Resumen MC clase 4

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ÁTOMO DE HIDRÓGENO
Z = 1  H
Z = 2  He+
mp≈1850 me → suponemos al protón fijo 
Ecuación de Schrödinger en 3D:
Como el potencial es sólo función de “r” es conveniente re-
escribir la ecuación diferencial en coordenadas esféricas: 
r
)e).(Ze(
.)r(V


04
1

• Se propone separación de variables:
)().().(),,(   rRr
Reemplazando (2) en (1) se obtienen tres ecuaciones 
diferenciales, una para , otra para y otra 
para .. La Ec. radial depende de V(r). 
)(rR )(
)(
• Requisitos para la solución: debe ser continua y 
normalizable  3 nros. cuánticos: n, l y m
 immllnmlnmln erRCr ).().(.),,( ,,,,,, 
)2(
2
0
2.
n
EZ
En  ,.....2,1n
lllm
nl
n



,....1,0,...,1,
)1(,.....,2,1,0
,.....2,1
• n : número cuántico principal
• l : número cuántico asociado a la cantidad de 
movimiento angular angular
l = 0, 1, …n-1 
• m: número cuántico asociado a Lz
Resumiendo las restricciones sobre n, l, m:
1
1 ó 0


l
m
Reglas de selección
ÁTOMO DE HIDRÓGENO: transiciones electrónicas
FUNCIONES DE ONDA DEL ÁTOMO DE “H”:
)().().(.),,( ,,,,,,  mmllnmlnmln rRCr 
m
l
m
mm
lml
d
Pd
senP
)(cos
)(cos.
)(cos)(,


 
cos ;)1.(.
!.2
1 2  uu
du
d
l
P l
l
l
ll
Donde Pl está dado por:
)(.)(  mlm ),( 
m
lYARMÓNICOS ESFÉRICOS
)exp()(  imm 
4
10
0 Y


cos.
4
30
1 Y
 seniY ).exp(11 



seniY ).exp(.
8
31
1 


22
2 ).2exp(
32
15
seniY 


cos.).exp(
8
151
2 seniY 

)1cos3.(
16
5 20
2  

Y
• Para l = 0
• Para l = 1
• Para l = 2
l =0
)(rR
p2
p3
)(rR
“ORBITAL p “
“ORBITAL S “
),().(),,( ,,,,  ll mllnmln YrRr 
Armónicos Esféricos
0
.
2/3
0
10 .)(2)(
a
rz
e
a
z
rR





cos.
4
3
4
1
0 1
0 0


Yp
Ys
z 



sensenp
senp
y
x
.
4
3
cos.
4
3


“Orbitales d”
r2 Rnl (r)
2
].[ 6.13
n
Ve
En 
)1(,.......,1,0 ).1.( 2  nlllL 
lmmL llz  ,....,2,1,0 .
ÁTOMO DE HIDRÓGENO: resumen
La resolución de la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones para el átomo de 
hidrógeno, da como resultado, la cuantización de la energía y del momento angular 
orbital:
Números cuánticos: su interpretación física y reglas
• n: es el número cuántico principal, describe el tamaño y energía de un 
orbital. El orbital n=1 corresponde al estado de energía mas bajo de un 
átomo. Un orbital tendrá mayor energía cuanto mayor es su valor n.
• l : s,p,d,f…. Número cuántico azimutal, describe la forma de cada uno de los 
orbitales donde se encuentran los electrones. 
• ml : es el número cuántico magnético que define la orientación de un orbital 
en el espacio. Expresa cambios en la orientación en el espacio de las nubes de 
probabilidad, donde pueden encontrarse los electrones.
0/
100 100
Zr a
C e 
 
3/2
100 0/ /C Z a 
. Aplicando la condición de normalización comprobar que:Ejemplos: 
1- El estado fundamental del átomo hidrogenoide de 
carga nuclear +Ze es 
Aplicando la condición de normalización comprobar que
2- La función de distribución de probabilidad radial en el
estado fundamental del hidrógeno puede escribirse en la
forma
en donde C es una constante. Demostrar que P(r) tiene su
valor máximo para . Comparar con el resultado
del modelo de Bohr.
02 /2( )
Zr a
P r C r e


0 /r a Z
3- Un sistema tiene un momento angular caracterizado por un 
número cuántico l = 2. ¿Cuáles son los valores posibles de Lz? 
¿Cuál es el módulo de L y cuál es el ángulo más pequeño posible 
entre L y el eje z? Hacer un diagrama vectorial ilustrando las 
posibles orientaciones del vector L.