Física del estado sólido resumen

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Cohesión Cristalina y Molecular
¿Qué mantiene al cristal unido?
FUERZAS ELECTROSTÁTICAS ENTRE CARGAS (+) Y (-)
Energía de 
átomos aislados 
en ∞ 
Mecanismos de Enlace: Fuerzas que mantienen unido al cristal
1. Iónico
2. Covalente
3. Metálico
4. Van Der 
Waals
Distintas manifestaciones de lo mismo: 
fuerzas electrostáticas entre cargas (+) y (-)
Requiere resolver la ecuación de Schrödiner con muchos 
electrones e iones
Física Moderna 2 - S. Ramos
Sólidos Iónicos (Por ej. ClNa) Propiedades Generales
– Formados por interacción Coulombiana entre iones (ej. Na+, Cl-)
Simetría esférica: estructuras compactas fcc
ClNa
SÓLIDOS COVALENTES
 Hibridización sp3
 Geometría tetraédrica.
 CH4, CCl4
Estructura cristalina tipo diamante
Propiedades de los sólidos covalentes: 
• Duros
• Malos Conductores Calor
• Malos Conductores Electricidad
•Energías de excitación electrónica grandes ( ~ 6 eV) 
• Habitualmente Transparentes
Diamante
Grafito:
• Ejemplo: Grafito
2.81 Å 
Sólidos Metálicos Propiedades generales
– Formados por la atracción Coulombiana entre iones de la 
red (+) y un gas de electrones (-)
– Gas de electrones casi libres: los electrones de valencia se 
mueven libremente a través de la red
– Energías cohesivas inferiores a las de sólidos covalentes 
(1-4 eV) 
– Buenos conductores de la electricidad y calor
– Absorben luz visible → opacos y altamente reflectores 
 Iones positivos 
del metal
 Gas de electrones
SÓLIDOS MOLECULARES
• Enlace débil (Van der Waals) ~ 0.01 eV
• Pto. de fusión bajo, deformables
• Malos conductores calor
• Malos conductores electricidad
ESTRUCTURAS CRISTALINAS CÚBICAS 
• Primeros y segundos vecinos
sc bcc fcc
1 átomo por celda 2 átomos por celda 4 átomos por celda
Número efectivo de átomos por celda
Cálculo de densidades:
Teoría de Bandas
Conductividad eléctrica de los sólidos: 
• conductores, aislantes, semiconductores??
• amplia variación de la conductividad eléctrica de los sólidos: 
(Cu) ~ 1020 (cuarzo)
La descripción de los estados electrónicos en un sólido requiere la 
resolución de la ec. de Schrödinger. Dos aproximaciones: 
• Generalizamos: HN Cuando los átomos se aproximan 
cada estado “1s” se desdobla en N niveles 
SÓLIDO  MACROMOLÉCULA con nro. grande de átomos  BANDAS DE 
ENERGÍA
GAPS o brechas: 
intervalo de 
energías prohibidos• Reglas de llenado de bandas: se llenan 
primero las bandas de menor energía hasta ubicar 
a todos los electrones del material en los estados 
disponibles
El número de estados de una banda  Ngi  2Ngi estados disponibles
gi : degeneración del nivel atómico (s: 1; p: 3; d: 5)
Formación de bandas de energía a 
partir de los niveles de energía de 
átomos de Na aislados, a medida que la 
separación interatómica disminuye. La 
línea discontinua indica la separación 
interatómica observada en el Na 
metálico.
“ESQUEMA DE OCUPACIÓN DE NIVELES”
Banda de valencia: última banda completamente llena
Banda de conducción: banda vacía o parcialmente llena
• Una banda  N gi estados * 2 spin = 2Ngi estados disponibles
• Un sólido con un electrón por átomo será siempre un conductor. 
Ej.: metales monovalentes del Grupo IA (Li, Na, K, Rb, Cs) y los 
metales nobles (Cu, Ag, Au)  banda semillena.
• Un sólido con número par de electrones por átomo  no 
necesariamente es aislante  puede haber superposición de 
bandas (Mg).
• Muchos elementos divalentes son conductores  hay 
superposición de bandas. Sr y Ba son malos conductores  la 
superposición de bandas es reducida.
N es el numero de átomos del cristal, o sea por átomo se dispone de 2gi
estados. 
Para que un material sea aislante debe tener necesariamente un nro. par de electrones 
por átomo. Sin embargo el tener un nro. par de electrones no garantiza que el 
material sea aislante  puede haber superposición de bandas.
Gas electrónico de Fermi
El teorema de equipartición aplicado en el modelo clásico de 
conducción eléctrica para determinar vcm se obtiene de aplicar la 
distribución de Maxwell Boltzmann (MB) que no contempla el 
comportamiento cuántico del gas de electrones. 
Según MB la probabilidad de que una partícula posea una energía E 
en equilibrio térmico a temperatura T es: f(E) = A exp (-E/kBT)
La probabilidad de ocupación de estados energéticos para electrones 
en un metal obedece el ppio. de exclusión: distribución de Fermi-Dirac
En un sólido conductor el potencial en el que se mueven los 
electrones puede aproximarse como un pozo de potencial rectangular 
 gas ideal de fermiones dentro del sólido. 
Podemos poner dos electrones por nivel  N electrones llenarán N/2 
niveles a T = 0 K; el último nivel de energía ocupado a T = 0 K  EF
2
2
2/ )(
.32 L
N
m
h
EE
e
FN 
En 1D la energía de Fermi 
depende de la “densidad 
lineal” de electrones. 
2
22
.8
.
Lm
nh
E
e
n Modelo 1D: N electrones en un pozo cuadrado infinito 
de tamaño L. Los niveles de energía vienen dados por:
Energía de Fermi
GAS DE ELECRONES LIBRES
Densidad de estados electrónicos y energía de Fermi
fMB(E) = A exp (-E/kBT)
Estadística clásica: Maxwell-Boltzmann, partículas distinguibles
g(E): es la densidad de estados electrónicos: N° de 
estados disponibles con energías entre E y E+dE 
por intervalo de energía dE Depende del sistema. 
f(E): probabilidad de que el electrón ocupe el 
estado de energía E a la temperatura de equilibrio 
T
Funciones de distribución de probabilidad: 
A T = 0 K:
f(E) = 1 E < EF
f(E) = 0 E > EF
Estadística cuánticas  partículas indistinguibles
Fermi-Dirac  obedecen ppio. de exclusión de Pauli. 
Bose-Einstein  no obedecen ppio. de exclusión de Pauli 
g(E): es la densidad de estados electrónicos:
N° de estados disponibles con energías 
entre E y E+dE por intervalo de energía dE
Gas de electrones libres: 2/1
3
2/13)2(8
)( VE
h
m
Eg e





0
dE)T,E(f)E(gN FD 
2/3
e
2
F )
πV
3N
(
8.m
h
E 

0 K

FE
FD dE)E(f)E(gN
0

EF
Valencia
Conducc.
E
0
Teoría cuántica de la conducción
• Probabilidad de ocupación de los estados  FD
• Naturaleza ondulatoria del electrón   >> a
Fee vm
ne
m
ne 


221

Prácticamente no 
depende de T
Depende de T
• Imperfecciones de la red
• Vibraciones térmicas
“Regla de Matthiessen”
iT
 
vibraciones de la red
crece con T
Contribución 
de impurezas
Desdoblamiento de los estados 2s y 2p del carbono, o los estados 3s y 3p del silicio, en 
función de la separación de los átomos. 
- Eg (C) = 7 eV para la red del diamante (R0 = 1.54 Å).
- Eg (Si) = 1.1 eV para la red de Si (Rsi = 2.35 Å). 
Similar para los niveles 4s y 4p del Ge, Eg = 0.7 eV (RGe = 2.43 Å)
Semiconductores intrínsecos
Valores típicos de gaps en aislantes y 
semiconductores [eV]
DIAMANTE 7.0 Si 1.14 
OZn 3.2 Ge 0.67 
Cl2Ag 3.2 Te 0.33
S2Cd 2.42
Semiconductores Eg  2 eV
Semiconductores 
intrínsecos
h
hh
e
ee
m
en
m
en 

22

Los  decrecen con T
ne y nh crecen con T

La resistividad en semiconductores 
decrece con T dentro de cierto 
rango de temperaturas, a 
diferencia de los conductores
nh = ne
A T = 300K: 
nh = ne  10
10 1/cm3 (Si, Eg=1 eV) 
nh = ne  10
13 1/cm3 (Ge, Eg=0,67 eV) 
Semiconductores dopados
Tipo n: 
Banda de 
conducción
Banda de 
valencia
Niveles donores
ne >> nh
La energía y radio de la órbita del electrón puede aproximarse usando 
el modelo de Bohr, con carga efectiva +1 y  = r o
222
4 1
42 n
.
.)(
e.m
En


 r  12 (Si); 16 (Ge)
Tipo p: 
Niveles aceptores
Banda de 
conducción
Banda de 
valencia
nh >> ne
Supongamos que adicionamos 
As/Ge
SEMICONDUCTORES CON IMPUREZAS → transistores y diodos
1949 BARDEEN, BRATTAIN Y 
SHOCKLEY, BELL TELEPHONE 
DESARROLLAN EL 
TRANSISTOR (NOBEL 1956)
Ge: 4 e- de 
valencia
5 e- de valencia
El quinto electrón del As está 
DESLOCALIZADO  nivel próximo 
a conducción
Impurezas donorastipo “n”
Portador mayoritario 
“electrón”. Ej. As, Grupo V B
Impurezas aceptoras tipo “p” 
Portador mayoritario “huecos”: Ej. 
de Impurezas Ga, B, Al.
Grupo III B
Averigüar: ¿Qué tipo de experimento puede realizarse para determinar
el tipo de portadores mayoritarios posee un semiconductor extrínseco?
“Semiconductor Dopado”
Bastan concentraciones de aproximadamente 1 átomo/ millón 
para producir cambios significativos en la conductividad.
Juntura p-n: diodo rectificador
Unión p-n
I1 corriente de 
portadores 
mayoritarios 
I2 corriente 
térmica, 
portadores 
minoritarios
Se indican sólo 
las 
corrientes de 
huecos, 
un análisis similar 
corresponde a 
corrientes de 
electronesPolarización Inversa
Polarización Directa
En polarización directa aumenta el flujo de portadores 
mayoritarios y se establece una corriente. Un cálculo preciso 
indica lo siguiente:
• Ge  =1 ; m=2 Vg =0.785 eV
• Si  = 2 ; m=1.5 Vg =1.21 eV
Para la tensión de ruptura: los 
electrones son arrancados de sus 
enlaces atómicos y se aceleran a 
través de la unión. Esto se 
produce para tensiones bien 
definidas. De esta manera se 
utiliza este efecto para definir 
patrones de referencia de 
tensión.
PATRONES DE REFERENCIA DE 
TENSIÓN
DIODOS ZENER
Bibliografía:
1- Física Moderna, Tipler 
2- Fundamentos Cuánticos y Estadísticos. Alonso y Finn
3- Física Cuántica – Resnik Eisberg