 → 3n−1 = 37 → n = 8 Se han sumado 8 términos. 
62 ¿Cuál es la suma de los 6 primeros términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 18, si el último vale 
2
27
?
2
27
= 18 ⋅ r5 → r5 =
1
243
→ r =
1
3
→ S6 =
2
27
⋅
1
3
−18
1
3
−1
=
−
1456
81
−
2
3
=
728
27
63 Los padres de Felipe deciden guardar 1 € el día en que su hijo cumple su primer año. A partir de entonces tienen previsto 
duplicar la cantidad que van a ahorrar para el niño en cada uno de sus cumpleaños. ¿Cuánto dinero habrán reunidoel 
día en que Felipe cumpla 15 años?
a15 = 1⋅2
14 = 16384 → S15 =
16384 ⋅2−1
2−1
= 32767 €
64 Calcula el término general y la suma de todos los términos siendo:
a) a1 = 6 y r = 
1
3
 b) a1 = 4 y r = 0,25 c) a1 = 3 y r = −
1
5
 d) a1 = 10 y r = −0,1
a) an = 6 ⋅
1
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
n−1
→ S =
6
1−
1
3
=
6
2
3
= 9 c) an = 3 ⋅ −
1
5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
n−1
→ S =
3
1+
1
5
=
3
6
5
=
5
2
b) an = 4 ⋅0,25
n−1 → S =
4
1− 0,25
=
4
0,75
=
16
3
 d) an = 10 ⋅ −0,1( )
n−1
→ S =
10
1+ 0,1
=
10
1,1
=
100
11
Desafío
65 Observa los cuadrados de la figura. Teniendo en cuenta que cada uno de ellos se ha obteni-
do uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado anterior, responde a las siguientes 
preguntas.
a) ¿Cuál es el término general de la sucesión formada por las áreas de los cuadrados?
b) ¿Y la suma de los 5, 10 y 15 primeros términos de la sucesión?
c) Si se repitiese el proceso para obtener los cuadrados indefinidamente, ¿cuál sería el valor 
de la suma?
a) an =
1
2n−1
 c) S =
1
1−
1
2
=
1
1
2
= 2
b) S5 =
1
16
⋅
1
2
−1
1
2
−1
=
−
31
32
−
1
2
=
31
16
 S10 =
1023
512
 S15 =
32767
16384
1
1
175
6Sucesiones
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sugerencias didácticas
En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta 
unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:
❚❚ Calcular el término general o la ley de recurrencia de una sucesión.
❚❚ Hallar la diferencia y el valor de un término cualquiera de una progresión aritmética.
❚❚ Determinar la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética.
❚❚ Interpolar términos en una progresión.
❚❚ Calcular la razón y el valor de un término cualquiera de una progresión geométrica.
❚❚ Determinar la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica.
❚❚ Calcular la suma de todos los términos de una progresión geométrica cuya razón es mayor que −1 y menor que 1.
Actividades finales
Soluciones de las actividades
66 Copia en tu cuaderno y asocia cada término de la primera columna con el término general de la sucesión de la que forma 
parte de la segunda columna.
a5 = 3 an = n
2 − 9n + 20 ❚❚ a5 = 3 es el quinto término de la sucesión an = n
2 − 2n − 12.
a4 = 0 an = n + 4 ❚❚ a4 = 0 es el cuarto término de la sucesión an = n
2 − 9n + 20.
a7 = 11 an = n
2 − 2n − 12 ❚❚ a7 = 11 es el séptimo término de la sucesión an = n + 4.
a3 = 72 an = n
3 + 5n2 ❚❚ a3 = 72 es el tercer término de la sucesión an = n
3 + 5n2.
¿Qué tienes que saber?
110
¿QUÉ6 tienes que saber?
111
¿Cuál es el número, a, para el que todos los términos 
de la sucesión an = n
2 + 10n + a son cuadrados de 
números enteros?
En el fondo de un lago de 3,4 m de profundidad nace 
un nenúfar cuya altura aumenta 40 cm durante el día 
y disminuye 10 cm durante la noche. 
a) Halla la altura, an, del nenúfar tras la enésima noche.
b) ¿Qué día alcanzará el nenúfar la superficie del lago?
Considera la sucesión formada por el número de 
cubos de cada una de las siguientes figuras.
a) Escribe los seis primeros términos de la sucesión y 
calcula su término general.
b) ¿Cuál es el término correspondiente a la figura 
formada por 256 cubos?
Progresiones aritméticas
La diferencia de una progresión aritmética es 3. 
Determina su término general si el primer término 
vale 5.
Halla la diferencia de una progresión aritmética si su 
primer término es 31 y el quinto vale 63.
Calcula la diferencia de una progresión aritmética 
cuyo cuarto término excede en 10 unidades al 
noveno.
¿Cuál es la diferencia de una progresión aritmética si 
su término general es an = 3n + 1?
La última revisión de la caldera de la vivienda de Pedro 
se realizó en el año 2012. Las instrucciones de uso 
de su modelo de caldera marcan que las revisiones 
deben realizarse cada 3 años. ¿Se efectuará una 
revisión en el año 2020? ¿Y en el 2021?
74
75
76
77
78
79
80
81
Sucesiones
Copia en tu cuaderno y asocia cada término de la 
primera columna con el término general de la sucesión 
de la que forma parte de la segunda columna.
a5 = 3 an = n
2 − 9n + 20
a4 = 0 an = n + 4
a7 = 11 an = n
2 − 2n − 12
a3 = 72 an = n
3 + 5n2 
Halla el tercero, el quinto y el décimo término de 
cada una de las siguientes sucesiones.
a) an = n
2 − 2n c) an = n
3 − n2 + 5
b) an =
3
5n−1
 d) an =
n− 2
n + 2
Considera la sucesión formada por el número de 
cuadrados de cada una de las siguientes figuras.
a) Escribe los seis primeros términos de la sucesión y 
calcula su término general.
b) ¿Cuál es el término correspondiente a la figura 
formada por 625 cuadrados?
Escribe los cinco primeros términos de estas 
sucesiones recurrentes.
a) a1 = 1, a2 = 2, an = 3an−1 − 2an−2
b) a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + 2an−2
En una sucesión, cada término excede en una unidad 
al doble del término anterior. Si el primer término 
es 1:
a) Halla la ley de recurrencia de la sucesión.
b) Calcula los siete primeros términos.
c) Determina el término general de la sucesión.
¿Cuál es el término general de las siguientes 
sucesiones?
a) 5, −5, 5, −5, 5, −5,…
b) 1, 0, 1, 0, 1, 0,…
Prueba que los términos de la sucesión an = n ⋅ 2
n 
cumplen la relación:
an+2 − 4an+1 + 4an = 0
¿Son pares todos los términos de la sucesión cuyo 
término general es an = 3
n − 3n−1?
66
67
68
69
70
7271
72
73
Determina el término general o una ley de recurrencia de estas sucesiones.
a) 2, 8, 18, 32, 50,… b) 4, 1,
1
4
,
1
4
, 1,…
a) 1 2 3 4 5
12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25
12 ⋅ 2 = 2 22 ⋅ 2 = 8 32 ⋅ 2 = 18 42 ⋅ 2 = 32 52 ⋅ 2 = 50
 El término general es: an = n
2 ⋅ 2 = 2n2
b) Para obtener cada término a partir de los dos primeros, tenemos que dividir los dos 
anteriores. En este caso, podemos escribir la ley de recurrencia: 
a1 = 4, a2 = 1, an =
an−1
an−2
SucesionesTen en cuenta
Una sucesión es un conjunto 
ordenado de números reales 
llamados términos.
 ❚ El término general, an, es la 
expresión algebraica que 
corresponde a un término de la 
sucesión.
 ❚ Una ley de recurrencia es una 
expresión algebraica que relaciona 
cada término con sus anteriores.
El segundo término de una progresión aritmética es 10, y el séptimo vale 45. Calcula 
la suma de los 25 primeros términos de la progresión.
Escribimos la expresión de cada término a partir del término general:
a2 = 10
a7 = 45
⎫
⎬
⎪⎪
⎭⎪⎪
→
a1 + 6d = 10
a1 + 6d = 45
⎫
⎬
⎪⎪
⎭⎪⎪
→
a1 = 3
d = 7
⎫
⎬
⎪⎪
⎭⎪⎪
Para hallar la suma de los 25 primeros términos, calculamos a25:
a25 = 3 + 24 ⋅ 7 = 171
Así, la suma es: S25 =
a1 + a25( ) ⋅25
2
=
3 + 171( ) ⋅25
2
= 2 175
Progresiones aritméticasTen en cuenta
Una progresión aritmética es una 
sucesión en la que cada término, 
excepto el primero, se obtiene 
sumándole al anterior un mismo 
número, llamado diferencia, d.
 ❚ El término general es: 
an = a1 + (n − 1)d
 ❚ La suma de los n primeros 
términos es:
Sn =
a1 + an( ) ⋅n
2
Dados los términos a1 = 1 024 y a6 = 1.
a) Interpola cuatro términos geométricos entre ellos.
b) Calcula la suma de los 6 primeros términos de la progresión.
c) Determina, si es posible, la suma de todos los términos de la progresión geométrica.
a) Hallamos los términos a2, a3, a4 y a5 de la progresión geométrica.
 Como a6 = a1 ⋅ r
5 → 1 = 1024 ⋅ r5 → r5 =
1
1024
→ r =
1
1024
5 =
1
4
 Así: a2 = 1024 ⋅
1
4
= 256 a3 = 256 ⋅
1
4
= 64 a4 = 64 ⋅
1
4
= 16 a5 = 16 ⋅
1
4
= 4
b) La suma de los 6 primeros términos es:
 
S6 =
a1 r
6 −1( )
r −1
=
1024
1
4
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
6
−1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1
4
−1
=
1024
1
4 096
−1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
−
3
4
=
−
4 095
4
−
3
4
= 1365
c) Como r =
1
4
<1→ S =
1024
1−
1
4
=
1024
3
4
=
4 096
3
Progresiones geométricasTen en cuenta
Una progresión geométrica es una 
sucesión cuyos términos, excepto el 
primero, se obtienen multiplicando 
el anterior por un mismo número, 
llamado razón, r.
 ❚ El término general es:an = a1 ⋅ r
n−1
 ❚ La suma de los n primeros 
términos es:
 
Sn =
an ⋅ r − a1
r −1
=
a1 r
n −1( )
r −1
 ❚ Si la razón −1 < r < 1, entonces la 
suma de todos sus términos es: 
 
S =
a1
1− r
Actividades Finales 6
6 Sucesiones
176
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
67 Halla el tercero, el quinto y el décimo término de cada una de las siguientes sucesiones.
a) an = n
2 − 2n b) an =
3
5n−1
 c) an = n
3 − n2 + 5 d) an =
n− 2
n + 2
a) a3 = 3, a5 = 15, a10 = 80 c) a3 = 23, a5 = 105, a10 = 905
b) a3 =
3
14
,a5 =
3
24
=
1
8
,a10 =
3
49
 d) a3 =
1
5
,a5 =
3
7
,a10 =
8
12
=
2
3
68 Considera la sucesión formada por el número de cuadrados de cada una de las siguientes figuras.
 
a) Escribe los seis primeros términos de la sucesión y calcula su término general.
b) ¿Cuál es el término correspondiente a la figura formada por 625 cuadrados?
a) 1, 4, 9, 16, 25, 36 → an = n
2
b) n2 = 625 → n = 25
69 Escribe los cinco primeros términos de estas sucesiones recurrentes.
a) a1 = 1, a2 = 2, an = 3an−1 − 2an−2 b) a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + 2an−2
a) 1, 2, 4, 8, 16 b) 1, 1, 3, 5, 11
70 En una sucesión, cada término excede en una unidad al doble del término anterior. Si el primer término es 1:
a) Halla la ley de recurrencia de la sucesión.
b) Calcula los siete primeros términos.
c) Determina el término general de la sucesión.
a) a1 = 1, an = 1 + 2an−1 b) 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127 c) an = 2
n − 1 
71 ¿Cuál es el término general de las siguientes sucesiones?
a) 5, −5, 5, −5, 5, −5,… b) 1, 0, 1, 0, 1, 0,…
a) an = 5 ⋅ −1( )
n−1
 b) an =
1+ −1( )
n+1
2
72 Prueba que los términos de la sucesión an = n ⋅ 2
n cumplen la relación: an+2 − 4an+1 + 4an = 0
(n + 2) ⋅ 2n + 2 − 4(n + 1) ⋅ 2n + 1 + 4n ⋅ 2n = 2n(4(n + 2) − 8(n + 1) + 4n) = 0
73 ¿Son pares todos los términos de la sucesión cuyo término general es an = 3
n − 3n − 1?
3n − 3n − 1 = 3n − 1(3 − 1) = 2 ⋅ 3n − 1
Todos los términos son múltiplos de 2, son pares.
74 ¿Cuál es el número, a, para el que todos los términos de la sucesión an = n
2 + 10n + a son cuadrados de números enteros?
an = n
2 + 10n + a = n2 + 10n + 25( ) + a – 25 = n + 5( )
2
+ a – 25
Si a = 25 entonces los términos de la sucesión son cuadrados perfectos.
177
6Sucesiones
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
75 En el fondo de un lago de 3,4 m de profundidad nace un nenúfar cuya altura aumenta 40 cm durante el día y disminuye 
10 cm durante la noche. 
a) Halla la altura, an, del nenúfar tras la enésima noche.
b) ¿Qué día alcanzará el nenúfar la superficie del lago?
a) an = n ⋅ 30 cm
b) a10 = 10 ⋅ 30 = 300 cm = 3 m
 Al día siguiente aumenta 40 cm y alcanza los 3,4 m de la superficie antes de que anochezca. Por tanto, el nenúfar 
alcanza la superficie del lago en el undécimo día.
76 Considera la sucesión formada por el número de cubos de cada una de las siguientes figuras.
 
a) Escribe los seis primeros términos de la sucesión y calcula su término general.
b) ¿Cuál es el término correspondiente a la figura formada por 256 cubos?
a) 1, 4, 9, 16, 25, 36 → an = n
2
b) n2 = 256 → n = 16
77 La diferencia de una progresión aritmética es 3. Determina su término general si el primer término vale 5.
an = 5 + 3(n − 1) = 3n + 2
78 Halla la diferencia de una progresión aritmética si su primer término es 31 y el quinto vale 63.
63 = 31 + 4d → 4d = 32 → d = 8
79 Calcula la diferencia de una progresión aritmética cuyo cuarto término excede en 10 unidades al noveno.
a4 + 10 = a9 → 5d = 10 → d = 2
80 ¿Cuál es la diferencia de una progresión aritmética si su término general es an = 3n + 1?
a1 = 4 y a2 = 7 → d = 3
81 La última revisión de la caldera de la vivienda de Pedro se realizó en el año 2012. Las instrucciones de uso de su modelo 
de caldera marcan que las revisiones deben realizarse cada 3 años. ¿Se efectuará una revisión en el año 2020? ¿Y en el 
2021?
2 020 = 2 012 + 3(n − 1) → 3(n − 1) = 8 
Como 8 no es múltiplo de 3, la caldera no se revisará en el año 2020.
2 021 = 2 012 + 3(n − 1) → 3(n − 1) = 9 
Sin embargo, como 9 es múltiplo de 3, la caldera sí se revisará en el 2021.
6 Sucesiones
178
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
82 Considera la sucesión formada por el número de palillos de cada una de las siguientes figuras.
a) b) 
 
 Escribe los seis primeros términos de cada sucesión y calcula el término general que les corresponde.
a) 4, 7, 10, 13, 16, 19 → an = 4+ 3(n − 1) = 3n + 1
b) 3, 5, 7, 9, 11, 13 → an = 3 + 2(n − 1) = 2n + 1
83 Interpola tres términos aritméticos entre los siguientes números.
a) 17 y 53 b) −16 y 12 c) 2 y 54 d) 21 y −11
a) 53 = 17 + 4d → d = 9 → 17, 26, 35, 44, 53
b) 12 = −16 + 4d → d = 7 → −16, −9, −2, 5, 12
c) 54 = 2 + 4d → d = 13 → 2, 15, 28, 41, 54
d) −11 = 21 + 4d → d = −8 → 21, 13, 5, −3, −11
112
6 Sucesiones
113
Dada una progresión geométrica cuyo primer término 
vale 4 y cuya razón es 0,2; calcula:
a) La suma de los 8 primeros términos.
b) La suma de todos los términos.
El cuarto término de una progresión geométrica es 
1
27
, y el séptimo vale −
1
729
.
a) Halla el término general de la progresión.
b) ¿Se puede calcular la suma de sus infinitos 
términos? Razona tu respuesta.
El tercer término de una progresión geométrica es 2, 
y el sexto vale 16.
a) Halla el término general de la progresión.
b) ¿Se puede calcular la suma de sus infinitos 
términos? Razona tu respuesta.
¿Cuál es el primer término de una progresión 
geométrica de razón 3
4
 si la suma de todos sus 
términos vale 64?
Considera las progresiones geométricas definidas por 
an = 5an−1 y bn = 4bn−1. Si el primer término de las dos 
progresiones es igual a 1, ¿qué suma es mayor: la de 
los 7 primeros términos de an o la de los 8 primeros 
de bn?
Calcula el valor de las siguientes sumas:
a) 3 + 33 + 35 + 37
b) 1 + 32 + 34 + 36
c) −1 + 3 − 32 + 33 − 34 + 35 − 36 + 37
Observa estos triángulos. 
Si cada uno de ellos se 
ha obtenido uniendo 
los puntos medios de 
los lados del triángulo 
anterior, determina:
a) El término general de la sucesión formada por los 
perímetros de los triángulos.
b) El término general de la sucesión de las áreas de 
los triángulos.
c) La suma de los perímetros de los 8 primeros 
triángulos de la sucesión.
d) La suma de las áreas de los infinitos triángulos que 
se obtienen con este proceso.
Comprueba que, si a1, a2,…, an son los términos de 
una progresión geométrica, se verifica que: 
a1 ⋅ a2 ⋅… ⋅ an( )
2
= a1 ⋅ an( )
n
Calcula, además, el producto de los 8 primeros 
términos de la progresión: an = 3
3−n
109
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115
116
Lanzamos una pelota que va botando sobre el suelo. 
Después de cada bote avanza la mitad de la distancia 
recorrida desde el bote anterior. ¿Qué distancia habrá 
recorrido tras botar cinco veces?
8 m
Indica razonadamente si los siguientes números 
están en progresión geométrica.
a) 0, 5, 25, 125,…
b) a, a2b, a3b2, a4b3,…
c) 3n, 3n+1, 3n+2, 3n+3,…
d) 2n, −2n+1, −2n+2, 2n+3,…
Interpola cuatro términos geométricos entre:
a) 3 y 96 c) 1 y −32
b) −2 y 2 d) 2 y 6 250
¿Cuántos términos de la progresión geométrica cuyo 
primer término es igual a 2 y que tiene como razón 3 
son mayores que 20 y menores que 484?
104
105
106
107
Halla el término general de una progresión geométrica 
sabiendo que su quinto término es igual a 1 250 y 
que verifica la ley de recurrencia: an = 10an−1 − 25an−2
108
Halla tres términos consecutivos de una progresión 
aritmética cuya suma es 18, si el tercero de ellos 
excede en 2 unidades a la suma de los dos primeros.
La suma de un número impar de términos 
consecutivos de una progresión aritmética vale 169. 
¿Cuántos términos se han sumado si el central es el 
número 13?
Enrique decide ahorrar 1 € de su paga semanal el 
primer mes y 1,20 € más cada mes posterior. ¿Cuánto 
dinero habrá ahorrado al cabo de un año?
Las edades de los tres hermanos