Quintaesencia como Modelo de Energía Oscura

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Quintaesencia como Modelo de Enerǵıa Oscura
José Paulino
Febrero 2021
1 Ecuaciones de Friedmann
Alexander Friedmann usó las ecuaciones de campo de Einstein para describir
cómo un universo homogéneo e isotrópico se expande en función del tiempo.
Entonces, tenemos tres piezas para describir cómo el universo se expande.
La ecuación de Friedmann(
ȧ
a
)2
=
8πG
3
ρi −
k
a2
, (1)
la ecuación de continuidad (o conservación de la enerǵıa)
ρ̇i + 3
ȧ
a
(ρi + Pi) = 0 (2)
,
la ecuación de aceleración
ä
a
= −4πG
3
(ρi + 3Pi) (3)
Para descubrir cómo el Universo podŕıa evolucionar necesitamos una ecuación
de estado, esto es relación entre la densidad ρi y la presión Pi del material que
llena el Universo
Pi = wiρi (4)
1
donde wi es una parámetro adimensional.
Los valores para wi son de particular interés. Como por ejemplo el caso wi
= 0, sabemos que nuestro Universo contiene materia no relativista. El caso wi
= 1/3 para fotones. También tenemos el caso para wi < −1/3 que será nuestro
principal interés, ya que una componente con wi < −1/3 provee una aceleración
positiva (ä > 0) en la ecuación (3)).
2 Enerǵıa Oscura
La forma más sencilla de explicar la expansión acelerada de nuestro Universo es
introducir un nuevo componente, y a este componente le llamamos Enerǵıa Os-
cura (EN). El efecto gravitacional de EN se puede extraer de las ecuaciones que
conectan el contenido del Universo con su expansión. Nuestro punto de partida
son las ecuaciones de Friedmann para un Universo homogéneo e isotrópico, a
saber
(
ȧ
a
)2
=
8πG
3
∑
i
ρi −
k
a2
, (5)
ä
a
= −4πG
3
∑
i
(ρi + 3pi). (6)
Aqúı los diferentes componentes etiquetados con i son todos fluidos perfectos
isotrópios. El punto importante de (6) es que un componente i puede inducir
una expansión acelerada siempre que ρi + 3pi < 0. EN puede ser un fluido
perfecto siempre que tenga una presión negativa.
Vamos a introducir las siguientes cantidades adimensionles
Ωi =
ρi
ρcr
, (7)
wi ≡
pi
ρi
, (8)
Ωk = − k
a2H2
, (9)
con
2
H2 ≡ 8πG
3
ρcr, (10)
en términos de los cuales la ecuación (5) se convierte(
ȧ
a
)2
≡ H2 = H2
(∑
i
Ωi + Ωk
)
. (11)
Escrito de esta manera, la ecuación (5) toma la forma en todo momento∑
i
Ωi + Ωk = Ωm + Ωr + Ωen + Ωk = 1 (12)
si asumimos tres tipos de componentes, radiación (r), materia (m) y enerǵıa
oscura (en). Si introducimos el parámetro de desaceleración q, la ecuación (6)
puede ser escrita
q ≡ − ä
aH2
=
1
2
∑
i 6=k
Ωi(1 + 3wi) (13)
En tiempos tard́ıos en un Universo plano, la ecuación (6) se convierte en
q ' 1
2
(1 + 3wdeΩde) (14)
Por tanto, derivamos la expansión acelerada (es decir, q < 0)
wde < −
1
3
Ωd
−
e
1.
3 Quintaesencia
Inspirado en el modelo inflacionario, donde un campo escalar homogéneo im-
plementa una expansión acelerada, bien la Enerǵıa Oscura podŕıa ser un campo
escalar acoplado dependiente del tiempo φ(t), llamado Quintaesencia. Como
en los modelos inflacionarios, lo que caracteriza a un modelo de quintaesencia
es su potencial V (φ). Tal campo escalar lo podemos considerar un fluido perfecto
ρφ =
1
2
φ̇2 + V (φ), pφ =
1
2
φ̇2 − V (φ), (15)
por tanto la ecuación de estado del parámetro wφ es dada por
wφ =
φ̇2 − 2V (φ)
φ̇2 + 2V (φ)
(16)
3
Vemos que
ρφ + pφ = φ̇2 ≥ 0 (17)
Para ρφ ≥ 0, implica que la ecuación de estado debe satisfacer
wφ ≥ −1 (18)
En otras palabras, φ no puede ser del tipo fantasma, un componente que satis-
face wφ < −1. Una inspección más cercana muestra que
−1 ≤ wφ ≤ 1 V > 0 (19)
1 ≤ wφ <∞ V < 0 (20)
Hay que tener en cuenta que tenemos un Universo en expansión.
4