ejercicios de relatividad espacial 2

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F́ısica IV Fain Uncoma
Resolución de Ejercicio N° 9, TP 3 Relatividad especial
Enunciado:
El núcleo de 8Be es inestable y se desintegra espontáneamente dando dos núcleos de 4He.
a Si las masas en reposo de ambos elementos son: MBe = 8, 005308u y MHe = 4, 002603u,
qué enerǵıa asociada a la masa en reposo se transforma durante la desintegración?
b En un sistema de referencia en el que el núcleo de Be esté inicialmente en reposo ¿qué enerǵıa
cinética tiene cada uno de los núcleos de He producidos?
c ¿Cuál es el módulo de la cantidad de movimiento de cada núcleo de He?
d ¿Cuál es la velocidad de cada núcleo de He?
Resolución:
Datos:
MBe = 8, 005308u y MHe = 4, 002603u.
El isótopo inestable de Berilio 8Be decae de la siguiente forma:
8Be→4 He+4 He.
a) La enerǵıa en reposo de una molécula o cuerpo, en el marco de la teoŕıa de la relatividad,
es E = m0c
2, donde m0 es la masa en reposo.
Por lo tanto, si queremos la enerǵıa asociada a las masas en reposo que se transforma en la
desintegración, debeŕıamos calcular la diferencia entre la enerǵıa asociada a la masa en reposo
del estado inicial menos la enerǵıa en reposo asociada al estado final. Esto es (teniendo en
cuenta que 1u.c2 = 931, 5MeV ):
M E =M mc2 = (mBe0 − 2mHe0 ).c2 = 1,020× 10−4u.c2 = 0,095MeV (1)
Además, M E representaŕıa a la enerǵıa cinética de los núcleos de He.
b) De la conservación del impulso (relativista), tenemos que:
~pBe = 0 = ~pHe1 + ~pHe2
~pHe1 = −~pHe2 .
Podemos concluir que las part́ıculas se mueven en direcciones opuestas y pHe1 = pHe2 (iguales
en módulo)
Donde los sub́ındices 1 y 2 se refieren a las dos part́ıculas alfa. Considerando el momento
relativista y su relación con la velocidad, p = γm0v, y considerando que:
γ1 ·mHe0 · v1 = γ2 ·mHe0 · v2,
y después de realizar un poco de algebra, y usando que γ = (1− (v/c)2)−1/2, se obtiene v1 = v2
(velocidades iguales en módulo)
Cómo la enerǵıa cinética es función de la masa en reposo y de la velocidad, y ambas magni-
tudes son las mismas (en módulo para la velocidad) para cada part́ıcula alfa, tenemos que las
enerǵıas cinéticas de cada part́ıcula es la misma, ya que K = m0.c
2.(1− (v/c)2)−1/2 −m0.c2
1
Por otro lado tenemos que la enerǵıa cinética total es (teniendo en cuenta que K1 = K2)
Ktotal = K1 +K2 =M E = 0,095MeV
K1 = K2 = 0,0475MeV
c) Consideremos ahora la ecuación que vincula la enerǵıa total, la enerǵıa en reposo y el
módulo del momento para una de las part́ıculas alfa.
(γm0c
2)2 = p2c2 + (m0c
2)2 (2)
Y calculemos los términos que conocemos:
E = K +m0.c
2 = 0,0445MeV + 4,002603 · 931,5MeV = 3728,472194MeV,
de (2) obtenemos
p =
√
E2 − (m0c2)2
c2
= 18,38
MeV
c
= 18,38 MeV · 1,6× 10
−19J/eV
3× 108m/s
= 9,81× 10−21kg ·m
s
d) Podemos calcular γ a partir de la enerǵıa total y luego despejar la rapidez v de la
expresión de γ.
E = γm0c
2;
γ =
E
m0.c2
=
3728,472194MeV
4,002603 · 931,5MeV
= 1,0000127
Y despejando v de la ecuación de γ = (1− (v/c)2)−1/2, se obtiene:
v = c ·
√
1− 1/γ2 = 4,47× 10−3 · c
v = 1,514× 106m
s
2