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MATEMÁTICAS Y ELECTROMAGNETISMO APLICADOS A LAS TÉCNICAS
DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS.

JAIR ANDRÉS RIAÑO DUEÑAS
LUIS EDUARDO VÁSQUEZ REINA

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD TECNOLÓGICA
TECNOLOGÍA EN ELECTRICIDAD
BOGOTÁ D.C.
2018

MATEMÁTICAS Y ELECTROMAGNETISMO APLICADOS A LAS TÉCNICAS
DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS.

JAIR ANDRÉS RIAÑO DUEÑAS
LUIS EDUARDO VÁSQUEZ REINA

PROYECTO DE GRADO PARA OPTAR AL TÍTULO DE TECNÓLOGO EN
ELECTRICIDAD

DIRECTOR
WILMAR DÍAZ OSSA
MAGISTER EN MATEMÁTICAS APLICADAS

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD TECNOLÓGICA
TECNOLOGÍA EN ELECTRICIDAD
BOGOTÁ D.C.
2018

3
AGRADECIMIENTOS

Aunque no fue fácil llevar a cabo este gran proyecto, se con certeza que no hubiera podido seguir sin el apoyo
incondicional de mi madre, mujer luchadora, esto es para ti mi querida vieja.
LUIS EDUARDO VÁSQUEZ REINA.

No fue fácil llegar, la culminación de esta monografía esconde detrás un trabajo arduo, deseo de dejarlo en
algún momento , así como la reinvención de nuestro carácter para no doblar las rodillas, para una vez más
tomar el lápiz y luchar contra horas en los que la cabeza estaba vacía, en las que las palabras no salían , horas
enfrentando el hecho de saber algo y no poderlo plasmar de manera sencilla en el papel ,además de lucha,
esfuerzo y persistencia esto no hubiera sido posible sin el infinito apoyo que recibí de mis padres y una mujer
que aunque estuvo lejos fue un motor importante , por eso aprovecho para darles las gracias, y expresar mi
amor, respeto y admiración hacia ellos.
JAIR ANDRÉS RIAÑO DUEÑAS.

Queríamos afrontar un reto que plasmara parte del conocimiento adquirido durante toda nuestra carrera, no
obstante, no sería posible llegar a tan semejante meta sin la ayuda de nuestros compañeros; Joseph
GERARDO RAMOS ROBAYO y MANUEL ALEJANDRO GONZÁLEZ SUAREZ los cuales nos colaboraron con la
elaboración de las imágenes.

A los profesores de la facultad tecnológica de la universidad Distrital los cuales nos transmitieron sus
enseñanzas durante todos estos años, en especial al profesor WILMAR OSSA el cual hizo parte de la
producción de esta monografía; Corrigiéndonos, orientándonos, y aportando sus conocimientos y experiencias
para que se llevara a cabo este proyecto. Para todos los que hicieron parte de este proyecto INFINITAS
GRACIAS.

4
Tabla de contenido
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................ 8
JUSTIFICACIÓN.......................................................................................................................... 8
OBJETIVOS................................................................................................................................ 9
OBJETIVO GENERAL ......................................................................................................................... 9
OBJETIVOS ESPECÍFICOS .................................................................................................................. 9
CAPITULO 1. ALGEBRA LINEAL EN TEORÍA DE CIRCUITOS .......................................................... 10
CONCEPTOS ELÉCTRICOS............................................................................................................... 10
CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA (DC). ..................................................................................... 14
LEY DE OHM. ................................................................................................................................. 15
RESISTORES ELÉCTRICOS. .............................................................................................................. 17
RESISTORES EN SERIE Y PARALELO. ............................................................................................... 19
LEYES DE KIRCHHOFF..................................................................................................................... 23
LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF (LCK) ................................................................................. 23
LEY DE VOLTAJES DE KIRCHHOFF (LVK) ..................................................................................... 24
DIVISOR DE TENSIÓN. .................................................................................................................... 26
DIVISOR DE CORRIENTE. ................................................................................................................ 28
POTENCIA EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS. ......................................................................................... 30
ANÁLISIS DE NODOS EN DC. .......................................................................................................... 34
ANÁLISIS DE NODOS CON FUENTES DE TENSIÓN INDEPENDIENTES. ....................................... 34
ANÁLISIS DE NODOS CON FUENTES DE CORRIENTE INDEPENDIENTES. ................................... 40
EL SÚPER-NODO. ....................................................................................................................... 44
ANÁLISIS NODAL CON FUENTES DEPENDIENTES. ..................................................................... 47
ANÁLISIS DE MALLA. ...................................................................................................................... 52
ANÁLISIS DE MALLAS CON FUENTES DE TENSIÓN INDEPENDIENTES. ...................................... 52
ANÁLISIS DE MALLAS CON FUENTES DE CORRIENTE INDEPENDIENTES. .................................. 57
LA SÚPER-MALLA. ...................................................................................................................... 61
ANÁLISIS DE MALLAS CON FUENTES DEPENDIENTES. .............................................................. 65
LINEALIDAD. .................................................................................................................................. 72
PROPIEDAD DE HOMOGENEIDAD O PROPORCIONALIDAD. ..................................................... 72
PROPIEDAD DE ADITIVIDAD. ..................................................................................................... 73
SUPERPOSICIÓN. ....................................................................................................................... 76
TRANSFORMACIÓN DE FUENTES. ................................................................................................. 81

5
EQUIVALENTES DE THÉVENIN Y NORTON. .................................................................................... 87
CAPÍTULO 2. CAMPO ELÉCTRICO ............................................................................................ 104
CAMPO ELÉCTRICO EN EL EJE DE UN ANILLO DE CARGA UNIFORME. ..................................... 105
CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A UNA CARGA LINEAL UNIFORME. ................................................ 107
CAMPO ELÉCTRICO DE UN DISCO CON CARGA UNIFORME. ....................................................... 110
FLUJO ELÉCTRICO. ....................................................................................................................... 113
LEY DE GAUSS. ............................................................................................................................. 117
CAMPO DE UNA CARGA LINEAL UNIFORME DE LONGITUD INFINITA. ....................................... 118
CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A UN PLANO INFINITO DE DENSIDAD DE CARGA UNIFORME. ...... 120
CAMPO CONSERVATIVO EN ELECTROSTÁTICA. .......................................................................... 122
POTENCIAL ELÉCTRICO. ............................................................................................................... 124
DIFERENCIA DE POTENCIAL .........................................................................................................124
EQUIPOTENCIAL .......................................................................................................................... 128
POTENCIAL ELÉCTRICO EN EL EJE DE UN ANILLO. ....................................................................... 130
POTENCIAL ELÉCTRICO PARA UN DISCO CARGADO. ................................................................... 131
POTENCIAL ELÉCTRICO ENTRE LÁMINAS PARALELAS. ................................................................ 132
CAPACITOR. ................................................................................................................................. 134
COMBINACIÓN DE CAPACITORES............................................................................................ 142
CAPACITORES EN SERIE. .......................................................................................................... 143
CAPACITORES EN PARALELO. .................................................................................................. 145
CAPÍTULO 3. CAMPO MAGNÉTICO. ........................................................................................ 147
LÍNEAS DE CAMPO MAGNÉTICO. ........................................................................................ 148
FLUJO MAGNÉTICO ..................................................................................................................... 149
FLUJO MAGNÉTICO DE UN CAMPO UNIFORME. ......................................................................... 150
FLUJO DE UN CAMPO NO UNIFORME. ........................................................................................ 151
FLUJO MAGNÉTICO DENTRO DE UNA SUPERFICIE CERRADA ..................................................... 151
FUERZA QUE EXPERIMENTA UNA CARGA EN MOVIMIENTO DENTRO DE UN CAMPO
MAGNÉTICO. ............................................................................................................................ 153
MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA CON CARGA EN UN CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME. ...... 157
FUERZA MAGNÉTICA QUE EXPERIMENTA UN CONDUCTOR ELÉCTRICO QUE TRANSPORTA
CORRIENTE. ................................................................................................................................. 160
¿CÓMO SE CREAN LOS CAMPOS MAGNÉTICOS? ............................................................. 162
CAMPO MAGNÉTICO DE UNA CARGA EN MOVIMIENTO. ........................................................... 162
LEY DE BIOT – SAVART. ................................................................................................................ 165

6
CAMPO MAGNÉTICO EN UN PUNTO P DEBIDO A UN CONDUCTOR QUE TRANSPORTA
CORRIENTE. ................................................................................................................................. 166
CAMPO MAGNÉTICO EN EL EJE DE UNA ESPIRA QUE TRANSPORTA CORRIENTE. ...................... 169
LEY DE AMPERE. ...................................................................................................................... 171
DEFINICIÓN DE AMPERE Y FUERZA MAGNÉTICA ENTRE DOS CONDUCTORES PARALELOS. ...... 174
CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UN FLUJO ELÉCTRICO. ........................................................ 176
LEY DE FARADAY. ......................................................................................................................... 177
INDUCTANCIA .............................................................................................................................. 179
INDUCTANCIA MUTUA. ........................................................................................................... 179
INDUCTORES. .......................................................................................................................... 181
INDUCTORES DENTRO DE UN CIRCUITO ELÉCTRICO .................................................. 181
COMBINACIÓN DE INDUCTORES. ............................................................................................ 182
INDUCTORES EN SERIE. ........................................................................................................... 182
INDUCTORES EN PARALELO. ................................................................................................... 183
CAPITULO 4. ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN CA. .......................................................................... 186
CARACTERÍSTICAS DE LAS SEÑALES ALTERNAS. .......................................................................... 186
PARTES DE UNA ONDA. ............................................................................................................... 186
FASORES. ................................................................................................................................... 192
OPERACIONES BÁSICAS ENTRE FASORES. ............................................................................... 193
ELEMENTOS DE CIRCUITOS EN TÉRMINOS FASORIALES. .............................................. 196
RESISTENCIA. ....................................................................................................................... 196
INDUCTOR. .............................................................................................................................. 198
CAPACITOR. ............................................................................................................................. 200
IMPEDANCIA. ........................................................................................................................... 201
IMPEDANCIA DE UNA RESISTENCIA (R). ....................................................................... 202
IMPEDANCIA DE UNA INDUCTANCIA (L). ................................................................................ 203
IMPEDANCIA DE UNA CAPACITANCIA (C). .............................................................................. 203
DIAGRAMA FASORIAL. ................................................................................................................. 206
ANÁLISIS USANDO LEYES DE KIRCHHOFF. ................................................................................... 212
MÉTODO DE NODOS ................................................................................................................... 215
MÉTODO DE MALLAS. ................................................................................................................. 218
TRANSFORMACIÓN DE FUENTES. ............................................................................................... 221
LINEALIDAD DE LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN CORRIENTE ALTERNA. ..................................... 223

7
ADITIVIDAD. ............................................................................................................................. 223
HOMOGENEIDAD. ................................................................................................................... 224
SUPERPOSICIÓN. ..................................................................................................................... 224
MÉTODO DE LINEALIDAD ........................................................................................................ 227
TEOREMA DE THÉVENIN. ............................................................................................................ 228
TEOREMA DE NORTON. ............................................................................................................... 232
POTENCIA. ................................................................................................................................... 234
POTENCIA MEDIA O PROMEDIO. ............................................................................................ 236
TRANSFERENCIA DE POTENCIA PROMEDIO MÁXIMA. ............................................................ 242
VALOR RMS .................................................................................................................................247
FACTOR DE POTENCIA. ................................................................................................................ 251
POTENCIA COMPLEJA. ................................................................................................................. 256
CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA. .................................................................................. 259
AMPLIFICADORES OPERACIONALES ............................................................................................ 261
GANANCIA EN UN AMPLIFICADOR. ......................................................................................... 262
CONFIGURACION DEL AMPLIFICADOR .................................................................................... 263
SATURACION. .......................................................................................................................... 264
AMPLIFICADOR INVERSOR ...................................................................................................... 264
AMPLIFICADOR NO INVERSOR ................................................................................................ 265
AMPLIFICADOR SUMADOR...................................................................................................... 266
AMPLIFICADOR RESTADOR ..................................................................................................... 267
DIFERENCIADOR. ..................................................................................................................... 268
INTEGRADOR. .......................................................................................................................... 269
SERIES DE FOURIER. .................................................................................................................... 273
SEÑAL PAR. .............................................................................................................................. 276
SEÑAL IMPAR. .......................................................................................................................... 277
ANÁLISIS DE CIRCUITOS CON SEÑALES PERIÓDICAS NO SINUSOIDALES .................................... 281
POTENCIA PROMEDIO DE SEÑALES NO SINUSOIDALES. ............................................................. 286
EJERCICIOS ........................................................................................................................... 289
BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................... 305

8
INTRODUCCIÓN
La propuesta consiste en realizar una monografía estructurada de tal forma se vea las técnicas de análisis
de circuitos, la física electromagnética y las matemáticas como elementos inherentes. Buscando la
generación de una herramienta de autoestudio para estudiantes de sistemas eléctricos de media y baja
tensión. Esta distribución permite en un primer momento definir conceptos básicos, como: qué es un
circuito, qué es un nodo, qué es una malla y explicar las leyes fundamentales a partir de circuitos
resistivos puros. En este primer acercamiento se explican las técnicas de resolución de circuitos, que
recoge: los equivalentes resistivos, el divisor de corriente, el divisor de voltaje, el análisis de malla, el
análisis nodal, transformación de fuentes, el teorema de Thévenin y Norton entre otros. En los
problemas trabajados el correcto desarrollo del análisis nos lleva a escenarios donde la solución se
centra en resolver sistemas de ecuaciones lineales que se desarrollan de manera detalla, haciendo uso
de métodos como: Gauss- Jordán, matriz inversa o determinantes. Además, el procedimiento para
plantear estas ecuaciones se da paso a paso, incorporando imágenes que facilitan el entendimiento y la
deducción de estas.

Posteriormente se explican temas como campo eléctrico y campo magnético que permiten entender el
principio de funcionamiento de elementos de circuito como el capacitor y el inductor. Aquí el desarrollo
de los ejemplos planteados requiere un conocimiento básico en la solución de derivadas y de integrales,
sin embargo, en armonía con lo que se busca, las soluciones se dan de manera detallada.

Por último, unificando los temas anteriores y haciendo mención de algunas consideraciones importantes
se explican las técnicas de análisis de circuitos en corriente alterna, siguiendo los lineamientos ya
establecidos (soluciones matemáticas explicitas e imágenes que permitan un fácil entendimiento de los
temas explicados).

JUSTIFICACIÓN
Tradicionalmente se evidencia que el material pensado y enfocado para la enseñanza de análisis de
circuitos eléctricos no enfatiza en la importancia de la física electromagnética que permite entender los
principios del comportamiento de los elementos de circuito dentro de este. Además el material didáctico
tanto físico como de análisis de circuitos habitualmente no centran esfuerzo a la hora de explicar cómo
se resuelve un sistema de ecuaciones lineales, como se resuelve una integral o en general no explica de
manera detallada los procedimientos matemáticos que permiten llegar a un resultado de interés.

Para el caso de un estudiante de Sistemas eléctricos de media y baja tensión se necesita que este
entienda que todos estos temas van de la mano, por eso surge la iniciativa de un texto que reúne los
cursos como calculo diferencia e integral, física II (Electromagnetismo) y análisis de circuitos básico en
corriente Directa (DC) y corriente alterna (AC), mostrando su importancia y la estrecha relación que
tienen. Esto se implementará con el desarrollo de una monografía de Matemáticas y física
electromagnética aplicada a las técnicas de análisis de circuitos.

OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Desarrollar una monografía que fortalezca el aprendizaje de los estudiantes del programa tecnológico de
sistemas eléctricos en media y baja tensión de la universidad distrital Francisco José de Caldas en el
estudio de las técnicas de análisis de circuitos, incorporando procedimientos matemáticos detallados,
además del estudio de física electromagnética que permite entender los principios del comportamiento
de los elementos de circuito dentro de este.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

 Desarrollar los temas a partir de explicaciones claras y lógicas, acompañados de ejemplos
detallados e imágenes que permitan la rápida comprensión del lector, haciendo de esta monografía una
herramienta de autoestudio.

 Elaborar un capítulo dedicado a la explicación de conceptos y leyes básicas, además de las
técnicas de análisis de circuitos en corriente directa.

 Realizar un capitulo que permita explicar el concepto de campo eléctrico y cuál es su relación con
un capacitor.

 Realizar un capitulo que permita explicar el concepto de campo magnético y cuál es su relación
con un inductor.

 Elaborar un capitulo donde se expliquen las técnicas de análisis de circuitos de corriente alterna
en estado estable.

El trabajo pesado es, por lo general, la acumulación de tareas livianas que no se hicieron a tiempo
Henry Cooke
_______________________________________________________________

esolver un circuito eléctrico implica emplear leyes que permitan determinar variables eléctricas como
parte de interés de este. Así será común enfrentarse a situaciones donde se desee determinar la caída de
tensión en un elemento de circuito, la corriente que fluye a través de una malla o determinar la potencia
que suministra una fuente.
El lector notará que los métodos utilizados en la resolución de circuitos no son más que el uso de las leyes
fundamentales aplicadas de manera estratégica. Estosanálisis generalmente nos llevaran a escenarios donde
debamos plantear un número considerable de ecuaciones, aquí el álgebra lineal juega un papel fundamental,
pues nos brinda las herramientas necesarias para hallar los valores que satisfagan los sistemas de ecuaciones
planteadas con base en la aplicación de leyes eléctricas.

CONCEPTOS ELÉCTRICOS.
Antes de adéntranos en la teoría de circuitos y los análisis que permitirán resolverlos, definiremos cada uno de
los términos eléctricos utilizados. En este capítulo y a lo largo del libro nuestras definiciones tanto matemáticas,
eléctricas, como físicas serán tan sencillas como sea posible, con el objetivo de favorecer la compresión del
lector.

1. Circuito eléctrico.
Es la interconexión de componentes eléctricos o electrónicos que permiten el flujo de corriente a través de un
camino cerrado, compuesto por conductores, fuentes que suministran energía, elementos receptores, de
control y protección. Estas interconexiones de elementos forman configuraciones para las cuales se han ideado
una serie de conceptos que se definirán a continuación y permiten referirnos a una porción del circuito.
2. Nodo.
Punto en el cual se unen dos o más elementos de circuito.
3. Rama
Se conoce como rama a una parte del circuito que está comprendida entre dos nodos consecutivos.
R

11
4. Lazo.
Camino cerrado que contiene una o varias ramas en su interior.
5. Malla.
Camino cerrado que no contiene ramas en su interior.
6. Punto de referencia.
El punto de referencia dentro de los circuitos eléctricos se define como el nodo que posee el potencial más bajo
en todo el circuito, entiéndase bajo potencial como potencial igual a cero.

Figura 1. Circuito de tres nodos, dos mallas y un lazo.
Para el circuito de la figura 1 el nodo tres es la referencia y se dice que está puesto a tierra. Se representa con el
símbolo encerrado por el ovalo.

7. Carga eléctrica.
Este concepto nace del modelo atómico y se define como una característica propia de la materia que permite
establecer la pérdida o ganancia de electrones cuando se inicia el proceso de desplazamiento y
desprendimiento de estos de su capa de valencia. Su unidad de medida en el sistema internacional (SI) es el
coulomb simbolizado con la letra C.

8. Tensión.
También denominada diferencia de potencial o voltaje es una magnitud física que determina el trabajo por
unidad de carga realizado por un campo electrostático al mover una partícula cargada entre dos puntos.
Se calcula la diferencia de potencial entre dos puntos donde se desplaza una partícula con carga , del punto A
al punto B como
Ecu 1. Diferencia de potencial
Si el punto A es designado como referencia, su potencial es igual a cero, por lo que

12
Ecu 2. Potencial eléctrico
Para este caso se habla del potencial en el punto B. Note la diferencia entre los dos conceptos.
La unidad utilizada en el SI para el potencial eléctrico y la diferencia de potencial es el voltio, denotado por la
letra , que puede expresarse en cantidades básicas, entre otras como:

Para designar la tensión de un elemento de circuito, además de su valor escalar habrá de indicarse con un signo
más el punto que se encuentra a un mayor potencial eléctrico y con un signo menos el punto de menor
potencial. (Observe la figura 2)

Figura 2 .Notación para designar la diferencia de potencial de un elemento de circuito.
9. Corriente.
Cuando dos puntos A y B, los cuales poseen una diferencia de potencial son unidos mediante un material
conductor se produce un movimiento de electrones de un punto a otro. Este traslado de partículas con carga es
lo que se conoce como corriente eléctrica.
Matemáticamente expresamos la corriente como la razón de cambio de la carga con respecto al tiempo

Ecu 3
Por lo que el movimiento de una carga eléctrica positiva a razón de un coulomb por segundo de un punto A a un
punto B se expresa como un amperio ( ), que es la unidad de intensidad de corriente utilizada en el SI.

Es importante mencionar que para hablar de una corriente que no fluya durante un breve periodo de tiempo, es
decir sea constante, el conductor debe hacer parte o formar una trayectoria cerrada.
Esta magnitud física además de su valor escalar posee un sentido que determina de qué manera se mueven los
electrones. La corriente en la figura 3 indica que los electrones van del punto al punto .

Figura 3. Notación para designar la corriente de un elemento de circuito.

Por convención utilizaremos la letra para denotar aquellas corrientes que mantienen un valor constante en el
tiempo, mientras que para aquellas corrientes que cambian su valor en función del tiempo utilizaremos la
letra .
10. Fuentes.
Dentro de un circuito eléctrico el dispositivo que permite “empujar” carga de un potencial menor a uno mayor
es conocido como fuente eléctrica o generador eléctrico.
Los dispositivos como pilas o generadores convierten energía de alguna forma (en este caso química y mecánica
respectivamente) en energía potencial eléctrica que eventualmente es transferida al conectar un circuito o un
dispositivo en los bornes de este.
Generalmente nos referimos al potencial de una fuente de tensión como fuerza electromotriz denotado por la
letra cuya unidad de medida es el voltio, que es un término equivocado considerando que se ha definido el
potencial como energía por unidad de carga.
Idealmente estas fuentes tienen una tensión fija entre sus terminales sin importar la carga que alimenten y
serán las utilizadas en nuestros análisis posteriores.
Análogamente podemos encontrar fuentes de intensidad que proporcionan una corriente fija independiente de
la carga que alimenta.
En teoría de circuitos estos dispositivos son conocidos como fuentes independientes caracterizados por tener
un valor de tensión o corriente según sea el caso siempre constante sin importar la carga que alimentan.

Figura 4. Símbolo eléctrico para: a. Fuente de corriente directa independiente. b. Fuente de tensión independiente de
corriente alterna y directa respectivamente.

14
Existen otro tipo de fuentes conocidas como fuentes dependientes para los cuales su valor de tensión o
de corriente depende de otra variable del circuito y se representan como se muestra en la figura 5.

Figura 5 .Símbolo eléctrico que representa: a. Fuente de corriente directa dependiente, b. fuente de tensión dependiente
de corriente directa.
Sean dependientes o independientes este tipo de fuentes pueden ser de corriente directa (DC), es decir la
corriente fluye en un único sentido y este no cambia en el tiempo o de corriente alterna (AC), para la cual su
sentido de circulación cambia periódicamente.
Las fuentes o generadores eléctricos se clasifican dentro de un grupo llamado elementos activos debido a que
generan, entregan o suministran potencia. Para estos elementos la corriente fluye de un potencial menor a uno
mayor.

Figura 6.Equivalentes para fuentes de corriente y fuentes de tensión respectivamente.
Es importante mencionar que no se debe realizar la conexión de fuentes de tensión en paralelo si su valor
y polaridad no son las mismas, ni conexiones en serie de fuentes de corriente que no poseen la misma
magnitud y el mismo sentido.

CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA (DC).

Nuestro objetivo por ahora estará enfocado al análisis de circuitos en corriente directa (DC) y posteriormente se
extenderá al estudio de circuitos en corriente alterna (AC) que se basa sobre los mismos principios teniendo en
cuenta algunas consideraciones importantes.
El análisis de circuitos de corriente directa se centra básicamente en aquellos que cuentan con resistencias
eléctricas, debido a que elementos como condensadores y bobinas tienen un comportamiento particular

15
cuando son sometidos a este tipo de corriente, se recomienda al lector indagar acerca del tema de circuitostransitorios.

LEY DE OHM.

Esta ley eléctrica fue señalada por el físico y matemático alemán Georg Simón Ohm la cual establece que el
voltaje que cae en un elemento resistivo es directamente proporcional a la corriente que fluye a través de este.
La relación matemática de la ley de ohm se muestra en la ecuación 4.

Figura 7.Grafica de corriente vs tensión para un material óhmico.
Ecu. 4
Donde es la constante de proporcionalidad entre el voltaje y la corriente llamada resistencia. Su unidad de
medida en el SI es el ohm denotado con la letra griega omega (Ω) que equivale a un voltio por amperio. Para el
correcto uso de esta ley siempre habrá que trabajar con la corriente que entra por la terminal del elemento que
está a un mayor potencial eléctrico.

Es importante entender que la proporcionalidad directa descrita por la ecuación 4 aplica para ciertos materiales
o elementos, sin embargo, una expresión alternativa de esta ley define la resistencia para cualquier material
cumpla o no la ley de ohm.

Ecu. 5
Siempre que sea constante será correcto hablar de la ley de ohm y se dirá que el resistor es óhmico.

16
Por ejemplo, un diodo es un elemento de circuito que permite el flujo de corriente en un único sentido y es
utilizado ampliamente en aplicaciones electrónicas, estos no poseen una relación lineal entre la tensión aplicada
entre sus terminales de conexión y la corriente que fluye a través de él.
Para cada punto sobre la gráfica se tiene una resistencia diferente que viene dada por la ecuación 5.

Figura 8.Relación entre tensión y corriente de un diodo típico.
Ejemplo 1
a) Calcule la corriente que fluye a través de una resistencia eléctrica de sobre la cual existe una diferencia de
potencial de .
b) Determine la corriente en la resistencia si la tensión adquiere un valor de .

Solución.
a) A partir de la ley de ohm despejamos la variable de interés por lo que

b) Para este caso la tensión aumentó un factor K igual a

Note que es un valor adimensional, es decir no posee unidades. Debido a la relación lineal existente, la corriente
aumenta un mismo factor K, por tanto, puede ser calculada como

17
RESISTORES ELÉCTRICOS.
Es un elemento de circuito diseñado para oponer una resistencia particular a la corriente que fluye a través de
él, están compuestos normalmente por carbón o por un arrollamiento de alambre.
El símbolo eléctrico utilizado para representar una resistencia se muestra en la figura 9.

Figura 9. Símbolo para una resistencia eléctrica.
Este elemento entra dentro del grupo de elementos pasivos que se definen como aquellos que consumen,
disipan o absorben potencia, para estos la corriente fluye de un potencial mayor a uno menor. Refiérase a la
figura 10.

Figura 10.Flujo de corriente para un elemento pasivo.
Los valores óhmicos de las resistencias que se encuentran en el mercado generalmente vienen dados por un
código de cuatro colores. Ver tabla 1.

Tabla 1. Código de colores de las resistencias.

18
Las dos primeras bandas indican las primeras cifras del valor del resistor, la tercera banca indica cuantos ceros
hay que agregar al valor anterior para encontrar el valor final del resistor también conocido como multiplicador
y por último la cuarta banda indica la tolerancia del elemento.
0. Negro 1. Cafe 2. Rojo 3. Naranja 4. Amarillo 5. Verde 6. Azul 7. Violeta 8. Gris 9. Blanco

Imagine que tiene un resistor que cuenta con los siguientes colores:
Rojo-blanco-Rojo-Dorado
La tabla 1 indica que el valor del resistor es

Y cuenta con una tolerancia de lo que indica que la resistencia puede tomar cualquier valor que este
dentro intervalo que se calcula a continuación.
El 5% de es 145Ω. El valor mínimo y máximo del intervalo se calcula restando y sumando
respectivamente al valor dado por el código de colores el resultado de su valor porcentual, determinado por la
cuarta banda. Por tanto, el valor real de la resistencia puede ser un valor que este entre 3045 Ω y 2775Ω.
Físicamente la resistencia para un conductor de área transversal uniforme viene dada por la expresión

Ecu 6. Resistencia eléctrica para un conductor de área transversal uniforme.
Donde es la resistividad del material, Es la longitud del conductor y es el área transversal.
De esta expresión se infiere que conforme aumenta la longitud del conductor su resistencia aumenta y que para
conductores de área transversal grande se espera una menor resistencia en comparación con aquellos que
cuentan con un área transversal pequeña cuando sus longitudes son las mismas.

Figura 11. Resistencia eléctrica de carbón y resistencia eléctrica variable respectivamente.

19
RESISTORES EN SERIE Y PARALELO.
En muchas situaciones se hará necesario poder modelar una configuración de elementos que demandan
potencia, llamados cargas, en un único elemento equivalente, debido a que sólo nos interesa la potencia total
consumida por la configuración. Para el caso en que los elementos sean resistivos esta equivalencia se
encontrará a partir de las siguientes expresiones.
Suponga que desea encender cierto número de bombillas incandescentes de tal manera que al cerrar un
interruptor todas sean prendidas. Ver figura 12.

Figura 12.circuito eléctrico con una conexión en serie de bombillas eléctricas.

El interruptor se clasifica dentro de los elementos de control de los circuitos eléctricos y así como los pulsadores
o los conmutadores permiten el control del flujo de corriente en un lugar determinado del circuito. Las
bombillas son dispositivos de luz artificial que basan su funcionamiento en el calentamiento de un material
conductor de poca longitud y pequeña área transversal que a altas temperaturas emiten luz. Este fenómeno es
conocido con incandescencia.
Eléctricamente estas bombillas se pueden modelar a partir de una resistencia eléctrica con un valor
determinado por lo cual la figura 12 se puede representar como se muestra en la figura 13

Figura 13.Circuito equivalente de la figura 12.
Note que cuando el interruptor se cierra una sola corriente , fluye a través de todas las bombillas modeladas
como resistencias. A esta conexión donde la terminal de salida de un elemento de circuito se conecta a una
única terminal de entrada de otro se le conoce como conexión en serie.

20
Aplicando la ley de ohm encontramos que la tensión para cada elemento es:

Como se explicará adelante la suma algebraica de estas tres tensiones debe ser igual al voltaje presente en las
terminales de la fuente.

La razón de la tensión de la fuente y la corriente total determina la resistencia equivalente del circuito,
que puede ser calculada como la suma algebraica de los valores resistivos de cada resistencia.

Ecu 7. Resistencia equivalente para un número n de resistencias conectadas en serie.
Ahora imagine que cuenta con una fuente de tensión y desea prender cada una de las bombillas en instantes
diferentes, esta situación sugiere la configuración mostrada en la figura 14.

Figura 14.Configuración que satisface la condición deseada.
Cuando las tres bombillas se hallan encendidas la tensión en sus terminarles es la misma para todas. Esta
configuración caracterizada por tener elementos que comparten un mismo par de nodos es conocida como
conexión en paralelo.

Figura 15.Modelo eléctrico del circuito mostrado en la figura 14.
La corriente que fluye en cada elemento, considerando que su tensión es la misma se calcula como

La corriente total del circuito , se obtiene mediante la suma algebraica de cada una de las resistencias
individuales, es decir,

Como la razón voltaje de la fuente y la corriente total es la resistencia equivalente, la sustitución de un
grupo de resistencias conectadas en paralelo por un único elemento que no modificala resistencia total del
circuito y demanda la potencia total de la configuración, se da a partir de la relación

Ecu 8. Resistencia equivalente para un número n de resistencias conectadas en paralelo.

22
Ejemplo 3
Encuentre el valor del elemento que representa la resistencia equivalente del circuito mostrado en la figura 16.

Figura 16.Circuito de práctica para el ejemplo 3.
Para este tipo de ejercicios se recomienda realizar simplificaciones iniciando desde la derecha e ir avanzando
hacia la izquierda.
Observe que la resistencia y se encuentran en serie por lo que

Figura 17.simplificacion del circuito de la figura 16.
Ahora se considera el circuito de la figura 17, donde , y se encuentran conectados en paralelo por lo
que un valor para un único elemento equivalente se encuentra a partir de la ecuación 8.

La resistencia que presenta el menor valor resistivo dentro del conjunto de resistencias para el cual se
determina su equivalente es la resistencia cuyo valor es , note que la suma de resistencia en paralelo da
como resultado un equivalente con un valor menor al de . Las simplificaciones echas permiten tener un
circuito sencillo con sus elementos conectados en serie por tanto la resistencia total del circuito es

Figura 18.Segunda simplificación para el circuito trabajado.

Por lo que la resistencia que ve la fuente podría modelarse como un único elemento resistivo con un valor de
.

Figura 19.circuito equivalente

LEYES DE KIRCHHOFF

El físico alemán Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) teniendo en cuenta la naturaleza conservativa de un
campo electrostático y el principio de conservación de la carga eléctrica enuncia las siguientes leyes.

LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF (LCK)
Establece que la suma algebraica de las corrientes que entran a un nodo (consideradas como positivas) más las
corrientes que salen del mismo nodo (consideradas negativas) es igual a cero.

Figura 20. Distintas corrientes entrando a un mismo nodo.
La LCK para el nodo que se muestra en la figura 20 es

LEY DE VOLTAJES DE KIRCHHOFF (LVK)
Determina que la suma algebraica de las diferencias de potencial de todos los elementos existentes dentro de
una malla o un lazo es igual a cero.
Ejemplo 4
A partir de las leyes explicadas anteriormente para el circuito mostrado en la figura 21, determinar:
a) Los valores de tensión y
b) el valor de la corriente .

Figura 21. Circuito de práctica para el ejemplo 4.

Solución
a) Encontramos la tensión aplicando la LVK en la malla de puntos A-B-A.
Siempre que utilicemos la LVK el lector deber definir los signos que utilizará para realizar la sumatoria. Si decide
trabajar con el signo que antecede al elemento o al que lo procede debe ser siempre así a lo largo de toda la
trayectoria cerrada. Debe tenerse cuidado de no mezclar signos que procedan y antecedan los elementos en un
mismo lazo o malla ya que esto nos lleva a incurrir en un error.

25
Para este caso se tomará los signos que anteceden al elemento recorriendo la malla en sentido anti horario.

Por lo que

Figura 22. Tensiones equivalentes.

Conocido el valor de se encuentra la tensión aplicando una LVK en la Malla A-C-B-A recorriendo la malla
en sentido anti horario.

El valor de es

Observe que para los valores encontrados la sumatoria de voltajes en cualquier camino cerrado es cero.
b) La corriente puede ser hallada aplicando una LCK en el nodo A o en el nodo B, para el caso del nodo A
se tiene

Recuerde que las corrientes que entran serán designadas como positivas, mientras que las que salen se tomaran
como negativas. Usando la ley de ohm se encuentra

Por tanto

El signo menos indica que una corriente positiva tendría una dirección contraria a la encontrada

Figura 23. Corrientes equivalentes.

DIVISOR DE TENSIÓN.
Suponga que usted cuenta con una fuente de tensión independiente de y desea alimentar un dispositivo
cuyo valor de tensión máximo soportado es . En estos casos se hace uso de configuraciones de circuito con
una sola malla. Como se mencionó anteriormente en este tipo de circuitos la corriente que fluye por cada
elemento es la misma, y en obediencia a leyes de Kirchhoff la suma algebraica de las tensiones individuales de
cada elemento pasivo debe ser igual a la suma algebraica de las tensiones de los elementos activos.
Para la solución del problema planteado usaremos dos resistencias que permitan la división de tensión de tal
forma que en caigan y en la tensión restante a fin de poder alimentar nuestro dispositivo, así nuestro
problema se centra en determinar los valores de las resistencias.
A partir de la ley de ohm, calculamos la corriente que fluye en el circuito como

Ecu. 9
La tensión en viene dada por

Ecu. 10
Reemplazado la expresión (9) en la ecuación (10) se obtiene

27
Como se desea que en el valor de su tensión sea y teniendo en cuenta que la resistencia equivalente del
circuito se calcula como la suma algebraica del valor de las resistencias se dice que

Operando resulta
Ecu 11.
Como se desconocen dos variables habrá que plantear otra ecuación, esta se determina considerando que la
tensión en debe ser igual a , por tanto

Trabajando la ecuación se obtiene
Ecu 12.

Escribiendo las expresiones (11) y (12) en forma matricial, tenemos

Solución por Gauss- Jordán

La fila 2 de esta matriz indica que el sistema tiene infinitas soluciones, sin embargo, llevando la fila uno a una
expresión matemática se tiene

28
Se deberá elegir cualquier variable como dependiente. Despejando resulta

Como se eligió como independiente, esta resistencia puede tener cualquier valor y se soluciona el problema
planteado siempre y cuando el valor de este dado por la anterior ecuación. (Observe la tabla)

Tabla 2.Valores de resistencia que satisfacen el problema trabajado.
Cualquier pareja de las resistencias mostradas anteriormente permiten obtener un valor de en y un valor
de en .
Siempre que se tenga un circuito de una sola malla como el mostrado en la figura 18 y se desee determinar la
tensión en algún elemento resistivo se puede hacer a partir de la expresión

Ecu 13. Divisor de tensión.

DIVISOR DE CORRIENTE.
Cuando se tiene un circuito resistivo, en donde una fuente de corriente independiente alimenta varias
resistencias conectadas en paralelo se puede hallar la corriente que fluye en cada resistencia fácilmente a partir
de la expresión deducida a continuación.
La corriente que fluye en cada elemento es

Ecu 14.
Donde la tensión de los elementos puede ser calculada como
Ecu 15.
Conocemos que la resistencia equivalente para un número de resistencias conectadas en paralelo se halla a
partir de la ecuación 8, sustituyendo esta expresión en la ecuación 15 resulta

Ecu 16.
Reemplazando (16) en (14) obtenemos

Ecu 17. Divisor de corriente
Finalmente, la ecuación 17 permite determinar la corriente que fluye por una resistencia cualquiera a partir de:
su valor resistivo, la magnitud de corriente de la fuente y la resistencia equivalente del circuito.
Este tipo de configuraciones son ampliamente usados en medidas eléctricas en situaciones donde se desea
determinar el valor de una corriente que supera los valores nominales que el instrumento de medida puede
censar. La manera de llevar a cabo este procedimiento es construyendo un divisor de corriente. Para una rama
cualquiera se asegura que el valor de intensidad este dentro del rango permitido del instrumento y luego a
partir de un análisis matemático la corriente medida es multiplicada por un factor α que permite determinar la
corriente de interés, a esta práctica se le conoce como medidaindirecta.

Ejemplo 5
A partir de la expresión 17, determine la corriente de cada una de las resistencias del circuito de la figura 24.

Figura 24. Circuito de práctica del Ejemplo 5.
Para el caso particular en que la división de corriente se hace por dos elementos resistivos se tiene que

30
Realizando la suma de las fracciones del denominador y aplicando el producto de medios y extremos
encontramos

Ecu 18. Divisor de tensión para dos resistencias.
Usando la ecuación 18 y reemplazando valores para cada resistencia se encuentra

De manera similar para su corriente viene dada por

Una sencilla verificación para determinar si la solución al problema es correcta se basa en verificar que las leyes
de Kirchhoff se cumplan. Para este ejemplo de práctica los valores de e satisfacen que la suma de
corrientes en cualquiera de los nodos del circuito sea igual a cero.

POTENCIA EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS.
En los circuitos eléctricos generalmente es de interés determinar la rapidez con la que la energía se entrega o se
extrae de un elemento de circuito, de hecho, el comercializador que brinda el servicio de energía eléctrica ya
sea residencial o industrial tiene en cuenta básicamente este único criterio para determinar el valor de la factura
de un establecimiento.
Si suponemos cantidades diferenciales de carga y energía tenemos lo siguiente

Si multiplicamos la corriente y la tensión en un elemento de circuito en un mismo instante de tiempo
obtenemos

31
Esta razón recibe el nombre de potencia eléctrica instantánea y determina la relación de la transferencia de
energía por unidad de tiempo.
Ecu 19. Potencia eléctrica instantánea.
De la ecuación 19 se observa que la unidad de medida de la potencia eléctrica está dada en amperio por voltio,
esta recibe el nombre de Wattio, que es denotado con la letra W y es la utilizada en el SI.

Para el cálculo correcto de la potencia eléctrica de un elemento de circuito siempre habrá que tomar la
corriente que entra por el terminal que está a un mayor potencial eléctrico.
Para un elemento pasivo encontramos que

El valor de la potencia eléctrica resulta positivo por lo que se dice que este disipa potencia. Para el caso de una
resistencia eléctrica las cargas que constituyen la corriente que fluye a través del elemento colisionan con los
átomos de este, transfiriendo energía al material lo que generablemente produce un aumento de temperatura
en el elemento.
Formas alternativas de la hallar la potencia eléctrica se desprenden de la ecuación 19 utilizando la ley de ohm
Ecu 20.
Ecu 21.
Observe que para los tres casos la potencia eléctrica instantánea viene dada por una ecuación no lineal.
El valor de potencia nominal o máxima para un elemento eléctrico es tan importante como lo es su valor de
resistencia, capacitancia o inductancia, pues este determina los límites de tensión y corriente sobre el cual
puede trabajar el elemento sin sobrecalentamiento o dañarse.
Las fuentes eléctricas o generadores brindan energía a los elementos pasivos del circuito del cual hacen parte.
Como es un elemento activo la corriente fluye de un potencial menor a uno mayor por lo que su potencia es

La corriente es tomada como negativa debido a que siempre debe trabajarse con la corriente que entra al
terminal de mayor potencial. Para este caso la potencia eléctrica , obtiene un valor negativo, que indica que el
elemento entrega energía al circuito.
Un fenómeno importante de los circuitos eléctricos es que la cantidad de potencia absorbida por algunos
elementos de circuito es igual a la cantidad de potencia generada por los elementos restantes. Este fenómeno
recibe el nombre de balance de potencia e indica el cumplimiento del principio de conservación de la energía.

Ecu 22. Balance de potencia en circuitos eléctricos.

32
Ejemplo 6
Con el fin de afianzar los conceptos y las leyes presentadas anteriormente, se realizará el balance de potencia
del circuito de la figura 25.

Figura 25. Circuito sencillo para el desarrollo del ejemplo 6.

Se definió ya el concepto de balance de potencia y se estableció que la suma entre la potencia absorbida y la
potencia generada debe ser igual a cero.
El análisis de circuitos no se basa simplemente en obtener los valores de las variables de interés, la palabra
análisis implica el hecho de aprovechar al máximo las ventajas que presenta el circuito, haciendo que cada
calculo sea lo más sencillo posible para posteriormente dar un significado físico al modelado matemático.
Ventajas presentes en circuito de la figura 25.
El circuito presenta una conexión en serie; esto implica que la corriente que fluye a través de cada
elemento es la misma.
Los valores de la fuente de tensión y cada elemento resistivo
vienen dados por , y respectivamente.

Calculo de potencia de los elementos resistivos.
De las ecuaciones dadas para la potencia eléctrica, encontramos que la expresión de menor complejidad es la
dada por la ecuación (21). Se mencionó anteriormente que la corriente que fluye por cada elemento es la misma
por tanto para el cálculo de potencia en cada resistencia solo se debe hallar una única variable ( ). En el caso en
que el lector se inclinara por la ecuación (20) encontrara que debe calcular la caída de tensión en cada una de
las resistencias.
La ley de ohm establece lo siguiente

Para el circuito de la figura 25

33
Ecu 23.
La resistencia total del circuito se calcula como
Ecu 24.
Reemplazando la ecuación (24) en la expresión (23) obtenemos

Ecu 25.
Encontrada la expresión que determina la corriente que fluye por el circuito reemplazamos la ecuación 25 en la
ecuación que permite el cálculo de la potencia de cada elemento
Para se tiene:

Ecu 26.
Análogamente para se encuentra

Ecu 27.
Se ha encontrado así las expresiones que determinan el consumo de potencia de los elementos resistivos.
Calculo de potencia de la fuente de tensión.
El cálculo de la potencia generada por la fuente se halla a través de la ecuación 19

Se ha resuelto hacer uso de esta expresión debido a que todos son valores conocidos, de esta forma
sustituyendo (25) en (19) resulta:

Ecu 28.
Haciendo la suma de las expresiones (26), (27) y (28) se encuentra:

Esto evidencia que la potencia que se disipa es exactamente la misma que se genera.
Hasta el momento se han estudiado las leyes básicas de los circuitos eléctricos que se extienden más allá de los
elementos resistivos, teniendo en cuenta algunos aspectos relevantes que se verán posteriormente. Sin
embargo, existen configuraciones en donde la equivalencia de resistencias es una herramienta que se queda
corta a la hora de determinar alguna variable eléctrica dentro del circuito, ya sea por la compleja configuración
o por el trabajo excesivo que supone, por lo cual se han ideado análisis que se basan sobre los principios básicos
que ya conocemos y se explicaran a continuación.

ANÁLISIS DE NODOS EN DC.
Este análisis consiste en determinar las corrientes que entran y salen a los diferentes nodos de un circuito,
procurando expresarlas en términos de tensión y resistencia a fin de encontrar el potencial en cada nodo.
Con el objetivo de trabajar la técnica descrita anteriormente se desarrollarán ejercicios que presenten las
distintas variantes que se pueden encontrar en la aplicación de este método.

ANÁLISIS DE NODOS CON FUENTES DE TENSIÓN INDEPENDIENTES.
Suponga que se desea hallar el potencial de cada nodo del circuito mostrado en la figura 26.
A partir del conocimiento adquirido hasta el momento el lector podría pensar en solucionar el problema
aplicando equivalencias e ir hallando, a partir de la ley de ohm, variables en distintos lugares del circuito a fin de
encontrar el potencial en los nodos 3 y 2. Solución que para circuitospequeños funciona bien, sin embargo, para
configuraciones más complejas esto supone realizar trabajo excesivo. Siempre que se desee obtener el potencial
en los nodos de un circuito lineal será conveniente utilizar el análisis de nodos.

Estrategia para resolver problemas a partir del análisis de nodos.
a) Construcción del circuito de análisis.
b) Dibujar el circuito eléctrico y asociar un número a cada nodo presente en él.
c) Definir el nodo de referencia generalmente dado por la fuente eléctrica.
d) Establecer cada una de las corrientes que entran o salen a los diferentes nodos del circuito y
nombrarlas.
Ejecución:

35
Realizar una ley de corriente de Kirchhoff en cada uno de los nodos para los cuales se desconoce su potencial.
Estas corrientes deberán expresarse siempre que se pueda y no se tenga su valor como

Para casos en que la corriente con la cual se trabaja fluye atreves de una fuente eléctrica de tensión, esta no
puede ser expresada a partir de esta relación, la manera de cómo aplicar el método cuando se presente este
problema se explicara adelante.
Habrá que plantearse tantas ecuaciones como numero de variables se deseen determinar, para el circuito
planteado en la figura 26, tendrá que encontrase dos ecuaciones debido a que se desconoce el potencial en dos
nodos.
Una vez obtenido nuestro sistema de ecuaciones se procederá a escribirse en forma matricial, para aplicar
métodos que permitan encontrar valores que satisfagan las ecuaciones.

Ejemplo 7
Aplique el análisis de nodos para determinar el potencial en cada uno de los nodos del circuito mostrado en la
figura 26.

Figura 26. Circuito de cuatro nodos.
El circuito posee cuatro nodos, siendo el cuarto nodo designado como referencia, la diferencia de potencial
entre el nodo uno y el cuatro se encuentra a partir de

Entonces

36
La ecuación planteada a partir de la LCK para el nodo 2 es

Expresando las corrientes de la ecuación en términos de la tensión y resistencia tenemos

Simplificando y remplazando los valores de y se tiene
Ecu.29.
La LCK para el nodo 3 da

Ecu 30.
Las ecuaciones 29 y 30 pueden escribirse en forma matricial de la siguiente forma

Donde A es la matriz de coeficientes que acompañan las incógnitas, X es el vector columna de las incógnitas y B
el vector de términos independientes

La cual puede escribirse como

Una vez escrito nuestro sistema de ecuaciones lineales (es decir nuestro conjunto de igualdades posee
incógnitas elevadas a la potencia uno) en su forma matricial ha de emplearse algún método de solución de
matrices que permita la obtención de los valores que satisfacen estas ecuaciones tales como Gauss-Jordán, regla
de Cramer o el uso de la matriz inversa.

Solución por Gauss – Jordán

Esta notación indica que toda la fila 1 es multiplicada por un valor de y el resultado es puesto en la fila uno

Entonces

Ejemplo 8
Determine las tensiones en los nodos del circuito de la figura 27.

Figura 27. Circuito para el análisis del Ejemplo 8.
El circuito de la figura 27 posee cuatro nodos de no referencia para el cual se ha asignado un número a cada
nodo y denotado las corrientes que fluyen en el circuito
Inicialmente se sabe que

38
Debido a que poseemos tres incógnitas ( , y ) es preciso plantear tres ecuaciones que permitan la
obtención de los valores de interés.
LCK para el nodo 2,

Simplificando y ordenando los términos se obtiene
Ecu 31.
LCK para el nodo 3,

Simplificando y ordenando los términos se obtiene
Ecu 32.
En el nodo 4,

Al multiplicar cada término de esta última ecuación por 2016, sumar los términos comunes y reordenando se
encuentra
Ecu 33.
Se debe encontrar los valores que satisfagan las ecuaciones (31), (32) y (33). Para esto escribimos el conjunto de
ecuaciones en su forma matricial

La solución se hará a partir del uso de la inversa de una matriz. Sabemos que un sistema matricial se representa
de la siguiente forma

Si el determinante de A es diferente de cero, la matriz A es no singular y por lo tanto tiene inversa. Como
deseamos conocer el valor de las incógnitas del sistema despejamos

Esto indica que podemos determinar el valor de las incógnitas tomando la inversa de la matriz de coeficientes y
multiplicarla por los resultados de cada ecuación.
Recordando que

, es el determinante de la matriz de coeficientes

Donde es la transpuesta de la matriz de cofactores de .
Calculando el determinante de la matriz del ejemplo trabajado por medio de la regla de Sarrus tenemos

Para calcular los coeficientes de matriz de cofactores de A se debe realizar el siguiente procedimiento

Se elimina la fila y columna asociada al cofactor (en este caso fila uno, columna uno) y se calcula el
determinante de la matriz resultante

Si la suma del índice que denota la columna y la fila donde se calcula el cofactor es impar, se introduce un
menos al determinante calculado de la sub-matriz, si por el contrario la suma da como resultado un número par
no se altera el resultado.
De la misma forma se procederá para calcular los cofactores restantes. (Nótese que la matriz de cofactores
posee las mismas dimensiones de la matriz A).

Transponiendo la matriz C tenemos:

Desarrollando el producto de las matrices ( ) encontramos la siguiente matriz resultante

Multiplicando por el inverso del determinante de la matriz A nos queda

De esta manera hemos encontrado el valor de cada uno de los voltajes de nuestro interés.

Es importante recordar que los valores de tensión de cada nodo son hallados respecto a la referencia
establecida, por ejemplo, la suma de tensiones de un camino que nos lleve desde el nodo 3 hasta el nodo 5 da
como resultado una tensión de 12.89V.

ANÁLISIS DE NODOS CON FUENTES DE CORRIENTE INDEPENDIENTES.
Cando utilizamos el análisis de nodos y existen fuentes de corriente conectadas entre un par de nodos
cualquiera, la aplicación del método es sencillo, puesto que se conoce una corriente que entra o sale a un nodo
según sea el caso; el planteamiento de la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo de interés es el mismo al
trabajado.

Ejemplo 9
Encontrar la tensión presente en el nodo 1 del circuito de la figura 28.

Figura 28. Circuito para el problema de práctica.
Para hallar la incógnita pedida por el problema será necesario plantear ecuaciones que garanticen el
cumplimiento de las leyes básicas en cualquier lugar del circuito, por ello pese a tener una incógnita será
necesario aplicar la ley de corrientes de Kirchhoff en todos los nodos donde se desconoce la tensión, para
posteriormente solucionar dicho sistema a partir de algún método para la solución de matrices.
En el nodo 1, la aplicación de la LCK y de la ley de Ohm produce

Ya que conocemos el valor de , despejando las variables se obtiene:

LCK para el nodo 2:

Expresando las corrientes a partir de la ley de ohm se encuentra

Multiplicando por 30 (Multiplicar por 30 es una estrategia matemática, pues nos ayuda a evitar trabajar con
fraccionarios) cada miembro de la ecuación y ordenando se obtiene

En el nodo 3

Al multiplicar por 40 y reordenar se obtiene

En el nodo 4 se repite el procedimiento anterior y resulta

Escribiendo las ecuaciones en su forma matricial tenemos

Para encontrar los valores que permiten que estas igualdades se cumplan, se utilizara la regla de Cramer que
establece la solución al sistema como
Ecu 34.
Donde es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de A por el vector columna B.
Observe que la regla de Cramer permite encontrar el valor de las incógnitas del sistema de ecuaciones
individualmente.
Para calcular el determinante de una matriz con y se debe elegir unafila o una columna y
multiplicar cada uno de sus elementos con el cofactor asociado. Generalmente ha de escogerse la fila o columna
que cuente con una mayor cantidad de elementos igual a cero.
Para nuestro ejemplo se elegirá la fila 1 por lo que

Ecu 35.
Como se ve sólo es necesario hallar los cofactores y , entonces

Por regla de Sarrus tenemos

El segundo cofactor es

Por regla de Sarrus tenemos

Reemplazando y en la ecuación (35) Se obtiene

Como se menciono es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de A por el vector columna B, así

Seleccionamos la fila 1 para el cálculo del determinante
Ecu 36.
El cofactor para este caso es el mismo al que se halló para el cálculo del determinante de la matriz A

El cofactor se calcula como

Aplicando la regla de Sarrus

Reemplazando y en la ecuación (36)

El valor de es hallado a partir de la regla de Cramer. (Ecuación 34.)

La resolución de un sistema de ecuaciones a partir del uso de la regla de Cramer resulta útil cuando sólo nos
interesa determinar el valor de una o algunas variables de un sistema grande.

EL SÚPER-NODO.
Cuando aplicamos el análisis nodal y el circuito cuenta con una o varias fuentes de tensión conectadas entre un
par de nodos y ninguno de ellos es la referencia, no es posible determinar a partir de la ley ohm la corriente que
fluye a través de la fuente, sin embargo, se ha ideado la forma de plantear el número necesario de ecuaciones
que permitan la obtención de los valores de tensión en los nodos del circuito.

Ejemplo 10
Encontrar la tensión en los nodos del circuito de la figura 29.

Figura 29. Circuito de cuatro nodos para el ejemplo 10.

45
Si bien es cierto que no se puede determinar la corriente que fluye a través de la fuente de tensión la
diferencia de potencial entre los nodos a los cuales está conectada se expresa como
Ecu 37.
El circuito del ejemplo 10 posee tres nodos de no referencia y el valor de tensión en el nodo uno está dado por
la fuente , por lo que es preciso encontrar otra ecuación que permita la obtención de los valores y .

Observe la figura 30, se ha encerrado con un ovalo los nodos entre los cuales se encuentra conectada la fuente
de tensión , la unión entre el nodo 2 y el nodo 3 recibe el nombre de supernodo, teniendo en cuenta que la
LCK se cumple en este tipo de nodo especial es correcto decir que

Figura 30.Reconocimiento del súper-nodo en el circuito de práctica del ejemplo 10.

Expresando la corriente en términos de tensión y resistencia se encuentra

Reemplazando el valor , multiplicando toda la expresión por y reordenando se obtiene
Ecu 38.
Escribiendo las ecuaciones (37) y (38) en su forma matriz- vector resulta

46
Solucionando el sistema utilizando el método de Gauss- Jordán

Cuando se hace uso del análisis nodal y en el circuito se presentan fuentes de tensión conectadas entre un par
de nodos y ninguno de ellos es el nodo de referencia, se dice que ese par de nodos forman un súper-nodo; El
súper-nodo permite plantear dos ecuaciones, una ecuación en términos únicamente de tensiones (Ecuación
interna) y una expresión dada a partir de las corrientes que entran y salen al súper-nodo (Ecuación Externa).

Ejemplo 11
Utilizando el análisis nodal plantee las ecuaciones que permitan hallar el valor de la tensión en los nodos del
circuito mostrado en la figura 31.

Figura 31. Circuito para el ejercicio de práctica del ejemplo 11.
El circuito cuenta con 3 nodos de no referencia y la tensión del nodo 1 es conocida, así

La ecuación interna del súper-nodo formado por nodos 2 y 3 es

La ecuación externa es decir la que se plantea a partir de LCK queda

La corriente no se tiene en cuenta ya que entra y sale al súper nodo, utilizando la ley de ohm para expresar
las corrientes cuyo valor es desconocido se obtiene

Sustituyendo en valor de y simplificando encontramos

De esta forma se han planteado las dos ecuaciones que permiten la obtención del valor en los nodos del
circuito.

ANÁLISIS NODAL CON FUENTES DEPENDIENTES.
La manera de desarrollar el análisis nodal aplicado a un circuito que cuenta con este tipo de fuentes es el mismo
que se ha desarrollado anteriormente, sólo abra que tener en cuenta que este tipo de fuentes adquieren su
valor en función de una caída de tensión o un flujo de corriente en un lugar específico del circuito, conocida
como variable de control y una constante de proporcionalidad llamada ganancia, contrario a las fuentes de valor
fijos que se habían trabajado anteriormente.

Ejemplo 12
Encuentre la tensión en los nodos del circuito mostrado en la figura 32.

Figura 32. Circuito para el ejercicio de práctica del ejemplo 12.

Las tensiones conocidas son

Como la fuente de tensión dependiente está conectada entre un par de nodos y ninguno de ellos es la
referencia establecida, se utilizará un súper-nodo que brindará las ecuaciones necesarias para determinar los
voltajes de interés.
La ecuación interna del súper-nodo (nodo 1 y 2) da

Con

Reemplazando para , obtenemos

Entonces

Aplicando una LCK en el súper-nodo que comprende los nodos (4-1-3) se tiene

La corriente no se tiene en cuenta debido a que entra y sale del nodo. Expresando estas corrientes en
términos de tensión y resistencia obtenemos

Multiplicando por cuatro toda la expresión y ordenando términos resulta

En forma matricial se tiene

Solución a partir de la regla de Cramer
El determinante del sistema es

La matriz es

Su determinante es

La matriz es

Se calcula su determinante como

Así a partir de la ecuación (34) dada por la regla de Cramer, los valores de las incógnitas son

Ejemplo 13
a) Hallar la tensión en los nodos del circuito de la figura 33, para m=10
b) Determinar la potencia generada o suministrada por la fuente dependiente según sea el caso

b.
Figura 33. a) Circuito para el problema de práctica, b) circuito para el análisis.

a) Los valores conocidos son

La fuente de corriente depende de la corriente ( ) por lo cual su valor está dado por la siguiente expresión

Se expresa como

Con tenemos

Encontrada la expresión que determina el valor de la fuente de corriente, la LCK para el nodo 1 es

Multiplicando toda la expresión por 10, reemplazando el valor de y ordenando resulta

La LCK para el nodo 2 da

Usando la ley de ohm

Al multiplicar todo por 10 y ordenando se encuentra

Reescribiendo el conjunto de ecuaciones en su forma matricial

Usando Gauss-Jordán

Luego,

b) La potencia instantánea para la fuente se calcula a partir del producto

52
La corriente de la fuente con es

La diferencial de potencial entre las terminales del elemento es

Entonces

El signo menos indica que esta fuente genera potencia.
Hasta aquí se han visto las diferentes variantes que se pueden tener en el uso del análisis nodal para circuitos
eléctricos lineales en corriente directa (DC) y se ha explicado el método de solucionarlos.

ANÁLISIS DE MALLA.
Anteriormente se presentó el análisis nodal, técnico que permite encontrar la tensión presente en todos los
nodos de un circuito a partir de la ley de corrientes de Kirchhoff, por el contrario, el análisis de malla permite
determinar las corrientes en un circuito haciendo uso de ley de voltajes de Kirchhoff.
En este análisis se hace una sumatoria de voltajes a lo largo de un camino cerrado que no contengan ramas en
su interior (mallas) y posteriormente para las tensiones con valores desconocidos se aplica la ley de ohm para
expresarlassiempre que sea posible en términos de corriente y resistencia.
A continuación, se explicará a partir de ejemplos los diferentes casos encontrados en la aplicación del método y
la manera en cómo desarrollar el análisis según cada situación.

ANÁLISIS DE MALLAS CON FUENTES DE TENSIÓN INDEPENDIENTES.
Estrategia para resolver problemas a partir del análisis de malla.
Construcción del circuito de análisis.
Dibujar el circuito eléctrico e identificar el número de mallas presentes en el.
Existe una corriente constante que fluye por toda la malla, esta es conocida como corriente de malla y habrá
que definir la dirección en que fluye. Se recomienda elegir todas las corrientes de malla de un circuito girando
en el mismo sentido. Se debe denotar los signos para la tensión de cada elemento del circuito, esto permitirá
realizar de manera correcta la LVK en cada malla.
Ejecución:
Realizar una ley de voltaje de Kirchhoff en cada una de las mallas para las cuales se desconoce la corriente.
Estos voltajes deberán expresarse siempre que se pueda y no se tenga su valor como

53
Note que para casos en que deba determinarse la tensión sobre una fuente de corriente, esta no puede ser
expresada a partir de esta relación, la manera de cómo aplicar el método cuando se presente este problema se
explicara adelante.
Recuerde que habrá que plantearse tantas ecuaciones como número de variables se deseen determinar, para el
circuito planteado en la figura 34, habrá que plantear dos ecuaciones debido a que se desconoce la corriente en
dos mallas.
Una vez obtenido nuestro sistema de ecuaciones se procederá a escribirse en forma matricial, para aplicar
métodos que permitan encontrar valores que satisfagan las ecuaciones.

Ejemplo 14
Para el circuito mostrado en la figura 34 determine:
a) la corriente en cada uno de los elementos
b) la tensión en cada elemento
c) realice el balance de potencia del circuito

Figura 34. Circuito de práctica para el Ejemplo 14.
a) Para determinar la corriente que fluye a través de cada elemento utilizaremos el análisis de malla. El
circuito de análisis se muestra en la figura 35.
El sentido de las corrientes de malla es elegido arbitrariamente, para este caso tanto como giran en el
sentido de las manecillas del reloj.

Figura 35.Circuito para el análisis del ejercicio de práctica del Ejemplo 14.

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Para cada elemento del circuito cuyo voltaje no es conocido se asignan signos asociados a su diferencia de
potencial teniendo en cuenta la naturaleza del elemento y el sentido en que gira la corriente de malla.
En casos en que un elemento haga parte de dos mallas solo habrá que definirse un conjunto de signos desde la
perspectiva de una sola malla, que servirá para realizar la LVK en ambas mallas. Como se observa en este
ejemplo los signos del elemento son definidos desde la perspectiva de la malla 1, teniendo en cuenta que
para un elemento pasivo la corriente fluye de un potencial mayor a uno menor.
El lector no deberá preocuparse por que en la segunda malla los signos asociados a la fuente de tensión según el
sentido de la corriente establecida describen un comportamiento pasivo, tenga en cuenta que los signos de las
fuentes del circuito venían dados por el ejercicio.
Realizando una LVK en la malla uno, tomando el signo que antecede los elementos y aplicando la ley de ohm se
obtiene

Se observa que existen dos corrientes que pasan a través de , el cálculo de una única corriente que permite
encontrar su diferencia de potencial es

Entonces

Reemplazando los valores conocidos, sumando términos semejantes y dividendo toda la expresión por 4, se
encuentra
Ecu 39.
Para la malla dos con los criterios anteriores tenemos

Como es

Aplicando la ley de ohm resulta

Reemplazados valores, operando y dividendo todo entre 2 obtenemos
Ecu 40.
Escribiendo las ecuaciones (39) y (40) dentro de un sistema matricial se encuentra

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Solución a partir de la regla de Cramer
El determinante del sistema es

La matriz es

Su determinante es

La matriz es

Se calcula su determinante como

Así a partir de la ecuación (34) dada por la regla de Cramer, los valores de las incógnitas son

El signo menos indica que una corriente de malla positiva gira en sentido contrario al elegido
Se calcula la corriente que pasa atreves de

Entonces

Tabla 3.Corriente a través de los elementos del circuito mostrado en la Figura 34.
b) La tensión en los elementos resistivos se calcula a partir de la ley de ohm, recuerde que siempre ha de
tomarse la corriente que entra por el terminal positivo del elemento.

c) El cálculo de la potencia que consume o disipa cada elemento, según sea el caso se encuentra a partir de
producto

Al igual que en la ley de ohm el cálculo de potencia se deberá realizar con la corriente que entra por el terminal
positivo del elemento. Se observa que para este caso la fuente de tensión se comporta como un elemento
pasivo, un ejemplo clásico de esta situación es cuando se pone a cargar la batería de un celular.

Entonces la potencia generada total es

La potencia total consumida es

El balance de potencias nos dice que tanto la potencia consumida como la potencia entregada tienen que ser
exactamente la misma, de lo contrario estaría violando la ley de la conservación de la energía.
Por lo tanto

Esto criterio permite asegurar que se haya realizado un buen desarrollo a lo largo de todo el ejercicio de
práctica.

ANÁLISIS DE MALLAS CON FUENTES DE CORRIENTE INDEPENDIENTES.
La ubicación de una fuente de corriente dentro de un circuito puede darse bien sea en el exterior de una malla o
en el interior, entiéndase interior cuando la fuente hace parte de dos mallas. Para el primer caso el
planteamiento de las ecuaciones es sencillo, ya que el valor de la corriente de malla viene dado por la fuente de
corriente ubicada en el exterior, esto permite la reducción de ecuaciones a encontrar para determinar las
corrientes del circuito.
Para el circuito de la figura 36 el valor de las corrientes de malla es conocido y viene dado por los valores de las
fuentes de corriente e

Figura 36. Ejemplos de fuentes de corriente ubicadas en el exterior de una malla.

Ejemplo 15
Encontrar las corrientes de malla del circuito mostrado en la figura 37.

Figura 37. Circuito para el problema de práctica.
Siguiendo los pasos para la construcción del circuito de análisis se obtiene el circuito que se muestra en la figura
38. El circuito posee cuatro mallas, pero como se observa el valor de la corriente de malla viene dado por la
fuente , por tanto

El número de variables desconocidas se reduce, por lo cual solo habrá que establecer tres ecuaciones.

Figura 38. Circuito de análisis del ejemplo 13.
Realizando un LVK de Kirchhoff en la malla 1, tomando el signo que antecede el elemento y utilizando la ley de
ohm resulta

Reemplazando los valores conocidos y sumando los términos semejantes se obtiene
Ecu 41.
Para la malla 3 se plantea la siguiente ecuación siguiendo los criterios anteriores

Sustituyendo los valores conocidos

Aplicando la propiedad distributiva y sumando los términos semejantes da
Ecu 42.
Siguiendo el mismo procedimiento para la malla 3 se tiene

Sustituyendo valores

Entonces
Ecu 43.
Escribiendo las ecuaciones 41, 42 y 43 en su forma matricial tenemos

Solución a partir de Gauss -Jordán

LA SÚPER-MALLA.
Al igual que en el análisis nodal se enfrentaba el problema de no poder determinar la corriente que fluía en una
fuente de tensión conectada entre dos nodos que no contenían la referencia, cuando