Taller_electronica

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1. Si x sen x y
x2
0
f t dtp , donde f es una función continua, encuentre f (4).
 2. Encuentre el valor mínimo del área bajo la curva y x 1 x desde x a hasta x a 1.5 
para toda a 0.
 3. Si x4
0
e
x 2 4
dx k, encuentre el valor de x4
0
xe
x 2 4
dx.
 4. a) Trace la gráica de varios miembros de la familia de funciones f (x) (2cx x 2) c 3 para 
c 0 y vea las regiones limitadas por estas curvas y el eje x. Haga una conjetura en cuanto 
a cómo se relacionan las áreas de estas regiones.
 b) Pruebe su conjetura del inciso a).
 c) Vea de nuevo las gráicas del inciso a) y úselas para trazar la curva descrita por los vértices 
(los puntos más altos) de la familia de funciones. ¿Puede conjeturar qué tipo de curva es 
ésta?
 d) Halle una ecuación para la curva que trazó en el inciso c).
 5. Si f x yt x
0
1
s1 t 3
dt, donde ,t x y
cos x
0
1 sen t 2 dt encuentre f ( 2).
 6. Si f x xx
0
x 2 sen t 2 dt, halle f (x).
 7. Evalúe el .lím
xl 0
1
x
yx
0
1 tan 2t 1 t dt
 8. En la igura pueden verse dos regiones en el primer cuadrante: A(t) es el área bajo la curva 
y sen (x2) desde 0 hasta t, y B(t) es el área del triángulo con vértices O, P y (t, 0). Calcule 
lím
tl 0
A t B t .
 9. Encuentre el intervalo a, b para el cual el valor de la integral xb
a
2 x x 2 dx es un 
máximo.
 10. Utilice una integral para estimar la suma 
10 000
i 1
si .
 11. a) Evalúe xn
0
x dx, donde n es un entero positivo.
 b) Evalúe xb
a
x dx, donde a y b son números reales con 0 a b.
 12. Encuentre .
d 2
dx 2
yx
0
ysen t
1
s1 u4 du dt
 13. Suponga que los coeicientes de la polinomial cúbica P(x) a bx cx 2 dx 3 satisfacen la 
ecuación
 
a
b
2
c
3
d
4
0
 Demuestre que la ecuación P(x) 0 tiene una raíz entre 0 y 1. ¿Puede generalizar este 
resultado para un polinomio de grado n-ésimo?
 14. En un evaporador se usa un disco circular y se hace girar en un plano vertical. Si debe estar 
parcialmente sumergido en el líquido de modo que se maximice el área humedecida expuesta 
del disco, demuestre que el centro de éste debe hallarse a una altura r s1 2
p arriba de la 
supericie del líquido.
 15. Demuestre que si f es continua, entonces . yx
0
f u x u du yx
0
yu
0
f t dt du
 16. En la igura se muestra una región que consta de todos los puntos dentro de un cuadrado que 
están más cerca del centro que de los lados del cuadrado. Encuentre el área de la región.
 17. Evalúe .lím
nl
1
sn sn 1
1
sn sn 2
1
sn sn n`
 
 18. Para cualquier número c, sea fc(x) el más pequeño de los dos números (x c)2 y (x c 2)2. 
Entonces, deinimos t c x1
0
fc x dx. Encuentre los valores máximo y mínimo de (c) si 
2 c 2. 
420
Problemas
FIGURA PARA EL PROBLEMA 8 
FIGURA PARA EL PROBLEMA 16
22
2
2
 Se requiere calculadora graicadora o computadora
 1. Tres estudiantes de matemáticas han ordenado una pizza de 14 pulgadas. En lugar de cortar en 
la forma tradicional, deciden hacer cortes paralelos, como se ve en la igura. Debido a sus 
conocimientos de matemáticas, pueden determinar dónde cortar de modo que cada uno obtenga 
la misma cantidad de pizza. ¿Dónde se hacen los cortes?
 2. Evalúe
 
y 1
x 7 x
dx
 Un camino directo sería empezar con fracciones parciales, pero eso sería demasiado complejo. 
Ensaye una sustitución.
 3. Evalúe y1
0
(s3 1 x7 s7 1 x 3 ) dx.
 4. Los centros de dos discos con radio 1 están apartados una unidad. Encuentre el área de la 
unión de ellos.
 5. Una elipse es cortada por un círculo de radio a. El eje mayor de la elipse coincide con un 
diámetro del círculo, y el eje menor tiene longitud 2b. Demuestre que el área de la parte 
restante del círculo es la misma que el área de una elipse con semiejes a y a b.
 6. Un hombre parado inicialmente en el punto O camina a lo largo de un muelle jalando un bote 
mediante una cuerda de longitud L. El hombre mantiene la cuerda recta y tensa. La trayectoria 
que sigue el bote es una curva llamada tractrix y tiene la propiedad de que la cuerda es siempre 
tangente a la curva (véase la igura).
 a) Demuestre que si la trayectoria seguida por el bote es la gráica de la función y f (x), 
entonces
 
f x
dy
dx
sL 2 x 2
x
 b) Determine la función y f (x).
 7. Una función f está deinida por 
 
0 x 2f x y
0
cos t cos x t dt
p
p
 Encuentre el valor mínimo de f.
 8. Si n es un entero positivo, demuestre que
 
 
y1
0
ln x n dx 1
n n!
 9. Demuestre que
 
y1
0
1 x 2 n dx
2
2n n!
2
2n 1 !
 Sugerencia: empiece por demostrar que si In denota la integral, entonces 
 
Ik 1
2k 2
2k 3
Ik
FIGURA PARA EL PROBLEMA 1
y
xO
(L, 0)
(x, y)L
m
u
e
ll
e
FIGURA PARA EL PROBLEMA 6
534
 Se requiere calculadora graicadora o computadora
Problemas
 10. Suponga que f es una función positiva tal que f es continua.
 a) ¿Cómo se relaciona la gráica de y f (x) sen nx con la gráica de y f (x)? ¿Qué sucede 
cuando n l ?
 b) Haga una conjetura en cuanto al valor del límite
 
lím
nl
y
1
0
f x sen nx dx
 basándose en las gráicas del integrando.
 c) Por la integración por partes, conirme la conjetura que hizo en el inciso b). [Utilice el 
hecho de que, puesto que es f (x) continua, hay una constante M tal que ฀f (x) ฀ x 1 
para 0 x 1.]
 11. Si 0 a b, encuentre lím
tl 0
y1
0
bx a 1 x t dx
1 t
.
 12. Graique f (x) sen(ex) y utilice la gráica para estimar el valor de t tal que t 1
t
f x dx es un 
máximo. Después encuentre el valor exacto de t que maximiza esta integral.
 13. Evalúe y
1
x 4
1 x 6
2
dx.
 14. Evalúe y stan x dx.
 15. El círculo con radio 1 que se muestra en la igura, toca la curva฀y ฀2x ฀dos veces. Encuentre 
el área de la región que está entre las dos curvas.
 16. Un cohete se dispara verticalmente en línea recta quemando combustible a una razón 
constante de b kilogramos por segundo. Sea v v(t) la velocidad del cohete en el instante t, y 
suponga que la velocidad u del gas de salida es constante. Sea M M(t) la masa del cohete 
en el instante t, y note que M disminuye cuando se quema el combustible. Si se desprecia la 
resistencia del aire, se deduce de la segunda ley de Newton que 
 
F M
dv
dt
ub
 donde la fuerza F M . Así
 
1 M
dv
dt
ub Mt
 Sea M1 la masa del cohete sin combustible, M2 la masa inicial del combustible y 
M0 M1 M2. Entonces, hasta que se agota el combustible en el tiempo t M2 b, la 
masa es M M0 bt.
 a) Sustituya M M0 bt en la ecuación 1 y resuelva la ecuación resultante para v. Utilice 
la condición inicial v(0) 0 para evaluar la constante.
 b) Determine la velocidad del cohete en el tiempo t M2 b. Ésta se llama velocidad de 
combustible agotado.
 c) Determine la altura del cohete y y(t) y el tiempo en que se quema todo el combustible.
 d) Halle la altura del cohete en cualquier tiempo t.
FIGURA PARA EL PROBLEMA 15
y=| 2x |
y
0 x
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