Introducción a la teoría de las probabilidades

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República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación.
Universidad Politécnica Territorial del Edo. Trujillo
“Mario Briceño Iragorry”
El Dividive, Municipio Miranda, Estado Trujillo.
Introducción a la teoría de las probabilidades.
Participante:
Nombres: Katherin Alejandra
Apellidos: Carrillo Díaz 
Índice: 
Introducción..................................................................................................pág.3
Definición de probabilidad..........................................................................pág.4
Tipos de probabilidad................................................................................pág.5-7
Espacio Muestral.........................................................................................pág.8
Evento..........................................................................................................pág.9
Tipos de eventos....................................................................................pág.10-11
Propiedades de la probabilidad................................................................pág.12
Teoría Combinatoria...................................................................................pág.13
Tipos de teoría combinatoria..................................................................pág.14-15
Función Compuesta....................................................................................pág.16
Dominio y rango de una función................................................................pág.17
Gráfica de Funciones...................................................................................pág.18
Aplicaciones a la Ingeniería en Informática...........................................pág.19-20
Conclusión...............................................................................................pág.21-22
Introducción:
 El presente trabajo tiene como finalidad proveer en el lector nuevos conocimientos en el área de la matemática. Dicho trabajo está basado en la teoría de las probabilidades que cuenta con los siguientes puntos: Definición de probabilidad, tipos de probabilidad, espacio muestral, evento, tipos de eventos, propiedades de la probabilidad, teoría combinatoria, tipos de teoría de combinatoria, función compuesta, dominio y rango de una función, gráfica de funciones y las aplicaciones de la ingeniería en la informática. 
 Por otra parte, este tema tiene como propósito comprender los conocimientos matemáticos en una forma distinta para utilizarlos en la vida cotidiana, para que así se aprenda cosas interesantes que se podrán aplicar en situaciones en las que se requiera solucionar problemas. 
Definición de probabilidad.
 La probabilidad es una medida del grado de certidumbre de que dicho suceso pueda ocurrir. Además, suele expresarse como un número entre 0 y 1, donde un suceso imposible tiene probabilidad cero y un suceso seguro tiene probabilidad uno. Por otra parte, la teoría de la probabilidad es la rama de las matemáticas que estudia los experimentos o fenómenos aleatorios. Se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias sociales, la Investigación médica, las finanzas, la economía y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.
La fórmula para calcular la probabilidad es: 
Probabilidad = Casos favorables / casos posibles x 100 (para llevarlo a porcentaje)
Por ejemplo: 
 Se puede calcular la probabilidad de que en una moneda salga cara en un único lanzamiento, pensando que sólo puede salir una cara (1) de las dos que hay (2), esto es, 1 / 2 x 100 = 50% de probabilidad.
 En cambio, si se calcula cuántas veces saldrá la misma cara en dos lanzamientos seguidos, se debe pensar que el caso favorable (cara y cara o sello y sello) es uno entre cuatro posibilidades de resultado (cara y cara, cara y sello, sello y cara, sello y sello). Por ende, 1 / 4 x 100 = 25% de probabilidad.
Tipos de probabilidad.
Existen los siguientes tipos de probabilidad:
Frecuencial: Es aquella que determina la cantidad de veces que un fenómeno puede ocurrir, considerando un número determinado de oportunidades, a través de la experimentación.
Ejemplo:
Supongamos que se repite un experimento aleatorio N veces: 
La frecuencia absoluta f de un de un suceso es el número de veces que aparece el suceso.
La frecuencia relativa h de un suceso es el cociente de la frecuencia absoluta del suceso entre N, h= 
Se lanza una moneda 20 veces y se ha obtenido 7 caras y 13 cruces.
La frecuencia relativa de cara es: 
La frecuencia relativa de cruz es: 
Matemática: Pertenece al ámbito de la aritmética, y aspira al cálculo en cifras de la probabilidad de que determinados eventos aleatorios tengan lugar, a partir de la lógica formal y no de su experimentación.
Binomial: Es aquella en la que se estudia el éxito o fracaso de un evento, o cualquier otro tipo de escenario probable que tenga dos posibles resultados únicamente.
Ejemplo: 
El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservas sabe, por experiencia, que el 20% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el restaurante acepta 25 reservas pero sólo dispone de 20 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa?
Solución: Representemos por la variable aleatoria δ la decisión de asistir (δ = 0) o no (δ = 1) finalmente al restaurante por parte de una persona que ha hecho una reserva. Esta variable sigue una distribución de Bernoulli de parámetro p = 0,2, de acuerdo con el enunciado del ejercicio. Suponiendo que las distintas reservas son independientes entre sí, se tiene que, de un total de n reservas (δ 1….δ n), el número de ellas que acuden finalmente al restaurante es una variable aleatoria Yn =∑=ni 1δ1, con distribución binomial de parámetros n y p=0,2. En el caso particular del problema, n=25. Entonces, para aquellas personas que asistan al restaurante de las 25 que han hecho la reserva puedan disponer de una mesa, debe ocurrir que acudan 20 o menos. Así se tiene que: 
Objetiva: Se denomina así a toda probabilidad en la que conocemos de antemano la frecuencia de un evento, y simplemente se dan a conocer los casos probables de que ocurra dicho evento.
Por ejemplo: 
Si en una caja existe un total de 2 pañuelos negros y 3 pañuelos blancos entonces la probabilidad de sacar un pañuelo negro es de:
P = 2/2+3 = 2/5
Si en un salón hay 3 mujeres y 3 hombres, entonces la probabilidad de escoger a un hombre o una mujer es de:
P= 3/6 = 0.5
Si tenemos 5 pelotas rojas y 2 azules entonces la probabilidad de tener una pelota azul es de:
 P= 2/5+2 = 2/7
Subjetiva: Contrapuesta a la matemática, se sustenta en ciertas eventualidades que permiten inferir la probabilidad de un evento, aunque alejada de una probabilidad certera o calculable. De allí su subjetividad.
Hipergeométrica: Es aquella que se obtiene gracias a técnicas de muestreo, creando grupos de eventos según su aparición.
Lógica: Es la que posee como rasgo característico que establece la posibilidad de ocurrencia de un hecho a partir de las leyes de la lógica inductiva.
Condicionada: Es aquella que se emplea para comprender la causalidad entre dos hechos distintos, cuando puede determinarse la ocurrencia de uno tras la ocurrencia del otro.
Espacio Muestral.
 El espacio muestral está formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, es decir, se compone de todos y cada uno de los sucesos elementales. Además, es una parte del espacio probabilístico, como su propio nombre indica, está formado por los elementos de la muestra. Al contrario, el espacio probabilístico engloba todos los elementos, incluso aunque no salgan recogidos en la muestra.
 El espacio muestral se simboliza con la letra griega Ω (Omega). Está compuesto por todos los sucesos elementales o compuestos de la muestra y, por tanto, coincide con el suceso seguro.Es decir, aquel suceso que siempre va a ocurrir.
Ejemplo:
Supongamos el caso de un dado con 6 caras. Enumeradas del 1 al 6 ¿Cuál sería el espacio muestral del experimento lanzar un dado una sola vez?
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
¿Y si el experimento consiste en lanzar el dado dos veces? Diferenciamos entre un dado rojo y un dado verde.
Ω = {1 y 1, 1 y 2, 1 y 3, 1 y 4, 1 y 5, 1 y 6, 2 y 1, 2 y 2, 2 y 3 … 6 y 6 }
 Es decir, que en el dado rojo salga un 1 y que en el dado verde salga un 1, sería el primer suceso elemental. El segundo suceso elemental consistiría en que en el dado rojo salga un 1 y en el verde un 2. Así hasta un total de 36 sucesos elementales.
Evento.
 En las matemáticas, se conoce como evento estadístico al subconjunto de un espacio muestral. Se trata de los posibles resultados que pueden obtenerse de un experimento aleatorio. Para la informática, un evento es una acción que es detectada por un programa; éste, a su vez, puede hacer uso del mismo o ignorarlo. Por lo general, una aplicación cuenta con uno o más hilos de ejecución dedicados a atender los distintos eventos que se le presenten. Entre las fuentes más comunes de eventos se encuentran las acciones del usuario con el teclado o el ratón. Cabe mencionar que cualquier programa tiene el poder de disparar sus propios eventos, como puede ser comunicar al sistema que ha completado una función en particular.
 Además, se denomina programa dirigido por eventos a aquél que cambia su comportamiento en respuesta a los eventos que tengan lugar durante su ejecución. Estos se utilizan generalmente cuando existe una serie de actividades externas al ordenador que deben ser registradas, las cuales se realizan de manera asíncrona a la vida de la aplicación. El evento es, en primer lugar, detectado por el sistema; el programa en cuestión lo recibirá recién cuando esté listo, y luego se encargará de analizarlo y ver si tiene alguna utilidad para él.
 Por otra parte, en los videojuegos, existe una serie de acciones que tienen lugar independientemente de la intervención del jugador, que se combinan con los eventos disparados por este último para completar la experiencia. En el mítico Tetris, por ejemplo, las piezas caen por el centro del espacio de juego hasta que el usuario presiona alguna de las teclas direccionales para cambiar su rumbo. Además, es posible rotarlas, dependiendo de la versión, en una u otra dirección. En pocas palabras, el flujo del juego no depende de los eventos, pero éstos afectan el resultado.
Tipos de eventos.
Eventos Independientes: Los eventos pueden ser "independientes", lo que significa que cada evento no se ve afectado por ningún otro evento.
Ejemplo: 
Lanzas una moneda y aparece "Cara" tres veces ¿cuál es la probabilidad de que el próximo lanzamiento también sea una "Cara"?
La probabilidad es simplemente 1/2 o 50% como en cualquier lanzamiento de la moneda.
Eventos dependientes: Pero los eventos también pueden ser "dependientes" lo que significa que pueden verse afectados por eventos anteriores.
Ejemplo:
Tomar 2 cartas de un mazo
Después de tomar una carta del mazo, hay menos cartas disponibles, por lo que las probabilidades cambian
Veamos las posibilidades de obtener un Rey:
Para la primera carta, la posibilidad de sacar un Rey es 4 de 52
Pero para la segunda carta:
•Si la primera carta era un Rey, entonces es menos probable que la segunda carta sea un Rey, ya que solo 3 de las 51 cartas restantes son Reyes.
•Si la primera carta no era un Rey, entonces es más probable que la segunda carta sea un Rey, ya que 4 de las 51 cartas restantes son Rey.
Esto se debe a que estamos quitando cartas del mazo.
Reemplazo: cuando volvemos a colocar cada tarjeta después de sacarla, las posibilidades no cambian, ya que los eventos son independientes.
Sin reemplazo: las posibilidades cambiarán y los eventos son dependientes.
Mutuamente Excluyentes: Mutuamente Excluyentes quiere decir que no pueden suceder al mismo tiempo. Es uno u otro, pero no ambos.
Ejemplo:
•Girar a la izquierda y a la derecha son mutuamente excluyentes (no puedes hacer ambas cosas al mismo tiempo).
•Cara y Escudo son mutuamente excluyentes.
•Reyes y Ases son mutuamente excluyentes.
Lo que no es mutuamente excluyente:
•Los reyes y los corazones no son mutuamente excluyentes, porque podemos tener un rey de corazones.
Propiedades de la probabilidad.
 Al asignar probabilidades mediante la regla de Laplace o utilizando la frecuencia relativa puedes comprobar que se cumple:
•0≤P(A)≤1. La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1.
•P(E)=1, P(Ø)=0. La probabilidad del suceso seguro es 1 y la del suceso imposible 0.
•La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es P(AUB)=P(A)+P(B).
 Además de estas propiedades se deducen estas otras que resultan muy útiles para calcular probabilidades:
 • P(A)=1-P(A)
• P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
Teoría Combinatoria.
 La combinatoria es una rama de la matemática perteneciente al área de matemáticas discretas que estudia la enumeración, construcción y existencia de propiedades de configuraciones que satisfacen ciertas condiciones establecidas. Además, estudia las ordenaciones o agrupaciones de un determinado número de elementos.
 Los aspectos de la combinatoria incluyen contar las estructuras de un tipo y tamaño dado (combinatorias enumerativas), decidir cuándo pueden cumplirse ciertos criterios y construir y analizar objetos que cumplan los criterios (como en los diseños combinatorios y la teoría de matroides) encontrar objetos "más grandes", "más pequeños" u "óptimos" (combinatoria extrema y optimización combinatoria), estudiar estructuras combinatorias surgidas en un contexto algebraico, o aplicar técnicas algebraicas a problemas combinatorios (combinatoria algebraica).
 Sin embargo, los problemas combinatorios surgen en muchas áreas de la matemática pura, especialmente en álgebra, teoría de probabilidades, topología y geometría, y la combinatoria también tiene muchas aplicaciones en la optimización matemática, la informática, la teoría ergódica y la física estadística.
Función de la teoría combinatoria: Su función es agrupar un número finito de elementos que tengan importancia.
Tipos de teoría combinatoria.
 Variaciones: Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m>n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que: 
· No entran todos los elementos.
· Si importa el orden.
· No se repiten los elementos.
También se puede calcular las variaciones mediante factoriales:
Las variaciones se denotan por: 
Permutaciones: Son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que: Influye el orden en que se colocan.
· Si entran todos los elementos.
· Si importa el orden.
· No se repiten elementos.
Combinaciones: Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m>n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:
· No entran todos los elementos.
· No importan el orden.
· No se repiten elementos.
También se puede calcular las combinaciones mediante factoriales.
Función Compuesta.
 En álgebra abstracta, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.
 Usando la notación matemática, la función compuesta g ∘ f: X → Z expresa que (g ∘ f)(x) = g[f(x)] para todo x perteneciente a X. Se lee "g círculo f" o "g circulito f" o "g en f" o "f entonces g" o "g de f".
A g ∘ f se le llama composición de f y g, o f compuesta con g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.
Ejemplo:
Determina la función f o g siendo: 
F= {(0;0), (2;6), (4;12), (6;18), (8;24)}
G= {(1;2), (2;4), (3;6), (4;8)
Dominio y rango de una función.
El dominio de una función f ( x ) es el conjuntode todos los valores para los cuales la función está definida, y el rango de la función es el conjunto de todos los valores que f toma.
(En gramática, probablemente le llame al dominio el conjunto reemplazo y al rango el conjunto solución. Quizá también estos han sido llamados la entrada y salida de la función.)
Ejemplo:
Considere la función mostrada en el diagrama.
Aquí, el dominio es el conjunto { A , B , C , E }. D no está en el dominio, ya que la función no está definida para D .
El rango es el conjunto {1, 3, 4}. 2 no está en el rango, ya que no hay letra en el dominio que se enlace con el 2.
Gráfica de Funciones.
 En matemáticas, la gráfica de una función es un tipo de representación gráfica que permite conocer intuitivamente el comportamiento de dicha función. Más formalmente dada una función:
 El gráfico es el conjunto de todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f, es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y. Se representa gráficamente mediante una correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen. Además, las únicas funciones que se pueden establecer de forma no ambigua mediante líneas, son las de una sola variable, con un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una línea recta o curva. En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma unívoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes (con un plano) de la función para los que los valores de todas las variables, excepto dos, permanezcan constantes. Por otra parte, el concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación. Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma, pero con dominios y codominios diferentes.
Aplicaciones a la Ingeniería en Informática.
 La ingeniería informática es la rama de la ingeniería que aplica los fundamentos de la ciencia de la computación, la ingeniería en computadores, la ingeniería de sistemas de información, la ingeniería de software y la ingeniería de redes y comunicaciones, para el desarrollo de soluciones integrales de cómputo y comunicaciones, capaces de procesar información de manera automática.
 Los conocimientos para ejercer de Ingeniero en computación engloban un extenso número de áreas teóricas dentro de la Ciencia Aplicada denominada Informática que le confieren las siguientes capacidades profesionales:
•Conocimientos de Teoría de la información y Telecomunicaciones para calcular y diseñar los modelos y redes de comunicación de la información por cauces seguros y legales que permitan su control y auditoría acordes a necesidades de seguridad y disponibilidad.
•Conocimientos de Teoría de autómatas y Teoría de diseño de algoritmos y lenguajes formales para diseñar las soluciones idóneas de automatización en el procesamiento de la información.
•Conocimientos de ingeniería del software para evaluar las mejores técnicas de diseño, construcción y mantenimiento de software, sujetos a cálculos de restricciones de calidad, tiempo, coste, etc.
•Conocimientos de inteligencia artificial o ingeniería del conocimiento como el reconocimiento de patrones o las redes neuronales para calcular y diseñar sistemas de producción de conocimiento como ventaja competitiva industrial en el manejo de la información.
•Conocimientos de Electrónica para calcular y diseñar interfaces de comunicación y control entre computadores y diversos dispositivos mecánicos y eléctricos, tales como sistemas de adquisición de datos, instrumentación virtual, control de robots, sistemas de iluminación u otros.
•	Conocimientos de Organización industrial y empresarial, para la planificación, dirección y control de proyectos informáticos y la dirección departamentos de TIC.
•	Conocimientos hardware para analizar y diseñar soluciones en el ámbito de la arquitectura de microprocesadores.
Conclusión:
 La probabilidad es una medida del grado de certidumbre de que dicho suceso pueda ocurrir, cuenta con diferentes tipos de probabilidad, los cuales son: Frecuencial; Es aquella que determina la cantidad de veces que un fenómeno puede ocurrir, Matemática; Pertenece al ámbito de la aritmética, y aspira al cálculo en cifras de la probabilidad de que determinados eventos aleatorios tengan lugar, Binomial; Es aquella en la que se estudia el éxito o fracaso de un evento, Objetiva; Se denomina así a toda probabilidad en la que conocemos de antemano la frecuencia de un evento, Subjetiva; Contrapuesta a la matemática, se sustenta en ciertas eventualidades que permiten inferir la probabilidad de un evento, Hipergeométrica; Es aquella que se obtiene gracias a técnicas de muestreo, creando grupos de eventos según su aparición, Lógica; Es la que posee como rasgo característico que establece la posibilidad de ocurrencia de un hecho a partir de las leyes de la lógica inductiva, Condicionada; Es aquella que se emplea para comprender la causalidad entre dos hechos distintos, cuando puede determinarse la ocurrencia de uno tras la ocurrencia del otro. Por otra parte, El espacio muestral está formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, es decir, se compone de todos y cada uno de los sucesos elementales y el evento es el subconjunto de un espacio muestral, el cual se trata de los posibles resultados que pueden obtenerse de un experimento aleatorio, este también cuenta con distintos tipos de eventos que son: Eventos Independientes; significa que cada evento no se ve afectado por ningún otro evento, Eventos dependientes; significa que pueden verse afectados por eventos anteriores, Mutuamente Excluyentes; Son eventos que no pueden suceder al mismo tiempo. Por otro lado, las propiedades de la probabilidad son: 1) La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1, 2) La probabilidad del suceso seguro es 1 y la del suceso imposible 0, 3) La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es P(AUB)=P(A)+P(B).
Sin embargo, La teoría combinatoria es una rama de la matemática que estudia la enumeración, construcción y existencia de propiedades de configuraciones que satisfacen ciertas condiciones establecidas. Cuenta con diferentes tipos como: Variaciones; Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m>n) a los distintos grupos formados por n elementos, Permutaciones; Son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que: Influye el orden en que se colocan y Combinaciones; Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m>n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos. Además la función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Cabe destacar, el dominio de una función f ( x ) es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida, y el rango de la función es el conjunto de todos los valores que f toma. La gráfica de una función es un tipo de representación gráfica que permite conocer intuitivamente el comportamiento de dicha función y La ingeniería informática es la rama de la ingeniería que aplica los fundamentos de la ciencia de la computación, la ingeniería en computadores, la ingeniería de sistemas de información, la ingeniería de software y la ingeniería de redes y comunicaciones.
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