Fracciones Racionales Introducción - Teoremas

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Fracciones
Racionales
Veremos: Teorema 1 – Teorema 2 - Método de 
descomposición en fracciones simples – ejemplos y 
ejercitación
Fracciones Racionales
 Fracciones Racionales :
 Se denomina fracción racional al cociente de dos polinomios : 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
 Fracción Propia: una fracción se denomina propia cuando el 
grado del numerador es menor que el grado del denominador.
 Ejemplo: 
4𝑥+6
𝑥2 +10𝑥+2

 Fracción Impropia: una fracción se dice impropia cuando el grado 
del numerador es mayor que el grado del denominador.
 Ejemplo: 
𝑥3 +9𝑥+6
𝑥2 +1
Teorema I
Toda fración impropia se puede descomponer como la suma de un polinomio y de 
una fracción propia. 
Si dividimos los polinomios tenemos : 
 
P(x) Q(x) 
R(x) M(x) 
Lo podemos expresar como: 
 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
 = M (x) + 
𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥)
 
 
En el ejemplo anterior tendremos : 
𝑥3 +9𝑥+6
𝑥2 +1
 𝒙𝟐 + 9 x + 6 𝒙𝟐+ 1
 - 𝒙𝟐 − 𝒙 x
 8 x +6

 Es decir que: 
𝒙𝟑 +𝟗𝒙+𝟔
𝒙𝟐 +𝟏
= x + 
𝟖𝒙+𝟔
𝒙𝟐 +𝟏
nos queda en el segundo término una fraccion propia.
En el ejemplo anterior tendremos : x3 +9x+6x2 +1
Teorema II
Toda fraccion propia se puede descomponer como suma de fracciones propias simples .
Las fracciones simples tiene la forma :
 Tipo I
𝑨
𝒙−𝒂 𝒌
donde A y a son números reales y k es un entero positivo, K es ≥ 𝟏
Tipo II
𝑨𝒙+𝑩
𝒙𝟐 +𝒑𝒙+𝒒
𝒌 donde A,B, p,q, son números reales, k es un número entero, K es ≥ 𝟏
 Donde 𝒑𝟐 − 𝟒𝒒 es < 𝟎 Y el polinomio 𝒙𝟐 + 𝒑𝒙 + 𝒒 no tiene raices reales 
Método de descomposición en 
fracciones simples
 Este método consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma
de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente
en cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio
del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.
 Para efectuar la descomposición de una fracción propia en fracciones simples,
es necesario que el denominador esté completamente factoreado de manera
que cada factor contenga solamente una raiz real de orden o multiplicidad
mayor o igual a uno.
https://es.wikipedia.org/wiki/Cociente_(aritm%C3%A9tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio
https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Grado_(polinomio)
https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_integral
Ejemplo 1 
 Sea: 
Se puede descomponer en
𝑥+3
𝑥+1 . 𝑥+2
= 
𝐴
𝑥+1
+ 
𝐵
𝑥+2
Necesitamos encontrar los valores A y B
Pasos a seguir:
1º encontramos el común denominador en el segundo miembro:
𝑥 + 3
𝑥 + 1 . 𝑥 + 2
=
𝐴(𝑥 + 2) + 𝐵(𝑥 + 1)
𝑥 + 1 . 𝑥 + 2
𝑥 + 3
𝑥 + 1 . 𝑥 + 2=
𝐴(𝑥 + 2) + 𝐵(𝑥 + 1)
𝑥 + 1 . 𝑥 + 2
SIMPLIFICANDO LOS DENOMINADORES Nos queda: X+3 = A(x+2) + B (x+1)
 3ª Asignamos valores a x para calcular los valores A y B.
Así para : x=2, reemplazando x por su valor en :
X+3 = A(x+2) + B (x+1)
 Tenemos:
2+3 = A (- 2 + 2) + B ( - 2 +1 )
 1 = - B
 B = - 1
Para encontrar el valor de A vemos que 
dando el valor -1 a x nos facilita encontrar el 
valor de A
 P/ x= -1 : -1+3 = A(-1+2) + B (-1+1)
2 = A
A = 2
 Siendo el resultado, el siguiente:
 
Ejercicios resueltos:
 Descomponer las siguientes Fracciones en Fracciones simples
 1º)
3𝑥+5
𝑥+1 2. 𝑥+2
, aqui se generan tres fraccionees simples tipo I
 Es decir:

𝟑𝒙+𝟓
𝒙+𝟏 𝟐. 𝒙+𝟐
=
𝑨
. 𝒙+𝟏
+
𝑩
𝒙+𝟏 𝟐
+
𝒄
𝒙+𝟐
; fracciones simples tipo I
Ejercicios resueltos:
 2º)
𝟓𝒙
𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝟓
𝟐
.
aquí se generan dos fracciones simples tipo II
 Es decir:

𝟓𝒙
𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝟓
𝟐
.
=
𝐴𝑥+𝐵
𝑥2 −2𝑥+5
+
𝐶𝑥+𝐷
𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝟓
𝟐 fracciones simples tipo II
Integración de Fracciones Racionales 
Tipo I
 K=1 ׬
𝑨
𝒙−𝒂 𝒌
dx = ln 𝒙 − 𝒂 +c
 Ejemplo: si k=1, A=5, =2 tenemos:
 ׬
𝟓𝒅𝒙
𝒙−𝟐 𝟏
= ׬5
𝒅𝒙
𝒙−𝟐 𝟏
= 5ln 𝒙 − 𝟐 +c
 Calcular : ׬
𝒅𝒙
𝒙 𝒙+𝟐 𝟏
𝒅𝒙 resolver en clase
Integración de Fracciones Racionales 
Tipo II
׬
𝐴𝑥+𝐵
𝑥2 +𝑝𝑥+𝑞 𝑘
dx
Ejemplo : si K=1
׬
𝑑𝑥
𝑥 𝑥2+4 1
𝑑𝑥 = ׬
𝐴𝑥+𝐵
𝑥2+4
𝑑𝑥 ׬+
𝐶 𝑑𝑥
𝑥
( resolver en clase)
INTEGRALES DEFINIDAS
 La integral definida se representa por 
 .es el signo de integración : ׬
 a : límite inferior de la integración.
 b : límite superior de la integración.
 f(x) : es el integrando o función a integrar.
 dx : es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
  )()()()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a
−==
	Diapositiva 1: Fracciones Racionales Veremos: Teorema 1 – Teorema 2 - Método de descomposición en fracciones simples – ejemplos y ejercitación 
	Diapositiva 2: 
	Diapositiva 3: Fracciones Racionales
	Diapositiva 4: Teorema I 
	Diapositiva 5: En el ejemplo anterior tendremos : numerador , x elevado al cubo , , más 9 x más 6 final numerador , entre denominador , x al cuadrado , , más 1 final denominador 
	Diapositiva 6: Teorema II 
	Diapositiva 7: Método de descomposición en fracciones simples 
	Diapositiva 8: Ejemplo 1 
	Diapositiva 9:   numerador , x más 3 final numerador , entre denominador , paréntesis de apertura x más 1 , paréntesis de cierre . paréntesis de apertura x más 2 , paréntesis de cierre , final denominador , igual a numerador , mayúscula A. se abre parénte
	Diapositiva 10: Para encontrar el valor de A vemos que dando el valor -1 a x nos facilita encontrar el valor de A 
	Diapositiva 11: Ejercicios resueltos: 
	Diapositiva 12: Ejercicios resueltos:
	Diapositiva 13: Integración de Fracciones Racionales Tipo I 
	Diapositiva 14: Integración de Fracciones Racionales Tipo II 
	Diapositiva 15: INTEGRALES DEFINIDAS
	Diapositiva 16